Segmenta garumu uz koordinātu ass nosaka pēc formulas:

Segmenta garums koordinātu plakne meklēta pēc formulas:

Lai atrastu segmenta garumu trīsdimensiju koordinātu sistēmā, tiek izmantota šāda formula:

Segmenta vidus koordinātas (koordinātu asij izmanto tikai pirmo formulu, koordinātu plaknei - pirmās divas formulas, trīsdimensiju koordinātu sistēmai - visas trīs formulas) aprēķina pēc formulām:

Funkcija ir veidlapas atbilstība y= f(x) starp mainīgajiem, kuru dēļ katra aplūkotā vērtība dažu mainīgs x(arguments vai neatkarīgs mainīgais) atbilst noteiktai cita mainīgā vērtībai, y(atkarīgs mainīgais, dažreiz šo vērtību vienkārši sauc par funkcijas vērtību). Ņemiet vērā, ka funkcija pieņem, ka viena argumenta vērtība X var būt tikai viena atkarīgā mainīgā vērtība plkst. Tomēr tā pati vērtība plkst var dabūt ar dažādiem X.

Funkciju darbības joma ir visas neatkarīgā mainīgā vērtības (parasti funkcijas arguments X), kurai funkcija ir definēta, t.i. tā nozīme pastāv. Ir norādīts definīcijas domēns D(y). Kopumā jūs jau esat iepazinušies ar šo jēdzienu. Funkcijas tvērumu citādi sauc par derīgo vērtību domēnu jeb ODZ, kuru jūs jau sen esat spējuši atrast.

Funkciju diapazons ir visas iespējamās šīs funkcijas atkarīgā mainīgā vērtības. Apzīmēts E(plkst).

Funkcija paaugstinās uz intervāla, kurā lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai. Funkcija samazinās uz intervāla, kurā lielākā argumenta vērtība atbilst mazākajai funkcijas vērtībai.

Funkciju intervāli ir neatkarīgā mainīgā intervāli, kuros atkarīgais mainīgais saglabā savu pozitīvo vai negatīvo zīmi.

Funkcijas nulles ir tās argumenta vērtības, kurām funkcijas vērtība ir vienāda ar nulli. Šajos punktos funkcijas grafiks krustojas ar abscisu asi (OX asi). Ļoti bieži nepieciešamība atrast funkcijas nulles nozīmē vienkārši vienādojuma atrisināšanu. Tāpat bieži vien nepieciešamība atrast nemainīgas zīmes intervālus nozīmē nepieciešamību vienkārši atrisināt nevienlīdzību.

Funkcija y = f(x) tiek saukti pat X

Tas nozīmē, ka jebkurām pretējām argumenta vērtībām pāra funkcijas vērtības ir vienādas. Grafiks vienmērīga funkcija vienmēr simetrisks pret y y asi.

Funkcija y = f(x) tiek saukti nepāra, ja tas ir definēts uz simetriskas kopas un jebkurai X no definīcijas jomas vienlīdzība ir izpildīta:

Tas nozīmē, ka jebkurām pretējām argumenta vērtībām arī nepāra funkcijas vērtības ir pretējas. Nepāra funkcijas grafiks vienmēr ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Pāra un nepāra funkciju (abscisu ass OX krustpunktu) sakņu summa vienmēr ir vienāda ar nulli, jo par katru pozitīvo sakni X kontu negatīvā sakne –X.

Ir svarīgi atzīmēt, ka dažām funkcijām nav jābūt pāra vai nepāra. Ir daudzas funkcijas, kas nav ne pāra, ne nepāra. Šādas funkcijas sauc funkcijas vispārējs skats , un neviena no iepriekšminētajām vienādībām vai īpašībām uz tiem neattiecas.

Lineāra funkcija sauc par funkciju, ko var dot ar formulu:

Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija un vispārīgā gadījumā izskatās šādi (piemērs ir dots gadījumam, kad k> 0, šajā gadījumā funkcija pieaug; lietai k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Kvadrātfunkcijas grafiks (parabola)

Parabolas grafiku nosaka kvadrātiskā funkcija:

Kvadrātfunkcija, tāpat kā jebkura cita funkcija, krustojas ar OX asi punktos, kas ir tās saknes: ( x 1 ; 0) un ( x 2; 0). Ja sakņu nav, tad kvadrātfunkcija nekrustojas ar OX asi, ja ir viena sakne, tad šajā punktā ( x 0; 0) kvadrātiskā funkcija tikai pieskaras OX asij, bet nekrusto to. Kvadrātfunkcija vienmēr krusto OY asi punktā ar koordinātām: (0; c). Kvadrātfunkcijas (parabolas) grafiks var izskatīties šādi (attēlā parādīti piemēri, kas nebūt neizsmeļ visus iespējamos parabolu veidus):

Kurā:

• ja koeficients a> 0, funkcijā y = cirvis 2 + bx + c, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu;
• ja a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Parabolas virsotņu koordinātas var aprēķināt, izmantojot šādas formulas. X topi (lpp- augšējos attēlos) parabola (vai punkts, kurā kvadrātveida trinoma sasniedz maksimālo vai minimālo vērtību):

Y topi (q- augšējos attēlos) parabola vai maksimums, ja parabolas zari ir vērsti uz leju ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vērtība kvadrātveida trinomāls:

Citu funkciju grafiki

jaudas funkcija

Šeit ir daži jaudas funkciju grafiku piemēri:

Apgriezti proporcionāla atkarība izsauciet funkciju, kas dota ar formulu:

Atkarībā no skaitļa zīmes k Apgriezti proporcionālam grafikam var būt divas pamata iespējas:

Asimptote ir taisne, kurai funkcijas grafika līnija tuvojas bezgalīgi tuvu, bet nekrustojas. Asimptotes grafikiem apgrieztā proporcionalitāte attēlā ir parādītas koordinātu asis, kurām funkcijas grafiks tuvojas bezgalīgi tuvu, bet nekrustojas ar tām.

eksponenciālā funkcija ar pamatni A izsauciet funkciju, kas dota ar formulu:

a grafiks eksponenciālā funkcija var būt divas pamata iespējas (mēs sniegsim arī piemērus, skatiet tālāk):

logaritmiskā funkcija izsauciet funkciju, kas dota ar formulu:

Atkarībā no tā, vai skaitlis ir lielāks vai mazāks par vienu a Logaritmiskās funkcijas grafikam var būt divas pamata iespējas:

Funkciju grafiks y = |x| sekojoši:

Periodisko (trigonometrisko) funkciju grafiki

Funkcija plkst = f(x) tiek saukts periodiskais izdevums, ja eksistē šāds skaitlis, kas atšķiras no nulles T, Kas f(x + T) = f(x), jebkuram Xārpus funkcijas darbības jomas f(x). Ja funkcija f(x) ir periodisks ar punktu T, tad funkcija:

Kur: A, k, b ir nemainīgi skaitļi, un k nav vienāds ar nulli, arī periodisks ar punktu T 1 , ko nosaka pēc formulas:

Lielākā daļa periodisko funkciju piemēru ir trigonometriskās funkcijas. Šeit ir galvenās diagrammas trigonometriskās funkcijas. Nākamajā attēlā parādīta funkcijas grafika daļa y= grēks x(viss grafiks bezgalīgi turpinās pa kreisi un pa labi), funkcijas grafiks y= grēks x sauca sinusoīds:

Funkciju grafiks y= cos x sauca kosinusa vilnis. Šis grafiks ir parādīts nākamajā attēlā. Kopš sinusa grafika tas bezgalīgi turpinās pa OX asi pa kreisi un pa labi:

Funkciju grafiks y=tg x sauca tangentoīds. Šis grafiks ir parādīts nākamajā attēlā. Tāpat kā citu periodisko funkciju grafiki, arī šis grafiks bezgalīgi atkārtojas pa OX asi pa kreisi un pa labi.

Un visbeidzot, funkcijas grafiks y=ctg x sauca kotangentoīds. Šis grafiks ir parādīts nākamajā attēlā. Tāpat kā citu periodisko un trigonometrisko funkciju grafiki, arī šis grafiks bezgalīgi atkārtojas pa OX asi pa kreisi un pa labi.

Apgūstiet visas formulas un likumus fizikā un formulas un metodes matemātikā. Faktiski to ir arī ļoti vienkārši izdarīt, fizikā ir tikai aptuveni 200 nepieciešamo formulu, bet matemātikā - pat nedaudz mazāk. Katrā no šiem priekšmetiem ir ap desmitiem standarta sarežģītības līmeņa problēmu risināšanas metodes, kuras var arī apgūt, un tādējādi pilnīgi automātiski un bez grūtībām atrisināt lielāko daļu digitālās transformācijas īstajā laikā. Pēc tam būs jādomā tikai par grūtākajiem uzdevumiem.

Apmeklējiet visus trīs mēģinājumu pārbaudes posmus fizikā un matemātikā. Katru RT var apmeklēt divas reizes, lai atrisinātu abas iespējas. Atkal, uz CT, papildus spējai ātri un efektīvi atrisināt problēmas, formulu un metožu zināšanām, ir arī jāprot pareizi plānot laiku, sadalīt spēkus un, pats galvenais, pareizi aizpildīt atbildes veidlapu. , nejaucot ne atbilžu un uzdevumu numurus, ne savu vārdu. Tāpat RT laikā ir svarīgi pierast pie jautājumu uzdošanas stila uzdevumos, kas DT nesagatavotam cilvēkam var šķist ļoti neparasts.

Veiksmīga, rūpīga un atbildīga šo trīs punktu īstenošana ļaus jums uzrādīt izcilu CT rezultātu, maksimumu, uz ko esat spējīgs.

Vai atradāt kļūdu?

Ja domājat, ka esat atradis kļūdu mācību materiāli, tad rakstiet, lūdzu, par to pa pastu. Varat arī ziņot par kļūdu sociālais tīkls(). Vēstulē norādiet priekšmetu (fizika vai matemātika), tēmas vai kontroldarba nosaukumu vai numuru, uzdevuma numuru vai vietu tekstā (lappusē), kur, jūsuprāt, ir kļūda. Aprakstiet arī iespējamo kļūdu. Jūsu vēstule nepaliks nepamanīta, kļūda vai nu tiks izlabota, vai arī jums tiks paskaidrots, kāpēc tā nav kļūda.

Elementāras funkcijas un to grafiki

Taisni proporcionalitāte. Lineāra funkcija.

Apgrieztā proporcija. Hiperbola.

kvadrātiskā funkcija. Kvadrātveida parabola.

Jaudas funkcija. Eksponenciālā funkcija.

logaritmiskā funkcija. trigonometriskās funkcijas.

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas.

