» Ctěný profesor matematiky na University of Warwick, známý popularizátor vědy Ian Stewart, věnující se roli čísel v historii lidstva a významu jejich studia v naší době.
Pythagorova přepona
Pythagorejské trojúhelníky mají pravý úhel a celočíselné strany. V nejjednodušším z nich má nejdelší strana délku 5, ostatní jsou 3 a 4. Celkem je 5 pravidelných mnohostěnů. Rovnici pátého stupně nelze vyřešit pomocí kořenů pátého stupně – ani žádných jiných kořenů. Mřížky v rovině a v trojrozměrném prostoru nemají pětilalokovou rotační symetrii, proto takové symetrie chybí i v krystalech. Mohou však být v mřížkách ve čtyřrozměrném prostoru a v zajímavých strukturách známých jako kvazikrystaly.
Přepona nejmenší pythagorejské trojky
Pythagorova věta říká, že nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku (notoricky známá přepona) koreluje s dalšími dvěma stranami tohoto trojúhelníku velmi jednoduchým a krásným způsobem: druhá mocnina přepony se rovná součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.
Tradičně nazýváme tuto větu po Pythagorovi, ale ve skutečnosti je její historie poněkud vágní. Hliněné tabulky naznačují, že starověcí Babyloňané znali Pythagorovu větu dávno před samotným Pythagorem; slávu objevitele mu přinesl matematický kult Pythagorejců, jejichž příznivci věřili, že vesmír je založen na číselných vzorcích. Starověcí autoři připisovali Pythagorejcům – a potažmo Pythagorovi – různé matematické věty, ale ve skutečnosti netušíme, jakým druhem matematiky se Pythagoras sám zabýval. Ani nevíme, jestli Pythagorejci dokázali Pythagorovu větu, nebo jestli prostě věřili, že je pravdivá. Nebo spíše měli přesvědčivá data o její pravdivosti, která by však k tomu, co dnes považujeme za důkaz, nestačila.
Důkazy o Pythagorovi
První známý důkaz Pythagorovy věty se nachází v Euklidových prvcích. Jde o poměrně komplikovaný důkaz pomocí kresby, kterou by viktoriánští školáci okamžitě poznali jako „pythagorejské kalhoty“; kresba opravdu připomíná spodky sušící se na laně. Jsou známy doslova stovky dalších důkazů, z nichž většina činí toto tvrzení jasnějším.
// Rýže. 33. Pythagorejské kalhoty
Jedním z nejjednodušších důkazů je jakási matematická hádanka. Vezměte libovolný pravoúhlý trojúhelník, vytvořte jeho čtyři kopie a sesbírejte je uvnitř čtverce. Při jednom položení vidíme čtverec na přeponě; s ostatními - čtverci na dalších dvou stranách trojúhelníku. Je zřejmé, že oblasti jsou v obou případech stejné.
// Rýže. 34. Vlevo: čtverec na přeponě (plus čtyři trojúhelníky). Vpravo: součet čtverců na dalších dvou stranách (plus stejné čtyři trojúhelníky). Nyní odstraňte trojúhelníky
Pitva Perigalu je dalším kouskem skládačky důkazů.
// Rýže. 35. Pitva Perigalu
Existuje také důkaz věty pomocí skládání čtverců v rovině. Možná tak objevili tuto větu Pythagorejci nebo jejich neznámí předchůdci. Když se podíváte na to, jak šikmý čtverec překrývá další dva čtverce, uvidíte, jak velký čtverec rozřezat na kusy a pak je složit na dva menší čtverce. Lze také vidět pravoúhlé trojúhelníky, jehož strany udávají rozměry tří zúčastněných čtverců.
// Rýže. 36. Důkaz dlažbou
Existují zajímavé důkazy pomocí podobných trojúhelníků v trigonometrii. Je známo nejméně padesát různých důkazů.
Pythagorejská trojčata
V teorii čísel se Pythagorova věta stala zdrojem plodné myšlenky: najít celočíselná řešení algebraických rovnic. Pythagorejská trojice je množina celých čísel a, b a c takových, že
Geometricky taková trojice definuje pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými stranami.
Nejmenší přepona pythagorejské trojice je 5.
Další dvě strany tohoto trojúhelníku jsou 3 a 4. Zde
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Další největší přepona je 10, protože
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Jedná se však v podstatě o stejný trojúhelník se zdvojenými stranami. Další největší a skutečně odlišná přepona je 13, pro kterou
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklides věděl, že existuje nekonečné množství různých variací pythagorejských trojic, a dal něco, co by se dalo nazvat vzorcem, jak je všechny najít. Později nabídl Diophantus Alexandrijský jednoduchý recept, v podstatě stejný jako Euklidovský.
Vezměte libovolná dvě přirozená čísla a vypočítejte:
jejich dvojitý produkt;
rozdíl jejich čtverců;
součet jejich čtverců.
Výsledná tři čísla budou stranami Pythagorova trojúhelníku.
Vezměte si například čísla 2 a 1. Vypočítejte:
dvojitý součin: 2 × 2 × 1 = 4;
rozdíl čtverců: 22 - 12 = 3;
součet čtverců: 22 + 12 = 5,
a dostali jsme slavný trojúhelník 3-4-5. Pokud místo toho vezmeme čísla 3 a 2, dostaneme:
dvojitý součin: 2 × 3 × 2 = 12;
rozdíl čtverců: 32 - 22 = 5;
součet čtverců: 32 + 22 = 13,
a dostaneme další slavný trojúhelník 5 - 12 - 13. Zkusme vzít čísla 42 a 23 a dostaneme:
dvojitý produkt: 2 × 42 × 23 = 1932;
rozdíl čtverců: 422 - 232 = 1235;
součet čtverců: 422 + 232 = 2293,
nikdo nikdy neslyšel o trojúhelníku 1235-1932-2293.
Ale fungují i tato čísla:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
V diofanském pravidle je ještě jedna vlastnost, která již byla naznačena: po obdržení tří čísel můžeme vzít další libovolné číslo a všechna je jím vynásobit. Trojúhelník 3-4-5 lze tedy změnit na trojúhelník 6-8-10 vynásobením všech stran 2 nebo na trojúhelník 15-20-25 vynásobením všeho 5.
