Nem valószínű, hogy szerkesztőségünk életében legalább egy év telt el anélkül, hogy Fermat-tételre jó tucat bizonyítást ne kapott volna. Most, a felette aratott „győzelem” után az áramlás alábbhagyott, de nem száradt ki.

Természetesen, hogy ne száradjon ki teljesen, közöljük ezt a cikket. És nem a magam védelmében – azt mondják, ezért hallgattunk el, mi magunk még nem érettünk meg ilyen összetett problémák megvitatására.

De ha tényleg bonyolultnak tűnik a cikk, akkor azonnal nézze meg a végét. Érezni kell majd, hogy a szenvedélyek átmenetileg lecsillapodtak, a tudománynak még nincs vége, hamarosan újabb tételek újabb bizonyítékai kerülnek a szerkesztőségbe.

Úgy tűnik, a 20. század nem volt hiábavaló. Először is az emberek egy hidrogénbomba felrobbantásával egy pillanatra létrehoztak egy második Napot. Aztán sétáltak a Holdon, és végül bebizonyították a hírhedt Fermat-tételt. E három csoda közül az első kettő mindenki ajkán van, hiszen óriási társadalmi következményekkel járt. Éppen ellenkezőleg, a harmadik csoda egy másik tudományos játéknak tűnik - egyenrangú a relativitáselmélettel, kvantummechanikaés Gödel tétele az aritmetika hiányosságáról. A relativitáselmélet és a kvantumok azonban oda vezették a fizikusokat hidrogénbomba, és a matematikusok kutatása számítógépekkel töltötte meg világunkat. A 21. században is folytatódik ez a csodasorozat? Nyomon követhető-e a kapcsolat a következő tudományos játékok és a mindennapi életünk forradalmai között? Ez a kapcsolat lehetővé teszi számunkra, hogy sikeres előrejelzéseket adjunk? Próbáljuk megérteni ezt a Fermat-tétel példáján keresztül.

Kezdésnek jegyezzük meg, hogy sokkal később született, mint a természetes születési ideje. Végül is a Fermat-tétel első speciális esete az X 2 + Y 2 = Z 2 Pitagorasz-egyenlet, amely egy derékszögű háromszög oldalainak hosszára vonatkozik. Miután huszonöt évszázaddal ezelőtt bebizonyította ezt a képletet, Pythagoras azonnal feltette magának a kérdést: van-e a természetben sok olyan háromszög, amelyben mind a lábak, mind a hipotenusz egész hosszúságúak? Úgy tűnik, hogy az egyiptomiak csak egy ilyen háromszöget ismertek - oldalakkal (3, 4, 5). De nem nehéz más lehetőségeket találni: például (5, 12, 13) , (7, 24, 25) vagy (8, 15, 17) . Ezekben az esetekben a hipotenusz hosszának alakja (A 2 + B 2), ahol A és B különböző paritású koprímszámok. Ebben az esetben a lábak hossza egyenlő (A 2 - B 2) és 2AB.

Ezeket az összefüggéseket észrevéve Pythagoras könnyen bebizonyította, hogy a számok bármely hármasa (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) az X 2 + Y 2 \u003d Z egyenlet megoldása. 2, és beállít egy kölcsönösen egyszerű oldalhosszúságú téglalapot. Az is látható, hogy az ilyen típusú különböző hármasok száma végtelen. De a Pitagorasz-egyenlet minden megoldásának van ilyen formája? Pythagoras nem tudta sem bizonyítani, sem megcáfolni ezt a hipotézist, és ezt a problémát az utókorra hagyta anélkül, hogy felhívta volna rá a figyelmet. Ki akarja kiemelni a kudarcait? Úgy tűnik, ezt követően hét évszázadon át a feledés homályába merült az integrált derékszögű háromszögek problémája – egészen addig, amíg Alexandriában megjelent egy új matematikai zseni, Diophantus.

Keveset tudunk róla, de egyértelmű, hogy nem volt olyan, mint Pythagoras. Királynak érezte magát a geometriában és még azon túl is – akár zenében, csillagászatban vagy politikában. Az első aritmetikai kapcsolat egy harmonikus hárfa oldalainak hossza között, az Univerzum első modellje bolygókat és csillagokat hordozó koncentrikus gömbökből, középen a Földdel, és végül az első tudósköztársaság az olaszországi Crotone városában. - ezek Püthagorasz személyes eredményei. Mit tudna ellenezni Diophantus az ilyen sikerekkel - a nagy Múzeum szerény kutatója, amely már régóta nem a városi tömeg büszkesége?

Csak egy dolog: jobb megértés ókori világ számok, amelyek törvényeit Pythagorasnak, Euklidésznek és Arkhimédésznek alig volt ideje átérezni. Megjegyzendő, hogy Diophantus még nem birtokolta a helyzetjelölési rendszert nagy számok de tudta mit negatív számokés valószínűleg sok órát töltött azon, hogy gondolkodjon azon, miért pozitív két negatív szám szorzata. Az egész számok világa először Diophantus előtt tárult fel egy különleges univerzumként, amely különbözik a csillagok, szegmensek vagy poliéderek világától. A tudósok fő foglalkozása ezen a világon az egyenletek megoldása, az igazi mester minden lehetséges megoldást megtalál, és bebizonyítja, hogy nincs más megoldás. Ezt tette Diophantus másodfokú egyenlet Pythagoras, majd arra gondolt: van legalább egy megoldásban hasonló X 3 + Y 3 = Z 3 köbegyenlet?

Diophantusnak nem sikerült ilyen megoldást találnia, de sikertelen volt az a kísérlete sem, hogy bebizonyítsa, hogy nincsenek megoldások. Ezért az „Aritmetika” című könyvben (ez volt a világ első számelméleti tankönyve) Diophantus részletesen elemezte a Pitagorasz-egyenletet, de egy szót sem utalt ennek az egyenletnek a lehetséges általánosításaira. De megtehette: végül is Diophantus volt az, aki először javasolta az egész számok hatványainak jelölését! De sajnos: a „feladatkönyv” fogalma idegen volt a hellén tudománytól és pedagógiától, a megoldatlan problémák listáinak közzététele pedig illetlen foglalkozásnak számított (csak Szókratész járt el másképp). Ha nem tudod megoldani a problémát - fogd be a szád! Diophantus elhallgatott, és ez a csend tizennégy évszázadon át tartott - egészen az újkor kezdetéig, amikor feléledt az érdeklődés az emberi gondolkodás folyamata iránt.

Aki nem fantáziált semmiről a 16-17. század fordulóján! A megunhatatlan Kepler számológép megpróbálta kitalálni a kapcsolatot a Nap és a bolygók távolsága között. Pythagoras kudarcot vallott. Kepler sikere azután következett be, hogy megtanulta a polinomok és más egyszerű függvények integrálását. Éppen ellenkezőleg, az álmodozó Descartes nem szerette a hosszú számításokat, de ő volt az, aki először a sík vagy a tér minden pontját számhalmazként mutatta be. Ez a merész modell az ábrákkal kapcsolatos bármely geometriai problémát az egyenletekkel kapcsolatos algebrai problémákra redukál – és fordítva. Például a Pitagorasz-egyenlet egész megoldásai egy kúp felületén lévő egész pontoknak felelnek meg. Az X 3 + Y 3 = Z 3 köbegyenletnek megfelelő felület bonyolultabbnak tűnik, geometriai tulajdonságai Pierre Fermat-nak semmit sem sugalltak, és új utakat kellett kiköveznie az egész számok vadjai között.

1636-ban Diophantus egy görög eredetiből éppen latinra fordított könyve egy fiatal toulouse-i ügyvéd kezébe került, véletlenül fennmaradt valami bizánci levéltárban, és az egyik római szökevény hozta Olaszországba a törökök idején. ROM. A Pitagorasz-egyenlet elegáns tárgyalását olvasva Fermat elgondolkodott: lehet-e ilyen megoldást találni, amely három négyzetszámból áll? Nem kis számok vannak ilyenek: ezt könnyű felsorolással ellenőrizni. Mi a helyzet a nagy döntésekkel? Számítógép nélkül Fermat nem tudott numerikus kísérletet végrehajtani. De észrevette, hogy az X 4 + Y 4 = Z 4 egyenlet minden "nagy" megoldásához meg lehet alkotni egy kisebb megoldást. Tehát két egész szám negyedik hatványának összege soha nem egyenlő a harmadik szám azonos hatványával! Mi a helyzet két kocka összegével?

A 4. fokozat sikerétől megihletett Fermat megpróbálta módosítani a 3. fokozat "leszállási módszerét" – és sikerült is. Kiderült, hogy lehetetlen két kis kockát összeállítani azokból az egyes kockákból, amelyekbe egy nagy, egész élhosszúságú kocka szétesett. A diadalmaskodó Fermat rövid feljegyzést tett Diophantus könyvének margójára, és levelet küldött Párizsba felfedezéséről szóló részletes jelentéssel. Választ azonban nem kapott – bár általában a fővárosi matematikusok gyorsan reagáltak magányos kollégájuk-riválisuk következő toulouse-i sikerére. mi a baj itt?

Nagyon egyszerű: a tizenhetedik közepe században az aritmetika kiment a divatból. A 16. századi olasz algebraisták nagy sikerei (amikor a 3. és 4. fokú polinomiális egyenleteket megoldották) nem váltak általános tudományos forradalom kezdetévé, mert nem tették lehetővé új, fényes problémák megoldását a szomszédos tudományterületeken. Nos, ha Kepler tisztán aritmetikával meg tudná tippelni a bolygók pályáját... De sajnos ehhez matematikai elemzésre volt szükség. Ez azt jelenti, hogy fejleszteni kell – a teljes diadalig matematikai módszerek a természettudományban! De az elemzés a geometriából nő ki, míg az aritmetika a tétlen jogászok és a számok és számok örökkévaló tudományának más szerelmesei játéktere marad.

Tehát Fermat aritmetikai sikerei időszerűtlennek bizonyultak, és nem értékelték őket. Ettől nem volt ideges: egy matematikus hírnevére először tárták fel előtte a differenciálszámítás, az analitikus geometria és a valószínűségszámítás tényeit. Fermat mindezen felfedezései azonnal bekerültek az új európai tudomány aranyalapjába, miközben a számelmélet további száz évre háttérbe szorult - mígnem Euler újjáélesztette.

A 18. századi „matematikusok királya” az elemzés minden alkalmazásában bajnok volt, de nem hanyagolta el az aritmetikát sem, hiszen az új elemzési módszerek váratlan tényekhez vezettek a számokkal kapcsolatban. Ki gondolta volna, hogy az inverz négyzetek végtelen összege (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) egyenlő π 2 /6-tal? Ki láthatta a hellének közül, hogy hasonló sorozatok lehetővé teszik a π szám irracionalitásának bizonyítását?

Az ilyen sikerek arra kényszerítették Eulert, hogy gondosan újraolvassa Fermat fennmaradt kéziratait (szerencsére a nagy francia fiának sikerült kiadnia azokat). Igaz, a „nagy tétel” bizonyítása a 3. fokra vonatkozóan nem maradt meg, de Euler könnyen helyreállította, csak a „leszállási módszerre” mutatva, és azonnal megpróbálta átvinni ezt a módszert a következő prímfokra - 5.

Nem volt ott! Euler érvelésében megjelent komplex számok, amit Fermatnak sikerült nem észrevennie (ilyen a szokásos sok felfedező). De az összetett egész számok faktorizálása kényes kérdés. Még Euler sem értette meg teljesen, és félretette a "Fermat-problémát", sietve befejezni fő munkáját - az "Elemzés alapjai" című tankönyvet, amelynek az volt a célja, hogy segítsen minden tehetséges fiatalembernek egy szinten állni Leibnizzel és Euler. A tankönyv kiadása 1770-ben fejeződött be Szentpéterváron. De Euler nem tért vissza Fermat tételéhez, biztos volt benne, hogy mindent, amit keze és elméje megérintett, az új tudományos fiatalság nem felejt el.