1.	proporcionālās vērtības. Ja mainīgie y Un x tieši proporcionāls, tad funkcionālo atkarību starp tām izsaka ar vienādojumu: y = k x , Kur k- nemainīga vērtība ( proporcionalitātes koeficients). Grafiks taisni proporcionalitāte- taisna līnija, kas iet caur izcelsmi un veido ar asi X leņķis, kura tangente ir k:tan= k(8. att.). Tāpēc tiek saukts arī proporcionalitātes koeficients slīpuma koeficients. 8. attēlā parādīti trīs grafiki par k = 1/3, k= 1 un k = 3 .
2.	Lineāra funkcija. Ja mainīgie y Un x savienots ar 1. pakāpes vienādojumu: Axe + By = C , kur vismaz viens no cipariem A vai B nav vienāds ar nulli, tad šīs funkcionālās atkarības grafiks ir taisne. Ja C= 0, tad tas iet caur izcelsmi, pretējā gadījumā ne. Lineārie funkciju grafiki dažādām kombinācijām A,B,C ir parādīti 9. att.
3.	Reverss proporcionalitāte. Ja mainīgie y Un x atpakaļ proporcionāls, tad funkcionālo atkarību starp tām izsaka ar vienādojumu: y = k / x , Kur k- nemainīga vērtība. Apgrieztā proporcionālā diagramma — hiperbola (10. att.). Šai līknei ir divas atzaras. Hiperbolas iegūst, kad riņķveida konusu šķērso plakne (konusveida griezumus skatīt sadaļā "Konuss" nodaļā "Stereometrija"). Kā parādīts 10. attēlā, hiperbolas punktu koordinātu reizinājums ir nemainīga vērtība, mūsu piemērā vienāda ar 1. Vispārīgā gadījumā šī vērtība ir vienāda ar k, kas izriet no hiperbolas vienādojuma: xy = k. Hiperbolas galvenās īpašības un īpašības: Funkciju darbības joma: x 0, diapazons: y 0 ; Funkcija ir monotona (samazinās) plkst x< 0 un plkst x > 0, bet ne monotons kopumā pārtraukuma punkta dēļ x= 0 (padomā, kāpēc?); Neierobežota funkcija, kādā punktā pārtraukta x= 0, nepāra, neperiodisks; - Funkcijai nav nulles.
4.	Kvadrātiskā funkcija. Šī ir funkcija: y = cirvis 2 + bx + c, Kur a, b, c- pastāvīgs, a 0. Vienkāršākajā gadījumā mums ir: b=c= 0 un y = cirvis 2. Šīs funkcijas grafiks kvadrātveida parabola - līkne, kas iet caur izcelsmi (11. att.). Katrai parabolai ir simetrijas ass OY, ko sauc parabolas ass. Punkts O sauc parabolas krustpunktu ar tās asi parabolas augšdaļa. Funkciju grafiks y = cirvis 2 + bx + c ir arī tāda paša veida kvadrātveida parabola kā y = cirvis 2 , bet tā virsotne atrodas nevis sākumā, bet gan punktā ar koordinātām: Kvadrātveida parabolas forma un atrašanās vieta koordinātu sistēmā ir pilnībā atkarīga no diviem parametriem: koeficienta a plkst x 2 un diskriminējošais D:D = b 2 – 4ac. Šīs īpašības izriet no kvadrātvienādojuma sakņu analīzes (sk. atbilstošo sadaļu Algebra nodaļā). Visi iespējamie dažādie kvadrātparabolas gadījumi ir parādīti 12. att.

Lūdzu, uzzīmējiet gadījuma kvadrātveida parabolu a > 0, D > 0 .

Kvadrātveida parabolas galvenie raksturlielumi un īpašības:

Funkciju darbības joma:  < x+ (t.i. x R ), un apgabalu

vērtības: … (Lūdzu, atbildiet uz šo jautājumu pats!);

Funkcija kopumā nav monotona, bet gan pa labi vai pa kreisi no virsotnes

uzvedas kā monotoni;

Funkcija ir neierobežota, visur nepārtraukta, pat priekš b = c = 0,

un neperiodisks;

