Ezután megvizsgáljuk a hatékony Pitagorasz-hármasok előállításának jól ismert módszereit. Pythagoras tanítványai voltak az elsők, akik kidolgoztak egy egyszerű módszert a Pitagorasz-hármasok generálására egy olyan képlet segítségével, amelynek részei egy Pitagorasz-hármast képviselnek:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Ahol m- párosítatlan, m>2. Igazán,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Hasonló képletet javasolt Platón ókori görög filozófus:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Ahol m- bármilyen szám. Mert m= 2,3,4,5 a következő hármasok jönnek létre:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Mint látható, ezek a képletek nem adhatnak meg minden lehetséges primitív hármast.

Tekintsük a következő polinomot, amely polinomok összegére bontható:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Ezért a következő képletek a primitív hármasok megszerzésére:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ezek a képletek olyan hármasokat generálnak, amelyekben az átlagos szám pontosan eggyel különbözik a legnagyobbtól, vagyis nem generálódik minden lehetséges hármas is. Itt az első hármasok: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Az összes primitív hármas létrehozásának meghatározásához meg kell vizsgálni azok tulajdonságait. Először is, ha ( ABC) tehát egy primitív hármas aÉs b, bÉs c, AÉs c— Coprime-nek kell lennie. Hadd aÉs b részre vannak osztva d. Akkor a 2 + b 2 is osztható vele d. Illetőleg, c 2 és c részre kell osztani d. Vagyis nem primitív hármas.

Másodszor, a számok között a, b az egyiknek párosítottnak, a másiknak párosítatlannak kell lennie. Valóban, ha aÉs b- akkor párosítva Val vel párosítva lesznek, és a számok legalább 2-vel oszthatók. Ha mindkettő nincs párosítva, akkor 2-ként ábrázolhatók k+1 és 2 l+1, hol k,l- néhány szám. Akkor a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, azaz Val vel 2 , valamint a 2 + b 2 maradéka 2, ha elosztjuk 4-gyel.

Hadd Val vel- Bármilyen szám, azaz Val vel = 4k+én (én=0,…,3). Akkor Val vel 2 = (4k+én) 2 maradéka 0 vagy 1, és nem lehet 2 maradéka. aÉs b nem párosítható, azaz a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 és maradék Val vel A 2 4-nek 1-nek kell lennie, ami azt jelenti Val vel párosítás nélkülinek kell lennie.

A Pythagorean hármas elemeire vonatkozó ilyen követelményeket a következő számok teljesítik:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Ahol mÉs n coprime-ok különböző párosításokkal. Ezek a függőségek először Euklidész munkáiból váltak ismertté, aki 2300 évet élt. vissza.

Bizonyítsuk be a függőségek (2) érvényességét. Hadd A- akkor duplán bÉs c- párosítatlan. Akkor c + bén c − b- párok. Úgy ábrázolhatók, mint c + b = 2uÉs c − b = 2v, Ahol u,v néhány egész szám. Ezért

a 2 = Val vel 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

És ezért ( a/2) 2 = UV.

Ellentmondással igazolható, hogy uÉs v koprime. Hadd uÉs v- osztják d. Akkor ( c + b) És ( c − b) osztják d. És ezért cÉs b részre kell osztani d, és ez ellentmond a Pythagorean hármas feltételének.

Mert UV = (a/2) 2 és uÉs v coprime, ezt könnyű bizonyítani uÉs v bizonyos számokból álló négyzeteknek kell lenniük.

Tehát vannak pozitív egész számok mÉs n, oly módon, hogy u = m 2 és v = n 2. Akkor

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 szóval
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Mert b> 0, akkor m > n.

Ezt meg kell mutatni mÉs n különböző párosításaik vannak. Ha mÉs n- akkor párosítva uÉs v párosítani kell, de ez lehetetlen, mivel ezek koprime. Ha mÉs n- akkor páratlan b = m 2 − n 2 és c = m 2 + n 2 lenne párosítva, ami lehetetlen, mert cÉs b koprime.

Így minden primitív Pitagorasz-hármasnak meg kell felelnie a (2) feltételeknek. Ugyanakkor a számok mÉs n hívott számok generálása primitív hármasikrek. Például legyen egy primitív Pitagorasz-hármas (120,119,169). Ebben az esetben

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, és c = 144+25=169,

Ahol m = 12, n= 5 - számok generálása, 12 > 5; A 12-es és az 5-ös szám más-más párosítású.

