Zinot vienu no taisnleņķa trijstūra kājām, jūs varat atrast otro kāju un hipotenūzu, izmantojot trigonometriskās attiecības - zināmā leņķa sinusu un tangensu. Tā kā leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu ir vienāda ar šī leņķa sinusu, tāpēc, lai atrastu hipotenūzu, kāja ir jāsadala ar leņķa sinusu. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Otro kāju var atrast no zināmā leņķa pieskares kā zināmās kājas attiecību pret tangensu. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Lai aprēķinātu nezināmo leņķi taisnleņķa trijstūrī, no 90 grādiem jāatņem leņķis α. β=90°-α

Perimetrs un platība taisnleņķa trīsstūris caur kāju un tai pretējo leņķi var izteikt, formulās aizstājot iepriekš iegūtos otrā posma un hipotenūzas izteiksmes. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Augstumu var aprēķināt arī caur trigonometriskām attiecībām, bet jau iekšējā taisnleņķa trīsstūrī ar malu a, kuru tas veido. Lai to izdarītu, jums ir nepieciešama mala a kā šāda trīsstūra hipotenūza, kas reizināta ar leņķa β sinusu vai kosinusu α, jo saskaņā ar trigonometriskās identitātes tie ir līdzvērtīgi. (79.2. att.) h=a cos⁡α

Hipotenūzas mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas vai zināmās kājas a dalīta ar diviem sinusiem α. Lai atrastu kāju mediānas, mēs izveidojam formulas atbilstošā formā zināma puse un stūriem. (79.3. att.) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Tā kā taisnā leņķa bisektrise trijstūrī ir divu malu un divu saknes reizinājums, dalīts ar šo malu summu, aizstājot vienu no kātiem ar zināmās kājas attiecību pret pieskari, mēs iegūstam sekojošo. izteiksme. Līdzīgi, aizstājot attiecību otrajā un trešajā formulā, var aprēķināt leņķu α un β bisektrise. (79.4. att.) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Vidējā līnija iet paralēli vienai no trijstūra malām, veidojot citu līdzīgu taisnleņķa trīsstūri ar vienādiem leņķiem, kurā visas malas ir uz pusi mazākas par sākotnējo. Pamatojoties uz to, vidējās līnijas var atrast, izmantojot šādas formulas, zinot tikai kāju un tai pretējo leņķi. (79.7. att.) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Ierakstītā apļa rādiuss ir vienāds ar starpību starp kājām un hipotenūzu, dalītu ar diviem, un, lai atrastu ierobežotā apļa rādiusu, hipotenūza jāsadala ar diviem. Otro kāju un hipotenūzu aizstājam ar kājas a attiecībām pret sinusu un tangensu. (79.5., 79.6. att.) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Izmantojiet kalkulatoru, lai atrastu kvadrātsakni no starpības starp hipotenūzu kvadrātā un zināmo kāju, arī kvadrātā. Kāju sauc blakus pareizā leņķī taisnleņķa trijstūra malu. Šī izteiksme ir iegūta no Pitagora teorēmas, kas nosaka, ka trijstūra hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

Pirms aplūkojam dažādus veidus, kā atrast kāju taisnleņķa trijstūrī, pieņemsim dažus apzīmējumus. Pārbaudiet, kurš no uzskaitītajiem gadījumiem atbilst jūsu problēmas stāvoklim, un atkarībā no tā izpildiet atbilstošo rindkopu. Uzziniet, kādi daudzumi aplūkotajā trīsstūrī jums ir zināmi. Lai aprēķinātu kāju, izmantojiet šādu izteiksmi: a=sqrt(c^2-b^2), ja zināt hipotenūzas un otras kājas vērtības.

Attiecības starp šīs ģeometriskās figūras malām un leņķiem ir detalizēti aplūkotas trigonometrijas matemātiskajā disciplīnā. Lai piemērotu šo vienādojumu, jums jāzina taisnleņķa trijstūra jebkuru divu malu garums.

Aprēķiniet vienas kājas garumu, ja ir zināmi hipotenūzas un otras kājas izmēri. Ja uzdevumā ir norādīta hipotenūza un viens no tai blakus esošajiem asajiem leņķiem, izmantojiet Bredisa tabulas.

