3.1. Poláris koordináták
Gyakran használják a repülőn poláris koordináta-rendszer . Meghatározott, ha egy O pont adott, ún pólus, és a pólusból kiinduló sugár (nálunk ez a tengely Ox) a poláris tengely. Az M pont helyzetét két szám rögzíti: sugár (vagy sugárvektor) és a poláris tengely és a vektor közötti φ szög. A φ szöget ún polárszög; radiánban mérve és a poláris tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban számolva.
Egy pont helyzetét a polárkoordináta-rendszerben egy rendezett számpár (r; φ) adja meg. A póznán r = 0és φ nincs definiálva. Az összes többi pontra r > 0és φ 2π többszöröséig van definiálva. Ebben az esetben az (r; φ) és (r 1 ; φ 1) számpárok ugyanazt a pontot kapják, ha .
Téglalap alakú koordinátarendszerhez xOy Derékszögű koordináták pontok könnyen kifejezhetők polárkoordinátáival a következőképpen:
3.2. Komplex szám geometriai értelmezése
Tekintsük a Descartes-i síkon téglalap alakú rendszer koordináták xOy.
Bármely z=(a, b) komplex számhoz hozzá van rendelve a sík egy pontja koordinátákkal ( x, y), Ahol koordináta x = a, azaz. a komplex szám valós része, az y = bi koordináta pedig a képzetes része.
Az a sík, amelynek pontjai komplex számok, összetett sík.
Az ábrán a komplex szám z = (a, b) meccspont M(x, y).
Gyakorlat.Kép be Koordináta sík komplex számok:
3.3. Komplex szám trigonometrikus alakja
A síkban lévő komplex számnak a pont koordinátái vannak M(x; y). Ahol:
Komplex szám felírása - komplex szám trigonometrikus alakja.
Az r számot hívják modult összetett szám zés azt jelöljük. A modul egy nem negatív valós szám. Mert .
A modulus akkor és csak akkor nulla z = 0, azaz a=b=0.
A φ számot hívják érv z és jelöltük. A z argumentum kétértelműen van definiálva, mint a poláris koordináta-rendszerben a poláris szög, mégpedig 2π többszöröséig.
Ekkor elfogadjuk: , ahol φ legkisebb értékérv. Ez nyilvánvaló
.
A téma mélyebb tanulmányozása során bevezetünk egy φ* segédérvet, úgy, hogy
1. példa. Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!
Megoldás. 1) figyelembe vesszük a modult: ;
2) φ keresése: ;
3) trigonometrikus forma:
2. példa Keresse meg egy komplex szám algebrai alakját! .
Itt elegendő az értékeket helyettesíteni trigonometrikus függvényekés átalakítja a kifejezést:
3. példa Keresse meg egy komplex szám modulusát és argumentumát ;
1) ;
2) ; φ - 4 negyedben:
3.4. Műveletek komplex számokkal trigonometrikus formában
· Összeadás és kivonás kényelmesebb komplex számokkal végrehajtani algebrai formában:
· Szorzás– egyszerű trigonometrikus transzformációk segítségével kimutatható, hogy szorzáskor a számok moduljait megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk: ;
2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja
Legyen a vektor adott összetett sík szám .
Jelölje φ-vel az Ox pozitív féltengely és a vektor közötti szöget (a φ szöget pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányba számoljuk, ellenkező esetben negatívnak).
Jelölje a vektor hosszát r-rel. Akkor . Azt is jelöljük
Nullától eltérő komplex szám z felírása mint
a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Az r számot a z komplex szám modulusának, a φ számot pedig ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és Arg z-vel jelöljük.
A komplex szám írásának trigonometrikus formája - (Euler-képlet) - a komplex szám írásának exponenciális formája:
A z komplex számnak végtelen sok argumentuma van: ha φ0 a z szám bármely argumentuma, akkor az összes többi megtalálható a képlettel
Komplex szám esetén az argumentum és a trigonometrikus forma nincs megadva.
