A szilárd geometria tantervében a háromdimenziós alakzatok tanulmányozása általában egy egyszerű geometriai testtel kezdődik - egy prizma poliéderrel. Alapjainak szerepét 2 egyenlő, párhuzamos síkban elhelyezkedő sokszög tölti be. Különleges eset a szabályos négyszögű prizma. Alapjai 2 egyforma szabályos négyszög, amelyekre az oldalak merőlegesek, paralelogramma alakúak (vagy téglalapok, ha a prizma nem ferde).
Hogy néz ki egy prizma
A szabályos négyszögű prizma egy hatszög, amelynek alapjai 2 négyzet, és oldalsó arcok téglalapokkal ábrázolva. Ennek egy másik neve geometriai alakzat- egyenes paralelepipedon.
Az alábbiakban egy négyszögű prizmát ábrázoló rajz látható.
A képen is láthatod a geometriai testet alkotó legfontosabb elemek. Általában a következőképpen hivatkoznak rájuk:
Néha a geometriai problémákban megtalálhatja a szakasz fogalmát. A definíció így hangzik: a metszet egy térfogati test minden olyan pontja, amely a vágási síkhoz tartozik. A metszet merőleges (90 fokos szögben metszi az ábra széleit). Téglalap alakú prizmánál egy átlós szakaszt is figyelembe veszünk (maximum 2 darab építhető szakasz), amely 2 élen és az alap átlóin halad át.
Ha a metszet úgy van megrajzolva, hogy a vágási sík ne legyen párhuzamos sem az alapokkal, sem az oldalfelületekkel, az eredmény egy csonka prizma.
Különféle arányokat és képleteket használnak a redukált prizmatikus elemek megtalálásához. Némelyikük a planimetria során ismert (például egy prizma alapterületének meghatározásához elegendő felidézni a négyzet területének képletét).
Felület és térfogat
A prizma térfogatának a képlet segítségével történő meghatározásához ismernie kell az alapterületét és a magasságát:
V = Sprim h
Mivel a szabályos tetraéder prizma alapja egy négyzet, amelynek oldala van a, A képletet részletesebb formában is megírhatja:
V = a² h
Ha egy kockáról beszélünk - egy szabályos prizmával egyenlő hosszúságú, szélesség és magasság, a térfogatot a következőképpen számítjuk ki:
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet megtalálni a prizma oldalsó felületét, el kell képzelni a söpörését.
A rajzon látható, hogy az oldalfelület 4 egyenlő téglalapból áll. Területét az alap kerületének és az ábra magasságának szorzataként számítják ki:
Sside = Pos h
Mivel a négyzet kerülete az P = 4a, a képlet a következő alakot ölti:
Sside = 4a h
A kockához:
Oldal = 4a²
A prizma teljes felületének kiszámításához adjon hozzá 2 alapterületet az oldalfelülethez:
Teljes = Sside + 2Sbase
Négyszögletű szabályos prizmára alkalmazva a képlet a következőképpen alakul:
Teljes = 4a h + 2a²
Egy kocka felületéhez:
Teljes = 6a²
A térfogat vagy felület ismeretében kiszámíthatja a geometriai test egyes elemeit.
Prizmaelemek keresése
Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor adott a térfogat, vagy ismert az oldalfelület értéke, ahol meg kell határozni az alap oldalhosszát vagy a magasságot. Ilyen esetekben képletek származtathatók:
- alap oldal hossza: a = Sside / 4h = √(V / h);
- magasság vagy oldalborda hossza: h = Sside / 4a = V / a²;
- alapterület: Sprim = V / h;
- oldalsó arc területe: Oldal gr = Sside / 4.
Annak meghatározásához, hogy mekkora területe van egy átlós szakasznak, ismernie kell az átló hosszát és az ábra magasságát. Egy négyzetre d = a√2. Ebből adódóan:
Sdiag = ah√2
A prizma átlójának kiszámításához a következő képletet kell használni:
dprize = √(2a² + h²)
A fenti arányok alkalmazásának megértéséhez gyakorolhat és megoldhat néhány egyszerű feladatot.
