Jätkuks teemal "Võrrandite lahendamine" tutvustab selle artikli materjal ruutvõrrandeid.

Vaatleme kõike üksikasjalikult: ruutvõrrandi olemust ja tähistust, määrame kaasnevad terminid, analüüsime mittetäieliku ja mittetäieliku lahendamise skeemi. täielikud võrrandid, tutvume juurte ja diskriminandi valemiga, loome juurte ja koefitsientide vahel seoseid ning loomulikult anname praktiliste näidete visuaalse lahenduse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutvõrrand, selle liigid

Definitsioon 1

Ruutvõrrand on võrrand kirjutatud kujul a x 2 + b x + c = 0, Kus x– muutuja, a , b ja c on mõned numbrid, samas a ei ole null.

Sageli nimetatakse ruutvõrrandit ka teise astme võrranditeks, kuna tegelikult on ruutvõrrand teise astme algebraline võrrand.

Toome antud definitsiooni illustreerimiseks näite: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. on ruutvõrrandid.

2. definitsioon

Numbrid a , b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c = 0, samas koefitsient a nimetatakse esimeseks ehk kõrgemaks ehk koefitsiendiks x 2, b - teiseks koefitsiendiks ehk koefitsiendiks at x, A c kutsuti vabaliikmeks.

Näiteks ruutvõrrandis 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 kõrgeim koefitsient on 6 , teine ​​koefitsient on − 2 , ja vaba termin on võrdne − 11 . Pöörame tähelepanu asjaolule, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, siis kasutatakse stenogrammi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, kuid mitte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Täpsustame ka seda aspekti: kui koefitsiendid a ja/või b võrdne 1 või − 1 , siis ei pruugi nad ruutvõrrandi salvestamisel selgesõnaliselt osaleda, mis on seletatav näidatud arvkordajate salvestamise iseärasustega. Näiteks ruutvõrrandis y 2 – y + 7 = 0 vanemkoefitsient on 1 ja teine ​​koefitsient on − 1 .

Taandatud ja taandamata ruutvõrrandid

Vastavalt esimese koefitsiendi väärtusele jagatakse ruutvõrrandid taandatud ja taandamata.

3. definitsioon

Vähendatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, kus juhtiv koefitsient on 1. Juhtkoefitsiendi muude väärtuste puhul on ruutvõrrand redutseerimata.

Siin on mõned näited: ruutvõrrandid x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 on taandatud, millest igaühe juhtkoefitsient on 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- taandamata ruutvõrrand, kus esimene koefitsient erineb 1 .

Iga taandamata ruutvõrrandi saab teisendada taandatud võrrandiks, jagades selle mõlemad osad esimese koefitsiendiga (ekvivalentne teisendus). Teisendatud võrrandil on samad juured kui antud taandamata võrrandil või puuduvad sellel üldse juured.

Kaalutlus juhtumiuuring võimaldab meil visuaalselt demonstreerida üleminekut taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide 1

Arvestades võrrandit 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Algne võrrand on vaja teisendada redutseeritud kujule.

Lahendus

Vastavalt ülaltoodud skeemile jagame mõlemad algvõrrandi osad juhtkoefitsiendiga 6 . Siis saame: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ja see on sama, mis: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ja edasi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Siit: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Seega saadakse võrrand, mis on ekvivalentne antud võrrandiga.

Vastus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Pöördume ruutvõrrandi definitsiooni juurde. Selles täpsustasime seda a ≠ 0. Võrrandi jaoks on vajalik sarnane tingimus a x 2 + b x + c = 0 oli täpselt kandiline, sest a = 0 see muutub sisuliselt ümber lineaarvõrrand b x + c = 0.

Juhul, kui koefitsiendid b Ja c on võrdsed nulliga (mis on võimalik nii eraldi kui ka koos), nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

4. definitsioon

Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand a x 2 + b x + c \u003d 0, kus vähemalt üks koefitsientidest b Ja c(või mõlemad) on null.

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, milles kõik arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Arutleme, miks tüübid ruutvõrrandid selliseid nimesid antakse.

Kui b = 0, saab ruutvõrrand kuju a x 2 + 0 x + c = 0, mis on sama, mis a x 2 + c = 0. Kell c = 0 ruutvõrrand on kirjutatud kujul a x 2 + b x + 0 = 0, mis on samaväärne a x 2 + b x = 0. Kell b = 0 Ja c = 0 võrrand võtab kuju a x 2 = 0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat korraga. Tegelikult andis see asjaolu seda tüüpi võrranditele nime - mittetäielik.

