V prípadoch, keď skúmané procesy nie sú opísané diferenciálnymi rovnicami, je jedným zo spôsobov ich analýzy experiment, ktorého výsledky sú najlepšie reprezentované v zovšeobecnenej forme (vo forme bezrozmerných komplexov). Spôsob zostavovania takýchto komplexov je metóda rozmerovej analýzy.

Rozmer ľubovoľnej fyzikálnej veličiny je určený pomerom medzi ňou a tými fyzikálnymi veličinami, ktoré sa berú ako hlavné (primárne). Každý systém jednotiek má svoje základné jednotky. Napríklad v medzinárodnom systéme jednotiek SI sa za jednotky dĺžky, hmotnosti a času považujú meter (m), kilogram (kg), sekunda (s). Jednotky merania iných fyzikálnych veličín, takzvané odvodené veličiny (sekundárne), sa prijímajú na základe zákonov, ktoré ustanovujú vzťah medzi týmito jednotkami. Tento vzťah možno znázorniť vo forme takzvaného rozmerového vzorca.

Teória dimenzií je založená na dvoch predpokladoch.

• 1. Pomer dvoch číselných hodnôt akejkoľvek veličiny nezávisí od výberu mierok pre hlavné jednotky merania (napríklad pomer dvoch lineárnych rozmerov nezávisí od jednotiek, v ktorých sa budú merať) .
• 2. Akýkoľvek vzťah medzi rozmerovými veličinami možno formulovať ako vzťah medzi bezrozmernými veličinami. Tento výrok predstavuje tzv P-veta v teórii rozmerov.

Z prvej pozície vyplýva, že vzorce pre dimenziu fyzikálnych veličín by mali mať podobu mocninových závislostí

kde sú rozmery základných jednotiek.

Matematické vyjadrenie P-vety možno získať na základe nasledujúcich úvah. Nechaj nejakú rozmerovú hodnotu A 1 je funkciou viacerých nezávislých rozmerových veličín, t.j.

Z toho teda vyplýva

Predpokladajme, že počet základných rozmerových jednotiek, prostredníctvom ktorých možno všetko vyjadriť P premenných, rovná sa T. P-veta hovorí, že ak všetko P premenné vyjadrené v základných jednotkách, potom ich možno zoskupiť do bezrozmerných P-členov, t.j.

V tomto prípade bude každý P-člen obsahovať premennú.

V úlohách hydromechaniky musí byť počet premenných zahrnutých v P-členoch štyri. Rozhodujúce budú tri z nich (zvyčajne ide o charakteristickú dĺžku, rýchlosť prúdenia tekutiny a jej hustotu) - sú zahrnuté v každom z P-členov. Jedna z týchto premenných (štvrtá) je odlišná pri prechode z jedného P-členu na druhý. Ukazovatele stupňov definujúcich kritérií (označme ich pomocou x, y , z ) sú neznáme. Pre pohodlie vezmeme exponent štvrtej premennej rovný -1.

Vzťahy pre P-termíny budú vyzerať takto

Premenné zahrnuté v P-členoch môžu byť vyjadrené pomocou základných rozmerov. Keďže tieto členy sú bezrozmerné, exponenty každej zo základných dimenzií sa musia rovnať nule. Výsledkom je, že pre každý z P-členov je možné zostaviť tri nezávislé rovnice (jednu pre každú dimenziu), ktoré súvisia s exponentmi premenných v nich zahrnutých. Riešenie výsledného systému rovníc umožňuje nájsť číselné hodnoty neznámych exponentov X , pri , z. V dôsledku toho je každý z P-členov určený vo forme vzorca zloženého z konkrétnych veličín (parametrov prostredia) v príslušnej miere.

Ako prípadová štúdia nájdeme riešenie problému určenia tlakovej straty v dôsledku trenia v turbulentnom prúdení tekutiny.

Zo všeobecných úvah môžeme vyvodiť záver, že tlaková strata v potrubí závisí od týchto hlavných faktorov: priemer d , dĺžka l , drsnosť steny k, hustota ρ a viskozita µ média, priemerná rýchlosť prúdenia v , počiatočné šmykové napätie, t.j.

(5.8)

Rovnica (5.8) obsahuje n=7 členov, a počet základných rozmerových jednotiek. Podľa P-vety dostaneme rovnicu pozostávajúcu z bezrozmerných P-členov:

(5.9)

Každý takýto P-člen obsahuje 4 premenné. Ako hlavné premenné sa berie priemer d , rýchlosť v , hustotu a ich kombináciou so zvyškom premenných v rovnici (5.8), dostaneme

Vytvorením dimenzionálnej rovnice pre prvý П-člen budeme mať

Pridanie exponentov v rovnaké dôvody, nájdeme

V poradí pre rozmer P 1 sa rovnalo 1 ( P 1 je bezrozmerná veličina), je potrebné vyžadovať, aby sa všetky exponenty rovnali nule, t.j.

(5.10)

Systém algebraické rovnice(5.10) obsahuje tri neznáme veličiny X 1, r 1,z 1. Z riešenia tejto sústavy rovníc zistíme X 1 = 1; pri 1=1; z 1= 1.

Dosadením týchto hodnôt exponentov do prvého P-členu dostaneme

Podobne pre zvyšné P-členy máme

Dosadením výsledných P-členov do rovnice (5.9) zistíme

Poďme vyriešiť túto rovnicu pre P4:

Vyjadrime to odtiaľto:

Ak vezmeme do úvahy, že strata hlavy v dôsledku trenia sa rovná rozdielu medzi piezometrickými hlavami, budeme mať

Označením komplexu v hranatých zátvorkách sa konečne dostaneme

Posledný výraz predstavuje známy Darcy-Weibachov vzorec, kde

Vzorce na výpočet koeficientu trenia Komu diskutované v odsekoch 6.13, 6.14.

Je potrebné zdôrazniť, že konečný cieľ v posudzovanom prípade zostáva rovnaký: nájdenie čísel podobnosti, pre ktoré by sa modelovanie malo uskutočniť, je však riešené s výrazne menším množstvom informácií o charaktere procesu.

Aby sme objasnili, čo nasleduje, stručne zopakujeme niektoré základné pojmy. Podrobnú prezentáciu možno nájsť v knihe A.N. Lebedeva „Modelovanie vo vedeckom a technickom výskume“. - M.: Rádio a spoje. 1989. -224 s.

Každý hmotný objekt má množstvo vlastností, ktoré umožňujú kvantitatívne vyjadrenie. Každá z vlastností je navyše charakterizovaná veľkosťou určitej fyzikálnej veličiny. Jednotky niektorých fyzikálnych veličín možno ľubovoľne zvoliť a s ich pomocou reprezentovať jednotky všetkých ostatných. Fyzikálne jednotky zvolené ľubovoľne sa nazývajú Hlavná. V medzinárodnom systéme (aplikovanom na mechaniku) je to kilogram, meter a sekunda. Zvyšné množstvá vyjadrené týmito tromi sú tzv deriváty.

