Kvadratické rovnice se studují v 8. ročníku, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je zásadní.

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a , b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Před studiem konkrétních metod řešení si všimneme, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:

1. Nemají kořeny;
2. Mají přesně jeden kořen;
3. Mají dva různé kořeny.

To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.

Diskriminační

Ať je dáno kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec je třeba znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:

1. Pokud D< 0, корней нет;
2. Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
3. Pokud D > 0, budou dva kořeny.

Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů a vůbec ne jejich znaky, jak si z nějakého důvodu mnoho lidí myslí. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:

Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšeme koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Druhou rovnici analyzujeme stejným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Zbývá poslední rovnice:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je roven nule - odmocnina bude jedna.

Všimněte si, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to zdlouhavé – ale nespletete si šance a neuděláte hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.

Mimochodem, pokud „naplníte ruku“, po chvíli již nebudete muset vypisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní přejdeme k řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců – dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:

Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:

Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazení záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže výše popsaná technika: podívejte se na vzorec doslovně, namalujte každý krok - a velmi brzy se zbavte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice je poněkud odlišná od toho, co je uvedeno v definici. Například:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je snadné vidět, že jeden z členů v těchto rovnicích chybí. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nepotřebují ani počítat diskriminant. Pojďme si tedy představit nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.

Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 \u003d 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jedinou kořen: x \u003d 0.

Podívejme se na další případy. Nechť b \u003d 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c \u003d 0. Pojďme ji mírně transformovat:

Protože aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze tehdy, když (−c / a ) ≥ 0. Závěr:

1. Pokud neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + c = 0 vyhovuje nerovnosti (−c / a ) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
2. Pokud (−c / a)< 0, корней нет.

Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován - v neúplných kvadratických rovnicích nejsou vůbec žádné složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je záporná, nebudou zde žádné kořeny.

Nyní se zabývejme rovnicemi tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:

Vyjmutí společného faktoru ze závorky

Součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule. Odtud pramení kořeny. Na závěr analyzujeme několik těchto rovnic:

Úkol. Řešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nejsou tam žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Poté, co jsme prostudovali koncept rovnosti, konkrétně jeden z jejich typů - číselné rovnosti, můžeme přejít k dalšímu důležitý pohled- rovnice. V rámci tohoto materiálu vysvětlíme, co je rovnice a její kořen, zformulujeme hlavní definice a uvedeme různé příklady rovnic a hledání jejich kořenů.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojem rovnice

Obvykle se pojem rovnice studuje na samém začátku. školní kurz algebra. Pak je definován takto:

Definice 1

Rovnice volala rovnost s neznámým číslem, které má být nalezeno.

Je obvyklé označovat neznámé malými latinskými písmeny, například t, r, m atd., ale nejčastěji se používá x, y, z. Jinými slovy, rovnice určuje formu jejího záznamu, to znamená, že rovnost bude rovnicí, až když bude uvedena do určitého tvaru - musí obsahovat písmeno, jehož hodnotu je třeba najít.

Uveďme několik příkladů nejjednodušších rovnic. Mohou to být rovnosti ve tvaru x = 5, y = 6 atd., stejně jako ty, které zahrnují aritmetické operace, například x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

Po prostudování pojmu závorky se objeví pojem rovnice se závorkami. Patří mezi ně 7 (x − 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 atd. Nalezené písmeno se může vyskytovat více než jednou, ale několik, jako např. rovnice x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . Také neznámé mohou být umístěny nejen vlevo, ale i vpravo, nebo v obou částech současně, např. x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 popř. 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Dále poté, co se studenti seznámí s pojmem celek, skutečný, racionální, přirozená čísla, stejně jako logaritmy, odmocniny a mocniny, se objevují nové rovnice, které zahrnují všechny tyto objekty. Příkladům takových výrazů jsme věnovali samostatný článek.

V programu pro 7. ročník se poprvé objevuje pojem proměnné. Jedná se o písmena, která mohou nabývat různých hodnot (podrobněji viz článek o numerických, literálech a výrazech s proměnnými). Na základě tohoto konceptu můžeme předefinovat rovnici:

Definice 2

Rovnice je rovnost zahrnující proměnnou, jejíž hodnota se má vypočítat.

To znamená, že například výraz x + 3 \u003d 6 x + 7 je rovnice s proměnnou x a 3 y − 1 + y \u003d 0 je rovnice s proměnnou y.

V jedné rovnici nemůže být jedna proměnná, ale dvě nebo více. Říká se jim rovnice se dvěma, třemi proměnnými atd. Zapišme si definici:

Definice 3

Rovnice se dvěma (tři, čtyřmi nebo více) proměnnými se nazývají rovnice, které obsahují příslušný počet neznámých.

Například rovnost ve tvaru 3, 7 x + 0, 6 = 1 je rovnice s jednou proměnnou x a x − z = 5 je rovnice se dvěma proměnnými x a z. Příkladem rovnice se třemi proměnnými by bylo x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Kořen rovnice

Když mluvíme o rovnici, okamžitě je nutné definovat pojem jejího kořene. Pokusme se vysvětlit, co to znamená.

