Ettevõtte kohta
Juhendi nimekiri Izofatova Nina Mitrofanovna - direktor

Kaliningradi Kaubandus- ja Majanduskolledži ajalugu on lehekülg piirkonna ajaloos, mida on kirjutatud alates 1946. aastast. Sellest ajast peale on kolledži lõpetanud üle 25 000 spetsialisti.

Alates 2004. aastast on kolledžist saanud Moskva keskkoolide arendamise instituudi eksperimentaalne platvorm kutseharidus teemal „Euroopa kogemuste levitamine täiskasvanute koolituskeskuste ja keskuste loomisel ja korraldamisel avatud haridus piirkonnas". Kümme aastat on ta olnud Venemaa Turundusassotsiatsiooni liige, omab sotsiaalse orientatsiooni kolledži staatust. Viimase määras piirkondlik administratsioon kolledžisse sotsiaalselt kaitsmata üliõpilaste, õpetajate, pensionäride, sõjaväelaste ja nende perekondade, töötavate õpetajate ja töötajate pidevaks toetamiseks.

Kaliningradi Kaubandus- ja Majanduskolledži üliõpilaste koolitamine toimub viies teaduskonnas: tehnoloogia ja teenindus, turundusjuhtimine, õigus, majandus ja raamatupidamine, mittetraditsioonilised õppevormid. Kolledži haridusvaldkonda kuulub kuusteist eriala. Nende hulka kuuluvad toiduvalmistamise tehnoloogia, toidukaubandus, kaubandus, juhtimine, turundus, juriidiline raamatupidamine, pangandus, hotellinduse juhtimine, rahandus, turism ja palju muud.

Keskus kolledžis karjäärinõustamine ja taotlejate ettevalmistamine. Mittetraditsiooniliste õppevormide teaduskonnas ei saa mitte ainult täiendada oma oskusi, vaid omandada ka töökohal uus eriala. Praegune avatud hariduskeskus on keskendunud enam kui kahekümnel erialal kutseõppe abistamisele. Siin saate täiendada oma oskusi, läbida ümberõppe. Meetodid on väga mitmekesised: ärimängud, koolitused, seminarid, õppused, avatud koosolekud, konverentsid, projektitöö Kõik see võimaldab kuulajatel pakutavat materjali nii palju kui võimalik omastada.

Koostöö Kaliningradiga riigiülikool, Kaliningradi osariik tehnikaülikool, Baltikumi riigiakadeemia võimaldab kolledžil koolitada spetsialiste, kelle teadmistest saab kapital ja peamine ressurss majandusareng piirkond. Selle suhtluse aastate jooksul kõrgharidus peal eriteaduskond lühendatud õppeperioodiga sai üle kahesaja lõpetaja. Kõik need on piirkonna majanduskompleksi poolt nõutud, paljud on jõudnud piirkonna ärikorpuse eliiti.

Kaliningradi Kaubandus- ja Majanduskolledž on loonud suhtluse ning teeb aktiivset koostööd Taani, Rootsi, Saksamaa, Poola ja Soomega. Meeskond osaleb rahvusvahelistel haridusprojektid. Nende temaatika on mitmekesine, see hõlmab selliseid olulisi teemasid nagu "Kaliningradi võimude abistamine väikese ja keskmise suurusega ettevõtete arendamisel", "Ohvitserite ja nende töötute pereliikmete abistamine tsiviilerialade omandamisel hilisemaks tööle asumiseks", "Õpetajate koolitamine". andragoogikas ja ettevõtlusõppe programmide väljatöötamisel". tegevus Kaliningradis" jms.

1999. aastal rahvusvahelise projekti raames tänu Lidia Ivanovna Motoljanetsi, direktori asetäitja pingutustele. akadeemiline töö- loodi imitatsioonifirma - reaalse kaubandusorganisatsiooni tegevust kajastav ettevõttemudel, tõhus spetsialiseeritud täiendõppe vorm väikeettevõtluse valdkonnas töötavatele töötajatele kõigil tasanditel.