Přejdeme-li do jazyka algebry, má pravidlo následující podobu: nechť u, v a k jsou přirozená čísla. Pak pravoúhlý trojúhelník se stranami
2kuv ak (u2 - v2) má přeponu
Existují i jiné způsoby, jak prezentovat hlavní myšlenku, ale všechny se scvrkají na výše popsaný. Tato metoda vám umožňuje získat všechny pythagorejské trojky.
Pravidelné mnohostěny
Pravidelných mnohostěnů je přesně pět. Pravidelný mnohostěn (neboli mnohostěn) je trojrozměrný obrazec s konečným počtem plochých ploch. Fazety se vzájemně sbíhají na liniích zvaných hrany; hrany se setkávají v bodech zvaných vrcholy.
Vyvrcholením euklidovských „počátků“ je důkaz, že může existovat pouze pět pravidelných mnohostěnů, tedy mnohostěnů, ve kterých je každá tvář pravidelný mnohoúhelník (rovné strany, stejné úhly), všechny plochy jsou totožné a všechny vrcholy jsou obklopeny stejný počet rovnoměrně rozmístěné okraje. Zde je pět pravidelných mnohostěnů:
čtyřstěn se čtyřmi trojúhelníkovými plochami, čtyřmi vrcholy a šesti hranami;
krychle nebo šestistěn se 6 čtvercovými plochami, 8 vrcholy a 12 hranami;
osmistěn s 8 trojúhelníkovými plochami, 6 vrcholy a 12 hranami;
dvanáctistěn s 12 pětiúhelníkovými plochami, 20 vrcholy a 30 hranami;
dvacetistěn s 20 trojúhelníkovými plochami, 12 vrcholy a 30 hranami.
// Rýže. 37. Pět pravidelných mnohostěnů
Pravidelné mnohostěny lze nalézt i v přírodě. V roce 1904 publikoval Ernst Haeckel kresby drobných organismů známých jako radiolariáni; mnoho z nich má tvar stejných pěti pravidelných mnohostěnů. Možná ale trochu poopravil přírodu a kresby tak úplně neodrážejí tvar konkrétních živých bytostí. První tři struktury jsou také pozorovány v krystalech. V krystalech nenajdete dvanáctistěn a dvacetistěn, i když se tam občas vyskytují nepravidelné dvanáctistěny a dvacetistěny. Skutečné dvanáctistěny se mohou jevit jako kvazikrystaly, které jsou ve všech směrech podobné krystalům, až na to, že jejich atomy netvoří periodickou mřížku.
// Rýže. 38. Haeckelovy kresby: radiolariáni ve formě pravidelných mnohostěnů
// Rýže. 39. Vývoj pravidelných mnohostěnů
Může být zajímavé vyrobit modely pravidelných mnohostěnů z papíru tak, že nejprve vystřihnete sadu vzájemně propojených ploch – tomu se říká zametání mnohostěnu; sken se přehne podél okrajů a odpovídající okraje se slepí dohromady. Je užitečné přidat další oblast pro lepidlo na jeden z okrajů každého takového páru, jak je znázorněno na obr. 39. Pokud taková platforma neexistuje, můžete použít lepicí pásku.
Rovnice pátého stupně
Pro řešení rovnic 5. stupně neexistuje žádný algebraický vzorec.
V obecný pohled Pátá rovnice vypadá takto:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Problém je najít vzorec pro řešení takové rovnice (může mít až pět řešení). Zkušenosti s kvadratickými a kubickými rovnicemi i s rovnicemi čtvrtého stupně naznačují, že takový vzorec by měl existovat i pro rovnice pátého stupně a teoreticky by se v něm měly objevit kořeny pátého, třetího a druhého stupně. Opět lze bezpečně předpokládat, že takový vzorec, pokud existuje, se ukáže jako velmi, velmi složitý.
Tento předpoklad se nakonec ukázal jako mylný. Ve skutečnosti žádný takový vzorec neexistuje; alespoň neexistuje vzorec skládající se z koeficientů a, b, c, d, e a f, složený pomocí sčítání, odčítání, násobení a dělení, stejně jako odmocňování. Na čísle 5 je tedy něco velmi zvláštního. Důvody tohoto neobvyklého chování pětice jsou velmi hluboké a trvalo hodně času, než je odhalit.
První známkou problému bylo, že bez ohledu na to, jak moc se matematici snažili najít takový vzorec, bez ohledu na to, jak byli chytří, vždy selhali. Nějakou dobu všichni věřili, že důvody spočívají v neuvěřitelné složitosti vzorce. Věřilo se, že této algebře prostě nikdo nemůže správně porozumět. Postupem času však někteří matematici začali pochybovat, že takový vzorec vůbec existuje, a Niels Hendrik Abel dokázal v roce 1823 prokázat opak. Žádný takový vzorec neexistuje. Krátce nato Évariste Galois našel způsob, jak určit, zda rovnice jednoho nebo druhého stupně – 5., 6., 7., obecně jakákoli – je řešitelná pomocí tohoto druhu vzorce.
Závěr z toho všeho je jednoduchý: číslo 5 je speciální. Můžete se rozhodnout algebraické rovnice(pomocí kořenů n-tý stupeň Pro různé významy n) pro stupně 1, 2, 3 a 4, nikoli však pro 5. stupeň. Zde zřejmý vzorec končí.
Nikoho nepřekvapí, že rovnice mocnin větších než 5 se chovají ještě hůř; zejména je s nimi spojena stejná obtíž: pro jejich řešení neexistují obecné vzorce. To neznamená, že rovnice nemají řešení; neznamená to také, že je nemožné najít velmi přesné číselné hodnoty těchto řešení. Je to všechno o omezeních tradičních nástrojů algebry. To připomíná nemožnost třísekat úhel pomocí pravítka a kružítka. Existuje odpověď, ale uvedené metody nejsou dostatečné a neumožňují určit, co to je.
Krystalografické omezení
Krystaly ve dvou a třech rozměrech nemají 5-paprskovou rotační symetrii.
Atomy v krystalu tvoří mřížku, tedy strukturu, která se periodicky opakuje v několika nezávislých směrech. Například vzor na tapetě se opakuje po délce role; navíc se obvykle opakuje ve vodorovném směru, někdy s posunem z jednoho kusu tapety na druhý. Tapeta je v podstatě dvourozměrný krystal.
V letadle je 17 druhů tapet (viz kapitola 17). Liší se v typech symetrie, tedy ve způsobech tuhého posunutí vzoru tak, aby ležel přesně na sobě ve své původní poloze. Mezi typy symetrie patří zejména různé varianty rotační symetrie, kdy má být vzor pootočen o určitý úhel kolem určitého bodu - středu symetrie.