Příklad 1

Je nám dána rovnice, která obsahuje jednu proměnnou. Pokud místo toho nahradíme neznámý dopisčíslo, pak se rovnice stane číselnou rovností - pravda nebo nepravda. Pokud tedy v rovnici a + 1 \u003d 5 nahradíme písmeno číslem 2, pak se rovnost stane nesprávnou, a pokud 4, pak dostaneme správnou rovnost 4 + 1 \u003d 5.

Více nás zajímají právě ty hodnoty, se kterými se proměnná změní ve skutečnou rovnost. Říká se jim kořeny nebo řešení. Zapišme si definici.

Definice 4

Kořen rovnice pojmenujte hodnotu proměnné, která změní danou rovnici na skutečnou rovnost.

Kořen lze také nazvat rozhodnutím nebo naopak – oba tyto pojmy znamenají totéž.

Příklad 2

Pro objasnění této definice si uveďme příklad. Výše jsme dali rovnici a + 1 = 5 . Podle definice bude kořen v tomto případě 4, protože při nahrazení písmenem dává správnou číselnou rovnost a dva nebudou řešením, protože odpovídá nesprávné rovnosti 2 + 1 \u003d 5.

Kolik kořenů může mít jedna rovnice? Má každá rovnice kořen? Pojďme si na tyto otázky odpovědět.

Existují také rovnice, které nemají jediný kořen. Příkladem může být 0 x = 5 . Můžeme do ní zapojit nekonečně mnoho různých čísel, ale žádné z nich z toho neudělá skutečnou rovnost, protože vynásobení 0 vždy dává 0 .

Existují také rovnice, které mají více kořenů. Mohou mít jak konečné, tak nekonečně mnoho kořenů.

Příklad 3

Takže v rovnici x - 2 \u003d 4 je pouze jeden kořen - šest, v x 2 \u003d 9 dva kořeny - tři a mínus tři, v x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 tři kořeny - nula, jedna a dvě, v rovnici x=x je nekonečně mnoho kořenů.

Nyní si vysvětlíme, jak správně zapsat kořeny rovnice. Pokud žádné nejsou, zapíšeme takto: "rovnice nemá kořeny." V tomto případě je také možné uvést znaménko prázdné množiny ∅ . Pokud existují kořeny, zapíšeme je oddělené čárkami nebo je označíme jako prvky množiny a uzavřeme je do složených závorek. Pokud má tedy nějaká rovnice tři kořeny - 2, 1 a 5, pak zapíšeme - 2, 1, 5 nebo (- 2, 1, 5) .

Je dovoleno psát kořeny ve formě nejjednodušších rovností. Pokud je tedy neznámá v rovnici označena písmenem y a kořeny jsou 2 a 7, zapíšeme y \u003d 2 a y \u003d 7. Někdy se k písmenům přidávají dolní indexy, například x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Uvádíme tedy čísla kořenů. Pokud má rovnice nekonečně mnoho řešení, pak odpověď zapíšeme jako číselný interval nebo použijeme obecně uznávaný zápis: množinu přirozených čísel označíme N, celá čísla - Z, reálná čísla - R. Řekněme, že pokud potřebujeme napsat, že řešením rovnice bude libovolné celé číslo, pak napíšeme, že x ∈ Z, a pokud je nějaké reálné číslo od jedné do devíti, pak y ∈ 1, 9.

Když má rovnice dva, tři nebo více kořenů, pak se zpravidla nemluví o kořenech, ale o řešení rovnice. Formulujeme definici řešení rovnice s více proměnnými.

Definice 5

Řešením rovnice se dvěma, třemi nebo více proměnnými jsou dvě, tři nebo více hodnot proměnných, které tuto rovnici promění ve skutečnou číselnou rovnost.

Vysvětleme si definici na příkladech.

Příklad 4

Řekněme, že máme výraz x + y = 7 , což je rovnice se dvěma proměnnými. Nahraďte jeden za první a dva za druhé. Dostaneme nesprávnou rovnost, což znamená, že tato dvojice hodnot nebude řešením této rovnice. Pokud vezmeme pár 3 a 4, pak se rovnost stane pravdivou, což znamená, že jsme našli řešení.

Takové rovnice také nemusí mít žádné kořeny nebo jich mít nekonečný počet. Pokud potřebujeme zapsat dvě, tři, čtyři nebo více hodnot, pak je zapíšeme oddělené čárkami v závorce. To znamená, že ve výše uvedeném příkladu bude odpověď vypadat jako (3 , 4) .

V praxi se nejčastěji musíme zabývat rovnicemi obsahujícími jednu proměnnou. Algoritmus pro jejich řešení podrobně zvážíme v článku věnovaném řešení rovnic.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Rovnice byly používány člověkem od pradávna a od té doby jejich používání jen narůstalo. Poměrně často se kořenové znaménko nachází v rovnicích a mnozí se mylně domnívají, že takové rovnice je obtížné vyřešit. Pro takové rovnice v matematice existuje speciální termín, který se nazývá rovnice s kořenem - iracionální rovnice.