Täielikult täidetakse kollektiivi missiooni – tagada ühiskonna vajadustele vastav haridus, mis aitab kaasa tervikliku inimese kujunemisele. Kaliningradi Kaubandus- ja Majanduskolledž tähendab professionaalsust, vastutustunnet ja prestiiži.

KTEK
Majanduse ja raamatupidamise PCC

15 eksemplari, 2006

Sissejuhatus. 4

Tuletise mõiste. 5

Erasektori tuletisväärtpaberid. üksteist

Pöördepunktid. 16

Lahendusharjutused. 17

Test. 20

Vastused harjutustele.. 21

Kirjandus. 23

Sissejuhatus

f(x x, siis helistati marginaalne toode; Kui g(x) g(x) g'(x) helistas piirkulu.

Näiteks, Laske funktsioonil u=u(t) u töötamise ajal t. ∆t=t 1 - t 0:

z vrd. =

z vrd. juures ∆t → 0: .

tootmiskulud K x, et saaksime kirjutada K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Piirang helistas

Tuletise mõiste

Funktsiooni tuletis punktis x 0 nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null.

Tuletisfunktsiooni tähistus:

See. a-prioor:

Tuletise leidmise algoritm:

Laske funktsioonil y=f(x) pidev segmendil , x

1. Leidke argumendi juurdekasv:

x on argumendi uus väärtus

x0- Algne väärtus

2. Leidke funktsiooni juurdekasv:

f(x) on funktsiooni uus väärtus

f(x0)- funktsiooni algväärtus

3. Leidke funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhe:

4. Leidke juures leitud suhte piir

Leia tuletise definitsiooni põhjal funktsiooni tuletis.

Lahendus:

Anname X juurdekasv Δx, siis on funktsiooni uus väärtus:

Leiame funktsiooni juurdekasvu kui erinevust funktsiooni uute ja algväärtuste vahel:

Leia funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhe:

.

Leiame selle suhte piiri tingimusel, et:

Seetõttu tuletise määratluse järgi: .

Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse eristamist.

Funktsioon y=f(x) helistas eristatav intervallil (a;b), kui sellel on tuletis intervalli igas punktis.

Teoreem Kui funktsioon on antud punktis diferentseeruv x 0, siis on see sellel hetkel pidev.

Vastupidine väide ei vasta tõele, sest on funktsioone, mis on mingil hetkel pidevad, kuid ei ole sellel hetkel eristatavad. Näiteks funktsioon punktis x 0 =0.

Leia funktsioonide tuletised

1) .

2) .

Teeme funktsiooni identsed teisendused:

Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid

Teist järku tuletis nimetatakse esimese tuletise tuletiseks. Tähistatakse

n-järku tuletis nimetatakse (n-1)-ndat järku tuletise tuletiseks.

Näiteks,

Osatuletised

privaatne tuletis mitme muutuja funktsiooni ühe muutuja suhtes nimetatakse tuletiseks, mis võetakse selle muutuja suhtes, eeldusel, et kõik muud muutujad jäävad konstantseks.

Näiteks, funktsiooni jaoks esimest järku osatuletised on võrdsed:

Funktsiooni maksimum ja miinimum

Argumendi väärtus, mille jaoks funktsioonil on kõrgeim väärtus, kutsus maksimaalne punkt.

Argumendi väärtus, mille jaoks funktsioonil on väikseim väärtus, kutsus miinimumpunkt.

Funktsiooni maksimumpunkt on funktsiooni suurenemiselt kahanemisele ülemineku piiripunkt, funktsiooni minimaalne punkt on kahanevalt suurenemisele ülemineku piiripunkt..

Funktsioon y=f(x) on (kohalik) maksimaalselt hetkel, kui kõigi jaoks x

Funktsioon y=f(x) on (kohalik) miinimum hetkel, kui kõigi jaoks X, piisavalt lähedal , ebavõrdsusele

Funktsiooni maksimaalne ja minimaalne väärtus on üldnimetus äärmused, ja punktid, kus nendeni jõutakse, nimetatakse äärmuslikud punktid.

