Sof matematik va amaliy xarakterdagi (ayniqsa qurilishda) har xil turdagi muammolarni hal qilishda ko'pincha ma'lum bir geometrik figuraning balandligi qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Uchburchakda berilgan qiymatni (balandlikni) qanday hisoblash mumkin?
Agar bitta to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lmagan 3 nuqtani juft-juft qilib birlashtirsak, natijada olingan rasm uchburchak bo'ladi. Balandlik - bu chiziqning har qanday cho'qqidan keladigan qismi, u bilan kesishganda qarama-qarshi tomon 90° burchak hosil qiladi.
Masshtabli uchburchakda balandlikni toping
Shaklning ixtiyoriy burchaklari va tomonlari bo'lsa, uchburchak balandligining qiymatini aniqlaylik.
Heron formulasi
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)/a, bu erda
p - shakl perimetrining yarmi, h(a) - a tomoniga bo'lgan segment, unga to'g'ri burchak ostida chizilgan;
p=(a+b+c)/2 – yarim perimetrni hisoblash.
Agar rasmning maydoni bo'lsa, uning balandligini aniqlash uchun siz h(a)=2S/a nisbatidan foydalanishingiz mumkin.
Trigonometrik funktsiyalar
A tomoni bilan kesishgan joyda to‘g‘ri burchak hosil qiluvchi segment uzunligini aniqlash uchun quyidagi munosabatlardan foydalanish mumkin: agar b tomoni va g burchagi yoki c tomoni va b burchagi ma’lum bo‘lsa, h(a)=b*sing. yoki h(a)=c *sinb.
Qayerda:
g - b va a tomonlari orasidagi burchak,
b - c va a tomoni orasidagi burchak.
Radius bilan bog'liqlik
Agar asl uchburchak aylana ichiga yozilgan bo'lsa, balandlikni aniqlash uchun bunday doira radiusidan foydalanishingiz mumkin. Uning markazi barcha 3 balandlik kesishgan nuqtada (har bir cho'qqidan) joylashgan - ortosentr va undan cho'qqigacha bo'lgan masofa (har qanday) radiusdir.
Keyin h(a)=bc/2R, bu yerda:
b, c - uchburchakning boshqa 2 tomoni,
R - uchburchakni tavsiflovchi aylananing radiusi.
To'g'ri uchburchakda balandlikni toping
Geometrik shaklning bu shaklida kesishmadagi 2 tomon to'g'ri burchak hosil qiladi - 90 °. Shuning uchun, undagi balandlikning qiymatini aniqlash kerak bo'lsa, u holda oyoqlardan birining o'lchamini yoki gipotenuza bilan 90 ° ni tashkil etadigan segmentning qiymatini hisoblash kerak. Belgilashda:
a, b - oyoqlar,
c - gipotenuza,
h(c) gipotenuzaga perpendikulyar.
Mahsulot zarur hisob-kitoblar quyidagi munosabatlar yordamida amalga oshirilishi mumkin:
- Pifagor teoremasi:
a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, keyin h(c)=ab/c .
- Trigonometrik funktsiyalar:
a=c*sinb,
b=c* cosb,
h(c)=ab/c=s* sinb* cosb.
Teng yonli uchburchakda balandlikni toping
Ushbu geometrik raqam teng o'lchamdagi ikki tomonning va uchinchisi - taglikning mavjudligi bilan ajralib turadi. Uchinchi, boshqa tomonga chizilgan balandlikni aniqlash uchun Pifagor teoremasi yordamga keladi. Belgilar bilan
a - tomon,
c - asos,
h(c) 90° burchak ostida c ga boʻlgan segment, u holda h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).
Uchburchakning balandligi - bu uchburchakning istalgan tepasidan qarama-qarshi tomonga yoki uning kengaytmasiga tushirilgan perpendikulyardir (perpendikulyar tushadigan tomon, bu holda uchburchakning asosi deb ataladi).
O'tkir uchburchakda ikki balandlik tomonlarning kengaytmasiga tushadi va uchburchakdan tashqarida yotadi. Uchinchisi uchburchak ichida.
O'tkir uchburchakda uchta balandlik uchburchak ichida yotadi.
To'g'ri uchburchakda oyoqlar balandlik vazifasini bajaradi.
Baza va maydondan balandlikni qanday topish mumkin
Uchburchakning maydonini hisoblash formulasini eslang. Uchburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: A=1/2bh.
- A - uchburchakning maydoni
- b - uchburchakning balandligi tushirilgan tomoni.
- h - uchburchakning balandligi
Uchburchakka qarang va qanday miqdorlarni allaqachon bilganingiz haqida o'ylang. Agar sizga hudud berilgan bo'lsa, uni "A" yoki "S" harfi bilan belgilang. Sizga yon tomonning qiymati ham berilishi kerak, uni "b" harfi bilan belgilang. Agar sizga hudud berilmasa va sizga tomon berilmasa, boshqa usuldan foydalaning.
Yodda tutingki, uchburchakning asosi balandligi tushirilgan uchburchakning istalgan tomoni bo'lishi mumkin (uchburchak qanday joylashganidan qat'i nazar). Buni yaxshiroq tushunish uchun, bu uchburchakni aylantirishingiz mumkinligini tasavvur qiling. Uni o'zingiz bilgan tomon pastga qaraydigan qilib aylantiring.
Masalan, uchburchakning maydoni 20 ga, tomonlaridan biri esa 4 ga teng.
Hududni hisoblash formulasida sizga berilgan qiymatlarni almashtiring (A \u003d 1 / 2bh) va balandlikni toping. Avval tomonni (b) 1/2 ga ko'paytiring, so'ngra maydonni (A) olingan qiymatga bo'ling. Shu tarzda siz uchburchakning balandligini topasiz.
Bizning misolimizda: 20 = 1/2 (4) h
20 = 2 soat
10 = h
Teng tomonli uchburchakning xususiyatlarini eslang. Teng tomonli uchburchakda barcha tomonlar va barcha burchaklar teng (har bir burchak 60˚). Agar siz bunday uchburchakda balandlik chizsangiz, siz ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchak olasiz.
Masalan, tomoni 8 bo'lgan teng tomonli uchburchakni ko'rib chiqing.
Pifagor teoremasini eslang. Pifagor teoremasida aytilishicha, "a" va "b" oyoqlari bo'lgan har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda "c" gipotenuzasi: a2 + b2 \u003d c2. Bu teorema teng yonli uchburchakning balandligini topish uchun ishlatilishi mumkin!
Teng tomonli uchburchakni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'ling (buning uchun balandlikni chizing). Keyin to'g'ri uchburchaklardan birining tomonlarini belgilang. Teng tomonli uchburchakning yon tomoni "c" gipotenuzasidir. to'g'ri uchburchak. "a" oyog'i teng tomonli uchburchak tomonining 1/2 qismiga teng, "b" oyog'i esa teng tomonli uchburchakning talab qilinadigan balandligi.
Shunday qilib, bizning misolimizda teng tomonli uchburchak bilan taniqli partiya 8 ga teng: c = 8 va a = 4.
Ushbu qiymatlarni Pifagor teoremasiga almashtiring va b2 ni hisoblang. Birinchidan, "c" va "a" kvadratlari (har bir qiymatni o'z-o'zidan ko'paytiring). Keyin c2 dan a2 ni ayiring.
42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48
Ekstrakt Kvadrat ildiz b2 dan uchburchakning balandligini toping. Buning uchun kalkulyatordan foydalaning. Olingan qiymat sizning teng qirrali uchburchakning balandligi bo'ladi!
b = √48 = 6,93
Burchaklar va tomonlar yordamida balandlikni qanday topish mumkin
Qaysi qadriyatlarni bilishingiz haqida o'ylab ko'ring. Agar siz tomonlarini va burchaklarini bilsangiz, uchburchakning balandligini topishingiz mumkin. Masalan, taglik va yon tomon orasidagi burchak ma'lum bo'lsa. Yoki har uch tomonning qiymatlari ma'lum bo'lsa. Shunday qilib, uchburchakning tomonlarini belgilaymiz: "a", "b", "c", uchburchakning burchaklari: "A", "B", "C" va maydoni - "S" harfi.
Agar siz uchta tomonni bilsangiz, sizga uchburchakning maydoni va Heron formulasi kerak bo'ladi.
Agar siz ikki tomonni va ular orasidagi burchakni bilsangiz, maydonni topish uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin: S=1/2ab(sinC).
Agar sizga uchta tomonning qiymatlari berilgan bo'lsa, Heron formulasidan foydalaning. Ushbu formula bir necha bosqichlarni talab qiladi. Avval siz "s" o'zgaruvchisini topishingiz kerak (biz bu harf bilan uchburchak perimetrining yarmini belgilaymiz). Buning uchun ma'lum qiymatlarni ushbu formulaga almashtiring: s = (a+b+c)/2.
Tomonlari a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2 bo'lgan uchburchak uchun. Natija: s=12/2, bu yerda s=6.
Keyin, ikkinchi harakat bilan biz maydonni topamiz (Geron formulasining ikkinchi qismi). Maydon = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). "Maydon" so'zi o'rniga maydonni topish uchun ekvivalent formulani kiriting: 1/2bh (yoki 1/2ah yoki 1/2ch).
Endi balandlikning (h) ekvivalent ifodasini toping. Bizning uchburchak uchun quyidagi tenglama amal qiladi: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Bu yerda 3/2h=√(6(2(3(1)))). 3/2h = √(36) ekan. Kalkulyator yordamida kvadrat ildizni hisoblang. Bizning misolimizda: 3/2h = 6. Ma'lum bo'lishicha, balandlik (h) 4, b tomoni asosdir.
Muammoning sharti bo'yicha ikki tomon va burchak ma'lum bo'lsa, siz boshqa formuladan foydalanishingiz mumkin. Formuladagi maydonni ekvivalent ifoda bilan almashtiring: 1/2bh. Shunday qilib, siz quyidagi formulani olasiz: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Uni quyidagi shaklga soddalashtirish mumkin: bitta noma'lum o'zgaruvchini olib tashlash uchun h = a(sin C).
Endi hosil bo'lgan tenglamani yechish qoladi. Misol uchun, "a" = 3, "C" = 40 daraja bo'lsin. Keyin tenglama quyidagicha ko'rinadi: "h" = 3(sin 40). Kalkulyator va sinuslar jadvalidan foydalanib, "h" qiymatini hisoblang. Bizning misolimizda h = 1,928.
Uchburchakning eng katta yoki eng kichik balandligini qanday topish mumkin? Uchburchakning balandligi qanchalik kichik bo'lsa, unga chizilgan balandlik ham shunchalik katta bo'ladi. Ya'ni, uchburchakning eng kichik tomoniga chizilgan balandlikning eng kattasi. - uchburchak tomonlarining eng kattasiga chizilgani.
Uchburchakning maksimal balandligini topish uchun , siz uchburchakning maydonini ushbu balandlik chizilgan tomonning uzunligiga (ya'ni, uchburchak tomonlarining eng kichigi uzunligiga) bo'lishingiz mumkin.
Shunga ko'ra, d Uchburchakning eng kichik balandligini topish uchun Uchburchakning maydonini uning eng uzun tomonining uzunligiga bo'ling.
Vazifa 1.
Tomonlari 7 sm, 8 sm va 9 sm boʻlgan uchburchakning eng kichik balandligini toping.
Berilgan:
AC=7sm, AB=8sm, BC=9sm.
Toping: uchburchakning eng kichik balandligi.
Yechim:
Uchburchakning eng kichigi eng uzun tomoniga chizilgan balandlikdir. Shunday qilib, siz BC tomoniga chizilgan AF balandligini topishingiz kerak.
Belgilanish qulayligi uchun biz yozuvni kiritamiz
BC=a, AC=b, AB=c, AF=ga.
Uchburchakning balandligi uchburchak maydonining ikki barobarining bu balandlik chizilgan tomonga bo'lingan qismiga teng. Heron formulasidan foydalanib topish mumkin. Shunung uchun
Biz hisoblaymiz:
Javob:
Vazifa 2.
Tomonlari 1 sm, 25 sm va 30 sm boʻlgan uchburchakning eng uzun tomonini toping.
Berilgan:
AC=25 sm, AB=11 sm, BC=30 sm.
Toping:
ABC uchburchagining eng katta balandligi.
Yechim:
Uchburchakning eng katta balandligi uning eng kichik tomoniga chizilgan.
Demak, AB tomoniga chizilgan CD balandligini topishimiz kerak.
Qulaylik uchun biz belgilaymiz
Ko'p geometrik muammolarni hal qilish uchun siz balandlikni topishingiz kerak berilgan raqam. Bu vazifalar amaliy ahamiyatga ega. Qurilish ishlarini bajarishda balandlikni aniqlash kerakli miqdordagi materiallarni hisoblashga yordam beradi, shuningdek, nishablar va teshiklarning qanchalik to'g'ri bajarilishini aniqlashga yordam beradi. Ko'pincha, naqshlarni qurish uchun siz xususiyatlar haqida tasavvurga ega bo'lishingiz kerak
Ko'p odamlar, maktabda yaxshi baholarga qaramay, oddiy qurishda geometrik shakllar uchburchak yoki parallelogramm balandligini qanday topish mumkin degan savol tug'iladi. Va bu eng qiyin. Buning sababi shundaki, uchburchak o'tkir, o'tmas, teng yon tomonli yoki to'g'ri bo'lishi mumkin. Ularning har biri qurilish va hisoblash uchun o'z qoidalariga ega.
Barcha burchaklari o'tkir bo'lgan uchburchakning balandligini grafik tarzda qanday topish mumkin
Agar uchburchakning barcha burchaklari o'tkir bo'lsa (uchburchakdagi har bir burchak 90 darajadan kichik bo'lsa), balandlikni topish uchun quyidagilarni bajaring.
- Berilgan parametrlarga ko'ra biz uchburchak quramiz.
- Keling, notatsiya bilan tanishamiz. A, B va C figuraning uchlari bo'ladi. Har bir tepaga mos burchaklar a, b, g. Bu burchaklarga qarama-qarshi tomonlar a, b, c.
- Balandlik - burchakning tepasidan uchburchakning qarama-qarshi tomoniga perpendikulyar. Uchburchakning balandliklarini topish uchun perpendikulyarlarni yasaymiz: a burchakning tepasidan a tomoniga, b burchakning uchidan b tomoniga va hokazo.
- Balandlik va a tomonning kesishish nuqtasi H1 bilan belgilanadi va balandlikning o'zi h1 bo'ladi. Balandligi va b tomonining kesishish nuqtasi H2, balandligi mos ravishda h2 bo'ladi. C tomoni uchun balandlik h3 va kesishish nuqtasi H3 bo'ladi.
O'tkir burchakli uchburchakdagi balandlik
Endi uchburchakning balandligini qanday topish mumkinligini ko'rib chiqing (90 darajadan katta). Bunday holda, o'tmas burchakdan chizilgan balandlik uchburchak ichida bo'ladi. Qolgan ikkita balandlik uchburchakdan tashqarida bo'ladi.
Uchburchakmizdagi a va b burchaklar o'tkir, g burchak esa o'tkir bo'lsin. Keyin a va b burchaklardan chiqadigan balandliklarni qurish uchun perpendikulyarlarni chizish uchun uchburchakning ularga qarama-qarshi tomonlarini davom ettirish kerak.
Teng yonli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin
Bu raqam ikkitadan iborat teng tomonlar va asos, asosdagi burchaklar ham bir-biriga teng. Tomonlar va burchaklarning bu tengligi balandliklarni qurish va ularni hisoblashni osonlashtiradi.
Birinchidan, uchburchakning o'zini chizamiz. b va c tomonlari, shuningdek b, g burchaklari mos ravishda teng bo'lsin.
Endi a burchakning tepasidan balandlik chizamiz, uni h1 deb belgilaymiz. Bu balandlik uchun bissektrisa ham, mediana ham bo'ladi.
Poydevor uchun faqat bitta qurilishni amalga oshirish mumkin. Masalan, balandlik va bissektrisani topish uchun teng yonli uchburchakning cho'qqisini va qarama-qarshi tomonini, asosini bog'laydigan mediana - segmentni chizing. Va boshqa ikki tomon uchun balandlikning uzunligini hisoblash uchun siz faqat bitta balandlikni qurishingiz mumkin. Shunday qilib, teng yonli uchburchakning balandligini qanday hisoblashni grafik tarzda aniqlash uchun uchta balandlikdan ikkitasini topish kifoya.
To'g'ri burchakli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin
To'g'ri burchakli uchburchakning balandliklarini aniqlash boshqalarga qaraganda ancha oson. Buning sababi shundaki, oyoqlarning o'zlari to'g'ri burchakni tashkil qiladi, ya'ni ular balandlikdir.
Uchinchi balandlikni qurish uchun, odatdagidek, vertexni bog'laydigan perpendikulyar chiziladi to'g'ri burchak va qarama-qarshi tomon. Natijada, bu holda uchburchak qilish uchun faqat bitta qurilish kerak bo'ladi.
