A legegyszerűbb triganometrikus egyenletek megoldása. Egyenleteket oldunk meg trigonometrikus kör segítségével. Önálló megoldási feladatok

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fogalma.

Egy trigonometrikus egyenlet megoldásához alakítsa át egy vagy több alapvető trigonometrikus egyenletté. A trigonometrikus egyenlet megoldása végül a négy alapvető trigonometrikus egyenlet megoldásához vezet.

Trigonometrikus alapegyenletek megoldása.

Négyféle alapvető trigonometrikus egyenlet létezik:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Az alapvető trigonometrikus egyenletek megoldása magában foglalja az egységkör különböző x pozícióinak megtekintését, valamint egy konverziós táblázat (vagy számológép) használatát.
1. példa sin x = 0,866. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = π/3. Az egységkör másik választ ad: 2π/3. Ne feledje: minden trigonometrikus függvény periodikus, azaz értékeik ismétlődnek. Például a sin x és cos x periodicitása 2πn, a tg x és ctg x periodicitása pedig πn. Tehát a válasz így van leírva:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
2. példa cos x = -1/2. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = 2π/3. Az egységkör másik választ ad: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
3. példa tg (x - π/4) = 0.
Válasz: x \u003d π / 4 + πn.
4. példa ctg 2x = 1,732.
Válasz: x \u003d π / 12 + πn.

A trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformációk.

A trigonometrikus egyenletek átalakításához algebrai transzformációkat (faktorizálás, redukció) használnak homogén tagok stb.) és trigonometrikus azonosságok.
5. példa Trigonometrikus azonosságok felhasználásával a sin x + sin 2x + sin 3x = 0 egyenletet a 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 egyenletté alakítjuk. Így a következő alapvető trigonometrikus egyenletek meg kell oldani: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Szögek keresése a függvények ismert értékeiből.
- Mielőtt megtanulná a trigonometrikus egyenletek megoldását, meg kell tanulnia, hogyan találhat szögeket a függvények ismert értékeiből. Ez megtehető egy konverziós táblázat vagy számológép segítségével.
- Példa: cos x = 0,732. A számológép azt a választ adja, hogy x = 42,95 fok. Az egységkör további szögeket ad, amelyek koszinusza szintén 0,732.
Tegye félre az oldatot az egységkörön.
- A trigonometrikus egyenlet megoldásait az egységkörre helyezheti. A trigonometrikus egyenlet megoldásai az egységkörön egy szabályos sokszög csúcsai.
- Példa: Az egységkörön lévő x = π/3 + πn/2 megoldások a négyzet csúcsai.
- Példa: Az egységkörön lévő x = π/4 + πn/3 megoldások egy szabályos hatszög csúcsai.
Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.
- Ha egy adott trigonometrikus egyenlet csak egyet tartalmaz trigonometrikus függvény, oldja meg ezt az egyenletet trigonometrikus alapegyenletként. Ha egy adott egyenlet két vagy több trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor egy ilyen egyenlet megoldására 2 módszer létezik (az átalakítás lehetőségétől függően).
  - 1. módszer
- Alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: f(x)*g(x)*h(x) = 0, ahol f(x), g(x), h(x) a trigonometrikus alapegyenletek.
- 6. példa 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Megoldás. A sin 2x = 2*sin x*cos x kettősszög képlet használatával cserélje ki a sin 2x-et.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Most oldjunk meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
- 7. példa cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Most oldjon meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2cos x + 1) = 0.
- 8. példa sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsuk át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Most oldjunk meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0.
  - 2. módszer
- Alakítsa át a megadott trigonometrikus egyenletet olyan egyenletté, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz. Ezután cserélje ki ezt a trigonometrikus függvényt valamilyen ismeretlenre, például t-re (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t stb.).
- 9. példa 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Megoldás. Ebben az egyenletben a (cos^2 x) helyére (1 - sin^2 x) lép (az azonosságnak megfelelően). A transzformált egyenlet így néz ki:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Cserélje le a sin x-et t-re. Most az egyenlet így néz ki: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ez egy másodfokú egyenlet, melynek két gyöke: t1 = -1 és t2 = 9/5. A második t2 gyök nem elégíti ki a függvény tartományát (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- 10. példa tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Megoldás. Cserélje ki tg x-et t-re. Írja át az eredeti egyenletet a következőképpen: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Most keresse meg t-t, majd keresse meg x-et, ha t = tg x.