Bizonyítható, hogy a számok m, n a (2) képletek egy primitív Pitagorasz-hármast adnak (a,b,c). Igazán,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Azaz ( a,b,c) egy Pitagorasz-hármas. Hadd bizonyítsuk be a,b,c ellentmondásból következő prímszámok. Osszuk el ezeket a számokat p> 1. Mivel mÉs n akkor különböző párosítások vannak bÉs c- páratlan, azaz p≠ 2. Mert R oszt bÉs c, Azt R 2-t kell osztani m 2. és 2 n 2 , ami lehetetlen, mert p≠ 2. Ezért m, n a koprime és a,b,c szintén koprime.

Az 1. táblázat a (2) képletekkel generált összes primitív Pitagorasz-hármast mutatja m≤10.

1. táblázat Primitív Pitagorasz-hármasok for m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

A táblázat elemzése a következő mintasorozatok jelenlétét mutatja:

• vagy a, vagy b osztva 3-mal;
• az egyik szám a,b,c osztható 5-tel;
• szám A osztható 4-gyel;
• munka a· b osztható 12-vel.

1971-ben Teigan és Hedwin amerikai matematikusok ilyen kevéssé ismert paramétereket javasoltak a hármasok előállításához. derékszögű háromszög, mint a magassága (magassága) h = c− b és többlet (siker) e = a + b − c. Az 1. ábrán. ezeket a mennyiségeket egy bizonyos derékszögű háromszög mutatja.

1. ábra Derékszögű háromszög és növekedése és többlete

A "felesleg" elnevezés onnan ered, hogy ez az a további távolság, amelyet a háromszög szárai mentén az egyik csúcstól a másikig kell átadni, ha nem haladunk az átlóján.

A felesleg és a növekedés révén a Pitagorasz-háromszög oldalai a következőképpen fejezhetők ki:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nem minden kombináció hÉs e Pitagorasz-háromszögeknek felelhet meg. Adottnak h lehetséges értékek e valamilyen szám szorzata d. Ez a szám d növekedésnek nevezzük és arra utal h a következő módon: d a legkisebb pozitív egész szám, amelynek négyzete osztható 2-vel h. Mert e többszörös d, akkor így írják e = kd, Ahol k egy pozitív egész szám.

Párok segítségével ( k,h) létrehozhat minden Pitagorasz háromszöget, beleértve a nem primitív és az általánosított háromszöget is, az alábbiak szerint:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Sőt, a hármas primitív, ha kÉs h coprime és if h =± q 2 órakor q- párosítatlan.
Sőt, pontosan egy Pitagorasz-hármas lesz, ha k> √2 h/dÉs h > 0.

Megtalálni kÉs h tól től ( a,b,c) csináld a következőt:

• h = c − b;
• írd le h Hogyan h = pq 2, hol p> 0 és olyan, amely nem négyzet;
• d = 2pq Ha p- párosítatlan és d = pq, ha p páros;
• k = (a − h)/d.

Például a hármasra (8,15,17) van h= 17−15 = 2 1, tehát p= 2 és q = 1, d= 2, és k= (8 − 2)/2 = 3. Tehát ez a hármas így megadva ( k,h) = (3,2).

A hármashoz (459,1260,1341) van h= 1341 − 1260 = 81, tehát p = 1, q= 9 és d= 18, tehát k= (459 − 81)/18 = 21, tehát ennek a hármasnak a kódja ( k,h) = (21, 81).

Hármasok megadása -val hÉs k számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik. Paraméter k egyenlő

k = 4S/(dP), (5)

Ahol S = ab/2 a háromszög területe, és P = a + b + c a kerülete. Ez következik az egyenlőségből eP = 4S, ami a Pitagorasz-tételből származik.

Derékszögű háromszöghez e megegyezik a háromszögbe írt kör átmérőjével. Ez abból a tényből származik, hogy a hipotenusz Val vel = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Ahol r a kör sugara. Innen h = c − b = A − 2rÉs e = a − h = 2r.

Mert h> 0 és k > 0, k a hármasikrek sorszáma a-b-c Pitagorasz-háromszögek sorozatában növekvő h. A 2. táblázatból, amely több lehetőséget mutat a párok által generált hármasokra h, k, látható, hogy a növekvő k a háromszög oldalai nőnek. Így a klasszikus számozással ellentétben a páros számozás h, k magasabb rendű a hármasok sorozatában.