- plkst D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Jaudas funkcija. Šī ir funkcija: y=cirvis n, Kur a, n- pastāvīgs. Plkst n= 1 mēs iegūstam tiešā proporcionalitāte: y=cirvis; plkst n = 2 - kvadrātveida parabola; plkst n = 1 - apgrieztā proporcionalitāte vai hiperbola. Tādējādi šīs funkcijas ir īpaši jaudas funkcijas gadījumi. Mēs zinām, ka jebkura skaitļa, kas nav nulle, nulles jauda ir vienāda ar 1, tāpēc, kad n= 0 jaudas funkcija kļūst par konstanti: y= a, t.i. tā grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla asij X, izņemot koordinātu izcelsmi (lūdzu, paskaidrojiet, kāpēc?). Visi šie gadījumi (ar a= 1) ir parādīti 13. attēlā ( n 0) un 14. att. ( n < 0). Отрицательные значения xšeit netiek ņemtas vērā, jo tad dažas funkcijas: Ja n– viss, jaudas funkcijām ir jēga pat tad, kad x < 0, но их графики имеют dažāda veida atkarībā no tā, vai n pāra skaitlis vai nepāra skaitlis. 15. attēlā parādītas divas šādas jaudas funkcijas: for n= 2 un n = 3. Plkst n= 2 funkcija ir pāra un tās grafiks ir simetrisks pret asi Y. Plkst n= 3 funkcija ir nepāra, un tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi. Funkcija y = x 3 zvanīja kubiskā parabola. 16. attēlā parādīta funkcija. Šī funkcija ir kvadrātveida parabolas apgrieztā vērtība y = x 2 , tā grafiku iegūst, pagriežot kvadrātveida parabolas grafiku ap 1. koordinātu leņķa bisektrisiTas ir veids, kā iegūt jebkuras apgrieztās funkcijas grafiku no tās sākotnējās funkcijas grafika. No grafika redzam, ka šī ir divu vērtību funkcija (par to liecina arī zīme  kvadrātsaknes priekšā). Šādas funkcijas elementārajā matemātikā netiek pētītas, tāpēc par funkciju parasti uzskatām vienu no tās atzariem: augšējo vai apakšējo.
6.	Demonstrācija funkciju. Funkcija y = a x, Kur a ir pozitīvs konstants skaitlis, ko sauc eksponenciālā funkcija. Arguments x pieņem jebkuras derīgas vērtības; kā tiek ņemtas vērā funkciju vērtības tikai pozitīvi skaitļi, jo pretējā gadījumā mums ir daudzvērtību funkcija. Jā, funkcija y = 81 x ir plkst x= 1/4 četri dažādas nozīmes: y = 3, y = 3, y = 3 i Un y = 3 i(Pārbaudiet, lūdzu!). Bet mēs uzskatām tikai par funkcijas vērtību y= 3. Eksponenciālās funkcijas grafiki a= 2 un a= 1/2 ir parādīti 17. att. Viņi iet caur punktu (0, 1). Plkst a= 1 mums ir taisnes grafiks, kas ir paralēls asij X, t.i. funkcija pārvēršas par nemainīgu vērtību, kas vienāda ar 1. Kad a> 1, eksponenciālā funkcija palielinās, un pie 0< a < 1 – убывает. Eksponenciālās funkcijas galvenie raksturlielumi un īpašības:  < x+ (t.i. x R ); diapazons: y> 0 ; Funkcija ir monotona: tā palielinās ar a> 1 un samazinās pie 0< a < 1; - Funkcijai nav nulles.
7.	Logaritmiskā funkcija. Funkcija y= baļķis a x, Kur a ir nemainīgs pozitīvs skaitlis, kas nav vienāds ar 1, tiek saukts logaritmisks. Šī funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība; tā grafiku (18. att.) var iegūt, pagriežot eksponenciālās funkcijas grafiku ap 1. koordinātu leņķa bisektrisi. Logaritmiskās funkcijas galvenie raksturlielumi un īpašības: Funkciju darbības joma: x> 0, un vērtību diapazons:  < y+ (t.i. y R ); Šī ir monotoniska funkcija: tā palielinās kā a> 1 un samazinās pie 0< a < 1; Funkcija ir neierobežota, visur nepārtraukta, neperiodiska; Funkcijai ir viena nulle: x = 1.
8.	trigonometriskās funkcijas. Konstruējot trigonometriskās funkcijas, mēs izmantojam radiāns leņķu mērs. Pēc tam funkcija y= grēks x attēlots ar grafiku (19. att.). Šo līkni sauc sinusoīds. Funkciju grafiks y= cos x parādīts 20. att.; tas ir arī sinusoidāls vilnis, kas rodas, pārvietojot grafiku y= grēks x pa asi X pa kreisi par 2 No šiem grafikiem šo funkciju īpašības un īpašības ir acīmredzamas: Domēns:  < x+  diapazons: -1 y +1; Šīs funkcijas ir periodiskas: to periods ir 2; Ierobežotas funkcijas (| y| , visur nepārtraukti, nevis monotoni, bet kam ir ts intervāli vienmuļība, kuras iekšpusē viņi uzvesties kā monotoniskas funkcijas (skat. grafikus 19. un 20. attēlā); Funkcijām ir bezgalīgs skaits nulles (sīkāku informāciju skatiet sadaļā "Trigonometriskie vienādojumi"). Funkciju grafiki y= iedegums x Un y= gultiņa x parādīts attiecīgi 21. un 22. attēlā No grafikiem var redzēt, ka šīs funkcijas ir: periodiskas (to periods , neierobežots, parasti nav monotons, bet ar monotoniskuma intervāliem (kas?), pārtraukts (kādi pārtraukuma punkti ir šīm funkcijām?). Novads šo funkciju definīcijas un diapazons:
9.	Apgrieztās trigonometriskās funkcijas. Inversu definīcijas trigonometriskās funkcijas un to galvenās īpašības ir dotas sadaļa ar tādu pašu nosaukumu nodaļā "Trigonometrija". Tāpēc šeit mēs sevi ierobežojam saņemti tikai īsi komentāri par viņu grafikiem pagriežot trigonometrisko funkciju grafikus ap bisektoru 1. koordinātu leņķis.

Funkcijas y= Arcsin x(23. att.) un y= Arccos x(24. att.) daudzvērtīgs, neierobežots; to definīcijas joma un vērtību diapazons, attiecīgi: 1 x+1 un  < y+ . Tā kā šīs funkcijas ir daudzvērtīgas,

Koordinātu sistēma - tās ir divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu līnijas, kas krustojas punktā, kas ir katras no tām sākuma punkts.

Koordinātu asis ir līnijas, kas veido koordinātu sistēmu.

abscisa(x-ass) ir horizontālā ass.

Y ass(y ass) ir vertikālā ass.

Funkcija

Funkcija ir kopas X elementu kartēšana kopai Y . Šajā gadījumā katrs kopas X elements x atbilst vienai kopas Y vērtībai y .

Taisni

Lineāra funkcija ir funkcija formā y = a x + b, kur a un b ir jebkuri skaitļi.

Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija.

Apsveriet, kā grafiks izskatīsies atkarībā no koeficientiem a un b:

Ja a > 0, līnija ies caur I un III koordinātu ceturtdaļu.

Ja a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b ir taisnes krustpunkts ar y asi.

Ja a = 0 , funkcija kļūst par y = b .

Atsevišķi mēs izvēlamies vienādojuma x \u003d a grafiku.