Példák a megoldásokkal kapcsolatos problémákra
Íme néhány feladat, amely a matematika államzáró vizsgákon jelenik meg.
1. Feladat.
A homokot egy szabályos négyszögű prizma alakú dobozba öntik. Szintének magassága 10 cm Mekkora lesz a homok szintje, ha egy ugyanolyan alakú, de 2-szer hosszabb talphosszúságú edénybe viszed?
Ezzel a következőképpen kell érvelni. Az első és a második tartályban lévő homok mennyisége nem változott, azaz a térfogata bennük azonos. Az alap hosszát a következőképpen határozhatja meg a. Ebben az esetben az első dobozban az anyag térfogata:
V₁ = ha² = 10a²
A második doboznál az alap hossza 2a, de a homokszint magassága ismeretlen:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Mert a V1 = V2, a kifejezések egyenlővé tehetők:
10a² = 4ha²
Miután az egyenlet mindkét oldalát a²-vel csökkentjük, a következőt kapjuk:
Ennek eredményeként az új homokszint lesz h = 10/4 = 2,5 cm.
2. feladat.
Az ABCDA₁B₁C₁D₁ szabályos prizma. Ismeretes, hogy BD = AB₁ = 6√2. Határozza meg a test teljes felületét.
Az ismert elemek könnyebb megértése érdekében rajzolhat egy ábrát.
Mivel szabályos prizmáról beszélünk, megállapíthatjuk, hogy az alap egy 6√2 átlójú négyzet. Az oldallap átlója azonos értékű, ezért az oldallapnak is négyzet alakú az alapja. Kiderült, hogy mindhárom méret - hosszúság, szélesség és magasság - egyenlő. Megállapíthatjuk, hogy az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy kocka.
Bármely él hosszát az ismert átlón keresztül határozzuk meg:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
A teljes felületet a kocka képlete határozza meg:
Teljes = 6a² = 6 6² = 216
3. feladat.
A szoba felújítás alatt áll. Ismeretes, hogy a padlója négyzet alakú, 9 m² területű. A szoba magassága 2,5 m Mennyibe kerül a legalacsonyabb egy szoba tapétázása, ha 1 m² 50 rubel?
Mivel a padló és a mennyezet négyzetek, azaz szabályos négyszögek, falai pedig vízszintes felületekre merőlegesek, megállapíthatjuk, hogy szabályos prizmáról van szó. Meg kell határozni az oldalsó felületének területét.
A szoba hossza a a = √9 = 3 m.
A teret tapéta borítja Oldal = 4 3 2,5 = 30 m².
A legalacsonyabb tapéta költség ebben a szobában lesz 50 30 = 1500 rubel.
Így a téglalap alakú prizma feladatok megoldásához elegendő egy négyzet és egy téglalap területének és kerületének kiszámítása, valamint a térfogat és a felület meghatározására szolgáló képletek ismerete.
Hogyan találjuk meg a kocka területét
A prizma oldalfelületének területe. Helló! Ebben a kiadványban a sztereometriával kapcsolatos feladatok egy csoportját elemezzük. Tekintsük a testek kombinációját - egy prizma és egy henger. Jelenleg ez a cikk befejezi a sztereometriai feladattípusok figyelembevételével kapcsolatos cikkek teljes sorozatát.
Ha új feladatok jelennek meg a feladatbankban, akkor természetesen a jövőben is lesznek kiegészítések a blogban. De ami már megvan, az bőven elég ahhoz, hogy a vizsga részeként egy rövid válaszból megtanulhass minden problémát megoldani. Az anyag még évekig elég lesz (a matematikából statikus a program).
A bemutatott feladatok a prizma területének kiszámításához kapcsolódnak. Megjegyzem, hogy az alábbiakban egy egyenes prizmát (és ennek megfelelően egy egyenes hengert) tekintünk.
Képletek ismerete nélkül megértjük, hogy a prizma oldalfelülete az összes oldallapja. Egy egyenes prizmában az oldallapok téglalap alakúak.