2. táblázat. Pitagorasz-hármasok, a h, k párok által generált.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Mert h > 0, d kielégíti a 2√ egyenlőtlenséget h ≤ d ≤ 2h, amelyben az alsó határértéket a p= 1, a felső pedig at q= 1. Ezért az érték d 2√ tekintetében h annak mértéke, hogy mennyi h távol valamely szám négyzetétől.

nevelési: számos Pitagorasz-hármas tanulmányozásához dolgozzon ki egy algoritmust az alkalmazásukhoz különböző helyzetekben, készítsen feljegyzést a használatukról.

Nevelési: a tanuláshoz való tudatos szemlélet kialakítása, a kognitív tevékenység fejlesztése, a nevelő-oktató munka kultúrája.

Nevelési: geometriai, algebrai és numerikus intuíció, találékonyság, megfigyelés, memória fejlesztése.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat

II. Új anyag magyarázata

Tanár: A Pythagorean-hármasok vonzó erejének rejtélye régóta aggasztja az emberiséget. A Pythagorean hármasok egyedi tulajdonságai megmagyarázzák különleges szerepüket a természetben, a zenében és a matematikában. A Pythagorean varázslat, a Pitagorasz-tétel milliók, ha nem milliárdok agyában marad. Ez egy alapvető tétel, amelyet minden iskolás kénytelen megjegyezni. Bár tízévesek számára is érthető, a Pitagorasz-tétel inspiráló kiindulópontja annak a problémának, amelyet a matematikatörténet legnagyobb elméinek nem sikerült megoldaniuk: a Fermat-tételt. Pythagoras Szamosz szigetéről (vö. 1. számú melléklet , 4. dia) a matematika egyik legbefolyásosabb, mégis rejtélyes alakja volt. Mivel életéről és munkásságáról nincsenek megbízható feljegyzések, életét mítoszok és legendák övezték, és a történészek nehezen tudják elkülöníteni a tényt a fikciótól. Kétségtelen azonban, hogy Pythagoras dolgozta ki a számok logikájának gondolatát, és neki köszönhetjük a matematika első aranykorát. Zsenialitásának köszönhetően a számokat már nem csak számolásra és számításra használták, hanem először értékelték őket. Pythagoras tanulmányozta egyes számosztályok tulajdonságait, a köztük lévő kapcsolatokat és a számokat alkotó ábrákat. Pythagoras rájött, hogy a számok az anyagi világtól függetlenül léteznek, ezért érzékszerveink pontatlansága nem befolyásolja a számok tanulmányozását. Ez azt jelentette, hogy Pythagoras képessé tett arra, hogy bárki véleményétől vagy előítéleteitől független igazságokat fedezzen fel. Az igazságok abszolútabbak minden korábbi tudásnál. A Pitagorasz-hármasokkal kapcsolatos tanulmányozott irodalom alapján érdeklődni fogunk a Pitagorasz-hármasok trigonometriai feladatok megoldásában való felhasználásának lehetőségei iránt. Ezért célul tűzzük ki magunknak: számos Pitagorasz-hármas tanulmányozását, alkalmazásukra algoritmus kidolgozását, használatukról feljegyzés összeállítását, különböző helyzetekben történő alkalmazásuk tanulmányozását.

háromszög ( dia 14), amelynek oldalai egyenlőek a Pitagorasz számokkal, téglalap alakú. Sőt, minden ilyen háromszög heroni, i.e. olyan, amelyben minden oldal és terület egész szám. Közülük a legegyszerűbb az egyiptomi háromszög oldalakkal (3, 4, 5).

Készítsünk Pitagorasz hármassorozatot úgy, hogy a (3, 4, 5) számokat megszorozzuk 2-vel, 3-mal, 4-gyel. Pitagorasz hármassorozatot kapunk, rendezzük őket a maximális szám szerint növekvő sorrendbe, válasszunk primitíveket.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Az órák alatt

1. Pörögjünk körbe a feladatokon:

1) Ugyanazon argumentum trigonometrikus függvényei közötti kapcsolatokat felhasználva keresse meg, ha

ismeretes, hogy .

2) Határozza meg a szög trigonometrikus függvényeinek értékét?, ha ismert, hogy:

3) A képzési feladatok rendszere a „Kiegészítési képletek” témában

tudva, hogy sin = 8/17, cos = 4/5, és ezek az első negyed szögei, keresse meg a kifejezés értékét:

tudva, hogy és a második negyed szögei, sin = 4/5, cos = - 15/17, keresse meg:.

