Pärast seda, kui õpilased on läbinud teema "Sirgede paralleelsus ruumis", on aeg käsitleda sirge paralleelsust tasapinna suhtes. See teema on samuti oluline. Selles esitluses käsitletavad teoreemid on kasulikud mitmesuguste stereomeetriaprobleemide lahendamisel. Kui jätate selle teema vahele, on raske mõista teisi teemasid ja praktilisi ülesandeid.

Millised on sirged tasapinna suhtes? Esiteks võivad nad neid ületada ja teiseks ei pruugi neil ühtegi olla ühised punktid, ja kolmandaks, joon võib asuda otse tasapinnal. Neid kolme juhtumit käsitletakse selle e-õppe ressursi esimesel slaidil. Neile on lisatud ka illustratsioone, mis näitavad kõiki juhtumeid.

Millistel juhtudel on sirge ja tasapind paralleelsed? Järgmine slaid on pühendatud sirgjoone paralleelsuse määramisele tasapinna suhtes. See on eraldatud spetsiaalsesse plokki ja seda on lihtne meelde jätta.

Kuna üsna sageli on vaja taotleda see kontseptsioon, järgmisel lehel on tähistus. See ütleb, et sirge A on paralleelne tasandiga alfa.

Kui mõni sirge on paralleelne teise tasapinnal asuva sirgega, on esimene sirge paralleelne otse tasapinnaga. See on selle esitluse esimene teoreem. Ebaselguste vältimiseks esitatakse lihtne tõend, mida saab õpetaja või juhendajaga hõlpsasti lahti võtta. Teoreem on tõestatud vastuoluga, mis on paljudel juhtudel sageli kasutatav tehnika. Õpilased peaksid sellega juba harjuma ja aru saama.

Meil on sirge tee ja sellega paralleelne tasapind. Kui läbi antud sirge joonistada ristuv tasapind olemasoleva tasapinnaga, siis on lõikejoon ja algjoon paralleelsed. See väide nõuab tõestust, sest see pole aksioom. Tõestus ei ole mahukas ega raskenda arusaamist.

Kui on teada, et on kaks paralleelset sirget, millest üks on omakorda paralleelne tasapinnaga, siis peavad need sirged olema kas üksteisega paralleelsed või üks neist asetsema tasapinnal.

Esitlust saate tunni ajal koos õpetajaga vaadata ja analüüsida. Kui ta kommenteerib kõike õigesti, saavad õpilased sellest õppetükist aru ja mäletavad seda pikka aega, esinemisel ei teki probleeme kodutöö, iseseisvate ja kontrolltööde kirjutamine.

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidide pealdised:

Sirgete ja tasandite paralleelsus ruumis MBOU Keskkool nr 63 SHIPILOVA E.S.

Ruumijoonte joonte vastastikuse paigutuse juhtumid on paralleelsed sirged lõikuvad sirged lõikuvad Ruumijoonte paralleelsed jooned ei lõiku

α d a b c Definitsioon: kahte ruumi sirget nimetatakse paralleelseks, kui nad asuvad samal tasapinnal ega ristu. Sirgete a ja b paralleelsust tähistatakse järgmiselt: a || b Joonisel on sirged a ja b paralleelsed, aga sirged a ja c, a ja d ei ole paralleelsed.

Kolme sirge paralleelsus Lemma: Kui üks kahest paralleelsest sirgest lõikub antud tasapinnaga, siis lõikub seda tasandit ka teine ​​sirge. a b a M

Teoreem: Kui kaks sirget on paralleelsed kolmandaga, siis on nad paralleelsed. α a b c

Tasapinna määramise viisid ● A ● C ● B α a ● M α b a ● O α a b α

Lõikuvad sirged Kaht sirget nimetatakse lõikuvaks, kui nad ei asu samal tasapinnal a b

α Teoreem: Kui üks kahest sirgest asub teatud tasapinnal ja teine ​​sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei asu esimesel sirgel, siis on need sirged viltu. A B D C Eeldame, et sirged AB ja C D asuvad mingil tasapinnal β .