Hlavní rozdíl v řešení rovnic s odmocninou od jiných rovnic, například čtvercových, logaritmických, lineárních, spočívá v tom, že nemají standardní algoritmus řešení. Pro řešení iracionální rovnice je proto nutné analyzovat výchozí data a zvolit vhodnější řešení.

Ve většině případů se k řešení tohoto druhu rovnic používá metoda zvýšení obou částí rovnice na stejnou mocninu.

Řekněme, že je dána následující rovnice:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Odmocnime obě strany rovnice:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], odkud postupně dostáváme:

Po obdržení kvadratické rovnice najdeme její kořeny:

Odpovědět: \

Pokud tyto hodnoty dosadíme do rovnice, dostaneme správnou rovnost, která udává správnost získaných dat.

Kde mohu vyřešit rovnici s kořeny pomocí online řešitele?

Rovnici můžete vyřešit na našem webu https: //. Bezplatný online řešitel vám umožní vyřešit online rovnici jakékoli složitosti během několika sekund. Jediné, co musíte udělat, je zadat svá data do řešitele. Můžete se také podívat na video návod a naučit se řešit rovnici na našem webu. A pokud máte nějaké dotazy, můžete se jich zeptat v naší skupině Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

Městský vzdělávací ústav

"Kudinskaya střední škola č. 2"

Způsoby řešení iracionálních rovnic

Doplnila: Egorova Olga,

Dozorce:

Učitel

matematika,

vyšší kvalifikace

Úvod....……………………………………………………………………………………… 3

Sekce 1. Metody řešení iracionálních rovnic…………………………………6

1.1 Řešení iracionálních rovnic části C……….….….…………………………21

Sekce 2. Jednotlivé úkoly…………………………………………….....………...24

Odpovědi………………………………………………………………………………………….25

Bibliografie…….…………………………………………………………………….26

Úvod

Matematické vzdělání získané v r všeobecně vzdělávací škola, je nejdůležitější složkou obecné vzdělání a obecná kultura moderní muž. Téměř vše, co obklopuje moderního člověka, je tak či onak spojeno s matematikou. A nejnovější pokroky ve fyzice, strojírenství a informačních technologiích nenechávají nikoho na pochybách, že v budoucnu zůstane stav věcí stejný. Proto rozhodnutí mnoha praktické úkoly přijde na rozhodnutí různé druhy rovnic, abyste se naučili řešit. Jedním z těchto typů jsou iracionální rovnice.

Iracionální rovnice

Rovnice obsahující neznámou (nebo racionální algebraický výraz z neznámé) pod radikálem se nazývá iracionální rovnice. V elementární matematice se řešení iracionálních rovnic hledají v množině reálných čísel.

Jakoukoli iracionální rovnici pomocí elementárních algebraických operací (násobení, dělení, umocnění obou částí rovnice na celočíselnou mocninu) lze redukovat na racionální algebraickou rovnici. Je třeba mít na paměti, že výsledná racionální algebraická rovnice nemusí být ekvivalentní původní iracionální rovnici, konkrétně může obsahovat kořeny „navíc“, které nebudou kořeny původní iracionální rovnice. Proto hledání kořenů získaného racionálního algebraická rovnice, je nutné zkontrolovat, zda všechny kořeny racionální rovnice jsou kořeny iracionální rovnice.

Obecně je těžké nějaké specifikovat generická metodařešení jakékoli iracionální rovnice, neboť je žádoucí, aby v důsledku transformací původní iracionální rovnice nevznikla jen nějaká racionální algebraická rovnice, mezi jejíž kořeny budou kořeny této iracionální rovnice, ale racionální algebraická rovnice vytvořená z polynomů nejmenšího možného stupně. Touha získat onu racionální algebraickou rovnici vytvořenou z polynomů co nejmenšího stupně je zcela přirozená, protože nalezení všech kořenů racionální algebraické rovnice může být samo o sobě poměrně obtížným úkolem, který můžeme zcela vyřešit pouze ve velmi omezeném počtu. případů.

Typy iracionálních rovnic

Řešení iracionálních rovnic sudý stupeň vždy volá více problémů než řešení iracionálních rovnic lichého stupně. Při řešení iracionálních rovnic lichého stupně se ODZ nemění. Proto níže budeme uvažovat iracionální rovnice, jejichž stupeň je sudý. Existují dva druhy iracionálních rovnic:

2..

Podívejme se na první z nich.

rovnice odz: f(x)≥ 0. V ODZ je levá strana rovnice vždy nezáporná, takže řešení může existovat pouze tehdy, G(X)≥ 0. V tomto případě jsou obě strany rovnice nezáporné a umocňování 2 n dává ekvivalentní rovnici. Chápeme to

Věnujme pozornost tomu, že zatímco ODZ se provádí automaticky a nelze ji zapsat, ale podmínkuG(x) ≥ 0 musí být zaškrtnuto.

