Agar ma'lum bir raqamni kuchga ko'tarish kerak bo'lsa, dan foydalanishingiz mumkin. Endi biz batafsilroq ko'rib chiqamiz darajalarning xossalari.

Eksponensial sonlar katta imkoniyatlar ochadi, ular bizga ko'paytirishni qo'shimchaga aylantirish imkonini beradi va qo'shish ko'paytirishdan ko'ra ancha osondir.

Misol uchun, 16 ni 64 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu ikki raqamni ko'paytirish mahsuloti 1024. Lekin 16 4x4, 64 esa 4x4x4. Demak, 16 marta 64=4x4x4x4x4, bu ham 1024 ga teng.

16 raqamini 2x2x2x2 va 64 raqamini 2x2x2x2x2x2 sifatida ham ko'rsatish mumkin, agar ko'paytirsak, yana 1024 ni olamiz.

Endi qoidadan foydalanamiz. 16=4 2, yoki 2 4, 64=4 3 yoki 2 6, 1024=6 4 =4 5 yoki 2 10.

Demak, bizning masalamiz boshqacha tarzda yozilishi mumkin: 4 2 x4 3 =4 5 yoki 2 4 x2 6 =2 10 va har safar biz 1024 ni olamiz.

Biz shunga o'xshash bir qator misollarni hal qilishimiz mumkin va raqamlarning kuchlar bilan ko'paytirilishi ga kamayganini ko'rishimiz mumkin ko‘rsatkichlarni qo‘shish, yoki ko'rsatkich, albatta, omillarning asoslari teng bo'lishi sharti bilan.

Shunday qilib, biz ko'paytirmasdan darhol aytishimiz mumkin: 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Bu qoida raqamlarni kuchlar bilan bo'lishda ham to'g'ri keladi, lekin bu holda, e bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning darajasidan ayiriladi. Shunday qilib, 2 5:2 3 =2 2, qaysi ichida oddiy raqamlar 32:8=4 ga teng, ya’ni 2 2 ga teng. Keling, xulosa qilaylik:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, bu erda m va n butun sonlardir.

Bir qarashda shunday tuyulishi mumkin sonlarni kuch bilan ko'paytirish va bo'lish unchalik qulay emas, chunki avval raqamni eksponensial shaklda ifodalash kerak. 8 va 16 raqamlarini bu shaklda ifodalash qiyin emas, ya'ni 2 3 va 2 4, lekin buni 7 va 17 raqamlari bilan qanday qilish kerak? Yoki raqam eksponensial shaklda ifodalanishi mumkin bo'lgan hollarda nima qilish kerak, lekin raqamlarning eksponensial ifodalari asoslari juda boshqacha. Masalan, 8×9 2 3 x 3 2 ga teng, bu holda ko‘rsatkichlarni yig‘a olmaymiz. 2 5 ham, 3 5 ham javob emas, ikkalasi orasidagi javob ham emas.

Keyin bu usul bilan umuman bezovtalanishga arziydimi? Albatta bunga arziydi. Bu, ayniqsa, murakkab va ko'p vaqt talab qiladigan hisob-kitoblar uchun katta afzalliklarni beradi.

Matematika fanidan daraja tushunchasi 7-sinfdayoq algebra darsida kiritiladi. Kelajakda matematikani o'rganish davomida bu kontseptsiya o'zining turli shakllarida faol qo'llaniladi. Darajalar - bu juda qiyin mavzu bo'lib, u qadriyatlarni yodlashni va to'g'ri va tez hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Matematik darajalar bilan tezroq va yaxshiroq ishlash uchun ular darajaning xususiyatlarini o'ylab topdilar. Ular katta hisob-kitoblarni qisqartirishga, ulkan misolni ma'lum darajada yagona raqamga aylantirishga yordam beradi. Xususiyatlari unchalik ko'p emas va ularning barchasini eslab qolish va amalda qo'llash oson. Shuning uchun maqolada darajaning asosiy xususiyatlari, shuningdek, ular qayerda qo'llanilishi muhokama qilinadi.

daraja xususiyatlari

Biz darajaning 12 xossasini, shu jumladan, darajalarning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz bir xil asoslar, va har bir mulk uchun biz misol keltiramiz. Ushbu xususiyatlarning har biri sizga darajalar bilan bog'liq muammolarni tezroq hal qilishga yordam beradi, shuningdek sizni ko'plab hisoblash xatolaridan qutqaradi.

1- mulk.

Ko'p odamlar ko'pincha bu xususiyatni unutishadi, xato qilishadi, nol darajagacha raqamni nolga tenglashtiradilar.

2-chi mulk.

3-chi mulk.

Shuni esda tutish kerakki, bu xususiyat faqat raqamlarni ko'paytirishda ishlatilishi mumkin, u yig'indi bilan ishlamaydi! Va shuni unutmasligimiz kerakki, bu va quyidagi xususiyatlar faqat bir xil asosga ega kuchlarga tegishli.

4-chi mulk.

Agar maxrajdagi raqam manfiy darajaga ko'tarilsa, ayirishda keyingi hisob-kitoblarda belgini to'g'ri almashtirish uchun maxrajning darajasi qavs ichida olinadi.

Mulk faqat bo'lishda ishlaydi, ayirishda emas!