Így egy nem nulla komplex szám argumentuma az egyenletrendszer tetszőleges megoldása:
(3)
Egy z komplex szám argumentumának φ értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, főértéknek nevezzük, és arg z-vel jelöljük.
Arg z és arg z érvek egyenlőség alapján állnak összefüggésben
, (4)
Az (5) képlet a (3) rendszer következménye, így a komplex szám minden argumentuma kielégíti az (5) egyenlőséget, de nem minden φ megoldása az (5) egyenletnek a z szám argumentuma.
A nullától eltérő komplex szám argumentumának fő értékét a következő képletek határozzák meg:
A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzására és osztására szolgáló képletek a következők:
. (7)
Amikor egy komplex számot természetes hatványra emelünk, a de Moivre-képletet használjuk:
Ha komplex számból kinyerünk gyököt, a képletet használjuk:
, (9)
ahol k=0, 1, 2, …, n-1.
54. feladat Számítsa ki , ahol .
Ábrázoljuk ennek a kifejezésnek a megoldását egy komplex szám írásának exponenciális alakjában: .
Ha akkor .
Akkor , . Ezért aztán És , Ahol .
Válasz: , nál nél .
55. feladat Írjon fel komplex számokat trigonometrikus formában:
A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ; és) .
Mivel egy komplex szám trigonometrikus alakja , akkor:
a) Komplex számban: .
,
Ezért
b) , Ahol ,
G) , Ahol ,
e) .
és) , A , Azt .
Ezért
Válasz: ; 4; ; ; ; ; .
56. feladat Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!
.
hagyd, .
Akkor , , .
Mert és , , majd , és
Ezért tehát
Válasz: , Ahol .
57. feladat Egy komplex szám trigonometrikus alakjának felhasználásával hajtsa végre a következő műveleteket: .
Képzeld el a számokat és trigonometrikus formában.
1), hol Akkor
A fő érv értékének meghatározása:
Helyettesítsük be az értékeket és a kifejezésbe, kapjuk
2) ahol aztán
Akkor
3) Keresse meg a hányadost!
Feltéve, hogy k=0, 1, 2, hármat kapunk különböző jelentések kívánt gyökér:
Ha akkor
ha akkor
ha akkor .
Válasz: :
:
: .
58. feladat Legyenek , , , különböző komplex számok és . Bizonyítsd
egy szám valódi pozitív szám;
b) az egyenlőség megtörténik:
a) ábrázoljuk ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában:
Mert .
Tegyünk úgy, mintha. Akkor
.
Az utolsó kifejezés egy pozitív szám, mivel a szinuszjelek alatt vannak számok az intervallumból.
mert a szám valódi és pozitív. Valóban, ha a és b komplex számok, és valósak és nagyobbak nullánál, akkor .
Kívül,
tehát a megkívánt egyenlőség bebizonyosodik.
59. feladat Írja le a számot algebrai formában! .
A számot trigonometrikus formában ábrázoljuk, majd megtaláljuk az algebrai alakját. Nekünk van . Mert megkapjuk a rendszert:
Ebből következik az egyenlőség: .
De Moivre képletét alkalmazva:
kapunk
Trigonometrikus forma található adott szám.
Ezt a számot most algebrai formában írjuk:
.
Válasz: .
60. feladat. Keresse meg a , , összeget
Vegye figyelembe az összeget
A De Moivre-képletet alkalmazva azt találjuk
Ez az összeg n tag összege geometriai progresszió nevezővel és első tagja .
Az ilyen progresszió tagjainak összegére vonatkozó képlet alkalmazásával azt kapjuk
Kiemelés képzeletbeli rész az utolsó kifejezésben azt találjuk
A valós részt elválasztva a következő képletet is megkapjuk: , , .
61. feladat Keresse meg az összeget:
A) ; b) .
Newton képlete szerint a hatalomra emelésről megvan
De Moivre képlete szerint a következőket találjuk:
A kapott kifejezések valós és imaginárius részeit egyenlővé téve a következőre:
És .
Ezeket a képleteket tömör formában a következőképpen írhatjuk fel:
,
, Ahol - egész rész számok a.