Poznámka: To je velmi důležitá podmínka ekvivalence. Nejprve zbaví studenta nutnosti zkoumat a po nalezení řešení ověřte podmínku f(x) ≥ 0 - nezápornost kořenového výrazu. Za druhé se zaměřuje na kontrolu stavuG(x) ≥ 0 jsou nezáporné hodnoty pravé strany. Po kvadratuře je totiž rovnice vyřešena tj. řeší se dvě rovnice najednou (ale na různých intervalech číselné osy!):

1. - kde G(X)≥ 0 a

2. - kde g(x) ≤ 0.

Mezitím mnozí, podle školního zvyku najít ODZ, dělají při řešení takových rovnic přesně opak:

a) po nalezení řešení zkontrolujte podmínku f(x) ≥ 0 (která je automaticky splněna), udělejte aritmetické chyby a dostaňte nesprávný výsledek;

b) ignorovat podmínkuG(x) ≥ 0 - a odpověď může být opět špatná.

Poznámka: Podmínka ekvivalence je užitečná zejména při řešení goniometrických rovnic, ve kterých je nalezení ODZ spojeno s řešením goniometrických nerovnic, což je mnohem obtížnější než řešení goniometrických rovnic. Přihlaste se goniometrické rovnice rovnoměrné podmínky G(X)≥ 0 není vždy snadné.

Zvažte druhý druh iracionálních rovnic.

. Nechte rovnici . Jeho ODZ:

V ODZ jsou obě strany nezáporné a kvadratura dává ekvivalentní rovnici F(x) =G(X). Proto v ODZ resp

Při tomto způsobu řešení stačí zkontrolovat nezápornost jedné z funkcí – můžete zvolit jednodušší.

Sekce 1. Metody řešení iracionálních rovnic

1 způsob. Osvobození od radikálů postupným zvyšováním obou stran rovnice na odpovídající přírodní sílu

Nejčastěji používanou metodou řešení iracionálních rovnic je metoda zbavování se radikálů postupným zvyšováním obou částí rovnice na odpovídající přirozený stupeň. V tomto případě je třeba mít na paměti, že když jsou obě části rovnice umocněny na lichou mocninu, výsledná rovnice je ekvivalentní té původní, a když jsou obě části rovnice umocněny na sudou mocninu, výsledná rovnice bude, obecně řečeno, neekvivalentní původní rovnici. To lze snadno ověřit zvýšením obou stran rovnice na libovolnou sudou mocninu. Výsledkem této operace je rovnice , jehož množina řešení je sjednocením množin řešení: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. touto nevýhodou je postup pro zvýšení obou částí rovnice na nějakou (často dokonce) mocninu, která je nejběžnějším postupem pro redukci iracionální rovnice na racionální rovnici.

Řešte rovnici:

Kde jsou nějaké polynomy. Na základě definice operace extrahování kořene v množině reálných čísel jsou přípustné hodnoty neznámého https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Protože obě části 1. rovnice byly odmocněny, může se ukázat, že ne všechny kořeny 2. rovnice budou řešením původní rovnice, je nutné kořeny zkontrolovat.

Řešte rovnici:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Zvednutím obou stran rovnice do krychle dostaneme

Vzhledem k tomu, že https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Poslední rovnice může mít kořeny, které, obecně řečeno, nejsou kořeny rovnice ).

Zvedneme obě strany této rovnice na krychli: . Rovnici přepíšeme ve tvaru x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Kontrolou zjistíme, že x1 = 0 je cizí kořen rovnice (-2 ≠ 1) a x2 = 1 splňuje původní rovnice.

Odpovědět: x = 1.

2 způsob. Nahrazení sousedního systému podmínek

Při řešení iracionálních rovnic obsahujících radikály sudého řádu se mohou v odpovědích objevit cizí kořeny, které není vždy snadné identifikovat. Pro snazší identifikaci a vyřazení cizích kořenů je v průběhu řešení iracionálních rovnic okamžitě nahrazen sousedním systémem podmínek. Dodatečné nerovnosti v systému ve skutečnosti zohledňují ODZ řešené rovnice. ODZ můžete najít samostatně a vzít v úvahu později, ale je vhodnější použít smíšené systémy podmínek: je menší nebezpečí, že na něco zapomenete a nezohledníte to v procesu řešení rovnice. Proto je v některých případech racionálnější použít metodu přechodu na smíšené systémy.

Řešte rovnici:

Odpovědět: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Tato rovnice je ekvivalentní soustavě

Odpovědět: rovnice nemá řešení.

3 způsob. Použití vlastností n-té odmocniny

Při řešení iracionálních rovnic se využívá vlastností kořene n-tého stupně. aritmetický kořen n-čt stupně z řad A zavolat na nezáporné číslo, n- i jehož stupeň je roven A. Li n- dokonce( 2n), pak a ≥ 0, jinak kořen neexistuje. Li n- zvláštní( 2 n+1), pak a je libovolné a = - ..gif" width="45" height="19"> Potom:

2.