Näiteks x 2 + 3 x + 4 = 0 ja −7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 on täielikud ruutvõrrandid; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Ülaltoodud määratlus võimaldab eristada järgmist tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 = 0, koefitsiendid vastavad sellisele võrrandile b = 0 ja c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0 jaoks;
• a x 2 + b x = 0, kui c = 0.

Vaatleme järjestikku igat tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendust.

Võrrandi a x 2 \u003d 0 lahendus

Nagu eespool juba mainitud, vastab selline võrrand koefitsientidele b Ja c, võrdne nulliga. Võrrand a x 2 = 0 saab teisendada samaväärseks võrrandiks x2 = 0, mille saame, kui jagame algse võrrandi mõlemad pooled arvuga a, ei ole võrdne nulliga. Ilmselge tõsiasi on see, et võrrandi juur x2 = 0 on null, sest 0 2 = 0 . Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav astme omadustega: mis tahes arvu korral p , ei ole võrdne nulliga, on ebavõrdsus tõsi p2 > 0, millest järeldub, et millal p ≠ 0 võrdsus p2 = 0 ei jõua kunagi kätte.

Definitsioon 5

Seega on mittetäieliku ruutvõrrandi jaoks a x 2 = 0 unikaalne juur x=0.

Näide 2

Näiteks lahendame mittetäieliku ruutvõrrandi − 3 x 2 = 0. See on võrdne võrrandiga x2 = 0, selle ainus juur on x=0, siis on esialgsel võrrandil üks juur - null.

Lahendus on kokku võetud järgmiselt:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Võrrandi a x 2 + c \u003d 0 lahendus

Järgmine on mittetäielike ruutvõrrandite lahendus, kus b \u003d 0, c ≠ 0, see tähendab vormi võrrandid a x 2 + c = 0. Teisendame selle võrrandi, kandes selle võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes märgi vastupidiseks ja jagades võrrandi mõlemad pooled arvuga, mis ei ole võrdne nulliga:

• taluma c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 = − c;
• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, saame tulemuseks x = - c a .

Meie teisendused on vastavalt ekvivalentsed, ka saadud võrrand on samaväärne esialgsega ja see asjaolu võimaldab teha järelduse võrrandi juurte kohta. Mis on väärtused a Ja c oleneb avaldise väärtusest - c a: sellel võib olla miinusmärk (näiteks kui a = 1 Ja c = 2, siis - c a = - 2 1 = - 2) või plussmärki (näiteks kui a = -2 Ja c=6, siis - c a = - 6 - 2 = 3); see ei ole võrdne nulliga, sest c ≠ 0. Peatugem üksikasjalikumalt olukordadel, kui - c a< 0 и - c a > 0 .

Juhul kui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lk võrdus p 2 = - c a ei saa olla tõene.

Kõik on erinev, kui - c a > 0: pidage meeles ruutjuurt ja selgub, et võrrandi x 2 juur - c a on arv - c a, kuna - c a 2 \u003d - c a. On lihtne mõista, et arv - - c a - on ka võrrandi x 2 = - c a juur: tõepoolest, - - c a 2 = - c a .

Võrrandil pole muid juuri. Seda saame näidata vastupidise meetodi abil. Esmalt määrame ülalt leitud juurte tähiseks kui x 1 Ja − x 1. Oletame, et võrrandil x 2 = - c a on ka juur x2, mis erineb juurtest x 1 Ja − x 1. Me teame, et asendades võrrandi asemel x selle juurtest teisendame võrrandi õiglaseks arvuliseks võrduseks.

Sest x 1 Ja − x 1 kirjutage: x 1 2 = - c a , ja jaoks x2- x 2 2 \u003d - c a. Arvuliste võrduste omaduste põhjal lahutame teisest liikmest ühe tõelise võrdsuse, mis annab meile: x 1 2 − x 2 2 = 0. Kasutage arvutehte omadusi, et kirjutada viimane võrdus ümber kui (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Teatavasti on kahe arvu korrutis null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks arvudest on null. Öeldust järeldub, et x1 − x2 = 0 ja/või x1 + x2 = 0, mis on sama x2 = x1 ja/või x 2 = − x 1. Tekkis ilmne vastuolu, sest algul lepiti kokku, et võrrandi juur x2 erineb x 1 Ja − x 1. Seega oleme tõestanud, et võrrandil pole muid juuri kui x = - c a ja x = - - c a .

Võtame kõik ülaltoodud argumendid kokku.

Definitsioon 6

Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + c = 0 on samaväärne võrrandiga x 2 = - c a , mis:

• ei ole juured - c a< 0 ;
• on kaks juurt x = - c a ja x = - - c a , kui - c a > 0 .