Základná jednotka môže byť označená buď symbolom zodpovedajúcej veličiny alebo špeciálnym symbolom. Napríklad jednotky dĺžky sú L, jednotky hmotnosti - M, jednotka času - T. Alebo, jednotka dĺžky je meter (m), jednotka hmotnosti je kilogram (kg), jednotka času je sekunda (s).

Dimenzia sa chápe ako symbolické vyjadrenie (niekedy nazývané aj vzorec) vo forme mocninového monomiálu, spájajúce odvodenú hodnotu s hlavnými. Všeobecná forma tento vzor má tvar

Kde X, r, z- Indikátory rozmerov.

Napríklad rozmer rýchlosti

Pre bezrozmerné množstvo, všetky ukazovatele , a preto .

Nasledujúce dve tvrdenia sú celkom jasné a nepotrebujú žiadne špeciálne dôkazy.

Pomer veľkostí dvoch objektov je konštantná hodnota bez ohľadu na jednotky, v ktorých sú vyjadrené. Napríklad, ak je pomer plochy obsadenej oknami k ploche stien 0,2, potom tento výsledok zostane nezmenený, ak sú samotné plochy vyjadrené v mm2, m2 alebo km2.

Druhá pozícia môže byť formulovaná nasledovne. Akýkoľvek správny fyzický vzťah musí byť rozmerovo jednotný. To znamená, že všetky výrazy zahrnuté v pravej aj ľavej časti musia mať rovnaký rozmer. Toto jednoduché pravidlo je jasne implementované v každodennom živote. Každý si uvedomuje, že metre možno pripočítať iba k metrom a nie k kilogramom alebo sekundám. Je potrebné jasne pochopiť, že pravidlo zostáva platné aj pri zvažovaní najzložitejších rovníc.

Metóda rozmerovej analýzy je založená na takzvanej -teoréme (čítaj: pí-teorém). -veta zakladá spojenie medzi funkciou vyjadrenou rozmerovými parametrami a funkciou v bezrozmernej forme. Veta môže byť úplnejšie formulovaná takto:

Akýkoľvek funkčný vzťah medzi rozmerovými veličinami môže byť reprezentovaný ako vzťah medzi N bezrozmerné komplexy (čísla) zložené z týchto veličín. Počet týchto komplexov , Kde n- počet základných jednotiek. Ako je uvedené vyššie, v hydromechanike (kg, m, s).

Nech je napríklad hodnota A je funkciou piatich rozmerných veličín (), t.j.

(13.12)

Z -vety vyplýva, že túto závislosť možno transformovať na závislosť obsahujúcu dve čísla ( )

(13.13)

kde a sú bezrozmerné komplexy zložené z rozmerových veličín.

Táto veta sa niekedy pripisuje Buckinghamovi a nazýva sa - Buckinghamova veta. V skutočnosti k jeho rozvoju prispelo mnoho významných vedcov, vrátane Fouriera, Ryabushinského a Rayleigha.

Dôkaz vety je nad rámec kurzu. V prípade potreby ho možno nájsť v knihe L.I. Sedova "Metódy podobnosti a rozmerov v mechanike" - M.: Nauka, 1972. - 440 s. Podrobné zdôvodnenie metódy je uvedené aj v knihe V.A.Venikova a G.V.Venikova "Teória podobnosti a modelovania" - M.: Higher school, 1984. -439 s. Charakteristickým rysom tejto knihy je, že okrem otázok súvisiacich s podobnosťou obsahuje aj informácie o metodológii nastavenia experimentu a spracovania jeho výsledkov.

Použitie rozmerovej analýzy na riešenie konkrétnych praktické úlohy je spojená s potrebou zostaviť funkčnú závislosť formulára (13.12), ktorá sa v ďalšej fáze spracováva špeciálnymi technikami, ktoré v konečnom dôsledku vedú k získaniu čísel (podobných čísel).

Hlavnou tvorivou fázou je prvá fáza, pretože získané výsledky závisia od toho, ako správne a úplné výskumník chápe fyzikálnu podstatu procesu. Inými slovami, ako funkčná závislosť (13.12) správne a plne zohľadňuje všetky parametre, ktoré ovplyvňujú skúmaný proces. Akákoľvek chyba tu nevyhnutne vedie k chybným záverom. Takzvaná „Rayleighova chyba“ je v dejinách vedy známa. Jej podstatou je, že pri štúdiu problému prenosu tepla pri turbulentnom prúdení Rayleigh nezohľadnil vplyv viskozity prúdenia, t.j. nezaradil do odkázanosti (13.12). Výsledkom je Reynoldsovo číslo podobnosti, ktoré hrá výlučne dôležitá úloha pri výmene tepla.

Aby ste pochopili podstatu metódy, zvážte príklad, ilustruje všeobecný prístup k problému a spôsob získavania čísel podobnosti.

Je potrebné stanoviť typ závislosti, ktorý umožňuje určiť tlakovú stratu alebo tlakovú stratu pri turbulentnom prúdení v kruhových potrubiach.

Pripomeňme, že tento problém už bol zvážený v časti 12.6. Preto je nepochybne zaujímavé zistiť, ako sa to dá vyriešiť pomocou rozmerovej analýzy a či toto riešenie poskytuje nejaké nové informácie.

Je zrejmé, že pokles tlaku pozdĺž potrubia v dôsledku energie vynaloženej na prekonanie síl viskózneho trenia je nepriamo úmerný jeho dĺžke, preto, aby sa znížil počet premenných, je vhodné zvážiť nie, ale , t.j. tlaková strata na jednotku dĺžky potrubia. Pripomeňme, že pomer, kde je tlaková strata, sa nazýva hydraulický sklon.

Z koncepcie fyzikálnej podstaty procesu možno predpokladať, že výsledné straty by mali závisieť od: priemernej rýchlosti prúdenia Pracovné prostredie(v); na veľkosti potrubia, určeného jeho priemerom ( d); od fyzikálne vlastnosti transportované médium, charakterizované svojou hustotou () a viskozitou (); a nakoniec je rozumné predpokladať, že straty musia nejako súvisieť so stavom vnútorného povrchu potrubia, t.j. s drsnosťou ( k) jeho stien. Závislosť (13.12) má teda v posudzovanom prípade tvar

(13.14)

Toto je koniec prvého a treba zdôrazniť, že najdôležitejší krok v analýze rozmerov.

V súlade s -teorémom je počet ovplyvňujúcich parametrov zahrnutých do závislosti . V dôsledku toho počet bezrozmerných komplexov, t.j. po príslušnom spracovaní (13.14) by mal mať formu

(13.15)

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť čísla. Použijeme metódu, ktorú navrhol Rayleigh.

Jeho hlavnou výhodou je, že ide o akýsi algoritmus, ktorý vedie k riešeniu problému.

Z parametrov obsiahnutých v (13.15) je potrebné vybrať ľubovoľné tri, ale tak, aby obsahovali základné jednotky, t.j. meter, kilogram a sekundu. Nech sú v, d, . Je ľahké overiť, či spĺňajú uvedenú požiadavku.

Čísla sú tvorené vo forme výkonových monočlánkov z vybraných parametrov vynásobených jedným zo zostávajúcich v (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Teraz je problém zredukovaný na nájdenie všetkých exponentov. Zároveň musia byť vybrané tak, aby čísla boli bezrozmerné.