Így is történt: a francia Adrien Legendre lett Euler utódja a számelméletben. A 18. század végén befejezte a Fermat-tétel bizonyítását az 5. fokozatra – és bár a nagy prímhatványoknál megbukott, összeállított egy újabb számelméleti tankönyvet. Fiatal olvasói ugyanúgy felülmúlják a szerzőt, mint a Természetfilozófia matematikai alapelvei olvasói a nagy Newtont! Legendre nem volt párja Newtonnak vagy Eulernek, de két zseni volt az olvasói között: Carl Gauss és Evariste Galois.

A zsenik ilyen magas koncentrációját elősegítette a francia forradalom, amely az Értelem állami kultuszát hirdette meg. Ezt követően minden tehetséges tudós Kolumbusznak vagy Nagy Sándornak érezte magát, aki képes egy új világot felfedezni vagy meghódítani. Sokaknak sikerült, ezért a 19. században a tudományos-technikai fejlődés vált az emberiség fejlődésének fő mozgatórugójává, és ezzel minden értelmes uralkodó (napóleontól kezdve) tisztában volt.

Gauss karakterében közel állt Kolumbuszhoz. De ő (Newtonhoz hasonlóan) nem tudta, hogyan kell gyönyörű beszédekkel rabul ejteni az uralkodók vagy a hallgatók képzeletét, ezért ambícióit a tudományos fogalmak szférájára korlátozta. Itt azt csinálhatott, amit akart. Például a szög háromszakaszának ősi problémája valamiért nem oldható meg iránytűvel és egyenes éllel. A sík pontjait ábrázoló komplex számok segítségével Gauss ezt a problémát lefordítja az algebra nyelvére - és általános elméletet kap bizonyos geometriai konstrukciók megvalósíthatóságáról. Ezzel egy időben megjelent a szigorú bizonyítéka annak, hogy nem lehet körzővel és vonalzóval szabályos 7 vagy 9 gont megépíteni, és egy olyan szabályos 17 gon-os konstrukció, amit Hellas legbölcsebb geométerei meg is tettek. ne álmodozzon.

Természetesen az ilyen siker nem adható meg hiába: új fogalmakat kell kitalálni, amelyek a dolog lényegét tükrözik. Newton három ilyen fogalmat vezetett be: fluxus (derivált), fluent (integrál) és hatványsor. Ezek elegendőek voltak a matematikai elemzés és a fizikai világ első tudományos modelljének elkészítéséhez, beleértve a mechanikát és a csillagászatot is. Gauss három új fogalmat is bevezetett: vektortér, mező és gyűrű. Egy új algebra nőtt ki belőlük, alárendelve a görög aritmetikát és a Newton által megalkotott numerikus függvényelméletet. Maradt az Arisztotelész által megalkotott logika alárendelése az algebrának: akkor ebből az axiómakészletből számítások segítségével be lehetne bizonyítani bármely tudományos állítás levezethetőségét vagy levezethetetlenségét! Például Fermat tétele az aritmetika axiómáiból származik, vagy a párhuzamos egyenesek euklidészi posztulátuma a planimetria más axiómáiból?

Gaussnak nem volt ideje megvalósítani ezt a merész álmát – bár messzire előrehaladt, és sejtette az egzotikus (nem kommutatív) algebrák létezésének lehetőségét. Csak a merész orosz Nyikolaj Lobacsevszkijnek sikerült megépítenie az első nem euklideszi geometriát, az első nem kommutatív algebrát (Csoportelmélet) pedig a francia Evariste Galois irányította. És csak sokkal később, Gauss halála után - 1872-ben - a fiatal német Felix Klein sejtette, hogy a lehetséges geometriák sokfélesége egy az egyben összefüggésbe hozható a lehetséges algebrák sokféleségével. Egyszerűen fogalmazva, minden geometriát a szimmetriacsoportja határoz meg – míg az általános algebra az összes lehetséges csoportot és azok tulajdonságait vizsgálja.

De a geometria és az algebra ilyen megértése sokkal később jött létre, és a Fermat-tétel elleni támadás Gauss életében folytatódott. Ő maga elhanyagolta Fermat tételét az elvből: nem a király dolga, hogy olyan egyéni problémákat oldjon meg, amelyek nem férnek bele egy fényes tudományos elméletbe! De Gauss tanítványai az új algebrájával és Newton és Euler klasszikus elemzésével felvértezve másként érveltek. Először is, Peter Dirichlet bebizonyította Fermat tételét a 7. fokra, az ezen egységfok gyökei által generált összetett egész számok gyűrűjének felhasználásával. Aztán Ernst Kummer kiterjesztette a Dirichlet-módszert MINDENRE egyszerű fokozatok(!) - így tűnt neki elhamarkodottnak, és diadalmaskodott. Ám hamarosan jött a kijózanodás: a bizonyítás csak akkor megy hibátlanul, ha a gyűrű minden eleme egyedileg prímtényezőkre bomlik! A közönséges egész számok esetében ezt a tényt már Eukleidész is tudta, de ennek szigorú bizonyítékát csak Gauss adta meg. De mi a helyzet az egész komplex számokkal?

A „legnagyobb huncutság elve” szerint előfordulhat és KELL egy kétértelmű faktorizáció! Amint Kummer megtanulta matematikai elemzési módszerekkel kiszámítani a kétértelműség mértékét, felfedezte ezt a piszkos trükköt a 23-as fokos gyűrűben. Gaussnak nem volt ideje, hogy megismerje az egzotikus kommutatív algebra e változatát, de Gauss tanítványai fejlődtek. egy másik piszkos trükk helyett egy új, gyönyörű Ideálelmélet. Igaz, ez nem sokat segített Fermat-probléma megoldásában: csak a természetes összetettsége vált világossá.

A 19. század során ez az ősi bálvány egyre több áldozatot követelt tisztelőitől új, összetett elméletek formájában. Nem meglepő, hogy a 20. század elejére a hívők elcsüggedtek és fellázadtak, és elutasították korábbi bálványukat. A "fermatista" szó szitokszóvá vált közöttük hivatásos matematikusok. És bár jelentős díjat osztottak ki Fermat tételének teljes bizonyításáért, pályázói többnyire magabiztos tudatlanok voltak. Az akkori legerősebb matematikusok - Poincaré és Hilbert - dacosan kerülték ezt a témát.

1900-ban Hilbert nem vette fel Fermat tételét a huszonhárom fő probléma listájába, amelyekkel a huszadik század matematikája szembesül. Igaz, sorozatukba belefoglalta a diofantini egyenletek megoldhatóságának általános problémáját. Az üzenet egyértelmű volt: kövesd Gauss és Galois példáját, alkoss általános elméletekúj matematikai objektumok! Aztán egy szép (de előre nem kiszámítható) napon magától kiesik a régi szilánk.

Így járt el a nagy romantikus Henri Poincaré. Sok "örök" problémát figyelmen kívül hagyva, egész életében a matematika vagy a fizika különféle tárgyainak SZIMMETRIÁJAIT tanulmányozta: vagy egy komplex változó függvényeit, vagy az égitestek mozgási pályáit, vagy algebrai görbéket vagy sima sokaságokat (ezek görbe többdimenziós általánosításai vonalak). Tetteinek indítéka egyszerű volt: ha két különböző tárgy hasonló szimmetriájú, az azt jelenti, hogy belső kapcsolat van közöttük, amit még nem vagyunk képesek felfogni! Például a kétdimenziós geometriák mindegyikének (Euklidész, Lobacsevszkij vagy Riemann) megvan a saját szimmetriacsoportja, amely a síkon hat. De a sík pontjai komplex számok: így bármely geometriai csoport működése átkerül a komplex függvények hatalmas világába. Lehetséges és szükséges a legszimmetrikusabb függvények tanulmányozása: AUTOMORF (amelyek az Euklidész csoport alá tartoznak) és MODULAR (amelyek a Lobacsevszkij csoport alá tartoznak)!

A síkban elliptikus görbék is vannak. Semmi közük az ellipszishez, hanem Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX formájú egyenletek adják őket, és ezért három pontban metszik egymást bármely egyenessel. Ez a tény lehetővé teszi, hogy egy elliptikus görbe pontjai között szorzást vezessünk be - csoporttá alakítsuk. Ennek a csoportnak az algebrai szerkezete tükrözi a görbe geometriai tulajdonságait, esetleg a csoportja határozza meg egyedileg? Ezt a kérdést érdemes tanulmányozni, mivel egyes görbék esetében a számunkra érdekes csoport modulárisnak bizonyul, vagyis a Lobacsevszkij-geometriához kapcsolódik ...

Így érvelt Poincaré, elcsábítva Európa matematikai fiataljait, de a 20. század elején ezek a kísértések nem vezettek fényes tételekhez vagy hipotézisekhez. Hilbert felhívásával másképp alakult: tanulmányozzuk a diofantinuszi egyenletek egész együtthatós megoldásait! 1922-ben a fiatal amerikai Lewis Mordell összekapcsolta egy ilyen egyenlet megoldási halmazát (ez egy bizonyos dimenziójú vektortér) az ezen egyenlet által adott komplex görbe geometriai nemzetségével. Mordell arra a következtetésre jutott, hogy ha az egyenlet fokszáma kellően nagy (több mint kettő), akkor a megoldási tér dimenziója a görbe nemzetségében van kifejezve, ezért ez a dimenzió VÉGES. Ellenkezőleg - 2 erejéig a Pitagorasz-egyenletnek VÉGTELEN DIMENZIÓS megoldáscsaládja van!

Természetesen Mordell látta hipotézisének összefüggését Fermat tételével. Ha kiderül, hogy minden n > 2 fokra a Fermat-egyenlet teljes megoldásainak tere véges dimenziós, ez segít bebizonyítani, hogy ilyen megoldások egyáltalán nem léteznek! Mordell azonban nem látott módot hipotézisének bizonyítására – és bár hosszú életet élt, nem várta meg, hogy ez a hipotézis Faltings tételévé változzon. Ez 1983-ban történt, egy teljesen más korszakban, a sokaságok algebrai topológiájának nagy sikerei után.

Poincaré ezt a tudományt mintha véletlenül alkotta volna meg: tudni akarta, mi a háromdimenziós sokaság. Hiszen Riemann minden zárt felület szerkezetét kitalálta, és nagyon egyszerű választ kapott! Ha háromdimenziós vagy többdimenziós esetben nincs ilyen válasz, akkor ki kell találnia a sokaság algebrai invariánsainak rendszerét, amely meghatározza annak geometriai szerkezetét. A legjobb, ha az ilyen invariánsok bizonyos csoportok elemei – kommutatív vagy nem kommutatív.

Bármilyen furcsának is tűnik, Poincarénak ez a merész terve sikerült: 1950-től 1970-ig valósult meg, sok geométer és algebra erőfeszítésének köszönhetően. 1950-ig csendesen felhalmozódtak a sokféleség osztályozására szolgáló különféle módszerek, majd ezt követően az emberek és ötletek kritikus tömege gyűlt össze, és robbanás következett be, ami összemérhető a 17. századi matematikai elemzés feltalálásával. De az analitikus forradalom másfél évszázadig tartott, és a matematikusok négy generációjának kreatív életrajzát fedte le – Newtontól és Leibniztől Fourier-ig és Cauchy-ig. Éppen ellenkezőleg, a huszadik század topológiai forradalma húsz éven belül volt - köszönhetően egy nagy szám tagjai. Ezzel egy időben magabiztos fiatal matematikusok nagy generációja jelent meg, akik hirtelen munka nélkül maradtak történelmi hazájukban.