4) A képzési feladatok rendszere a „Kettős szög képletek” témában

a) Legyen sin = 5/13, a második negyed szöge. Keresse meg sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Ismeretes, hogy tg? \u003d 3/4, - a harmadik negyedév szöge. Keresse meg sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Ismeretes, hogy , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Ismeretes, hogy , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Határozzuk meg tg( + ) értékét, ha ismert, hogy cos = 3/5, cos = 7/25, ahol és az első negyed szögei.

f) Keresse meg , a harmadik negyed szöge.

A feladatot hagyományos módon, alapvető trigonometrikus azonosságok segítségével oldjuk meg, majd ugyanezeket a feladatokat racionálisabb módon oldjuk meg. Ehhez egy Pitagorasz-hármasokat használó feladatmegoldó algoritmust használunk. Feljegyzést készítünk a Pitagorasz-hármasok segítségével történő problémák megoldásához. Ehhez felidézzük a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióját, hegyesszög derékszögű háromszög, ábrázolja, a feladat feltételeitől függően a derékszögű háromszög oldalain helyesen rendezzük el a Pitagorasz hármasokat ( rizs. 1). Felírjuk az arányt és elrendezzük a jeleket. Az algoritmust kidolgozták.

1. kép

Problémamegoldó algoritmus

Ismételje meg (tanulmányozza) az elméleti anyagot.

Ismerje meg fejből a primitív Pythagorean-hármasokat, és ha szükséges, tudjon újakat építeni.

Alkalmazza a Pitagorasz-tételt a racionális koordinátákkal rendelkező pontokra.

Ismerje a derékszögű háromszög hegyesszögének szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióját, tudjon derékszögű háromszöget rajzolni, és a feladat feltételétől függően helyesen elrendezze a Pitagorasz-hármasokat a háromszög oldalaira.

Ismerje a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jeleit, attól függően, hogy hol helyezkednek el Koordináta sík.

Kötelező követelmények:

1. tudja, milyen előjelei vannak a szinusznak, koszinusznak, érintőnek, kotangensnek a koordinátasík egyes negyedeiben;
2. ismeri a derékszögű háromszög hegyesszögének szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióját;
3. ismerje és tudja alkalmazni a Pitagorasz-tételt;
4. ismeri az alapokat trigonometrikus azonosságok, összeadási képletek, kettős szög képletek, fél argumentum képletek;
5. ismeri a redukciós képleteket.

A fentiek alapján töltse ki a táblázatot ( Asztal 1). Ezt a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciója szerint kell kitölteni, vagy a racionális koordinátákkal rendelkező pontokhoz a Pitagorasz-tételt. Ebben az esetben folyamatosan emlékezni kell a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jeleire, attól függően, hogy a koordinátasíkban elhelyezkednek-e.

Asztal 1

		A számok hármasai		bűn	kötözősaláta	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I óra
		(6, 8, 10)	II óra			-	-
		(5, 12, 13)	3. óra	-	-
		(8, 15, 17)	IV óra	-		-	-
		(9, 40, 41)	I óra

A sikeres munka érdekében használhatja a Pythagorean triples használatáról szóló feljegyzést.

2. táblázat

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Együtt döntünk.

1) Feladat: keresse meg cos, tg és ctg, ha sin = 5/13, ha - a második negyed szögét.

Pitagorasz számhármasai

kreativ munka

diák 8 "A" osztály

MAOU "1. számú gimnázium"

Szaratov Oktyabrsky kerülete

Panfilova Vlagyimir

Témavezető - a legmagasabb kategóriájú matematika tanár

Grishina Irina Vladimirovna

Tartalom

Bevezetés……………………………………………………………………………………3

A munka elméleti része

Az alapvető Pitagorasz-háromszög megkeresése

(az ókori hinduk képletei)……………………………………………………………………4

A munka gyakorlati része

A Pythagorean hármasok különféle módon történő összeállítása ……………………… ........

A Pitagorasz-háromszögek fontos tulajdonsága………………………………………………8

Következtetés………………………………………………………………………………….9

Irodalom……………………………………………………………………………………10

Bevezetés

Abban tanév a matematika órákon a geometria egyik legnépszerűbb tételét - a Pitagorasz-tételt - tanultuk. A Pitagorasz-tételt a geometriában minden lépésben alkalmazzák, széles körben alkalmazzák a gyakorlatban és a mindennapi életben. De magán a tételen kívül a Pitagorasz-tétellel fordított tételt is tanulmányoztuk. Ennek a tételnek a tanulmányozása kapcsán megismerkedtünk a pitagoraszi számhármasokkal, i.e. 3-as készlettel természetes számok a , b Ésc , amelyre a reláció érvényes: = + . Ilyen készletek tartalmazzák például a következő hármasokat:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Rögtön felmerült bennem a kérdés: hány Pitagorasz-hármast tudsz kitalálni? És hogyan kell összeállítani őket?