3.

4.

5.

Při použití kteréhokoli z těchto vzorců formálně (bez zohlednění uvedených omezení) je třeba mít na paměti, že ODZ levé a pravé části každého z nich se může lišit. Například výraz je definován pomocí f ≥ 0 A g ≥ 0, a výraz je jako v f ≥ 0 A g ≥ 0, jakož i f ≤ 0 A g ≤ 0.

Pro každý ze vzorců 1-5 (bez zohlednění uvedených omezení) může být ODZ jeho pravé části širší než ODZ levé. Z toho vyplývá, že transformace rovnice s formálním použitím vzorců 1-5 „zleva doprava“ (jak se píší) vedou k rovnici, která je důsledkem té původní. V tomto případě se mohou objevit cizí kořeny původní rovnice, takže ověření je povinným krokem při řešení původní rovnice.

Transformace rovnic s formálním použitím vzorců 1-5 "zprava doleva" jsou nepřijatelné, protože je možné posuzovat ODZ původní rovnice a v důsledku toho ztrátu kořenů.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

což je důsledek originálu. Řešení této rovnice je redukováno na řešení soustavy rovnic .

Z první rovnice této množiny najdeme https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> odkud najdeme . Tedy kořeny tato rovnice může být pouze čísla ( -1) a (-2) Ověření ukazuje, že oba nalezené kořeny vyhovují této rovnici.

Odpovědět: -1,-2.

Řešte rovnici: .

Řešení: na základě identit nahraďte první termín výrazem . Všimněte si, že jako součet dvou nezáporných čísel na levé straně. „Odstraňte“ modul a po zadání podobných výrazů vyřešte rovnici. Protože , dostaneme rovnici . Od a a poté https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Odpovědět: x = 4,25.

4 způsob. Zavedení nových proměnných

Dalším příkladem řešení iracionálních rovnic je způsob zavádění nových proměnných, s ohledem na které se získá buď jednodušší iracionální rovnice, nebo rovnice racionální.

Řešení iracionálních rovnic nahrazením rovnice jejím důsledkem (s následnou kontrolou kořenů) lze provést následovně:

1. Najděte ODZ původní rovnice.

2. Přejděte od rovnice k jejímu důsledku.

3. Najděte kořeny výsledné rovnice.

4. Zkontrolujte, zda nalezené kořeny jsou kořeny původní rovnice.

Kontrola je následující:

A) kontroluje se příslušnost každého nalezeného kořene ODZ k původní rovnici. Ty kořeny, které nepatří do ODZ, jsou pro původní rovnici cizí.

B) pro každou odmocninu obsaženou v ODZ původní rovnice se kontroluje, zda levá a pravá část každé z rovnic, které vznikají v procesu řešení původní rovnice a jsou umocněny na sudou mocninu, mají stejná znaménka. Ty kořeny, pro které části jakékoli rovnice umocněné na sudou mocninu mají různá znaménka, jsou pro původní rovnici cizí.

C) pouze ty kořeny, které patří do ODZ původní rovnice a pro které obě části každé z rovnic vzniklé v procesu řešení původní rovnice a umocněné na sudou mocninu, mají stejná znaménka, jsou kontrolovány přímou substitucí do původní rovnice.

Takový způsob řešení s uvedenou metodou ověřování umožňuje vyhnout se těžkopádným výpočtům v případě přímé substituce každého z nalezených kořenů poslední rovnice do původního.

Vyřešte iracionální rovnici:

.

Množina přípustných hodnot této rovnice:

Nastavení , po dosazení dostaneme rovnici

nebo jeho ekvivalentní rovnice

na kterou lze nahlížet jako na kvadratickou rovnici pro . Když vyřešíme tuto rovnici, dostaneme

.

Proto je sada řešení původní iracionální rovnice sjednocením sad řešení následujících dvou rovnic:

, .

Dejte krychli obě strany každé z těchto rovnic a dostaneme dvě racionální algebraické rovnice:

, .

Při řešení těchto rovnic zjistíme, že tato iracionální rovnice má jediný kořen x = 2 (není potřeba žádné ověření, protože všechny transformace jsou ekvivalentní).

Odpovědět: x = 2.

Vyřešte iracionální rovnici:

Označme 2x2 + 5x - 2 = t. Pak bude mít původní rovnice tvar . Umocněním obou částí výsledné rovnice a přivedením podobných členů získáme rovnici , která je důsledkem té předchozí. Z toho najdeme t = 16.

Vrátíme-li se k neznámé x, dostaneme rovnici 2x2 + 5x - 2 = 16, která je důsledkem té původní. Kontrolou se ujistíme, že její kořeny x1 \u003d 2 a x2 \u003d - 9/2 jsou kořeny původní rovnice.