5-chi mulk.

6-chi mulk.

Bu xususiyatga ham qo'llanilishi mumkin teskari tomon. Raqamga ma'lum darajada bo'lingan birlik, bu raqam manfiy darajadir.

7-chi mulk.

Bu xususiyatni yig'indi va farqga qo'llash mumkin emas! Yig'indi yoki farqni darajaga ko'tarishda kuchning xususiyatlari emas, balki qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi.

8-chi mulk.

9-chi mulk.

Bu xususiyat birga teng bo'lgan har qanday kasr daraja uchun ishlaydi, formula bir xil bo'ladi, faqat darajaning maxrajiga qarab ildiz darajasi o'zgaradi.

Bundan tashqari, bu xususiyat ko'pincha teskari tartibda ishlatiladi. Raqamning har qanday darajasining ildizi bu raqamning ildizning kuchiga bo'lingan birining kuchiga teng sifatida ifodalanishi mumkin. Bu xususiyat sonning ildizi chiqarilmagan hollarda juda foydali.

10-chi mulk.

Bu xususiyat nafaqat bilan ishlaydi kvadrat ildiz va ikkinchi daraja. Agar ildizning darajasi va bu ildizning ko'tarilish darajasi bir xil bo'lsa, unda javob radikal ifoda bo'ladi.

11- mulk.

O'zingizni katta hisob-kitoblardan qutqarish uchun uni hal qilishda siz ushbu xususiyatni o'z vaqtida ko'rishingiz kerak.

12- mulk.

Ushbu xususiyatlarning har biri sizni vazifalarda bir necha marta uchratadi, u sof shaklda berilishi mumkin yoki ba'zi o'zgarishlarni va boshqa formulalardan foydalanishni talab qilishi mumkin. Shuning uchun, to'g'ri hal qilish uchun faqat xususiyatlarni bilish etarli emas, siz matematik bilimlarning qolgan qismini mashq qilishingiz va bog'lashingiz kerak.

Darajalar va ularning xossalarini qo'llash

Ular algebra va geometriyada faol qo'llaniladi. Matematika bo'yicha darajalar alohida, muhim o'rin tutadi. Ularning yordami bilan eksponensial tenglamalar va tengsizliklar echiladi, shuningdek, kuchlar ko'pincha matematikaning boshqa bo'limlari bilan bog'liq tenglamalar va misollarni murakkablashtiradi. Ko'rsatkichlar katta va uzoq hisoblardan qochishga yordam beradi, ko'rsatkichlarni kamaytirish va hisoblash osonroq. Ammo katta kuchlar yoki katta sonli kuchlar bilan ishlash uchun siz nafaqat darajaning xususiyatlarini bilishingiz, balki bazalar bilan malakali ishlashingiz, vazifangizni osonlashtirish uchun ularni parchalay olishingiz kerak. Qulaylik uchun siz kuchga ko'tarilgan raqamlarning ma'nosini ham bilishingiz kerak. Bu uzoq hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyojni yo'qotib, hal qilishda vaqtingizni qisqartiradi.

Logarifmlarda daraja tushunchasi alohida o'rin tutadi. Chunki logarifm, mohiyatan, sonning kuchidir.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kuchlardan foydalanishning yana bir misolidir. Ular darajalarning xususiyatlarini ishlata olmaydilar, ular bo'yicha parchalanadi maxsus qoidalar, lekin har bir qisqartirilgan ko'paytirish formulasi har doim kuchlarni o'z ichiga oladi.

Darslar fizika va informatika fanlarida ham faol qo'llaniladi. SI tizimiga barcha tarjimalar darajalar yordamida amalga oshiriladi va kelajakda muammolarni hal qilishda darajaning xususiyatlari qo'llaniladi. Informatika fanida raqamlarni hisoblash va idrok etishni soddalashtirish uchun ikkita kuch faol qo'llaniladi. O'lchov birliklarini konvertatsiya qilish yoki muammolarni hisoblash uchun keyingi hisoblar, xuddi fizikada bo'lgani kabi, daraja xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

Darajalar astronomiyada ham juda foydali bo'lib, u erda siz kamdan-kam hollarda darajaning xususiyatlaridan foydalanishni topishingiz mumkin, ammo darajalarning o'zi turli miqdorlar va masofalarni yozishni qisqartirish uchun faol ishlatiladi.

Darajalar kundalik hayotda maydonlarni, hajmlarni, masofalarni hisoblashda ham qo'llaniladi.

Darajalar yordamida har qanday fan sohasida juda katta va juda kichik qiymatlar yoziladi.

ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar

Darajaning xususiyatlari alohida o'rin tutadi eksponensial tenglamalar va tengsizliklar. Bu kabi vazifalar juda keng tarqalgan maktab kursi imtihonlarda ham. Ularning barchasi daraja xususiyatlarini qo'llash orqali hal qilinadi. Noma'lum narsa har doim darajaning o'zida bo'ladi, shuning uchun barcha xususiyatlarni bilgan holda, bunday tenglama yoki tengsizlikni echish qiyin bo'lmaydi.

Birinchi daraja

Daraja va uning xususiyatlari. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda kerak? Nega ularni o'rganishga vaqt sarflashingiz kerak?