Geometria tankönyvünkben a Pitagorasz-tétellel fordított tétel bemutatása után egy fontos megjegyzés hangzott el: bebizonyítható, hogy a lábakA Ésb és hypotenusaVal vel A derékszögű háromszögek, amelyek oldalainak hossza természetes számokban van kifejezve, a következő képletekkel kereshető meg:

A = 2km b = k( - )c = k( + , (1)

Aholk , m , n bármilyen természetes szám, ésm > n .

Természetesen felmerül a kérdés - hogyan kell bizonyítani ezeket a képleteket? És csak ezekkel a képletekkel lehet Pitagorasz-hármasokat alkotni?

Munkám során a bennem felmerülő kérdésekre igyekeztem választ adni.

A munka elméleti része

A fő Pitagorasz-háromszög megtalálása (az ókori hinduk képletei)

Először bizonyítsuk be az (1) képleteket:

Jelöljük az átmenő lábak hosszátx Ésnál nél , és a hypotenus hossza átz . A Pitagorasz-tétel szerint egyenlőségünk van:+ = .(2)

Ezt az egyenletet Pitagorasz egyenletnek nevezik. A Pitagorasz-háromszögek tanulmányozása a (2) egyenlet természetes számokban történő megoldására redukálódik.

Ha valamelyik Pitagorasz-háromszög minden oldalát ugyanannyiszor megnöveljük, akkor az adotthoz hasonló új derékszögű háromszöget kapunk, amelynek oldalai természetes számokban vannak kifejezve, azaz. ismét a Pitagorasz-háromszög.

Az összes hasonló háromszög között van a legkisebb, könnyen kitalálható, hogy ez olyan háromszög lesz, amelynek oldalaix Ésnál nél koprímszámokkal kifejezve

(gcd (x,y )=1).

Az ilyen Pitagorasz-háromszöget nevezzükfő- .

A fő Pitagorasz-háromszögek megkeresése.

Legyen a háromszög (x , y , z ) a fő Pitagorasz-háromszög. Számokx Ésnál nél koprím, ezért mindkettő nem lehet páros. Bizonyítsuk be, hogy mindkettő nem lehet páratlan. Ehhez megjegyezzük, hogyA páratlan szám négyzete, ha elosztjuk 8-cal, a maradék 1 lesz. Valójában bármely páratlan természetes szám ábrázolható2 k -1 , Aholk tartozikN .

Innen: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Számok( k -1) Ésk egymást követő, az egyiknek párosnak kell lennie. Aztán a kifejezésk ( k -1) osztva2 , 4 k ( k -1) osztható 8-cal, ami azt jelenti 8-cal osztva a maradék 1.

Két páratlan szám négyzetösszege 8-cal osztva 2 maradékot ad, ezért két páratlan szám négyzetösszege páros szám, de nem többszöröse 4-nek, ezért ez a számnem lehet természetes szám négyzete.

Tehát a (2) egyenlőség nem állhat fenn, hax Ésnál nél mindkettő furcsa.

Így ha a Pitagorasz-háromszög (x, y, z ) - a fő, majd a számok közöttx Ésnál nél az egyiknek párosnak, a másiknak pedig páratlannak kell lennie. Legyen az y szám páros. Számokx Ész páratlan (páratlanz egyenlőségből (2) következik).

Az egyenletből+ = azt kapjuk= ( z + x )( z - x ) (3).

Számokz + x Ész - x mivel két páratlan szám összege és különbsége páros szám, ezért (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , AholA Ésb tartozikN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Ezekből az egyenlőségekből az következika Ésb viszonylag prímszámok.

Ezt az ellenkezőjével bizonyítjuk.

Legyen GCD (a , b )= d , Ahold >1 .

Akkord z Ésx , és innen a számokz + x Ész - x . Ezután az egyenlőség alapján (3) osztója lenne . Ebben az esetbend lenne közös osztó számoknál nél Ésx , hanem a számoknál nél Ésx Coprime-nek kell lennie.

Számnál nél köztudott, hogy páros, teháty = 2s , AholVal vel - természetes szám. A (4) egyenlőségen alapuló (3) egyenlőség a következő formában jelenik meg: =2a*2 b , vagy =ab.