Sirge ja tasandi paralleelsus Sirge ja tasapinna vastastikuse paigutuse juhud ruumis sirge asub tasapinnas sirge ja tasapind ristuvad (on üks ühine punkt) sirge ja tasapinnal puuduvad üks ühine punkt α A B α a M a α

Definitsioon: sirget ja tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte. Teoreem: Kui sirge, mis ei asu antud tasapinnal, on paralleelne mõne sellel tasapinnal asuva sirgega, siis on ta paralleelne antud tasapinnaga. Kas tõestada teoreemi vastuoluga?

Sirge ja tasandi paralleelsuse seose materjalimudelid Iga serv risttahukas paralleelselt selle kahe tahu tasanditega. Ja paksusmõõturi abil varda esiküljele tõmmatud sirgjoon - kolme tahu tasapinnani. Müürsepad laovad seina nööri alla, mille nöör on paralleelne seina tasapindadega. Kui allveelaev liigub sirgjooneliselt samal sügavusel, siis on see paralleelne merepinnaga.

Tõesta veel kaks väidet, mida sageli kasutatakse ülesannete lahendamisel Kui lennuk läbib antud punkt paralleelselt teise tasapinnaga ja lõikab seda tasapinda, siis on tasandite lõikejoon paralleelne antud sirgega. Kui üks kahest paralleelsest sirgest on paralleelne antud tasapinnaga, siis on ka teine ​​sirge antud tasapinnaga paralleelne või asub sellel tasapinnal.

Tasapindade paralleelsus Tasapindade vastastikuse paigutuse juhud ruumitasanditega paralleelsed tasapinnad lõikuvad β α α β

Definitsioon: kahte tasandit peetakse paralleelseks, kui nad ei ristu. Teoreem: Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on vastavalt paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed. Tõesta teoreem? α a b β c d M

Rööptasapinnad Paralleeltasanditel on paigutatud korruselamute korruste põrandad, kahekordsete akende klaasid, trepiastmete ülemised servad. Paralleelsed vineerikihid, saed palgi laudadeks saagimiseks, tellise vastasküljed, kanal, I-tala jne.

Paralleeltasandite omadused Kui kahte paralleelset tasandit lõikub kolmandik, siis on nende lõikejooned paralleelsed. Paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõigud on võrdsed. Tõesta omadused (lk 21) ?

Ja nüüd väike test! Kas väide: kui kahel sirgel pole ühiseid punkte, siis on nad paralleelsed? Punkt M ei asu sirgel a. Mitu sirget, mis ei lõiku joonega, läbib punkti M? Mitu neist sirgest on paralleelsed sirgega a? Sirged a ja c on paralleelsed ning sirged a ja b lõikuvad. Kas sirged b ja c võivad ristuda. Kas sirged b ja c võivad olla paralleelsed? Sirge a on paralleelne tasapinnaga α. Kas vastab tõele, et see sirge ei lõiku ühtegi tasapinnal α asuvat sirget? Sirge a on paralleelne tasapinnaga α. Mitu sirget, mis asuvad tasapinnal α, on paralleelsed sirgega a? Kas need sirged on üksteisega paralleelsed ja asuvad tasapinnal α? Kas kaks paralleelsete tasandite vahele jäävat mitteparalleelset segmenti võivad olla võrdsed? Rööpküliku kaks külge on paralleelsed tasapinnaga α. Kas rööpküliku tasand α ja tasand on paralleelsed?

Kontrollime vastuseid! - ∞ , 1 +,- + ∞ , + - +

Geomeetria, 10. klass

Õppetund number 4. Sirgete, sirge ja tasandi paralleelsus

Teemas käsitletud probleemide loetelu

1. Paralleeljoonte määratlus;
2. Teoreem antud punktiga paralleelse sirge unikaalsuse kohta;
3. lemma kahel paralleelsel sirgel;
4. teoreem kolme sirge paralleelsuse kohta;
5. paralleelsete sirgete ja tasandite määratlemine;
6. sirge ja tasandi paralleelsuse märk.