Darajalar, ular nimaga mo'ljallanganligi, bilimlaringizdan qanday foydalanish haqida hamma narsani bilib oling Kundalik hayot ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni muvaffaqiyatga yaqinlashtiradi OGE dan o'tish yoki Yagona davlat imtihonini topshirish va orzuingizdagi universitetga kirish.

Ketdik... (Ketaylik!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga bema'ni gaplarni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL+F5 (Windows-da) yoki Cmd+R (Mac-da) tugmalarini bosing.

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkich qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi bir xil matematik amaldir.

Endi men hammasini tushuntiraman inson tili juda oddiy misollar. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har birida ikkita shisha kola bor. Kola qancha? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Kola bilan bir xil misolni boshqacha yozish mumkin: . Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Ular birinchi navbatda ba'zi naqshlarni payqashadi, keyin esa ularni tezroq "hisoblash" usulini o'ylab topadilar. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola shishasi borligini payqashdi va ko'paytirish deb nomlangan texnikani o'ylab topishdi. Qabul qiling, bu osonroq va tezroq hisoblanadi.

Shunday qilib, tezroq, osonroq va xatosiz hisoblash uchun siz shunchaki eslab qolishingiz kerak ko'paytirish jadvali. Albatta, siz hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Lekin…

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, chiroyliroq:

Va dangasa matematiklar yana qanday hiyla-nayranglarni o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Agar raqamni besh marta ko'paytirish kerak bo'lsa, matematiklar bu raqamni beshinchi darajaga ko'tarish kerakligini aytishadi. Masalan, . Matematiklar ikkidan beshinchi darajagacha ekanligini eslashadi. Va ular bunday muammolarni o'z ongida hal qilishadi - tezroq, osonroq va xatosiz.

Buning uchun sizga faqat kerak raqamlarning kuchlari jadvalida nima rang bilan ta'kidlanganligini eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deyiladi kvadrat raqamlar, uchinchisi kub? Bu nima degani? Juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Haqiqiy hayot misoli №1

Keling, kvadrat yoki sonning ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Tasavvur qiling-a, kvadrat metrlar bilan o'lchanadigan hovuz. Hovuz sizning hovlingizda. Havo issiq va men suzishni juda xohlayman. Lekin ... tubsiz hovuz! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan qoplash kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuz tubining maydonini bilishingiz kerak.

Hovuzning tubi bir necha metr kubiklardan iborat ekanligini barmog'ingizni tekkizish orqali hisoblashingiz mumkin. Agar plitkalaringiz metr metr bo'lsa, sizga bo'laklar kerak bo'ladi. Bu oson... Lekin bunday kafelni qayerda ko'rdingiz? Plitka ko'proq sm sm bo'ladi va keyin siz "barmog'ingiz bilan hisoblash" bilan azoblanasiz. Keyin ko'paytirish kerak. Shunday qilib, hovuzning pastki qismining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklar), ikkinchisida esa plitkalarni o'rnatamiz. ga ko'paytirsangiz, siz plitkalarni olasiz ().

Hovuz tubining maydonini aniqlash uchun bir xil sonni o'z-o'zidan ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nima degani? Xuddi shu son ko'paytirilsa, biz eksponentatsiya texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda faqat ikkita raqam bo'lsa, siz ularni ko'paytirishingiz yoki ularni bir darajaga ko'tarishingiz kerak. Ammo agar sizda ular ko'p bo'lsa, unda kuchga ko'tarish ancha osonlashadi va hisob-kitoblarda xatolar ham kamroq bo'ladi. Imtihon uchun bu juda muhim).
Shunday qilib, o'ttizdan ikkinchi darajaga () bo'ladi. Yoki o'ttiz kvadrat bo'ladi, deb ayta olasiz. Boshqacha qilib aytganda, sonning ikkinchi darajasi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, u har doim qandaydir sonning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi darajasining tasviridir.

Haqiqiy hayot misoli №2

Mana sizga topshiriq, raqamning kvadratidan foydalanib shaxmat taxtasida nechta kvadrat borligini hisoblang ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun sakkizni sakkizga ko'paytirish kerak, yoki ... agar shaxmat taxtasi bir tomoni bo'lgan kvadrat ekanligini sezsangiz, sakkizni kvadratga olishingiz mumkin. Hujayralarni oling. () Xo'sh?

Haqiqiy hayot misoli №3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar o'lchanadi kub metr. Kutilmaganda, to'g'rimi?) Hovuz chizing: pastki qismi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va sizning hovuzingizga jami necha metr metr kubik tushishini hisoblab ko'ring.

Barmog'ingizni ko'rsating va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt... yigirma ikki, yigirma uch... Qancha chiqdi? Yo'qolmadingizmi? Barmog'ingiz bilan hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligini, kengligini va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqashdi. Bizning holatda, hovuzning hajmi kublarga teng bo'ladi ... Osonroq, to'g'rimi?