62. feladat Keresse meg mindazt, amelyhez .
Mert a , majd a képlet alkalmazásával
, A gyökerek kinyeréséhez kapunk ,
Ennélfogva, , ,
, .
A számoknak megfelelő pontok a (0;0) pont középpontjában lévő 2 sugarú körbe írt négyzet csúcsaiban helyezkednek el (30. ábra).
Válasz: , ,
, .
63. feladat Oldja meg az egyenletet! , .
Feltétel szerint ; ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke, és ezért ekvivalens az egyenlettel.
Ahhoz, hogy a z szám legyen ennek az egyenletnek a gyöke, szükséges, hogy a szám legyen a gyöke n-edik fokozat 1. számtól.
Ebből arra következtetünk, hogy az eredeti egyenletnek az egyenlőségekből meghatározott gyökei vannak
,
És így,
,
azaz ,
Válasz: .
64. feladat Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazában!
Mivel a szám nem a gyöke ennek az egyenletnek, ezért ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel
Vagyis az egyenlet.
Ennek az egyenletnek az összes gyöke a képletből adódik (lásd a 62. feladatot):
; ; ; ; .
65. feladat Rajzoljunk a komplex síkra egy olyan ponthalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket: . (A 45. feladat megoldásának második módja)
Hadd .
Az azonos modulokkal rendelkező komplex számok a sík azon pontjainak felelnek meg, amelyek az origó középpontjában lévő körön helyezkednek el, így az egyenlőtlenség minden pontnak megfelel nyitott gyűrű, amelyet az origóban közös középpontú körök határolnak és a sugarak és (31. ábra). A komplex sík valamely pontja feleljen meg a w0 számnak. Szám , modulusa szerte kisebb, mint a w0 modulus, ami nagyobb, mint a w0 argumentum. Geometriai szempontból a w1-nek megfelelő pontot az origóra és együtthatóra összpontosuló homotétiával, valamint az origóhoz képest az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással kaphatjuk meg. Ha ezt a két transzformációt alkalmazzuk a gyűrű pontjaira (31. ábra), az utóbbi egy gyűrűvé válik, amelyet azonos középpontú, 1 és 2 sugarú körök határolnak (32. ábra).
átalakítás párhuzamos fordítással valósul meg a vektoron. A pontban középpontos gyűrűt átvisszük a jelzett vektorba, egy pontban középpontban lévő azonos méretű gyűrűt kapunk (22. ábra).
A javasolt módszer, amely a sík geometriai transzformációinak ötletét használja, valószínűleg kevésbé kényelmes a leírásban, de nagyon elegáns és hatékony.
66. feladat Keresse meg, ha .
Hagyjuk , majd és . Az eredeti egyenlőség a formáját ölti . Két komplex szám egyenlőségének feltételéből kapjuk a , , ahonnan , . És így, .
Írjuk fel a z számot trigonometrikus alakban:
, Ahol , . De Moivre képlete szerint azt találjuk, hogy .
Válasz: - 64.
67. feladat. Egy komplex számhoz keresse meg az összes olyan komplex számot, amelyre , és .
A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában:
. Ennélfogva , . Ha egy számot kapunk, egyenlő lehet bármelyikkel.
Az első esetben , a másodikban
.
Válasz: , .
68. feladat Keresse meg a számok összegét úgy, hogy . Adja meg az egyik számot.
Vegyük észre, hogy már a probléma megfogalmazásából is érthető, hogy az egyenlet gyökeinek összege megtalálható anélkül, hogy magukat a gyököket számítanák ki. Valóban, az egyenlet gyökeinek összege együtthatója, ellenkező előjellel (az általánosított Vieta-tétel), azaz.
A tanulók, iskolai dokumentációk, következtetéseket vonnak le az asszimiláció mértékéről ezt a koncepciót. Foglalja össze a matematikai gondolkodás sajátosságainak vizsgálatát és a komplex szám fogalmának kialakításának folyamatát! A módszerek leírása. Diagnosztika: I. szakasz. Az interjú egy matematikatanárral készült, aki 10. osztályban algebrát és geometriát tanít. A beszélgetésre némi idő elteltével került sor...
