Kvadrātvienādojumi tiek pētīti 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir būtiska.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a , b un c ir patvaļīgi skaitļi un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes mēs atzīmējam, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

1. nav sakņu;
2. Viņiem ir tieši viena sakne;
3. Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējošs.

Diskriminējošais

Lai tas tiek dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0. Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac .

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc daudzi domā. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Mēs rakstām pirmā vienādojuma koeficientus un atrodam diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu tādā pašā veidā:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais vienādojums paliek:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir vienāds ar nulli - sakne būs viens.

Ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir izrakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet stulbas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs "piepildīsit roku", pēc kāda laika jums vairs nebūs jāraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50-70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemat to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un pratīsi skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, ja formulā tiek aizstāti negatīvi koeficienti. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: aplūkojiet formulu burtiski, krāsojiet katru soli - un ļoti drīz atbrīvojieties no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2–16 = 0.

Ir viegli redzēt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b \u003d c \u003d 0. Šajā gadījumā vienādojuma forma ir ax 2 \u003d 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viens sakne: x \u003d 0.

Apskatīsim citus gadījumus. Ļaujiet b \u003d 0, tad mēs iegūstam nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c \u003d 0. Nedaudz pārveidosim to:

Tā kā aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai tad, ja (-c / a ) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 + c = 0 apmierina nevienādību (−c / a ) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (-c / a )< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs - nepilnīgos kvadrātvienādojumos sarežģītu aprēķinu vispār nav. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c / a ) ≥ 0. Pietiek izteikt x 2 vērtību un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad aplūkosim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek ar polinomu faktorizēt:

Kopējā faktora izņemšana no kronšteina

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā mēs analizēsim vairākus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x2 – 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Pēc tam, kad esam izpētījuši vienādību jēdzienu, proti, vienu no to veidiem - skaitliskās vienādības, mēs varam pāriet uz citu svarīgs skats- vienādojumi. Šī materiāla ietvaros mēs izskaidrosim, kas ir vienādojums un tā sakni, formulēsim galvenās definīcijas un sniegsim dažādi piemēri vienādojumi un to sakņu atrašana.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vienādojuma jēdziens

Parasti vienādojuma jēdziens tiek pētīts pašā sākumā. skolas kurss algebra. Tad tas tiek definēts šādi:

1. definīcija

Vienādojums sauc par vienlīdzību ar nezināmu skaitli, kas jāatrod.

Nezināmos ir pieņemts apzīmēt ar maziem latīņu burtiem, piemēram, t, r, m u.c., bet visbiežāk tiek lietoti x, y, z. Citiem vārdiem sakot, vienādojums nosaka tā ierakstīšanas formu, tas ir, vienlīdzība būs vienādojums tikai tad, kad tas tiks novests līdz noteiktai formai - tajā jāsatur burts, kura vērtība ir jāatrod.

Sniegsim dažus vienkāršāko vienādojumu piemērus. Tās var būt vienādības formā x = 5, y = 6 utt., kā arī tādas, kas ietver aritmētiskas darbības, piemēram, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

Pēc iekavu jēdziena izpētes parādās vienādojumu ar iekavām jēdziens. Tajos ietilpst 7 (x − 1) = 19 , x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 utt. Atrastais burts var parādīties vairāk nekā vienu reizi, bet vairāki, kā, piemēram, vienādojums x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . Tāpat nezināmie var atrasties ne tikai kreisajā, bet arī labajā vai abās daļās vienlaikus, piemēram, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 vai 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Tālāk, pēc tam, kad studenti iepazīstas ar jēdzienu vesels, reāls, racionāls, naturālie skaitļi, kā arī logaritmi, saknes un pilnvaras, parādās jauni vienādojumi, kas ietver visus šos objektus. Šādu izteicienu piemēriem esam veltījuši atsevišķu rakstu.

Programmā 7. klasei vispirms parādās mainīgo lielumu jēdziens. Tie ir burti, kuriem var būt dažādas vērtības (sīkāku informāciju skatiet rakstā par skaitļiem, burtiem un izteiksmēm ar mainīgajiem). Pamatojoties uz šo koncepciju, mēs varam no jauna definēt vienādojumu:

2. definīcija

Vienādojums ir vienādība, kas ietver mainīgo, kura vērtība ir jāaprēķina.

Tas ir, piemēram, izteiksme x + 3 \u003d 6 x + 7 ir vienādojums ar mainīgo x, un 3 y − 1 + y \u003d 0 ir vienādojums ar mainīgo y.

Vienā vienādojumā var būt nevis viens mainīgais, bet gan divi vai vairāki. Tos attiecīgi sauc par vienādojumiem ar diviem, trīs mainīgajiem utt. Uzrakstīsim definīciju:

3. definīcija

Vienādojumus ar diviem (trīs, četriem vai vairāk) mainīgajiem sauc par vienādojumiem, kas ietver atbilstošu skaitu nezināmo.

Piemēram, formas 3, 7 x + 0, 6 = 1 vienādojums ir vienādojums ar vienu mainīgo x, un x − z = 5 ir vienādojums ar diviem mainīgajiem x un z. Vienādojuma ar trīs mainīgajiem piemērs varētu būt x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Vienādojuma sakne

Kad mēs runājam par vienādojumu, nekavējoties kļūst nepieciešams definēt tā saknes jēdzienu. Mēģināsim paskaidrot, ko tas nozīmē.

1. piemērs

Mums ir dots vienādojums, kas ietver vienu mainīgo. Ja tā vietā aizstājam nezināma vēstule skaitlis, tad vienādojums kļūs par skaitlisko vienādību – patiesu vai nepatiesu. Tātad, ja vienādojumā a + 1 \u003d 5 mēs aizstājam burtu ar skaitli 2, tad vienādība kļūs nepareiza, un, ja 4, tad mēs iegūsim pareizo vienādību 4 + 1 \u003d 5.