Teoreem (vajalik tingimus ekstreemumi olemasolu) Olgu funktsioon defineeritud intervallil ja suurima (väikseima) väärtusega punktis . Siis, kui selle funktsiooni tuletis on mingis punktis olemas, siis on see võrdne nulliga, s.t. .

Tõestus:

Olgu punktis x 0 funktsioonil suurim väärtus, siis on mis tahes järgmise võrratuse korral tõene: .

Mis tahes punkti jaoks

Kui x > x 0 , siis , s.o.

Kui x< x 0 , то , т.е.

Sest on olemas , mis on võimalik ainult siis, kui need on võrdsed nulliga, seega .

Tagajärg:

Kui mingis punktis saab diferentseeruv funktsioon suurima (väikseima) väärtuse, siis punktis on selle funktsiooni graafiku puutuja paralleelne Ox-teljega.

Nimetatakse punkte, kus esimene tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri kriitiline - need on võimalikud äärmuslikud punktid.

Pange tähele, et kuna esimese tuletise võrdsus nulliga on ainult ekstreemumi vajalik tingimus, on vaja täiendavalt uurida ekstreemumi olemasolu küsimust võimaliku ekstreemumi igas punktis.

Teoreem (piisav seisukord ekstreemumi olemasolu)

Laske funktsioonil y = f(x) on pidev ja punkti mõnes naabruses diferentseeruv x0. Kui punkti läbimisel x0 vasakult paremale, esimene tuletis muudab märgi plussist miinusseks (miinusest plussiks), seejärel punktis x0 funktsiooni y = f(x) on maksimum (miinimum). Kui esimene tuletis märki ei muuda, pole sellel funktsioonil punktis ekstreemumit x 0.

Algoritm ekstreemumi funktsiooni uurimiseks:

1.Leia funktsiooni esimene tuletis.

2. Võrdsusta esimene tuletis nulliga.

3. Lahenda võrrand. Võrrandi leitud juured on kriitilised punktid.

4. Pane leitud kriitilised punktid arvulisele teljele. Saame hulga intervalle.

5. Määrake igas intervallis esimese tuletise märk ja märkige funktsiooni ekstreemsus.

6. Graafiku koostamiseks tehke järgmist.

Ø määrake funktsiooni väärtused äärmuspunktides

Ø leidke lõikepunktid koordinaattelgedega

Ø leidke lisapunkte

Plekkpurk on ümmarguse raadiusega silindri kujuga r ja kõrgus h. Eeldusel, et purgi valmistamiseks kasutatakse selgelt fikseeritud kogust tina, määrake, millises vahekorras r Ja h panga maht on suurim.

Kasutatud tina kogus võrdub pindalaga täispind pangad, s.o. . (1)

Sellest võrdsusest leiame:

Seejärel saab mahu arvutada järgmise valemiga: . Probleem taandub funktsiooni maksimumi leidmisele V(r). Leidke selle funktsiooni esimene tuletis: . Võrdsusta esimene tuletis nulliga:

. Leiame:. (2)

See punkt on maksimumpunkt, sest esimene tuletis on positiivne ja negatiivne juures .

Teeme nüüd kindlaks, millise raadiuse ja kõrguse suhte korral on kaldal suurim maht. Selleks jagame võrdsuse (1) arvuga r2 ja kasuta seost (2) jaoks S. Saame: . Seega on suurimal mahul purk, mille kõrgus on võrdne läbimõõduga.

Vahel on päris keeruline uurida võimalikust ekstreemumipunktist vasakule ja paremale jääva esimese tuletise märki, siis saab kasutada teine ​​piisav äärmuslik seisund:

Teoreem Laske funktsioonil y = f(x) on punktis x0 võimalik ekstreemum, viimane teine ​​tuletis. Siis funktsioon y = f(x) on punktis x0 maksimaalselt kui , ja minimaalne, kui .

Märkus See teoreem ei lahenda funktsiooni ekstreemumi ülesannet punktis, kui funktsiooni teine ​​tuletis antud punktis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

Pöördepunktid

Nimetatakse kõvera punkte, kus kumerus eraldub nõgususest pöördepunktid.

