A fizikában gyakran használnak háromszög alakú, üvegből készült prizmát a spektrum tanulmányozására fehér fény, mert képes külön komponensekre bontani. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a térfogati képletet
Mi az a háromszög prizma?
Mielőtt megadná a térfogatképletet, vegye figyelembe ennek az ábrának a tulajdonságait.
Ennek eléréséhez fel kell venni egy tetszőleges alakú háromszöget, és egy bizonyos távolságra önmagával párhuzamosan kell mozgatnia. A háromszög csúcsait a kezdeti és a véghelyzetben egyenes szakaszokkal kell összekötni. A kapott háromdimenziós alakzatot háromszög prizmának nevezzük. Öt oldala van. Ezek közül kettőt bázisnak neveznek: párhuzamosak és egyenlőek egymással. A vizsgált prizma alapjai háromszögek. A maradék három oldal paralelogramma.
A vizsgált prizmát az oldalakon kívül hat csúcs (minden alaphoz három) és kilenc él jellemzi (6 él az alapok síkjaiban fekszik, 3 él pedig az oldalak metszéspontjából alakul ki). Ha oldalbordák merőleges az alapokra, akkor az ilyen prizmát téglalap alakú prizmának nevezzük.
A háromszög alakú prizma és ennek az osztálynak az összes többi alakja között az a különbség, hogy mindig konvex (négy, öt, ..., n-szögű prizma is lehet konkáv).
Ez egy téglalap alakú ábra, amelynek alapjában egy egyenlő oldalú háromszög található.
Általános típusú háromszög prizma térfogata
Hogyan találjuk meg a háromszög alakú prizma térfogatát? képlet be Általános nézet hasonló bármilyen prizmához. A következő matematikai jelöléssel rendelkezik:
Itt h az ábra magassága, vagyis az alapjai közötti távolság, S o a háromszög területe.
Az S o értéke akkor található meg, ha egy háromszög néhány paramétere ismert, például egy oldal és két szög, vagy két oldal és egy szög. A háromszög területe egyenlő a magassága és annak az oldalnak a hosszának a felével, amelyre ez a magasság le van engedve.
Ami az ábra h magasságát illeti, a legegyszerűbb téglalap alakú prizmánál megtalálni. Ez utóbbi esetben h egybeesik az oldalél hosszával.
Szabályos háromszög prizma térfogata
A háromszög prizma térfogatának általános képlete, amelyet a cikk előző részében adtunk meg, felhasználható a szabályos háromszög prizma megfelelő értékének kiszámításához. Mivel az alapja egyenlő oldalú háromszög, területe:
Mindenki megkaphatja ezt a képletet, ha emlékszik arra, hogy egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő egymással, és 60 o-ot tesz ki. Itt az a szimbólum a háromszög oldalának hossza.
A h magasság az él hossza. Ennek semmi köze az alapítványhoz. jobb prizmaés tetszőleges értékeket vehet fel. Ennek eredményeként a megfelelő formájú háromszög prizma térfogatának képlete így néz ki:
A gyökér kiszámítása után a képletet a következőképpen írhatjuk át:
Így egy szabályos prizma térfogatának meghatározásához háromszög alakú alap, az alap oldalát négyzetre kell emelni, ezt az értéket meg kell szorozni a magassággal és a kapott értéket megszorozni 0,433-mal.
A szilárd geometria tantervében a háromdimenziós alakzatok tanulmányozása általában egy egyszerű geometriai testtel kezdődik - egy prizma poliéderrel. Alapjainak szerepét 2 egyenlő, párhuzamos síkban elhelyezkedő sokszög tölti be. Különleges eset a szabályos négyszögű prizma. Alapjai 2 egyforma szabályos négyszög, amelyekre az oldalak merőlegesek, paralelogramma alakúak (vagy téglalapok, ha a prizma nem ferde).
Hogy néz ki egy prizma
A szabályos négyszögű prizma egy hatszög, amelynek alapjai 2 négyzet, és oldalsó arcok téglalapokkal ábrázolva. Ennek egy másik neve geometriai alakzat- egyenes paralelepipedon.
Az alábbiakban egy négyszögű prizmát ábrázoló rajz látható.
A képen is láthatod a geometriai testet alkotó legfontosabb elemek. Általában a következőképpen hivatkoznak rájuk:
Néha a geometriai problémákban megtalálhatja a szakasz fogalmát. A definíció így hangzik: a metszet egy térfogati test minden olyan pontja, amely a vágási síkhoz tartozik. A metszet merőleges (90 fokos szögben metszi az ábra széleit). Téglalap alakú prizmánál egy átlós szakaszt is figyelembe veszünk (maximum 2 darab építhető szakasz), amely 2 élen és az alap átlóin halad át.