Seotud sõnastik

Definitsioon.

Definitsioon. Ristmisjooned on jooned, mis ei asu samal tasapinnal.

Definitsioon.

Definitsioon.

Peamine kirjandus:

Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. jt Geomeetria 10-11 rakku - M .: Prosveštšenie, 2014. 255 lk.

Lisakirjandus:

Ziv B. G. Didaktilised materjalid. Geomeetria 10 lahtrit. – M.: Valgustus, 2014. 96 lk.

Glazkov Yu. A., Yudina I. I., Butuzov V. F. Töövihik. Geomeetria klass 10-M.: Valgustus, 2013. 65 lk.

Teoreetiline materjal iseõppimiseks

Geomeetriat, mida uurime, nimetatakse eukleidiliseks Vana-Kreeka teadlase Eukleidese (3. sajand eKr) järgi, kes lõi terve matemaatikatöö nimega "Algused". Selles raamatus on paralleeljoonte osa.

Nõukogude ajal entsüklopeediline sõnaraamat sõna "paralleelsus" tõlgitakse kreeka keelest kui "kõrvuti kõndimine".

Keskajal tähistati paralleelsust märgiga "=". 1557. aastal võttis R. Record kasutusele võrdsuse tähistamiseks märgi “=”, mida me praegu kasutame, ja hakkas paralleelsust tähistama kui “║”.

Raamatus "Põhimõtted" kõlas paralleelsete joonte määratlus nii: "sirged, mis asuvad samas tasapinnas ja on lõpmatult mõlemas suunas pikenenud, ei ristu kummalgi küljel." See määratlus on peaaegu sama, mis tänapäevane.

Paralleeljoonte alal töötas palju teadlasi: N.I. Lobatšeski (18.-19. sajand); Abbas al-Jawhari (töötas 9. sajandil Bagdadis); Fadl al-Nairizi (Bogdad 10. sajand); Gerard (Itaalia 12. sajand); Johann Heinrich Lambert (Berliin) ja paljud teised.

Mis on 2 sirge asukoht tasapinnal (kattuvad, lõikuvad, paralleelsed) (joon. 1 a, b, c).

Liigume edasi 2 joone vastastikuse paigutuse juurde ruumis. Nagu planimeetria puhul, ristuvad kaks ruumis eraldiseisvat joont ühes punktis või ei lõiku (pole ühiseid punkte). Kuid teisel juhul on kaks võimalust: jooned asuvad samal tasapinnal ( on paralleelsed) või jooned ei asu samal tasapinnal. Esimesel juhul on need paralleelsed ja teisel nimetatakse selliseid jooni ristumine.

Definitsioon. Kahte ruumis olevat sirget nimetatakse paralleelseks, kui nad asuvad samal tasapinnal ega ristu.

Definitsioon. Ristmisjooned on jooned, mis ei asu samal tasapinnal.

Kuubik aitab meil neid määratlusi selgelt illustreerida.

Märgime mõned paralleelsete joonte paarid:

AB||A₁B1; AB|| CD; A₁B1||C₁D1; CD||C₁D1; AD||A₁D1; BC||B₁D1; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

Ja nüüd mõelge mõnele ristuvate joonte paarile, nagu märkisime, ei tohiks need asuda samal tasapinnal:

AB A1D1; AB B1C1; CD A1D1; CD B1C1; BC C1D1; BC A1B1; AB B1C1; AB A₁D1.

Teoreem. Igast ruumipunktist, mis ei asu antud sirgel, läbib antud punktiga paralleelne sirge ja pealegi ainult üks.