Na vyriešenie tohto problému najprv určíme rozmery všetkých parametrov:

; ;

Viskozita , t.j. .

Parameter , A .

A nakoniec, .

Rozmery čísel teda budú

Podobne aj ďalšie dve

Na začiatku časti 13.3 už bolo uvedené, že pre akúkoľvek bezrozmernú veličinu sú rozmerové exponenty . Preto napríklad za číslo môžeme písať

Prirovnaním exponentov dostaneme tri rovnice s tromi neznámymi

Kde nájdeme; ; .

Nahradením týchto hodnôt do (13.6) dostaneme

(13.19)

Ak budete postupovať podobne, je ľahké to ukázať

A .

Závislosť (13.15) teda nadobúda formu

(13.20)

Keďže existuje nedefinujúce číslo podobnosti (Eulerovo číslo), potom (13.20) možno zapísať ako funkčnú závislosť

(13.21)

Treba mať na pamäti, že analýza rozmerov neposkytuje a v zásade nemôže poskytnúť žiadne číselné hodnoty v pomeroch získaných s jej pomocou. Preto by sa mal končiť analýzou výsledkov a v prípade potreby ich korekciou na základe všeobecných fyzikálnych pojmov. Uvažujme výraz (13.21) z týchto pozícií. Jeho pravá strana obsahuje druhú mocninu rýchlosti, ale tento údaj nevyjadruje nič iné ako to, že rýchlosť je na druhú. Ak však túto hodnotu vydelíme dvomi, t.j. , potom, ako je známe z hydromechaniky, nadobúda dôležitý fyzikálny význam: špecifická kinetická energia a - dynamický tlak v dôsledku priemernej rýchlosti. Vzhľadom na to je účelné do formulára napísať (13.21).

(13.22)

Ak teraz, ako v (12.26), označíme písmenom , potom sa dostaneme k Darcymu vzorcu

(13.23)

(13.24)

kde je hydraulický koeficient trenia, ktorý, ako vyplýva z (13.22), je funkciou Reynoldsovho čísla a relatívnej drsnosti ( k/d). Podobu tejto závislosti možno nájsť len experimentálne.

LITERATÚRA

1. Kalnitsky L.A., Dobrotin D.A., Zheverzheev V.F. Špeciálny kurz vyššej matematiky pre vysoké školy. M.: absolventská škola, 1976. - 389. roky.

2. Astarita J., Marruchi J. Základy hydromechaniky nenewtonských tekutín. - M.: Mir, 1978.-307s.

3. Fedyaevsky K.K., Faddeev Yu.I. Hydromechanika. - M.: Stavba lodí, 1968. - 567 s.

4. Fabrikant N.Ya. Aerodynamika. - M.: Nauka, 1964. - 814 s.

5. Arzhanikov N.S. a Maltsev V.N. Aerodynamika. - M.: Oborongiz, 1956 - 483 s.

6. Filchakov P.F. Približné metódy konformných zobrazení. - K .: Naukova Dumka, 1964. - 530 s.

7. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metódy teórie funkcií komplexnej premennej. - M.: Nauka, 1987. - 688 s.

8. Daly J., Harleman D. Mechanika tekutín. -M.: Energia, 1971. - 480 s.

9. A.S. Monin, A.M. Yaglom "Štatistická hydromechanika" (časť 1. - M.: Nauka, 1968. - 639 s.)

10. Schlichting G. Teória hraničnej vrstvy. - M.: Nauka, 1974. - 711 s.

11. Pavlenko V.G. Základy mechaniky tekutín. - L.: Stavba lodí, 1988. - 240 s.

12. Altshul A.D. hydraulický odpor. - M.: Nedra, 1970. - 215 s.

13. A.A. Gukhman "Úvod do teórie podobnosti." - M.: Vyššia škola, 1963. - 253 s.

14. S. Kline "Podobnosti a približné metódy". - M.: Mir, 1968. - 302 s.

15. A.A. Gukhman „Aplikácia teórie podobnosti na štúdium procesov prenosu tepla a hmoty. Prenos procesov v pohyblivom médiu. - M.: Vyššia stupnica, 1967. - 302 s.

16. A.N. Lebedev „Modelovanie vo vedeckom a technickom výskume“. - M.: Rádio a spoje. 1989. -224 s.

17. L.I. Sedov "Metódy podobnosti a rozmerov v mechanike" - M.: Nauka, 1972. - 440 s.

18. V.A.Venikov a G.V.Venikov "Teória podobnosti a modelovanie" - M.: Vysoká škola, 1984. -439 s.

1. MATEMATICKÉ ZARIADENIA POUŽÍVANÉ V KAPALINOVEJ MECHANIKE ...................................... ...................................................................... ...................... 3

1.1. Vektory a operácie s nimi ................................................ ........................... 4

1.2. Operácie prvého rádu (diferenciálne charakteristiky poľa). ................................................. ................................................. .. ... 5

1.3. Operácie druhého rádu ................................................................ ........................... 6

1.4. Integrálne vzťahy teórie poľa................................................................ .. 7

1.4.1. Tok vektorového poľa ................................................ ............... 7

1.4.2. Obeh vektora poľa ................................................. .. 7

1.4.3. Stokesov vzorec ................................................ .............. 7

1.4.4. Gaussov-Ostrogradského vzorec ........................ 7

2. ZÁKLADNÉ FYZIKÁLNE VLASTNOSTI A PARAMETRE KVAPALINY. SILY A NAPRESY ................................................................ ................................................. 8

2.1. Hustota................................................. ................................... 8

2.2. Viskozita................................................. ...................................... 9

2.3. Klasifikácia síl ................................................... ...................... 12

2.3.1. Hromadné sily ................................................. ............................. 12

2.3.2. Povrchové sily ................................................................ ................... .... 12

2.3.3. Tenzor stresu ...................................................... ............................. 13

2.3.4. Pohybová rovnica v napätí ................................... 16

3. HYDROSTATIKA ...................................................... ................................... 18

3.1. Rovnováha tekutiny ................................................ 18

3.2. Základná rovnica hydrostatiky v diferenciálnom tvare. ................................................. ................................................. .. ... 19

3.3. Ekvipotenciálne plochy a plochy rovnakého tlaku. ................................................. ................................................. .. ... 20

3.4. Rovnováha homogénnej nestlačiteľnej tekutiny v gravitačnom poli. Pascalov zákon. Hydrostatický zákon rozloženia tlaku... 20