Odpovědět: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 způsob. Transformace rovnice identity

Při řešení iracionálních rovnic by se nemělo začít řešit rovnici zvednutím obou částí rovnic na přirozenou mocninu a snažit se redukovat řešení iracionální rovnice na řešení racionální algebraické rovnice. Nejprve je nutné zjistit, zda je možné provést nějakou identickou transformaci rovnice, která může výrazně zjednodušit její řešení.

Řešte rovnici:

Sada platných hodnot pro tuto rovnici: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Vydělte tuto rovnici číslem .

.

Dostaneme:

Pro a = 0 nebude mít rovnice žádná řešení; pro , rovnici lze zapsat jako

protože tato rovnice nemá řešení, protože pro žádné X, patřící do množiny přípustných hodnot rovnice, výraz na levé straně rovnice je kladný;

když má rovnice řešení

Vezmeme-li v úvahu, že množina přípustných řešení rovnice je určena podmínkou , dostaneme nakonec:

Při řešení této iracionální rovnice bude https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> řešení rovnice . Pro všechny ostatní hodnoty X rovnice nemá řešení.

PŘÍKLAD 10:

Vyřešte iracionální rovnici: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Řešení kvadratické rovnice systému dává dva kořeny: x1 \u003d 1 a x2 \u003d 4. První ze získaných kořenů nesplňuje nerovnost systému, proto x \u003d 4.

Poznámky.

1) Provádění identických transformací nám umožňuje obejít se bez ověřování.

2) Nerovnice x - 3 ≥0 se týká identických transformací, nikoli definičního oboru rovnice.

3) Na levé straně rovnice je klesající funkce a na pravé straně této rovnice rostoucí funkce. Grafy klesajících a rostoucích funkcí v průsečíku jejich definičních oborů mohou mít nejvýše jeden společný bod. Je zřejmé, že v našem případě je x = 4 úsečka průsečíku grafů.

Odpovědět: x = 4.

6 metoda. Využití oboru definice funkcí při řešení rovnic

Tato metoda je nejúčinnější při řešení rovnic, které obsahují funkce https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> a najít jejich definice oblasti (F)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, pak musíte zkontrolovat, zda je rovnice pravdivá na koncích intervalu, navíc pokud< 0, а b >0, pak je nutné zkontrolovat intervaly (a;0) A . Nejmenší celé číslo v E(y) je 3.

Odpovědět: x = 3.

8 metoda. Aplikace derivace při řešení iracionálních rovnic

Nejčastěji se při řešení rovnic derivační metodou používá metoda odhadu.

PŘÍKLAD 15:

Vyřešte rovnici: (1)

Řešení: Protože https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, nebo (2). Zvažte funkci ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> vůbec a tedy rostoucí. Proto rovnice je ekvivalentní rovnici, která má kořen, který je kořenem původní rovnice.

Odpovědět:

PŘÍKLAD 16:

Vyřešte iracionální rovnici:

Definiční obor funkce je segment. Najděte největší a nejmenší hodnotu hodnoty této funkce na intervalu . K tomu najdeme derivaci funkce F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Pojďme najít hodnoty funkce F(X) na koncích segmentu a v bodě : Takže, Ale a tedy rovnost je možná pouze za podmínky https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Ověření ukazuje, že číslo 3 je kořenem této rovnice.

Odpovědět: x = 3.

9 metoda. Funkční

U zkoušek někdy nabízejí řešení rovnic, které lze zapsat ve tvaru , kde je určitá funkce.

Například některé rovnice: 1) 2) . Opravdu, v prvním případě , ve druhém případě . Proto řešte iracionální rovnice pomocí následujícího tvrzení: je-li funkce na množině striktně rostoucí X a pro jakékoli , pak rovnice atd. jsou ekvivalentní na množině X .

Vyřešte iracionální rovnici: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> na place se striktně zvyšuje R, a https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > která má jedinečný kořen Proto má ekvivalentní rovnice (1) také jedinečný kořen

Odpovědět: x = 3.

PŘÍKLAD 18:

Vyřešte iracionální rovnici: (1)

Podle definice odmocnina dostaneme, že pokud má rovnice (1) kořeny, pak patří do množiny https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Zvažte funkci https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> na této sadě přísně zvyšující pro jakýkoli ..gif" width="100" výška ="41">, která má tedy jeden kořen a je mu ekvivalentní na množině X rovnice (1) má jeden kořen

Odpovědět: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Řešení: Tato rovnice je ekvivalentní smíšené soustavě

Při studiu algebry se studenti setkávají s rovnicemi mnoha druhů. Z těch nejjednodušších lze jmenovat lineární obsahující jednu neznámou. Pokud je proměnná v matematickém výrazu umocněna na určitou mocninu, pak se rovnice nazývá kvadratická, kubická, bikvadratická a tak dále. Tyto výrazy mohou obsahovat racionální čísla. Existují ale i iracionální rovnice. Od ostatních se liší přítomností funkce, kde neznámá je pod znaménkem radikálu (tedy čistě externě, proměnnou zde lze vidět zapsanou pod odmocninou). Řešení iracionálních rovnic má své vlastnosti. Při výpočtu hodnoty proměnné pro získání správné odpovědi je třeba je vzít v úvahu.