Rezonancia" (!)), amely magában foglalja a saját viselkedés értékelését is. 4. A helyzet megértésének kritikus értékelése (kétségek). 5. Végül az ajánlások alkalmazása jogi pszichológia(ügyvédi könyvelés pszichológiai szempontok végzett szakmai cselekvések – szakmai és pszichológiai felkészültség). Tekintsük most a jogi tények pszichológiai elemzését. ...
A trigonometrikus helyettesítés matematikája és a kidolgozott tanítási módszertan eredményességének igazolása. A munka szakaszai: 1. Fakultatív kurzus kidolgozása a következő témában: "Trigonometrikus helyettesítés alkalmazása algebrai feladatok megoldására" témában tanulókkal elmélyült tanulmányozása matematika. 2. Kidolgozott fakultatív tanfolyam lebonyolítása. 3. Diagnosztikai ellenőrzés elvégzése...
A kognitív feladatok csak a meglévő oktatási segédanyagok kiegészítésére szolgálnak, és minden hagyományos eszközzel és elemmel megfelelő kombinációban kell lenniük. oktatási folyamat. A tanulási célok közötti különbség a tanításban bölcsészettudományok pontosból, től matematikai feladatok csak abban áll, hogy a történelmi problémákban nincsenek képletek, merev algoritmusok stb., ami bonyolítja a megoldásukat. ...
KOMPLEX SZÁMOK XI
256. § Komplex számok trigonometrikus alakja
Legyen a komplex szám a + bi vektornak felel meg OA> koordinátákkal ( a, b ) (lásd 332. ábra).
Jelölje ennek a vektornak a hosszát r és a tengellyel bezárt szöget x , keresztül φ . A szinusz és koszinusz meghatározása szerint:
a / r = cos φ , b / r = bűn φ .
Ezért A = r kötözősaláta φ , b = r bűn φ . De ebben az esetben a komplex szám a + bi így írható:
a + bi = r kötözősaláta φ + ir bűn φ = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ).
Mint tudják, bármely vektor hosszának négyzete egyenlő a koordinátáinak négyzetösszegével. Ezért r 2 = a 2 + b 2, honnan r = √a 2 + b 2
Így, bármilyen komplex szám a + bi ként ábrázolható :
a + bi = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ), (1)
ahol r = √a 2 + b 2 , és a szög φ a feltétel alapján meghatározva:
A komplex számok írásának ezt a formáját ún trigonometrikus.
Szám r az (1) képletben ún modult, és a szög φ - érv, összetett szám a + bi .
Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor a modulusa pozitív; ha a + bi = 0, akkor a = b = 0, majd r = 0.
Bármely komplex szám modulusa egyedileg meghatározott.
Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor argumentumát a (2) képletek határozzák meg egyértelműen 2 szög többszöröséig π . Ha a + bi = 0, akkor a = b = 0. Ebben az esetben r = 0. Az (1) képletből könnyen megérthető, hogy érvként φ ebben az esetben bármilyen szöget választhat: végül is bármelyikhez φ
0 (cos φ + én bűn φ ) = 0.
Ezért a nulla argumentum nincs definiálva.
Komplex számmodulus r néha | z |, és az arg z . Nézzünk néhány példát a komplex számok trigonometrikus formában való ábrázolására.
Példa. 1. 1 + én .
Keressük meg a modult r és érvelés φ ez a szám.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Ezért a bűn φ = 1/√ 2, cos φ = 1 / √ 2, honnan φ = π / 4 + 2nπ .
És így,
1 + én = √ 2 ,
Ahol P - tetszőleges egész szám. Általában egy komplex szám argumentumának végtelen értékkészletéből választanak ki egyet, amely 0 és 2 között van. π . Ebben az esetben ez az érték π / 4. Ezért
1 + én = √ 2 (cos π / 4 + én bűn π / 4)
2. példaÍrj trigonometrikus formában egy komplex számot! √ 3 - én . Nekünk van:
r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2
Ezért 2-vel osztható szögig π , φ = 11 / 6 π ; ennélfogva,
√ 3 - én = 2 (cos 11/6 π + én bűn 11/6 π ).