Ha a metszet úgy van megrajzolva, hogy a vágási sík ne legyen párhuzamos sem az alapokkal, sem az oldalfelületekkel, az eredmény egy csonka prizma.
Különféle arányokat és képleteket használnak a redukált prizmatikus elemek megtalálásához. Némelyikük a planimetria során ismert (például egy prizma alapterületének meghatározásához elegendő felidézni a négyzet területének képletét).
Felület és térfogat
A prizma térfogatának a képlet segítségével történő meghatározásához ismernie kell az alapterületét és a magasságát:
V = Sprim h
Mivel a szabályos tetraéder prizma alapja egy négyzet, amelynek oldala van a, A képletet részletesebb formában is megírhatja:
V = a² h
Ha egy kockáról beszélünk - egy szabályos prizmával egyenlő hosszúságú, szélesség és magasság, a térfogatot a következőképpen számítjuk ki:
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet megtalálni a prizma oldalsó felületét, el kell képzelni a söpörését.
A rajzon látható, hogy az oldalfelület 4 egyenlő téglalapból áll. Területét az alap kerületének és az ábra magasságának szorzataként számítják ki:
Sside = Pos h
Mivel a négyzet kerülete az P = 4a, a képlet a következő alakot ölti:
Sside = 4a h
A kockához:
Oldal = 4a²
A prizma teljes felületének kiszámításához adjon hozzá 2 alapterületet az oldalsó területhez:
Teljes = Sside + 2Sbase
Négyszögletű szabályos prizmára alkalmazva a képlet a következőképpen alakul:
Teljes = 4a h + 2a²
Egy kocka felületéhez:
Teljes = 6a²
A térfogat vagy felület ismeretében kiszámíthatja a geometriai test egyes elemeit.
Prizmaelemek keresése
Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor adott a térfogat, vagy ismert az oldalfelület értéke, ahol meg kell határozni az alap oldalhosszát vagy a magasságot. Ilyen esetekben képletek származtathatók:
- alapoldal hossza: a = Sside / 4h = √(V / h);
- magasság vagy oldalborda hossza: h = Sside / 4a = V / a²;
- alapterület: Sprim = V/h;
- oldalsó arc területe: Oldal gr = Sside / 4.
Annak meghatározásához, hogy mekkora területe van egy átlós szakasznak, ismernie kell az átló hosszát és az ábra magasságát. Egy négyzetre d = a√2. Ebből adódóan:
Sdiag = ah√2
A prizma átlójának kiszámításához a következő képletet kell használni:
dprize = √(2a² + h²)
A fenti arányok alkalmazásának megértéséhez gyakorolhat és megoldhat néhány egyszerű feladatot.
Példák a megoldásokkal kapcsolatos problémákra
Íme néhány feladat, amely a matematika államzáró vizsgákon jelenik meg.
1. Feladat.
A homokot egy szabályos négyszögű prizma alakú dobozba öntik. Szintének magassága 10 cm Mekkora lesz a homok szintje, ha egy ugyanolyan alakú, de 2-szer hosszabb talphosszúságú edénybe viszed?
Ezzel a következőképpen kell érvelni. Az első és a második tartályban lévő homok mennyisége nem változott, azaz a térfogata bennük azonos. Az alap hosszát a következőképpen határozhatja meg a. Ebben az esetben az első dobozban az anyag térfogata:
V₁ = ha² = 10a²
A második doboznál az alap hossza 2a, de a homokszint magassága ismeretlen:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Mert a V1 = V2, a kifejezések egyenlővé tehetők:
10a² = 4ha²
Miután az egyenlet mindkét oldalát a²-vel csökkentjük, a következőt kapjuk:
Ennek eredményeként az új homokszint lesz h = 10/4 = 2,5 cm.
2. feladat.
Az ABCDA₁B₁C₁D₁ szabályos prizma. Ismeretes, hogy BD = AB₁ = 6√2. Határozza meg a test teljes felületét.
Az ismert elemek könnyebb megértése érdekében rajzolhat egy ábrát.
Mivel szabályos prizmáról beszélünk, megállapíthatjuk, hogy az alap egy 6√2 átlójú négyzet. Az oldallap átlója azonos értékű, ezért az oldallapnak is négyzet alakú az alapja. Kiderült, hogy mindhárom méret - hosszúság, szélesség és magasság - egyenlő. Megállapíthatjuk, hogy az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy kocka.