"Nevyslovitelné slovy"

Není žádným tajemstvím, že starověcí matematici operovali hlavně s racionálními čísly. Mezi ně patří, jak víte, celá čísla, vyjádřená běžnými a desetinnými periodickými zlomky, zástupci této komunity. Řešit iracionální rovnice se však naučili i vědci ze Středního a Blízkého východu a také z Indie, kteří rozvíjeli trigonometrii, astronomii a algebru. Například Řekové znali takové množství, ale když je uvedli do verbální formy, používali pojem „logos“, což znamenalo „nevyjádřitelné“. O něco později Evropané, kteří je napodobují, nazývali taková čísla „hluchými“. Od všech ostatních se liší tím, že mohou být reprezentovány pouze ve formě nekonečného neperiodického zlomku, jehož konečné číselné vyjádření je prostě nemožné získat. Proto se častěji takoví zástupci říše čísel zapisují ve formě čísel a znaků jako nějaký výraz, který je pod kořenem druhého nebo většího stupně.

Na základě výše uvedeného se pokusíme definovat iracionální rovnici. Takové výrazy obsahují takzvaná „nevyjádřitelná čísla“, zapsaná pomocí znaménka odmocniny. Mohou to být různé poměrně složité možnosti, ale ve své nejjednodušší podobě vypadají jako na fotografii níže.

Při přechodu na řešení iracionálních rovnic je nejprve nutné vypočítat rozsah přípustných hodnot proměnné.

Dává výraz smysl?

Potřeba kontroly získaných hodnot vyplývá z vlastností. Jak známo, takový výraz je přijatelný a má jakýkoli význam pouze za určitých podmínek. V případě sudého kořene musí být všechny radikálové výrazy kladné nebo rovné nule. Li tento stav není splněna, pak předložený matematický zápis nelze považovat za smysluplný.

Uveďme si konkrétní příklad, jak řešit iracionální rovnice (na obrázku níže).

V tomto případě je zřejmé, že tyto podmínky nelze splnit pro žádné hodnoty nabyté požadovanou hodnotou, protože se ukazuje, že 11 ≤ x ≤ 4. To znamená, že řešením může být pouze Ø.

Metoda analýzy

Z výše uvedeného je zřejmé, jak řešit některé typy iracionálních rovnic. Zde může být účinná jednoduchá analýza.

Uvádíme řadu příkladů, které to opět jasně demonstrují (na fotografii níže).

V prvním případě je po pečlivém zvážení výrazu okamžitě extrémně jasné, že nemůže být pravdivý. Ve skutečnosti by koneckonců mělo být na levé straně rovnosti získáno kladné číslo, které se v žádném případě nemůže rovnat -1.

Ve druhém případě lze součet dvou kladných výrazů považovat za rovný nule pouze tehdy, když x - 3 = 0 a x + 3 = 0 současně. Opět je to nemožné. A tak v odpovědi opět napište Ø.

Třetí příklad je velmi podobný předchozímu. Zde totiž podmínky ODZ vyžadují, aby byla splněna následující absurdní nerovnost: 5 ≤ x ≤ 2. A taková rovnice podobným způsobem nemůže mít správná řešení.

Neomezený zoom

Povahu iracionálna lze nejjasněji a úplně vysvětlit a poznat pouze prostřednictvím nekonečné řady čísel. desetinný zlomek. A konkrétním, nápadným příkladem členů této rodiny je pí. Ne bez důvodu se předpokládá, že tato matematická konstanta je známá již od starověku a používá se při výpočtu obvodu a plochy kruhu. Mezi Evropany jej ale poprvé uvedli do praxe Angličan William Jones a Švýcar Leonard Euler.

Tato konstanta vzniká následovně. Pokud porovnáme nejvíce různé obvody, pak se poměr jejich délek a průměrů nutně rovná stejnému číslu. Toto je pí. Vyjádřeno v termínech společný zlomek, pak přibližně dostaneme 22/7. Poprvé to udělal velký Archimedes, jehož portrét je znázorněn na obrázku výše. Proto podobné číslo dostalo jeho jméno. Ale to není explicitní, ale přibližná hodnota možná nejúžasnějšího z čísel. Geniální vědec našel požadovanou hodnotu s přesností 0,02, ale ve skutečnosti tato konstanta nemá žádnou skutečnou hodnotu, ale je vyjádřena jako 3,1415926535 ... Je to nekonečná řada čísel, která se neomezeně blíží určité mýtické hodnotě.

Kvadratury

Ale zpět k iracionálním rovnicím. K nalezení neznámého se v tomto případě velmi často uchýlí jednoduchá metoda: odmocni obě strany stávající rovnosti. Tato metoda obvykle poskytuje dobré výsledky. Ale je třeba vzít v úvahu záludnost iracionálních hodnot. Všechny kořeny získané v důsledku toho musí být zkontrolovány, protože nemusí být vhodné.