3. példaÍrj trigonometrikus formában egy komplex számot! én .
összetett szám én vektornak felel meg OA> a tengely A pontjában végződik nál nél 1. ordinátával (333. ábra). Egy ilyen vektor hossza 1, és az abszcissza tengellyel bezárt szög egyenlő π / 2. Ezért
én = cos π / 2 + én bűn π / 2 .
4. példaÍrd fel trigonometrikus alakban a 3-as komplex számot!
A 3-as komplex szám a vektornak felel meg OA > x abszcissza 3 (334. ábra).
Egy ilyen vektor hossza 3, és az x tengellyel bezárt szöge 0. Ezért
3 = 3 (cos 0 + én bűn 0),
5. példaÍrd trigonometrikus formában a -5 komplex számot!
A -5 komplex szám a vektornak felel meg OA> a tengelypontban végződik x abszcisszával -5 (335. ábra). Egy ilyen vektor hossza 5, és az x tengellyel bezárt szög π . Ezért
5 = 5 (cos π + én bűn π ).
Feladatok
2047. Írja be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, megadva moduljaikat és argumentumaikat:
1) 2 + 2√3 én , 4) 12én - 5; 7).3én ;
2) √3 + én ; 5) 25; 8) -2én ;
3) 6 - 6én ; 6) - 4; 9) 3én - 4.
2048. Jelölje a síkon azon komplex számokat reprezentáló ponthalmazokat, amelyek r moduljai és φ argumentumai teljesítik a feltételeket:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Lehetnek-e számok egyidejűleg egy komplex szám modulja is? r És - r ?
2050. Lehet-e egy komplex szám argumentuma egyszerre szög φ És - φ ?
Mutassa be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, moduljaik és argumentumaik meghatározásával:
2051*. 1 + cos α + én bűn α . 2054*. 2 (cos 20° - én sin 20°).
2052*. bűn φ + én kötözősaláta φ . 2055*. 3 (- cos 15°- én sin 15°).
ElőadásKomplex szám trigonometrikus alakja
Terv
1. Komplex számok geometriai ábrázolása.
2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.
3. Műveletek komplex számokra trigonometrikus formában.
Komplex számok geometriai ábrázolása.
a) A komplex számokat a sík pontjai ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).
1. kép
b) Egy komplex szám a pontból induló vektorként ábrázolhatóRÓL RŐL és egy adott pontban ér véget (2. ábra).
2. ábra
7. példa: A komplex számokat ábrázoló pontok ábrázolása:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).
3. ábra
Komplex számok trigonometrikus jelölése.
Összetett számz = a + kettős a sugár - vektor segítségével állítható be koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).
4. ábra
Meghatározás . Vektor hossza a komplex számot reprezentáljaz , ezt a szám modulusának nevezzük és jelöljük vagyr .
Bármilyen komplex számraz a moduljar = | z | a képlet egyedileg határozza meg .
Meghatározás . A valós tengely pozitív iránya és a vektor közötti szög értéke komplex számot reprezentáló komplex szám argumentumának nevezzük és jelöljükA rg z vagyφ .
Komplex szám argumentumz = 0 meghatározatlan. Komplex szám argumentumzA ≠ 0 egy többértékű mennyiség, és a futamidőig van meghatározva2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Aholarg z - az argumentum fő értéke, az intervallumba zárva(-π; π] , vagyis-π < arg z ≤ π (néha az intervallumhoz tartozó értéket veszik az argumentum fő értékének .
Ez a képlet ar =1 gyakran De Moivre képletének nevezik:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
11. példa Számítsa ki(1 + én ) 100 .
Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Egy komplex szám négyzetgyökének kinyerése.
Komplex szám négyzetgyökének kinyerésekora + kettős két esetünk van:
Hab > kb , Azt ;