Bármely él hosszát az ismert átlón keresztül határozzuk meg:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
A teljes felületet a kocka képlete határozza meg:
Teljes = 6a² = 6 6² = 216
3. feladat.
A szoba felújítás alatt áll. Ismeretes, hogy a padlója négyzet alakú, 9 m² területű. A szoba magassága 2,5 m Mennyibe kerül a legalacsonyabb egy szoba tapétázása, ha 1 m² 50 rubel?
Mivel a padló és a mennyezet négyzetek, azaz szabályos négyszögek, falai pedig vízszintes felületekre merőlegesek, megállapíthatjuk, hogy szabályos prizmáról van szó. Meg kell határozni az oldalsó felületének területét.
A szoba hossza a a = √9 = 3 m.
A teret tapéta borítja Oldal = 4 3 2,5 = 30 m².
A legalacsonyabb tapéta költség ebben a szobában lesz 50 30 = 1500 rubel.
Így a téglalap alakú prizma feladatok megoldásához elegendő egy négyzet és egy téglalap területének és kerületének kiszámítása, valamint a térfogat és a felület meghatározására szolgáló képletek ismerete.
Hogyan találjuk meg a kocka területét
Mekkora a prizma térfogata és hogyan lehet megtalálni
A prizma térfogata az alapja területének szorzata a magasságával.
Tudjuk azonban, hogy a prizma alapja lehet háromszög, négyzet vagy más poliéder.
Ezért a prizma térfogatának meghatározásához csak ki kell számítania a prizma alapterületét, majd meg kell szoroznia ezt a területet a magasságával.
Vagyis ha van egy háromszög a prizma alján, akkor először meg kell találnia a háromszög területét. Ha a prizma alapja négyzet vagy más sokszög, akkor először meg kell találnia a négyzet vagy egy másik sokszög területét.
Emlékeztetni kell arra, hogy a prizma magassága a prizma alapjaira húzott merőleges.
Mi az a prizma
Most emlékezzünk a prizma definíciójára.
A prizma olyan sokszög, amelynek két lapja (alapja) párhuzamos síkban van, és ezeken a lapokon kívül minden él párhuzamos.
Egyszerűen fogalmazva akkor:
A prizma bármely geometriai alakzat, amelynek két egyenlő alapja és lapos felülete van.
A prizma neve az alap alakjától függ. Ha egy prizma alapja háromszög, akkor az ilyen prizmát háromszögnek nevezzük. A poliéder prizma egy geometriai alakzat, amelynek alapja egy poliéder. A prizma is egyfajta henger.
Milyen típusú prizmák vannak
Ha megnézzük a fenti ábrát, láthatjuk, hogy a prizmák egyenesek, szabályosak és ferdék.
Gyakorlat
1. Mi a helyes prizma?
2. Miért hívják így?
3. Mi a neve egy prizmának, amelynek alapjai szabályos sokszögek?
4. Mekkora ennek az alaknak a magassága?
5. Mi a neve annak a prizmának, amelynek élei nem merőlegesek?
6. Határozzon meg egy háromszög alakú prizmát.
7. Lehet-e a prizma paralelepipedon?
8. Melyik geometriai alakzatot nevezzük félig szabályos sokszögnek?
Milyen elemekből áll egy prizma?
A prizma olyan elemekből áll, mint az alsó és a felső alap, az oldallapok, az élek és a csúcsok.
A prizma mindkét alapja síkban fekszik és párhuzamos egymással.
A gúla oldallapjai paralelogrammák.
Oldalsó felület piramis az oldallapok összege.
Az oldallapok közös oldalai nem mások, mint ennek az ábrának az oldalsó élei.
A piramis magassága az alapok síkjait összekötő és azokra merőleges szakasz.
Prizma tulajdonságai
A geometriai alakzatnak, akárcsak a prizmának, számos tulajdonsága van. Nézzük meg közelebbről ezeket a tulajdonságokat:
Először is, a prizma alapjait egyenlő sokszögeknek nevezzük;
Másodszor, a prizma oldallapjai paralelogramma formájában jelennek meg;
Harmadszor, ennek a geometriai alakzatnak párhuzamos és egyenlő élei vannak;
Negyedszer, a prizma teljes felülete:
És most nézzük meg a tételt, amely egy képletet ad az oldalsó felület kiszámításához és a bizonyításhoz.