Mūs vairāk interesē tieši tās vērtības, ar kurām mainīgais pārvērtīsies par patiesu vienlīdzību. Tos sauc par saknēm vai risinājumiem. Pierakstīsim definīciju.

4. definīcija

Vienādojuma sakne nosauciet mainīgā vērtību, kas pārvērš doto vienādojumu par patiesu vienādību.

Sakni var saukt arī par lēmumu vai otrādi – abi šie jēdzieni nozīmē vienu un to pašu.

2. piemērs

Ņemsim piemēru, lai precizētu šo definīciju. Iepriekš mēs sniedzām vienādojumu a + 1 = 5 . Saskaņā ar definīciju sakne šajā gadījumā būs 4, jo, aizstājot burtu, tas dod pareizo skaitlisko vienādību, un divi nebūs risinājums, jo tas atbilst nepareizai vienādībai 2 + 1 \u003d 5.

Cik sakņu var būt vienam vienādojumam? Vai katram vienādojumam ir sakne? Atbildēsim uz šiem jautājumiem.

Pastāv arī vienādojumi, kuriem nav vienas saknes. Piemērs varētu būt 0 x = 5 . Mēs varam tajā ievietot bezgalīgi daudz dažādu skaitļu, taču neviens no tiem nepārvērsīs to par patiesu vienādību, jo, reizinot ar 0, vienmēr tiek iegūts 0 .

Ir arī vienādojumi, kuriem ir vairākas saknes. Viņiem var būt gan ierobežots, gan bezgalīgi daudz sakņu.

3. piemērs

Tātad vienādojumā x - 2 \u003d 4 ir tikai viena sakne - seši, x 2 \u003d 9 divas saknes - trīs un mīnus trīs, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 trīs saknes - nulle, viens un divi, vienādojumā x=x ir bezgala daudz sakņu.

Tagad mēs paskaidrosim, kā pareizi uzrakstīt vienādojuma saknes. Ja tādu nav, mēs rakstām šādi: "vienādojumam nav sakņu." Arī šajā gadījumā var norādīt tukšās kopas zīmi ∅ . Ja ir saknes, tad tās rakstām atdalot ar komatiem vai norādām kā kopas elementus, ieliekot cirtainās iekavās. Tātad, ja kādam vienādojumam ir trīs saknes - 2, 1 un 5, tad mēs rakstām - 2, 1, 5 vai (- 2, 1, 5) .

Atļauts rakstīt saknes vienkāršāko vienādību formā. Tātad, ja vienādojumā nezināmais ir apzīmēts ar burtu y un saknes ir 2 un 7, tad mēs rakstām y \u003d 2 un y \u003d 7. Dažreiz burtiem tiek pievienoti apakšindeksi, piemēram, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Tādējādi mēs norādām sakņu numurus. Ja vienādojumā ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, tad atbildi rakstām kā skaitlisku intervālu vai izmantojam vispārpieņemtu apzīmējumu: naturālo skaitļu kopu apzīmē ar N, veselus skaitļus - Z, reālos skaitļus - R. Pieņemsim, ja mums jāuzraksta, ka vienādojuma atrisinājums būs jebkurš vesels skaitlis, tad rakstām, ka x ∈ Z, un, ja kāds reālais skaitlis ir no viena līdz deviņiem, tad y ∈ 1, 9.

Ja vienādojumam ir divas, trīs vai vairāk saknes, tad, kā likums, viņi nerunā par saknēm, bet gan par vienādojuma risinājumiem. Mēs formulējam risinājuma definīciju vienādojumam ar vairākiem mainīgajiem.

5. definīcija

Vienādojuma risinājums ar diviem, trim vai vairākiem mainīgajiem ir divas, trīs vai vairākas mainīgo vērtības, kas pārvērš šo vienādojumu par patiesu skaitlisko vienādību.

Paskaidrosim definīciju ar piemēriem.

4. piemērs

Pieņemsim, ka mums ir izteiksme x + y = 7 , kas ir vienādojums ar diviem mainīgajiem. Aizstāt vienu ar pirmo un divus ar otro. Mēs iegūstam nepareizu vienādību, kas nozīmē, ka šis vērtību pāris nebūs šī vienādojuma risinājums. Ja ņemam pāri 3 un 4, tad vienādība kļūst patiesa, kas nozīmē, ka esam atraduši risinājumu.

Šādiem vienādojumiem var arī nebūt sakņu vai to skaits var būt bezgalīgs. Ja mums ir jāpieraksta divas, trīs, četras vai vairāk vērtības, mēs tās rakstām atdalot ar komatiem iekavās. Tas nozīmē, ka iepriekš minētajā piemērā atbilde izskatīsies šādi (3 , 4) .

Praksē visbiežāk nākas saskarties ar vienādojumiem, kas satur vienu mainīgo. To risināšanas algoritmu mēs detalizēti apsvērsim vienādojumu risināšanai veltītajā rakstā.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Vienādojumus cilvēki ir izmantojuši kopš seniem laikiem, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Diezgan bieži saknes zīme ir atrodama vienādojumos, un daudzi kļūdaini uzskata, ka šādus vienādojumus ir grūti atrisināt. Šādiem vienādojumiem matemātikā ir īpašs termins, ko sauc par vienādojumiem ar sakni - iracionālie vienādojumi.

Galvenā atšķirība vienādojumu risināšanā ar sakni no citiem vienādojumiem, piemēram, kvadrātveida, logaritmiskiem, lineāriem, ir tā, ka tiem nav standarta risinājuma algoritma. Tāpēc, lai atrisinātu iracionālu vienādojumu, ir nepieciešams analizēt sākotnējos datus un izvēlēties piemērotāku risinājumu.