Toome näiteid võrrandite lahendamisest a x 2 + c = 0.

Näide 3

Antud ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 . Sellele on vaja lahendus leida.

Lahendus

Viime vaba liikme võrrandi paremale poolele, siis saab võrrand kuju 9 x 2 \u003d - 7.
Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled arvuga 9 , jõuame x 2 = - 7 9 . Paremal küljel näeme miinusmärgiga numbrit, mis tähendab: antud võrrand pole juuri. Siis algne mittetäielik ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 ei oma juuri.

Vastus: võrrand 9 x 2 + 7 = 0 pole juuri.

Näide 4

On vaja lahendada võrrand − x2 + 36 = 0.

Lahendus

Liigume 36 paremale poole: − x 2 = −36.
Jagame mõlemad osad − 1 , saame x2 = 36. Paremal pool on positiivne arv, millest saame selle järeldada x = 36 või x = -36.
Eraldame juure ja kirjutame lõpptulemuse: mittetäieliku ruutvõrrandi − x2 + 36 = 0 on kaks juurt x=6 või x = -6.

Vastus: x=6 või x = -6.

Võrrandi a x 2 +b x=0 lahendus

Analüüsime kolmandat tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid, mil c = 0. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahenduse leidmiseks a x 2 + b x = 0, kasutame faktoriseerimise meetodit. Faktoriseerime polünoomi, mis asub võrrandi vasakul küljel, võttes ühisteguri sulgudest välja x. See samm võimaldab teisendada esialgse mittetäieliku ruutvõrrandi selle ekvivalendiks x (a x + b) = 0. Ja see võrrand on omakorda võrdväärne võrrandite hulgaga x=0 Ja a x + b = 0. Võrrand a x + b = 0 lineaarne ja selle juur: x = − b a.

Definitsioon 7

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + b x = 0 on kaks juurt x=0 Ja x = − b a.

Koondame materjali näitega.

Näide 5

Vaja on leida võrrandi 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 lahend.

Lahendus

Võtame välja x väljaspool sulgusid ja saada võrrand x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . See võrrand on samaväärne võrranditega x=0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Nüüd peaksite lahendama saadud lineaarvõrrandi: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Lühidalt kirjutame võrrandi lahendi järgmiselt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või x = 3 3 7

Vastus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahenduse leidmiseks on juurvalem:

Definitsioon 8

x = - b ± D 2 a, kus D = b 2 − 4 a c on ruutvõrrandi nn diskriminant.

X \u003d - b ± D 2 a kirjutamine tähendab sisuliselt seda, et x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Kasulik on mõista, kuidas näidatud valem tuletati ja kuidas seda rakendada.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Oletame, et seisame silmitsi ülesandega lahendada ruutvõrrand a x 2 + b x + c = 0. Teeme mitu samaväärset teisendust:

• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, mis erineb nullist, saame redutseeritud ruutvõrrandi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• välja valima täisruut saadud võrrandi vasakul küljel:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Pärast seda on võrrand järgmisel kujul: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• nüüd on võimalik kaks viimast liiget üle kanda paremale poole, muutes märgi vastupidiseks, mille järel saame: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• lõpuks teisendame viimase võrdsuse paremale küljele kirjutatud avaldise:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Seega oleme jõudnud võrrandini x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , mis on samaväärne algse võrrandiga a x 2 + b x + c = 0.

Selliste võrrandite lahendust käsitlesime eelmistes lõikudes (mittetäielike ruutvõrrandite lahendus). Juba saadud kogemus võimaldab teha järelduse võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurte kohta:

• b 2 jaoks - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 korral on võrrand kujul x + b 2 · a 2 = 0, siis x + b 2 · a = 0.

Siit on ilmne ainus juur x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 korral on õige: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 või x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , mis on sama mis x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 või x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, s.o. võrrandil on kaks juurt.

Võib järeldada, et võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurte olemasolu või puudumine (ja seega ka algne võrrand) sõltub avaldise b 2 - 4 a c märgist. 4 · paremale küljele kirjutatud 2. Ja selle väljendi märgi annab lugeja märk (nimetaja 4 ja 2 on alati positiivne), see tähendab väljendi märk b 2 − 4 a c. See väljend b 2 − 4 a c antakse nimi - ruutvõrrandi diskriminant ja täht D on määratletud selle tähisena. Siin saate kirja panna diskriminandi olemuse - selle väärtuse ja märgi järgi järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui jah, siis mitu juurt - üks või kaks.