Endi tasavvur qiling-a, matematiklar qanchalik dangasa va ayyor, agar ular buni juda oson qilishsa. Hamma narsani bitta harakatga qisqartirdi. Ular uzunlik, kenglik va balandlik teng ekanligini va bir xil son o'z-o'zidan ko'paytirilishini payqashdi ... Va bu nimani anglatadi? Bu siz darajani ishlatishingiz mumkin degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, siz bir marta barmoq bilan hisoblagan narsangizni ular bitta harakatda bajaradilar: kubdagi uchtasi teng. Bu shunday yozilgan:

Faqatgina qoladi darajalar jadvalini yodlash. Albatta, siz matematiklar kabi dangasa va ayyor bo'lmasangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yaxshi ko'rsangiz, barmog'ingiz bilan hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.

Nihoyat, sizni darajalarni loaferlar va ayyor odamlar o'zlarining hayotiy muammolarini hal qilish uchun ixtiro qilganiga va siz uchun muammo yaratmaslikka ishontirish uchun hayotdan yana bir nechta misollar.

Haqiqiy hayot misoli №4

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida siz har million uchun yana bir million ishlab topasiz. Ya'ni, har bir yil boshida sizning millioningiz ikki barobar ortadi. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirsangiz va "barmog'ingiz bilan hisoblasangiz", unda siz juda mehnatkash odamsiz va .. ahmoqsiz. Ammo, ehtimol, siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Shunday qilib, birinchi yilda - ikki marta ikki ... ikkinchi yilda - nima bo'ldi, yana ikkiga, uchinchi yilda ... To'xtang! Raqam bir marta o'ziga ko'paytirilishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkidan beshinchi daraja millionga teng! Endi tasavvur qiling-a, sizda raqobat bor va kim tezroq hisoblaydi, shu millionlarni oladi ... Raqamlarning darajalarini eslab qolishga arziydimi, nima deb o'ylaysiz?

Haqiqiy hayot misoli №5

Sizda million bor. Har yil boshida siz har millionga ikki ko'proq pul olasiz. Ajoyib, to'g'rimi? Har million uch baravar ko'payadi. Bir yilda qancha pulingiz bo'ladi? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, keyin boshqa natija ... Bu allaqachon zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushundingiz: uchta o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi. Shunday qilib, to'rtinchi kuch - million. Siz faqat uchtadan to'rtinchi darajagacha yoki ekanligini yodda tutishingiz kerak.

Endi bilasizki, raqamni kuchga ko'tarib, hayotingizni ancha osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilishingiz mumkinligini va ular haqida nimani bilishingiz kerakligini batafsil ko'rib chiqaylik.

Atamalar va tushunchalar ... chalkashmaslik uchun

Shunday qilib, birinchi navbatda, tushunchalarni aniqlaymiz. Nima deb o'ylaysan, ko'rsatkich nima? Bu juda oddiy - bu raqamning kuchining "tepasida" joylashgan raqam. Ilmiy emas, lekin aniq va eslab qolish oson ...

Xo'sh, ayni paytda, nima shunday daraja bazasi? Bundan ham oddiyroq raqam pastki qismida, tagida joylashgan.

Ishonch hosil qilishingiz uchun rasm.

Xo'sh va ichkarida umumiy ko'rinish umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" asosi va "" ko'rsatkichli daraja "darajaga" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning kuchi

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural son. Ha, lekin nima natural son? Boshlang'ich! Natural sonlar - ob'ektlarni sanab o'tishda sanashda qo'llaniladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Biz elementlarni hisoblaganimizda, biz: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Biz ham “uchdan bir” yoki “nol ball besh o‘ndan bir” demaymiz. Bular natural sonlar emas. Sizningcha, bu raqamlar nima?

"Minus besh", "minus olti", "minus etti" kabi raqamlarga ishora qiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlar barcha natural sonlarni, natural sonlarga qarama-qarshi sonlarni (ya'ni minus belgisi bilan olingan) va sonni o'z ichiga oladi. Nolni tushunish oson - bu hech narsa yo'q bo'lganda. Va salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rublda balansingiz bo'lsa, bu sizning operatorga rubl qarzingiz borligini anglatadi.

Barcha kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'ldi? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin ota-bobolarimiz uzunlik, og'irlik, maydon va hokazolarni o'lchash uchun tabiiy raqamlar etarli emasligini aniqladilar. Va ular o'ylab topishdi ratsional sonlar... Qiziq, shunday emasmi?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, cheksiz kasr. Misol uchun, agar siz aylananing atrofini uning diametriga bo'lsangiz, unda siz irratsional sonni olasiz.

Xulosa:

Ko‘rsatkichi natural son (ya’ni butun va musbat) bo‘lgan daraja tushunchasini aniqlaymiz.

1. Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng:
2. Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
3. Raqamni kub qilish uchun uni o'ziga uch marta ko'paytirish kerak:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishdir:
.

Darajaning xususiyatlari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, nima ekanligini ko'rib chiqaylik Va ?

A-prior:

Jami nechta ko‘paytuvchi bor?

Bu juda oddiy: omillarga omillarni qo'shdik, natijada omillar.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning darajasi, ya'ni: , isbotlanishi kerak edi.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda Majburiy bir xil sabab bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligingiz kerak.

2. ya'ni -sonning darajasi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning 1-chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Ammo siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy bazaga ega daraja

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin asos nima bo'lishi kerak?

dan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam. Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, qanday belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo ko'paytirsak, bu chiqadi.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda hamma narsa aniq deb umid qilamanmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas!