3.5. Stanovenie sily tlaku kvapaliny na povrch telies .... 22

3.5.1. Plochý povrch................................................ .... 24

4. KINEMATIKA ................................................ ...................................... 26

4.1. Stabilný a nestabilný pohyb tekutiny ...... 26

4.2. Rovnica kontinuity (kontinuity)................................................................ .. 27

4.3. Prúdy a trajektórie ...................................................... ................................ 29

4.4. Prúdová trubica (povrch prúdu) ...................................... ........ 29

4.5. Model prúdového prúdu ................................................ ................................ 29

4.6. Rovnica kontinuity pre pramienok ............................................................ .. 30

4.7. Zrýchlenie kvapalnej častice ................................................. ...................... 31

4.8. Analýza pohybu kvapalnej častice .................................................. .... 32

4.8.1. Uhlové deformácie ................................................................ ................... ... 32

4.8.2. Lineárne deformácie ...................................................... ................... .36

5. VORTEXOVÝ POHYB KVAPALINY ...................................................... ................... .38

5.1. Kinematika vírového pohybu ................................................ 38

5.2. Intenzita víru ................................................ ............................. 39

5.3. Rýchlosť obehu ................................................. ........................ 41

5.4. Stokesova veta ................................................................ .................................... 42

6. POTENCIÁLNY POHYB KVAPALINY ................................................ 44

6.1. Potenciál rýchlosti ................................................. ................................. 44

6.2. Laplaceova rovnica ................................................................ ................... 46

6.3. Rýchlosť obehu v potenciálnom poli................................................ 47

6.4. Funkcia rovinného prúdu ................................................ ...................... .47

6.5. Hydromechanický význam funkcie prúdu ........................ 49

6.6. Vzťah medzi rýchlostným potenciálom a aktuálnou funkciou ........................ 49

6.7. Metódy výpočtu potenciálnych tokov ................................................. 50

6.8. Superpozícia potenciálnych tokov ................................................................ ...... 54

6.9. Necirkulačné prúdenie okolo kruhového valca .................. 58

6.10. Aplikácia teórie funkcií komplexnej premennej na štúdium rovinných tokov ideálnej tekutiny ..... 60

6.11. Konformné zobrazenia ................................................................ ............................. 62

7. HYDRODYNAMIKA IDEÁLNEJ KVAPALINY ................................... 65

7.1. Pohybové rovnice pre ideálnu tekutinu................................ 65

7.2. Premena Gromeka-Lamb ................................................. 66

7.3. Pohybová rovnica v tvare Gromeka-Lamb ................................... 67

7.4. Integrácia pohybovej rovnice pre ustálený tok............................................ ............................................................. ............................. 68

7.5. Zjednodušené odvodenie Bernoulliho rovnice............................................ 69

7.6. Energetický význam Bernoulliho rovnice ........................ 70

7.7. Bernoulliho rovnica v tvare hláv.................................................. .... 71

8. HYDRODYNAMIKA VISKÓZNEJ KVAPALINY ...................................................... ... 72

8.1. Model viskóznej tekutiny ................................................ ............................. 72

8.1.1. Hypotéza linearity ...................................................... ................... ... 72

8.1.2. Hypotéza homogenity ...................................................... ................... 74

8.1.3. Hypotéza izotropie ...................................................... ............... .74

8.2 Pohybová rovnica viskóznej tekutiny. (Navier-Stokesova rovnica) ................................................ ...................................................... .............. 74

9. JEDNOROZMERNÉ TOKY NESTLAČITEĽNEJ KVAPALINY (základy hydrauliky) ................................... ...................................................................... ...................................... 77

9.1. prietok a priemerná rýchlosť........................................... 77

9.2. Slabo deformované toky a ich vlastnosti....................... 78

9.3. Bernoulliho rovnica pre prúdenie viskóznej tekutiny ................................... 79

9.4. Fyzikálny význam Coriolisovho koeficientu ................................... 82

10. KLASIFIKÁCIA TOKOV KVAPALIN. STABILITA POHYBU................................................................ ...................................................... ........... 84

11. PRAVIDLÁ LAMINÁRNEHO PRIETOKU V okrúhlych POTRUBÁCH ............................................ ...................................................................... ...................................... 86

12. HLAVNÉ PRAVIDLÁ turbulentného pohybu. ................................................. ................................................. .. ............ 90

12.1. Všeobecné informácie ................................................ ...................... 90

12.2. Reynoldsove rovnice ................................................................ ............... 92

12.3. Semi-empirické teórie turbulencie................................................. ... 93

12.4. Turbulentné prúdenie v potrubiach .................................................. 95

12.5. Výkonové zákony distribúcie rýchlosti...................... 100

12.6. Strata tlaku (tlaku) pri turbulentnom prúdení v potrubí. ................................................. ................................................. .. ... 100

13. ZÁKLADY TEÓRIE PODOBNOSTI A MODELOVANIA .......... 102

13.1. Kontrolná analýza diferenciálnych rovníc..... 106

13.2. Koncept sebapodobnosti ................................................ ................... .110

13.3. Rozmerová analýza ................................................ ............................. 111

Literatúra …………………………………………………………………………..118

V prípadoch, keď neexistujú rovnice popisujúce proces a nie je ich možné vytvoriť, je možné pomocou analýzy rozmerov určiť typ kritérií, z ktorých by mala byť rovnica podobnosti zostavená. Predtým je však potrebné určiť všetky parametre podstatné pre popis procesu. Dá sa to urobiť na základe skúseností alebo teoretických úvah.

Metóda rozmerov rozdeľuje fyzikálne veličiny na základné (primárne), ktoré charakterizujú mieru priamo (bez spojenia s inými veličinami), a derivačné, ktoré sú vyjadrené prostredníctvom základných veličín v súlade s fyzikálnymi zákonmi.

V sústave SI sú základným jednotkám priradené označenia: dĺžka L, hmotnosť M, čas T, teplota Θ , sila prúdu ja, sila svetla J, množstvo hmoty N.

Vyjadrenie odvodenej hodnoty φ cez hlavné sa nazýva dimenzia. Vzorec pre rozmer odvodenej veličiny, napríklad so štyrmi základnými jednotkami merania L, M, T, Θ, vyzerá ako:

Kde a, b, c, d sú reálne čísla.

V súlade s rovnicou majú bezrozmerné čísla nulový rozmer a základné veličiny majú rozmer rovný jednej.

Okrem vyššie uvedeného princípu je metóda založená na axióme, že sčítať a odčítať možno len množstvá a komplexy veličín, ktoré majú rovnaký rozmer. Z týchto ustanovení vyplýva, že ak nejaká fyzikálna veličina napr ∆ p, je definovaný ako funkcia iných fyzikálnych veličín vo forme ∆ p= f(V, ρ, η, l, d) , potom môže byť táto závislosť reprezentovaná ako:

,

Kde C- stály.

Ak potom vyjadríme rozmer každej odvodenej veličiny z hľadiska hlavných rozmerov, potom môžeme nájsť hodnoty exponentov X, r, z atď. Takto:

V súlade s rovnicou po dosadení rozmerov dostaneme:

Potom zoskupte homogénnych členov, nájdeme:

Ak v oboch častiach rovnice dáme rovnítko medzi exponenty s rovnakými základnými jednotkami, dostaneme nasledujúcu sústavu rovníc:

V tomto systéme troch rovníc je päť neznámych. Preto akékoľvek tri z týchto neznámych môžu byť vyjadrené v termínoch ostatných dvoch, a to X, r A r cez z A v:

Po dosadení exponentov
A do výkonovej funkcie sa ukáže:

.