Vairumā gadījumu, lai atrisinātu šāda veida vienādojumus, tiek izmantota metode, kā abas vienādojuma daļas paaugstina vienādās pakāpēs.

Pieņemsim, ka ir dots šāds vienādojums:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Mēs izlīdzinām abas vienādojuma puses kvadrātā:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], no kurienes secīgi iegūstam:

Saņemot kvadrātvienādojumu, mēs atrodam tā saknes:

Atbilde: \

Ja šīs vērtības aizstājam vienādojumā, mēs iegūsim pareizo vienādību, kas norāda uz iegūto datu pareizību.

Kur es varu atrisināt vienādojumu ar saknēm, izmantojot tiešsaistes risinātāju?

Jūs varat atrisināt vienādojumu mūsu vietnē https: //. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumu. Viss, kas jums jādara, ir tikai ievadīt savus datus risinātājā. Varat arī noskatīties video instrukciju un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu mūsu vietnē. Un, ja jums ir kādi jautājumi, varat tos uzdot mūsu Vkontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.

Pašvaldības izglītības iestāde

"Kudinskas 2. vidusskola"

Iracionālu vienādojumu risināšanas veidi

Pabeidza: Egorova Olga,

Pārraugs:

Skolotājs

matemātika,

augstāka kvalifikācija

Ievads....……………………………………………………………………………………… 3

1. sadaļa. Iracionālu vienādojumu risināšanas metodes…………………………………6

1.1 C daļas iracionālo vienādojumu atrisināšana……….….….……………………21

2. sadaļa. Individuālie uzdevumi…………………………………………….....………...24

Atbildes………………………………………………………………………………………….25

Bibliogrāfija…….…………………………………………………………………….26

Ievads

gadā iegūtā matemātikas izglītība vispārizglītojošā skola, ir vissvarīgākā sastāvdaļa vispārējā izglītība un vispārējā kultūra mūsdienu cilvēks. Gandrīz viss, kas ieskauj mūsdienu cilvēku, ir vienā vai otrā veidā saistīts ar matemātiku. Un jaunākie sasniegumi fizikā, inženierzinātnēs un informācijas tehnoloģijās neatstāj šaubas, ka arī turpmāk situācija paliks tāda pati. Tāpēc daudzu lēmums praktiski uzdevumi nonāk līdz lēmumam dažāda veida vienādojumi, lai uzzinātu, kā tos atrisināt. Viens no šiem veidiem ir iracionālie vienādojumi.

Iracionālie vienādojumi

Vienādojumu, kas satur nezināmu (vai racionālu algebrisku izteiksmi no nezināmā) zem radikālas zīmes sauc iracionāls vienādojums. Elementārajā matemātikā iracionālu vienādojumu risinājumus meklē reālo skaitļu kopā.

Jebkuru iracionālu vienādojumu ar elementāru algebrisko operāciju palīdzību (reizināšanu, dalīšanu, abu vienādojuma daļu paaugstināšanu līdz veselam skaitlim) var reducēt līdz racionālam algebriskam vienādojumam. Jāpatur prātā, ka iegūtais racionālais algebriskais vienādojums var nebūt līdzvērtīgs sākotnējam iracionālajam vienādojumam, proti, tajā var būt "papildus" saknes, kas nebūs sākotnējā iracionālā vienādojuma saknes. Tāpēc, atrodot saknes iegūto racionālu algebriskais vienādojums, ir jāpārbauda, ​​vai visas racionālā vienādojuma saknes ir iracionālā vienādojuma saknes.

Kopumā ir grūti norādīt kādu universāla metode jebkura iracionālā vienādojuma atrisinājums, jo ir vēlams, lai sākotnējā iracionālā vienādojuma transformāciju rezultātā tiktu iegūts ne tikai kaut kāds racionāls algebriskais vienādojums, kura sakņu vidū būs šī iracionālā vienādojuma saknes, bet gan racionāls algebriskais vienādojums, kas izveidots no iespējami mazākās pakāpes polinomiem. Vēlme iegūt šo racionālo algebrisko vienādojumu, kas veidots no iespējami mazākās pakāpes polinomiem, ir gluži dabiska, jo visu racionālā algebriskā vienādojuma sakņu atrašana pati par sevi var būt diezgan sarežģīts uzdevums, kuru mēs varam pilnībā atrisināt tikai ļoti ierobežotā skaitā. gadījumu.

Iracionālo vienādojumu veidi

Iracionālu vienādojumu risināšana vienmērīgs grāds vienmēr zvana vairāk problēmu nekā nepāra pakāpes iracionālu vienādojumu risinājums. Atrisinot nepāra pakāpes iracionālus vienādojumus, ODZ nemainās. Tāpēc tālāk aplūkosim iracionālos vienādojumus, kuru pakāpe ir pāra. Ir divu veidu neracionālie vienādojumi:

2..

Apskatīsim pirmo no tiem.

Odz vienādojums: f(x)≥ 0. ODZ vienādojuma kreisā puse vienmēr nav negatīva, tāpēc risinājums var pastāvēt tikai tad, kad g(x)≥ 0. Šajā gadījumā abas vienādojuma puses nav negatīvas, un eksponenci 2 n dod līdzvērtīgu vienādojumu. Mēs to saņemam

Pievērsīsim uzmanību tam, ka kamēr ODZ tiek veikts automātiski, un jūs nevarat to rakstīt, bet gan nosacījumug(x) ≥ 0 ir jāpārbauda.

Piezīme: Tas ir ļoti svarīgs līdzvērtības nosacījums. Pirmkārt, tas atbrīvo studentu no nepieciešamības izpētīt, un pēc risinājumu atrašanas pārbaudiet nosacījumu f(x) ≥ 0 - saknes izteiksmes nenegatīvums. Otrkārt, tā koncentrējas uz stāvokļa pārbaudig(x) ≥ 0 ir labās puses nenegatīvums. Galu galā pēc kvadrātošanas vienādojums ir atrisināts i., uzreiz tiek atrisināti divi vienādojumi (bet dažādos skaitliskās ass intervālos!):

1. - kur g(x)≥ 0 un

2. - kur g(x) ≤ 0.