Az aritmetikából ismert, hogyha két társprímszám szorzata egy természetes szám négyzete, akkor ezek a számok mindegyike egy természetes szám négyzete is.

Eszközök,a = Ésb = , Aholm Ésn koprímszámok, mert a koprímszámok osztóiA Ésb .

Az (5) egyenlőség alapján a következőket kapjuk:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Akkory = 2 mn .

Számokm Ésn , mert másodlagosak, nem lehetnek egyszerre. De nem lehetnek egyszerre különösek, mert ebben az esetbenx = - egyenletes lenne, ami lehetetlen. Tehát az egyik számm vagyn páros, a másik pedig páratlan. Magától értetődően,y = 2 mn Ezért minden fő Pitagorasz-háromszögben legalább az egyik szár osztható 4-gyel. Ebből következik, hogy nincs olyan Pitagorasz-háromszög, amelynek minden oldala prímszám lenne.

A kapott eredményeket a következő tétellel fejezhetjük ki:

Minden nagyobb háromszög, amelybennál nél páros szám, a képletből kapjuk

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), Aholm Ésn - minden koprímszámpár, amelyek közül az egyik páros, a másik páratlan (nem mindegy, hogy melyik). Minden alapvető Pitagorasz hármas (x, y, z ), Aholnál nél –, sőt, egyedileg meghatározott így.

Számokm Ésn nem lehet mindkettő páros vagy mindkettő páratlan, mert ezekben az esetekben

x = egyenletes lenne, ami lehetetlen. Tehát az egyik számm vagyn páros és a másik páratlany = 2 mn osztható 4-gyel).

A munka gyakorlati része

Pitagorasz-hármasok komponálása különféle módokon

Hindu képletekbenm Ésn - koprím, de tetszőleges paritású számok is lehetnek, és ezek használatával meglehetősen nehéz Pitagorasz-hármasokat létrehozni. Ezért próbáljunk meg más megközelítést találni a Pitagorasz-hármasok összeállításához.

= - = ( z - y )( z + y ), Aholx - páratlan,y - még,z - páratlan

v = z - y , u = z + y

= UV , Aholu - páratlan,v – páratlan (coprime)

Mert két páratlan koprímszám szorzata egy természetes szám négyzete, tehátu = , v = , Aholk Ésl másodprím, páratlan számok.

z - y = z + y = k 2 , ahonnan az egyenlőségeket összeadva és egymástól kivonva a következőket kapjuk:

2 z = + 2 y = - vagyis

z= y= x = cl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (snullák)*(100…0 (snullák) +1)+1 =200…0 (s-1nullák) 200…0 (s-1nullák) 1

A Pitagorasz-háromszögek fontos tulajdonsága

Tétel

A fő Pitagorasz-háromszögben az egyik láb szükségszerűen osztható 4-gyel, az egyik láb szükségszerűen osztható 3-mal, és a Pitagorasz-háromszög területe szükségszerűen 6 többszöröse.

Bizonyíték

Mint tudjuk, bármely Pitagorasz-háromszögben legalább az egyik láb osztható 4-gyel.

Bizonyítsuk be, hogy az egyik láb is osztható 3-mal.

Ennek bizonyítására tegyük fel, hogy a Pitagorasz-háromszögben (x , y , z x vagyy 3 többszöröse.

Most bebizonyítjuk, hogy a Pitagorasz-háromszög területe osztható 6-tal.

Bármely Pitagorasz-háromszög területe 6 természetes többszöröseként van kifejezve. Ez abból a tényből következik, hogy legalább az egyik szár osztható 3-mal, és legalább az egyik szár osztható 4-gyel. A háromszög területe, a lábak félszorzata határozza meg, 6 többszörösével kell kifejezni.

Következtetés

Munkában

- az ókori hinduk bevált képletei

- tanulmányt végzett a Pitagorasz-hármasok számáról (végtelenül sok van belőlük)

- a Pitagorasz-hármasok megtalálásának módszerei vannak feltüntetve

- Tanulmányozta a Pitagorasz-háromszögek néhány tulajdonságát

Nekem nagyon volt érdekes témaés nagyon érdekes tevékenységgé vált a válaszkeresés a kérdéseimre. A jövőben azt tervezem, hogy megvizsgálom a Pitagorasz-hármasok összekapcsolását a Fibonacci-szekvenciával és Fermat-tétellel, és megismerem a Pitagorasz-háromszögek további tulajdonságait.

Irodalom

L.S. Atanasyan "Geometria. 7-9 évfolyam" M .: Oktatás, 2012.