Megköveteli a trigonometria alapvető képleteinek ismeretét - a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összegét, a szinuszon és koszinuszon keresztüli érintő kifejezését és mások. Azok számára, akik elfelejtették vagy nem ismerik őket, javasoljuk, hogy olvassák el a "" cikket.
Tehát ismerjük az alapvető trigonometrikus képleteket, ideje gyakorlatba ültetni őket. Trigonometrikus egyenletek megoldása nál nél helyes megközelítés- elég izgalmas tevékenység, mint például a Rubik-kocka megfejtése.

Maga a név alapján egyértelmű, hogy a trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen egy trigonometrikus függvény előjele alatt áll.
Léteznek úgynevezett egyszerű trigonometrikus egyenletek. Így néznek ki: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Fontolgat, hogyan kell megoldani az ilyen trigonometrikus egyenleteket, az áttekinthetőség kedvéért a már megszokott trigonometrikus kört fogjuk használni.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

kiságy x = a

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésben történik: az egyenletet a legegyszerűbb formába hozzuk, majd a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletként oldjuk meg.
7 fő módszer létezik a trigonometrikus egyenletek megoldására.

Változóhelyettesítés és helyettesítési módszer

Oldja meg a 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 egyenletet

A redukciós képleteket használva a következőket kapjuk:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Az egyszerűség kedvéért cseréljük le a cos(x + /6)-t y-ra, és kapjuk a szokásos másodfokú egyenletet:

2 év 2 – 3 év + 1 + 0

Ennek a gyökei y 1 = 1, y 2 = 1/2

Most menjünk visszafelé

Az y talált értékeit behelyettesítjük, és két választ kapunk:

Trigonometrikus egyenletek megoldása faktorizálással

Hogyan oldjuk meg a sin x + cos x = 1 egyenletet?

Mozgassunk mindent balra, hogy a 0 a jobb oldalon maradjon:

sin x + cos x - 1 = 0

A fenti azonosságokat használjuk az egyenlet egyszerűsítésére:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Végezzük el a faktorizálást:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Két egyenletet kapunk

Redukálás homogén egyenletre

Egy egyenlet akkor homogén a szinusz és a koszinusz tekintetében, ha a szinuszra és koszinuszra vonatkozó összes tagja azonos szögű. Egy homogén egyenlet megoldásához járjon el a következőképpen:

a) helyezze át az összes tagját a bal oldalra;

b) tegyen zárójelbe minden gyakori tényezőt;

c) minden tényezőt és zárójelet 0-val egyenlővé kell tenni;

d) zárójelben egy kisebb fokú homogén egyenletet kapunk, amelyet viszont szinuszos vagy koszinuszos nagyobb mértékben osztunk el;

e) oldja meg a kapott egyenletet tg-re!

Oldja meg a 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 egyenletet

Használjuk képlet bűn 2 x + cos 2 x = 1, és szabadulj meg a jobb oldali nyitott kettőtől:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Oszd el cosx-szel:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

A tg x-et y-ra cseréljük, és egy másodfokú egyenletet kapunk:

y 2 + 4y +3 = 0, melynek gyökerei y 1 =1, y 2 = 3

Innen két megoldást találunk az eredeti egyenletre:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Egyenletek megoldása a félszögre való átmeneten keresztül

Oldja meg a 3sin x - 5cos x = 7 egyenletet

Térjünk át az x/2-re:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mindent balra tolva:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Oszd meg cos(x/2)-vel:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Segédszög bevezetése

Megfontolásra vegyünk egy egyenletet a következő alakú: a sin x + b cos x \u003d c,

ahol a, b, c néhány tetszőleges együttható és x egy ismeretlen.