Kritérium rovnice opisuje prietok tekutiny v potrubí. Táto rovnica zahŕňa, ako je uvedené vyššie, dva komplexy kritérií a jeden komplex kritérií. Teraz pomocou analýzy rozmerov sú stanovené typy týchto kritérií: toto je Eulerovo kritérium EÚ=∆ p/(ρ V 2 ) , Reynoldsovo kritérium Re= Vdρ/η a parametrické kritérium geometrickej podobnosti G=l/ d. Aby sa konečne stanovila forma kriteriálnej rovnice, je potrebné experimentálne určiť hodnoty konštánt C, z A v v rovnici.

1. Experimentálne stanovenie konštánt kriteriálnej rovnice

Pri vykonávaní experimentov sa merajú a určujú rozmerové veličiny obsiahnuté vo všetkých kritériách podobnosti. Podľa výsledkov experimentov sa vypočítajú hodnoty kritérií. Potom vytvoria tabuľky, v ktorých podľa hodnôt kritéria K 1 zadajte hodnoty definujúcich kritérií K 2 , K 3 atď. Touto operáciou sa ukončuje prípravná fáza experimentov spracovania.

Ak chcete zovšeobecniť tabuľkové údaje ako mocninný zákon:

Používa sa logaritmický súradnicový systém. Výber exponentov m, n atď. dosiahnuť také usporiadanie experimentálnych bodov na grafe, aby sa cez ne dala viesť priamka. Rovnica s priamkou poskytuje požadovaný vzťah medzi kritériami.

Ukážme si, ako v praxi určiť konštanty kriteriálnej rovnice:

.

V logaritmických súradniciach lgK 2 – lgK 1 toto je priama rovnica:

.

Vložením experimentálnych bodov do grafu (obr. 4) nakreslite cez ne priamku, ktorej sklon určuje hodnotu konštanty. m= tgp.

Ryža. 4. Spracovanie experimentálnych údajov

Zostáva nájsť konštantu . Pre ľubovoľný bod na priamke na grafe
. Preto hodnota C nájsť pomocou ľubovoľného páru zodpovedajúcich hodnôt K 1 A K 2 počítané na priamke grafu. Pre spoľahlivosť hodnoty určí sa niekoľkými bodmi priamky a do výsledného vzorca sa dosadí priemerná hodnota:

o viac Kritériá, určenie konštánt rovnice je o niečo komplikovanejšie a vykonáva sa podľa metódy opísanej v knihe.

V logaritmických súradniciach nie je vždy možné usporiadať experimentálne body pozdĺž priamky. Stáva sa to vtedy, keď pozorovaná závislosť nie je opísaná mocenská rovnica a musíme hľadať funkciu iného druhu.

S UVERITEĽNÝMI DÔVODMI „OD KONCA DO ZAČIATKU“ PRI POSUDZOVANÍ FAKTOROV TECHNOLOGICKÉHO PROCESU

Všeobecné informácie o metóde rozmerovej analýzy

Pri štúdiu mechanické javy zavádza sa množstvo pojmov, napríklad energia, rýchlosť, napätie atď., ktoré charakterizujú uvažovaný jav a možno ich zadať a určiť pomocou čísla. Všetky otázky o pohybe a rovnováhe sú formulované ako problémy určovania určitých funkcií a číselných hodnôt pre veličiny charakterizujúce jav a pri riešení takýchto problémov v čisto teoretických štúdiách sú zákony prírody a rôzne geometrické (priestorové) vzťahy prezentované v tvar funkcionálnych rovníc – zvyčajne diferenciálnych.

Veľmi často nemáme možnosť sformulovať problém v matematickej forme, keďže skúmaný mechanický jav je taký zložitý, že preň zatiaľ neexistuje prijateľná schéma a zatiaľ neexistujú pohybové rovnice. S takouto situáciou sa stretávame pri riešení úloh v oblasti leteckej mechaniky, hydromechaniky, pri úlohách štúdia pevnosti a deformácií a pod. V týchto prípadoch zohrávajú hlavnú úlohu experimentálne výskumné metódy, ktoré umožňujú stanoviť najjednoduchšie experimentálne údaje, ktoré následne tvoria základ koherentných teórií s prísnym matematickým aparátom. Samotné experimenty je však možné uskutočniť len na základe predbežného teoretického rozboru. Rozpor je vyriešený počas iteratívneho procesu výskumu, predkladaním predpokladov a hypotéz a ich experimentálnym testovaním. Zároveň sú založené na prítomnosti podobnosti prírodných javov ako všeobecného zákona. Teória podobnosti a dimenzií je do určitej miery „gramatika“ experimentu.

Rozmer veličín

Jednotky merania rôznych fyzikálnych veličín, kombinované na základe ich konzistencie, tvoria sústavu jednotiek. V súčasnosti sa používa medzinárodný systém jednotiek (SI). V SI sa nezávisle od seba vyberajú jednotky merania takzvaných primárnych veličín - hmotnosť (kilogram, kg), dĺžka (meter, m), čas (sekunda, sekunda, s), sila prúdu (ampéry). , a), teplota (stupeň Kelvina, K) a sila svetla (sviečka, sv). Nazývajú sa základné jednotky. Jednotky merania zostávajúcich vedľajších veličín sú vyjadrené ako hlavné. Vzorec, ktorý udáva závislosť mernej jednotky vedľajšej veličiny od hlavných meracích jednotiek, sa nazýva dimenzia tejto veličiny.

Dimenzia sekundárnej veličiny sa zistí pomocou definujúcej rovnice, ktorá slúži ako definícia tejto veličiny v matematickej forme. Napríklad definujúca rovnica pre rýchlosť je

.

Rozmer veličiny potom označíme symbolom tejto veličiny v hranatých zátvorkách

, alebo
,

kde [L], [T] sú rozmery dĺžky a času.

Za definujúcu rovnicu pre silu možno považovať druhý Newtonov zákon

Potom bude mať rozmer sily nasledujúci tvar

[F]=[M][L][T] .

Definujúca rovnica a vzorec pre rozmer práce budú mať tvar

A=Fs a [A]=[M][L] [T] .

Vo všeobecnom prípade budeme mať vzťah

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Venujme pozornosť záznamu vzťahu rozmerov, ešte sa nám bude hodiť.

Vety o podobnosti

Formovanie teórie podobnosti v historickom aspekte charakterizujú jej tri hlavné vety.

Prvá veta o podobnosti formuluje potrebné podmienky a vlastnosti podobných systémov, tvrdiac, že ​​podobné javy majú rovnaké kritériá podobnosti vo forme bezrozmerných výrazov, ktoré sú mierou pomeru intenzity dvoch fyzikálnych efektov, ktoré sú podstatné pre skúmaný proces.

Druhá veta podobnosti(P-veta) dokazuje možnosť redukcie rovnice do kriteriálneho tvaru bez určenia dostatočnosti podmienok pre existenciu podobnosti.

Tretia veta podobnosti poukazuje na limity pravidelného rozloženia jedinej skúsenosti, pretože podobné javy budú tie, ktoré majú podobné podmienky jedinečnosti a rovnaké definujúce kritériá.