Tuleme tagasi võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurde. Kirjutame selle ümber diskrimineeriva tähise abil: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Teeme järeldused kokku:

Definitsioon 9

• juures D< 0 võrrandil pole tegelikke juuri;
• juures D = 0 võrrandil on üks juur x = - b 2 · a ;
• juures D > 0 võrrandil on kaks juurt: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 või x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikaalide omaduste põhjal saab need juured kirjutada järgmiselt: x \u003d - b 2 a + D 2 a või - b 2 a - D 2 a. Ja kui avame moodulid ja taandame murrud ühise nimetajani, saame: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Niisiis, meie arutluse tulemuseks oli ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D arvutatakse valemiga D = b 2 − 4 a c.

Need valemid võimaldavad, kui diskriminant on suurem kui null, määrata mõlemad tegelikud juured. Kui diskriminant on null, annab mõlema valemi rakendamine ruutvõrrandi ainsa lahendusena sama juure. Juhul, kui diskriminant on negatiivne, proovides kasutada ruutjuurvalemit, seisame silmitsi vajadusega ekstraheerida Ruutjuur negatiivsest arvust, mis viib meid reaalarvudest kaugemale. Negatiivse diskriminandi korral ei ole ruutvõrrandil reaalseid juuri, kuid võimalik on keerukate konjugeeritud juurte paar, mis määratakse kindlaks samade juurvalemitega, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Ruutvõrrandit on võimalik lahendada kohe juurvalemi abil, kuid põhimõtteliselt tehakse seda siis, kui on vaja leida keerulisi juuri.

Enamikul juhtudel ei ole otsing mõeldud tavaliselt ruutvõrrandi keeruliste, vaid reaalsete juurte jaoks. Siis on optimaalne enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt määrata diskriminant ja veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul järeldame, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja seejärel arvutada juurte väärtus.

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab sõnastada ruutvõrrandi lahendamise algoritmi.

Definitsioon 10

Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 + b x + c = 0, vajalik:

• valemi järgi D = b 2 − 4 a c leida diskrimineerija väärtus;
• kohas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kui D = 0, leia võrrandi ainus juur valemiga x = - b 2 · a ;
• kui D > 0, määrake ruutvõrrandi kaks reaaljuurt valemiga x = - b ± D 2 · a.

Pange tähele, et kui diskriminant on null, võite kasutada valemit x = - b ± D 2 · a , see annab sama tulemuse kui valem x = - b 2 · a .

Kaaluge näiteid.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Toome näite lahenduse erinevad väärtused diskrimineeriv.

Näide 6

On vaja leida võrrandi juured x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi arvulised koefitsiendid: a \u003d 1, b \u003d 2 ja c = – 6. Edasi tegutseme algoritmi järgi, s.t. Alustame diskriminandi arvutamist, mille asemel asendame koefitsiendid a , b Ja c diskrimineerivasse valemisse: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Seega saime D > 0, mis tähendab, et algsel võrrandil on kaks reaaljuurt.
Nende leidmiseks kasutame juurvalemit x \u003d - b ± D 2 · a ja asendades sobivad väärtused, saame: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Lihtsustame saadud avaldist, võttes teguri juuremärgist välja, millele järgneb murdosa vähendamine:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 või x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 või x = - 1 - 7

Vastus: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Näide 7

On vaja lahendada ruutvõrrand − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lahendus

Määratleme diskrimineerija: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Selle diskriminandi väärtusega on algsel võrrandil ainult üks juur, mis määratakse valemiga x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Vastus: x = 3, 5.

Näide 8

On vaja lahendada võrrand 5 a 2 + 6 a + 2 = 0

Lahendus

Selle võrrandi arvulised koefitsiendid on: a = 5 , b = 6 ja c = 2 . Diskriminandi leidmiseks kasutame neid väärtusi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Arvutatud diskriminant on negatiivne, seega pole algsel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Juhul, kui ülesandeks on näidata keerulisi juuri, rakendame juurvalemit, tehes kompleksarvudega toiminguid:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 või x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i või x = - 3 5 - 1 5 i .

Vastus: pole tõelisi juuri; kompleksjuured on: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Kooli õppekavas ei ole standardina keeruliste juurte otsimise nõuet, mistõttu kui otsustamisel määratletakse diskrimineerija eitav, siis fikseeritakse kohe vastus, et päris juured puuduvad.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Juurvalem x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) võimaldab saada teise, kompaktsema valemi, mis võimaldab teil leida lahendusi ruutvõrranditele paariskoefitsiendiga x (või koefitsiendiga) kujul 2 a n, näiteks 2 3 või 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näitame, kuidas see valem tuletatakse.