Svarīgs: šis vienādojums nav funkcija, jo tiek pārkāpta funkcijas definīcija (funkcija katru kopas X elementu x saista ar vienu kopas Y vērtību y). Šis vienādojums saista vienu elementu x ar bezgalīgu elementu kopu y . Tomēr šī vienādojuma grafiku var uzzīmēt. Nesauksim to par lepno vārdu "Funkcija".

Parabola

Funkcijas y = a x 2 + b x + c grafiks ir parabola .

Lai viennozīmīgi noteiktu, kā plaknē atrodas parabola grafiks, jums jāzina, ko ietekmē koeficienti a, b, c:

1. Koeficients a norāda, kur ir vērsti parabolas zari.

• Ja a > 0 , parabolas zari ir vērsti uz augšu.
• Ja< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Koeficients c norāda, kurā punktā parabola krustojas ar y asi.
2. Koeficients b palīdz atrast x - parabolas augšdaļas koordinātu.

x in \u003d - b 2 a

1. Diskriminants ļauj noteikt, cik punktu krustojas parabolai ar asi.

• Ja D > 0 - divi krustošanās punkti.
• Ja D = 0 - viens krustojuma punkts.
• Ja D< 0 — нет точек пересечения.

Funkcijas y = k x grafiks ir hiperbola .

Hiperbolas raksturīga iezīme ir tā, ka tai ir asimptoti.

Hiperbolas asimptotes - taisnas līnijas, uz kurām tā tiecas, virzoties uz bezgalību.

X ass ir hiperbolas horizontālā asimptote

Y ass ir hiperbolas vertikālā asimptote.

Grafikā asimptoti ir atzīmēti ar zaļu punktētu līniju.

Ja koeficients k > 0, tad hiperolas zari iet caur I un III ceturksni.

Ja k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Jo mazāka ir koeficienta k absolūtā vērtība (koeficients k, neņemot vērā zīmi), jo tuvāk ir hiperbolas atzari x un y asīm.

Kvadrātsakne

Funkcijai y     =     x ir šāds grafiks:

Funkciju palielināšana/samazināšanās

Funkcija y   =   f(x) intervālā palielinās ja lielāka argumenta vērtība (lielāka x vērtība) atbilst lielākai funkcijas vērtībai (lielākai y vērtībai) .

Tas ir, jo vairāk (pa labi) x, jo vairāk (augstāks) y. Diagramma paceļas (skatieties no kreisās puses uz labo)

Funkcija y   =   f(x) intervālā samazinās ja lielāka argumenta vērtība (lielāka x vērtība) atbilst mazākai funkcijas vērtībai (lielākai y vērtībai) .

The metodiskais materiāls ir uzziņas nolūkiem un aptver plašu tēmu loku. Rakstā ir sniegts pārskats par galveno elementāro funkciju grafikiem un apskatīts vissvarīgākais jautājums - kā pareizi un ĀTRI izveidot grafiku. Augstākās matemātikas studiju gaitā, nezinot galvenos grafikus elementāras funkcijas tas būs grūti, tāpēc ir ļoti svarīgi atcerēties, kā izskatās parabolas, hiperbolas, sinusa, kosinusa utt. grafiki, atcerēties dažas funkciju vērtības. Mēs arī runāsim par dažām galveno funkciju īpašībām.

Es nepretendēju uz materiālu pilnīgumu un zinātnisku pamatīgumu, uzsvars tiks likts, pirmkārt, uz praksi - tām lietām, ar kurām ir jāsaskaras burtiski ik uz soļa, jebkurā augstākās matemātikas tēmā. Manekenu diagrammas? Tā var teikt.

Pēc populāra lasītāju pieprasījuma noklikšķināms satura rādītājs:

Turklāt par šo tēmu ir īpaši īss kopsavilkums
– apgūsti 16 veidu diagrammas, izpētot SEŠAS lappuses!

Ja nopietni, seši, pat es pats biju pārsteigts. Šis kopsavilkums satur uzlabotu grafiku un ir pieejams par nominālo samaksu, var apskatīt demo versiju. Failu ir ērti izdrukāt, lai grafiki vienmēr būtu pa rokai. Paldies par atbalstu projektam!

Un mēs sākam uzreiz:

Kā pareizi izveidot koordinātu asis?

Praksē kontroldarbus skolēni gandrīz vienmēr sastāda atsevišķās burtnīcās, kas izklātas būrī. Kāpēc jums ir nepieciešami rūtaini marķējumi? Galu galā darbu principā var veikt uz A4 formāta loksnēm. Un būris ir nepieciešams tieši kvalitatīvam un precīzam zīmējumu noformējumam.

Jebkurš funkciju grafika rasējums sākas ar koordinātu asīm.

Zīmējumi ir divdimensiju un trīsdimensiju.

Vispirms apskatīsim divdimensiju gadījumu Dekarta taisnstūra sistēma koordinātas:

1) Zīmējam koordinātu asis. Asi sauc x-ass , un ass y ass . Mēs vienmēr cenšamies tos uzzīmēt glīts un nav greizs. Bultām nevajadzētu līdzināties arī papa Karlo bārdai.

2) Mēs parakstām asis ar lielajiem burtiem "x" un "y". Neaizmirstiet parakstīt asis.