Gondolkoztál már ezen Érdekes tény hogy a prizma nemcsak geometriai test lehet, hanem más, minket körülvevő objektum is. Még egy közönséges hópehely is, a hőmérsékleti rendszertől függően, jégprizmává alakulhat, hatszögletű alakot öltve.
De a kalcitkristályoknak van egy olyan egyedi jelenségük, hogy töredékekre esnek, és paralelepipedon alakot vesznek fel. És ami a legmeglepőbb, akármilyen apróra is zúzzák a kalcitkristályokat, az eredmény mindig ugyanaz, apró paralelepipedonokká alakulnak.
Kiderült, hogy a prizma nemcsak a matematikában vált népszerűvé, demonstrálva geometriai testét, hanem a művészet területén is, mivel olyan nagy művészek festményeinek alapja, mint P. Picasso, Braque, Griss és mások.
A "Get an A" videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amely a sikeres sikerhez szükséges a vizsga letétele matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden feladat 1-13 profilvizsga matematika. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors módok a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, fejlesztés térbeli képzelet. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a megoldáshoz kihívást jelentő feladatokat 2 vizsgarész.
A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához ki kell találnia, hogy milyen fajta.
Általános elmélet
Prizma minden olyan poliéder, amelynek oldalai paralelogramma alakúak. Sőt, bármely poliéder lehet az alapján - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre - ezek mérete jelentősen eltérhet.
A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan lap, amely nem alap. teljes felület máris egyesülni fog a prizmát alkotó összes arc.
Néha magasságok jelennek meg a feladatokban. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.
Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapjának területe nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ugyanazok az ábrák vannak a felső és az alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.
háromszög prizma
Az alján van egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög. Köztudott, hogy más. Ha akkor elég felidézni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.
A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.
Az alap területének általános formában történő megismeréséhez hasznosak a képletek: Gém és az, amelyben az oldal felét a hozzá húzott magasságba veszik.
Az első képletet így kell felírni: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ez a bejegyzés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.
Második: S = ½ n a * a.
Ha meg akarjuk tudni egy háromszög hasáb alapjának területét, amely szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Saját képlete van: S = ¼ a 2 * √3.
négyszögű prizma
Alapja bármely ismert négyszög. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.
Ha az alap téglalap, akkor a területét a következőképpen határozzuk meg: S = av, ahol a, b a téglalap oldalai.
Ha négyszögletű prizmáról van szó, a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítják ki. Mert ő fekszik a bázison. S \u003d a 2.
Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S \u003d a * n a. Előfordul, hogy a paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához használnia kell kiegészítő képlet: n a \u003d b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a "b" oldallal, az n magasság pedig ezzel a sarokkal ellentétes.
Ha egy rombusz a prizma alapjában fekszik, akkor a terület meghatározásához ugyanaz a képlet szükséges, mint a paralelogramma esetében (mivel ez egy speciális eset). De használhatja ezt is: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.
Szabályos ötszögletű prizma
Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre kell felosztani, amelyek területei könnyebben kideríthetők. Bár előfordul, hogy a figurák különböző számú csúcsúak lehetnek.
Mivel a prizma alapja az szabályos ötszög, akkor öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ekkor a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.
Szabályos hatszögletű prizma
Az ötszögű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak benne kell hattal szorozni.
A képlet így fog kinézni: S = 3/2 és 2 * √3.
Feladatok
1. sz. Adott egy szabályos egyenes, melynek átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapjának és a teljes felületének területét!
Megoldás. A prizma alapja négyzet, de az oldala nem ismert. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (n) viszonyít. x 2 \u003d d 2 - n 2. Másrészt ez az "x" szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 \u003d a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Helyettesítse a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, így kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm. Most már könnyen megtudhatja az alapterületet: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni az alapterület értékének kétszeresét, és megnégyszereznie kell az oldalt. Ez utóbbit könnyű megtalálni a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. A prizma teljes felülete 960 cm 2 .
Válasz. A prizma alapterülete 144 cm2. A teljes felület - 960 cm 2 .
2. szám Dana Az alapon egy 6 cm-es oldalú háromszög fekszik, ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület!
Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe egyenlő 6 négyzet-szer ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.
Minden oldallap egyforma, téglalap 6 és 10 cm oldalakkal. Területük kiszámításához elegendő ezeket a számokat megszorozni. Ezután szorozza meg őket hárommal, mert a prizmának pontosan annyi oldallapja van. Ezután az oldalfelület területét 180 cm 2 -re tekerjük.
Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.