Iekšējais trīsstūris būs līdzīgs ārējam, jo ​​vidējās līnijas ir paralēlas kājām un hipotenūzai un ir vienādas ar to pusēm. Tā kā hipotenūza nav zināma, lai atrastu viduslīniju M_c, jums ir jāaizstāj Pitagora teorēmas radikālis.

Hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra garākā mala. Tas atrodas pretī pareizajam leņķim. Hipotenūzas garumu var noteikt dažādos veidos. Ja ir zināms abu kāju garums, tad tā lielumu aprēķina pēc Pitagora teorēmas: abu kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. Zinot, ka visu leņķu summa ir 180 °, mēs atņemam taisno leņķi un jau zināmo.

Aprēķinot taisnleņķa trīsstūra parametrus, ir svarīgi pievērst uzmanību zināmajām vērtībām un atrisināt problēmu, izmantojot vienkāršāko formulu. Vispirms atcerēsimies, kas ir taisnleņķa trīsstūris. Taisnais trīsstūris ir ģeometriskā figūra no trim segmentiem, kas savieno punktus, kas neatrodas vienā taisnē, un viens no šī attēla leņķiem ir 90 grādi. Ir vairāki veidi, kā uzzināt kājas garumu.

Formula: c²=a²+b², kur c ir hipotenūza, a un b ir kājas

Ja zinām hipotenūzu un kāju, tad nezināmās kājas garumu varam atrast, izmantojot Pitagora teorēmu. Tas izklausās šādi: "Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu." Ir četras iespējas, kā atrast kāju, izmantojot trigonometriskās funkcijas: pēc sinusa, kosinusa, pieskares, kotangensa. Leņķa sinuss (sin) ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. Formula: sin \u003d a / c, kur a ir kāja, kas atrodas pretī dotajam leņķim, un c ir hipotenūza.

Taisnleņķa trīsstūru neparastās īpašības atklāja sengrieķu zinātnieks Pitagors, kurš atklāja, ka hipotenūzas kvadrāts šādos trīsstūros ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

Augstums ir perpendikuls no jebkuras trijstūra virsotnes uz pretējā puse(vai tā turpinājums, trijstūrim ar neasu leņķi). Trijstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc par ortocentru. Ja tas ir patvaļīgs taisnleņķa trīsstūris, tad nav pietiekami daudz datu.

Tāpat ir noderīgi zināt trigonometrisko funkciju vērtības tipiskākajiem leņķiem 30, 45, 60, 90, 180 grādi. Ja nosacījumi norāda kāju izmērus, atrodiet hipotenūzas garumu. Dzīvē mums bieži nākas saskarties ar matemātikas uzdevumi: skolā, universitātē un pēc tam palīdzot bērnam pildīt mājas darbus.

Tālāk mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a=sin*c

Lai atrisinātu problēmas, mums palīdzēs tālāk esošā tabula. Apsvērsim šīs iespējas. Interesants īpašs gadījums ir tad, kad viens no asajiem leņķiem ir vienāds ar 30 grādiem.

Atsevišķu profesiju pārstāvji ar matemātiku saskarsies ikdienā.

Ir iespējams arī atrast nezināmu kāju, ja ir zināma taisnleņķa trijstūra jebkura cita mala un jebkurš akūts leņķis. Atrodiet taisnleņķa trijstūra malu, izmantojot Pitagora teorēmu. Tāpat taisnleņķa trijstūra malas var atrast, izmantojot dažādas formulas, atkarībā no zināmo mainīgo skaita.

Pirms atrodat trijstūra hipotenūzu, jums ir jānoskaidro, kādas īpašības ir šim skaitlim. Apsvērsim galvenos:

1. Taisnstūrī abi asie leņķi kopā veido 90º.
2. Kāja, kas atrodas pretī 30º leņķim, būs vienāda ar ½ no hipotenūzas.
3. Ja kāja ir vienāda ar ½ no hipotenūzas vērtības, tad otrajam leņķim būs tāda pati vērtība - 30º.