Egy ilyen prizma oldalfelülete egyenlő az összes oldallapja (vagyis a téglalapok) területének összegével. Ha egy szabályos prizmáról beszélünk, amelybe egy henger van beírva, akkor egyértelmű, hogy ennek a prizmának minden lapja EGYENLŐ téglalap.
Formailag az oldalfelület jobb prizmaígy fejezhető ki:
27064. Szabályos négyszögű prizma van körülírva egy olyan henger körül, amelynek alapsugara és magassága 1. Határozza meg a prizma oldalfelületének területét!
Ennek a prizmának az oldalfelülete négy egyenlő területű téglalapból áll. A lap magassága 1, a prizma alapjának éle 2 (ez a henger két sugara), tehát az oldallap területe:
Oldalsó felület:
73023. Határozza meg egy szabályos háromszög hasáb oldalfelületének területét, amely egy olyan henger körül van körülírva, amelynek alapsugara √0,12, magassága pedig 3!
Egy adott prizma oldalfelülete egyenlő az összeggel három oldallapok (téglalapok). Az oldalfelület területének meghatározásához ismernie kell a magasságát és az alapél hosszát. A magasság három. Határozza meg az alap élének hosszát! Vegye figyelembe a vetületet (felülnézet):
Van egy szabályos háromszögünk, amelybe egy √0,12 sugarú kör van beírva. Az AOC derékszögű háromszögből megtaláljuk az AC-t. És akkor AD (AD=2AC). Az érintő meghatározása szerint:
Tehát AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Így az oldalfelület területe egyenlő:
27066. Határozza meg egy szabályos hatszögletű prizma oldalfelületének területét, amely egy henger körül van körülírva, amelynek alapsugara √75 és magassága 1.
A kívánt terület egyenlő az összes oldalfelület területének összegével. Szabályos hatszögletű prizma esetén az oldallapok egyenlő téglalapok.
Az arc területének meghatározásához ismernie kell a magasságát és az alapél hosszát. A magasság ismert, egyenlő 1-gyel.
Határozza meg az alap élének hosszát! Vegye figyelembe a vetületet (felülnézet):
Van egy szabályos hatszögünk, amelybe egy √75 sugarú kör van beírva.
Tekintsünk egy ABO derékszögű háromszöget. Ismerjük az OB lábszárat (ez a henger sugara). meghatározhatjuk az AOB szöget is, ez egyenlő 300-al (az AOC háromszög egyenlő oldalú, OB egy felezőszög).
Az érintő definícióját használjuk in derékszögű háromszög:
AC \u003d 2AB, mivel az OB egy medián, vagyis az AC-t felére osztja, ami azt jelenti, hogy AC \u003d 10.
Így az oldalfelület területe 1∙10=10, az oldalfelület területe pedig:
76485. Határozza meg egy szabályos háromszög hasáb oldalfelületének területét, amely egy olyan hengerbe van írva, amelynek alapsugara 8√3, magassága pedig 6!
Három egyenlő méretű lap (téglalap) meghatározott prizma oldalfelületének területe. A terület megtalálásához ismerni kell a prizma alapja élének hosszát (tudjuk a magasságot). Ha a vetületet vesszük figyelembe (felülnézet), akkor van egy szabályos háromszögünk, amely körbe van írva. Ennek a háromszögnek az oldalát a sugárban fejezzük ki:
Ennek a kapcsolatnak a részletei. Tehát egyenlő lesz
Ekkor az oldalfelület területe egyenlő: 24∙6=144. És a szükséges terület:
245354. Egy szabályos négyszög alakú prizma van körülírva egy olyan henger közelében, amelynek alapsugara 2. A prizma oldalfelülete 48. Határozza meg a henger magasságát!
Minden egyszerű. Négy oldallapunk egyenlő területű, így az egyik lap területe 48:4=12. Mivel a henger alapjának sugara 2, akkor a prizma alapjának éle korai 4 lesz - ez megegyezik a henger átmérőjével (ez két sugár). Ismerjük az arc és az egyik él területét, a második a magasság 12:4=3 lesz.