1. M ja a defineerivad tasapinna α
2. Punkti M läbiv sirge a paralleelselt läbiv sirge peab asuma punktiga M ja sirgega a samal tasapinnal, s.o. α tasapinnal.
3. Tasapinnal α läbi punkti M läbib sirgjoonega a paralleelne sirge ja pealegi ainult üks - see on meile teada planimeetria kuradest.
4. Joonisel on see joon tähistatud tähega b.
5. Seetõttu on b ainuke sirgega a paralleelset punkti M läbiv sirge.

Definitsioon. Kaht lõiku nimetatakse paralleelseks, kui need asuvad paralleelsel sirgel.

Samamoodi määratakse lõigu ja sirge paralleelsus, samuti kahe kiire paralleelsus.

Lemma. Kui üks kahest paralleelsest sirgest lõikub antud tasapinnaga, siis teine ​​sirge lõikab seda tasapinda.

1. Vaatleme kahte paralleelset sirget a ja b ning eeldame, et sirge b lõikub tasapinnaga α punktis M (a joon.).
2. Teame, et läbi paralleelsete sirgete a ja b saab tõmmata ainult ühe tasapinna β. (teoreem)

1. Kuna punkt M asub sirgel b, siis kuulub ka M tasapinnale β (joonisel b). Kui tasanditel α ja β on ühine punkt M, siis on neil tasapindadel ühine sirge p, mis on nende tasandite lõikejoon (aksioom 4).

1. Sirged a, b ja c asuvad tasapinnal β.

Kui sellel tasapinnal lõikub üks paralleelsirgetest b p, siis teine ​​sirge a lõikub samuti p.

1. Sirgete a ja p lõikepunkti tähistatakse tähega N.

Kuna punkt N asub sirgel p, siis N asub tasapinnal α ning on sirge a ja tasandi α ainus ühine punkt.

1. Seega lõikub sirge a tasandiga α punktis N.

Planimeetria kursusest teame, et kui kolm sirget asetsevad samas tasapinnas ja kaks neist on paralleelsed kolmandaga, siis on need kaks sirget paralleelsed. Sarnane väide kehtib kolme ruumirea kohta.

Teoreem. Kui kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed.

Antud: a∥c ja b∥c

Tõesta: a∥b

Tõestus:

Valime sirgel b punkti M.

Läbi punkti M ja sirge a, mis seda punkti ei sisalda, saab tõmmata ainult ühe tasapinna α (Läbi sirge ja sellel mitteasetseva punkti saab tõmmata ainult ühe tasapinna).

Võimalikud on kaks juhtumit:

Lase rida b ületab lennukiα .

Seega lõikub sirgega b paralleelne sirge c ka tasapinnaga α. Kuna a∥c, selgub, et a lõikub ka seda tasapinda. Kuid sirge a ei saa korraga ristuda tasapinnaga α ja olla tasapinnal α. Saame vastuolu, seega eeldus, et sirge b lõikub tasapinnaga α, on truudusetu. Nii et sirgjoon b on lennukisα .

Nüüd peame tõestama, et sirged a ja b on paralleelsed.

Olgu sirgel a ja b ühine punkt L.

See tähendab, et kaks sirget a ja b on tõmmatud läbi punkti L ja on paralleelsed sirgega c. Kuid teise teoreemi kohaselt on see võimatu. Seetõttu on eeldus vale ning joontel a ja b pole ühiseid punkte.

Kuna sirged a ja b asuvad samal tasapinnal α ja neil pole ühiseid punkte, on nad paralleelsed.

Kui sirge kaks punkti asuvad antud tasapinnal, siis aksioomi A2 järgi asub kogu sirge sellel tasapinnal. Sellest järeldub, et sirge ja tasandi kolm paigutust on võimalikud:

Definitsioon. Sirget ja tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte.

Nimetus: a||α.

Hea näide, mis annab aimu tasapinnaga paralleelsest sirgest, on seina ja lae lõikejoon – see on paralleelne põranda tasapinnaga.