Tikmēr daudzi saskaņā ar skolas ieradumu atrast ODZ, risinot šādus vienādojumus, rīkojas tieši pretēji:

a) pēc risinājumu atrašanas pārbauda nosacījumu f(x) ≥ 0 (kas automātiski izpildās), pieļauj aritmētiskās kļūdas un iegūsti nepareizu rezultātu;

b) ignorēt nosacījumug(x) ≥ 0 - un atkal atbilde var būt nepareiza.

Piezīme: Ekvivalences nosacījums ir īpaši noderīgs, risinot trigonometriskos vienādojumus, kuros ODZ atrašana ir saistīta ar trigonometrisko nevienādību atrisināšanu, kas ir daudz grūtāk nekā trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Reģistrēties trigonometriskie vienādojumi vienmērīgi apstākļi g(x)≥ 0 ne vienmēr ir viegli izdarīt.

Apsveriet otrā veida iracionālos vienādojumus.

. Ļaujiet vienādojumu . Viņa ODZ:

ODZ abas puses nav negatīvas, un kvadrātā tiek iegūts līdzvērtīgs vienādojums f(x) =g(x). Tāpēc ODZ vai

Izmantojot šo risināšanas metodi, pietiek pārbaudīt vienas funkcijas nenegatīvismu - varat izvēlēties vienkāršāku.

1. sadaļa. Iracionālu vienādojumu risināšanas metodes

1 metode. Atbrīvošanās no radikāļiem, secīgi paaugstinot abas vienādojuma puses līdz atbilstošajam dabiskajam spēkam

Visbiežāk izmantotā metode iracionālu vienādojumu risināšanai ir metode, kā atbrīvoties no radikāļiem, secīgi paaugstinot abas vienādojuma daļas līdz atbilstošajai dabiskajai pakāpei. Šajā gadījumā jāpatur prātā, ka, ja abas vienādojuma daļas tiek paaugstinātas līdz nepāra pakāpei, iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam, un, ja abas vienādojuma daļas tiek paaugstinātas līdz pāra pakāpei, iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam. vienādojums, vispārīgi runājot, nebūs līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam. To var viegli pārbaudīt, paaugstinot abas vienādojuma puses līdz jebkurai vienmērīgai jaudai. Šīs darbības rezultātā tiek iegūts vienādojums , kuras risinājumu kopa ir risinājumu kopu savienība: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Tomēr, neskatoties uz Šis trūkums ir tas, ka abas vienādojuma daļas paaugstina līdz noteiktai (bieži vien pat) pakāpei, kas ir visizplatītākā procedūra neracionāla vienādojuma reducēšanai par racionālu vienādojumu.

Atrisiniet vienādojumu:

Kur ir daži polinomi. Pamatojoties uz reālo skaitļu kopas saknes izvilkšanas operācijas definīciju, nezināmā pieļaujamās vērtības https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Tā kā 1. vienādojuma abas daļas bija kvadrātā, var izrādīties, ka ne visas 2. vienādojuma saknes būs sākotnējā vienādojuma atrisinājumi, nepieciešams pārbaudīt saknes.

Atrisiniet vienādojumu:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Paceļot abas vienādojuma puses kubā, mēs iegūstam

Ņemot vērā, ka https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(pēdējam vienādojumam var būt saknes, kas, vispārīgi runājot, nav saknes vienādojums ).

Mēs paaugstinām abas šī vienādojuma puses par kubu: . Pārrakstām vienādojumu formā x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Pārbaudot, mēs konstatējam, ka x1 = 0 ir vienādojuma (-2 ≠ 1) sveša sakne, un x2 = 1 apmierina sākotnējais vienādojums.

Atbilde: x = 1.

2 metode. Blakus esošās nosacījumu sistēmas aizstāšana

Risinot iracionālus vienādojumus, kas satur pāra secības radikāļus, atbildēs var parādīties svešas saknes, kuras ne vienmēr ir viegli identificēt. Lai būtu vieglāk identificēt un izmest svešas saknes, neracionālu vienādojumu risināšanas gaitā to nekavējoties aizstāj ar blakus esošo nosacījumu sistēmu. Papildu nevienādības sistēmā faktiski ņem vērā atrisināmā vienādojuma ODZ. Jūs varat atrast ODZ atsevišķi un ņemt to vērā vēlāk, taču vēlams izmantot jauktas nosacījumu sistēmas: ir mazāka iespēja kaut ko aizmirst, neņemot vērā vienādojuma risināšanas procesā. Tāpēc dažos gadījumos racionālāk ir izmantot pārejas metodi uz jauktām sistēmām.

Atrisiniet vienādojumu:

Atbilde: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai

Atbilde: vienādojumam nav atrisinājumu.

3 metode. Izmantojot n-tās saknes īpašības

Risinot iracionālos vienādojumus, tiek izmantotas n-tās pakāpes saknes īpašības. aritmētiskā sakne n- th grādi no vidus A zvanīt uz numuru, kas nav negatīvs, n- i, kura pakāpe ir vienāda ar A. Ja n- pat( 2n), tad a ≥ 0, pretējā gadījumā sakne nepastāv. Ja n- nepāra( 2 n+1), tad a ir jebkurš un = - ..gif" width="45" height="19"> Tad:

2.

3.

4.

5.

Formāli piemērojot jebkuru no šīm formulām (neņemot vērā norādītos ierobežojumus), jāpatur prātā, ka katras no tām kreisās un labās daļas ODZ var atšķirties. Piemēram, izteiksme ir definēta ar f ≥ 0 Un g ≥ 0, un izteiksme ir tāda pati kā attēlā f ≥ 0 Un g ≥ 0, kā arī f ≤ 0 Un g ≤ 0.