6 ta amaliyotga misollar

Yechim tahlili 6 ta misol

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular almashtirilgan bo'lsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshi tomonlarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni nomlaymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Baza bilan bir oz kuchni ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. vositalari.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning haqiqati nimada? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'tarishimiz mumkin.

Keling, oldinga boraylik. Butun sonlarga natural sonlar va raqamlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy daraja nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta xuddi shunday qilamiz: ba'zi bir normal sonni bir xilga ko'paytiramiz. salbiy daraja:

Bu erdan kerakli narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Raqamning manfiy darajaga tengligi bir xil sonning musbat darajaga teskarisidir. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki ajratish mumkin emas).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ifoda holda aniqlanmaydi. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday son birga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Ushbu misollarni yeching yoki yechimini tahlil qiling, agar hal qila olmasangiz, imtihonda ular bilan qanday qilib osonlikcha shug'ullanishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" raqamlar oralig'ini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan barcha narsalar, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja" Keling, kasrni ko'rib chiqaylik:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslang "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi ko'rsatkichning teskari amalidir: .

Ma'lum bo'ladiki. Shubhasiz, bu maxsus holat uzaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shing: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi bilan olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: har qanday raqamga ko'tariladi hatto daraja ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni ko'tarish mumkin emas kasr darajasi juft maxraj bilan, ya'ni ifoda ma'noga ega emas.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, qisqartirilgan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q va bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozishingiz mumkin. Ammo biz indikatorni boshqacha yozganimizdan so'ng, biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun o'ylab ko'ring kasr ko'rsatkichli faqat musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

• - natural son;
• butun sondir;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichli kuchlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

5 ta amaliyotga misollar

Trening uchun 5 ta misol tahlili

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi biz tahlil qilamiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli darajalar bilan bir xil, bundan mustasno.

Darhaqiqat, ta'rifiga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, har safar biz ma'lum bir "tasvir", "o'xshashlik" yoki ko'proq tanish bo'lgan tavsifni yaratamiz.

Masalan, natural ko’rsatkich o’ziga bir necha marta ko’paytiriladigan sondir;

...nol quvvat- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "bo'sh raqam" , ya'ni raqam;

...manfiy butun son ko‘rsatkichi- go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHONCH ETAMIZ! (agar siz bunday misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Darajani darajaga oshirishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi hisobni ko'ring. U sizga biror narsani eslatadimi? Biz kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaymiz:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko‘rsatkichli kasrlarni bir xil ko‘rinishga keltiramiz: ikkala o‘nli yoki ikkalasi ham oddiy. Biz, masalan, olamiz:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

ILG'IY DARAJA

Darajaning ta'rifi

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu erda:

• — daraja bazasi;
• - ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun koʻrsatkichli quvvat (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

erektsiya nol quvvatga:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki ajratish mumkin emas).

Nulllar haqida yana bir bor: ifoda ishda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali daraja

• - natural son;
• butun sondir;

Misollar:

Darajaning xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida quyidagi mahsulot olinadi:

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash kerak Majburiy bir xil asosda bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligim kerak.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, uni shunday tartibga keltiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning --chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz :!

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik indeks daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? dan darajalarda tabiiy indikator asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qanday belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak - hosil bo'ladi.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Bunday shakllantirish mumkin oddiy qoidalar:

1. hatto daraja, - raqam ijobiy.
2. Salbiy raqam, ichida qurilgan g'alati daraja, - raqam salbiy.
3. Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
4. Har qanday quvvatga nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda siz qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar buni eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani tahlil qilishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular o'zgartirilsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi bu shunday ko'rinadi:

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Uni faqat bitta nomaqbul minusni o'zgartirish bilan almashtirib bo'lmaydi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Biz buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: daraja tushunchasini kengaytiramiz va soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Qancha harf bo'ladi? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: jami ko'paytiruvchilar bo'lib chiqdi. Ya'ni, ta'rifga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ko'rsatilmaydigan sonlar, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, har safar biz ma'lum bir "tasvir", "o'xshashlik" yoki ko'proq tanish bo'lgan tavsifni yaratamiz. Masalan, natural ko’rsatkich o’ziga bir necha marta ko’paytiriladigan sondir; nol darajagacha bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "raqamni tayyorlash", ya'ni raqam; butun sonli manfiy ko'rsatkichli daraja - go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). To'g'rirog'i, bu matematiklar daraja tushunchasini butun sonlar fazosiga kengaytirish uchun yaratgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Masalan:

O'zingiz uchun qaror qiling:

1)

2)

3)

Javoblar:

1. Kvadratlar formulasining farqini eslang. Javob: .
2. Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli yoki ikkala oddiy. Biz, masalan: .
3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULA

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu yerda:

Butun sonli daraja

daraja, ko'rsatkichi natural son (ya'ni butun va musbat).

Ratsional darajali daraja

daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajaning xususiyatlari

Darajaning xususiyatlari.

• Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
• Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
• Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
• Nol har qanday quvvatga teng.
• Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SIZDA SO'Z BOR...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yo'qmi, quyidagi izohlarda menga xabar bering.

Quvvat xususiyatlari bilan tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Quvvat formulalari qisqartirish va soddalashtirish jarayonida foydalaniladi murakkab ifodalar, tenglamalar va tengsizliklarni yechishda.

Raqam c hisoblanadi n-sonning darajasi a Qachon:

Darajalar bilan operatsiyalar.

1. Darajalar bir xil asosga ko'paytirilsa, ularning ko'rsatkichlari yig'iladi:

a ma n = a m + n.

2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi:

3. 2 yoki ning hosilasi darajasi Ko'proq omillar ushbu omillarning kuchlari mahsulotiga teng:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Kasrning darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining nisbatiga teng:

(a/b) n = a n/b n.

5. Kuchni bir darajaga ko'tarib, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(am) n = a m n.

Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishda to'g'ri.

Masalan. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Ildizlar bilan operatsiyalar.

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Munosabatlarning ildizi nisbatiga teng ildizlarning bo'linuvchi va bo'linuvchisi:

3. Ildizni bir darajaga ko'tarishda ildiz raqamini shu darajaga ko'tarish kifoya:

4. In ildizining darajasini oshirsak n bir marta va bir vaqtning o'zida ko'taring n th quvvat ildiz raqami bo'lsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. In ildizining darajasini kamaytirsak n bir vaqtning o'zida ildiz n radikal sondan th daraja, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ijobiy bo'lmagan (butun) ko'rsatkichli sonning darajasi musbat bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichga ega bo'lgan bir xil sonning darajasiga bo'lingan daraja sifatida aniqlanadi:

Formula a m:a n = a m - n uchungina emas, balki foydalanish mumkin m> n, lekin ayni paytda m< n.

Masalan. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formulaga a m:a n = a m - n da adolatli bo'ldi m=n, sizga nol daraja mavjudligi kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning kuchi birga teng.

Masalan. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun A darajaga qadar m/n, siz ildizni chiqarib olishingiz kerak n ning darajasi m bu raqamning kuchi A.

Quvvatlarni qanday ko'paytirish kerak? Qaysi kuchlarni ko'paytirish mumkin va qaysi biri mumkin emas? Raqamni kuchga qanday ko'paytirish mumkin?

Algebrada kuchlar mahsulotini ikki holatda topish mumkin:

1) agar darajalar bir xil asosga ega bo'lsa;

2) darajalar bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lsa.

Bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirishda asos bir xil bo'lishi kerak va ko'rsatkichlar qo'shilishi kerak:

Darajani bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirishda jami ko'rsatkich qavslardan chiqarilishi mumkin:

Muayyan misollar bilan kuchlarni qanday ko'paytirishni ko'rib chiqing.

Ko'rsatkichdagi birlik yozilmagan, ammo darajalarni ko'paytirishda ular hisobga olinadi:

Ko'paytirishda darajalar soni har qanday bo'lishi mumkin. Shuni esda tutish kerakki, siz ko'paytirish belgisini harfdan oldin yoza olmaysiz:

Ifodalarda birinchi navbatda daraja ko'tariladi.

Agar siz raqamni darajaga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, avval darajani ko'paytirishingiz kerak, shundan keyingina ko'paytirish:

www.algebraclass.ru

Quvvatlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish

Quvvatlarni qo'shish va ayirish

Shubhasiz, kuchga ega raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birma-bir qo'shish orqali.

Shunday qilib, a 3 va b 2 yig'indisi a 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.

Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning bir xil kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.

Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.

Bundan tashqari, agar ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni oladigan bo'lsak, bu ham aniq.

Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar Va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilariga qo'shish orqali qo'shilishi kerak.

Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.

Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning kvadratidan ikki marta emas, balki a ning kubidan ikki barobar katta.

3 b n va 3a 5 b 6 yig'indisi a 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.

Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtrahend belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.

Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 soat 2 b 6 - 4 soat 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Quvvatni ko'paytirish

Quvvatli sonlar boshqa miqdorlar kabi ularni birin-ketin yozish orqali, ular orasidagi ko'paytirish belgisi bilan yoki ko'paytirmasdan ko'paytirilishi mumkin.

Demak, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.

Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3 .

Bir nechta sonlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. so'm atamalar darajalari.

Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.

Demak, a n .a m = a m+n.

a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha bo'lsa, shuncha ko'p marta olinadi;

Va a m , koeffitsient sifatida qancha marta m darajaga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;

Shunung uchun, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarni qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.

Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu qoida ko'rsatkichlari - bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.

1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni

Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi ularning kvadratlari yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi.

Ikki sonning yig'indisi va farqi ga ko'tarilsa kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.

Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Darajalar bo'limi

Kuchli sonlar boshqa sonlar kabi boʻlinuvchidan ayirish yoki kasr shaklida qoʻyish yoʻli bilan boʻlinadi.

Demak, a 3 b 2 b 2 ga bo'lingan holda a 3 bo'ladi.

3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\fracga o'xshaydi $. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.

Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..

Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ya'ni, $\frac = y$.

Va a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ya'ni, $\frac = a^n$.

Yoki:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 ga teng.
Shuningdek, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.

Raqamli sonlarni o'z ichiga olgan kasrli misollarni yechish misollari

1. $\frac $ da ko'rsatkichlarni qisqartiring Javob: $\frac $.