27065. Határozza meg egy szabályos háromszög hasáb oldalfelületének területét, amely egy olyan henger körül van körülírva, amelynek alapsugara √3 és magassága 2!
Üdvözlettel, Alexander.
Poliéder
A sztereometria vizsgálatának fő tárgya a háromdimenziós testek. Test a tér valamely felület által határolt része.
poliéder Olyan testet, amelynek felülete véges számú sík sokszögből áll, ún. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha a felületén lévő minden lapos sokszög síkjának egyik oldalán fekszik. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él. A konvex poliéder lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalait ún a poliéder élei, és a csúcsok a poliéder csúcsai.
Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (négyzetek csúcsait) tartalmaz.
A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.
Prizma
A prizma meghatározása és tulajdonságai
prizma poliédernek nevezzük, amely két párhuzamos síkban fekvő sík sokszögből áll, amelyek párhuzamos transzlációval kombinálódnak, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket ún prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalélei.
Prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két olyan csúcsát összekötő szakaszt nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz prizma átlós(). A prizmát ún n-szén ha alapja n-szög.
Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek abból a tényből következnek, hogy a prizma alapjait párhuzamos fordítással kombinálják:
1. A prizma alapjai egyenlők.
2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.
A prizma felületét alapok és oldalsó felület. A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.
egyenes prizma
A prizmát ún egyenes ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát ún ferde.
Az egyenes prizma lapjai téglalapok. Egy egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.
teljes prizma felület az oldalfelület és az alapterületek összege.
Helyes prizma egyenes prizmának nevezzük szabályos sokszög a bázison.
13.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelületének területe megegyezik a prizma kerületének és magasságának szorzatával (vagy ennek megfelelően az oldalsó élével).
Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjainál lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalfelület:
,
ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.
Paralelepipedon
Ha egy prizma alapjain paralelogrammák fekszenek, akkor az ún paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.
13.2. Tétel. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot kettéosztjuk.
Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és . Mert a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és , ami azt jelenti, hogy T szerint körülbelül két, a harmadikkal párhuzamos egyenes. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy a vonalak és a vonalak ugyanabban a síkban (a síkban) fekszenek. Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és . Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján az átlói és metszik egymást, és a metszéspont felezik, amit igazolni kellett.
Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap kocka alakú. A téglatest minden lapja téglalap. A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hosszát lineáris méreteinek (méréseknek) nevezzük. Három méret van (szélesség, magasság, hosszúság).
13.3. Tétel. Egy téglatestben bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével 
(a Pythagorean T kétszeri alkalmazásával bizonyítva).
kocka alakú, amelyben minden él egyenlő, nevezzük kocka.
Feladatok
13.1 Hány átlót tesz ki n- karbon prizma
13.2 Egy ferde háromszög alakú prizmában az oldalélek távolsága 37, 13 és 40. Határozza meg a nagyobb oldallap és a szemközti oldalél közötti távolságot!
13.3 Egy szabályos háromszög alakú prizma alsó alaplapjának oldalán keresztül egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat szegmensek mentén, amelyek szöge . Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.
Meghatározás. Prizma- ez egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban található, és ugyanabban a két síkban van a prizma két lapja, amelyek egyenlő sokszögűek, ill. párhuzamos oldalak, és minden él, amely nem esik ezeken a síkon, párhuzamos.
Két egyenlő arcot hívnak prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Minden oldalfelület kialakul oldalfelület prizmák .
A prizma minden oldallapja paralelogramma .
Azokat az éleket, amelyek nem fekszenek az alapokon, a prizma oldalsó éleinek nevezzük ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prizma átlós szakaszt nevezünk, amelynek végei a prizma két olyan csúcsa, amelyek nem az egyik lapján fekszenek (AD 1).
A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. prizma magassága .
Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Először az áthidalás sorrendjében az egyik alap csúcsait, majd ugyanabban a sorrendben a másiknak a csúcsait jelöljük; mindkét oldalél végeit azonos betűk jelölik, csak a benne lévő csúcsok az egyik alapot index nélküli betűk jelölik, a másikat pedig indexszel)
A prizma nevéhez az alapjában elhelyezkedő ábra szögeinek számához kapcsolódik, például az 1. ábrán az alap egy ötszög, ezért a prizmát ún. ötszögű prizma. De azóta egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap a prizma alapja, 5 lap paralelogramma, oldallapja)
Az egyenes prizmák közül kiemelkedik egy bizonyos típus: a szabályos prizmák.
Az egyenes prizmát nevezzük helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.
Paralelepipedon
Paralelepipedon- Ez egy négyszögű prizma, amelynek az alján egy paralelogramma (ferde paralelepipedon) található. Jobb oldali paralelepipedon- paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alap síkjaira.kocka alakú- egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja téglalap.
Tulajdonságok és tételek:
A paralelepipedon egyes tulajdonságai hasonlóak a paralelogramma jól ismert tulajdonságaihoz Az egyenlő méretű négyszögletes paralelepipedon ún. kocka
.Egy kocka minden lapja egyenlő négyzetekkel Egy átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével 
,
ahol d a négyzet átlója;
a tér a - oldala.
A prizma ötletét a következő adja:
- különféle építészeti struktúrák;
- Gyerekjátékok;
- csomagoló dobozok;
- dizájner cikkek stb.
A prizma teljes és oldalfelülete
A prizma teljes felülete az összes lapja területének összege Oldalsó felület oldallapjai területének összegének nevezzük. a prizma alapjai egyenlő sokszögek, akkor területük egyenlő. EzértS teljes \u003d S oldal + 2S fő,
Ahol S tele- teljes felület, S oldal- oldalfelület, S fő- alapterület
Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.
S oldal\u003d P fő * h,
Ahol S oldal az egyenes prizma oldalfelületének területe,
P main - az egyenes prizma alapjának kerülete,
h egy egyenes prizma magassága, egyenlő oldalborda.
Prizma kötet
A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.
"A Pitagorasz-tétel leckéje" - A Pitagorasz-tétel. Határozza meg a KMNP négyszög típusát! Bemelegít. Bevezetés a tételbe. Határozza meg a háromszög típusát: Óraterv: Történelmi kitérő. Egyszerű problémák megoldása. És keress egy 125 láb hosszú létrát. Számítsa ki az ABCD trapéz CF magasságát! Bizonyíték. Képek megjelenítése. A tétel bizonyítása.
"Prizma térfogata" - A prizma fogalma. közvetlen prizma. Az eredeti prizma térfogata megegyezik az S · h szorzattal. Hogyan találjuk meg az egyenes prizma térfogatát? A prizma egyenes vonalakra osztható háromszögű prizmák h magassággal. Rajzold le az ABC háromszög magasságát! A probléma megoldása. Óracélok. A direkt prizmatétel bizonyításának alapvető lépései? A prizmatérfogat-tétel tanulmányozása.
"Prizma poliéder" - Határozzon meg egy poliédert. A DABC egy tetraéder, egy konvex poliéder. A prizmák használata. Hol használják a prizmákat? Az ABCDMP egy oktaéder, amely nyolc háromszögből áll. Az ABCDA1B1C1D1 egy paralelepipedon, egy konvex poliéder. Konvex poliéder. A poliéder fogalma. Az A1A2..AnB1B2..Bn poliéder egy prizma.
"10-es prizmaosztály" – A prizma olyan poliéder, amelynek lapjai párhuzamos síkban helyezkednek el. A prizma használata a mindennapi életben. Sside = Palapú. + h Egyenes prizma esetén: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Hajlamos. Helyes. Egyenes. Prizma. Képletek a terület megtalálásához. A prizma használata az építészetben. Sp.p \u003d S oldal + 2 S alapú.
"A Pitagorasz-tétel bizonyítása" - Geometriai bizonyítás. A Pitagorasz-tétel jelentése. Pitagorasz tétel. Eukleidész bizonyítéka. "Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével." A tétel bizonyításai. A tétel jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle, illetve segítségével.