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát:

Most a szerinti egyenlet együtthatói trigonometrikus képletek rendelkeznek a sin és cos tulajdonságaival, nevezetesen: modulusuk nem nagyobb, mint 1, négyzetösszege pedig = 1. Jelöljük őket cos-nak, illetve sinnek, ahol az ún. segédszög. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

vagy sin(x + ) = C

Ennek az egyszerű trigonometrikus egyenletnek a megoldása az

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, ahol

Meg kell jegyezni, hogy a cos és a sin megjelölések felcserélhetők.

Oldja meg a sin 3x - cos 3x = 1 egyenletet

Ebben az egyenletben az együtthatók a következők:

a \u003d, b \u003d -1, ezért mindkét részt elosztjuk \u003d 2-vel

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Óra és előadás a témában: "A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Kézikönyvek és szimulátorok az "Integral" online áruházban az 1C 10. osztályhoz
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív feladatok térépítéshez
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mit fogunk tanulni:
1. Mik azok a trigonometrikus egyenletek?

3. Két fő módszer a trigonometrikus egyenletek megoldására.
4. Homogén trigonometrikus egyenletek.
5. Példák.

Mik azok a trigonometrikus egyenletek?

Srácok, már tanulmányoztuk az arcszinust, arkoszinust, arctangenst és arckotangenst. Most nézzük meg általában a trigonometrikus egyenleteket.

Trigonometrikus egyenletek– egy egyenlet, amelyben a változó a trigonometrikus függvény előjele alatt található.

Megismételjük a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának formáját:

1) Ha |а|≤ 1, akkor a cos(x) = a egyenletnek van megoldása:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ha |а|≤ 1, akkor a sin(x) = a egyenletnek van megoldása:

3) Ha |a| > 1, akkor a sin(x) = a és cos(x) = a egyenletnek nincs megoldása 4) A tg(x)=a egyenletnek van megoldása: x=arctg(a)+ πk

5) A ctg(x)=a egyenletnek van megoldása: x=arcctg(a)+ πk

Minden képletnél k egy egész szám

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek alakja: Т(kx+m)=a, T- tetszőleges trigonometrikus függvény.

Példa.

Oldja meg az egyenleteket: a) sin(3x)= √3/2

Megoldás:

A) Jelöljük 3x=t, majd átírjuk az egyenletünket a következő alakba:

Ennek az egyenletnek a megoldása a következő lesz: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Az értéktáblázatból a következőt kapjuk: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Térjünk vissza a változónkhoz: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ekkor x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Válasz: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ahol n egész szám. (-1)^n - mínusz egy n hatványához.

További példák trigonometrikus egyenletekre.

Oldja meg az egyenleteket: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Megoldás:

A) Ezúttal rögtön az egyenlet gyökereinek kiszámításához térünk át:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ekkor x/5= πk => x=5πk

Válasz: x=5πk, ahol k egész szám.

B) A következő alakban írjuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tudjuk, hogy: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Válasz: x=2π/9 + πk/3, ahol k egész szám.

Oldja meg az egyenleteket: cos(4x)= √2/2. És keresse meg a szegmens összes gyökerét.

Megoldás:

majd eldöntjük Általános nézet egyenletünk: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Most pedig lássuk, milyen gyökerek nyúlnak bele a szegmensünkbe. k esetén Ha k=0, x= π/16, az adott szegmensben vagyunk.
A k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 mellett ismét ütnek.
K=2 esetén x= π/16+ π=17π/16, de itt nem találtunk, ami azt jelenti, hogy nagy k-ra sem fogunk ütni.

Válasz: x= π/16, x= 9π/16

Két fő megoldási mód.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket vettük figyelembe, de vannak bonyolultabbak is. Ezek megoldására egy új változó bevezetésének módszerét és a faktorizációs módszert alkalmazzuk. Nézzünk példákat.

Oldjuk meg az egyenletet:

Megoldás:
Egyenletünk megoldásához egy új változó bevezetésének módszerét használjuk, jelölése: t=tg(x).