A hetvenes években a matematika szomszédos területeire rohantak, ill elméleti fizika. Sokan több tucat egyetemen hoztak létre saját tudományos iskolát Európában és Amerikában. Sok különböző korú és nemzetiségű, eltérő képességű és hajlamú diák kering még e központok között, és mindenki szeretne híressé válni valamilyen felfedezésről. Ebben a zűrzavarban Mordell sejtése és Fermat tétele végül bebizonyosodott.

Az első fecske azonban, nem tudván sorsát, Japánban nőtt fel a háború utáni éhes és munkanélküli években. A fecske neve Yutaka Taniyama volt. 1955-ben ez a hős 28 éves lett, és úgy döntött (Goro Shimura és Takauji Tamagawa barátaival együtt), hogy újraéleszti a matematikai kutatást Japánban. Hol kezdjem? Természetesen a külföldi kollégáktól való elszigeteltség leküzdésével! Így 1955-ben három fiatal japán adott otthont Tokióban az első algebrai és számelméleti nemzetközi konferenciának. Láthatóan könnyebb volt ezt megtenni az amerikaiak által átnevelt Japánban, mint a Sztálin által lefagyasztott Oroszországban...

A díszvendégek között volt két francia hős: Andre Weil és Jean-Pierre Serre. Itt nagy szerencséjük volt a japánoknak: Weil a francia algebraisták elismert vezetője és a Bourbaki csoport tagja volt, a fiatal Serre pedig hasonló szerepet töltött be a topológusok között. A velük folytatott heves viták során a japán fiatalok feje repedt, elolvadt az agyuk, de végül olyan ötletek, tervek kristályosodtak ki, amelyek aligha születhettek volna más környezetben.

Egy napon Taniyama felkereste Weilt az elliptikus görbékről és a moduláris függvényekről szóló kérdéssel. A francia először nem értett semmit: Taniyama nem volt mestere az angol beszédnek. Aztán kiderült a dolog lényege, de Taniyamának nem sikerült pontos megfogalmazást adnia reményeinek. Weil csak annyit tudott válaszolni a fiatal japánnak, hogy ha nagyon szerencséje van az ihlet tekintetében, akkor valami értelmes dolog fog kinőni homályos hipotéziseiből. De míg a remény gyenge!

Nyilvánvaló, hogy Weil nem vette észre a mennyei tüzet Taniyama tekintetében. És volt tűz: úgy tűnik, egy pillanatra a néhai Poincaré hajthatatlan gondolata a japánokba költözött! Taniyama azt hitte, hogy minden elliptikus görbét moduláris függvények generálnak – pontosabban: „egy moduláris forma egységesíti”. Sajnos ez a pontos megfogalmazás jóval később született - Taniyama barátjával, Shimurával folytatott beszélgetéseiben. Aztán Taniyama depressziós rohamában öngyilkos lett... Hipotézise gazdája nélkül maradt: nem volt világos, hogyan bizonyítsák, hol teszteljék, és ezért sokáig senki sem vette komolyan. Az első válasz csak harminc évvel később érkezett – majdnem úgy, mint Fermat korszakában!

1983-ban megtört a jég, amikor a huszonhét éves német Gerd Faltings az egész világnak bejelentette: Mordell hipotézise bebizonyosodott! A matematikusok őrködtek, de Faltings igazi német volt: hosszú és bonyolult bizonyításában nem voltak hiányosságok. Csak hát eljött az idő, felhalmozódtak a tények és a fogalmak – és most egy tehetséges algebrásznak tíz másik algebra eredményeire támaszkodva sikerült megoldania egy olyan problémát, amely hatvan éve várt a mesterre. Ez nem ritka a 20. századi matematikában. Érdemes felidézni a szekuláris kontinuum-problémát a halmazelméletben, Burnside két sejtését a csoportelméletben, vagy a Poincaré-sejtést a topológiában. Végül a számelméletben eljött az idő a régi termények betakarítására... Melyik csúcs lesz a következő a meghódított matematikusok sorozatában? Euler problémája, Riemann hipotézise vagy Fermat tétele összeomlik? Ez jó!

És most, két évvel Faltings feltárása után, egy másik ihletett matematikus jelent meg Németországban. Gerhard Freynek hívták, és valami különöset állított: Fermat tétele Taniyama sejtéséből származik! Sajnos Frey gondolatainak kifejezési stílusa inkább a szerencsétlen Taniyamára emlékeztetett, mint egyértelmű honfitársára, Faltingsra. Németországban senki sem értette Freyt, és a tengerentúlra ment - Princeton dicső városába, ahol Einstein után megszokták, hogy nem ilyen látogatók. Nem csoda, hogy Barry Mazur, egy sokoldalú topológus, a sima elosztók elleni közelmúltbeli roham egyik hőse fészkelte ott a fészket. És egy diák nőtt fel Mazur - Ken Ribet - mellett, aki ugyanolyan tapasztalt volt a topológia és az algebra bonyodalmaiban, de még mindig nem dicsőítette önmagát.

Amikor először hallotta Frey beszédeit, Ribet úgy döntött, hogy ez nonszensz és közel sci-fi (valószínűleg Weil is hasonlóan reagált Taniyama kinyilatkoztatásaira). De Ribet nem tudta elfelejteni ezt a „fantáziát”, és időnként mentálisan visszatért hozzá. Hat hónappal később Ribet úgy vélte, van valami értelmes Frey fantáziájában, és egy évvel később úgy döntött, hogy ő maga is majdnem be tudja bizonyítani Frey furcsa hipotézisét. De néhány "lyuk" maradt, és Ribet úgy döntött, hogy bevallja főnökének, Mazurnak. Figyelmesen hallgatta a diákot, és nyugodtan válaszolt: „Igen, mindent megtettél! Itt kell alkalmaznia a Ф transzformációt, itt - használja a B és K Lemmákat, és minden kifogástalan formát ölt! Így hát Ribet az ismeretlenségből a halhatatlanságba ugrott, egy katapultot használt Frey és Mazur személyében. Az igazat megvallva, mindegyiket – a néhai Taniyamával együtt – Fermat utolsó tételének bizonyítékának kell tekinteni.

De itt van a probléma: állításukat a Taniyama-hipotézisből vezették le, ami önmagában még nem bizonyított! Mi van, ha hűtlen? A matematikusok régóta tudják, hogy „hazugságból bármi következik”, ha Taniyama sejtése téves, akkor Ribet kifogástalan érvelése mit sem ér! Sürgősen be kell bizonyítanunk (vagy cáfolnunk kell) Taniyama sejtését – különben valaki, mint Faltings, másképp fogja bebizonyítani Fermat tételét. Hős lesz belőle!

Nem valószínű, hogy valaha is megtudjuk, hány fiatal vagy tapasztalt algebraista ugrott rá Fermat-tételre Faltings sikere vagy Ribet 1986-os győzelme után. Mindannyian igyekeztek titokban dolgozni, hogy kudarc esetén ne kerüljenek a „bábu”-fermatikusok közösségébe. Köztudott, hogy a legsikeresebb – a cambridge-i Andrew Wiles – csak 1993 elején érezte meg a győzelem ízét. Ez nem annyira örült, mint inkább megrémítette Wiles-t: mi van, ha a Taniyama-sejtés bizonyítéka hibát vagy hiányosságot mutat? Aztán tudományos hírneve elpusztult! Gondosan le kell írni a bizonyítást (de sok tucat oldal lesz!) És el kell halasztani hat hónapra vagy egy évre, hogy később hidegvérrel és aprólékosan újra lehessen olvasni... De mit ha valaki ez idő alatt közzéteszi a bizonyítékát? Ó baj...

Wiles azonban kettős módszert talált ki a bizonyíték gyors tesztelésére. Először is, megbíznia kell az egyik megbízható barátjában és kollégájában, és el kell neki mondania az érvelés teljes menetét. Kívülről minden hiba jobban látható! Másodszor, erről a témáról külön tanfolyamot kell felolvasni okos hallgatóknak és végzős hallgatóknak: ezek az okos emberek egyetlen oktatói hibát sem hagynak ki! Csak az utolsó pillanatig ne mondd el nekik a tanfolyam végső célját - különben az egész világ tudni fog róla! És persze ilyen közönséget kell keresnie Cambridge-től távol - jobb, ha nem is Angliában, hanem Amerikában ... Mi lehet jobb, mint a távoli Princeton?

Wiles 1993 tavaszán ment oda. Türelmes barátja, Niklas Katz, miután meghallgatta Wiles hosszú beszámolóját, számos hiányosságot talált benne, de mindegyik könnyen kijavítható. Ám a princetoni végzős hallgatók hamarosan megszöktek Wiles speciális tanfolyamáról, nem akarták követni az előadó szeszélyes gondolatát, aki elvezeti őket senki sem tudja, hova. Munkájának ilyen (nem különösebben mélyreható) áttekintése után Wiles úgy döntött, hogy ideje egy nagy csodát feltárni a világ előtt.

1993 júniusában egy újabb konferenciát tartottak Cambridge-ben, az "Iwasawa-elméletnek" - a számelmélet népszerű szekciójának - szentelték. Wiles úgy döntött, hogy bebizonyítja a Taniyama-sejtést, anélkül, hogy a legvégéig nyilvánosságra hozta volna a fő eredményt. A riport sokáig tartott, de sikeresen, fokozatosan elkezdtek özönleni az újságírók, akik megéreztek valamit. Végül megdördült a mennydörgés: Fermat tétele bebizonyosodott! Az általános örvendezést semmiféle kétség nem árnyékolta be: minden világosnak látszik... Ám két hónappal később Katz, miután elolvasta Wiles végső szövegét, újabb hiányosságot vett észre rajta. Az érvelés egy bizonyos átmenete az „Euler-rendszerre” támaszkodott – de amit Wiles épített, az nem volt ilyen rendszer!

Wiles ellenőrizte a szűk keresztmetszetet, és rájött, hogy itt tévedett. Még rosszabb: nem világos, mivel lehet pótolni a hibás érvelést! Ezt követték Wiles életének legsötétebb hónapjai. Korábban szabadon szintetizált egy példátlan bizonyítékot a rendelkezésre álló anyagból. Most egy szűk és világos feladathoz van kötve – anélkül, hogy biztos lenne abban, hogy van megoldása, és belátható időn belül képes lesz rá. A közelmúltban Frey nem tudott ellenállni ugyanennek a küzdelemnek - és most a nevét eltakarta a szerencsés Ribet neve, bár Frey sejtése helyesnek bizonyult. És mi lesz az ÉN sejtésemmel és az ÉN nevemmel?

Ez a kemény munka pontosan egy évig tartott. 1994 szeptemberében Wiles kész volt beismerni vereségét, és a Taniyama-hipotézist szerencsésebb utódokra hagyni. Miután meghozta ezt a döntést, lassan elkezdte újraolvasni a bizonyítást - elejétől a végéig, hallgatva az érvelés ritmusát, újra átélve a sikeres felfedezések örömét. Az „átkozott” helyre érve Wiles azonban nem hallott hamis hangot. Lehetséges, hogy okoskodása továbbra is hibátlan volt, és a hiba csak a mentális kép SZÓBELI leírásában merült fel? Ha itt nincs „Euler-rendszer”, akkor mi van itt elrejtve?