Ir vairāki veidi, kā atrast hipotenūzu taisnleņķa trijstūrī. visvairāk vienkāršs risinājums ir aprēķins caur kājām. Pieņemsim, ka jūs zināt malu A un B kāju vērtības. Tad palīgā nāk Pitagora teorēma, kas mums saka, ka katras kājas vērtību kvadrātā un iegūtos datus summējot, mēs uzzināsim, kāda ir hipotenūza. ir. Tāpēc mums vienkārši jāatgūst vērtība kvadrātsakne:

Piemēram, ja kāja A = 3 cm un kāja B = 4 cm, tad aprēķins izskatītos šādi:

Kā atrast hipotenūzu caur leņķi?

Vēl viens veids, kā palīdzēt noskaidrot, ar ko ir vienāda hipotenūza taisnleņķa trijstūrī, ir aprēķināt, izmantojot noteiktu leņķi. Lai to izdarītu, mums ir jāatvasina vērtība, izmantojot sinusa formulu. Pieņemsim, ka mēs zinām kājas vērtību (A) un pretējā leņķa vērtību (α). Tad viss risinājums ir vienā formulā: С=А/sin(α).

Piemēram, ja kājas garums ir 40 cm un leņķis ir 45°, tad hipotenūzas garumu var iegūt šādi:

Varat arī noteikt vēlamo vērtību, izmantojot kosinusu dots leņķis. Pieņemsim, ka mēs zinām vienas kājas (B) un akūtā iekļautā leņķa (α) vērtību. Tad uzdevuma atrisināšanai nepieciešama viena formula: С=В/ cos(α).

Piemēram, ja kājas garums ir 50 cm un leņķis ir 45°, tad hipotenūzu var aprēķināt šādi:

Tādējādi mēs pārbaudījām galvenos veidus, kā noskaidrot hipotenūzu trīsstūrī. Uzdevuma risināšanas gaitā ir svarīgi koncentrēties uz pieejamajiem datiem, tad nezināmās vērtības atrašana būs pavisam vienkārša. Jums jāzina tikai dažas formulas, un problēmu risināšanas process kļūs vienkāršs un patīkams.

Starp daudzajiem aprēķiniem, kas veikti, lai aprēķinātu noteiktus dažādu daudzumu, ir trijstūra hipotenūzas atrašana. Atcerieties, ka trīsstūris ir daudzskaldnis ar trim leņķiem. Tālāk ir sniegti vairāki veidi, kā aprēķināt dažādu trīsstūru hipotenūzu.

Vispirms redzēsim, kā atrast taisnleņķa trijstūra hipotenūzu. Tiem, kas ir aizmirsuši, taisnleņķa trīsstūris ir trīsstūris ar 90 grādu leņķi. Trijstūra malu, kas atrodas taisnā leņķa pretējā pusē, sauc par hipotenūzu. Turklāt tā ir trijstūra garākā mala. Atkarībā no zināmajām vērtībām hipotenūzas garumu aprēķina šādi:

• Kāju garums ir zināms. Hipotenūza šajā gadījumā tiek aprēķināta, izmantojot Pitagora teorēmu, kas ir šāda: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Ja mēs uzskatām taisnleņķa trīsstūri BKF, kur BK un KF ir kājas, un FB ir hipotenūza, tad FB2= BK2+ KF2. No iepriekš minētā izriet, ka, aprēķinot hipotenūzas garumu, katra kājas vērtība ir jāliek kvadrātā pēc kārtas. Pēc tam saskaitiet skaitļus un iegūstiet rezultāta kvadrātsakni.

Apsveriet piemēru: dots trīsstūris ar taisnu leņķi. Viena kāja ir 3 cm, otra 4 cm. Atrodiet hipotenūzu. Risinājums izskatās šādi.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Izvelciet un iegūstiet FB=5cm.

• Zināmā kāja (BK) un tai piegulošais leņķis, ko veido hipotenūza un šī kāja. Kā atrast trijstūra hipotenūzu? Apzīmēsim zināmo leņķi kā α. Saskaņā ar īpašību, kas saka, ka kājas garuma attiecība pret hipotenūzas garumu ir vienāda ar leņķa kosinusu starp šo kāju un hipotenūzu. Ņemot vērā trīsstūri, to var uzrakstīt šādi: FB= BK*cos(α).
• Kāja (KF) un tas pats leņķis α ir zināms, tikai tagad tas jau būs pretējs. Kā šajā gadījumā atrast hipotenūzu? Pievērsīsimies tām pašām taisnleņķa trijstūra īpašībām un noskaidrosim, ka kājas garuma attiecība pret hipotenūzas garumu ir vienāda ar kājai pretējā leņķa sinusu. Tas ir, FB= KF * grēks (α).