Teoreem (nõutav pöördepunkti tingimus): Olgu funktsiooni graafikul kääne punktis ja funktsioonil pidev teine ​​tuletis punktis x 0, siis

Teoreem (Piisav tingimus käändepunkti jaoks): Olgu funktsioonil punkti x 0 naabruses teine ​​tuletis, millel on erinevad märgid vasakul ja paremal x0. siis on funktsiooni graafikul kääne punktis .

Käändepunktide leidmise algoritm:

1. Leia funktsiooni teine ​​tuletis.

2. Võrdsusta teine ​​tuletis nulliga ja lahenda võrrand: . Pange saadud juured numbrireale. Saame hulga intervalle.

3. Leidke igas intervallis teise tuletise märk. Kui teise tuletise märgid kahes kõrvuti asetsevas intervallis on erinevad, siis on meil juure antud väärtuse juures käändepunkt, kui märgid on samad, siis käändepunkte pole.

4. Leidke käändepunktide ordinaadid.

Uurige kõverat kumeruse ja nõgususe suhtes. Leidke pöördepunktid.

1) leidke teine ​​tuletis:

2) Lahendage võrratus 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Lahendage võrratus 2x>0 x>0, kui x kõver on nõgus

4) Leidke käändepunktid, mille puhul võrdsustame teise tuletise nulliga: 2x=0 x=0. Sest punktis x=0 on teisel tuletisel vasakul ja paremal erinevad märgid, siis x=0 on käändepunkti abstsiss. Leidke käändepunkti ordinaat:

(0;0) käändepunkt.

Harjutused lahendamiseks

Nr 1 Leidke nende funktsioonide tuletised, arvutage tuletiste väärtus antud argumendi väärtuse jaoks:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

# 2 Otsige tuletisinstrumente keerukad funktsioonid:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Nr 3 Probleemide lahendamine:

1. Leidke paraboolile punktis x=3 tõmmatud puutuja kalle.

2. Paraboolile y \u003d 3x 2 -x punktis x \u003d 1 tõmmatakse puutuja ja normaal. Kirjutage nende võrrandid.

3. Leidke punkti koordinaadid, kus parabooli puutuja y=x 2 +3x-10 moodustab OX-teljega nurga 135 0.

4. Koostage funktsiooni y \u003d 4x-x 2 graafiku puutuja võrrand lõikepunktis OX-teljega.

5. Millistel x väärtustel on funktsiooni y \u003d x 3 -x graafiku puutuja paralleelselt sirgega y \u003d x.

6. Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele S=2t 3 -3t 2 +4. leida punkti kiirendus ja kiirus 3. sekundi lõpus. Millisel ajahetkel on kiirendus null?

7. Millal on seaduse S=t 2 -4t+5 järgi liikuva punkti kiirus nulliga võrdne?

#4 Uurige funktsioone tuletise abil:

1. Uurige funktsiooni y \u003d x 2 monotoonsust

2. Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid .

3. Leia funktsiooni tõusu ja kahanemise intervallid.

4. Tutvuge maksimaalse ja minimaalse funktsiooniga .

5. Uurige ekstreemumi funktsiooni .

6. Uurige ekstreemumi funktsiooni y \u003d x 3

7. Uurige ekstreemumi funktsiooni .

8. Jagage arv 24 kaheks terminiks, et nende korrutis oleks suurim.

9. Paberilehest tuleb lõigata ristkülik pindalaga ​100 cm 2 nii, et selle ristküliku ümbermõõt oleks väikseim. Millised peaksid olema selle ristküliku küljed?

10. Uurige ekstreemumi funktsiooni y=2x 3 -9x 2 +12x-15 ja koostage selle graafik.

11. Uurige kõverat nõgususe ja kumeruse suhtes.

12. Leia kõvera kumeruse ja nõgususe intervallid .

13. Leia funktsioonide käändepunktid: a) ; b) .

14. Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik.

15. Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik.