3) Iestatiet mērogu gar asīm: uzzīmē nulli un divus vieniniekus. Veidojot zīmējumu, ērtākais un izplatītākais mērogs ir: 1 vienība = 2 šūnas (zīmējums pa kreisi) - pēc iespējas pieturieties pie tā. Tomēr ik pa laikam gadās, ka zīmējums neiederas piezīmjdatora lapā – tad samazinām mērogu: 1 vienība = 1 šūna (zīmējums pa labi). Reti, bet gadās, ka zīmējuma mērogs ir jāsamazina (vai jāpalielina) vēl vairāk

NEDRĪKST skricelēt no ložmetēja ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Jo koordinātu plakne nav piemineklis Dekartam, un students nav balodis. Mēs liekam nulle Un divas vienības gar asīm. Dažkārt tā vietā mērvienības, ir ērti “noteikt” citas vērtības, piemēram, “divi” uz abscisu ass un “trīs” uz ordinātu ass - un šī sistēma (0, 2 un 3) arī unikāli iestatīs koordinātu režģi.

Labāk ir novērtēt aptuvenos rasējuma izmērus PIRMS rasējuma zīmēšanas.. Tātad, piemēram, ja uzdevums prasa uzzīmēt trīsstūri ar virsotnēm , , , tad ir pilnīgi skaidrs, ka populārā mēroga 1 vienība = 2 šūnas nedarbosies. Kāpēc? Paskatīsimies pēc būtības – te jāmēra piecpadsmit centimetri uz leju, un, acīmredzot, zīmējums neiederēsies (vai knapi ietilps) piezīmjdatora lapā. Tāpēc mēs nekavējoties izvēlamies mazāku mērogu 1 vienība = 1 šūna.

Starp citu, apmēram centimetri un piezīmju grāmatiņas šūnas. Vai tā ir taisnība, ka 30 piezīmju grāmatiņas šūnās ir 15 centimetri? Izmēriet piezīmju grāmatiņā interesei 15 centimetrus ar lineālu. PSRS, iespējams, tā bija taisnība ... Interesanti atzīmēt, ka, mērot šos pašus centimetrus horizontāli un vertikāli, tad rezultāti (šūnās) būs atšķirīgi! Stingri sakot, mūsdienu piezīmju grāmatiņas nav rūtainas, bet taisnstūrveida. Var šķist, ka tas ir muļķības, taču zīmēt, piemēram, apli ar kompasu šādās situācijās ir ļoti neērti. Godīgi sakot, šādos brīžos sāc aizdomāties par biedra Staļina pareizību, kurš tika nosūtīts uz nometnēm uzlaušanas darbiem ražošanā, nemaz nerunājot par pašmāju autorūpniecību, krītošām lidmašīnām vai sprāgstošām spēkstacijām.

Runājot par kvalitāti, vai īss ieteikums par kancelejas precēm. Līdz šim lielākā daļa pārdošanā esošo piezīmju grāmatiņu, nerunājot sliktus vārdus, ir pilnīgs goblins. Tā iemesla dēļ, ka tie kļūst slapji, un ne tikai no gēla pildspalvām, bet arī no lodīšu pildspalvām! Ietaupiet uz papīra. Par klīrensu kontroles darbi Es iesaku izmantot Arhangeļskas celulozes un papīra rūpnīcas piezīmju grāmatiņas (18 loksnes, būris) vai Pyaterochka, lai gan tas ir dārgāks. Vēlams izvēlēties gēla pildspalvu, pat lētākais ķīniešu gēla uzpildījums ir daudz labāks par lodīšu pildspalvu, kas vai nu smērē, vai plēš papīru. Vienīgā "konkurētspējīgā" lodīšu pildspalva manā atmiņā ir Ērihs Krauze. Viņa raksta skaidri, skaisti un stabili - vai nu ar pilnu kātu, vai ar gandrīz tukšu.

Turklāt: taisnstūra koordinātu sistēmas redzējums caur analītiskās ģeometrijas acīm ir apskatīts rakstā Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru pamats, sīkāka informācija par koordinātu ceturkšņiem atrodama nodarbības otrajā rindkopā Lineārās nevienādības.

3D korpuss

Šeit ir gandrīz tas pats.

1) Zīmējam koordinātu asis. Standarta: aplikācijas ass – vērsta uz augšu, ass – vērsta pa labi, ass – uz leju pa kreisi stingri 45 grādu leņķī.

2) Mēs parakstām asis.

3) Iestatiet mērogu gar asīm. Mērogs pa asi - divas reizes mazāks nekā skala pa pārējām asīm. Ņemiet vērā arī to, ka labajā zīmējumā es izmantoju nestandarta "serifu" gar asi (šī iespēja jau ir minēts iepriekš). No mana viedokļa tas ir precīzāks, ātrāks un estētiskāks - jums nav jāmeklē šūnas vidus mikroskopā un "izveido" vienību līdz pat sākumam.

Veicot 3D zīmējumu vēlreiz - dodiet priekšroku mērogam
1 vienība = 2 šūnas (zīmējums kreisajā pusē).

Kam domāti visi šie noteikumi? Noteikumi ir tāpēc, lai tos pārkāptu. Ko es tagad darīšu. Fakts ir tāds, ka raksta turpmākos rasējumus es veidošu programmā Excel, un koordinātu asis izskatīsies nepareizs pareiza dizaina ziņā. Es varētu zīmēt visus grafikus ar roku, bet ir patiešām bail tos zīmēt, jo Excel nelabprāt tos zīmē daudz precīzāk.

Elementāro funkciju grafiki un pamatīpašības

Lineāro funkciju nosaka vienādojums . Lineārās funkcijas grafiks ir tiešā veidā. Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek zināt divus punktus.

1. piemērs

Uzzīmējiet funkciju. Atradīsim divus punktus. Kā vienu no punktiem ir izdevīgi izvēlēties nulli.

Ja tad

Mēs ņemam kādu citu punktu, piemēram, 1.