Pořadí symetrie rotace je, kolikrát můžete otočit tělo do úplného kruhu, aby se všechny detaily obrázku vrátily do původní polohy. Například otočení o 90° je rotační symetrie 4. řádu*. Výčet možných typů rotační symetrie v krystalové mřížce opět poukazuje na neobvyklost čísla 5: není tam. Existují varianty s rotační symetrií 2., 3., 4. a 6. řádu, ale žádný vzor tapety nemá rotační symetrii 5. řádu. V krystalech také neexistuje žádná rotační symetrie řádu větší než 6, ale k prvnímu porušení sekvence stále dochází u čísla 5.
Totéž se děje s krystalografickými systémy v trojrozměrném prostoru. Zde se mřížka opakuje ve třech nezávislých směrech. Existuje 219 různých typů symetrie nebo 230, pokud zrcadlový odraz vzoru považujeme za jeho samostatnou verzi - navíc v tomto případě žádná zrcadlová symetrie neexistuje. Opět jsou pozorovány rotační symetrie řádů 2, 3, 4 a 6, ale ne 5. Tato skutečnost se nazývá krystalografické omezení.
Ve čtyřrozměrném prostoru existují mřížky se symetrií 5. řádu; obecně platí, že pro mříže dostatečně velkých rozměrů je možné jakékoli předem stanovené pořadí rotační symetrie.
// Rýže. 40. Krystalová mřížka kuchyňské soli. Tmavé kuličky představují atomy sodíku, světlé kuličky atomy chloru.
Kvazikrystaly
Zatímco rotační symetrie 5. řádu není možná ve 2D a 3D mřížkách, může existovat v o něco méně pravidelných strukturách známých jako kvazikrystaly. Pomocí Keplerova náčrtů objevil Roger Penrose ploché systémy s obecnějším typem pětinásobné symetrie. Říká se jim kvazikrystaly.
Kvazikrystaly existují v přírodě. V roce 1984 Daniel Shechtman objevil, že slitina hliníku a manganu může tvořit kvazikrystaly; zpočátku krystalografové vítali jeho zprávu s jistou skepsí, ale později byl objev potvrzen a v roce 2011 byl Shekhtman oceněn Nobelova cena v chemii. V roce 2009 tým vědců pod vedením Lucy Bindiho objevil kvazikrystaly v minerálu z ruské Korjakské vysočiny – sloučeninu hliníku, mědi a železa. Dnes se tento minerál nazývá ikosahedrit. Měřením obsahu různých izotopů kyslíku v minerálu pomocí hmotnostního spektrometru vědci ukázali, že tento minerál nepochází ze Země. Vznikla asi před 4,5 miliardami let, v době, kdy Sluneční Soustava byla v plenkách a většinu času strávila v pásu asteroidů obíhajících kolem Slunce, dokud nějaká porucha nezměnila její dráhu a nakonec ji nepřivedla na Zemi.
// Rýže. 41. Vlevo: jedna ze dvou kvazikrystalických mřížek s přesnou pětinásobnou symetrií. Vpravo: Atomový model dvacetistěnného kvazikrystalu hliník-palladium-mangan
Důležitým příkladem diofantické rovnice je Pythagorova věta, která dává do souvislosti délky x a y ramen pravoúhlého trojúhelníku s délkou z jeho přepony:
Samozřejmě jste narazili na jedno z úžasných řešení této rovnice v přirozených číslech, totiž na pythagorejskou trojici čísel x=3, y=4, z=5. Jsou ještě nějaká další trojčata?
Ukazuje se, že pythagorejských trojic je nekonečně mnoho a všechny byly nalezeny už dávno. Lze je získat známými vzorci, o kterých se dozvíte z tohoto odstavce.
Pokud již byly vyřešeny diofantické rovnice prvního a druhého stupně, pak je otázka řešení rovnic více vysoké stupně zůstává stále otevřená, navzdory úsilí největších matematiků. V současnosti je například známá Fermatova domněnka, že pro jakoukoli celočíselnou hodnotu n2 rovnice
nemá řešení v celých číslech.
Pro řešení určitých typů diofantických rovnic, tzv komplexní čísla. co to je? Nechť písmeno i označuje nějaký předmět, který splňuje podmínku i 2 \u003d -1(je jasné, že žádné reálné číslo tuto podmínku nesplňuje). Zvažte výrazy formuláře α+iβ, kde α a β jsou reálná čísla. Takové výrazy se budou nazývat komplexními čísly, protože nad nimi byly definovány operace sčítání a násobení, stejně jako nad binomy, ale s jediným rozdílem, že výraz já 2 všude nahradíme číslo -1:
7.1. Mnoho z těch tří
Dokažte, že pokud x0, y0, z0- Pythagorejský trojnásobek, pak trojnásobek y0, x 0, z 0 A x 0 k, y 0 k, z 0 k pro jakoukoli hodnotu přirozeného parametru k jsou také pythagorejské.
7.2. Soukromé vzorce
Zkontrolujte, zda se jedná o přírodní hodnoty m>n trojice tvaru
je pythagorejský. Je to nějaká pythagorejská trojka? x, y, z mohou být reprezentovány v této podobě, pokud dovolíte přeskupit čísla x a y v trojici?
7.3. Neredukovatelné triplety
Pythagorejská trojice čísel, která nemají společného dělitele většího než 1, budeme nazývat neredukovatelná. Dokažte, že pythagorejská trojice je neredukovatelná pouze tehdy, jsou-li kterákoli dvě čísla v trojici koprimá.
7.4. Vlastnost neredukovatelných trojic
Dokažte, že v libovolné ireducibilní pythagorejské trojici x, y, z je číslo z a právě jedno z čísel x nebo y liché.
7.5. Všechny neredukovatelné trojice
Dokažte, že trojice čísel x, y, z je neredukovatelná pythagorejská trojice právě tehdy, když se shoduje s trojicí až do řádu prvních dvou čísel 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Kde m>n- koprimovaná přirozená čísla různé parity.
7.6. Obecné vzorce
Dokažte, že všechna řešení rovnice
v přirozených číslech jsou dány vzorcem až do řádu neznámých x a y
kde m>n a k jsou přirozené parametry (k zamezení duplikace nějakých trojic stačí zvolit čísla typu coprime a navíc různé parity).