Pokračujme ale v úvahách o příkladech a pokusme se najít proměnné nově navrženým způsobem.

Je docela snadné pomocí Vietova teorému najít požadované hodnoty veličin poté, co jsme vytvořili kvadratickou rovnici jako výsledek určitých operací. Zde se ukazuje, že mezi kořeny bude 2 a -19. Při kontrole, dosazení získaných hodnot do původního výrazu se však můžete ujistit, že žádný z těchto kořenů není vhodný. To je běžný jev v iracionálních rovnicích. To znamená, že naše dilema opět nemá řešení a v odpovědi by měla být uvedena prázdná množina.

Složitější příklady

V některých případech je nutné odmocnit obě strany výrazu ne jednou, ale několikrát. Zvažte příklady, kde je výše uvedené vyžadováno. Lze je vidět níže.

Po obdržení kořenů je nezapomeňte zkontrolovat, protože mohou vzniknout další. Mělo by být vysvětleno, proč je to možné. Při aplikaci takové metody dochází určitým způsobem k racionalizaci rovnice. Ale zbavíme-li se kořenů, které jsou pro nás nežádoucí a které nám brání v provádění aritmetických operací, jakoby rozšiřujeme stávající rozsah hodnot, který je plný (jak jistě chápete) s důsledky. V očekávání to provedeme kontrolu. V tomto případě existuje šance ujistit se, že sedí pouze jeden z kořenů: x = 0.

Systémy

Co dělat v případech, kdy je potřeba řešit soustavy iracionálních rovnic a nemáme jednu, ale dvě celé neznámé? Zde postupujeme stejně jako v běžných případech, avšak s přihlédnutím k výše uvedeným vlastnostem dat matematické výrazy. A v každém novém úkolu byste samozřejmě měli uplatnit kreativní přístup. Ale opět je lepší vše zvážit konkrétní příklad níže. Zde je potřeba nejen najít proměnné x a y, ale také uvést jejich součet v odpovědi. Existuje tedy systém obsahující iracionální množství (viz foto níže).

Jak vidíte, takový úkol není nadpřirozeně obtížný. Stačí být chytrý a odhadnout, že levá strana první rovnice je druhá mocnina součtu. Podobné úkoly se nacházejí ve zkoušce.

Iracionální v matematice

Pokaždé vyvstala pro lidstvo potřeba vytvářet nové typy čísel, když mu chyběl „prostor“ k řešení některých rovnic. Iracionální čísla nejsou výjimkou. Jak dosvědčují fakta z historie, poprvé na to velcí mudrci upozornili ještě před naším letopočtem, v 7. století. To udělal matematik z Indie, známý jako Manava. Jasně pochopil, že z některých přirozených čísel není možné vytáhnout kořen. Například tyto zahrnují 2; 17 nebo 61, stejně jako mnoho dalších.

Ke stejnému závěru dospěl jeden z Pythagorejců, myslitel jménem Hippas, který se pokoušel provádět výpočty s číselnými vyjádřeními stran pentagramu. Objevováním matematických prvků, které nelze vyjádřit číselně a nemají vlastnosti běžná čísla, tak rozzlobil své kolegy, že byl hozen přes palubu do moře. Faktem je, že ostatní Pýthagorejci považovali jeho úvahy za vzpouru proti zákonům vesmíru.

Radikální znamení: Evoluce

Kořenový znak pro vyjádření číselné hodnoty „hluchých“ čísel se při řešení iracionálních nerovnic a rovnic začal používat zdaleka ne hned. Evropští, zejména italští matematici začali poprvé uvažovat o radikálovi kolem 13. století. Zároveň přišli s nápadem používat pro označení latinské R. Němečtí matematici ale jednali ve svých dílech jinak. Více se jim líbilo písmeno V. V Německu se brzy rozšířilo označení V (2), V (3), které mělo vyjadřovat druhou odmocninu z 2, 3 a tak dále. Později zasáhli Nizozemci a změnili znak radikála. A Rene Descartes dokončil evoluci a dovedl odmocninu k moderní dokonalosti.

Zbavit se iracionálního

Iracionální rovnice a nerovnice mohou obsahovat proměnnou nejen pod znaménkem druhé odmocniny. Může být jakéhokoli stupně. Nejběžnějším způsobem, jak se toho zbavit, je zvýšit obě strany rovnice na příslušnou mocninu. Toto je hlavní akce, která pomáhá při operacích s iracionálním. Akce v sudých případech se nijak zvlášť neliší od těch, které jsme již analyzovali dříve. Zde je třeba vzít v úvahu podmínky pro nezápornost radikálního výrazu a také na konci řešení je nutné odfiltrovat cizí hodnoty proměnných způsobem, který byl ukázán v již zvažované příklady.

Z dodatečných transformací, které pomáhají najít správnou odpověď, se často používá násobení výrazu konjugátem a často je také nutné zavést novou proměnnou, která usnadňuje řešení. V některých případech je pro zjištění hodnoty neznámých vhodné použít grafy.