Oletame, et seisame silmitsi ülesandega leida lahendus ruutvõrrandile a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Toimime vastavalt algoritmile: määrame diskriminandi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja kasutame seejärel juurvalemit:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Olgu avaldis n 2 − a c tähistatud kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem järgmiselt:

x \u003d - n ± D 1 a, kus D 1 \u003d n 2 - a c.

On lihtne näha, et D = 4 · D 1 või D 1 = D 4 . Teisisõnu, D 1 on neljandik diskriminandist. Ilmselgelt on D 1 märk sama, mis D, mis tähendab, et D 1 märk võib olla ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise indikaator.

Definitsioon 11

Seega, et leida lahendus ruutvõrrandile teise koefitsiendiga 2 n, on vaja:

• leida D 1 = n 2 − a c ;
• kohas D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kui D 1 = 0, määrake võrrandi ainus juur valemiga x = - n a ;
• kui D 1 > 0, määrake kaks reaaljuurt valemiga x = - n ± D 1 a.

Näide 9

On vaja lahendada ruutvõrrand 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Lahendus

Antud võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2 · (− 3) . Seejärel kirjutame antud ruutvõrrandi ümber 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kus a = 5, n = −3 ja c = −32.

Arvutame diskriminandi neljanda osa: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Saadud väärtus on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt. Määratleme need juurte vastava valemiga:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 või x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 või x = - 2

Arvutusi oleks võimalik teha ruutvõrrandi juurte tavavalemiga, kuid sel juhul oleks lahendus tülikam.

Vastus: x = 3 1 5 või x = - 2 .

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord on võimalik algse võrrandi vormi optimeerida, mis lihtsustab juurte arvutamise protsessi.

Näiteks ruutvõrrand 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 on lahendamiseks selgelt mugavam kui 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Sagedamini teostatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema osa korrutamise või jagamise teel teatud arvuga. Näiteks näitasime ülalpool võrrandi 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 lihtsustatud esitust, mis saadakse selle mõlema osa jagamisel 100-ga.

Selline teisendus on võimalik, kui ruutvõrrandi kordajad ei ole suhteliselt algarvud. Siis on tavaline jagada võrrandi mõlemad pooled suurimaga ühine jagaja selle koefitsientide absoluutväärtused.

Näitena kasutame ruutvõrrandit 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määratleme selle kordajate absoluutväärtuste gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Jagame mõlemad algse ruutvõrrandi osad 6-ga ja saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Ruutvõrrandi mõlema poole korrutamisel kaotatakse tavaliselt murdosa koefitsiendid. Sel juhul korrutage selle koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega. Näiteks kui ruutvõrrandi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 iga osa korrutatakse LCM-iga (6, 3, 1) \u003d 6, siis kirjutatakse see lihtsamal kujul x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lõpuks märgime, et peaaegu alati vabanege ruutvõrrandi esimese koefitsiendi miinusest, muutes võrrandi iga liikme märke, mis saavutatakse mõlema osa korrutamisel (või jagamisel) -1-ga. Näiteks ruutvõrrandist - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 saate minna selle lihtsustatud versioonile 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Seos juurte ja koefitsientide vahel

Juba tuntud ruutvõrrandite juurte valem x = - b ± D 2 · a väljendab võrrandi juuri selle arvuliste kordajate kaudu. Toetudes see valem, on meil võimalus täpsustada muid sõltuvusi juurte ja koefitsientide vahel.

Kõige kuulsamad ja rakendatavamad on Vieta teoreemi valemid:

x 1 + x 2 \u003d - b a ja x 2 \u003d c a.

Täpsemalt, antud ruutvõrrandi puhul on juurte summa teine ​​vastupidise märgiga koefitsient ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 abil on võimalik kohe kindlaks teha, et selle juurte summa on 7 3 ja juurte korrutis on 22 3.

Samuti võite leida ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks ruutvõrrandi juurte ruutude summat saab väljendada koefitsientide kaudu:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

IN kaasaegne ühiskond võime opereerida ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega võib olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse laialdaselt praktikas teaduse ja tehnika arengus. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil määratakse erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumise trajektoorid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevastes oludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.

Jagame avaldise komponentteguriteks

Võrrandi astme määrab antud avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.

Kui rääkida valemikeeles, siis saab need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (st muutuja ruudus selle koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see on ühine number). See kõik võrdub paremal pool 0. Juhul, kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, mille puhul pole muutujate väärtust raske leida.

Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.

Näide

x = 0 või 8x - 3 = 0

Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.

Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemiseni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.