7.7. Prvních 10 trojčat
Najděte všechny pythagorejské trojky x, y, z splnění podmínky X
7.8. Vlastnosti pythagorejských tripletů
Dokažte to pro jakoukoli pythagorejskou trojku x, y, z výroky jsou pravdivé:
a) alespoň jedno z čísel x nebo y je násobkem 3;
b) alespoň jedno z čísel x nebo y je násobkem 4;
c) alespoň jedno z čísel x, y nebo z je násobkem 5.
7.9. aplikace komplexní čísla
Modul komplexního čísla a + ip volalo nezáporné číslo
Zkontrolujte, zda v nich nejsou komplexní čísla a + ip A y + i5 majetek je exekuován
Pomocí vlastností komplexních čísel a jejich modulů dokažte, že libovolná dvě celá čísla m a n splňují rovnost
tj. dávají řešení rovnice
celá čísla (srovnej s problémem 7.5).
7.10. Nepythagorejské trojky
Pomocí vlastností komplexních čísel a jejich modulů (viz Úloha 7.9) najděte vzorce pro libovolná celočíselná řešení rovnice:
a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.
Řešení
7.1. Li x 0 2 + y 0 2 = z 0 2,Že y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, a pro jakoukoli přirozenou hodnotu k máme
Q.E.D.
7.2. Od rovnosti
dojdeme k závěru, že trojice uvedená v úloze rovnici vyhovuje x 2 + y 2 = z 2 v přirozených číslech. Ne každá pythagorejská trojka x, y, z mohou být zastoupeny v této formě; například trojice 9, 12, 15 je pythagorejská, ale číslo 15 nelze reprezentovat jako součet druhých mocnin libovolných dvou přirozených čísel m a n.
7.3. Pokud nějaká dvě čísla z pythagorejské trojky x, y, z mít společný dělitel d, pak to bude dělitel třetího čísla (takže v případě x = x 1 d, y = y 1 d my máme z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, odkud z 2 je dělitelné d 2 az je dělitelné d). Proto, aby byla pythagorejská trojice neredukovatelná, je nutné, aby jakákoli dvě čísla v trojici byla koprimá,
7.4. Všimněte si, že jedno z čísel x nebo y, řekněme x, neredukovatelné pythagorejské trojky x, y, z je liché, protože jinak by čísla x a y nebyla koprimá (viz problém 7.3). Pokud je druhé číslo y také liché, pak obě čísla
dejte zbytek 1 při dělení 4 a číslo z 2 \u003d x 2 + y 2 dává zbytek 2 při dělení 4, to znamená, že je dělitelný 2, ale není dělitelný 4, což nemůže být. Číslo y tedy musí být sudé a číslo z tedy musí být liché.
7.5. Ať se Pythagorejec ztrojnásobí x, y, z je ireducibilní a pro definitivnost je číslo x sudé, zatímco čísla y, z jsou lichá (viz Úloha 7.4). Pak
kde jsou čísla 
jsou celé. Dokažme, že čísla a a b jsou koprimá. Pokud by měli společného dělitele většího než 1, pak by čísla měla stejného dělitele z = a + b, y = a - b, tj. trojka by nebyla neredukovatelná (viz Úloha 7.3). Nyní, když čísla a a b rozšíříme na součin prvočísel, zjistíme, že do součinu musí být zahrnut jakýkoli prvočíselný faktor. 4ab = x2 jedině v sudý stupeň, a pokud je zahrnuto v rozšíření čísla a, pak se nezahrnuje do rozšíření čísla b a naopak. Proto je jakýkoli prvočinitel zahrnut do rozšíření čísla a nebo b samostatně pouze do sudého stupně, což znamená, že tato čísla sama o sobě jsou druhými mocninami celých čísel. Položme 
pak dostaneme rovnost
navíc přirozené parametry m>n jsou koprimé (kvůli koprimenosti čísel a a b) a mají různou paritu (kvůli lichému číslu z \u003d m2 + n2).
Nechť nyní přirozená čísla m>n různé parity jsou coprime. Pak trojka x \u003d 2mn,y\u003dm2-n2,z\u003dm2 + n2, podle úlohy 7.2, je pythagorejský. Dokažme, že je neredukovatelný. K tomu postačí zkontrolovat, zda čísla y a z nemají společné dělitele (viz Úloha 7.3). Ve skutečnosti jsou obě tato čísla lichá, protože typová čísla mají různé parity. Pokud mají čísla y a z nějakého jednoduchého společného dělitele (pak musí být lichý), pak každé z čísel a s nimi i každé z čísel m a n má stejného dělitele, což odporuje jejich vzájemné jednoduchosti.
7.6. Na základě tvrzení formulovaných v úlohách 7.1 a 7.2 tyto vzorce definují pouze pythagorejské trojice. Na druhou stranu jakákoli pythagorejská trojka x, y, z po její redukci největším společným dělitelem k se dvojice čísel x a y stává ireducibilní (viz Úloha 7.3), a proto může být reprezentována až do řádu čísel x a y ve tvaru popsaném v Úloze 7.5. Proto je jakákoli pythagorejská trojice dána uvedenými vzorci pro některé hodnoty parametrů.
7.7. Z nerovnosti z a vzorců úlohy 7.6 získáme odhad m 2 tj. m≤5. Za předpokladu m = 2, n = 1 A k = 1, 2, 3, 4, 5, dostaneme trojčata 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Za předpokladu m=3, n=2 A k = 1, 2, dostaneme trojčata 5, 12, 13; 10, 24, 26. Za předpokladu m = 4, n = 1, 3 A k = 1, dostaneme trojčata 8, 15, 17; 7, 24, 25. Konečně, za předpokladu m=5, n=2 A k = 1, dostaneme tři 20, 21, 29.
Pohodlná a velmi přesná metoda, kterou používají zeměměřiči ke kreslení kolmých čar na zemi, je následující. Nechť je požadováno nakreslit kolmici k přímce MN bodem A (obr. 13). Vydejte se z A ve směru do AM třikrát na vzdálenost a. Poté se na šňůře uvážou tři uzly, jejichž vzdálenosti jsou 4a a 5a. Připevněním krajních uzlů k bodům A a B přetáhněte šňůrku přes prostřední uzel. Šňůra bude umístěna v trojúhelníku, ve kterém je úhel A pravý.