Teoreem (sirge ja tasandi paralleelsuse märk)
Kui sirge, mis ei asu antud tasapinnal, on paralleelne selle tasapinna mõne sirgega, siis on see sirge antud tasapinnaga paralleelne.

Tõestus:
Tõestame vastuoluga. Olgu a mitte paralleelne tasapinnaga α, siis sirge a lõikub tasapinnaga mingis punktis A. Pealegi ei asu A punktis b, kuna a∥b. Viltuse joonte kriteeriumi järgi on sirged a ja b viltu.

Oleme jõudnud vastuoluni. Kuna antud info a∥b järgi ei saa nad olla ristuvad. Järelikult peab sirge a olema paralleelne tasapinnaga α.

Probleemide lahendamisel kasutatakse veel kahte väidet:

1. Kui tasapind läbib antud sirget paralleelselt teise tasapinnaga ja lõikub selle tasandiga, siis on tasandite lõikejoon paralleelne antud sirgega.
2. Kui üks kahest paralleelsest sirgest on paralleelne antud tasapinnaga, siis on ka teine ​​sirge antud tasapinnaga paralleelne või asub sellel tasapinnal.

Näited ja analüüs koolitusmooduli ülesannete lahendamisest

Töö tüüp: Tekstis puuduvate elementide sisestamine klaviatuuriga

Antud: in ∆ ABC KM − keskjoon, KM=5; ACFE on rööpkülik.

Lahendus: Sest KM on keskmine joon, siis AC = 2 KM, siis AC = 2 7 =10

Sest ACFE − rööpkülik, siis AC=EF= 10

Vastus: EF 10

Töö tüüp: Üksus/ mitu valik

Punkt M ei asu rombi ABCD tasapinnal. Punkt E valitakse lõigul AM nii, et ME:EA=1:3. Punkt F on sirge MB ja tasapinna CDE lõikepunkt. Leia AB, kui AD = 8 cm.

• 1. AB = 2 cm
  2. AB = 4 cm
  3. AB = 5 cm
  4. AB = 10 cm

Sest AD||BC||FK, seega kolmnurgad MFK ja MBC sarnased (kolme nurga all). Tähendab

BC=AD=8cm;

Üksus: geomeetria.

Klass: 10

Õpetaja: Prikhodko Svetlana Ivanovna

Teema : « Sirge ja tasapinna paralleelsus "(2 õppetundi, kumbki 40 minutit)

Tunni varustus: multimeediaprojektor, tahvel, kaardid ülesannetega iseseisvaks tööks, õpik "Geomeetria. 10-11 klassi" / L.S.Atanasjan, V.F.Butuzov jne.

Sihtmärk: tutvustada sirge ja tasandi paralleelsuse mõisteid; uurida sirge ja tasandi paralleelsuse märki; üldistada ja süstematiseerida teadmisi sirge ja tasandi suhtelisest asukohast.

Ülesanded:

Loo tingimused kontrolliks (enesekontroll, vastastikune kontroll);

Arendada ruumilised esitused paralleelsete sirgete, sirgete ja tasandite ehitamisel;

Kujundada sirge ja tasandi paralleelsuse märgi tõestamise oskust;

Arendada oskust kasutada teoreetilist materjali ülesannete lahendamisel.

TUNNIDE AJAL

korralduslik etapp.

Õpetaja tervitab õpilasi, sõnastab tunni eesmärgid ja ülesanded, kannab ette tunniplaani.

Teadmiste värskendus.

Esitöö kasutades multimeediumprojektorit.

slaid 1.

Slaid 2.

3. Uue materjali õppimine. (Eesmine töö.)

Slaid 3.

Tasapinnaga paralleelse sirge visuaalse esituse annab:

Elektriliinid ja maatasapind;

Lae ja seinte lõikejoon ning põranda tasapind.

slaid 4.

Vaatleme teoreemi (sirge ja tasandi paralleelsuse märk).