Hirtelen egy egyszerű gondolat jutott eszembe: az "Euler-rendszer" nem működik ott, ahol az Iwasawa-elmélet alkalmazható. Miért nem alkalmazzuk közvetlenül ezt az elméletet – szerencsére Wiles számára is közel áll és ismerős? És miért nem próbálta ki ezt a megközelítést a kezdetektől fogva, hanem elragadta valaki más elképzelése a problémáról? Wiles már nem emlékezett ezekre a részletekre – és ez használhatatlanná vált. Az Iwasawa elmélet keretein belül elvégezte a szükséges érvelést, és fél óra alatt minden kiderült! Így - egy év késéssel - bezárult Taniyama sejtésének bizonyításának utolsó hézaga is. A végső szöveget a leghíresebb matematikai folyóirat lektorainak egy csoportja kegyébe adta, egy évvel később kijelentették, hogy most már nincs hiba. Így 1995-ben Fermat utolsó sejtése háromszázhatvan évesen elhalt, és bevált tételsé vált, amely elkerülhetetlenül bekerül a számelméleti tankönyvekbe.

Összegezve a Fermat-tétel körüli három évszázados felhajtást, furcsa következtetést kell levonnunk: ez a hőseposz nem történhetett meg! Valójában a Pitagorasz-tétel egyszerű és fontos kapcsolatot fejez ki a vizuális között természeti tárgyak- a szegmensek hossza. De ugyanez nem mondható el Fermat-tételről. Inkább úgy néz ki, mint egy tudományos hordozón lévő kulturális felépítmény – mintha elérné a Föld északi sarkát vagy repülne a Holdra. Emlékezzünk vissza, hogy mindkét bravúrt az írók már jóval a megvalósításuk előtt énekelték – még az ókorban, Eukleidész „Elemek” című művének megjelenése után, de Diophantus „Aritmetikájának” megjelenése előtt. Tehát akkor közszükséglet volt az efféle – legalábbis képzeletbeli – szellemi zsákmányokra! Korábban a helléneknek elegük volt Homérosz verseiből, ahogy száz évvel Fermat előtt a franciáknak is elegük volt a vallásos szenvedélyekből. De aztán alábbhagytak a vallásos szenvedélyek – és melléjük állt a tudomány.

Oroszországban az ilyen folyamatok százötven éve kezdődtek, amikor Turgenyev Jevgenyij Bazarovot Jevgenyij Oneginnel egy szintre állította. Igaz, az író Turgenyev rosszul értette Bazarov tudós cselekedeteinek indítékait, és nem merte elénekelni őket, de ezt Ivan Sechenov tudós és a felvilágosult újságíró, Jules Verne hamarosan megtette. A spontán tudományos és technológiai forradalomnak kulturális burokra van szüksége, hogy behatoljon a legtöbb ember elméjébe, és itt jön először a science fiction, majd a népszerű tudományos irodalom (beleértve a „Knowledge is Power” magazint).

Ugyanakkor konkrét tudományos téma egyáltalán nem fontos a nagyközönség számára, és nem túl fontos még a hős előadók számára sem. Így, miután hallott Peary és Cook Északi-sark eléréséről, Amundsen azonnal megváltoztatta már előkészített expedíciója célját - és hamarosan elérte a Déli-sarkot, egy hónappal Scott előtt. Később Jurij Gagarin sikeres Föld körülhajózása arra kényszerítette Kennedy elnököt, hogy az amerikai űrprogram korábbi célját drágábbra, de sokkal lenyűgözőbbre változtassa: embereket küldjön a Holdra.

Az éleslátó Hilbert már korábban is válaszolt a hallgatók naiv kérdésére: „Milyen tudományos probléma megoldása lenne most a leghasznosabb”? - válaszolta tréfásan: „Fogj egy légyet hátoldal Hold! A zavart kérdésre: „Miért van erre szükség?” - ezt követi egy egyértelmű válasz: „ EZ senkinek sem kell! De gondolj ezekre tudományos módszerekÉs technikai eszközökkel, amit ki kell majd fejlesztenünk egy ilyen probléma megoldásához - és még mennyi szép problémát fogunk megoldani útközben!

Pontosan ez történt a Fermat-tétellel. Euler figyelmen kívül hagyhatta.

Ebben az esetben valamilyen más probléma válik a matematikusok bálványává – talán a számelméletből is. Például Eratoszthenész problémája: létezik-e véges vagy végtelen ikerprím halmaz (például 11 ​​és 13, 17 és 19 stb.)? Vagy Euler problémája: minden páros szám két prímszám összege? Vagy: van-e algebrai összefüggés a π és az e számok között? Ezt a három problémát még nem sikerült megoldani, bár a 20. században a matematikusok közel kerültek a lényegük megértéséhez. De ez az évszázad sok újat hozott, nem kevesebbet érdekes feladatokat, különösen a matematika és a fizika és a természettudomány más ágainak metszéspontjában.

Hilbert még 1900-ban kiemelte ezek közül az egyiket: a matematikai fizika teljes axiómarendszerének létrehozását! Száz évvel később ez a probléma még korántsem megoldott, már csak azért is, mert a fizika matematikai eszközeinek arzenálja folyamatosan növekszik, és nem mindegyiknek van szigorú indoklása. De 1970 után az elméleti fizika két ágra szakadt. Az egyik (klasszikus) Newton kora óta a STABIL folyamatok modellezésével és előrejelzésével foglalkozik, a másik (újszülött) pedig az UNSTABIL folyamatok interakcióját és azok irányításának módjait próbálja formalizálni. Nyilvánvaló, hogy a fizika e két ágát külön kell axiomatizálni.

Az elsővel valószínűleg húsz-ötven év múlva foglalkoznak majd...

És mi hiányzik a fizika második ágából – abból, amelyik mindenféle evolúcióért felelős (beleértve a különös fraktálokat és furcsa attraktorokat, a biocenózisok ökológiáját és Gumiljov szenvedélyelméletét)? Ezt nem valószínű, hogy hamarosan megértjük. De a tudósok imádata az új bálványnak már tömegjelenséggé vált. Valószínűleg itt egy eposz bontakozik ki, amely Fermat tételének három évszázados életrajzához hasonlítható. Tehát a csomópontokban különböző tudományok egyre több új bálvány születik - a vallásihoz hasonló, de összetettebb és dinamikusabb ...

Úgy tűnik, az ember nem maradhat ember anélkül, hogy időről időre megdöntötte a régi bálványokat, és ne hozzon létre újakat - fájdalommal és örömmel! Pierre Fermat-nak szerencséje volt, hogy egy sorsdöntő pillanatban egy új bálvány születésének forró pontjához közel került – és sikerült személyiségének nyomát hagynia az újszülöttben. Egy ilyen sorsot lehet irigyelni, és nem bűn utánozni.

Szergej Szmirnov
"A tudás hatalom"

FERMAT NAGY TÉTELÉNEK TÖRTÉNETE
Nagy ügy

Egyszer a pohárköszöntéssel foglalkozó levelezőlista újévi számában mellékesen megemlítettem, hogy a 20. század végén volt egy grandiózus esemény, amit sokan nem vettek észre – az úgynevezett Fermat utolsó tétele végre bebizonyosodott. Ebből az alkalomból a kapott levelek között két lány válaszát is találtam (az egyik, ha jól emlékszem, Vika kilencedikes zelenográdi diák), akiket ez a tény meglepett.

És meglepett, hogy a lányokat milyen élénken érdeklik a modern matematika problémái. Ezért úgy gondolom, hogy nem csak a lányok, hanem a fiúk is minden korosztálytól – a középiskolásoktól a nyugdíjasokig – is érdeklődni fognak a Nagy Tétel történetének megismerése iránt.

A Fermat-tétel bizonyítása nagyszerű esemény. És azóta nem szokás viccelődni a "nagyszerű" szóval, akkor nekem úgy tűnik, hogy minden önmagát tisztelő szónok (és mindannyiunknak, ha beszélőket mondunk) egyszerűen köteles ismerni a tétel történetét.

Ha megtörtént, hogy nem szereti annyira a matematikát, mint én, akkor egy felületes pillantással nézzen meg néhány elmélyülést részletesen. Megértve, hogy levelezőlistánk nem minden olvasóját érdekli a matematika vadvilágában való bolyongás, igyekeztem semmiféle képletet nem adni (kivéve Fermat tétel egyenletét és néhány hipotézist), és leegyszerűsíteni néhány konkrét kérdés lefedését. amennyire csak lehetséges.

Hogyan főzött Fermat kását

A 17. század francia jogásza és részmunkaidős nagy matematikusa, Pierre Fermat (1601-1665) egy érdekes megállapítást terjesztett elő a számelmélet területéről, amely később Fermat Nagy (vagy Nagy) tételeként vált ismertté. Ez az egyik leghíresebb és legfenomenálisabb matematikai tétel. Valószínűleg nem lett volna olyan erős az izgalom körülötte, ha Alexandriai Diophantus (Kr. u. 3. század) „Aritmetika” című könyvében, amelyet Fermat gyakran tanulmányozott, széles margójára feljegyzéseket készített, és amelyet fia, Sámuel kedvesen megőrzött az utókor számára. , megközelítőleg a nagy matematikus következő bejegyzése nem található:

"Van egy nagyon megdöbbentő bizonyítékom, de túl nagy ahhoz, hogy elférjen a margón."

Ez a bejegyzés okozta az ezt követő grandiózus zűrzavart a tétel körül.

Tehát a híres tudós azt mondta, hogy bebizonyította a tételét. Tegyük fel magunknak a kérdést: valóban bebizonyította, vagy hazudott? Vagy vannak más verziók is, amelyek megmagyarázzák annak a marginális bejegyzésnek a megjelenését, amely nem tette lehetővé a következő generációk sok matematikusának, hogy nyugodtan aludjon?

A Nagy Tétel története olyan lenyűgöző, mint egy időbeli kaland. Fermat 1636-ban kijelentette, hogy a forma egyenlete x n + y n =z n nincs megoldása n>2 kitevőjű egész számokban. Ez valójában Fermat utolsó tétele. Ebben az egyszerűnek tűnő matematikai képletben az Univerzum hihetetlen bonyolultságot takar el. A skót származású amerikai matematikus, Eric Temple Bell A végső probléma (1961) című könyvében még azt is felvetette, hogy az emberiség talán megszűnne létezni, mielőtt bebizonyíthatná Fermat utolsó tételét.

Némileg furcsa, hogy a tétel valamiért késett a megszületésével, hiszen a helyzet már régóta esedékes volt, mert az n = 2 speciális esete - egy másik híres matematikai képlet - a Pitagorasz-tétel - huszonkét évszázaddal korábban merült fel. Fermat tételétől eltérően a Pitagorasz-tétel végtelen számú egész megoldást tartalmaz, például ilyen Pitagorasz-háromszögek: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Grand Theorem szindróma

Aki csak nem próbálta bizonyítani Fermat tételét. Bármely pályakezdő diák kötelességének tartotta a Nagy Tétel alkalmazását, de ezt senki sem tudta bizonyítani. Eleinte száz évig nem működött. Aztán még száz. És tovább. A matematikusok között tömegszindróma kezdett kialakulni: "Hogy van? Fermat bebizonyította, de mi van, ha nem tudok, vagy mi?" - és néhányan ezen az alapon beleőrültek teljes értelme ez a szó.

Bármennyire is tesztelték a tételt, mindig igaznak bizonyult. Ismertem egy energikus programozót, aki megszállottja volt a Nagy Tétel megcáfolásának ötletének, és megpróbált legalább egy megoldást (ellenpéldát) találni egész számok feletti iterációval egy gyors számítógép segítségével (akkoriban még inkább számítógépnek hívták). Bízott vállalkozása sikerében, és szerette azt mondani: "Még egy kicsit - és kitör a szenzáció!" Azt hiszem, bolygónk különböző részein jelentős számú ilyen merész kereső volt. Természetesen nem talált megoldást. És egyetlen számítógép sem, még mesés sebességgel sem tudja ellenőrizni a tételt, mert ennek az egyenletnek minden változója (beleértve a kitevőket is) a végtelenségig növekedhet.