Metodologická podstata teórie dimenzií teda spočíva v tom, že akúkoľvek sústavu rovníc, ktorá obsahuje matematický záznam zákonitostí, ktorými sa daný jav riadi, možno formulovať ako vzťah medzi bezrozmernými veličinami. Určujúce kritériá sú zložené zo vzájomne nezávislých veličín, ktoré sú zahrnuté v podmienkach jednoznačnosti: geometrické vzťahy, fyzikálne parametre, okrajové (počiatočné a okrajové) podmienky. Systém definovania parametrov musí mať vlastnosti úplnosti. Niektoré z definujúcich parametrov môžu byť fyzikálne rozmerové konštanty, budeme ich nazývať fundamentálne premenné, na rozdiel od iných - riadené premenné. Príkladom je gravitačné zrýchlenie. Je základnou premennou. V pozemských podmienkach - konštantná hodnota a - premenná v podmienkach priestoru.

Pre správnu aplikáciu rozmerovej analýzy musí výskumník poznať povahu a počet základných a riadených premenných vo svojom experimente.

V tomto prípade existuje praktický záver z teórie dimenzionálnej analýzy a spočíva v tom, že ak experimentátor skutočne pozná všetky premenné skúmaného procesu, a stále neexistuje matematický záznam zákona v podobe tzv. rovnicu, potom má právo ich transformovať použitím prvej časti Buckinghamove vety: "Ak je nejaká rovnica vzhľadom na rozmery jednoznačná, potom ju možno previesť na vzťah obsahujúci množinu bezrozmerných kombinácií veličín."

Homogénna vzhľadom na rozmery je rovnica, ktorej tvar nezávisí od výberu základných jednotiek.

PS. Empirické vzorce sú zvyčajne približné. Ide o popisy vo forme nehomogénnych rovníc. Vo svojom dizajne majú rozmerové koeficienty, ktoré „fungujú“ iba v určitý systém merné jednotky. Následne akumuláciou údajov sa dostávame k popisu vo forme homogénnych rovníc, teda nezávislých od systému meracích jednotiek.

Bezrozmerné kombinácie ide o produkty alebo pomery množstiev zostavené takým spôsobom, že v každej kombinácii rozmerov sú zmenšené. V tomto prípade vznikajú produkty viacerých rozmerových veličín rôznej fyzikálnej povahy komplexy, pomer dvoch rozmerných veličín rovnakej fyzikálnej povahy - zjednodušuje.

Namiesto toho, aby ste postupne menili každú z premenných,a zmena niektorých z nich môže spôsobiťťažkostí, môže výskumník len obmieňaťkombinácie. Táto okolnosť značne zjednodušuje experiment a umožňuje prezentovať v grafickej forme a analyzovať získané údaje oveľa rýchlejšie a s väčšou presnosťou.

Pomocou metódy dimenzionálnej analýzy organizovanie hodnoverných úvah „od konca po začiatok“.

Po oboznámení sa s všeobecné informácie, osobitná pozornosť by sa mala venovať nasledujúcim bodom.

Najúčinnejšie využitie rozmerovej analýzy je v prítomnosti jednej bezrozmernej kombinácie. V tomto prípade postačí experimentálne určiť len párovací koeficient (na zostavenie a vyriešenie jednej rovnice stačí zostaviť jeden experiment). Úloha sa stáva zložitejšou s nárastom počtu bezrozmerných kombinácií. Splnenie požiadavky úplného popisu fyzikálneho systému je spravidla možné (alebo si to možno myslia) so zvýšením počtu zohľadnených premenných. Zároveň sa však zvyšuje pravdepodobnosť komplikácií formy funkcie a čo je najdôležitejšie, prudko sa zvyšuje množstvo experimentálnej práce. Zavedením ďalších základných jednotiek sa problém nejako zbavuje, no nie vždy a nie úplne. Skutočnosť, že teória rozmerovej analýzy sa postupom času rozvíja, je veľmi povzbudivá a orientuje sa na hľadanie nových možností.

No, čo ak pri hľadaní a vytváraní súboru faktorov, ktoré treba vziať do úvahy, t. j. v skutočnosti pri obnove štruktúry skúmaného fyzikálneho systému, použijeme organizáciu hodnoverného uvažovania „od konca po začiatok“ podľa Pappus?

Aby sme porozumeli vyššie uvedenému návrhu a upevnili základy metódy rozmerovej analýzy, navrhujeme analyzovať príklad stanovenia vzťahu faktorov, ktoré určujú účinnosť rozbíjania výbušnín pri podzemnej ťažbe rudných ložísk.

Berúc do úvahy princípy systémového prístupu, môžeme oprávnene usúdiť, že dva systémové interagujúce objekty tvoria nový dynamický systém. Vo výrobnej činnosti sú tieto predmety predmetom transformácie a predmetným nástrojom transformácie.

Pri lámaní rudy na báze explozívneho ničenia môžeme za taký považovať rudný masív a systém trhavých náloží (vrtov).

Pri použití princípov rozmerovej analýzy s organizáciou hodnoverného uvažovania „od konca po začiatok“ získame nasledujúcu líniu uvažovania a systém vzájomných vzťahov medzi parametrami výbušného komplexu a charakteristikami poľa.

d m = f 1 (W,I 0 ,t námestník , s)	d m = k 1 W(st námestník ¤ ja 0 W) n (1)
ja 0 = f 2 (I c ,V Búr ,K A )	ja 0 = k 2 ja c V Búr K A (2)
ja c = f 3 (t námestník ,Q ,A)	ja s = k 3 t vzduchu 2/3 Q 2/3 A 1/3 (3)
t vzduchu = f 4 (r zab ,P Max l dobre )	t vzduchu = k 4 r zab 1/2 P Max –1/2 l dobre (4)
P Max = f 5 (r zar D)	P Max = k 5 r zar D 2 (5)

Označenia a vzorce pre rozmery použitých premenných sú uvedené v tabuľke.

PREMENNÉ	Označenie	rozmery
Maximálny priemer drvenia	d m	[ L]
Línia najmenšieho odporu		[ L]
Pevnosť hornín v tlaku
Obdobie (interval) spomalenia odstrelu	t námestník	[ T]
Výbušný impulz na 1 m 3 poľa	ja 0
Špecifická spotreba vŕtania, m / m 3	V Búr	[ L -2 ]
Miera využívania spoplatnených studní	TO je
Výbušný impulz na 1 m studne	ja c
Energia výbuchu na 1 m nabitia
Akustická tvrdosť média (A=gC)
Doba dopadu výbuchu v studni	t vzduchu	[ T]
hustota stonky	r zab	[ L -3 M]
No dĺžka	l dobre	[ L]
Maximálny počiatočný tlak v studni		[ L -1 M T -2 ]
Hustota náboja v studni	r zar	[ L -3 M]
Výbušná rýchlosť detonácie		[ L T -1 ]

Prechod od vzorca (5) k vzorcu (1), odhalenie zistených vzťahov a tiež pamätanie na predtým stanovený vzťah medzi priemerom priemeru a priemerom maximálneho kusu z hľadiska kolapsu

d St = k 6 d m 2/3 , (6)

získame všeobecnú rovnicu vzťahu faktorov, ktoré určujú kvalitu drvenia:

d St = kW 2/3 [ s t námestník / r zab 1/3 D -2/3 l dobre 2/3 M zar 2|3 U storočia 2/3 A 1/3 V Búr TO je W] n (7)

Transformujme posledný výraz, aby sme vytvorili bezrozmerné komplexy, pričom majme na pamäti:

Q= M zar U storočia ; q storočia =M zar V Búr TO je ; M zab =0.25 p r zab d dobre 2 ;

Kde M zar je hmotnosť nálože výbušniny v 1 m dĺžky vrtu, kg/m;

M zab – hmotnosť kmeňa v 1 m kmeňa, kg/m;

U storočia – výhrevnosť výbušnín, kcal/kg.