Kui sirge, mis ei asu antud tasapinnal, on paralleelne mõne sellel tasapinnal asuva sirgega, siis on ta paralleelne antud tasapinnaga.

A Arvestades: joon in asub tasapinnal α.

a║c

Tõesta: a║α

(Teoreemi tõestamist peaksid õpilased ise tegema, arutlema, pakkuma tahvli ääres tõestamist, kirjutama vihikusse. Kui sul on raske, võid vajutada nuppu vihje tõenditele.)

4. Õpitud materjali koondamine.

Suuline (esitöö)

Slaid 5.

Ülesanne: Antud trapets ABCD (AB ja CD alused). Punkt K ei kuulu trapetsi tasapinnale. Tõesta, et sirge DC on paralleelne tasapinnaga (ABK).

Kujutades: 1) trapetsi;

2) kujutada lennukit A;

3) kujutada segmente VC ja KS;

4) pane kirja: antud, tõestama.

Arutame ja paneme kirja probleemi lahenduse.

slaid 6.

Lahendame probleemi suuliselt.

5. Uute asjade õppimine. (Töötage 4-liikmelistes rühmades.)

Vaatleme kahte väidet, mida probleemide lahendamisel kasutatakse.

Slaid 7.

(Õpilased tõestavad rühmades töötades.)

Rühmade töö arutelu.(Rühma töö ajal (5-7 min) kirjutavad õpilased oma tõendid vihikusse.) Rühma esindaja kirjutab tõendid tahvlile. Rühma töö kokkuvõtte tegemine.

6. Õpitud materjali koondamine.

slaid 8.

slaid 9.

Mõned sõnad on kustutatud ja punktid lisatud. Lahenduse käigus ilmub ellipsi asemel see täielik lahendusülesandeid.

Ülesanne number 23 (õpik).

(tavalisel tahvlil).

M Arvestades: ABCD on ristkülik, punkt M ei asu selles

lennuk ABC.

B C Tõesta: CD ║ (AVM).

A D

7
. Ülesannete lahendamine õpitud materjali kinnistamiseks. (Ülesanne vastastikuse kontrolliga - paaris).

slaid 10.

8. Töö õpikuga.

Ülesanne number 27.(Õpilane tahvli juures.)

9. Kokkuvõtete tegemine.

Vestlus õpilastega

Kirjeldage sirge ja tasandi suhet.

Millist sirget nimetatakse paralleelseks antud tasapinnaga?

Nimeta sirge ja tasandi paralleelsuse märk.

Mida saab öelda tasapinnaga paralleelse sirge kohta, kui mõni tasapind seda läbib ja lõikub esimese tasandiga?

Jätkake fraasi: kui üks kahest paralleelsest sirgest on paralleelne antud tasapinnaga, siis ...

10. Iseseisev töö (vastavalt kaartidel olevatele võimalustele).

valik 1

2. variant

Lõik AB ei lõiku tasapinnaga α.

Läbi selle segmendi otste - punktid A, B

ja selle keskmine (punkt M) on joonistatud

paralleelsed sirged, mis lõikuvad

tasand α punktides A 1 , B 1 , M 1 .

Tõesta, et punktid A 1 ,B 1 ,M 1 asuvad

ühel sirgel.

2) Leidke AA 1, kui BB 1 = 12 cm, MM 1 = 8 cm.

Läbi lõigu AB otsa A tõmmatakse tasapind α.

Läbi punkti M (keskpunkt AB) ja punkti B

tõmmatakse paralleelsed sirged, mis lõikuvad

tasapind α punktides M 1 ja B 1 vastavalt.

1) Tõesta, et punktid A, B 1 , M 1 asuvad

ühel sirgel.

2) Leidke BB 1, kui MM 1 \u003d 4 cm.

Valikuline: nr 31 (õpik.)

11. Kodutöö: teooria §1 (teoreemid tõestusega), nr 29,30.