Katrai formulai 1-5 (neņemot vērā norādītos ierobežojumus) tās labās daļas ODZ var būt platāks nekā kreisās puses ODZ. No tā izriet, ka vienādojuma transformācijas, formāli izmantojot formulas 1-5 "no kreisās uz labo" (kā tās ir rakstītas), noved pie vienādojuma, kas ir sākotnējā vienādojuma sekas. Šajā gadījumā var parādīties svešas sākotnējā vienādojuma saknes, tāpēc pārbaude ir obligāts solis sākotnējā vienādojuma risināšanā.

Vienādojumu transformācijas, formāli izmantojot formulas 1-5 "no labās uz kreiso", ir nepieņemamas, jo ir iespējams spriest par sākotnējā vienādojuma ODZ un līdz ar to sakņu zudumu.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

kas ir oriģināla sekas. Šī vienādojuma risinājums tiek reducēts līdz vienādojumu kopas atrisināšanai .

No šīs kopas pirmā vienādojuma mēs atrodam https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> no kurienes atrodam . Tādējādi saknes šis vienādojums var būt tikai skaitļi (-1) un (-2). Pārbaude parāda, ka abas atrastās saknes atbilst šim vienādojumam.

Atbilde: -1,-2.

Atrisiniet vienādojumu:.

Risinājums: pamatojoties uz identitātēm, aizstājiet pirmo terminu ar . Ņemiet vērā, ka kā divu nenegatīvu skaitļu summa kreisajā pusē. “Izņemiet” moduli un pēc līdzīgu terminu ievadīšanas atrisiniet vienādojumu. Kopš , mēs iegūstam vienādojumu . Kopš un , pēc tam https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Atbilde: x = 4,25.

4 metode. Jaunu mainīgo lielumu ieviešana

Vēl viens iracionālu vienādojumu risināšanas piemērs ir veids, kā tiek ieviesti jauni mainīgie, attiecībā uz kuriem tiek iegūts vai nu vienkāršāks iracionālais vienādojums, vai racionāls vienādojums.

Iracionālu vienādojumu atrisināšanu, aizstājot vienādojumu ar tā sekām (ar sekojošu sakņu pārbaudi), var veikt šādi:

1. Atrodiet sākotnējā vienādojuma ODZ.

2. Pārejiet no vienādojuma uz tā sekas.

3. Atrodiet iegūtā vienādojuma saknes.

4. Pārbaudiet, vai atrastās saknes ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Pārbaude ir šāda:

A) tiek pārbaudīta katras atrastās ODZ saknes piederība sākotnējam vienādojumam. Tās saknes, kas nepieder pie ODZ, ir svešas sākotnējam vienādojumam.

B) katrai saknei, kas iekļauta sākotnējā vienādojuma ODZ, tiek pārbaudīts, vai katra vienādojuma kreisajā un labajā daļā, kas rodas sākotnējā vienādojuma risināšanas procesā un tiek pacelta līdz pat pakāpei, ir vienādas zīmes. Tās saknes, kurām jebkura vienādojuma daļām, kas izvirzītas līdz pat pakāpei, ir atšķirīgas zīmes, ir svešas sākotnējam vienādojumam.

C) ar tiešu aizstāšanu tiek pārbaudītas tikai tās saknes, kas pieder pie sākotnējā vienādojuma ODZ un kurām katra vienādojuma abām daļām, kas rodas sākotnējā vienādojuma risināšanas procesā un paceltas līdz pat pakāpei, ir vienādas zīmes. sākotnējais vienādojums.

Šāda risinājuma metode ar norādīto pārbaudes metodi ļauj izvairīties no apgrūtinošiem aprēķiniem gadījumā, ja katra pēdējā vienādojuma atrastā sakne tiek tieši aizstāta ar sākotnējo.

Atrisiniet iracionālo vienādojumu:

.

Šī vienādojuma pieļaujamo vērtību kopa:

Iestatījums , pēc aizstāšanas iegūstam vienādojumu

vai tam līdzvērtīgu vienādojumu

ko var uzskatīt par kvadrātvienādojumu . Atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūstam

.

Tāpēc sākotnējā iracionālā vienādojuma atrisinājumu kopa ir šādu divu vienādojumu atrisinājumu kopu savienība:

, .

Sagrieziet katra vienādojuma abas puses un iegūstam divus racionālus algebriskos vienādojumus:

, .

Atrisinot šos vienādojumus, mēs atklājam, ka šim iracionālajam vienādojumam ir viena sakne x = 2 (pārbaude nav nepieciešama, jo visas transformācijas ir līdzvērtīgas).

Atbilde: x = 2.

Atrisiniet iracionālo vienādojumu:

Apzīmē 2x2 + 5x - 2 = t. Tad sākotnējais vienādojums iegūs formu . Izlīdzinot abas iegūtā vienādojuma daļas kvadrātā un apvienojot līdzīgus vārdus, mēs iegūstam vienādojumu , kas ir iepriekšējā sekas. No tā mēs atrodam t=16.

Atgriežoties pie nezināmā x, iegūstam vienādojumu 2x2 + 5x - 2 = 16, kas ir sākotnējās sekas. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka tā saknes x1 \u003d 2 un x2 \u003d - 9/2 ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Atbilde: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metode. Identitātes vienādojuma transformācija

Risinot iracionālus vienādojumus, nevajadzētu sākt risināt vienādojumu, paaugstinot abas vienādojumu daļas uz naturālo pakāpju, mēģinot reducēt iracionāla vienādojuma atrisinājumu uz racionāla algebriskā vienādojuma atrisināšanu. Pirmkārt, ir nepieciešams redzēt, vai ir iespējams veikt kādu identisku vienādojuma transformāciju, kas var ievērojami vienkāršot tā risinājumu.