Tato prastará metoda, zjevně používaná před tisíci lety staviteli egyptské pyramidy, je založen na skutečnosti, že každý trojúhelník, jehož strany spolu souvisí jako 3:4:5, podle známé Pythagorovy věty, je pravoúhlý, neboť
3 2 + 4 2 = 5 2 .
Kromě čísel 3, 4, 5 existuje, jak známo, nesčetná množina kladných celých čísel a, b, c, splňujících vztah
A 2 + b 2 \u003d c 2.
Říká se jim pythagorejská čísla. Podle Pythagorovy věty mohou taková čísla sloužit jako délky stran nějakého pravoúhlého trojúhelníku; proto se a a b nazývají „nohy“ a c se nazývá „hypotenza“.
Je jasné, že pokud a, b, c je trojice pythagorejských čísel, pak pa, pb, pc, kde p je celočíselný faktor, jsou pythagorejská čísla. A naopak, pokud mají pythagorejská čísla společný faktor, pak je tímto společným faktorem můžete všechna zmenšit a opět získáte trojnásobek pythagorejských čísel. Proto budeme nejprve studovat pouze trojice koprimárních pythagorejských čísel (zbytek z nich získáme vynásobením celočíselným faktorem p).
Ukažme, že v každé z takových trojic a, b, c musí být jedna z „noh“ sudá a druhá lichá. Argumentujme „naopak“. Jsou-li obě "nohy" a a b sudé, pak číslo a 2 + b 2 bude sudé, a tedy "hypotenza". To je však v rozporu s tím, že čísla a, b, c nemají společné činitele, neboť tři sudá čísla mají společný činitel 2. Alespoň jedna z „noh“ a, b je tedy lichá.
Zbývá ještě jedna možnost: obě „nohy“ jsou liché a „hypotenuze“ je sudá. Je snadné dokázat, že tomu tak není. Opravdu, pokud "nohy" mají formu
2x + 1 a 2 roky + 1,
pak součet jejich čtverců je
4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,
tj. je to číslo, které po dělení 4 dává zbytek 2. Mezitím musí být druhá mocnina libovolného sudého čísla dělitelná 4 beze zbytku. Takže součet druhých mocnin dvou lichých čísel nemůže být druhou mocninou sudého čísla; jinými slovy, naše tři čísla nejsou pythagorejská.
Takže z "nohy" a, b je jedna sudá a druhá lichá. Proto je číslo a 2 + b 2 liché, což znamená, že "hypotenza" c je také lichá.
Pro jistotu předpokládejme, že lichá je „noha“ a a sudá b. Od rovnosti
a 2 + b 2 = c 2
snadno získáme:
A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).
Faktory c + b a c - b na pravé straně jsou koprimové. Pokud by tato čísla měla společný prvočinitel jiný než jedna, pak by součet byl také dělitelný tímto činitelem.
(c + b) + (c - b) = 2c,
a rozdíl
(c + b) - (c - b) = 2b,
a práce
(c + b) (c - b) \u003d a 2,
tj. čísla 2c, 2b a a by měla společný činitel. Protože a je liché, je tento součinitel odlišný od dvojky, a proto čísla a, b, c mají stejný společný součinitel, který však být nemůže. Výsledný rozpor ukazuje, že čísla c + b a c - b jsou koprimá.
Ale pokud je součin prvočísel přesný čtverec, pak každé z nich je čtverec, tzn.
Při řešení tohoto systému zjistíme:
C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 a 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.
Takže uvažovaná pythagorejská čísla mají tvar
A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.
kde m a n jsou nějaká koprimá lichá čísla. Čtenář si může snadno ověřit opak: pro jakýkoli lichý typ dávají psané vzorce tři pythagorejská čísla a, b, c.
Zde jsou některé trojice pythagorejských čísel získaných s různými typy:
Při m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 při m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 při m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 při m = 9, n2, 1 4 = 1 = 1 1 11 2 + 60 2 = 61 2 při m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 při m = 5, n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 při m = 7, n = 3 20 1 2 + 2 = 2 = 2 2, 3 2 = 2 2 = 2 + 56 2 = 6 5 2 při m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 při m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 při m = 9, n = 5 45 2 + 5 28 2 = 4 m = 5 2 5 1 = 1 2 = 73 2 při m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 pro m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 pro m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85
(Všechny ostatní trojice pythagorejských čísel mají buď společné faktory, nebo obsahují čísla větší než sto.)
"Regionální centrum vzdělávání"
Metodický vývoj
Použití pythagorejských trojic při řešení
geometrické úlohy a goniometrické úlohy USE
Kaluga, 2016
I. Úvod
Pythagorova věta je jednou z hlavních a dalo by se říci i nejdůležitější věty geometrie. Jeho význam spočívá v tom, že z něj nebo s jeho pomocí lze odvodit většinu geometrických vět. Pythagorova věta je pozoruhodná také tím, že sama o sobě není vůbec samozřejmá. Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku jsou například vidět přímo na výkresu. Ale bez ohledu na to, jak se díváte na pravoúhlý trojúhelník, nikdy neuvidíte, že mezi jeho stranami existuje tak jednoduchý poměr: a2+b2=c2. Nebyl to však Pythagoras, kdo objevil větu, která nese jeho jméno. Vědělo se to i dříve, ale snad jen jako fakt odvozený z měření. Pythagoras to pravděpodobně věděl, ale našel důkaz.
Přirozených čísel je nekonečně mnoho a, b, c, uspokojující vztah a2+b2=c2.. Říká se jim pythagorejská čísla. Podle Pythagorovy věty mohou taková čísla sloužit jako délky stran nějakého pravoúhlého trojúhelníku – budeme jim říkat Pythagorovy trojúhelníky.
Cíl práce: studovat možnost a efektivitu využití pythagorejských trojic pro řešení problémů školní kurz matematika, USE úkoly.
Na základě účelu práce následující úkoly:
Studovat historii a klasifikaci pythagorejských trojic. Analyzujte úlohy pomocí pythagorejských trojic, které jsou dostupné ve školních učebnicích a nacházejí se v kontrolních a měřících materiálech zkoušky. Zhodnoťte efektivitu použití pythagorejských trojic a jejich vlastnosti pro řešení problémů.
Předmět studia: Pythagorejské trojice čísel.
Předmět studia: úlohy školního kurzu trigonometrie a geometrie, ve kterém se používají pythagorejské trojice.