Ja tad

Sagatavojot uzdevumus, punktu koordinātas parasti tiek apkopotas tabulā:

Un pašas vērtības tiek aprēķinātas mutiski vai uz melnraksta, kalkulatora.

Ir atrasti divi punkti, izlozēsim:

Sastādot zīmējumu, mēs vienmēr parakstām grafiku.

Nebūs lieki atgādināt īpašus lineāras funkcijas gadījumus:

Ievērojiet, kā es ievietoju parakstus, Studējot zīmējumu, paraksti nedrīkst būt nepārprotami. Šajā gadījumā bija ļoti nevēlami likt parakstu blakus līniju krustošanās punktam vai apakšā pa labi starp grafikiem.

1) Formas () lineāro funkciju sauc par tiešo proporcionalitāti. Piemēram, . Tiešās proporcionalitātes grafiks vienmēr iet caur izcelsmi. Tādējādi tiek vienkāršota taisnas līnijas konstrukcija - pietiek atrast tikai vienu punktu.

2) Formas vienādojums nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir norādīta ar vienādojumu. Funkcijas grafiks tiek veidots uzreiz, neatrodot nevienu punktu. Tas ir, ieraksts jāsaprot šādi: "y vienmēr ir vienāds ar -4, jebkurai x vērtībai."

3) Formas vienādojums nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir norādīta ar vienādojumu. Tūlīt tiek izveidots arī funkcijas grafiks. Ieraksts jāsaprot šādi: "x vienmēr jebkurai y vērtībai ir vienāds ar 1."

Daži jautās, nu, kāpēc atcerēties 6. klasi?! Tā tas ir, varbūt tā, tikai prakses gados satiku labu duci studentu, kuri bija neizpratnē par tādu grafiku kā vai .

Taisnas līnijas vilkšana ir visizplatītākā darbība, veidojot zīmējumus.

Taisne tiek detalizēti apspriesta analītiskās ģeometrijas gaitā, un tie, kas vēlas, var atsaukties uz rakstu Taisnes vienādojums plaknē.

Kvadrātfunkciju grafiks, kubisko funkciju grafiks, polinoma grafiks

Parabola. Kvadrātfunkcijas grafiks () ir parabola. Apsveriet slaveno gadījumu:

Atcerēsimies dažas funkcijas īpašības.

Tātad, mūsu vienādojuma risinājums: - tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne. Kāpēc tas tā ir, var uzzināt no teorētiskā raksta par atvasinājumu un mācības par funkcijas galējībām. Pa to laiku mēs aprēķinām atbilstošo "y" vērtību:

Tātad virsotne atrodas punktā

Tagad mēs atrodam citus punktus, vienlaikus nekaunīgi izmantojot parabolas simetriju. Jāatzīmē, ka funkcija – nav pat, bet, neskatoties uz to, neviens neatcēla parabolas simetriju.

Kādā secībā atrast atlikušos punktus, domāju, ka noskaidrosies no fināla tabulas:

Šo konstruēšanas algoritmu tēlaini var saukt par "shuttle" jeb "turp un atpakaļ" principu ar Anfisu Čehovu.

Izveidosim zīmējumu:

No aplūkotajiem grafikiem nāk prātā vēl viena noderīga funkcija:

Kvadrātiskajai funkcijai () patiesība ir šāda:

Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.

Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

Padziļinātas zināšanas par līkni var iegūt nodarbībā Hiperbola un parabola.

Kubiskā parabola tiek dota ar funkciju . Šeit ir zīmējums, kas pazīstams no skolas:

Mēs uzskaitām funkcijas galvenās īpašības

Funkciju grafiks

Tas attēlo vienu no parabolas atzariem. Izveidosim zīmējumu:

Funkcijas galvenās īpašības:

Šajā gadījumā ass ir vertikālā asimptote hiperbolas grafikam pie .

Tā būs LIELA kļūda, ja, sastādot zīmējumu, nolaidības dēļ pieļausit grafikam krustoties ar asimptotu.

Arī vienpusējas robežas, sakiet, ka hiperbola nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas.

Izpētīsim funkciju bezgalībā: , tas ir, ja mēs sākam virzīties pa asi pa kreisi (vai pa labi) līdz bezgalībai, tad “spēles” būs slaids solis bezgala tuvu tuvojas nullei un attiecīgi hiperbolas zari bezgala tuvu tuvinies asij.

Tātad ass ir horizontālā asimptote funkcijas grafikam, ja "x" ir tendence uz plus vai mīnus bezgalību.

Funkcija ir nepāra, kas nozīmē, ka hiperbola ir simetriska attiecībā pret izcelsmi. Šis fakts ir skaidrs no zīmējuma, turklāt to var viegli pārbaudīt analītiski: .

Formas () funkcijas grafiks attēlo divus hiperbolas atzarus.

Ja , tad hiperbola atrodas pirmajā un trešajā koordinātu kvadrantā(skat. attēlu augstāk).

Ja , tad hiperbola atrodas otrajā un ceturtajā koordinātu kvadrantā.

Nav grūti analizēt norādīto hiperbolas dzīvesvietas likumsakarību no grafiku ģeometrisko transformāciju viedokļa.

3. piemērs

Izveidojiet hiperbolas labo atzaru

Mēs izmantojam punktveida konstruēšanas metodi, savukārt vērtības ir izdevīgi izvēlēties tā, lai tās pilnībā sadalītos:

Izveidosim zīmējumu:

Nebūs grūti izveidot hiperbolas kreiso zaru, šeit tikai palīdzēs funkcijas dīvainība. Aptuveni runājot, punktveida konstruēšanas tabulā katram skaitlim garīgi pievienojiet mīnusu, ielieciet atbilstošos punktus un uzzīmējiet otro zaru.