Atrisiniet vienādojumu:

Šī vienādojuma derīgo vērtību kopa: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Sadaliet šo vienādojumu ar .

.

Mēs iegūstam:

Ja a = 0, vienādojumam nebūs atrisinājumu; , vienādojumu var uzrakstīt kā

šim vienādojumam nav atrisinājumu, jo jebkuram X, kas pieder pie vienādojuma pieļaujamo vērtību kopas, izteiksme vienādojuma kreisajā pusē ir pozitīva;

kad vienādojumam ir risinājums

Ņemot vērā, ka vienādojuma pieļaujamo atrisinājumu kopu nosaka nosacījums , visbeidzot iegūstam:

Atrisinot šo iracionālo vienādojumu, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> vienādojuma risinājums būs . Visām pārējām vērtībām X vienādojumam nav atrisinājumu.

10. PIEMĒRS:

Atrisiniet iracionālo vienādojumu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Sistēmas kvadrātvienādojuma atrisinājums dod divas saknes: x1 \u003d 1 un x2 \u003d 4. Pirmā no iegūtajām saknēm neapmierina sistēmas nevienlīdzību, tāpēc x \u003d 4.

Piezīmes.

1) Identisku pārveidojumu veikšana ļauj mums iztikt bez pārbaudes.

2) Nevienādība x - 3 ≥0 attiecas uz identiskām transformācijām, nevis uz vienādojuma apgabalu.

3) Vienādojuma kreisajā pusē ir samazinoša funkcija, bet šī vienādojuma labajā pusē - augoša funkcija. Samazinošu un pieaugošu funkciju grafikiem to definīcijas jomu krustpunktā var būt ne vairāk kā viens kopīgs punkts. Acīmredzot mūsu gadījumā x = 4 ir grafiku krustošanās punkta abscisa.

Atbilde: x = 4.

6 metode. Funkciju definīcijas jomas izmantošana vienādojumu risināšanā

Šī metode ir visefektīvākā, risinot vienādojumus, kas ietver funkcijas https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> un atrodot to apgabalu definīcijas (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, tad jums ir jāpārbauda, ​​vai vienādojums ir patiess intervāla beigās, turklāt, ja< 0, а b >0, tad ir jāpārbauda intervāli (a;0) Un . Mazākais veselais skaitlis E(y) ir 3.

Atbilde: x = 3.

8 metode. Atvasinājuma pielietojums iracionālu vienādojumu risināšanā

Visbiežāk, risinot vienādojumus ar atvasinājumu metodi, tiek izmantota novērtēšanas metode.

15. PIEMĒRS:

Atrisiniet vienādojumu: (1)

Risinājums: kopš https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> vai (2). Apsveriet funkciju ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> vispār un tāpēc palielinās. Tāpēc vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam, kura sakne ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde:

16. PIEMĒRS:

Atrisiniet iracionālo vienādojumu:

Funkcijas definīcijas domēns ir segments. Atrodi lielāko un mazākā vērtībašīs funkcijas vērtības intervālā . Lai to izdarītu, mēs atrodam funkcijas atvasinājumu f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Atradīsim funkcijas vērtības f(x) segmenta galos un punktā : Tātad, bet un tāpēc vienlīdzība ir iespējama tikai ar nosacījumu https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Pārbaude parāda, ka skaitlis 3 ir šī vienādojuma sakne.

Atbilde: x = 3.

9 metode. Funkcionāls

Eksāmenos viņi dažreiz piedāvā atrisināt vienādojumus, kurus var ierakstīt formā , kur ir noteikta funkcija.

Piemēram, daži vienādojumi: 1) 2) . Patiešām, pirmajā gadījumā , otrajā gadījumā . Tāpēc atrisiniet iracionālos vienādojumus, izmantojot šādu apgalvojumu: ja funkcija kopā stingri palielinās X un jebkuram , tad vienādojumi utt. ir līdzvērtīgi kopā X .

Atrisiniet iracionālo vienādojumu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> komplektā stingri palielinot R, un https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > kam ir unikāla sakne Tāpēc arī ekvivalentajam vienādojumam (1) ir unikāla sakne

Atbilde: x = 3.

18. PIEMĒRS:

Atrisiniet iracionālo vienādojumu: (1)

Pēc definīcijas kvadrātsakne mēs iegūstam, ja vienādojumam (1) ir saknes, tad tās pieder kopai https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Apsveriet, ka funkcija https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> šajā komplektā stingri palielinās jebkuram ..gif" width="100" augstums ="41">, kam ir viena sakne Tāpēc un līdzvērtīgs tam komplektā X vienādojumam (1) ir viena sakne

Atbilde: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Risinājums: Šis vienādojums ir līdzvērtīgs jauktai sistēmai

Studējot algebru, studenti saskaras ar dažāda veida vienādojumiem. Starp vienkāršākajiem var nosaukt lineāros, kas satur vienu nezināmo. Ja matemātiskā izteiksmē mainīgais tiek paaugstināts līdz noteiktai pakāpei, tad vienādojumu sauc par kvadrātisko, kubisko, bikvadrātisku utt. Šīs izteiksmes var saturēt racionālus skaitļus. Bet ir arī neracionāli vienādojumi. Tie atšķiras no citiem ar funkcijas klātbūtni, kur nezināmais atrodas zem radikāļa zīmes (tas ir, tīri ārēji, mainīgais šeit ir rakstīts zem kvadrātsaknes). Iracionālu vienādojumu risināšanai ir savs īpašības. Aprēķinot mainīgā lieluma vērtību, lai iegūtu pareizo atbildi, tie ir jāņem vērā.