Avaldise faktoriseerimine

Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme ja palju muud lahendada rasked juhtumid. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.

X2 – 33x + 200 = 0

See ruudukujuline kolmik on täielik. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.

Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.

Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).

Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -1; 3.

Ruutjuure ekstraheerimine

Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda eraldatakse ruutjuur mõlemalt võrdsuse poolelt. Tuleb märkida, et sel juhul on võrrandil tavaliselt kaks juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.

Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.

Maa pindala arvutamine

Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.

Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.

Oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.

Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.

Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasakpoolne külg sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.

Diskrimineeriv

Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, siis välimus see avaldis näeb välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratletud standardile vastaval kujul, kus a=1, b=16, c=-612.

See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi kaudu. Siin vajalikud arvutused toodetud vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandis soovitud väärtusi, vaid määrab võimalike valikute arvu. Juhul D>0 on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Juurtest ja nende valemist

Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.

See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).

Näited ja ülesanded

Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine ​​1.

2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.

Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.

Vieta teoreem

Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.

Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.

Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lihtsuse huvides teisendame väljendit:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.

Parabooli graafik ja võrrand

Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.

Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algse võrrandiga, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.

Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega

Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui saate visuaalse pildi ruutfunktsioon ei ole lihtne, saate võrdsustada avaldise parema poole 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.

Ajaloost

Ruudukujulist muutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.

Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud selle olemasolust aimugi negatiivsed arvud. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.

Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.

Lihtsalt. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimesel etapil

on vaja viia antud võrrand standardkujule, s.t. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema. Kõige tähtsam on õige

määrake kõik koefitsiendid A, b Ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem.

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv . Nagu näete, et leida x, me

kasutada ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid alates ruutvõrrand. Lihtsalt sisestage ettevaatlikult

väärtused a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendage nende märgid!

Näiteks, võrrandis:

A =1; b = 3; c = -4.

Asendage väärtused ja kirjutage:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b Ja Koos. Pigem asendamisega

negatiivsed väärtused juurte arvutamise valemisse. Siin salvestab üksikasjalik valem

konkreetsete numbritega. Kui on probleeme arvutustega, tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Värvime kõike üksikasjalikult, hoolikalt, ilma kõigi märkide ja sulgudega midagi vahele jätmata:

Sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu.

Esimene vastuvõtt. Ära ole enne laisk ruutvõrrandi lahendamine viige see standardvormi.

Mida see tähendab?

Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c.

Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Vabane miinusest. Kuidas? Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskriminandi ja täiendada näidet.

Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Kõrval Vieta teoreem.

Antud ruutvõrrandite lahendamiseks, s.o. kui koefitsient

x2+bx+c=0,

Siisx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Täieliku ruutvõrrandi jaoks, milles a≠1:

x 2+bx+c=0,

jagage kogu võrrand arvuga V:

→ →

Kus x 1 Ja x 2 - võrrandi juured.

Vastuvõtt kolmas. Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutada

ühisnimetaja võrrand.

Järeldus. Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle Õige.

2. Kui ruudus x ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle kõik korrutades

võrrandid -1 jaoks.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, elimineerime murdarvud korrutades kogu võrrandi vastavaga

faktor.

4. Kui x ruudus on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, lahendust saab hõlpsasti kontrollida

Ruutvõrrand – lihtne lahendada! *Edaspidi tekstis "KU". Sõbrad, tundub, et matemaatikas võib see olla lihtsam kui sellise võrrandi lahendamine. Kuid miski ütles mulle, et paljudel inimestel on temaga probleeme. Otsustasin vaadata, kui palju kuvamisi Yandex ühe taotluse kohta kuus annab. Siin on, mis juhtus, vaadake:

Mida see tähendab? See tähendab, et seda infot otsib kuus umbes 70 000 inimest ja käes on suvi ja mis saab õppeaasta jooksul - päringuid tuleb kaks korda rohkem. See pole üllatav, sest need poisid ja tüdrukud, kes on juba ammu kooli lõpetanud ja valmistuvad eksamiks, otsivad seda teavet ning ka koolilapsed püüavad oma mälu värskendada.

Vaatamata asjaolule, et on palju saite, mis räägivad, kuidas seda võrrandit lahendada, otsustasin ka panustada ja materjali avaldada. Esiteks soovin, et külastajad tuleksid minu saidile selle taotluse alusel; teiseks, teistes artiklites, kui kõne “KU” tuleb, annan lingi sellele artiklile; kolmandaks räägin teile tema lahendusest veidi rohkem, kui teistel saitidel tavaliselt öeldakse. Alustame! Artikli sisu:

Ruutvõrrand on võrrand järgmisel kujul:

kus koefitsiendid a,bja suvaliste arvudega a≠0.