Relevance výzkumu. Pythagorejské trojice se často používají v geometrii a trigonometrii, jejich znalost odstraní chyby ve výpočtech a ušetří čas.
II. Hlavní část. Řešení úloh pomocí pythagorejských trojic.
2.1. Tabulka trojic pythagorejských čísel (podle Perelmana)
Pythagorejská čísla mají tvar A= m n, , kde m a n jsou nějaká lichá čísla s prvočíslem.
Pythagorejská čísla mají řadu zajímavých funkcí:
Jedna z „noh“ musí být násobkem tří.
Jedna z „noh“ musí být násobkem čtyř.
Jedno z pythagorejských čísel musí být násobkem pěti.
Kniha „Zábavná algebra“ obsahuje tabulku pythagorejských trojic obsahující čísla do sta, která nemají společné činitele.
32+42=52 |
||
52+122=132 |
||
72+242=252 |
||
92+402=412 |
||
112+602=612 |
||
132+842=852 |
||
152+82=172 |
||
212 +202=292 |
||
332+562=652 |
||
392+802=892 |
||
352+122=372 |
||
452+282=532 |
||
552+482=732 |
||
652+722=972 |
||
632+162=652 |
||
772+362=852 |
2.2. Shustrova klasifikace pythagorejských trojic.
Shustrov objevil následující vzorec: pokud jsou všechny pythagorejské trojúhelníky rozděleny do skupin, pak pro lichou větev x, sudou y a přeponu z platí následující vzorce:
x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-l); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, kde N je číslo rodiny a n je pořadové číslo trojúhelníku v rodině.
Nahrazením všech kladných celých čísel ve vzorci místo N an n od jedničky můžete získat všechny hlavní pythagorejské trojice čísel i násobky určitého typu. Můžete vytvořit tabulku všech pythagorejských trojic pro každou rodinu.
2.3. Úlohy z planimetrie
Podívejme se na problémy z různých učebnic geometrie a zjistěme, jak často se v těchto úlohách vyskytují pythagorejské trojice. Triviální problémy hledání třetího prvku v tabulce pythagorejských trojic nebudeme uvažovat, i když se s nimi také v učebnicích najdeme. Ukažme si, jak zredukovat řešení problému, jehož data nejsou vyjádřena přirozená čísla, k pythagorejským trojkám.
Zvažte úkoly z učebnice geometrie pro ročníky 7-9.
№ 000. Najděte přeponu pravoúhlého trojúhelníku A=, b=.
Řešení. Vynásobte délky nohou 7, dostaneme dva prvky z pythagorejské trojice 3 a 4. Chybějící prvek je 5, který vydělíme 7. Odpověď.
№ 000. V obdélníku ABCD najděte BC, pokud CD=1,5, AC=2,5.
https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">
Řešení. Pojďme vyřešit pravoúhlý trojúhelník ACD. Délky vynásobíme 2, dostaneme dva prvky z pythagorejské trojice 3 a 5, chybějící prvek je 4, který vydělíme 2. Odpověď: 2.
Při řešení dalšího čísla zkontrolujte poměr a2+b2=c2 je zcela volitelné, stačí použít pythagorejská čísla a jejich vlastnosti.
№ 000. Zjistěte, zda je trojúhelník pravoúhlý, pokud jsou jeho strany vyjádřeny čísly:
a) 6,8,10 (pythagorejská trojka 3,4,5) - ano;
Jedna z větví pravoúhlého trojúhelníku musí být dělitelná 4. Odpověď: ne.
c) 9,12,15 (pythagorejská trojka 3,4,5) - ano;
d) 10,24,26 (pythagorejská trojka 5,12,13) - ano;
Jedno z pythagorejských čísel musí být násobkem pěti. Odpověď: ne.
g) 15, 20, 25 (pythagorejská trojka 3,4,5) - ano.
Z třiceti devíti úloh v této části (Pythagorova věta) je dvacet dva řešeno ústně pomocí Pythagorových čísel a znalosti jejich vlastností.
Zvažte problém #000 (ze sekce "Další úkoly"):
Najděte obsah čtyřúhelníku ABCD kde AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.
Úkolem je zkontrolovat poměr a2+b2=c2 a dokažte, že daný čtyřúhelník se skládá ze dvou pravoúhlých trojúhelníků (inverzní věta). A znalost pythagorejských trojic: 3, 4, 5 a 5, 12, 13 eliminuje potřebu výpočtů.
Uveďme řešení několika problémů z učebnice geometrie pro ročníky 7-9.
Úloha 156 (h). Nohy pravoúhlého trojúhelníku jsou 9 a 40. Najděte medián nakreslený k přeponě.
Řešení . Medián tažený k přeponě se rovná jeho polovině. Pythagorova trojice je 9,40 a 41. Medián je tedy 20,5.
Problém 156 (i). Strany trojúhelníku jsou: A= 13 cm, b= 20 cm a výška hс = 12 cm Najděte základnu S.
úkol ( Jednotná státní zkouška KIMS). Najděte poloměr kružnice vepsané do ostroúhlého trojúhelníku ABC, je-li výška BH 12 a je známo, že hřích A=,sin C \u003d vlevo "\u003e 
Řešení.Řešíme pravoúhlé ∆ ASC: sin A=, BH=12, tedy AB=13,AK=5 (Pythagorova trojice 5,12,13). Řešíme obdélníkový ∆ BCH: BH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagorova trojice 3,4,5). Poloměr najdeme pomocí vzorce. r. ===4 Odpověď r. ==
2.4. Pythagorejské trojice v trigonometrii
Hlavní trigonometrická identita– speciální případ Pythagorovy věty: sin2a + cos2a = 1; (a/c)2 + (b/c)2=1. Proto se některé goniometrické úlohy snadno řeší ústně pomocí pythagorejských trojic.
Úlohy, ve kterých je nutné najít hodnoty zbytku podle zadané hodnoty funkce goniometrické funkce, lze vyřešit bez odmocnění a převzetí odmocniny. Všechny úlohy tohoto typu ve školní učebnici algebry (10-11) Mordkovich (č. 000-č. 000) lze řešit ústně se znalostí pouze několika pythagorejských trojic: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Uvažujme o řešení dvou úloh.
č. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.
Řešení. Pythagorejská trojice: 3, 4, 5. Proto cos t = -3/5; tg t = -4/3,
č. 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.
Řešení. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pythagorejská trojka 5,12,13. Vzhledem k znaménkům dostáváme sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.