Detalizēta ģeometriskā informācija par aplūkoto līniju atrodama rakstā Hiperbola un parabola.

Eksponenciālās funkcijas grafiks

Šajā rindkopā es nekavējoties aplūkošu eksponenciālo funkciju, jo augstākās matemātikas uzdevumos 95% gadījumu notiek eksponents.

Atgādinu, ka - tas ir iracionāls skaitlis: , tas būs nepieciešams, veidojot grafu, kuru patiesībā es veidošu bez ceremonijām. Droši vien pietiek ar trim punktiem:

Pagaidām atstāsim funkcijas grafiku, par to vēlāk.

Funkcijas galvenās īpašības:

Principā funkciju grafiki izskatās vienādi utt.

Jāsaka, ka otrs gadījums praksē ir retāk sastopams, taču gadās, tāpēc uzskatīju par nepieciešamu to iekļaut šajā rakstā.

Logaritmiskās funkcijas grafiks

Apsveriet funkciju ar naturālo logaritmu .
Zīmēsim līniju:

Ja esat aizmirsis, kas ir logaritms, lūdzu, skatiet skolas mācību grāmatas.

Funkcijas galvenās īpašības:

Domēns:

Vērtību diapazons: .

Funkcija nav ierobežota no augšas: , lai arī lēni, bet logaritma atzars iet uz augšu līdz bezgalībai.
Apskatīsim funkcijas darbību, kas ir tuvu nullei labajā pusē: . Tātad ass ir vertikālā asimptote funkcijas grafikam ar "x" tiecas uz nulli labajā pusē.

Noteikti zināt un atcerieties logaritma tipisko vērtību: .

Pamatā logaritma grafiks pie bāzes izskatās tāpat: , , ( decimāllogaritms 10. bāzē) utt. Tajā pašā laikā, jo lielāka ir bāze, jo plakanāka būs diagramma.

Mēs šo gadījumu neapskatīsim, un es neatceros, kad pēdējo reizi veidoju grafiku uz šāda pamata. Jā, un logaritms, šķiet, ir ļoti rets viesis augstākās matemātikas uzdevumos.

Punkta noslēgumā es pateikšu vēl vienu faktu: Eksponenciālā funkcija un logaritmiskā funkcijair divi savstarpēji apgrieztās funkcijas . Ja paskatās uz logaritma grafiku, jūs varat redzēt, ka tas ir viens un tas pats eksponents, tikai tas atrodas nedaudz savādāk.

Trigonometrisko funkciju grafiki

Kā skolā sākas trigonometriskās mokas? Pa labi. No sinusa

Uzzīmēsim funkciju

Šo līniju sauc sinusoīds.

Atgādinu, ka “pi” ir iracionāls skaitlis: un trigonometrijā tas žilbina acīs.

Funkcijas galvenās īpašības:

Šī funkcija ir periodiskais izdevums ar periodu. Ko tas nozīmē? Apskatīsim griezumu. Pa kreisi un pa labi no tā bezgalīgi atkārtojas tieši viens un tas pats diagrammas fragments.

Domēns: , tas ir, jebkurai "x" vērtībai ir sinusa vērtība.

Vērtību diapazons: . Funkcija ir ierobežots: , tas ir, visas “spēles” stingri atrodas segmentā .
Tas nenotiek: vai, precīzāk, tas notiek, bet šiem vienādojumiem nav atrisinājuma.

Funkcijas grafiks ir visu koordinātu plaknes punktu kopa, kuras abscises ir vienādas ar argumenta vērtībām, bet ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām.

Nākamajā tabulā parādīta mēneša vidējā temperatūra mūsu valsts galvaspilsētā Minskā.

P

t,V

Šeit arguments ir mēneša kārtas skaitlis, un funkcijas vērtība ir gaisa temperatūra Celsija grādos. Piemēram, no šīs tabulas uzzinām, ka aprīlī mēneša vidējā temperatūra ir 5,3 °C.

Funkcionālo atkarību var norādīt ar grafiku.

1. attēlā parādīts 6СГ leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kustības grafiks ar sākuma ātrumu 20 m/s.

Izmantojot funkciju grafiku, pēc argumenta vērtības var atrast atbilstošo funkcijas vērtību. Pēc grafika 1. attēlā nosakām, ka, piemēram, pēc 2 s no kustības sākuma ķermenis atradās 15 m augstumā, bet pēc 3 s 7,8 m augstumā (2. att.).

Ir iespējams arī atrisināt apgriezto problēmu, proti, pēc dotās funkcijas vērtības a atrast tās argumenta vērtības, kurām funkcija ņem šo vērtību a. Piemēram, saskaņā ar grafiku 1. attēlā mēs atklājam, ka 10 m augstumā ķermenis atradās 0,7 s un 2,8 s laikā no kustības sākuma (3. att.),

Ir ierīces, kas zīmē lielumu atkarību grafikus. Tie ir barogrāfi - ierīces atmosfēras spiediena atkarības no laika fiksēšanai, termogrāfi - ierīces temperatūras atkarības no laika fiksēšanai, kardiogrāfi - ierīces sirds darbības grafiskai fiksēšanai u.c. 102. attēlā shematiski parādīts termogrāfs. Tā cilindrs griežas vienmērīgi. Uz trumuļa uztīto papīru pieskaras reģistrators, kas atkarībā no temperatūras ceļas un krīt un novelk uz papīra noteiktu līniju.

No funkcijas attēlojuma ar formulu varat pāriet uz tās attēlojumu tabulā un grafikā.