A csere eredményeként a következőt kapjuk: t 2 + 2t -1 = 0

Keressük a gyökereket másodfokú egyenlet t=-1 és t=1/3

Ekkor tg(x)=-1 és tg(x)=1/3, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet kaptuk, keressük meg a gyökereit.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Válasz: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Példa egyenlet megoldására

Oldja meg az egyenleteket: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Megoldás:

Használjuk az azonosságot: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Az egyenletünk a következő: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vezessük be a t=cos(x) helyettesítést: 2t 2 -3t - 2 = 0

A másodfokú egyenletünk megoldása a gyökök: t=2 és t=-1/2

Ekkor cos(x)=2 és cos(x)=-1/2.

Mert A koszinusz nem vehet fel egynél nagyobb értékeket, akkor a cos(x)=2-nek nincs gyökere.

cos(x)=-1/2 esetén: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Válasz: x= ±2π/3 + 2πk

Homogén trigonometrikus egyenletek.

Definíció: Az a sin(x)+b cos(x) alakú egyenletet elsőfokú homogén trigonometrikus egyenleteknek nevezzük.

Az alak egyenletei

másodfokú homogén trigonometrikus egyenletek.

Egy elsőfokú homogén trigonometrikus egyenlet megoldásához elosztjuk cos(x)-szel: Lehetetlen koszinuszos osztani, ha az egyenlő nullával, ügyeljünk arra, hogy ez ne így legyen:
Legyen cos(x)=0, akkor asin(x)+0=0 => sin(x)=0, de a szinusz és a koszinusz nem egyenlő nullával egyszerre, ellentmondást kaptunk, így nyugodtan oszthatjuk nullával.

Oldja meg az egyenletet:
Példa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Megoldás:

Vegyük ki a közös tényezőt: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Ezután két egyenletet kell megoldanunk:

cos(x)=0 és cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk esetén;

Tekintsük a cos(x)+sin(x)=0 egyenletet. Osszuk el az egyenletünket cos(x)-szel:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Válasz: x= π/2 + πk és x= -π/4+πk

Hogyan lehet másodfokú homogén trigonometrikus egyenleteket megoldani?
Srácok, mindig tartsátok be ezeket a szabályokat!

1. Nézze meg, mennyivel egyenlő az a együttható, ha a \u003d 0, akkor az egyenletünk a cos (x) (bsin (x) + ccos (x) alakot ölti majd, amelynek megoldására az előző példán található csúszik

2. Ha a≠0, akkor az egyenlet mindkét részét el kell osztani a koszinusz négyzetével, így kapjuk:

Elvégezzük a t=tg(x) változó változtatását, és a következő egyenletet kapjuk:

Példa megoldása #:3

Oldja meg az egyenletet:
Megoldás:

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát koszinusz négyzettel:

Megváltoztatjuk a t=tg(x) változót: t 2 + 2 t - 3 = 0

Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökereit: t=-3 és t=1!

Ekkor: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Válasz: x=-arctg(3) + πk és x= π/4+ πk

Példa megoldása #:4

Oldja meg az egyenletet:

Megoldás:
Alakítsuk át a kifejezésünket:

Ilyen egyenleteket tudunk megoldani: x= - π/4 + 2πk és x=5π/4 + 2πk

Válasz: x= - π/4 + 2πk és x=5π/4 + 2πk

Példa megoldása #:5

Oldja meg az egyenletet:

Megoldás:
Alakítsuk át a kifejezésünket:

Bevezetjük a tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 helyettesítést

A másodfokú egyenletünk megoldása a gyökök: t=-2 és t=1/2

Ekkor a következőt kapjuk: tg(2x)=-2 és tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Válasz: x=-arctg(2)/2 + πk/2 és x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Önálló megoldási feladatok.

1) Oldja meg az egyenletet!

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Oldja meg az egyenleteket: sin(3x)= √3/2. És keresse meg az összes gyökeret a [π/2; π].

3) Oldja meg az egyenletet: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Oldja meg az egyenletet: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Oldja meg az egyenletet: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Oldja meg az egyenletet: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása.

Bármilyen bonyolultságú trigonometrikus egyenletek megoldása végső soron a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához vezet. És ebben ismét a trigonometrikus kör bizonyul a legjobb segítőnek.

Emlékezzünk vissza a koszinusz és a szinusz definíciójára.