A tétel bizonyítást igényel

A matematikusok tudják, hogy ha egy tételt nem bizonyítanak be, bármi (akár igaz, akár hamis) következhet belőle, ahogyan ez történt néhány más hipotézisből is. Például Pierre Fermat egyik levelében azt javasolta, hogy a 2 n +1 alakú számok (az úgynevezett Fermat-számok) szükségszerűen prímszámok (vagyis nincs egész osztójuk, és csak maradék nélkül oszthatók önmagukkal és eggyel), ha n kettő hatványa (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 stb.). Fermat hipotézise több mint száz évig élt – mígnem Leonhard Euler 1732-ben bebizonyította, hogy

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Majdnem 150 évvel később (1880) Fortune Landry a következő Fermat-számot vette figyelembe:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Hogyan találhatták meg ezeknek a nagy számoknak az osztóit számítógépek segítsége nélkül - csak Isten tudja. Euler pedig azt a hipotézist állította fel, hogy az x 4 + y 4 + z 4 =u 4 egyenletnek nincs egész számban kifejezett megoldása. Körülbelül 250 évvel később, 1988-ban azonban a harvardi Nahum Elkisnek sikerült felfedeznie (már a számítógépes program), Mit

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Ezért Fermat utolsó tétele bizonyítást igényelt, különben csak hipotézis volt, és könnyen lehet, hogy valahol a végtelen numerikus mezőkben elveszett a Nagy Tétel egyenletének megoldása.

A 18. század legvirtuózabb és legtermékenyebb matematikusa, Leonhard Euler, akinek irattárát az emberiség csaknem egy évszázada válogatja, bebizonyította Fermat tételét a 3. és 4. hatványra (vagy inkább megismételte Pierre Fermat elveszett bizonyításait). ; számelméleti követője, Legendre (és önállóan Dirichlet) - az 5. fokozatért; Béna - 7. fokozatra. De be Általános nézet a tétel bizonyítatlan maradt.

1847. március 1-jén a Párizsi Tudományos Akadémia ülésén két jeles matematikus- Gabriel Lame és Augustin Cauchy - azt mondták, hogy a Nagy Tétel bizonyításának a végére értek, és versenyt folytattak, és részenként publikálták bizonyításukat. A köztük lévő párbaj azonban megszakadt, mert bizonyításaikban ugyanazt a hibát fedezték fel, amire Ernst Kummer német matematikus is rámutatott.

A 20. század elején (1908) egy gazdag német vállalkozó, filantróp és tudós, Paul Wolfskel százezer márkát hagyott örökül annak, aki bemutatja Fermat tételének teljes bizonyítását. Wolfskell testamentumának a Göttingeni Tudományos Akadémia általi publikálása után már az első évben elárasztották a matematika szerelmesei bizonyítékok ezrei, és ez az áramlás évtizedekig nem állt meg, de ahogy el lehet képzelni, mindegyik tartalmazott hibákat. . Azt mondják, hogy az akadémia a következő tartalommal készített nyomtatványokat:

Kedves __________________________!
A Fermat-tétel bizonyítása a ____ oldal ____. sorában felülről
A következő hiba található a képletben:_______________________________:,

Amelyeket elküldtek a szerencsétlen pályázóknak a díjra.

Abban az időben egy félig lenéző becenév jelent meg a matematikusok körében - fermist. Így hívtak minden magabiztos feltörőt, akinek nem volt tudása, de több ambíciója volt, hogy sietve megpróbálja magát a Nagy Tétel bizonyításában, majd saját hibáit észre sem véve, büszkén mellkasra csapva hangosan kijelenti: „Bizonyítottam. az első Fermat-tétel! Minden gazda, még ha szám szerint tízezredik is volt, magát az elsőnek tartotta – ez nevetséges volt. Egyszerű kinézet A Nagy Tétel annyira emlékeztette a fermistákat a könnyű prédára, hogy egyáltalán nem jöttek zavarba, amiért még Euler és Gauss sem tudott megbirkózni vele.

(Fermisták, furcsa módon, ma is léteznek. Bár egyikük nem hitte, hogy klasszikus fermistához hasonlóan bebizonyította a tételt, de egészen a közelmúltig próbálkozott – nem akart hinni nekem, amikor azt mondtam neki, hogy Fermat tételét már bizonyított).

A leghatalmasabb matematikusok, talán irodáik csendjében, szintén óvatosan igyekeztek megközelíteni ezt az elviselhetetlen rudat, de nem beszéltek róla hangosan, nehogy fermistának bélyegezzék őket, és így ne sértsék magas tekintélyüket.

Ekkorra megjelent a tétel bizonyítása az n kitevőre<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Furcsa hipotézis

A huszadik század közepéig a Nagy Tétel történetében jelentős előrelépés nem történt. De hamarosan egy érdekes esemény történt a matematikai életben. 1955-ben a 28 éves japán matematikus, Yutaka Taniyama a matematika egy teljesen más területéről, a Taniyama-hipotézisnek (más néven Taniyama-Shimura-Weil hipotézisnek) nevezett kijelentést terjesztett elő, amely Fermat megkésett tételével ellentétben megelőzte. annak idejéből.

Taniyama sejtése kimondja: "minden elliptikus görbének megfelel egy bizonyos moduláris forma." Ez a kijelentés az akkori matematikusok számára körülbelül olyan abszurdnak hangzott, mint nekünk az a kijelentés, hogy "minden fának egy bizonyos fém felel meg". Könnyű kitalálni, hogyan viszonyulhat egy normális ember egy ilyen kijelentéshez - egyszerűen nem fogja komolyan venni, ami meg is történt: a matematikusok egyöntetűen figyelmen kívül hagyták a hipotézist.

Egy kis magyarázat. A régóta ismert elliptikus görbék kétdimenziós formájúak (síkon helyezkednek el). A 19. században felfedezett moduláris függvények négydimenziós formájúak, így háromdimenziós agyunkkal el sem tudjuk képzelni, de matematikailag leírhatjuk; ráadásul a moduláris formák abban is elképesztőek, hogy a lehető legnagyobb szimmetriával rendelkeznek - bármilyen irányba fordíthatók (eltolhatók), tükrözhetők, a töredékek végtelenül sokféleképpen cserélhetők, forgathatók - és a megjelenésük nem változik. Mint látható, az elliptikus görbéknek és a moduláris formáknak kevés a közös vonása. Taniyama hipotézise kimondja, hogy e két, egymásnak megfelelő, abszolút különböző matematikai objektum leíró egyenlete ugyanabba a matematikai sorozatba bővíthető.

Taniyama hipotézise túlságosan paradox volt: teljesen különböző fogalmakat egyesített – meglehetősen egyszerű lapos görbéket és elképzelhetetlen négydimenziós formákat. Ez soha senkinek nem jutott eszébe. Amikor 1955 szeptemberében egy nemzetközi matematikai szimpóziumon Tokióban Taniyama számos megfelelést mutatott be az elliptikus görbék és a moduláris formák között, mindenki ezt csak egy vicces véletlennek látta. Taniyama szerény kérdésére: meg lehet-e találni minden elliptikus görbéhez a megfelelő moduláris függvényt, a tiszteletreméltó francia Andre Weil, aki akkoriban a világ egyik legjobb számelméleti szakembere volt, meglehetősen diplomatikus választ adott, hogy mit mondanak. , ha a kíváncsi Taniyama nem hagyja el a lelkesedését, akkor talán szerencséje lesz, és beigazolódik hihetetlen hipotézise, ​​de ennek nem szabad megtörténnie egyhamar. Általában, mint sok más kiemelkedő felfedezést, Taniyama hipotézisét eleinte figyelmen kívül hagyták, mert még nem nőttek fel hozzá – szinte senki sem értette. Taniyama egyetlen kollégája, Goro Shimura, aki jól ismerte rendkívül tehetséges barátját, érezte intuitív módon, hogy hipotézise helyes.

Három évvel később (1958) Yutaka Taniyama öngyilkos lett (a szamuráj hagyományok azonban erősek Japánban). A józan ész szempontjából - érthetetlen cselekedet, különösen, ha figyelembe vesszük, hogy hamarosan férjhez megy. A fiatal japán matematikusok vezetője így kezdte öngyilkossági feljegyzését: "Tegnap nem gondolkodtam az öngyilkosságon. Mostanában gyakran hallottam másoktól, hogy lelkileg és fizikailag is fáradt vagyok. Igazából még most sem értem, miért vagyok ezt csinálva...” és így tovább három lapon. Kár, persze, hogy egy érdekes ember sorsára jutott ez, de minden zseni egy kicsit furcsa – ezért is zseni (valamiért Arthur Schopenhauer szavai jutottak eszembe: „a hétköznapi életben egy A zseninek annyi haszna van, mint egy távcsőnek a színházban”). A hipotézist elvetették. Senki sem tudta, hogyan bizonyítsa be.

Tíz éven át Taniyama hipotézisét alig említették. De a 70-es évek elején népszerűvé vált - mindenki, aki értette, rendszeresen ellenőrizte -, és mindig beigazolódott (ahogy valójában Fermat tétele), de, mint korábban, senki sem tudta bizonyítani.

Elképesztő kapcsolat a két hipotézis között

Újabb 15 év telt el. 1984-ben volt egy kulcsfontosságú esemény a matematika életében, amely egyesítette az extravagáns japán sejtést Fermat utolsó tételével. A német Gerhard Frey egy tételhez hasonló különös kijelentést terjesztett elő: "Ha Taniyama sejtése beigazolódik, akkor következésképpen Fermat utolsó tétele is beigazolódik." Más szóval, Fermat tétele Taniyama sejtésének következménye. (Frey zseniális matematikai transzformációkkal redukálta a Fermat-egyenletet elliptikus görbe egyenletté (ugyanaz, amely Taniyama hipotézisében is megjelenik), többé-kevésbé alátámasztotta feltevését, de nem tudta bizonyítani). És alig másfél évvel később (1986) a Kaliforniai Egyetem professzora, Kenneth Ribet egyértelműen bebizonyította Frey tételét.

Mi történt most? Most kiderült, hogy mivel Fermat tétele már pontosan Taniyama sejtésének a következménye, már csak az utóbbit kell bizonyítani, hogy a legendás Fermat-tétel hódítójának babérjait megtörhessük. De a hipotézis nehéznek bizonyult. Ráadásul az évszázadok során a matematikusok allergiásak lettek Fermat tételére, és sokan közülük úgy döntöttek, hogy Taniyama sejtéseivel is szinte lehetetlen megbirkózni.

Fermat hipotézisének halála. Egy tétel születése

Újabb 8 év telt el. A Princeton Egyetem (New Jersey, USA) egyik haladó angol matematikaprofesszora, Andrew Wiles úgy gondolta, hogy bizonyítékot talált Taniyama sejtésére. Ha a zseni nem kopasz, akkor általában kócos. Wiles kócos, ezért úgy néz ki, mint egy zseni. A történelembe való belépés természetesen csábító és nagyon kívánatos, de Wiles, mint egy igazi tudós, nem hízelgett magának, rájött, hogy előtte fermisták ezrei is láttak kísérteties bizonyítékokat. Ezért, mielőtt a világ elé tárta a bizonyítását, ő maga gondosan ellenőrizte, de felismerve, hogy lehet szubjektív elfogultsága, másokat is bevont az ellenőrzésekbe, például hétköznapi matematikai feladatok leple alatt néha különféle töredékeket dobott ki. bizonyítékát az okos végzős hallgatóknak. Wiles később elismerte, hogy a feleségén kívül senki sem tudta, hogy a Nagy Tétel bizonyításán dolgozik.