"Vārdos neizsakāms"

Nav noslēpums, ka senie matemātiķi galvenokārt darbojās ar racionāliem skaitļiem. Tie ietver, kā jūs zināt, veselus skaitļus, kas izteikti ar parastajām un decimāldaļām, šīs kopienas pārstāvjiem. Taču arī Tuvo un Tuvo Austrumu, kā arī Indijas zinātnieki, attīstot trigonometriju, astronomiju un algebru, iemācījās atrisināt iracionālus vienādojumus. Piemēram, grieķi zināja šādus daudzumus, bet, ievietojot tos verbālā formā, viņi izmantoja jēdzienu “alogos”, kas nozīmēja “neizsakāms”. Nedaudz vēlāk eiropieši, tos atdarinot, šādus skaitļus sauca par "kurlajiem". Tie atšķiras no visiem pārējiem ar to, ka tos var attēlot tikai bezgalīgas neperiodiskas daļas veidā, kuras galīgo skaitlisko izteiksmi vienkārši nav iespējams iegūt. Tāpēc biežāk šādus skaitļu jomas pārstāvjus raksta skaitļu un zīmju veidā kā kādu izteiksmi, kas atrodas zem otrās vai lielākas pakāpes saknes.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs mēģināsim definēt iracionālo vienādojumu. Šādi izteicieni satur tā sauktos "neizsakāmos skaitļus", kas rakstīti, izmantojot kvadrātsaknes zīmi. Tās var būt visdažādākās, diezgan sarežģītas iespējas, taču vienkāršākajā veidā tās izskatās kā zemāk esošajā fotoattēlā.

Pārejot uz iracionālu vienādojumu risinājumu, vispirms ir jāaprēķina mainīgā pieļaujamo vērtību diapazons.

Vai izteicienam ir jēga?

Nepieciešamība pārbaudīt iegūtās vērtības izriet no īpašībām.Kā zināms, šāds izteiciens ir pieņemams un tam ir kāda nozīme tikai noteiktos apstākļos. Pāra saknes gadījumā visām radikāļu izteiksmēm jābūt pozitīvām vai vienādām ar nulli. Ja šis nosacījums nav apmierināts, tad uzrādīto matemātisko apzīmējumu nevar uzskatīt par jēgpilnu.

Sniegsim konkrētu piemēru, kā atrisināt iracionālos vienādojumus (attēlā zemāk).

Šajā gadījumā ir skaidrs, ka šie nosacījumi nevar tikt izpildīti nevienai vērtībai, kas ņemta ar vēlamo vērtību, jo izrādās, ka 11 ≤ x ≤ 4. Tas nozīmē, ka tikai Ø var būt risinājums.

Analīzes metode

No iepriekš minētā kļūst skaidrs, kā atrisināt dažu veidu neracionālos vienādojumus. Šeit var būt efektīva vienkārša analīze.

Mēs sniedzam vairākus piemērus, kas atkal to skaidri parāda (zemāk esošajā fotoattēlā).

Pirmajā gadījumā, rūpīgi apsverot izteicienu, uzreiz kļūst ārkārtīgi skaidrs, ka tas nevar būt patiess. Patiešām, galu galā vienādības kreisajā pusē jāiegūst pozitīvs skaitlis, kas nekādā veidā nevar būt vienāds ar -1.

Otrajā gadījumā divu pozitīvu izteiksmju summu var uzskatīt par vienādu ar nulli tikai tad, ja x - 3 = 0 un x + 3 = 0 vienlaikus. Atkal, tas nav iespējams. Un tāpēc atbildē jums vajadzētu vēlreiz ierakstīt Ø.

Trešais piemērs ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Patiešām, šeit ODZ nosacījumi pieprasa, lai tiktu izpildīta šāda absurda nevienādība: 5 ≤ x ≤ 2. Un šādam vienādojumam līdzīgā veidā nevar būt skaņu atrisinājumi.

Neierobežota tālummaiņa

Iracionālā raksturu visskaidrāk un pilnīgāk var izskaidrot un uzzināt tikai ar nebeidzamu skaitļu virkni. decimāldaļdaļa. Un konkrēts, spilgts šīs ģimenes locekļu piemērs ir pi. Ne velti tiek pieņemts, ka šī matemātiskā konstante ir zināma kopš seniem laikiem, un to izmantoja apļa apkārtmēra un laukuma aprēķināšanai. Bet eiropiešu vidū to vispirms praksē ieviesa anglis Viljams Džonss un šveicietis Leonards Eilers.

Šī konstante rodas šādi. Ja salīdzinām visdažādākos apkārtmērus, tad to garumu un diametru attiecība noteikti ir vienāda ar to pašu skaitli. Tas ir pi. Ja izteikts ar kopējā frakcija, tad aptuveni mēs saņemam 22/7. Vispirms to izdarīja lielais Arhimēds, kura portrets ir parādīts attēlā iepriekš. Tāpēc līdzīgs numurs ieguva viņa vārdu. Bet tā nav skaidra, bet aptuvenā, iespējams, pārsteidzošākā skaitļa vērtība. Izcilais zinātnieks atrada vēlamo vērtību ar precizitāti 0,02, bet, patiesībā, šai konstantei nav reālas vērtības, bet tā ir izteikta kā 3,1415926535 ... Tā ir bezgalīga skaitļu virkne, kas bezgalīgi tuvojas noteiktai mītiskai vērtībai.

Kvadrātēšana

Bet atpakaļ pie neracionālajiem vienādojumiem. Lai atrastu nezināmo, šajā gadījumā ļoti bieži ķeras pie vienkārša metode: kvadrātā abas esošās vienādības puses. Šī metode parasti dod labus rezultātus. Taču jāņem vērā iracionālo vērtību viltīgums. Visas tā rezultātā iegūtās saknes ir jāpārbauda, ​​jo tās var nebūt piemērotas.

Bet turpināsim piemēru izskatīšanu un mēģināsim atrast mainīgos no jauna piedāvātā veidā.