V. Serpinsky „Pitagorasz-háromszögek” M.: Uchpedgiz, 1959.

Szaratov

2014

A természetes számok tulajdonságainak tanulmányozása elvezette a püthagoreusokat az elméleti aritmetika (számelmélet) egy másik „örök” problémájához – egy olyan problémához, amelynek csírái jóval Pitagorasz előtt, Az ókori Egyiptomés az ókori Babilon, és a mai napig nem sikerült közös megoldást találni. Kezdjük azzal a problémával, amely modern értelemben a következőképpen fogalmazható meg: oldjuk meg a határozatlan egyenletet természetes számokban

Ma ezt a feladatot ún Pythagoras problémája, és megoldásait - az (1.2.1) egyenletet kielégítő természetes számok hármasait - ún. Pitagorasz-hármasok. A Pitagorasz-tétel és a Pitagorasz-probléma nyilvánvaló kapcsolata miatt ez utóbbi geometriai megfogalmazást kaphat: keresse meg az összes egész lábú derékszögű háromszöget x, yés egész számú hipotenúza z.

A Pythagorean-probléma sajátos megoldásait az ókorban ismerték. A berlini Egyiptomi Múzeumban őrzött, I. Amenemhet fáraó korabeli (Kr. e. 2000 körül) papiruszban egy derékszögű háromszöget találunk, amelynek oldalaránya (). A legnagyobb német matematikatörténész, M. Kantor (1829-1920) szerint az ókori Egyiptomban volt egy különleges szakma. harpedonapts- "kötélfeszítők", akik a templomok és piramisok lerakásának ünnepélyes ceremóniája során derékszögeket jelöltek meg egy 12 (= 3 + 4 + 5) egyenlő távolságban elhelyezkedő csomóból álló kötéllel. Építési mód derékszög A harpedonapt a 36. ábrán látható.

Azt kell mondanunk, hogy az ókori matematika egy másik ismerője, van der Waerden kategorikusan nem ért egyet Cantorral, bár az ókori egyiptomi építészet arányai Cantor mellett tanúskodnak. Bárhogy is legyen, ma egy oldalarányú derékszögű háromszöget hívnak egyiptomi.

Amint azt a p. 76, az ókori babilóniai korból származó agyagtábla maradt fenn, amely 15 sornyi Pythagorean-hármast tartalmaz. Az egyiptomiból (3, 4, 5) 15-tel szorozva kapott triviális hármas mellett (45, 60, 75) vannak nagyon összetett pitagorasz-hármasok is, mint például (3367, 3456, 4825) és páros (12709) , 13500, 18541)! Kétségtelen, hogy ezeket a számokat nem egyszerű felsorolással találták meg, hanem néhány egységes szabály alapján.

Ennek ellenére az (1.2.1) egyenlet természetes számokban való általános megoldásának kérdését csak a pitagoreusok tették fel és oldották meg. Bármilyen általános beállítás matematikai probléma idegen volt mind az ókori egyiptomiak, mind az ókori babilóniaiak számára. Csak Püthagorasszal kezdődik a matematika mint deduktív tudomány kialakulása, és ezen az úton az egyik első lépés a Pitagorasz-hármasok problémájának megoldása volt. Az ókori hagyomány az (1.2.1) egyenlet első megoldásait Pythagoras és Platón nevéhez köti. Próbáljuk meg rekonstruálni ezeket a megoldásokat.

Nyilvánvaló, hogy Pitagorasz az (1.2.1) egyenletet nem analitikus formában gondolta, hanem négyzetszám formájában, amelyen belül meg kellett találni a négyzetszámokat és a . Természetes volt, hogy a számot négyzet formájában ábrázoljuk, oldallal y eggyel kevesebb oldal z eredeti négyzet, azaz . Ekkor, ahogy a 37. ábrán jól látható (lásd csak!), a maradék négyzetszámra az egyenlőségnek teljesülnie kell. Így jutunk el a rendszerhez lineáris egyenletek

Ezeket az egyenleteket összeadva és kivonva megkapjuk az (1.2.1) egyenlet megoldását:

Könnyen belátható, hogy a kapott megoldás csak páratlanra ad természetes számokat. Így végre megvan

És így tovább. A hagyomány ezt a döntést Pythagoras nevével köti össze.

Megjegyezzük, hogy az (1.2.2) rendszer formálisan is megkapható az (1.2.1) egyenletből. Valóban,

ahonnan, feltételezve, hogy érkezünk (1.2.2).