IN koolikursus materjal on antud järgmisel kujul - võrrandid jagatakse tinglikult kolme klassi:

1. On kaks juurt.

2. * On ainult üks juur.

3. Ei oma juuri. Siinkohal tasub märkida, et neil pole tõelisi juuri

Kuidas juuri arvutatakse? Lihtsalt!

Arvutame diskriminandi. Selle "kohutava" sõna all peitub väga lihtne valem:

Juurevalemid on järgmised:

*Neid valemeid peab peast teadma.

Saate kohe kirja panna ja lahendada:

Näide:

1. Kui D > 0, siis on võrrandil kaks juurt.

2. Kui D = 0, siis on võrrandil üks juur.

3. Kui D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vaatame võrrandit:

Sel korral, kui diskriminant on null, ütleb koolikursus, et saadakse üks juur, siin võrdub see üheksaga. See on õige, see on, aga...

See esitus on mõnevõrra vale. Tegelikult on kaks juurt. Jah, jah, ärge imestage, selgub kaks võrdset juurt ja et olla matemaatiliselt täpne, tuleks vastusesse kirjutada kaks juurt:

x 1 = 3 x 2 = 3

Aga see on nii – väike kõrvalepõige. Koolis saab kirja panna ja öelda, et on ainult üks juur.

Nüüd järgmine näide:

Nagu me teame, negatiivse arvu juurt ei eraldata, seega pole antud juhul lahendust.

See on kogu otsustusprotsess.

Ruutfunktsioon.

Siin on lahendus geomeetriliselt. Seda on äärmiselt oluline mõista (edaspidi analüüsime ühes artiklis üksikasjalikult ruutvõrratuse lahendust).

See on vormi funktsioon:

kus x ja y on muutujad

a, b, c - antud numbrid, kus a ≠ 0

Graafik on parabool:

Ehk siis selgub, et lahendades ruutvõrrandi, kus "y" on võrdne nulliga, leiame parabooli lõikepunktid x-teljega. Neid punkte võib olla kaks (diskriminant on positiivne), üks (diskriminant on null) või mitte ükski (diskriminant on negatiivne). Lisateavet ruutfunktsiooni kohta Saate vaadata Inna Feldmani artikkel.

Mõelge näidetele:

Näide 1: Otsustage 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Vastus: x 1 = 8 x 2 = -12

* Võiks võrrandi vasaku ja parema külje kohe jagada 2-ga ehk lihtsustada. Arvutused on lihtsamad.

Näide 2: Otsustama x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Saime x 1 \u003d 11 ja x 2 \u003d 11

Vastuses on lubatud kirjutada x = 11.

Vastus: x = 11

Näide 3: Otsustama x 2 –8x+72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminant on negatiivne, reaalarvudes lahendus puudub.

Vastus: lahendust pole

Diskriminant on negatiivne. Lahendus on olemas!

Siin räägime võrrandi lahendamisest juhul, kui see selgub negatiivne diskrimineerija. Kas sa tead midagi kompleksarvud? Miks ja kus need tekkisid ning mis on nende konkreetne roll ja vajalikkus matemaatikas, ma siinkohal üksikasjalikult ei räägi, see on suure eraldi artikli teema.

Kompleksarvu mõiste.

Natuke teooriat.

Kompleksarv z on vormi arv

z = a + bi

kus a ja b on reaalarvud, siis i on nn imaginaarühik.

a+bi on ÜKS NUMBER, mitte lisand.

Imaginaarne ühik on võrdne miinus ühe juurega:

Nüüd kaaluge võrrandit:

Hankige kaks konjugeeritud juurt.

Mittetäielik ruutvõrrand.

Mõelge erijuhtudele, kui koefitsient "b" või "c" on võrdne nulliga (või mõlemad on võrdsed nulliga). Need on kergesti lahendatavad, ilma igasuguste diskrimineerimisvahenditeta.

Juhtum 1. Koefitsient b = 0.

Võrrand on järgmisel kujul:

Muutame:

Näide:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Juhtum 2. Koefitsient c = 0.

Võrrand on järgmisel kujul:

Teisendada, faktoriseerida:

*Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.

Näide:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 või x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Juhtum 3. Koefitsiendid b = 0 ja c = 0.

Siin on selge, et võrrandi lahendus on alati x = 0.

Kasulikud omadused ja koefitsientide mustrid.

On omadusi, mis võimaldavad lahendada suurte koefitsientidega võrrandeid.

Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus

a + b+ c = 0, See

— kui võrrandi kordajate puhul Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus

a+ koos =b, See

Need omadused aitavad lahendada teatud tüüpi võrrandit.

Näide 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koefitsientide summa on 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, seega

Näide 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Võrdsus a+ koos =b, Tähendab

Koefitsientide seaduspärasused.

1. Kui võrrandis ax 2 + bx + c \u003d 0 on koefitsient "b" (a 2 +1) ja koefitsient "c" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Kui võrrandis ax 2 - bx + c \u003d 0 on koefitsient "b" (a 2 +1) ja koefitsient "c" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kui võrrandis ax 2 + bx - c = 0 koefitsient "b" võrdub (a 2 – 1) ja koefitsient “c” arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured võrdsed

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Kui võrrandis ax 2 - bx - c \u003d 0 on koefitsient "b" võrdne (a 2 - 1) ja koefitsient c on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 = 1/10

Vieta teoreem.

Vieta teoreem on oma nime saanud kuulsa prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi. Vieta teoreemi kasutades saab väljendada suvalise KU juurte summat ja korrutist selle koefitsientide kaudu.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kokkuvõttes annab arv 14 ainult 5 ja 9. Need on juured. Teatud oskusega saate esitatud teoreemi kasutades palju ruutvõrrandeid kohe suuliselt lahendada.

Vieta teoreem, pealegi. mugav, sest pärast ruutvõrrandi lahendamist tavapärasel viisil (läbi diskriminandi) saab kontrollida saadud juuri. Soovitan seda teha kogu aeg.

ÜLEKANDMISMEETOD

Selle meetodi korral korrutatakse koefitsient "a" vaba liikmega, justkui "ülekantakse" sellele, mistõttu seda nimetatakse ülekande meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juurte leidmine on lihtne Vieta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.

Kui A± b+c≠ 0, siis kasutatakse ülekandetehnikat, näiteks:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Vastavalt Vieta teoreemile võrrandis (2) on lihtne kindlaks teha, et x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Saadud võrrandi juured tuleb jagada 2-ga (kuna need kaks “visati” x 2-st), saame

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Mis on selle põhjendus? Vaata, mis toimub.

Võrrandite (1) ja (2) diskriminandid on järgmised:

Kui vaadata võrrandite juuri, siis saadakse ainult erinevad nimetajad ja tulemus sõltub täpselt koefitsiendist x 2 juures:

Teised (modifitseeritud) juured on 2 korda suuremad.

Seetõttu jagame tulemuse 2-ga.

*Kui veeretame kolmekesi, siis jagame tulemuse 3-ga jne.

Vastus: x 1 = 5 x 2 = 0,5

ruut ur-ie ja eksam.

Selle tähtsuse kohta ütlen lühidalt - OTSUSTADA PEAKS kiiresti ja mõtlemata, juurte ja eristaja valemeid on vaja peast teada. Paljud USE ülesannete osaks olevad ülesanded taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele (kaasa arvatud geomeetrilised).

Mida tasub tähele panna!

1. Võrrandi vorm võib olla "kaudne". Näiteks on võimalik järgmine kirje:

15+ 9x 2 - 45x = 0 või 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 või 15 -5x + 10x 2 = 0.

Peate selle viima standardvormile (et mitte lahendamisel segadusse sattuda).

2. Pidage meeles, et x on tundmatu väärtus ja seda saab tähistada mis tahes muu tähega - t, q, p, h ja teised.

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata sellele kõrge tase algebra areng Babülonis, kiilkirjatekstides ei ole negatiivse arvu mõistet ja levinud meetodid ruutvõrrandite lahendused.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st. 10+x, teine ​​on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud A, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Üks vana India raamat ütleb selliste võistluste kohta järgmist: „Nii nagu päike särab oma säraga tähtedest, nii paistab ka õpetatud inimene oma hiilguse üle. populaarsed kooslused, algebraliste ülesannete väljapakkumine ja lahendamine". Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c = b X.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c = b X.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx + c \u003d kirves 2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, arvestab nulllahendusega ilmselt seetõttu, et praktilisi ülesandeid vahet pole. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta juur 4, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas töö, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami riikides kui ka Vana-Kreeka, erineb nii esituse terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor on iseseisvalt välja töötanud mõned uued algebralised näited probleemide lahendamisel ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine aastal üldine vaade Vietil on, kuid Viet tunnistas ainult positiivseid juuri. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestada lisaks positiivsele ja negatiivsed juured. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise viis kaasaegse ilme.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, See A võrdub IN ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada A, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud IN, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieta sümboolikast on aga asi veel kaugel moodne välimus. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.