A szög koszinusza az egységkör egy pontjának abszcisszája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szöggel való elforgatásnak felel meg.

A szög szinusza az egységkör egy pontjának ordinátája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szöggel való elforgatásnak felel meg.

A trigonometrikus kör mentén történő pozitív mozgásirányt az óramutató járásával ellentétes mozgásnak tekintjük. A 0 fokos (vagy 0 radiános) elforgatás egy (1; 0) koordinátájú pontnak felel meg.

Ezeket a definíciókat használjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására.

1. Oldja meg az egyenletet!

Ezt az egyenletet kielégíti a forgásszög minden olyan értéke, amely megfelel annak a körnek a pontjainak, amelynek ordinátája egyenlő .

Jelöljünk egy pontot ordinátával az y tengelyen:

Rajzoljon egy vízszintes vonalat párhuzamosan az x tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk egy körön fekve és ordinátával. Ezek a pontok a és a radián elforgatási szögeinek felelnek meg:

Ha a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő pontot elhagyva egy teljes kört megkerülünk, akkor a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő és azonos ordinátájú ponthoz jutunk. Vagyis ez a forgásszög is kielégíti az egyenletünket. Tetszőleges számú "üresjárati" fordulatot tehetünk, visszatérve ugyanabba a pontba, és ezek a szögértékek kielégítik az egyenletünket. Az „üresjárati” fordulatok számát a (vagy) betű jelöli. Mivel ezeket a fordulatokat pozitív és negatív irányba is megtehetjük, (vagy ) bármilyen egész értéket felvehet.

Vagyis az eredeti egyenlet megoldásainak első sorozatának alakja:

, , - egész számok halmaza (1)

Hasonlóképpen, a megoldások második sorozatának formája a következő:

, Ahol , . (2)

Ahogy sejtette, ez a megoldássorozat a kör forgásszögének megfelelő pontján alapul.

Ez a két megoldássorozat egy bejegyzésben kombinálható:

Ha ezt a bejegyzést bevesszük (vagyis párost), akkor megkapjuk az első megoldási sorozatot.

Ha ezt a bejegyzést (azaz páratlant) vesszük, akkor a második megoldássort kapjuk.

2. Most oldjuk meg az egyenletet

Mivel a szög átfordításával kapott egységkör pontjának abszcisszája, jelölünk a tengelyen egy pontot az abszcisszával:

Rajzolj egy függőleges vonalat párhuzamosan a tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk egy körön fekve és egy abszcisszával. Ezek a pontok a és a radián elforgatási szögeinek felelnek meg. Emlékezzünk vissza, hogy az óramutató járásával megegyező irányba mozgatva negatív forgásszöget kapunk:

Két megoldássort írunk le:

(A fő teljes körből áthaladva jutunk el a megfelelő ponthoz, azaz.

Foglaljuk össze ezt a két sorozatot egy bejegyzésben:

3. Oldja meg az egyenletet!

Az érintők vonala átmegy az egységkör OY tengellyel párhuzamos koordinátáinak (1,0) pontján

Jelölj rajta egy pontot, amelynek ordinátája egyenlő 1-gyel (azt keressük, amelyik szögeinek érintője 1):

Kösse össze ezt a pontot az origóval egy egyenessel, és jelölje meg az egyenes metszéspontjait az egységkörrel. Az egyenes és a kör metszéspontjai megfelelnek a és a forgási szögeknek:

Mivel az egyenletünket kielégítő elforgatási szögeknek megfelelő pontok radiánnyira helyezkednek el egymástól, a megoldást a következőképpen írhatjuk fel:

4. Oldja meg az egyenletet!

A kotangensek vonala átmegy azon a ponton, ahol az egységkör koordinátái a tengellyel párhuzamosak.

A kotangensek vonalán egy pontot jelölünk az abszcisszával -1:

Csatlakoztassa ezt a pontot az egyenes origójához, és folytassa addig, amíg nem metszi a kört. Ez az egyenes metszi a kört azokban a pontokban, amelyek megfelelnek az elforgatási szögeknek és a radiánoknak: