Obdélník, kosočtverec a čtverec. Osová a středová symetrie. Jak nakreslit symetrický předmět

Symetrie já Symetrie (z řeckého symetria - proporcionalita)

v matematice

1) symetrie (v úzký smysl), nebo odraz (zrcadlení) vzhledem k rovině α v prostoru (vzhledem k přímé A na rovině), je transformací prostoru (roviny), ve kterém je každý bod M jde k věci M" tak, že segment MM" kolmá k rovině α (přímá A) a překrojte na polovinu. Rovina α (přímá A) se nazývá rovina (osa) C.

Odraz je příkladem ortogonální transformace (viz ortogonální transformace), která mění orientaci (viz orientace) (na rozdíl od vlastního pohybu). Jakákoli ortogonální transformace může být provedena sekvenčním prováděním konečného počtu odrazů - tato skutečnost hraje zásadní roli při studiu S. geometrické tvary.

2) Symetrie (v širokém slova smyslu) - vlastnost geometrického útvaru F, který charakterizuje určitou pravidelnost formy F, jeho neměnnost při působení pohybů a odrazů. Přesněji postava F má S. (symetrický), pokud existuje neidentická ortogonální transformace, která mapuje tento obrazec do sebe. Sada všech ortogonálních transformací, které kombinují postavu F sama se sebou je grupa (viz grupa) nazývaná grupa symetrie tohoto obrázku (někdy se tyto transformace samy nazývají symetrie).

Tak, plochá postava, který se při odrazu promění v sebe, je symetrický kolem přímky - osy C. ( rýže. 1 ); zde se skupina symetrie skládá ze dvou prvků. Pokud postava F na rovině je taková, že rotuje kolem libovolného bodu O o úhel 360°/ n, n- celé číslo ≥ 2, přeložte jej do sebe, tedy F má S. n-tý řád s ohledem na bod O- střed C. Příkladem takových obrazců jsou pravidelné polygony (rýže. 2 ); skupina S. zde - tzv. cyklická skupina n-tý řád. Kruh má S. nekonečného řádu (protože se sám se sebou kombinuje otočením o libovolný úhel).

Nejjednoduššími typy prostorových S., kromě S. generovaných odrazy, jsou centrální S., axiální S. a S. přenosu.

a) V případě středové souměrnosti (inverze) kolem bodu O se obrazec Ф po postupných odrazech od tří vzájemně kolmých rovin spojí sám se sebou, jinými slovy, bod O je středem úsečky spojující symetrické body Ф ( rýže. 3 ). b) V případě osové souměrnosti nebo S. vzhledem k přímce nřádu je obrazec superponován na sebe rotací kolem nějaké přímky (osa N) pod úhlem 360° / n. Například krychle má čáru AB osa C. třetího řádu a přímka CD- C. osa čtvrtého řádu ( rýže. 3 ); obecně jsou pravidelné a polopravidelné mnohostěny symetrické vzhledem k řadě čar. Umístění, počet a pořadí os krystalizace hrají důležitou roli v krystalografii (viz Krystalová symetrie), c) Obrazec superponovaný na sebe postupným otáčením o úhel 360 k kolem přímky AB a odraz v rovině k ní kolmé, má zrcadlově axiální C. Přímka AB, se nazývá zrcadlově rotační osa C. řádu 2 k, je osa C řádu k (rýže. 4 ). Středová přímka je ekvivalentní zrcadlově osové přímce řádu 2. d) V případě translační symetrie je obrazec superponován na sebe posunutím podél nějaké přímky (osy přenosu) na nějakém segmentu. Například obrazec s jedinou osou translace má nekonečný počet rovin S. (protože jakýkoli posun lze provést dvěma po sobě jdoucími odrazy od rovin kolmých k ose posunu) ( rýže. 5 ). Obrazce s několika přenosovými osami hrají důležitou roli ve studiu krystalových mřížek.

S. se v umění rozšířil jako jeden z typů harmonické kompozice (viz kompozice). Je charakteristická pro díla architektury (je nepostradatelnou kvalitou, ne-li celé stavby jako celku, tak jejích částí a detailů – půdorys, fasáda, sloupy, hlavice atd.) a dekorativního a užitého umění. S. se také používá jako hlavní technika pro vytváření bordur a ornamentů (ploché postavy s jedním nebo více přenosem S. v kombinaci s odrazy) ( rýže. 6 , 7 ).

S. kombinace generované odrazy a rotacemi (vyčerpávající všechny typy S. geometrických obrazců), stejně jako transfery, jsou zajímavé a jsou předmětem výzkumu v různé obory přírodní vědy. Například šroubovitý S., prováděný rotací o určitý úhel kolem osy, doplněný přenosem podél stejné osy, je pozorován v uspořádání listů u rostlin ( rýže. 8 ) (podrobněji viz článek Symetrie v biologii). C. konfigurace molekul, ovlivňující jejich fyzikální a chemické vlastnosti, záleží kdy teoretický rozbor struktury sloučenin, jejich vlastnosti a chování v různých reakcích (viz. Symetrie v chemii). Konečně ve fyzikálních vědách obecně nabývá kromě již naznačené geometrické symetrie krystalů a mřížek velkého významu pojem symetrie v obecném smyslu (viz dále). Tak nám symetrie fyzického časoprostoru, vyjádřená v jeho homogenitě a izotropii (viz teorie relativity), umožňuje stanovit tzv. zákony zachování; generalizovaná S. hraje zásadní roli ve výchově atomová spektra a v klasifikaci elementární částice(viz Symetrie ve fyzice).

3) Symetrie (v obecném smyslu) znamená neměnnost struktury matematického (nebo fyzikálního) objektu s ohledem na jeho transformace. Například S. zákony teorie relativity jsou určeny jejich invariantností s ohledem na Lorentzovy transformace (viz Lorentzovy transformace). Definice množiny transformací, které ponechávají všechny strukturální vztahy objektu nezměněny, tj. definice skupiny G jeho automorfismy, se staly vůdčím principem moderní matematiky a fyziky, umožňující hluboký vhled do vnitřní struktura objekt jako celek a jeho části.

Protože takový objekt může být reprezentován prvky nějakého prostoru R, vybavený pro ni vhodnou charakteristickou strukturou, pokud jsou transformace předmětu transformacemi R. Že. získat reprezentaci skupiny G v transformační skupině R(nebo jen dovnitř R), a studium S. předmětu se redukuje na studium děje G na R a hledání invariantů této akce. Stejně tak S. fyzikální zákony, které ovládají zkoumaný objekt a jsou obvykle popsány rovnicemi, které jsou splněny prvky prostoru R, je určen akcí G na takové rovnice.

Pokud je tedy například nějaká rovnice lineární na lineárním prostoru R a zůstává invariantní při transformacích nějaké skupiny G, pak každý prvek G z G odpovídá lineární transformaci Tg v lineárním prostoru Rřešení této rovnice. Korespondence G → Tg je lineární reprezentace G a znalost všech takových jeho reprezentací nám umožňuje stanovit různé vlastnosti řešení a také pomáhá najít v mnoha případech (z „úvah o symetrii“) samotná řešení. To zejména vysvětluje nutnost rozvinuté teorie lineárních reprezentací grup pro matematiku a fyziku. Konkrétní příklady viz Čl. Symetrie ve fyzice.

lit.: Shubnikov A.V., Symmetry. (Zákony symetrie a jejich aplikace ve vědě, technice a užitém umění), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Úvod do geometrie, přel. z angličtiny, M., 1966; Weil G., Symmetry, přel. z angličtiny, M., 1968; Wigner E., Etudy o symetrii, přel. z angličtiny, M., 1971.

M. I. Voitsekhovský.

Rýže. 3. Krychle mající přímku AB jako osu symetrie třetího řádu, úsečku CD jako osu symetrie čtvrtého řádu, bod O jako střed symetrie. Body M a M" krychle jsou symetrické jak kolem os AB a CD, tak i kolem středu O.

II Symetrie

ve fyzice. Pokud se zákony, které zakládají vztahy mezi veličinami, které charakterizují fyzikální systém nebo určují změnu těchto veličin v čase, nemění při určitých operacích (transformacích), kterým může být systém podroben, pak se říká, že tyto zákony mají S. (nebo jsou invariantní) vzhledem k těmto transformacím. Matematicky tvoří S. transformace skupinu (viz skupina).

Zkušenosti ukazují, že fyzikální zákony jsou symetrické s ohledem na následující nejobecnější transformace.

Průběžné transformace

1) Přenos (posun) systému jako celku v prostoru. Tuto a následné časoprostorové transformace lze chápat ve dvou významech: jako aktivní transformaci - skutečný přenos fyzického systému vůči zvolenému referenčnímu systému, nebo jako pasivní transformaci - paralelní přenos referenčního systému. S. fyzikální zákony s ohledem na posuny v prostoru znamenají ekvivalenci všech bodů v prostoru, tedy absenci jakýchkoliv vybraných bodů v prostoru (homogenita prostoru).

2) Rotace systému jako celku v prostoru. S. fyzikální zákony s ohledem na tuto transformaci znamenají ekvivalenci všech směrů v prostoru (izotropie prostoru).

3) Změna původu času (časový posun). S. ohledně této transformace znamená, že fyzikální zákony se s časem nemění.

4) Přechod do vztažné soustavy pohybující se vzhledem k dané soustavě konstantní rychlostí (ve směru a velikosti). S. s ohledem na tuto transformaci znamená zejména ekvivalenci všech inerciálních vztažných soustav (viz Inerciální vztažná soustava) (viz Teorie relativity).

5) Měřicí transformace. Zákony popisující interakce částic s nějakým druhem náboje (elektrický náboj (viz elektrický náboj), baryonový náboj (viz baryonový náboj), leptonový náboj (viz leptonový náboj), hypernáboj om) jsou symetrické s ohledem na kalibrační transformace prvního druhu. Tyto transformace spočívají v tom, že vlnové funkce (viz vlnová funkce) všech částic lze současně násobit libovolným fázovým faktorem:

kde ψ j- vlnová funkce částic j, z j - náboj odpovídající částici, vyjádřený v jednotkách elementárního náboje (například elementární elektrický náboj E), β je libovolný číselný faktor.

A→A + stupeň f, , (2)

Kde F(X,na z t) je libovolná funkce souřadnic ( X,na,z) a čas ( t), S je rychlost světla. Aby transformace (1) a (2) byly v případě elektromagnetických polí prováděny současně, je nutné zobecnit kalibrační transformace 1. druhu: je nutné požadovat, aby interakční zákony byly symetrické vzhledem k transformacím (1) s hodnotou β, což je libovolná funkce souřadnic a času: η - Planckova konstanta. Vztah mezi přeměnami měřidel 1. a 2. druhu pro elektromagnetické interakce díky dvojí roli elektrického náboje: na jedné straně je elektrický náboj konzervovaná veličina a na druhé straně působí jako interakční konstanta, která charakterizuje vztah elektromagnetického pole s nabitými částicemi.

Transformace (1) odpovídají zákonům zachování různých nábojů (viz níže), stejně jako některým vnitřním symetrickým interakcím. Pokud jsou náboje nejen konzervovanými veličinami, ale i zdroji polí (jako je elektrický náboj), pak jim odpovídající pole musí být také kalibračními poli (podobně jako elektromagnetická pole) a transformace (1) se zobecňují na případ, kdy veličiny β jsou libovolné funkce souřadnic a času (a dokonce i operátory transformující stavy vnitřního systému). Takový přístup v teorii interagujících polí vede k různým kalibračním teoriím silných a slabých interakcí (tzv. Yang-Milsova teorie).

Diskrétní transformace

Výše uvedené typy S. se vyznačují parametry, které se mohou plynule měnit v určitém rozsahu hodnot (například posun v prostoru je charakterizován třemi parametry posunutí podél každé ze souřadnicových os, rotací o tři úhly rotace kolem těchto os atd.). Spolu s nepřetržitým S. velká důležitost ve fyzice mají diskrétní S. Hlavní jsou následující.

Symetrie a zákony zachování

Podle Noetherovy věty každá transformace systému charakterizované jedním plynule se měnícím parametrem odpovídá hodnotě, která je zachována (nemění se s časem) pro systém, který tento systém má. Ze systému fyzikálních zákonů týkajících se posunutí uzavřeného systému v prostoru, jeho rotace jako celku a změny původu času vyplývají zákony zachování hybnosti, momentu hybnosti a energie. Od S. s ohledem na kalibrační transformace prvního druhu - zákony zachování nábojů (elektrických, baryonových atd.), od izotopové invariance - zachování izotopového spinu (viz Isotopický spin) v procesech silné interakce. Pokud jde o diskrétní S., pak v klasická mechanika nevedou k žádným zákonům zachování. Nicméně, v kvantová mechanika, ve kterém je stav systému popsán vlnovou funkcí, nebo pro vlnová pole (například elektromagnetické pole), kde platí princip superpozice, z existence diskrétního S. vyplývají zákony zachování pro některé specifické veličiny, které nemají v klasické mechanice obdoby. Existenci takových veličin lze demonstrovat na příkladu prostorové parity (viz parita), jejíž zachování vyplývá ze S. s ohledem na prostorovou inverzi. Nechť ψ 1 je vlnová funkce popisující nějaký stav systému a ψ 2 je vlnová funkce systému vyplývající z prostorů. inverze (symbolicky: ψ 2 = Rψ 1 , kde R je vesmírným operátorem. inverze). Pak, pokud existuje S. vzhledem k prostorové inverzi, je ψ 2 jedním z možných stavů systému a podle principu superpozice jsou možnými stavy systému superpozice ψ 1 a ψ 2: symetrická kombinace ψ s = ψ 1 + ψ 2 a antisymetrická ψ a = ψ 2 1 - ψ 1. Při inverzních transformacích se stav ψ 2 nemění (protože Pψs = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s) a stav ψ a mění znaménko ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). V prvním případě je prostorová parita systému považována za kladnou (+1), ve druhém je záporná (-1). Pokud je vlnová funkce systému specifikována pomocí veličin, které se během prostorové inverze nemění (jako je např. moment hybnosti a energie), pak bude mít parita systému také zcela určitou hodnotu. Systém bude ve stavu s kladnou nebo zápornou paritou (navíc přechody z jednoho stavu do druhého působením sil symetrických vzhledem k prostorové inverzi jsou absolutně zakázány).

Symetrie kvantově mechanických systémů a stacionárních stavů. degenerace

Zachování veličin odpovídajících různým kvantově mechanickým systémům je důsledkem toho, že jim odpovídající operátory komutují s hamiltoniánem systému, pokud není explicitně závislý na čase (viz Kvantová mechanika, Komutační vztahy). To znamená, že tyto veličiny jsou měřitelné současně s energií systému, tedy mohou nabývat zcela určitých hodnot pro danou hodnotu energie. Proto z nich můžete vyrobit tzv. kompletní soubor veličin, které určují stav systému. Stacionární stavy (stavy s danou energií) soustavy jsou tedy určeny veličinami odpovídajícími S. uvažované soustavy.

Přítomnost S. vede k tomu, že různé stavy pohybu kvantově mechanického systému, které jsou navzájem získány S. transformací, mají stejné hodnoty fyzikální veličiny, které se při těchto transformacích nemění. S. systému tedy zpravidla vede k degeneraci (viz degenerace). Například určité hodnotě energie systému může odpovídat několik různých stavů, které se při transformacích C vzájemně transformují. Matematicky tyto stavy představují základ neredukovatelné reprezentace skupiny C systému (viz Skupina). To určuje úspěšnost aplikace metod teorie grup v kvantové mechanice.

Kromě degenerace energetických hladin spojených s explicitním S. systému (např. s ohledem na rotace systému jako celku) existuje v řadě problémů další degenerace spojená s tzv. skrytá S. interakce. Takové skryté oscilace existují například pro Coulombovu interakci a pro izotropní oscilátor.

Pokud se systém, který má nějaké S., nachází v poli sil, které toto S. porušují (ale dostatečně slabé, aby mohly být považovány za malou poruchu), degenerované energetické hladiny původního systému jsou rozděleny: různé stavy, které díky S. systému měly stejnou energii, získávají pod vlivem „asymetrické“ poruchy různé energetické posuny. V případech, kdy má rušivé pole určité S., které je součástí S. původního systému, není degenerace energetických hladin zcela odstraněna: některé z úrovní zůstávají degenerované v souladu s S. interakce, která „zapíná“ rušivé pole.

Přítomnost energeticky degenerovaných stavů v systému zase naznačuje existenci interakce S. a umožňuje v zásadě najít tento S., když není předem znám. Hraje poslední okolnost zásadní roli, například ve fyzice elementárních částic. Existence skupin částic s blízkou hmotností a podobnými jinými charakteristikami, ale rozdílným elektrickým nábojem (tzv. izotopové multiplety) umožnila stanovit izotopovou invarianci silných interakcí a možnost spojování částic se stejnými vlastnostmi do širších skupin vedla k objevu SU(3)-C. silná interakce a interakce, které tuto symetrii narušují (viz Silné interakce). Existují náznaky, že silná interakce má ještě širší skupinu C.

Velmi plodným konceptem je tzv. dynamický S. systém, který vzniká při uvažování transformací včetně přechodů mezi stavy systému s různými energiemi. Neredukovatelnou reprezentací skupiny dynamických S. bude celé spektrum stacionárních stavů soustavy. Pojem dynamického S. lze také rozšířit na případy, kdy hamiltonián systému závisí explicitně na čase a v tomto případě jsou všechny stavy kvantově mechanického systému, které nejsou stacionární (tj. nemají danou energii), sjednoceny do jedné neredukovatelné reprezentace dynamické grupy S..

lit.: Wigner E., Etudy o symetrii, přel. z angličtiny, M., 1971.

S. S. Gershtein.

III Symetrie

v chemii se projevuje geometrickou konfigurací molekul, která ovlivňuje specifika fyzikálních a chemické vlastnosti molekuly v izolovaném stavu, ve vnějším poli a při interakci s jinými atomy a molekulami.

Většina jednoduchých molekul má prvky prostorové symetrie rovnovážné konfigurace: osy symetrie, roviny symetrie atd. (viz Symetrie v matematice). Takže molekula amoniaku NH 3 má symetrii pravidelného trojúhelníkového jehlanu, molekula metanu CH 4 má symetrii čtyřstěnu. U komplexních molekul symetrie rovnovážné konfigurace jako celku zpravidla chybí, symetrie jejích jednotlivých fragmentů je však přibližně zachována (lokální symetrie). Nejúplnějšího popisu symetrie rovnovážných i nerovnovážných konfigurací molekul je dosaženo na základě představ o tzv. dynamické skupiny symetrie - skupiny, které zahrnují nejen operace prostorové symetrie jaderné konfigurace, ale také operace permutace identických jader v různých konfiguracích. Například dynamická skupina symetrie pro molekulu NH 3 zahrnuje také operaci inverze této molekuly: přechod atomu N z jedné strany roviny, tvořené atomy N, na druhé straně.

Symetrie rovnovážné konfigurace jader v molekule s sebou nese určitou symetrii vlnových funkcí (viz vlnová funkce) různých stavů této molekuly, což umožňuje klasifikovat stavy podle typů symetrie. Přechod mezi dvěma stavy spojenými s absorpcí nebo emisí světla, v závislosti na typech symetrie stavů, se může buď objevit v molekulárním spektru (viz molekulární spektra), nebo být zakázán, takže čára nebo pás odpovídající tomuto přechodu bude ve spektru chybět. Typy symetrie stavů, mezi kterými jsou možné přechody, ovlivňují intenzitu čar a pásem a také jejich polarizaci. Například pro homonukleární dvouatomové molekuly jsou přechody mezi elektronovými stavy stejné parity zakázány a neobjevují se ve spektrech, jejichž elektronické vlnové funkce se chovají při inverzní operaci stejně; pro molekuly benzenu a podobných sloučenin jsou zakázány přechody mezi nedegenerovanými elektronovými stavy stejného typu symetrie apod. Výběrová pravidla pro symetrii jsou pro přechody mezi různými stavy doplněna o selekční pravidla související se Spinem těchto stavů.

U molekul s paramagnetickými centry vede symetrie prostředí těchto center k určitému typu anizotropie G-faktor (Landeho faktor), který ovlivňuje strukturu elektronových paramagnetických rezonančních spekter (viz Elektronová paramagnetická rezonance), zatímco u molekul, jejichž atomová jádra mají nenulový spin, vede symetrie jednotlivých lokálních fragmentů k určitému typu energetického štěpení stavů s různými projekcemi jaderného spinu, což ovlivňuje strukturu nukleárních magnetických rezonančních spekter (See Nuclear Resonance).

V přibližných přístupech kvantové chemie, které využívají koncept molekulových orbitalů, je klasifikace symetrie možná nejen pro vlnovou funkci molekuly jako celku, ale i pro jednotlivé orbitaly. Pokud má rovnovážná konfigurace molekuly rovinu symetrie, ve které leží jádra, pak jsou všechny orbitaly této molekuly rozděleny do dvou tříd: symetrické (σ) a antisymetrické (π) s ohledem na operaci odrazu v této rovině. Molekuly, ve kterých jsou horní (energeticky) obsazené orbitaly π-orbitaly, tvoří specifické třídy nenasycených a konjugovaných sloučenin s jejich charakteristickými vlastnostmi. Znalost lokální symetrie jednotlivých fragmentů molekul a lokalizovaných na těchto fragmentech molekulární orbitaly umožňuje posoudit, které fragmenty jsou snadněji vystaveny excitaci a silněji se mění v průběhu chemických přeměn, např. při fotochemických reakcích.

Pojmy symetrie mají velký význam v teoretické analýze struktury komplexních sloučenin, jejich vlastností a chování v různých reakcích. Teorie krystalového pole a teorie pole ligandu stanoví relativní polohu obsazených a prázdných orbitalů komplexní sloučenina na základě údajů o jeho symetrii, charakteru a míře štěpení energetických hladin se změnou symetrie pole ligandu. Znalost pouze symetrie komplexu velmi často umožňuje kvalitativně posoudit jeho vlastnosti.

V roce 1965 předložili P. Woodward a R. Hoffman princip zachování orbitální symetrie v chemických reakcích, který byl následně potvrzen rozsáhlým experimentálním materiálem a měl velký vliv na vývoj preparativních organická chemie. Tento princip (Woodward-Hoffmanovo pravidlo) říká, že jednotlivé elementární akty chemické reakce projít při zachování symetrie molekulových orbitalů neboli orbitální symetrie. Čím více je při elementárním aktu narušena symetrie orbitalů, tím je reakce obtížnější.

Zohlednění symetrie molekul je důležité při hledání a výběru látek používaných při tvorbě chemických laserů a molekulárních usměrňovačů, při konstrukci modelů organických supravodičů, při rozborech karcinogenních a farmakologických účinné látky atd.

lit.: Hochstrasser R., Molekulární aspekty symetrie, přel. z angličtiny, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f. Teorie grup a její aplikace v kvantové mechanice molekul, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Zachování orbitální symetrie, přel. z angličtiny, M., 1971.

N. F. Štěpánov.

 IV Symetrie

v biologii (biosymetrie). Fenoménu S. v živé přírodě byla věnována pozornost v Starověké Řecko Pythagorejci (5. století př. n. l.) v souvislosti s jejich rozvojem nauky o harmonii. V 19. stol ojedinělé práce se objevily na S. rostlin (francouzští vědci O. P. Decandol a O. Bravo), živočichů (něm. - E. Haeckel), biogenních molekul (franc. - A. Vechan, L. Pasteur aj.). Ve 20. století biologické objekty byly studovány z hlediska obecná teorie S. (sovětští vědci Yu. V. Vulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinstein, nizozemský fyzikochemik F. M. Eger a angličtí krystalografové vedení J. Bernalem) a nauka o pravičáku a levičáctví (sovětští vědci V. I. Vernadskij, V. V. Alpatov, G. F. Germanist, W. F. Ludwigcient; Tyto práce vedly v roce 1961 k identifikaci zvláštního směru v teorii S. - biosymetrie.

Nejintenzivněji byla studována struktura S. biologických objektů. Studium biostruktur S. - molekulárních a supramolekulárních - z hlediska strukturních S. umožňuje předem identifikovat pro ně možné typy S., a tím počet a typ možných modifikací, přesně popsat vnější tvar a vnitřní strukturu jakýchkoli prostorových biologických objektů. To vedlo k širokému použití reprezentací strukturálních S. v zoologii, botanice, molekulární biologie. Strukturální S. se projevuje především v podobě toho či onoho pravidelného opakování. V klasická teorie Podle strukturní symetrie vyvinuté německými vědci J. F. Gesselem, E. S. Fedorovem a dalšími lze typ symetrie objektu popsat množinou prvků jeho symetrie, tj. takových geometrických prvků (body, přímky, roviny), vůči nimž jsou uspořádány stejné části objektu (viz Symetrie v matematice). Například pohled na květ S. phlox ( rýže. 1 , c) - jedna osa 5. řádu, procházející středem květu; vyrobené jeho provozem - 5 otáček (o 72, 144, 216, 288 a 360 °), z nichž každá se shoduje se sebou samým. Zobrazit postavu C. motýla ( rýže. 2 , b) - jedna rovina rozdělující jej na 2 poloviny - levou a pravou; operace prováděná pomocí letadla je zrcadlovým obrazem, „vytváří“ levou polovinu pravé, pravou polovinu levou a postavu motýla se spojuje sama se sebou. Zobrazit C. radiolarian Lithocubus geometricus ( rýže. 3 , b), obsahuje kromě os rotace a rovin odrazu také střed C. Jakákoli přímka vedená takovým jediným bodem uvnitř radiolaria na obou jeho stranách a ve stejných vzdálenostech se setkává se stejnými (odpovídajícími) body obrazce. Operace prováděné pomocí středu S. jsou odrazy v bodě, po kterých je postava radiolaria také kombinována sama se sebou.

V živé přírodě (i v neživé přírodě) se v důsledku různých omezení obvykle vyskytuje výrazně menší počet druhů S., než je teoreticky možné. Například v nižších fázích vývoje živé přírody se vyskytují zástupci všech tříd tečkovitých S. - až po organismy charakterizované S. pravidelných mnohostěnů a koule (viz. rýže. 3 ). Rostliny a živočichové se však na vyšších stupních evoluce vyskytují především v tzv. axiální (typ n) a aktinomorfní (typ n(m)S. (v obou případech n může nabývat hodnot od 1 do ∞). Bioobjekty s axiálním S. (viz. rýže. 1 ) jsou charakterizovány pouze C. osou řádu n. Bioobjekty sactinomorfních S. (viz. rýže. 2 ) jsou charakterizovány jednou řádovou osou n a roviny protínající se podél této osy m. Ve volné přírodě se nejčastěji vyskytují druhy S.. n = 1 a 1. m = m, se nazývá, v tomto pořadí, asymetrie (viz asymetrie) a bilaterální, neboli bilaterální, S. Asymetrie je charakteristická pro listy většiny rostlinných druhů, bilaterální S. - do určité míry pro vnější tvar lidského těla, obratlovců a mnoha bezobratlých. U pohyblivých organismů je takový pohyb zřejmě spojen s rozdíly v jejich pohybu nahoru a dolů a dopředu a dozadu, zatímco jejich pohyby doprava a doleva jsou stejné. Porušení jejich bilaterálního S. by nevyhnutelně vedlo k inhibici pohybu jedné ze stran a přeměně pohybu vpřed na kruhový. V 50-70 letech. 20. století intenzivním studiem (především v SSSR) byly podrobeny tzv. nesymetrické biologické objekty ( rýže. 4 ). Ten může existovat minimálně ve dvou modifikacích – v podobě originálu a jeho zrcadlového obrazu (antipodu). Navíc jedna z těchto forem (bez ohledu na to, která z nich) se nazývá pravá nebo D (z latinského dextro), druhá - levá nebo L (z latinského laevo). Při studiu tvaru a struktury D- a L-biologických objektů byla vyvinuta teorie disymetrizujících faktorů, dokazující možnost libovolného D- nebo L-objektu dvou nebo více (až nekonečného počtu) modifikací (viz též rýže. 5 ); zároveň obsahoval i vzorce pro určení počtu a druhu těch druhých. Tato teorie vedla k objevu tzv. biologický izomerismus (viz. izomerismus) (různé biologické objekty stejného složení; na rýže. 5 je zobrazeno 16 izomerů lipového listu).

Při studiu výskytu biologických objektů bylo zjištěno, že v některých případech převládají D-formy, jinde L-formy, jinde jsou stejně časté. Bechamp a Pasteur (40. léta 19. stol.), a ve 30. letech. 20. století Sovětský vědec G.F.Gause a další ukázali, že buňky organismů jsou stavěny pouze nebo převážně z L-aminokyselin, L-proteinů, D-deoxyribonukleových kyselin, D-cukrů, L-alkaloidů, D- a L-terpenů atd. Tak zásadní a charakteristickýŽivých buněk, nazývané Pasteurem disymetrie protoplazmy, poskytuje buňce, jak byla založena ve 20. století, aktivnější metabolismus a je udržována prostřednictvím složitých biologických a fyzikálně-chemických mechanismů, které vznikly v procesu evoluce. Sovy. V roce 1952 vědec V.V.Alpatov zjistil na 204 druzích cévnatých rostlin, že 93,2 % rostlinných druhů patří k typu s L-, 1,5 % - s D-průběhem spirálového ztluštění stěn cév, 5,3 % druhů - k racemickému typu (počet D-cév se přibližně rovná počtu L-cév).

Při studiu D- a L-biologických objektů bylo zjištěno, že rovnost mezi Tvary D a L v některých případech je narušena kvůli rozdílu v jejich fyziologických, biochemických a jiných vlastnostech. Tento rys živé přírody byl nazýván nesymetrií života. Excitační účinek L-aminokyselin na pohyb plazmy v rostlinných buňkách je tedy desítky a stokrát větší než stejný účinek jejich D-forem. Mnohá ​​antibiotika (penicilin, gramicidin aj.) obsahující D-aminokyseliny jsou baktericidnější než jejich formy s L-aminokyselinami. Běžnější šroubovitá L-kop řepa je o 8-44 % (v závislosti na odrůdě) těžší a obsahuje o 0,5-1 % více cukru než D-kop řepa.

V této lekci se podíváme na další charakteristiku některých obrazců – osovou a středovou symetrii. S osovou symetrií se setkáváme každý den při pohledu do zrcadla. Středová symetrie je u volně žijících zvířat velmi běžná. Postavy, které jsou symetrické, však mají celá řada vlastnosti. Později se navíc dozvídáme, že axiální a středová symetrie jsou druhy pohybů, s jejichž pomocí se řeší celá třída problémů.

Tato lekce je o osové a středové symetrii.

Definice

Dva body a jsou tzv symetrický vzhledem k přímce, pokud:

Na Obr. 1 ukazuje příklady bodů symetrických vzhledem k přímce a , a .

Rýže. 1

Všimli jsme si také skutečnosti, že jakýkoli bod přímky je symetrický vůči této přímce.

Obrázky mohou být také symetrické vzhledem k přímce.

Pojďme formulovat přesnou definici.

Definice

Figura se nazývá symetrické podle přímky, jestliže ke každému bodu obrazce náleží obrazci i bod k němu symetrický vzhledem k této přímce. V tomto případě je linka volána osa symetrie. Postava má osová symetrie.

Zvažte několik příkladů obrazců s osovou souměrností a jejich osami souměrnosti.

Příklad 1

Úhel je osově symetrický. Osou symetrie úhlu je osa. Skutečně: pustíme kolmici k ose z libovolného bodu úhlu a protáhneme ji, dokud se neprotne s druhou stranou úhlu (viz obr. 2).

Rýže. 2

(protože - společná strana, (vlastnost osy) a trojúhelníky jsou pravoúhlé). Znamená, . Proto body a jsou symetrické vzhledem k sečině úhlu.

Z toho vyplývá, že rovnoramenný trojúhelník má také osovou souměrnost vzhledem k ose (výška, medián) nakreslené k základně.

Příklad 2

Rovnostranný trojúhelník má tři osy symetrie (osy / střednice / výšky každého ze tří úhlů (viz obr. 3).

Rýže. 3

Příklad 3

Obdélník má dvě osy symetrie, z nichž každá prochází středem jeho dvou protilehlých stran (viz obr. 4).

Rýže. 4

Příklad 4

Kosočtverec má také dvě osy symetrie: přímky, které obsahují jeho úhlopříčky (viz obr. 5).

Rýže. 5

Příklad 5

Čtverec, který je zároveň kosočtvercem i obdélníkem, má 4 osy symetrie (viz obr. 6).

Rýže. 6

Příklad 6

Pro kružnici je osou symetrie jakákoli přímka procházející jejím středem (tj. obsahující průměr kružnice). Proto má kružnice nekonečně mnoho os symetrie (viz obr. 7).

Rýže. 7

Zvažte nyní koncept středová symetrie.

Definice

Body a se nazývají symetrický vzhledem k bodu , pokud: - střed segmentu .

Podívejme se na několik příkladů: na obr. Obrázek 8 ukazuje body a , stejně jako a , které jsou symetrické vzhledem k bodu , zatímco body a nejsou symetrické vzhledem k tomuto bodu.

Rýže. 8

Některé obrazce jsou v určitém bodě symetrické. Pojďme formulovat přesnou definici.

Definice

Figura se nazývá symetricky k bodu, pokud k některému bodu obrazce náleží tomuto obrazci i bod k němu symetrický. Bod se nazývá střed symetrie, a postava má středová symetrie.

Zvažte příklady obrazců se středovou symetrií.

Příklad 7

U kružnice je středem souměrnosti střed kružnice (to lze snadno dokázat zapamatováním si vlastností průměru a poloměru kružnice) (viz obr. 9).

Rýže. 9

Příklad 8

U rovnoběžníku je středem symetrie průsečík úhlopříček (viz obr. 10).

Rýže. 10

Pojďme vyřešit několik problémů osové a středové souměrnosti.

Úkol 1.

Kolik os symetrie má úsečka?

Segment má dvě osy symetrie. První z nich je úsečka obsahující úsečku (protože jakýkoli bod úsečky je symetrický vůči této úsečce). Druhý - středový kolmý k segmentu, tj. přímce kolmé k segmentu a procházející jeho středem.

Odpověď: 2 osy symetrie.

Úkol 2.

Kolik os symetrie má úsečka?

Přímka má nekonečně mnoho os symetrie. Jedním z nich je přímka samotná (protože jakýkoli bod přímky je symetrický vůči této přímce). A také osy symetrie jsou libovolné přímky kolmé k dané přímce.

Odpověď: existuje nekonečně mnoho os symetrie.

Úkol 3.

Kolik os symetrie má paprsek?

Paprsek má jednu osu symetrie, která se shoduje s přímkou ​​obsahující paprsek (protože jakýkoli bod přímky je symetrický vůči této přímce).

Odpověď: jedna osa symetrie.

Úkol 4.

Dokažte, že úsečky obsahující úhlopříčky kosočtverce jsou jeho osami symetrie.

Důkaz:

Zvažte kosočtverec. Dokažme například, že přímka je její osou souměrnosti. Je zřejmé, že body a jsou samy k sobě symetrické, protože leží na této přímce. Kromě toho jsou body a symetrické vzhledem k této přímce, protože . Zvolme nyní libovolný bod a dokažme, že do kosočtverce patří i bod symetrický vzhledem k němu (viz obr. 11).

Rýže. jedenáct

Nakreslete kolmici k přímce skrz bod a prodlužte ji do průsečíku s . Zvažte trojúhelníky a . Tyto trojúhelníky jsou obdélníkové (konstrukčně), navíc v nich: - společná noha a (protože úhlopříčky kosočtverce jsou jeho osy). Takže tyto trojúhelníky jsou stejné: . To znamená, že všechny jim odpovídající prvky jsou také stejné, proto: . Z rovnosti těchto segmentů vyplývá, že body a jsou symetrické vzhledem k přímce. To znamená, že je to osa symetrie kosočtverce. Tuto skutečnost lze obdobně prokázat i pro druhou úhlopříčku.

Osvědčený.

Úkol 5.

Dokažte, že průsečík úhlopříček rovnoběžníku je jeho středem symetrie.

Důkaz:

Zvažte rovnoběžník. Dokažme, že bod je jeho středem symetrie. Je zřejmé, že body a , a jsou párově symetrické vzhledem k bodu , protože úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny průsečíkem na polovinu. Zvolme nyní libovolný bod a dokažme, že do rovnoběžníku patří i bod symetrický vzhledem k němu (viz obr. 12).

cíle:

  • vzdělávací:
    • dát představu o symetrii;
    • představit hlavní typy symetrie v rovině a v prostoru;
    • rozvíjet silné dovednosti v konstrukci symetrických postav;
    • rozšířit představy o slavných postavách tím, že jim představíte vlastnosti spojené se symetrií;
    • ukázat možnosti využití symetrie při řešení různých problémů;
    • upevnit získané znalosti;
  • obecné vzdělání:
    • naučit se připravit se na práci;
    • naučit ovládat sebe a souseda na stole;
    • naučit, jak hodnotit sebe a souseda na stole;
  • rozvíjející se:
    • aktivovat samostatnou činnost;
    • rozvíjet kognitivní aktivitu;
    • naučit se shrnout a systematizovat obdržené informace;
  • vzdělávací:
    • vzdělávat studenty "smysl pro rameno";
    • kultivovat komunikaci;
    • vštípit kulturu komunikace.

BĚHEM lekcí

Před každým jsou nůžky a list papíru.

Cvičení 1(3 min).

- Vezměte list papíru, přeložte ho napůl a vystřihněte nějakou postavu. Nyní list rozložte a podívejte se na linii ohybu.

Otázka: Jaká je funkce této linky?

Navrhovaná odpověď: Tato čára rozděluje postavu na polovinu.

Otázka: Jak jsou všechny body obrázku umístěny na dvou výsledných polovinách?

Navrhovaná odpověď: Všechny body polovin jsou ve stejné vzdálenosti od linie ohybu a na stejné úrovni.

- Přehybová čára tedy rozdělí postavu na polovinu tak, že 1 polovina je kopií 2 polovin, tzn. tato přímka není jednoduchá, má pozoruhodnou vlastnost (všechny body vůči ní jsou ve stejné vzdálenosti), tato přímka je osou symetrie.

Úkol 2 (2 minuty).

- Vystřihni sněhovou vločku, najdi osu symetrie, charakterizuj ji.

Úkol 3 (5 minut).

- Nakreslete si do sešitu kruh.

Otázka: Určete, jak prochází osa souměrnosti?

Navrhovaná odpověď: Jinak.

Otázka: Kolik os symetrie má tedy kruh?

Navrhovaná odpověď: Hodně.

- Přesně tak, kruh má mnoho os symetrie. Stejná nádherná postava je míč (prostorová postava)

Otázka: Které další obrazce mají více než jednu osu symetrie?

Navrhovaná odpověď:Čtverec, obdélník, rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník.

– Zvažte trojrozměrné obrazce: krychle, pyramidu, kužel, válec atd. Tyto obrazce mají také osu symetrie Určete, kolik os symetrie má čtverec, obdélník, rovnostranný trojúhelník a navrhované trojrozměrné obrazce?

Žákům rozdávám půlky plastelínových figurek.

Úkol 4 (3 min).

- Pomocí obdržených informací doplňte chybějící část obrázku.

Poznámka: figurka může být plochá i trojrozměrná. Je důležité, aby žáci určili, jak probíhá osa symetrie, a doplnili chybějící prvek. Správnost provedení určuje soused na stole, hodnotí, jak dobře byla práce odvedena.

Linka je vyskládána z krajky stejné barvy na ploše (uzavřená, otevřená, se samokřížením, bez samokřížení).

Úkol 5 (skupinová práce 5 min).

- Vizuálně určete osu symetrie a relativně k ní doplňte druhou část z krajky jiné barvy.

Správnost provedených prací si studenti určují sami.

Studentům jsou prezentovány prvky kresby

Úkol 6 (2 minuty).

Najděte symetrické části těchto výkresů.

Pro upevnění probrané látky navrhuji následující úkoly v rozsahu 15 minut:

Pojmenujte všechny stejné prvky trojúhelníku KOR a KOM. Jaké jsou typy těchto trojúhelníků?

2. Nakreslete do sešitu několik rovnoramenných trojúhelníků společný základ rovných 6 cm.

3. Nakreslete segment AB. Sestrojte úsečku kolmou k segmentu AB a procházející jeho středem. Označte na něm body C a D tak, aby čtyřúhelník ACBD byl symetrický vzhledem k přímce AB.

- Naše prvotní představy o podobě spadají do velmi vzdálené éry starověké doby kamenné - paleolitu. Po statisíce let tohoto období žili lidé v jeskyních, v podmínkách, které se jen málo lišily od života zvířat. Lidé si vyráběli nástroje pro lov a rybaření, vyvinuli jazyk pro vzájemnou komunikaci a v pozdním paleolitu zdobili svou existenci vytvářením uměleckých děl, figurek a kreseb, které odhalují úžasný smysl pro formu.
Když došlo k přechodu od prostého sběru potravy k její aktivní produkci, od lovu a rybolovu k zemědělství, lidstvo vstupuje do nové doby kamenné, do neolitu.
Neolitický člověk měl bystrý smysl pro geometrické tvary. Vypalování a barvení hliněných nádob, výroba rákosových rohoží, košíků, látek a později zpracování kovů rozvinuly představy o plošných a prostorových obrazcích. Neolitické ozdoby lahodily oku, prozrazovaly rovnost a symetrii.
Kde se v přírodě nachází symetrie?

Navrhovaná odpověď: křídla motýlů, brouků, listí stromů…

„Symetrie je vidět i v architektuře. Při stavbě budov stavitelé jednoznačně dodržují symetrii.

Proto jsou budovy tak krásné. Také příklad symetrie je osoba, zvířata.

Domácí práce:

1. Vymyslete si vlastní ornament, znázorněte jej na list A4 (můžete ho nakreslit ve formě koberce).
2. Nakreslete motýly, označte, kde jsou prvky symetrie.

Nechť g je pevná přímka (obr. 191). Vezměte libovolný bod X a pusťte kolmici AX na přímku g. Na pokračování kolmice za bod A vyčleníme úsečku AX ", rovnou úsečce AX. Bod X" nazýváme symetrický k bodu X vzhledem k přímce g.

Leží-li bod X na přímce g, pak bodem symetrickým k němu je samotný bod X. Bodem symetrickým k bodu X“ je samozřejmě bod X.

Transformace obrazce F na obrazec F", ve kterém každý jeho bod X přechází v bod X", symetrický vzhledem k dané přímce g, se nazývá transformace symetrie vzhledem k přímce g. V tomto případě se obrázky F a F“ nazývají symetrické vzhledem k přímce g (obr. 192).

Jestliže transformace symetrie vzhledem k přímce g vezme do sebe obrazec F, pak se tento obrazec nazývá symetrický vzhledem k přímce g a přímka g se nazývá osa symetrie obrazce.

Například přímky procházející průsečíkem úhlopříček obdélníku rovnoběžné s jeho stranami jsou osami symetrie obdélníku (obr. 193). Přímky, na kterých leží úhlopříčky kosočtverce, jsou jeho osami souměrnosti (obr. 194).

Věta 9.3. Transformace symetrie kolem čáry je pohyb.


Důkaz. Vezměme tuto přímku jako osu y kartézského souřadnicového systému (obr. 195). Nechť libovolný bod A (x; y) obrázku F přejde do bodu A "(x"; y") obrázku F". Z definice symetrie vzhledem k přímce vyplývá, že body A a A „mají stejné pořadnice a úsečky se liší pouze znaménkem:

x"= -x.
Vezměme dva libovolné body A (x 1; y 1) a B (x 2; y 2) - Půjdou do bodů A "(- x 1, y 1) a B" (-x 2; y 2).

AB 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B"2=(-x2+x1)2+(y2-y1)2.

To ukazuje, že AB=A"B". A to znamená, že transformace symetrie vzhledem k přímce je pohyb. Věta byla prokázána.

Vědecká a praktická konference

MOU "Průměr všeobecná střední školač. 23"

město Vologda

sekce: přírodovědná - přírodovědná

projekční a výzkumné práce

TYPY SYMETRIE

Práci provedla studentka 8. „a“ třídy

Kreneva Margarita

Vedoucí: vyšší učitel matematiky

rok 2014

Struktura projektu:

1. Úvod.

2. Cíle a záměry projektu.

3. Typy symetrie:

3.1. Středová symetrie;

3.2. Osová symetrie;

3.3. Zrcadlová symetrie (symetrie vzhledem k rovině);

3.4. Rotační symetrie;

3.5. Přenosná symetrie.

4. závěr.

Symetrie je myšlenka, jejímž prostřednictvím se člověk po staletí snažil pochopit a vytvořit řád, krásu a dokonalost.

G. Weil

Úvod.

Téma mé práce bylo zvoleno po prostudování sekce "Axiální a středová symetrie" v předmětu "Geometrie Grade 8". Toto téma mě velmi zaujalo. Chtěl jsem vědět: jaké typy symetrie existují, jak se od sebe liší, jaké jsou zásady pro konstrukci symetrických obrazců v každém z typů.

Cíl práce : Úvod do různých typů symetrie.

úkoly:

    Prostudujte si literaturu na toto téma.

    Shrnout a systematizovat probranou látku.

    Připravte si prezentaci.

V dávných dobách se slovo "SYMMETRIE" používalo ve významu "harmonie", "krása". V překladu z řečtiny toto slovo znamená „proporcionalita, proporcionalita, jednotnost v uspořádání částí něčeho opačné strany z bodu, přímky nebo roviny.

Existují dvě skupiny symetrií.

Do první skupiny patří symetrie pozic, tvarů, struktur. Toto je symetrie, kterou lze přímo vidět. Dá se tomu říkat geometrická symetrie.

Druhá skupina charakterizuje symetrii fyzikálních jevů a přírodní zákony. Tato symetrie spočívá v samotném základu přírodovědného obrazu světa: lze ji nazvat fyzickou symetrií.

Přestávám studovatgeometrická symetrie .

Na druhé straně existuje také několik typů geometrické symetrie: středová, axiální, zrcadlová (symetrie vzhledem k rovině), radiální (nebo rotační), přenosná a další. Dnes budu uvažovat o 5 typech symetrie.

    Středová symetrie

Dva body A a A 1 se nazývají symetrické vzhledem k bodu O, pokud leží na přímce procházející m O a jsou na jeho opačných stranách ve stejné vzdálenosti. Bod O se nazývá střed symetrie.

Obrazec se nazývá symetrický vzhledem k boduO , je-li pro každý bod obrázku bod symetrický k němu vzhledem k boduO k této postavě také patří. TečkaO nazývá se střed symetrie postavy, říká se, že postava má středovou symetrii.

Příklady obrazců se středovou symetrií jsou kruh a rovnoběžník.

Obrázky zobrazené na snímku jsou symetrické vzhledem k určitému bodu

2. Osová symetrie

Dvě tečkyX A Y nazývá se symetrický vzhledem k přímcet , pokud tato přímka prochází středem segmentu XY a je k němu kolmá. Je třeba také říci, že každý bod přímkyt považovány za symetrické k sobě samému.

Rovnýt je osa symetrie.

Říká se, že obrazec je symetrický vzhledem k přímce.t, je-li pro každý bod obrazce bod k němu symetrický vzhledem k přímcet k této postavě také patří.

Rovnýtnazývá se osa symetrie postavy, říká se, že postava má osovou souměrnost.

Osovou symetrii má nerozvinutý úhel, rovnoramenné a rovnostranné trojúhelníky, obdélník a kosočtverec,dopisy (viz prezentace).

    Zrcadlová symetrie (symetrie kolem roviny)

Dva body P 1 A P se nazývají symetrické vzhledem k rovině a, pokud leží na přímce kolmé k rovině a a jsou od ní ve stejné vzdálenosti

Zrcadlová symetrie všem dobře známá. Spojuje jakýkoli předmět a jeho odraz v plochém zrcadle. Říká se, že jedna postava je zrcadlově symetrická k druhé.

V rovině byl obrazcem s nekonečným počtem os symetrie kruh. Ve vesmíru má nekonečný počet rovin symetrie kouli.

Pokud je ale kruh jediný svého druhu, pak v trojrozměrném světě existuje řada těles, která mají nekonečný počet rovin symetrie: rovný válec s kruhem na základně, kužel s kruhovou základnou, koule.

Je snadné zjistit, že každá symetrická rovinná postava může být kombinována sama se sebou pomocí zrcadla. Je překvapivé, že tak složité obrazce jako pěticípá hvězda nebo rovnostranný pětiúhelník jsou také symetrické. Jak vyplývá z počtu os, vyznačují se právě vysokou symetrií. A naopak: není tak snadné pochopit, proč tak zdánlivě pravidelný obrazec, jako šikmý rovnoběžník, není symetrický.

4. P rotační symetrie (nebo radiální symetrie)

Rotační symetrie je symetrie, která zachovává tvar předmětupři otáčení kolem nějaké osy o úhel rovný 360° /n(nebo násobek této hodnoty), kden= 2, 3, 4, … Uvedená osa se nazývá rotační osan-tý řád.

Nan=2 všechny body obrázku jsou otočeny o úhel 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) kolem osy, přičemž tvar postavy je zachován, tzn. každý bod obrazce směřuje k bodu téhož obrazce (obrazec se promění v sebe). Osa se nazývá osa druhého řádu.

Obrázek 2 ukazuje osu třetího řádu, obrázek 3 - 4. řád, obrázek 4 - 5. řád.

Objekt může mít více než jednu rotační osu: obr. 1 - 3 osy otáčení, obr. 2 - 4 osy, obr. 3 - 5 os, obr. 4 - pouze 1 osa

Známá písmena "I" a "F" mají rotační symetrii. Pokud písmeno "I" otočíte o 180° kolem osy kolmé k rovině písmene a procházející jeho středem, pak bude písmeno zarovnáno samo se sebou. Jinými slovy, písmeno "I" je symetrické vzhledem k otočení o 180°, 180°= 360°: 2,n=2 , takže má symetrii druhého řádu.

Všimněte si, že písmeno "F" má také rotační symetrii druhého řádu.

Kromě toho má písmeno a střed symetrie a písmeno Ф má osu symetrie

Vraťme se k příkladům ze života: sklenice, kilo zmrzliny ve tvaru kornoutu, kus drátu, dýmka.

Podíváme-li se na tato tělesa blíže, všimneme si, že všechna se tak či onak skládají z kružnice, kterou prochází nekonečný počet os symetrie, z nichž prochází nekonečný počet rovin symetrie. Většina těchto těles (říká se jim rotační tělesa) má samozřejmě také střed symetrie (střed kružnice), kterým prochází alespoň jedna rotační osa symetrie.

Dobře viditelná je například osa zmrzlinového kornoutu. Vede od středu kruhu (trčícího ze zmrzliny!) k ostrému konci funky kužele. Množinu prvků symetrie tělesa vnímáme jako jakousi míru symetrie. Míč je bezpochyby z hlediska symetrie nepřekonatelným ztělesněním dokonalosti, ideálem. Staří Řekové jej vnímali jako nejdokonalejší tělo a kruh samozřejmě jako nejdokonalejší plochou postavu.

Pro popis symetrie konkrétního objektu je nutné specifikovat všechny rotační osy a jejich pořadí a také všechny roviny symetrie.

Uvažujme například geometrické těleso složené ze dvou stejných pravidelných čtyřbokých jehlanů.

Má jednu rotační osu 4. řádu (osa AB), čtyři rotační osy 2. řádu (osy CE,D.F., MP, NQ), pět rovin symetrie (rovinyCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Přenosná symetrie

Jiný druh symetrie jepřenosný S symetrie.

Mluví se o takové symetrii, když, když se postava pohybuje po přímce o určitou vzdálenost „a“ nebo vzdálenost, která je násobkem této hodnoty, je kombinována sama se sebou. Přímka, podél které se přenos provádí, se nazývá osa přenosu a vzdálenost "a" se nazývá elementární přenos, perioda nebo krok symetrie.

A

Periodicky se opakující vzor na dlouhé stuze se nazývá okraj. V praxi se bordury vyskytují v různých podobách (nástěnná malba, litina, sádrové basreliéfy nebo keramika). Bordury používají malíři a umělci při zdobení místnosti. K provedení těchto ozdob je vytvořena šablona. Posouváme šablonu, otočíme ji nebo neotočíme, nakreslíme konturu, opakujeme vzor a získáme ornament (vizuální ukázka).

Okraj lze snadno vytvořit pomocí šablony (původního prvku), posouvat nebo překlápět a opakovat vzor. Obrázek ukazuje pět typů šablon:A ) asymetrické;před naším letopočtem ) mající jednu osu symetrie: horizontální nebo vertikální;G ) středově symetrický;d ) mající dvě osy symetrie: vertikální a horizontální.

K vytvoření hranic se používají následující transformace:

A ) paralelní přenos;b ) symetrie kolem svislé osy;PROTI ) středová symetrie;G ) symetrie kolem vodorovné osy.

Podobně můžete stavět zásuvky. K tomu je kruh rozdělen nan stejné sektory, v jednom z nich se provede vzor vzorku a ten se pak postupně opakuje ve zbývajících částech kruhu, přičemž se vzor pokaždé otočí o úhel 360 ° /n .

dobrý příklad aplikace osové a obrazové symetrie může sloužit jako plot zobrazený na fotografii.

Závěr: Takže existují různé druhy symetrie, symetrické body v každém z těchto typů symetrie jsou stavěny podle určitých zákonů. V životě se všude setkáváme s jedním nebo druhým typem symetrie a často v objektech, které nás obklopují, lze zaznamenat několik typů symetrie najednou. To vytváří řád, krásu a dokonalost ve světě kolem nás.

LITERATURA:

    Příručka elementární matematiky. M.Ya. Vygodsky. - Nakladatelství "Science". - Moskva 1971. – 416 stran.

    Moderní slovník cizích slov. - M.: Ruský jazyk, 1993.

    Dějiny matematiky ve školeIX - Xtřídy. G.I. Glaser. - Nakladatelství "Osvícení". – Moskva 1983 – 351 stran.

    Vizuální geometrie 5 - 6 tříd. LI. Sharygin, L.N. Erganžiev. - Vydavatelství "Drofa", Moskva, 2005. - 189p.

    Encyklopedie pro děti. Biologie. S. Ismailová. – Vydavatelství „Avanta+“. – Moskva 1997 – 704 stran.

    Urmantsev Yu.A. Symetrie přírody a povaha symetrie - M.: Myšlenka architektura / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

Možná vás to bude zajímat