3. Kontrolní a měřící materiály zkoušky
a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)
b) hřích (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)
c) tg (arcsin 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)
d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)
e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1
e) zkontrolovat platnost rovnosti:
arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.
Řešení. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2
arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65
hřích (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = hřích (arccos 16/65)
sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65
4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65
III. Závěr
V geometrických úlohách se často musí řešit pravoúhlé trojúhelníky, někdy i vícekrát. Po rozboru úkolů školních učebnic a POUŽÍVEJTE materiály, můžeme usoudit, že se používají hlavně trojky: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; které jsou snadno zapamatovatelné. Při řešení některých goniometrických úloh se používá klasické řešení trigonometrické vzorce A velké množství výpočty zaberou čas a znalost pythagorejských trojic odstraní chyby ve výpočtech a ušetří čas na řešení složitějších problémů u zkoušky.
Bibliografický seznam
1. Algebra a počátky analýzy. 10-11 tříd. Ve 2 hod. Část 2. Sešit pro vzdělávací instituce / [a další]; vyd. . - 8. vydání, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : nemocný.
2. Perelmanova algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 s.
3. Roganovský: Proc. Pro 7-9 článků. s hlubokým studium matematiky všeobecně vzdělávací. škola z ruštiny lang. učení, - 3. vyd. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: ill.
4. Matematika: Čítanka o historii, metodice, didaktice. / Comp. . - M.: Nakladatelství URAO, 2001. - 384 s.
5. Časopis "Matematika ve škole" č. 1, 1965.
6. Kontrolní a měřící materiály zkoušky.
7. Geometrie, 7-9: Proc. pro vzdělávací instituce / atd. - 13. vyd. - M .: Vzdělávání, 2003. – 384 str. : nemocný.
8. Geometrie: Proc. pro 10-11 buněk. prům. škola / atd. - 2. vyd. - M .: Vzdělávání, 1993, - 207 s.: nemoc.
Perelmanova algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 s.
Časopis "Matematika ve škole" č. 1, 1965.
Geometrie, 7-9: Proc. pro vzdělávací instituce / atd. - 13. vyd. - M .: Vzdělávání, 2003. – 384 str. : nemocný.
Roganovský: Proc. Pro 7-9 článků. s hlubokým studium matematiky všeobecně vzdělávací. škola z ruštiny lang. učení, - 3. vyd. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: ill.
Algebra a počátky analýzy. 10-11 tříd. Ve 2 hod. Část 2. Sešit pro vzdělávací instituce / [a další]; vyd. . - 8. vydání, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : nemoc, str. 18.
Belotelov V.A. Pythagorejské trojky a jejich počet // Encyklopedie Nesterovů
Tento článek je odpovědí jednomu profesorovi – pinčovi. Podívejte se, profesore, jak to dělají v naší vesnici.
Oblast Nižnij Novgorod, Zavolzhye.
Vyžaduje se znalost algoritmu pro řešení diofantických rovnic (ADDE) a znalost polynomiálních průběhů.
IF je prvočíslo.
MF je složené číslo.
Nechť existuje liché číslo N. Pro jakékoli liché číslo, kromě jednoho, můžete napsat rovnici.
p 2 + N \u003d q 2,
kde р + q = N, q – р = 1.
Například pro čísla 21 a 23 by rovnice byly, -
10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .
Je-li N prvočíslo, je tato rovnice jedinečná. Pokud je číslo N složené, pak je možné sestavit podobné rovnice pro počet dvojic faktorů reprezentujících toto číslo, včetně 1 x N.
Vezměme číslo N = 45, -
1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.
Snil jsem, ale je možné, lpění na tomto rozdílu mezi IF a MF, najít způsob jejich identifikace.
Představme si notaci;
Změňme spodní rovnici, -
N \u003d na 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).
Seskupme hodnoty N podle kritéria v - a, tzn. uděláme stůl.
Čísla N byla shrnuta do matice, -
Právě kvůli této úloze jsem se musel vypořádat s posloupnostmi polynomů a jejich maticemi. Všechno se ukázalo být marné - obrana PCh je silně držena. Zadejme sloupec do tabulky 1, kde v - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).
Ještě jednou. Tabulka 2 byla získána jako výsledek pokusu vyřešit problém identifikace IF a MF. Z tabulky vyplývá, že pro libovolné číslo N existuje tolik rovnic ve tvaru a 2 + N \u003d ve 2, na kolik párů faktorů lze číslo N rozdělit, včetně faktoru 1 x N. Kromě čísel N \u003d ℓ 2, kde
ℓ - FC. Pro N = ℓ 2, kde ℓ je IF, existuje jedinečná rovnice p 2 + N = q 2 . O jakém dalším důkazu můžeme mluvit, když tabulka uvádí menší faktory z dvojic faktorů tvořících N, od jedné do ∞. Stůl 2 umístíme do truhly a truhlu schováme do skříně.
Vraťme se k tématu uvedenému v nadpisu článku.
Tento článek je odpovědí jednomu profesorovi – pinčovi.
Požádal jsem o pomoc - potřeboval jsem řadu čísel, které jsem nemohl najít na internetu. Narazil jsem na otázky typu: - "k čemu?", "Ale ukažte mi metodu." Zejména byla otázka, zda je řada pythagorejských trojic nekonečná, „jak to dokázat?“. Nepomohl mi. Podívejte se, profesore, jak to dělají v naší vesnici.
Vezměme si vzorec pythagorejských trojic, -
x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)
Pojďme projít ARDU.
Jsou možné tři situace:
I. x je liché číslo,
y je sudé číslo
z je sudé číslo.
A existuje podmínka x > y > z.
II. x je liché číslo
y je sudé číslo
z je liché číslo.
x > z > y.
III.x - sudé číslo,
y je liché číslo
z je liché číslo.
x > y > z.
Začněme s I.
Zavedeme nové proměnné
Dosaďte do rovnice (1).
Zrušme menší proměnnou 2γ.
(2a - 2y + 2k + 1) 2 = (2p - 2y + 2k) 2 + (2k + 1)2.
Zmenšeme proměnnou 2β – 2γ na menší při současném zavedení nového parametru ƒ, -
(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)
Potom 2α - 2p = x - y - 1.
Rovnice (2) bude mít tvar –
(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2
Srovnáme to -
(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,
(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)
ARDU dává prostřednictvím parametrů vztah mezi nadřazenými členy rovnice, takže jsme dostali rovnici (3).