16. Uurimisfunktsioon ja joonistada seda.

17. Leidke lõigul funktsiooni y \u003d x 2 -4x + 3 suurim ja väikseim väärtus

Kontrollküsimused ja näiteid

1. Defineeri tuletis.

2. Mida nimetatakse argumendi juurdekasvuks? funktsiooni juurdekasv?

3. Mis on tuletise geomeetriline tähendus?

4. Mida nimetatakse diferentseerumiseks?

5. Loetlege tuletise peamised omadused.

6. Millist funktsiooni nimetatakse kompleksiks? tagasi?

7. Esitage teist järku tuletise mõiste.

8. Sõnasta reegel kompleksfunktsiooni eristamiseks?

9. Keha liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele S=S(t). Mida saab liikumise kohta öelda, kui:

5. Funktsioon suureneb teatud intervalliga. Kas sellest järeldub, et selle tuletis on sellel intervallil positiivne?

6. Mida nimetatakse funktsiooni ekstreemideks?

7. Kas funktsiooni suurim väärtus teatud intervallil langeb tingimata kokku funktsiooni väärtusega maksimumpunktis?

8. Funktsioon on defineeritud . Kas punkt x=a võib olla selle funktsiooni ekstreemumipunkt?

10. Funktsiooni tuletis punktis x 0 on null. Kas siit järeldub, et x 0 on selle funktsiooni äärmuspunkt?

Test

1. Leidke nende funktsioonide tuletised:

A)	e)
b)	ja)
koos)	h)
e)	Ja)

2. Kirjutage parabooli y=x 2 -2x-15 puutujate võrrandid: a) punktis, mille abstsiss on x=0; b) parabooli ja abstsisstelje lõikepunktis.

3. Määrata funktsiooni suurendamise ja kahanemise intervallid

4. Uurige funktsiooni ja joonistage see graafikule

5. Leidke ajahetkel t=0 seaduse s =2e 3 t järgi liikuva punkti kiirus ja kiirendus

Vastused harjutustele

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (tulemus saadakse jagatise tuletise valemi abil). Saate selle näite lahendada muul viisil:

5.

8. Korrutis on suurim, kui iga liige on võrdne 12-ga.

9. Ristküliku ümbermõõt on väikseim, kui ristküliku küljed on kumbki 10 cm, s.o. lõika välja ruut.

17. Segmendil võtab funktsioon suurima väärtuse, mis on võrdne 3-ga, kui x=0 ja väikseim väärtus, mis on võrdne –1 at x=2.

Kirjandus

1.	Vlasov V.G. Kõrgema matemaatika loengute kokkuvõte, Moskva, Iris, 96
2.	Tarasov N.P. Kõrgema matemaatika kursus tehnikumidele, M., 87
3.	I.I.Valutse, G.D. Diligul Matemaatika tehnikakoolidele, M., Loodusteadused, 90g
4.	I.P.Matskevitš, G.P.Svirid Kõrgmatemaatika, Minsk, Kõrgmatemaatika. Kool, 93
5.	V.S.Schipatšev Kõrgema matemaatika alused, M.Vyssh.shkola89
6.	V.S.Schipatševi kõrgem matemaatika, Moskva kõrgkool 85
7.	V.P.Minorsky Kõrgema matemaatika ülesannete kogu, M. Nauka 67g
8.	O.N.Afanasjeva Tehnikakoolide matemaatikaülesannete kogu, M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik matemaatika, M.Vyssh.shkola 91g
10.	N.V. Bogomolov Praktilised matemaatikatunnid, M. Kõrgkool 90
11.	H.E. Krynsky Matemaatika ökonomistidele, M. Statistika 70g
12.	L.G.Korsakova Kõrgem matemaatika juhtidele, Kaliningrad, KSU, 97.

KALININGRADI KAUBANDUS- JA MAJANDUSKOLLEDŽID

teema uurimiseks

"funktsiooni tuletis"

eriala üliõpilastele 080110 "Majandus ja raamatupidamine", 080106 "Finants",
080108 "Pangandus", 230103 "Automatiseeritud infotöötlus- ja juhtimissüsteemid"

Koostanud Fedorova E.A.