Így aztán hosszas ellenőrzések és fájdalmas töprengések után Wiles végre összeszedte a bátorságát, és talán – ahogy ő maga gondolta – az arroganciát, és 1993. június 23-án egy számelméleti matematikai konferencián Cambridge-ben bejelentette nagyszerű eredményét.

Természetesen szenzáció volt. Senki sem várt ekkora mozgékonyságot egy kevéssé ismert matematikustól. Aztán jött a sajtó. Mindenkit égető érdeklődés gyötört. Karcsú képletek, mint egy gyönyörű kép vonásai, megjelentek a közönség kíváncsi szemei ​​előtt. Az igazi matematikusok végül is ilyenek - mindenféle egyenletet néznek, és nem számokat, állandókat és változókat látnak bennük, hanem zenét hallanak, mint Mozart, aki egy zenei botot néz. Csakúgy, mint amikor egy könyvet olvasunk, nézzük a betűket, de úgy tűnik, nem vesszük észre őket, hanem azonnal érzékeljük a szöveg jelentését.

A bizonyítás bemutatása sikeresnek tűnt - hibát nem találtak benne -, senki nem hallott egy hamis hangot sem (bár a matematikusok többsége egyszerűen úgy bámult rá, mint az elsősök az integrálra, és nem értenek semmit). Mindenki úgy döntött, hogy nagyszabású esemény történt: Taniyama hipotézise beigazolódott, következésképpen Fermat utolsó tétele. De körülbelül két hónappal később, néhány nappal azelőtt, hogy Wiles bizonyításának kézirata forgalomba kerülne, ellentmondásosnak találták (Katz, Wiles munkatársa megjegyezte, hogy az egyik érvelés az „Euler-rendszerre” támaszkodott, de Wiles építette, nem volt ilyen rendszer), bár általában Wiles technikáit érdekesnek, elegánsnak és innovatívnak tartották.

Wiles elemezte a helyzetet, és úgy döntött, hogy veszített. El lehet képzelni, hogyan érezte teljes lényével, hogy mit jelent "a nagytól a nevetségesig egy lépés". "Szerettem volna belépni a történelembe, de ehelyett bekerültem egy bohócokból és humoristákból álló csapathoz - arrogáns parasztemberek" - hozzávetőlegesen ezek a gondolatok kimerítették életének abban a fájdalmas időszakában. Számára, egy komoly matematikusra, ez tragédia volt, és a bizonyítékát a háttérbe dobta.

De valamivel több mint egy évvel később, 1994 szeptemberében, miközben oxfordi kollégájával, Taylorral együtt gondolkodott a bizonyítás szűk keresztmetszetén, az utóbbinak hirtelen az az ötlete támadt, hogy az „Euler-rendszert” át lehetne állítani az Iwasawa-elméletre. számelmélet). Aztán megpróbálták használni az Iwasawa elméletet, az "Euler-rendszer" nélkül, és mindannyian összeálltak. A bizonyítás javított változatát beküldték ellenőrzésre, majd egy évvel később bejelentették, hogy abban minden teljesen világos, egyetlen hiba nélkül. 1995 nyarán az egyik vezető matematikai folyóiratban - "Annals of Mathematics" - Taniyama sejtésének (tehát Fermat nagy (nagy) tételének) teljes bizonyítéka jelent meg, amely az egész számot elfoglalta - több mint száz oldalon. A bizonyíték annyira összetett, hogy a világon csak néhány tucat ember tudta teljes egészében megérteni.

Így a 20. század végén az egész világ felismerte, hogy életének 360. évében Fermat utolsó tétele, amely valójában mindeddig hipotézis volt, bizonyított tétel lett. Andrew Wiles bebizonyította Fermat Nagy (Nagy) tételét, és belépett a történelembe.

Szerintem bebizonyítottál egy tételt...

A felfedező boldogsága mindig egyedül jár valakinek – ő az, aki az utolsó kalapácsütéssel feltöri a tudás kemény dióját. De nem lehet figyelmen kívül hagyni a sok korábbi ütést, amelyek évszázadok óta repedést okoztak a Nagy Tételben: Euler és Gauss (a matematika korának királyai), Evariste Galois (akinek sikerült megalapítania a csoportok és mezők elméletét a rövid 21. -éves élete, akinek munkáit csak halála után ismerték el briliánsnak), Henri Poincaré (nemcsak a bizarr moduláris formák, hanem a konvencionalizmus alapítója is - filozófiai irányzat), David Gilbert (a huszadik század egyik legerősebb matematikusa) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor és mások igazi tudósok(Nem félek ezektől a szavaktól).

Fermat Utolsó Tételének bizonyítása a huszadik század olyan vívmányaival vethető fel, mint a számítógép feltalálása, az atombomba és az űrrepülés. Bár nem olyan széles körben ismert róla, mert nem hatol be pillanatnyi érdeklődésünk zónájába, mint a tévé vagy egy villanykörte, de egy szupernóva felvillanása volt, ami, mint minden megváltoztathatatlan igazság, mindig felragyog majd. emberiség.

Mondhatod: "Gondolj csak, bebizonyítottál valamiféle tételt, kinek kell?". Jogos kérdés. David Gilbert válasza pontosan ide illik. Mikor a kérdésre: "mi most a tudomány legfontosabb feladata?", azt válaszolta: "legyet fogni a Hold túlsó oldalán", joggal kérdezték tőle: „de kinek kell?", így válaszolt: "Senkinek nincs szüksége rá. De gondolj bele, milyen fontos a legnehezebb feladatokat gondoljunk arra, hogy 360 év alatt hány problémát tudott megoldani az emberiség, mielőtt bebizonyította Fermat tételét. Bizonyítását keresve a modern matematika közel felét fedezték fel. Azt is figyelembe kell vennünk, hogy a matematika a tudomány avantgárdja (és , mellesleg a tudományok közül az egyetlen, amely egyetlen hiba nélkül épül fel), és minden tudományos vívmány és találmány itt kezdődik. Ahogy Leonardo da Vinci megjegyezte, "csak az a doktrína ismerhető el tudománynak, amelyet matematikailag megerősítenek ."

* * *

És most térjünk vissza történetünk elejére, emlékezzünk Pierre Fermat bejegyzésére Diophantus tankönyvének margójára, és tegyük fel ismét magunknak a kérdést: vajon Fermat valóban bebizonyította a tételét? Ezt persze nem tudhatjuk biztosan, és mint minden esetben, itt is különböző verziók születnek:

1. verzió: Fermat bebizonyította tételét. (Arra a kérdésre: "Fermatnak pontosan ugyanaz volt a bizonyítéka a tételére?" Andrew Wiles megjegyezte: "Fermat nem tudta volna így bizonyíték. Ez a 20. század bizonyítéka. "Megértjük, hogy a 17. században a matematika természetesen nem volt ugyanaz, mint a 20. század végén - abban a korszakban d, Artagnan, a tudományok királynője nem mégis birtokolják azokat a felfedezéseket (moduláris formák, Taniyama tételei, Frey stb.), amelyek csak Fermat utolsó tételének bizonyítását tették lehetővé, persze feltételezhetjük: mi a franc nem tréfál – mi van, ha Fermat máshogy tippel Ez a változat, bár valószínű, a legtöbb matematikus szerint gyakorlatilag lehetetlen);
2. verzió: Pierre de Fermat úgy tűnt, hogy bebizonyította a tételét, de a bizonyításban hibák voltak. (Azaz maga Fermat volt az első fermatista is);
3. verzió: Fermat nem bizonyította a tételét, hanem egyszerűen a margón hazudott.

Ha az utolsó két verzió közül az egyik helyes, ami a legvalószínűbb, akkor egyszerű következtetést lehet levonni: nagyszerű emberek, bár nagyszerűek, ők is hibázhatnak, vagy néha nem bánják a hazudozást(alapvetően ez a következtetés hasznos lesz azoknak, akik hajlamosak teljesen megbízni bálványaikban és más gondolati uralkodókban). Ezért, amikor az emberiség tekintélyes fiainak műveit olvassa vagy szánalmas beszédeiket hallgatja, joga van kételkedni kijelentéseikben. (Kérjük, vegye figyelembe, hogy kételkedni nem azt jelenti, hogy elutasítunk).

A cikkek anyagainak újranyomtatása csak az oldalra mutató kötelező hivatkozásokkal lehetséges (az interneten - hiperhivatkozás) és a szerzőnek

FERMAT NAGY TÉTEL - Pierre Fermat (francia jogász és részmunkaidős matematikus) megállapítása, miszerint az X n + Y n = Z n diofantusi egyenletnek n>2 kitevőjével, ahol n = egész szám, nincs pozitív megoldása. egész számok . A szerző szövege: "Lehetetlen egy kockát két kockára bontani, vagy egy bi-négyzetet két bi-négyzetre, vagy általában a kettőnél nagyobb hatványt két hatványra ugyanazzal a kitevővel."

"Fermat és tétele", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre 1636. március 29-én állt elő ezzel a tétellel. És körülbelül 29 év után meghalt. De itt kezdődött minden. Hiszen egy Wolfskel nevű gazdag német matematikus százezer márkát hagyott örökül annak, aki bemutatja Fermat tételének teljes bizonyítását! De a tétel körüli izgalom nemcsak ezzel, hanem a szakmai matematikai izgalommal is összefüggött. Fermat maga utalt a matematikai közösségnek arra, hogy ismeri a bizonyítékot – röviddel halála előtt, 1665-ben a következő bejegyzést hagyta az Alexandriai Diophantus „Arithmetic” című könyvének margójára: „Van egy nagyon csodálatos bizonyítékom, de ez túl nagy ahhoz, hogy a szántóföldre lehessen helyezni."

Ez a célzás (plusz természetesen pénzdíj) volt az, ami miatt a matematikusok sikertelenül elköltették legjobb évek(Amerikai tudósok számításai szerint erre összesen 543 évet fordítottak csak hivatásos matematikusok).

Valamikor (1901-ben) a Fermat-tételen végzett munka az „örökmozgó keresésével rokon munka” kétes hírnévre tett szert (még egy lekicsinylő kifejezés is volt – „fermatikusok”). És hirtelen, 1993. június 23-án, egy számelméleti matematikai konferencián Cambridge-ben, Andrew Wiles, a Princeton Egyetem (New Jersey, USA) angol matematikaprofesszora bejelentette, hogy végre bebizonyította Fermat!

A bizonyítás azonban nemcsak bonyolult volt, hanem nyilvánvalóan hibás is, ahogy Wiles-t kollégái is felhívták a figyelmet. Wiles professzor azonban egész életében arról álmodott, hogy bebizonyítja a tételt, így nem meglepő, hogy 1994 májusában bemutatta a tudományos közösségnek a bizonyítás új, javított változatát. Nem volt benne harmónia, szépség, és még mindig nagyon bonyolult volt - az a tény, hogy a matematikusok egy egész éve (!) elemezték ezt a bizonyítást, hogy megértsük, nem hibás-e, az önmagáért beszél!