V čitateli a menovateli používame [M zar 1/3 U storočia 1/3 (0.25 pd dobre 2 ) 1/3 ] . Konečne dostaneme

Všetky komplexy a zjednodušenia majú fyzikálny význam. Podľa experimentálnych údajov a údajov z praxe, mocninný exponent n=1/3, a koeficient k sa určuje v závislosti od mierky zjednodušenia vyjadrovania (8).

Hoci úspech rozmerovej analýzy závisí od správneho pochopenia fyzikálneho významu konkrétneho problému, po výbere premenných a základných rozmerov je možné túto metódu aplikovať úplne automaticky. Preto je možné túto metódu ľahko uviesť vo forme receptu, pričom však treba mať na pamäti, že takýto „recept“ vyžaduje od výskumníka správny výber zložiek. Jediné, čo tu môžeme urobiť, je poskytnúť všeobecné rady.

1. fáza Vyberte nezávislé premenné, ktoré ovplyvňujú systém. Mali by sa zvážiť aj rozmerové koeficienty a fyzikálne konštanty, ak zohrávajú dôležitú úlohu. Toto je najzodpovednejšieny etapy celej práce.

2. fáza Zvoľte si systém základných rozmerov, prostredníctvom ktorého môžete vyjadriť jednotky všetkých vybraných premenných. Bežne sa používajú tieto systémy: v mechanike a dynamike tekutín MLq(Niekedy FLq), V termodynamika MLqT alebo MLqTH; v elektrotechnike a jadrovej fyzike MLqTO alebo MLqm., v tomto prípade možno teplotu považovať buď za základnú veličinu, alebo ju vyjadriť ako molekulárnu kinetickú energiu.

3. fáza Zapíšte si rozmery vybraných nezávislých premenných a vytvorte bezrozmerné kombinácie. Riešenie bude správne, ak: 1) každá kombinácia je bezrozmerná; 2) počet kombinácií nie je menší ako počet predpovedaný p-vetou; 3) každá premenná sa vyskytuje v kombinácii aspoň raz.

4. fáza Preskúmajte výsledné kombinácie z hľadiska ich prijateľnosti, fyzický zmysel a (ak sa má použiť metóda najmenších štvorcov) koncentrácie neistoty, ak je to možné, v jednej kombinácii. Ak kombinácie nespĺňajú tieto kritériá, potom je možné: 1) získať iné riešenie rovníc pre exponenty s cieľom nájsť najlepšiu množinu kombinácií; 2) zvoliť iný systém základných rozmerov a robiť všetku prácu od samého začiatku; 3) skontrolujte správnosť výberu nezávislých premenných.

Etapa 5. Keď sa získa uspokojivý súbor bezrozmerných kombinácií, výskumník môže naplánovať zmenu kombinácií zmenou hodnôt vybraných premenných vo svojom zariadení. Osobitná pozornosť by sa mala venovať dizajnu experimentov.

Pri použití metódy rozmerovej analýzy s organizáciou hodnoverného uvažovania „od konca do začiatku“ je potrebné zaviesť vážne korekcie, a to najmä v prvej fáze.

Stručné závery

Dnes je možné vytvárať koncepčné opatrenia výskumnej práce podľa už zavedeného normatívneho algoritmu. Sledovanie krok za krokom vám umožňuje zefektívniť vyhľadávanie témy a určiť jej fázy implementácie s prístupom k vedeckým ustanoveniam a odporúčaniam. Znalosť obsahu jednotlivých postupov prispieva k ich odbornému zhodnoteniu a výberu najvhodnejších a najefektívnejších.

Pokrok vo vedeckom výskume môžu byť prezentované vo forme logickej schémy, určenej v procese vykonávania výskumu, pričom sa zdôrazňujú tri fázy, ktoré sú charakteristické pre akúkoľvek činnosť:

Prípravná fáza: Možno to nazvať aj etapou metodickej prípravy výskumu a formovania metodickej podpory výskumu. Náplň práce je nasledovná. Vymedzenie problému, vypracovanie pojmového popisu predmetu skúmania a vymedzenie (formulácia) výskumnej témy. Vypracovanie výskumného programu s formuláciou úloh a vypracovaním plánu ich riešenia. Rozumný výber výskumných metód. Vývoj metodiky experimentálnej práce.

Hlavné pódium: - výkonná (technologická), realizácia programu a výskumného zámeru.

záverečná fáza: - spracovanie výsledkov výskumu, formulácia hlavných ustanovení, odporúčaní, expertízy.

Vedecké ustanovenia sú novou vedeckou pravdou – to je to, čo je potrebné a môže sa brániť. Formulácia vedeckých ustanovení môže byť matematická alebo logická. Vedecké ustanovenia pomáhajú príčine, riešeniu problému. Vedecké ustanovenia by mali byť cielené, t.j. reflektujú (obsahujú) tému, pre ktorú boli riešené. Aby bolo možné uskutočniť všeobecné prepojenie obsahu VaV so stratégiou jeho implementácie, odporúča sa pracovať na štruktúre správy o VaV pred a (alebo) po vypracovaní týchto ustanovení. V prvom prípade má práca na štruktúre správy dokonca heuristický potenciál, prispieva k pochopeniu myšlienok výskumu a vývoja, v druhom prípade pôsobí ako akýsi test stratégie a spätná väzba pre manažment výskumu a vývoja.

Pamätajme, že existuje logika hľadania, vykonávania práce a hľa geek prezentácia. Prvá je dialektická – dynamická, s cyklami, návratmi, ťažko formalizovateľná, druhá je logika statického stavu, formálna, t.j. s presne definovanou formou.

Ako záver je žiaduce počas celej doby výskumu neprestať pracovať na štruktúre správy a tak epizodicky „skontrolovať hodiny DVOCH LOGIKOV“.

K zvýšeniu efektivity práce na koncepcii prispieva systematizácia moderných problémov baníctva na administratívnej úrovni.

V metodologickej podpore výskumnej práce sa často stretávame so situáciami, kedy ešte nie sú úplne rozpracované teoretické ustanovenia o konkrétnom probléme. Vhodné je využiť metodický „lízing“. Ako príklad takéhoto prístupu a jeho možného využitia je zaujímavá metóda dimenzionálnej analýzy s organizáciou hodnoverného uvažovania „od konca po začiatok“.