2. $\frac$ ko'rsatkichlarini kamaytiring. Javob: $\frac $ yoki 2x.

3. a 2 / a 3 va a -3 / a -4 ko'rsatkichlarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 birinchi raqam -2 hisoblanadi.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3/5a 7 va 5a 5/5a 7 yoki 2a 3/5a 2 va 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.

6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.

7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.

8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.

daraja xususiyatlari

Ushbu darsda biz tushunganimizni eslatamiz daraja xususiyatlari tabiiy ko'rsatkichlar va nolga teng. Ratsional ko'rsatkichli darajalar va ularning xususiyatlari 8-sinf uchun darslarda muhokama qilinadi.

Tabiiy ko'rsatkichli ko'rsatkich bir qancha muhim xususiyatlarga ega bo'lib, ular ko'rsatkich misollarida hisoblarni soddalashtirishga imkon beradi.

№1 mulk
Kuchlar mahsuloti

Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar qo'shiladi.

a m a n \u003d a m + n, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.

Vakolatlarning bu xususiyati ham uch yoki undan ortiq vakolatlarning mahsulotiga ta'sir qiladi.

Ifodani soddalashtiring.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Diplom sifatida taqdim eting.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Diplom sifatida taqdim eting.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

E'tibor bering, ko'rsatilgan mulkda gap faqat bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish haqida edi.. Bu ularning qo'shilishiga taalluqli emas.

Siz yig'indini (3 3 + 3 2) 3 5 bilan almashtira olmaysiz. Bu tushunarli, agar
hisoblang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 va 3 5 = 243

№2 mulk
Xususiy darajalar

Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos o'zgarishsiz qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning ko'rsatkichidan chiqariladi.

Ko'rsatkichni kuch sifatida yozing
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Hisoblash.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Misol. Tenglamani yeching. Biz qisman darajalar xususiyatidan foydalanamiz.
3 8: t = 3 4

Javob: t = 3 4 = 81

No1 va 2-sonli xususiyatlardan foydalanib, siz ifodalarni osongina soddalashtirishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin.

Misol. Ifodani soddalashtiring.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Misol. Daraja xossalari yordamida ifoda qiymatini toping.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

E'tibor bering, 2-mulk faqat bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash bilan bog'liq.

Farqni (4 3 −4 2) 4 1 bilan almashtira olmaysiz. Agar siz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 va 4 1 = 4 ni hisoblasangiz, buni tushunish mumkin.

№3 mulk
Ko'rsatkichlar

Quvvatni kuchga ko'tarishda quvvatning asosi o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

(a n) m \u003d a n m, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.

E'tibor bering, 4-sonli mulk, darajalarning boshqa xususiyatlari kabi, teskari tartibda ham qo'llaniladi.

(a n b n)= (a b) n

Ya'ni, darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish uchun siz asoslarni ko'paytirishingiz va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirishingiz mumkin.

Misol. Hisoblash.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Misol. Hisoblash.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Ko'proq qiyin misollar ko'paytirish va bo'lish turli asoslarga ega bo'lgan darajalar ustida bajarilishi kerak bo'lgan holatlar bo'lishi mumkin turli ko'rsatkichlar. Bunday holda, biz sizga quyidagilarni qilishni maslahat beramiz.

Masalan, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

O'nli kasrni darajaga ko'tarishga misol.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Xususiyatlari 5
Bo'limning kuchi (kasrlar)

Ko'rsatkichni bir darajaga ko'tarish uchun siz dividend va bo'luvchini ushbu darajaga alohida ko'tarishingiz va birinchi natijani ikkinchisiga bo'lishingiz mumkin.

(a: b) n \u003d a n: b n, bu erda "a", "b" har qanday ratsional sonlar, b ≠ 0, n - har qanday natural son.

Misol. Ifodani qisman kuch sifatida ifodalang.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Sizga shuni eslatib o'tamizki, qism kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun biz keyingi sahifada kasrni kuchga ko'tarish mavzusiga batafsil to'xtalib o'tamiz.

Darajalar va ildizlar

Quvvat va ildizlar bilan operatsiyalar. Daraja salbiy bilan ,

nol va kasr indikator. Mantiqiy bo'lmagan iboralar haqida.

Darajalar bilan operatsiyalar.

1. Bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi:

a m · a n = a m + n.

2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi .

3. Ikki yoki undan ortiq omillar mahsulotining darajasi bu omillar darajalarining mahsulotiga teng.

4. Nisbat (kasr) darajasi dividend (numerator) va bo‘luvchi (maxraj) darajalari nisbatiga teng:

(a/b) n = a n / b n.

5. Bir darajani kuchga ko'tarishda ularning ko'rsatkichlari ko'paytiriladi:

Yuqoridagi barcha formulalar o'qiladi va ikkala yo'nalishda chapdan o'ngga va aksincha bajariladi.

MISOL (2 3 5/15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Ildizlar bilan operatsiyalar. Quyidagi barcha formulalarda belgi ma'nosini anglatadi arifmetik ildiz(radikal ifoda ijobiy).