De végül Wiles bizonyítékát helyesnek találták. De a matematikusok nem bocsátották meg Pierre Fermat-nak az aritmetikai célzást, és valójában hazugnak kezdték tartani. Valójában az első személy, aki megkérdőjelezte Fermat erkölcsi feddhetetlenségét, maga Andrew Wiles volt, aki megjegyezte, hogy "Fermatnak nem lehetett ilyen bizonyítéka. Ez a huszadik századi bizonyíték." Aztán a többi tudós között megerősödött az a vélemény, hogy Fermat "nem tudja más módon igazolni tételét, és Fermat nem tudja úgy bizonyítani, ahogyan Wiles, objektív okokból".

Valójában Fermat természetesen bebizonyíthatta, és kicsit később ezt a bizonyítékot újra megalkotják a New Analytical Encyclopedia elemzői. De – mik is ezek az „objektív okok”?
Valójában csak egy ilyen ok van: azokban az években, amikor Fermat élt, nem jelenhetett meg Taniyama sejtése, amelyre Andrew Wiles a bizonyítását építette, mert a moduláris függvényeket, amelyekre Taniyama sejtése működik, csak késő XIX század.

Hogyan igazolta maga Wiles a tételt? A kérdés nem tétlen – ez fontos annak megértéséhez, hogy maga Fermat hogyan bizonyíthatta be tételét. Wiles a bizonyítását Taniyama sejtésének bizonyítékára építette, amelyet a 28 éves japán matematikus, Yutaka Taniyama 1955-ben terjesztett elő.

A sejtés így hangzik: "minden elliptikus görbe egy bizonyos moduláris formának felel meg." A régóta ismert elliptikus görbék kétdimenziós (síkon helyezkednek el), míg a moduláris függvények négydimenziós formájúak. Vagyis Taniyama hipotézise teljesen különböző fogalmakat kombinált - egyszerű lapos görbékkel és elképzelhetetlen négydimenziós formákkal. A hipotézisben a különböző dimenziós alakok összekapcsolásának ténye abszurdnak tűnt a tudósok számára, ezért 1955-ben nem tulajdonítottak neki jelentőséget.

1984 őszén azonban hirtelen újra eszébe jutott a "Taniyama-hipotézis", és nemcsak eszébe jutott, hanem lehetséges bizonyítását is összekapcsolták Fermat tételének bizonyításával! Ezt Gerhard Frey saarbrückeni matematikus tette, aki azt mondta a tudományos közösségnek, hogy "ha valaki be tudja bizonyítani Taniyama sejtését, akkor Fermat utolsó tétele bebizonyosodik".

Mit csinált Frey? A Fermat-egyenletet köbössé alakította, majd felhívta a figyelmet arra, hogy a Fermat-egyenlet köbössé alakításával kapott elliptikus görbe nem lehet moduláris. Taniyama sejtése azonban azt állította, hogy bármely elliptikus görbe lehet moduláris! Ennek megfelelően a Fermat-egyenletből felépített elliptikus görbe nem létezhet, ami azt jelenti, hogy nem létezhetnek teljes megoldások és Fermat-tétel, ami azt jelenti, hogy igaz. Nos, 1993-ban Andrew Wiles egyszerűen bebizonyította Taniyama sejtését, tehát Fermat tételét.

Fermat tétele azonban sokkal egyszerűbben bizonyítható, ugyanazon többdimenziós alapon, amelyet Taniyama és Frey is operált.

Kezdésként figyeljünk arra a feltételre, amelyet maga Pierre Fermat kötött ki - n>2. Miért volt szükség erre a feltételre? Igen, csak azért, mert n=2 esetén a közönséges Pitagorasz-tétel X 2 +Y 2 =Z 2 a Fermat-tétel speciális esetévé válik, amelynek végtelen számú egész megoldása van - 3,4,5; 5,12,13; 7.24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 és így tovább. Így a Pitagorasz-tétel kivételt jelent Fermat tétele alól.

De miért pont n=2 esetén fordul elő ilyen kivétel? Minden a helyére kerül, ha a fok (n=2) és magának az alakzatnak a dimenziója közötti kapcsolatot látja. A Pitagorasz-háromszög egy kétdimenziós alakzat. Nem meglepő, hogy Z (azaz a hipotenúza) lábakkal (X és Y) fejezhető ki, amelyek lehetnek egész számok. A szög nagysága (90) lehetővé teszi, hogy a befogót vektornak tekintsük, a lábak pedig a tengelyeken elhelyezkedő és az origóból érkező vektorok. Ennek megfelelően lehetséges olyan kétdimenziós vektort kifejezni, amely nem fekszik egyik tengelyen sem, a rajtuk fekvő vektorokkal.

Ha most a harmadik dimenzióhoz megyünk, és ebből n=3-hoz, egy háromdimenziós vektor kifejezéséhez, akkor nem lesz elég információ két vektorról, és ezért lehetséges lesz Z-t kifejezni a Fermat-egyenletben. legalább három tag (három, a koordinátarendszer három tengelyén elhelyezkedő vektor).

Ha n=4, akkor legyen 4 tag, ha n=5, akkor legyen 5 tag, és így tovább. Ebben az esetben több mint elég teljes megoldás lesz. Például 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 és így tovább (más példákat is választhat n=3, n=4 és így tovább).

Mi következik mindebből? Ebből következik, hogy a Fermat-tételnek valóban nincs teljes megoldása n>2-re – de csak azért, mert maga az egyenlet hibás! Ugyanilyen sikerrel meg lehetne próbálni a paralelepipedon térfogatát a két élének hosszával kifejezni - persze ez lehetetlen (egész megoldásokat sosem találunk), de csak azért, mert meg lehet találni a paralelepipedon térfogatát. , ismernie kell mindhárom élének hosszát.

Amikor a híres matematikustól, David Gilberttől megkérdezték, mi a tudomány legfontosabb feladata most, azt válaszolta, hogy "legyet kell elkapni a Hold túlsó oldalán". Az ésszerű kérdésre: "Kinek kell?" így válaszolt: "Senkinek nincs rá szüksége. De gondoljon bele, hány fontos és összetett feladatot kell megoldania ahhoz, hogy ezt elérje."

Vagyis Fermat (elsősorban jogász!) szellemes jogi viccet játszott az egész matematikai világgal. rossz színrevitel feladatokat. Valójában azt javasolta, hogy a matematikusok találjanak választ arra, hogy miért nem élhet egy légy a Hold másik oldalán, és az aritmetika margójára csak azt akarta írni, hogy a Holdon egyszerűen nincs levegő, i.e. tételének nem lehet egész számú megoldása n>2-re, csak azért, mert n minden értékének meg kell felelnie bizonyos számú tagnak az egyenlete bal oldalán.

De ez csak vicc volt? Egyáltalán nem. Fermat zsenialitása éppen abban rejlik, hogy valójában ő volt az első, aki meglátta egy matematikai alakzat fokszáma és dimenziója közötti összefüggést – vagyis ami abszolút ekvivalens, az egyenlet bal oldalán lévő tagok száma között. Híres tételének célja éppen az volt, hogy ne csak a matematikai világot ráterjessze ennek a kapcsolatnak az ötletére, hanem kezdeményezze ennek a kapcsolatnak a létezésének bizonyítását is - intuitív módon érthető, de matematikailag még nem igazolva.

Fermat, mint senki más, megértette, hogy a látszólag különböző objektumok közötti kapcsolat megteremtése rendkívül gyümölcsöző nemcsak a matematikában, hanem bármely tudományban is. Egy ilyen kapcsolat egy mély elvre mutat, amely mindkét tárgy mögött meghúzódik, és lehetővé teszi azok mélyebb megértését.

Például kezdetben a fizikusok az elektromosságot és a mágnesességet teljesen független jelenségnek tekintették, majd a 19. században az elméletalkotók és a kísérletezők rájöttek, hogy az elektromosság és a mágnesesség szorosan összefügg. Az eredmény az elektromosság és a mágnesesség mélyebb megértése volt. Elektromos áramok generál mágneses mezők, és a mágnesek elektromosságot indukálhatnak a mágnesek közelében lévő vezetőkben. Ez vezetett a dinamók és az elektromos motorok feltalálásához. Végül kiderült, hogy a fény az összehangolás eredménye harmonikus rezgések mágneses és elektromos mezők.

Fermat korának matematikája a tudás szigeteiből állt a tudatlanság tengerében. A geométerek az egyik szigeten az alakzatokat, a matematikusok pedig a valószínűségeket és a véletleneket tanulmányozták a másik szigeten. A geometria nyelve nagyon különbözött a valószínűségszámítás nyelvétől, és az algebrai terminológia idegen volt azok számára, akik csak a statisztikáról beszéltek. Sajnos korunk matematikája megközelítőleg ugyanazokból a szigetekből áll.

Farm volt az első, aki felismerte, hogy ezek a szigetek összefüggenek egymással. Híres tétele - Fermat NAGY TÉTELE - pedig ezt kiválóan megerősíti.

Tehát Fermat utolsó tétele (amelyet gyakran Fermat utolsó tételének neveznek), amelyet a briliáns francia matematikus, Pierre Fermat fogalmazott meg 1637-ben, lényegét tekintve nagyon egyszerű és érthető minden középfokú végzettségű ember számára. Azt mondja, hogy az a képletnek n hatványára + b n hatványára \u003d c n hatványára nincs természetes (vagyis nem tört) megoldása n> 2-re. Minden egyszerűnek és világosnak tűnik , de a legjobb matematikusok és egyszerű amatőrök több mint három és fél évszázadon át küzdöttek a megoldás kereséséért.

Miért olyan híres? Most derítsük ki...



Kevés a bizonyított, nem igazolt és még nem bizonyított tétel? A helyzet az, hogy Fermat utolsó tétele a legnagyobb ellentét a megfogalmazás egyszerűsége és a bizonyítás összetettsége között. Fermat utolsó tétele hihetetlenül nehéz feladat, mégis a megfogalmazása 5. osztályosok számára érthető Gimnázium, de a bizonyíték nem is akármilyen profi matematikus. Sem a fizikában, sem a kémiában, sem a biológiában, sem ugyanabban a matematikában nincs egyetlen probléma, amely ilyen egyszerűen megfogalmazódott volna, de olyan sokáig megoldatlan maradt volna. 2. Miből áll?

Kezdjük a Pythagorean nadrággal A megfogalmazás nagyon egyszerű – első ránézésre. Gyermekkorunk óta tudjuk, hogy "a pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő". A probléma olyan egyszerűnek tűnik, mert egy mindenki által ismert matematikai állításon alapult – a Pitagorasz-tételen: minden esetben derékszögű háromszög a hipotenuszon épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével.

A Kr.e. V. században. Pythagoras megalapította a Pythagorean Testvériséget. A pitagoreusok többek között az x²+y²=z² egyenletet kielégítő egész hármasokat tanulmányozták. Ezt bebizonyították Pitagorasz-hármasok végtelenül sok, és általános képleteket kaptam ezek megtalálásához. Biztos megpróbáltak hármast vagy többet keresni. magas fokok. Abban a meggyőződésben, hogy ez nem működik, a pitagoreusok felhagytak hiábavaló próbálkozásaikkal. A testvériség tagjai inkább filozófusok és esztéták voltak, mint matematikusok.


Ez azt jelenti, hogy könnyű felvenni egy olyan számkészletet, amely tökéletesen kielégíti az x² + y² = z² egyenlőséget.

3-tól, 4-től, 5-től kezdve - valóban, az általános iskolás tanuló megérti, hogy 9 + 16 = 25.

Vagy 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Remek.

Nos, és így tovább. Mi van, ha egy hasonló x³+y³=z³ egyenletet veszünk fel? Lehet, hogy vannak ilyen számok is?




És így tovább (1. ábra).