KALININGRAD

Arvustajad: Gorskaja Natalja Vladimirovna, Kaliningradi Kaubandus- ja Majanduskolledži õppejõud

Käesolevas juhendis on käsitletud diferentsiaalarvutuse põhimõisteid: tuletise mõiste, tuletiste omadused, rakendus analüütilises geomeetrias ja mehaanikas, põhilised diferentseerimisvalemid, toodud näited, mis illustreerivad teoreetilist materjali. Juhend on täiendatud harjutustega iseseisev töö, antakse vastused neile, antakse küsimusi ja näidisülesandeid teadmiste vahekontrolliks. Mõeldud õpilastele, kes õpivad erialal "Matemaatika" keskhariduses õppeasutused kes õpivad täiskoormusega, osakoormusega, õhtuõppes, eksternina või kellel on tundides osalemine tasuta.

KTEK
Majanduse ja raamatupidamise PCC

15 eksemplari, 2006

Sissejuhatus. 4

Nõuded teadmistele ja oskustele.. 5

Tuletise mõiste. 5

Tuletise geomeetriline tähendus. 7

Tuletise mehaaniline tähendus. 7

Eristamise põhireeglid. 8

Valemid põhifunktsioonide eristamiseks. 9

Tuletis pöördfunktsioon. 9

Keeruliste funktsioonide eristamine. 10

Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid. üksteist

Erasektori tuletisväärtpaberid. üksteist

Funktsioonide uurimine tuletisinstrumentide abil. üksteist

Funktsiooni suurendamine ja vähenemine. üksteist

Funktsiooni maksimum ja miinimum. 13

Kõvera kumerus ja nõgusus. 15

Pöördepunktid. 16

Üldskeem uurimisfunktsioonid ja graafikute koostamine. 17

Lahendusharjutused. 17

Testi küsimused ja näited.. 20

Test. 20

Vastused harjutustele.. 21

Kirjandus. 23

Sissejuhatus

Matemaatiline analüüs annab mitmeid põhimõisteid, millega majandusteadlane tegutseb – see on funktsioon, limiit, tuletis, integraal, diferentsiaalvõrrand. Majandusuuringutes kasutatakse tuletisinstrumentidele viitamiseks sageli spetsiifilist terminoloogiat. Näiteks kui f(x) on tootmisfunktsioon, mis väljendab mis tahes toote toodangu sõltuvust teguri maksumusest x, siis helistati marginaalne toode; Kui g(x) on kulufunktsioon, st. funktsiooni g(x) väljendab kogukulude sõltuvust toodangu mahust x, siis g'(x) helistas piirkulu.

Marginaalanalüüs majandusteaduses- meetodite kogum kulude või tulemuste muutuvate väärtuste uurimiseks tootmismahtude, tarbimismahtude jms muutumisel. nende piirväärtuste analüüsi põhjal.

Näiteks, tootlikkuse leidmine. Laske funktsioonil u=u(t), mis väljendab toodetud toodete kogust u töötamise ajal t. Arvutame aja jooksul toodetud kauba koguse ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Keskmine tööviljakus on toodetud toodangu koguse ja kulutatud aja suhe, s.o. z vrd. =

Töötajate tootlikkus hetkel t 0 nimetatakse piiriks, milleni z vrd. juures ∆t → 0: . Seetõttu taandatakse tööviljakuse arvutamine tuletise arvutamiseks:

tootmiskulud K homogeensed tooted on toodete koguse funktsioon x, et saaksime kirjutada K=K(x). Oletame, et toodangu kogus suureneb võrra ∆x. Toodangu kogus x+∆x vastab tootmiskuludele K(x+∆x). Seetõttu toodangu koguse juurdekasv ∆x vastab tootmiskulude kasvule ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Tootmiskulude keskmine juurdekasv on ∆K/∆x. See on tootmiskulude juurdekasv toodangu koguse ühiku juurdekasvu kohta.

Piirang helistas tootmise piirkulu.