Izmantojot Vietas teorēmu, ir diezgan viegli atrast vēlamās lielumu vērtības pēc tam, kad noteiktu darbību rezultātā esam izveidojuši kvadrātvienādojumu. Šeit izrādās, ka starp saknēm būs 2 un -19. Tomēr, pārbaudot, aizstājot iegūtās vērtības sākotnējā izteiksmē, varat pārliecināties, ka neviena no šīm saknēm nav piemērota. Tas ir bieži sastopams iracionālos vienādojumos. Tas nozīmē, ka mūsu dilemmai atkal nav risinājumu, un atbildē ir jānorāda tukšā kopa.

Sarežģītāki piemēri

Dažos gadījumos abas izteiksmes puses ir jāliek kvadrātā nevis vienu, bet vairākas reizes. Apsveriet piemērus, kur ir nepieciešams iepriekš minētais. Tos var redzēt zemāk.

Saņemot saknes, neaizmirstiet tās pārbaudīt, jo var rasties papildu saknes. Ir jāpaskaidro, kāpēc tas ir iespējams. Pielietojot šādu metodi, vienādojuma racionalizācija kaut kādā veidā notiek. Bet, atbrīvojoties no mums nosodāmām saknēm, kas traucē veikt aritmētiskās darbības, mēs it kā paplašinam esošo vērtību diapazonu, kas ir pilns (kā var saprast) ar sekām. Paredzot to, mēs veicam pārbaudi. Šajā gadījumā ir iespēja pārliecināties, ka der tikai viena no saknēm: x = 0.

Sistēmas

Ko darīt gadījumos, kad ir jāatrisina iracionālu vienādojumu sistēmas, un mums ir nevis viens, bet veseli divi nezināmie? Šeit mēs rīkojamies tāpat kā parastos gadījumos, bet ņemot vērā iepriekš minētās datu īpašības matemātiskās izteiksmes. Un katrā jaunā uzdevumā, protams, jāpiemēro radoša pieeja. Bet atkal labāk ir apsvērt visu konkrēts piemērs zemāk. Šeit ir ne tikai jāatrod mainīgie x un y, bet arī atbildē jānorāda to summa. Tātad ir sistēma, kas satur neracionālus daudzumus (skatiet fotoattēlu zemāk).

Kā redzat, šāds uzdevums nav pārdabiski grūts. Jums vienkārši jābūt gudram un jāuzmin, ka pirmā vienādojuma kreisā puse ir summas kvadrāts. Līdzīgi uzdevumi ir atrodami eksāmenā.

Iracionāls matemātikā

Katru reizi cilvēcei radās nepieciešamība radīt jaunus skaitļu veidus, kad tai pietrūka “telpas”, lai atrisinātu dažus vienādojumus. Neracionālie skaitļi nav izņēmums. Kā liecina vēstures fakti, pirmo reizi lielie gudrie pievērsa tam uzmanību vēl pirms mūsu ēras, 7. gadsimtā. To izdarīja matemātiķis no Indijas, pazīstams kā Manava. Viņš skaidri saprata, ka no dažiem naturāliem skaitļiem nav iespējams iegūt sakni. Piemēram, tie ietver 2; 17 vai 61, kā arī daudzi citi.

Viens no pitagoriešiem, domātājs, vārdā Hipass, nonāca pie tāda paša secinājuma, mēģinot veikt aprēķinus ar pentagrammas malu skaitliskām izteiksmēm. Atklājot matemātiskos elementus, kurus nevar izteikt skaitliski un kuriem nav īpašību regulāri cipari, viņš tā saniknoja savus kolēģus, ka tika iemests aiz borta jūrā. Fakts ir tāds, ka citi pitagorieši viņa argumentāciju uzskatīja par sacelšanos pret Visuma likumiem.

Radikālā zīme: evolūcija

Saknes zīmi "nedzirdīgo" skaitļu skaitliskās vērtības izteikšanai sāka izmantot neracionālu nevienādību un vienādojumu risināšanā ne uzreiz. Pirmo reizi Eiropas, it īpaši itāļu, matemātiķi par radikālu sāka domāt ap 13. gadsimtu. Tajā pašā laikā viņiem radās ideja apzīmējumam izmantot latīņu R. Taču vācu matemātiķi savos darbos rīkojās savādāk. Viņiem vairāk patika burts V. Vācijā drīz vien izplatījās apzīmējums V (2), V (3), kas bija paredzēts, lai izteiktu kvadrātsakni no 2, 3 utt. Vēlāk iejaucās holandieši un mainīja radikāļa zīmi. Un Renē Dekarts pabeidza evolūciju, novedot kvadrātsaknes zīmi līdz mūsdienu pilnībai.

Atbrīvošanās no iracionālā

Iracionālie vienādojumi un nevienādības var ietvert mainīgo ne tikai zem kvadrātsaknes zīmes. Tas var būt jebkuras pakāpes. Visizplatītākais veids, kā no tā atbrīvoties, ir abas vienādojuma puses paaugstināt līdz atbilstošajai jaudai. Šī ir galvenā darbība, kas palīdz operācijās ar iracionālo. Darbības pat gadījumos īpaši neatšķiras no tām, kuras mēs jau esam analizējuši iepriekš. Šeit jāņem vērā radikālas izteiksmes nenegatīvisma nosacījumi, kā arī risinājuma beigās ir jāizsijā mainīgo svešas vērtības tādā veidā, kā parādīts jau apskatītie piemēri.

No papildu transformācijām, kas palīdz atrast pareizo atbildi, bieži tiek izmantota izteiksmes reizināšana ar konjugātu, kā arī bieži ir nepieciešams ieviest jaunu mainīgo, kas atvieglo atrisināšanu. Dažos gadījumos, lai atrastu nezināmo vērtību, ieteicams izmantot grafikus.