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Nisbatning ildizi dividend va bo‘luvchining ildizlari nisbatiga teng:

3. Ildizni kuchga ko'tarishda, bu kuchga ko'tarish kifoya ildiz raqami:

4. Agar ildizning darajasini m marta oshirib, bir vaqtning o'zida ildiz sonini m - darajaga ko'tarsangiz, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. Agar ildizning darajasini m marta kamaytirsangiz va shu bilan birga radikal sondan m-darajali ildizni ajratib olsak, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Daraja tushunchasini kengaytirish. Hozircha biz darajalarni faqat tabiiy ko'rsatkich bilan ko'rib chiqdik; lekin kuchlar va ildizlar bilan operatsiyalar ham olib kelishi mumkin salbiy, nol Va kasr ko'rsatkichlar. Ushbu ko'rsatkichlarning barchasi qo'shimcha ta'rifni talab qiladi.

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Manfiy (butun) ko'rsatkichli ba'zi sonning kuchi manfiy ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichga ega bo'lgan bir xil sonning kuchiga bo'linish sifatida aniqlanadi:

Endi formula a m : a n = a m-n uchungina emas, balki foydalanish mumkin m, Bundan ko'proq n, lekin ayni paytda m, dan kichik; .. dan kamroq n .

MISOL a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Agar biz formulani xohlasak a m : a n = a m — n adolatli edi m = n, bizga nol daraja ta'rifi kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning darajasi 1 ga teng.

MISOLLAR. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy a sonini m/n darajaga ko‘tarish uchun ushbu a sonining m-darajali darajasidan n-darajali ildizni ajratib olish kerak:

Mantiqiy bo'lmagan iboralar haqida. Bunday iboralar bir nechta.

Qayerda a ≠ 0 , mavjud emas.

Haqiqatan ham, agar biz buni taxmin qilsak x ma'lum bir raqam bo'lsa, bo'linish operatsiyasining ta'rifiga muvofiq bizda: a = 0· x, ya'ni. a= 0, bu shartga zid keladi: a ≠ 0

— har qanday raqam.

Haqiqatan ham, agar bu ifodani qandaydir songa teng deb hisoblasak x, keyin bo'linish operatsiyasining ta'rifiga ko'ra bizda: 0 = 0 x. Ammo bu tenglik amal qiladi har qanday raqam x, bu isbotlanishi kerak edi.

0 0 — har qanday raqam.

Yechim. Uchta asosiy holatni ko‘rib chiqing:

1) x = 0 – bu qiymat bu tenglamani qanoatlantirmaydi

2) qachon x> 0 biz olamiz: x / x= 1, ya'ni. 1 = 1, bundan kelib chiqadi,

Nima x- istalgan raqam; lekin buni hisobga olgan holda

bizning ishimiz x> 0, javob x > 0 ;

Turli asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish qoidalari

RATsional ko'rsatkichli daraja,

QUVVAT FUNKSIYASI IV

§ 69. Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish

Teorema 1. Bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirish uchun darajalarni qo'shish va asosni bir xil qoldirish kifoya, ya'ni

Isbot. Darajaning ta'rifi bo'yicha

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Biz ikkita kuchning mahsulotini ko'rib chiqdik. Darhaqiqat, isbotlangan xususiyat bir xil asoslarga ega bo'lgan har qanday miqdordagi kuchlar uchun to'g'ri keladi.

Teorema 2. Kuchlarni bir xil asoslarga bo'lish uchun, agar dividend ko'rsatkichi bo'luvchining ko'rsatkichidan katta bo'lsa, dividend ko'rsatkichidan bo'linuvchi ko'rsatkichini ayirish va bazani bir xil qoldirish kifoya, ya'ni. da t > n

(a =/= 0)

Isbot. Eslatib o'tamiz, bir sonni boshqasiga bo'lishning koeffitsienti bo'linuvchiga ko'paytirilganda dividendni beradigan sondir. Shuning uchun, formulani isbotlang , qaerda a =/= 0, bu formulani isbotlash kabi

Agar t > n , keyin raqam t - p tabiiy bo'ladi; shuning uchun 1-teorema bo'yicha

2-teorema isbotlangan.

Formulaga e'tibor bering

degan taxmin bilangina biz tomonidan isbotlangan t > n . Shuning uchun, isbotlangan narsalardan, masalan, quyidagi xulosalar chiqarish hali mumkin emas:

Bundan tashqari, biz hali salbiy ko'rsatkichli darajalarni ko'rib chiqmadik va 3 ifodaga qanday ma'no berilishi mumkinligini hali bilmaymiz. - 2 .

Teorema 3. Quvvatni bir darajaga ko'tarish uchun ko'rsatkichni ko'paytirish kifoya qiladi va ko'rsatkichning asosini bir xil bo'ladi., ya'ni

Isbot. Darajaning ta'rifi va ushbu bo'limning 1-teoremasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Q.E.D.

Masalan, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Og‘zaki.) Aniqlang X tenglamalardan:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Tuzatilgan) Soddalashtiring:

520. (Tuzatilgan) Soddalashtiring:

521. Ushbu iboralarni bir xil asosli darajalar sifatida ko'rsating:

1) 32 va 64; 3) 85 va 163; 5) 4 100 va 32 50;

2) -1000 va 100; 4) -27 va -243; 6) 81 75 8 200 va 3 600 4 150.