Není solidní zabývat se výběrem řešení. Ale za prvé není kam jít a za druhé je potřeba několik těchto řešení a můžeme obnovit nekonečné množství řešení.
Pro ƒ = 1, k = 1 máme x – y = 1.
Při ƒ = 12, k = 16 máme x - y = 9.
Když ƒ = 4, k = 32, máme x - y = 25.
Můžete to sbírat dlouho, ale nakonec série bude mít podobu -
x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....
Zvažte možnost II.
Zaveďme nové proměnné do rovnice (1)
(2a + 2k + 1) 2 = (2p + 2k) 2 + (2y + 2k + 1)2.
Snížíme o menší proměnnou 2 β, -
(2a - 2p + 2k + 1)2 = (2a - 2p + 2k+1)2 + (2k)2.
Zmenšíme o menší proměnnou 2α – 2β, –
(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k)2. (4)
2α - 2γ = x - z a dosaďte do rovnice (4).
(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2
(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 \u003d (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (2k) 2 0 \ (0 k) 2 0 \ (0 k) 2 0 -
Když ƒ = 3, k = 4, máme x - z = 2.
Při ƒ = 8, k = 14 máme x - z = 8.
Při ƒ = 3, k = 24 máme x - z = 18.
x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....
Nakreslíme lichoběžník -
Napíšeme vzorec.
kde n=1, 2,...∞.
Případ III nebude popisován – neexistují zde žádná řešení.
Pro podmínku II bude sada trojic následující:
Rovnice (1) je pro názornost uvedena jako x 2 = z 2 + y 2 .
Pro podmínku I bude množina trojic následující:
Celkem je namalováno 9 sloupců trojic, v každém pět trojic. A každý z uvedených sloupců může být zapsán až do ∞.
Jako příklad uvažujme trojice posledního sloupce, kde x - y \u003d 81.
Pro hodnoty x napíšeme lichoběžník, -
Napíšeme vzorec
Pro hodnoty píšeme lichoběžník, -
Napíšeme vzorec
Pro hodnoty z píšeme lichoběžník, -
Napíšeme vzorec
Kde n = 1 ÷ ∞.
Jak jsme slíbili, řada trojic s x - y = 81 letí do ∞.
Pro případy I a II došlo k pokusu sestrojit matice pro x, y, z.
Vypište posledních pět sloupců x z horních řad a postavte lichoběžník.
Nefungovalo to a vzor by měl být kvadratický. Aby bylo vše v prolamovaném provedení, ukázalo se, že bylo nutné spojit sloupce I a II.
V případě II se veličiny y, z opět zamění.
Podařilo se nám sloučit z jednoho důvodu - karty se v tomto úkolu dobře hodí - měli jsme štěstí.
Nyní můžete psát matice pro x, y, z.
Vezmeme z posledních pěti sloupců hodnotu x z horních řádků a postavíme lichoběžník.
Všechno je v pořádku, můžete sestavit matice a začněme maticí pro z.
Běžím do skříně pro truhlu.
Celkem: Kromě jedné se na tvorbě pythagorejských trojic podílí každé liché číslo číselné osy stejným počtem dvojic faktorů tvořících toto číslo N, včetně faktoru 1 x N.
Číslo N \u003d ℓ 2, kde ℓ - IF, tvoří jednu pythagorejskou trojici, je-li ℓ MF, pak na faktorech ℓхℓ žádná trojka není.
Sestavme matice pro x, y.
Začněme maticí pro x. Abychom to udělali, zatáhneme za to souřadnicová mřížka z úkolu identifikace IF a MF.
Číslování svislých řádků je normalizováno výrazem
Odeberme první sloupec, protože
Matice bude mít tvar -
Popišme svislé řady, -
Popišme koeficienty v "a", -
Pojďme si popsat volné členy, -
Udělejme obecný vzorec pro "x", -
Pokud uděláme podobnou práci pro "y", dostaneme -
K tomuto výsledku můžete přistupovat z druhé strany.
Vezměme rovnici,
a 2 + N = v 2.
Pojďme to trochu změnit -
N \u003d za 2 - a 2.
Srovnáme to -
N 2 \u003d ve 4 - 2v 2 a 2 + a 4.
K levé a pravé straně rovnice přidejte velikost 4v 2 a 2, -
N 2 + 4v 2 a 2 \u003d ve 4 + 2v 2 a 2 + a 4.
A nakonec -
(v 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.
Pythagorejské trojice se skládají takto:
Uvažujme příklad s číslem N = 117.
1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.
Svislé sloupce tabulky 2 jsou očíslovány hodnotami v - a, zatímco svislé sloupce tabulky 3 jsou číslovány hodnotami x - y.
x – y \u003d (c – a) 2,
x \u003d y + (c - a) 2.
Udělejme tři rovnice.
(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,
(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,
(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.
x 1 = 6 845, y 1 = 6 844, z 1 = 117.
x2 = 765, y2 = 756, z2 = 117 (x2 = 85, y2 = 84, z2 = 13).
x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.
Faktory 3 a 39 nejsou relativně prvočísla, takže jedna trojka vyšla s faktorem 9.
Znázorněme výše napsané obecnými symboly, -
V této práci vše, včetně příkladu pro výpočet pythagorejských trojic s číslem
N = 117, vázáno na menší faktor v -a. Explicitní diskriminace ve vztahu k faktoru v + a. Napravme tuto nespravedlnost – sestavíme tři rovnice s faktorem v + a.
Vraťme se k otázce identifikace IF a MF.
V tomto směru se udělalo mnoho a dnes prošla rukama následující myšlenka – neexistuje žádná identifikační rovnice a neexistuje nic, co by určovalo faktory.
Předpokládejme, že jsme našli vztah F = a, b (N).
Existuje vzorec
Můžete se zbavit ve vzorci F zevnitř a dostanete homogenní rovnice n - tý stupeň vzhledem k a, tzn. F = a(N).
Pro jakýkoli stupeň n této rovnice existuje číslo N s m páry faktorů, pro m > n.
A v důsledku toho musí mít homogenní rovnice stupně n m kořenů.
Ano, to nemůže být.
V tomto příspěvku byla čísla N uvažována pro rovnici x 2 = y 2 + z 2, když jsou v rovnici v místě z. Když je N na místě x, je to další úkol.
S pozdravem Belotelov V.A.