Nos, kiderült, hogy nem. Itt kezdődik a trükk. Az egyszerűség látszólagos, mert nehéz bizonyítani nem valaminek a jelenlétét, hanem éppen ellenkezőleg, a hiányát. Amikor be kell bizonyítani, hogy létezik megoldás, akkor ezt a megoldást egyszerűen be lehet és kell is bemutatni.

A hiányt nehezebb bizonyítani: például valaki azt mondja: ilyen és ilyen egyenletnek nincs megoldása. Pocsolyába tenni? egyszerű: bam – és itt a megoldás! (adj megoldást). És ennyi, az ellenfél vereséget szenved. Hogyan igazolható a hiányzás?

Azt mondani: "Nem találtam ilyen megoldást"? Vagy esetleg nem jól kerestél? És mi van, ha csak nagyon nagyok, nos, olyanok, hogy még egy szupererős számítógépnek sincs még elég ereje? Ez az, ami nehéz.

Vizuális formában ez a következőképpen mutatható meg: ha veszünk két megfelelő méretű négyzetet és szétszedjük őket egységnégyzetekre, akkor ebből az egységnégyzet-csomóból egy harmadik négyzetet kapunk (2. ábra):


És tegyük ugyanezt a harmadik dimenzióval (3. ábra) – nem működik. Nincs elég kocka, vagy továbbiak maradtak:





De a 17. századi matematikus, a francia Pierre de Fermat lelkesen tanulmányozta az x általános egyenletet. n+yn=zn . És végül arra a következtetésre jutott: n>2 egész számra nem léteznek megoldások. Fermat bizonyítéka helyrehozhatatlanul elveszett. Lángolnak a kéziratok! Már csak a megjegyzése maradt meg Diophantus Aritmetikájában: "Valóban elképesztő bizonyítékot találtam erre az állításra, de a margók túl szűkek ahhoz, hogy betartsam."

Valójában a bizonyítás nélküli tételt hipotézisnek nevezzük. De Fermat arról híres, hogy soha nem tévedett. Még ha nem is hagyott bizonyítékot egyetlen kijelentésére sem, azt később megerősítették. Emellett Fermat n=4-re igazolta tézisét. Tehát a francia matematikus hipotézise Fermat utolsó tételeként vonult be a történelembe.

Fermat után olyan nagy elmék, mint Leonhard Euler dolgoztak a bizonyíték megtalálásán (1770-ben megoldást javasolt n = 3-ra),

Adrien Legendre és Johann Dirichlet (ezek a tudósok közösen találtak bizonyítékot n = 5-re 1825-ben), Gabriel Lame (aki n = 7-re talált bizonyítékot) és még sokan mások. A múlt század 80-as éveinek közepére világossá vált, hogy a tudományos világ úton van Fermat utolsó tételének végső megoldása felé, de a matematikusok csak 1993-ban látták és hitték el, hogy a három évszázados saga bizonyítékot talál Fermat utolsó tétele majdnem véget ért.

Könnyen kimutatható, hogy a Fermat-tételt csak n prímre elég bizonyítani: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Kompozit n esetén a bizonyítás érvényes marad. De végtelenül sok prímszám van...

1825-ben Sophie Germain módszerével a női matematikusok, Dirichlet és Legendre egymástól függetlenül igazolták a tételt n=5-re. 1839-ben a francia Gabriel Lame ugyanezzel a módszerrel kimutatta az n=7 tétel igazságát. Fokozatosan bebizonyosodott a tétel szinte minden n száznál kevesebbre.


Végül Ernst Kummer német matematikus zseniális tanulmányában kimutatta, hogy a 19. századi matematika módszerei nem tudják általános formában bizonyítani a tételt. A Francia Tudományos Akadémia 1847-ben a Fermat-tétel bizonyítására alapított díja kiosztás nélkül maradt.

1907-ben a gazdag német iparos, Paul Wolfskel úgy döntött, hogy viszonzatlan szerelem miatt kioltja életét. Mint egy igazi német, beállította az öngyilkosság dátumát és időpontját: pontosan éjfélkor. Az utolsó napon végrendeletet készített, és leveleket írt a barátoknak, rokonoknak. Az üzlet éjfél előtt véget ért. Azt kell mondanom, hogy Pault érdekelte a matematika. Mivel nem volt mit tennie, bement a könyvtárba, és elkezdte olvasni Kummer híres cikkét. Hirtelen úgy tűnt neki, hogy Kummer tévedett az érvelésében. Wolfskehl ceruzával a kezében elemezni kezdte a cikk ezen részét. Eltelt az éjfél, eljött a reggel. A bizonyítás hiányát betömték. És az öngyilkosság oka most teljesen nevetségesnek tűnt. Pál széttépte a búcsúleveleket, és átírta a végrendeletet.

Hamarosan természetes okok miatt meghalt. Az örökösök igencsak meglepődtek: 100 000 márka (több mint 1 000 000 jelenlegi font sterling) került a Göttingeni Királyi Tudományos Társaság számlájára, amely ugyanabban az évben versenyt hirdetett a Wolfskel-díjra. 100 000 márka támaszkodott Fermat tételének bizonyítására. Egy pfennig sem kellett volna fizetni a tétel cáfolatáért...

A legtöbb hivatásos matematikus elveszett ügynek tartotta a Fermat-féle utolsó tétel bizonyításának keresését, és határozottan visszautasította, hogy időt vesztegetjen egy ilyen hiábavaló feladatra. De az amatőrök dicsőségre hancúroznak. Néhány héttel a bejelentés után a "bizonyítékok" lavina sújtotta a göttingeni egyetemet. E. M. Landau professzor, akinek az volt a feladata, hogy elemezze az elküldött bizonyítékokat, kártyákat osztott ki hallgatóinak:


Kedves(ek). . . . . . . .

Köszönöm a kéziratot, amelyet Fermat utolsó tételének bizonyításával küldött. Az első hiba a ... oldalon található a ... sorban. Emiatt az egész bizonyítás érvényét veszti.
E. M. Landau professzor











1963-ban Paul Cohen Gödel megállapításaira támaszkodva bebizonyította Hilbert huszonhárom problémája egyikének, a kontinuum hipotézisnek a megoldhatatlanságát. Mi van, ha Fermat utolsó tétele is megoldhatatlan?! De a Nagy Tétel igazi fanatikusai egyáltalán nem okoztak csalódást. A számítógépek megjelenése váratlanul új bizonyítási módszert adott a matematikusoknak. A második világháború után programozók és matematikusok csoportjai bebizonyították Fermat utolsó tételét minden n értékre 500-ig, majd 1000-ig, később 10 000-ig.

A 80-as években Samuel Wagstaff 25 000-re emelte a határt, a 90-es években pedig a matematikusok azt állították, hogy Fermat utolsó tétele minden n értékre igaz 4 millióig. De ha még egy billió billiót is levonunk a végtelenből, az nem lesz kisebb. A matematikusokat nem győzik meg a statisztikák. A Nagy Tétel bizonyítása azt jelentette, hogy MINDEN n-re be kell bizonyítani a végtelenbe.




1954-ben két fiatal japán matematikus barát a moduláris formák tanulmányozásába kezdett. Ezek az űrlapok számsorokat generálnak, mindegyik - saját sorozat. Véletlenül Taniyama ezeket a sorozatokat elliptikus egyenletek által generált sorozatokkal hasonlította össze. Egyeztettek! De a moduláris formák geometriai objektumok, míg az elliptikus egyenletek algebrai. Az ilyen különböző objektumok között soha nem találtak kapcsolatot.

Mindazonáltal gondos tesztelés után a barátok felállítottak egy hipotézist: minden elliptikus egyenletnek van egy ikerteste - egy moduláris forma, és fordítva. Ez a hipotézis volt az alapja egy egész matematikai irányzatnak, de amíg a Taniyama-Shimura hipotézist be nem bizonyítják, az egész épület bármelyik pillanatban összeomolhat.

1984-ben Gerhard Frey megmutatta, hogy a Fermat-egyenlet megoldása, ha létezik, belefoglalható valamilyen elliptikus egyenletbe. Két évvel később Ken Ribet professzor bebizonyította, hogy ennek a hipotetikus egyenletnek nem lehet megfelelője a moduláris világban. Innentől kezdve Fermat utolsó tétele elválaszthatatlanul összekapcsolódott a Taniyama–Shimura sejtéssel. Miután bebizonyítottuk, hogy bármely elliptikus görbe moduláris, arra a következtetésre jutunk, hogy nincs olyan elliptikus egyenlet, amely a Fermat-egyenletet megoldaná, és Fermat utolsó tétele azonnal bizonyításra kerül. Ám harminc éven át nem sikerült bebizonyítani a Taniyama–Shimura sejtést, és egyre kevesebb remény volt a sikerre.

1963-ban, amikor még csak tíz éves volt, Andrew Wiles-t már lenyűgözte a matematika. Amikor megismerte a Nagy Tételt, rájött, hogy nem térhet el tőle. Iskolásként, diákként, végzősként felkészült erre a feladatra.

Amikor Wiles értesült Ken Ribet megállapításairól, a Taniyama–Shimura sejtés bizonyítására vetette magát. Úgy döntött, hogy teljes elszigeteltségben és titokban dolgozik. "Megértettem, hogy minden, aminek köze van Fermat utolsó tételéhez, túlságosan érdekli... Túl sok néző szándékosan zavarja a cél elérését." Hét év kemény munkája meghozta gyümölcsét, Wiles végül befejezte a Taniyama-Shimura sejtés bizonyítását.

1993-ban Andrew Wiles angol matematikus bemutatta a világnak Fermat utolsó tételének bizonyítását (Wiles a Cambridge-i Sir Isaac Newton Intézet egyik konferenciáján olvasta fel szenzációs jelentését). A munkálatok több mint hét évig tartottak.







Miközben a hírverés folytatódott a sajtóban, komoly munka kezdődött a bizonyítékok ellenőrzésén. Minden egyes bizonyítékot alaposan meg kell vizsgálni, mielőtt a bizonyítékot szigorúnak és pontosnak lehetne tekinteni. Wiles mozgalmas nyarat töltött a bírálók visszajelzésére várva, remélve, hogy elnyeri a tetszését. Augusztus végén a szakértők nem kellően megalapozott ítéletet találtak.

Kiderült, hogy ez a határozat durva hibát tartalmaz, bár általában igaz. Wiles nem adta fel, segítségül hívta a számelmélet ismert szakemberét, Richard Taylort, és már 1994-ben megjelentették a tétel javított és kiegészített bizonyítását. A legcsodálatosabb az, hogy ez a munka 130 (!) oldalt foglalt el az Annals of Mathematics matematikai folyóiratban. A történet azonban ezzel sem ért véget - az utolsó pontra csak a következő évben, 1995-ben került sor, amikor megjelent a bizonyítás végső és matematikai szempontból „ideális” változata.

„...fél perccel a születésnapja alkalmából rendezett ünnepi vacsora kezdete után átadtam Nadiának a teljes bizonyíték kéziratát” (Andrew Wales). Mondtam már, hogy a matematikusok furcsa emberek?






Ezúttal kétség sem férhetett a bizonyításhoz. Két cikket vetettek alá a leggondosabb elemzésnek, és 1995 májusában megjelentek az Annals of Mathematicsban.

Sok idő telt el azóta, de a társadalomban még mindig van vélemény Fermat utolsó tételének megoldhatatlanságáról. De még azok is ebbe az irányba dolgoznak, akik tudnak a talált bizonyításról – kevesen elégedettek azzal, hogy a Nagy Tétel 130 oldalas megoldást igényel!

Ezért most olyan sok matematikus (főleg amatőr, nem pedig hivatásos tudós) erőit dobják egy egyszerű és tömör bizonyíték keresésére, de ez az út valószínűleg nem vezet sehova ...