Základné pojmy a pojmy

Predmet a predmet činnosti	Relevantnosť	banskej technológie
koncepcia		Zariadenie banskej technológie
Stanovenie účelu a cieľa		Nástroje banskej technológie
problémová problémová situácia	Štruktúra	Fyzický a technický účinok
Etapy a etapy výskumu		Vedecká pozícia
Vety o podobnosti	Rozmer	Základné jednotky

Skúsenosť je objaviteľom prírody. Nikdy neklame... Musíme robiť experimenty tak, že zmeníme okolnosti, kým z nich nevytiahneme všeobecné pravidlá, pretože skúsenosť poskytuje skutočné pravidlá.

Leonardo da Vinci

Základné pojmy teórie modelovania

Modelovanie je metóda experimentálneho štúdia modelu javu namiesto prírodného javu. Model je zvolený tak, aby sa výsledky experimentu dali rozšíriť aj na prírodný jav.

Nechajte modelovať pole množstva w. Potom, v prípade presného modelovania v podobných bodoch modelu a objektu v plnej mierke, podmienka

kde je mierka simulácie.

V prípade približného modelovania získame

Pomer sa nazýva miera skreslenia.

Ak miera skreslenia nepresahuje presnosť merania, potom sa približná simulácia nelíši od presnej. Nie je možné vopred sa uistiť, že hodnota nepresahuje určitú vopred stanovenú hodnotu, pretože vo väčšine prípadov sa nedá vopred určiť.

analógová metóda

Ak sú dva fyzikálne javy rôzneho fyzikálneho charakteru opísané identickými rovnicami a podmienkami jednoznačnosti (okrajovými alebo v stacionárnom prípade okrajovými podmienkami) prezentovanými v bezrozmernej forme, potom sa javy nazývajú analogické. Za rovnakých podmienok sa javy rovnakej fyzikálnej povahy nazývajú podobné.

Napriek tomu, že podobné javy majú rôzne fyzickej povahy, vzťahujú sa na jeden individuálny zovšeobecnený prípad. Táto okolnosť umožnila vytvoriť veľmi pohodlnú metódu analógií na štúdium fyzikálnych javov. Jeho podstata je nasledovná: skúmaniu sa nepodrobuje skúmaný jav, pre ktorý je ťažké alebo nemožné zmerať požadované hodnoty, ale špeciálne vybraný podobný tomu, ktorý sa skúma. Ako príklad zvážte elektrotermickú analógiu. V tomto prípade je skúmaným javom stacionárne teplotné pole a jeho analógiou je stacionárne elektrické potenciálové pole

Tepelná rovnica

(9.3)

Kde absolútna teplota,

a rovnica elektrického potenciálu

(9.4)

kde je elektrický potenciál podobný. V bezrozmernej forme budú tieto rovnice identické.

Ak sa vytvoria okrajové podmienky pre potenciál, podobné ako pre teplotu, tak v bezrozmernej forme budú tiež totožné.

Elektrotermická analógia je široko používaná pri štúdiu procesov vedenia tepla. Touto metódou sa merali napríklad teplotné polia lopatiek plynových turbín.

Rozmerová analýza

Niekedy je potrebné študovať procesy, ktoré ešte nie sú opísané diferenciálnymi rovnicami. Jediný spôsob, ako študovať, je experiment. Je vhodné prezentovať výsledky experimentu v zovšeobecnenej forme, ale na to je potrebné vedieť nájsť bezrozmerné komplexy charakteristické pre takýto proces.

Rozmerová analýza je metóda zostavovania bezrozmerných komplexov za podmienok, keď skúmaný proces ešte nie je opísaný diferenciálnymi rovnicami.

Všetky fyzikálnych veličín možno rozdeliť na primárne a sekundárne. Pre procesy výmeny tepla sa ako primárne zvyčajne vyberá: dĺžka L omša m, čas t, množstvo tepla Q nadmerná teplota . Potom budú sekundárnymi hodnotami také veličiny, ako je tepelná difúznosť koeficientu prestupu tepla a a tak ďalej.

Rozmerové vzorce pre sekundárne veličiny majú tvar mocninových monočlánkov. Napríklad rozmerový vzorec pre súčiniteľ prestupu tepla je

(9.5)

Kde Q- množstvo tepla.

Nech sú známe všetky fyzikálne veličiny podstatné pre skúmaný proces. Je potrebné nájsť bezrozmerné komplexy.

Zostavme súčin zo vzorcov rozmerov všetkých fyzikálnych veličín podstatných pre proces v niektorých stupňoch, ktoré ešte nie sú definované; samozrejme, že to bude výkonový monomiál (pre proces). Predpokladajme, že jeho rozmer (mocninového monomilu) sa rovná nule, t.j. exponenty primárnych veličín zahrnutých vo vzorci rozmerov sa zmenšili, potom mocninový monomiál (pre proces) môže byť reprezentovaný vo forme súčinu. bezrozmerných komplexov rozmerových veličín. Ak teda poskladáme súčin zo vzorcov rozmerov, ktoré sú podstatné pre procesy fyzikálnych veličín v neurčitých stupňoch, potom z podmienky, že súčet exponentov mocnin primárnych veličín tohto mocninového monomilu je rovný nule, dokáže určiť požadované bezrozmerné komplexy.

Ukážme si túto operáciu na príklade periodického procesu vedenia tepla v tuhom telese umývanom kvapalným nosičom tepla. Budeme to predpokladať diferenciálne rovnice pre posudzovaný proces nie sú známe. Je potrebné nájsť bezrozmerné komplexy.

Základné fyzikálne veličiny pre skúmaný proces sú nasledovné: charakteristická veľkosť l(m), tepelná vodivosť pevné telo, (J/(m K)), špecifické teplo tuhej látky s(J / (kg K)), hustota pevného telesa (kg / m 3), súčiniteľ prestupu tepla (prestup tepla) (J / m 2 K)), časová perióda , c), charakteristická nadmerná teplota (K). Z týchto veličín poskladáme mocninný monomál tvaru

Exponent primárnej veličiny sa nazýva dimenzia sekundárnej veličiny vzhľadom na danú primárnu.

Nahradme do fyzikálnych veličín (okrem Q) ich rozmerové vzorce, ako výsledok dostaneme

V tomto prípade majú exponenty hodnoty, pri ktorých Q vypadne z rovnice.

Exponenty monomiálu prirovnáme k nule:

na dĺžku

a - b - 3i - 2k = 0; (9.8)

pre množstvo tepla Q

0; (9.9)

na čas

pre teplotu

na omšu m

Významných veličín je celkovo sedem, na určenie ukazovateľov existuje päť rovníc, čo znamená, že iba dva ukazovatele, napr. b a km je možné zvoliť ľubovoľne.

Vyjadrime všetky exponenty v termínoch b A k. V dôsledku toho dostaneme:

od (8.8), (8.9), (8.12)

f = -b - k; (9.14)

r = b + k; (9.15)

od (8.11) a (8.9)

n=b+f+k=b+(-b-k) + k = 0; (9,16)

od (8.12) a (8.9)

i = f = -b -k. (9.17)

Teraz môže byť monomiál reprezentovaný vo forme

Keďže ukazovatele b A k možno vybrať ľubovoľne, povedzme:

1. zároveň píšeme