Nyilvánvaló, hogy a Pitagorasz-megoldást egy meglehetősen merev megkötés () mellett találták meg, és messze nem minden Pythagorean-hármast tartalmaz. Következő lépésként tegyük a , akkor -t, mivel csak ebben az esetben lesz négyzetszám. Így a rendszer keletkezik is egy Pitagorasz-hármas lesz. Most a fő

Tétel. Ha pÉs q különböző paritású koprímszámok, akkor minden primitív Pitagorasz-hármas megtalálható a képletekkel

Tulajdonságok

Az egyenlet óta x 2 + y 2 = z 2 szorozva homogén x , yÉs z ugyanerre a számra még egy pitagorasz-hármast kap. A Pitagorasz-hármas az ún primitív, ha ilyen módon nem szerezhető meg, vagyis - relatív prímszámok.

Példák

Néhány Pitagorasz-hármas (a maximális szám növekvő sorrendjében, a primitívek kiemelve):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Sztori

A Pitagorasz-hármasok nagyon régóta ismertek. Az ókori mezopotámiai sírkövek építészetében egy egyenlő szárú háromszög található, amely két téglalap alakú, 9, 12 és 15 sing oldalú háromszögből áll. Snefru fáraó (Kr. e. XXVII. század) piramisait 20, 21 és 29, valamint 18, 24 és 30 tíz egyiptomi könyök oldalú háromszögekből építették.

X. Összoroszországi Szimpózium az alkalmazott és ipari matematikáról. Szentpétervár, 2009. május 19

Jelentés: Algoritmus a diofantin-egyenletek megoldására.

A dolgozat a diofantin egyenletek tanulmányozásának módszerét vizsgálja, és bemutatja az ezzel a módszerrel megoldott megoldásokat: - nagy tétel Farm; - Pitagorasz-hármasok keresése stb. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Linkek

• E. A. Gorin Prímszámok hatványai Pitagorasz-hármasban // Matematikai oktatás. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi a "pytagorasz hármas" más szótárakban:

A matematikában a pitagoraszi számok (pitagoraszi hármas) egy sor három egész Pitagorasz összefüggést kielégítő számok: x2 + y2 = z2. Tartalom 1 Tulajdonságok ... Wikipédia

Természetes számok hármasai úgy, hogy egy háromszög, amelynek oldalhossza arányos (vagy egyenlő) ezekkel a számokkal, derékszögű, pl. számok hármasa: 3, 4, 5… Nagy enciklopédikus szótár

Természetes számok hármasai úgy, hogy az a háromszög, amelynek oldalhossza arányos (vagy egyenlő) ezekkel a számokkal, derékszögű háromszög. A tétel szerint a Pitagorasz-tétel inverze (lásd Pitagorasz-tétel), ehhez elég, ha ... ... Nagy szovjet enciklopédia

Az x, y, z pozitív egészek hármasai, amelyek kielégítik az x2+y 2=z2 egyenletet. Ennek az egyenletnek minden megoldása, és ebből következően minden P. p., az x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 képletekkel fejezhető ki, ahol a, b tetszőleges pozitív egész számok (a>b). P. h ... Matematikai Enciklopédia

Természetes számok hármasai úgy, hogy például egy háromszög, amelynek oldalainak hossza arányos (vagy egyenlő) ezekkel a számokkal, téglalap alakú. számok hármasa: 3, 4, 5… Természettudomány. enciklopédikus szótár

Természetes számok hármasai úgy, hogy egy háromszög, amelynek oldalhossza arányos (vagy egyenlő) ezekkel a számokkal, téglalap alakú, például számhármas: 3, 4, 5. * * * PYTHAGORAN SZÁMOK PYTHAGORAN SZÁMOK, természetes számok hármasai, mint pl. hogy ...... enciklopédikus szótár

A matematikában a Pitagorasz-hármas három természetes számból álló sor, amely kielégíti a Pitagorasz-relációt: Ebben az esetben a Pitagorasz-hármast alkotó számokat Pythagore-i számoknak nevezzük. Tartalom 1 Primitív hármasok ... Wikipédia

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg. Tartalom 1 ... Wikipédia

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg. Tartalom 1 Nyilatkozat 2 Bizonyítás ... Wikipédia

Ez egy olyan formájú egyenlet, ahol P egy egész szám függvény (például egy polinom egész együtthatókkal), és a változók egész számokat vesznek fel. Nevét az ókori görög matematikusról, Diophantosról kapta. Tartalom 1 Példák ... Wikipédia