Apskatīsim piemēru. Dots tāds pats taisnleņķa trīsstūris BKF ar hipotenūzu FB. Lai leņķis F ir vienāds ar 30 grādiem, otrais leņķis B atbilst 60 grādiem. Zināma arī kāja BK, kuras garums atbilst 8 cm Vēlamo vērtību var aprēķināt šādi:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Zināms ar (R), apzīmēts ap trijstūri ar taisnu leņķi. Kā atrast hipotenūzu, apsverot šādu problēmu? No tāda apļa īpašībām, kas ir norobežots ap trijstūri ar taisnu leņķi, ir zināms, ka šāda apļa centrs sakrīt ar hipotenūzas punktu, kas to sadala uz pusēm. Vienkāršiem vārdiem sakot- rādiuss atbilst pusei no hipotenūzas. Tādējādi hipotenūza ir vienāda ar diviem rādiusiem. FB=2*R. Ja tomēr ir dota līdzīga problēma, kurā ir zināms nevis rādiuss, bet mediāna, tad jāpievērš uzmanība apļa īpašībai ap trijstūri ar taisnu leņķi, kas saka, ka rādiuss ir vienāds ar mediāna, kas novilkta līdz hipotenūzai. Izmantojot visas šīs īpašības, problēma tiek atrisināta tādā pašā veidā.

Ja jautājums ir par to, kā atrast vienādsānu taisnstūra trīsstūra hipotenūzu, tad ir jāgriežas pie tās pašas Pitagora teorēmas. Bet, pirmkārt, atcerieties, ka vienādsānu trīsstūris ir trīsstūris, kuram ir divas identiskas malas. Taisnstūra trīsstūra gadījumā kājas ir vienādas. Mums ir FB2= BK2+ KF2, bet tā kā BK= KF mums ir šādi: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Kā redzat, zinot Pitagora teorēmu un taisnleņķa trijstūra īpašības, atrisināt uzdevumus, kuros nepieciešams aprēķināt hipotenūzas garumu, ir ļoti vienkārši. Ja ir grūti atcerēties visas īpašības, apgūstiet gatavas formulas, aizstājot zināmās vērtības, kurās varat aprēķināt nepieciešamo hipotenūzas garumu.

Instrukcija

Leņķi, kas atrodas pretī kājām a un b, tiks apzīmēti attiecīgi ar A un B. asi stūri). Apzīmēsim hipotenūzas garumu ar s.

Jums būs nepieciešams:
Kalkulators.

Kājai izmantojiet šādu izteiksmi: a=sqrt(c^2-b^2), ja zināt hipotenūzas un otras kājas vērtības. Šī izteiksme ir iegūta no Pitagora teorēmas, kas nosaka, ka trijstūra hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Operators sqrt apzīmē kvadrātsaknes ņemšanu. Zīme "^2" nozīmē paaugstināšanu līdz otrajai pakāpei.

Izmantojiet formulu a=c*sinA, ja zināt hipotenūzu (c) un leņķi, kas atrodas pretī vajadzīgajai kājai (šo leņķi mēs apzīmējām kā A).
Izmantojiet izteiksmi a=c*cosB, lai atrastu kāju, ja zināt hipotenūzu (c) un leņķi, kas atrodas blakus vajadzīgajai kājai (šo leņķi mēs norādījām kā B).
Aprēķiniet kāju, izmantojot formulu a = b * tgA gadījumā, ja ir norādīta kāja b un leņķis, kas atrodas pretī vēlamajai kājai (mēs vienojāmies apzīmēt šo leņķi A).

Piezīme:
Ja jūsu uzdevumā kāja netiek atrasta ar kādu no aprakstītajām metodēm, visticamāk, to var reducēt uz kādu no tām.

Noderīgi padomi:
Visas šīs izteiksmes ir iegūtas no labi zināmajām trigonometrisko funkciju definīcijām, tāpēc pat ja esat aizmirsis kādu no tām, vienmēr varat to ātri iegūt ar vienkāršām darbībām. Tāpat ir noderīgi zināt trigonometrisko funkciju vērtības tipiskākajiem leņķiem 30, 45, 60, 90, 180 grādi.