5.3. arany ötszög; Eukleidész építése.
Az "aranymetszet" csodálatos példája a szabályos ötszög - domború és csillag alakú (5. ábra).
Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni.
Legyen O a kör középpontja, A egy pont a körön, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban visszaállított OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytűvel jelölje be az átmérőn a CE = ED szakaszt. A körbe írt oldal hossza szabályos ötszög egyenlő DC-vel. Félretesszük a körön a DC szakaszokat, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásáért. Összekapcsoljuk az ötszög sarkait egy átlón keresztül, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekötött szegmensekre.
Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai felül 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszet arányában osztja el.
Van egy arany téglatest is kocka alakú 1,618, 1 és 0,618 hosszúságú élekkel.
Most nézzük meg az Eukleidész által az Elemekben felkínált bizonyítékot.
| |
a körülírt kör közepétől. Kezdjük azzal
ABE szegmens, középre osztva és
Tehát legyen AC = AE. Jelölje a az EBC és CEB egyenlő szögeket. Mivel AC=AE, az ACE szög is egyenlő a-val. Az a tétel, hogy egy háromszög szögeinek összege 180 fok, lehetővé teszi az ALL szög meghatározását: ez 180-2a, és az EAC szög 3a - 180. De akkor az ABC szög 180-a. Az ABC háromszög szögeit összegezve azt kapjuk, hogy
180=(3a-180) + (3a-180) + (180-a)
Ahonnan 5a=360, tehát a=72.
Tehát a BEC háromszög alján lévő szögek mindegyike kétszerese a felső szögnek, ami 36 fokkal egyenlő. Ezért egy szabályos ötszög megalkotásához csak tetszőleges kört kell megrajzolni, amelynek középpontja az E pontban van, és amely az X pontban metszi az EC-t és az Y pontban az EB oldalt: az XY szakasz a szabályos ötszög egyik oldala kör; A teljes kört megkerülve megtalálhatja az összes többi oldalt.
Most bebizonyítjuk, hogy AC=AE. Tegyük fel, hogy a C csúcsot egy egyenes szakasz köti össze a BE szakasz N felezőpontjával. Figyeljük meg, hogy mivel CB = CE, akkor a CNE szög derékszög. A Pitagorasz-tétel szerint:
CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 = 2 (1-4j 2)
Így van (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Tehát AC = ja = jAB = AE, amit be kellett bizonyítani
5.4 Arkhimédész spirálja.
Sorozatosan levágva négyzeteket az arany téglalapoktól a végtelenig, minden alkalommal, amikor az ellentétes pontokat egy negyed körrel összekötjük, meglehetősen elegáns görbét kapunk. Az első figyelmet az ókori görög tudós, Arkhimédész hívta fel rá, akinek a nevét viseli. Tanulmányozta, és levezette ennek a spirálnak az egyenletét.
Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.
6. Fibonacci-számok.
A pisai Leonardo olasz matematikus nevéhez, akit inkább Fibonacci becenéven ismernek (a Fibonacci a filius Bonacci, azaz Bonacci fia rövidítése), közvetve az aranymetszéshez kötődik.
1202-ben megírta a „Liber abacci” című könyvet, vagyis „Az abakusz könyvét”. A "Liber abacci" egy terjedelmes mű, amely szinte az összes akkori aritmetikai és algebrai információt tartalmazza, és jelentős szerepet játszott a matematika fejlődésében. Nyugat-Európa a következő néhány évszázad során. Különösen ebből a könyvből ismerkedtek meg az európaiak a hindu ("arab") számokkal.
A könyvben bemutatott anyag magyarázata a nagy számok olyan problémák, amelyek e tanulmány jelentős részét alkotják.
Tekintsünk egy ilyen problémát:
Hány pár nyúl születik egy párból egy év alatt?
Valaki elhelyezett egy pár nyulat egy bizonyos helyre, minden oldalról fallal körülzárva, hogy megtudja, hány pár nyúl születik ebben az évben, ha a nyulak természete olyan, hogy egy hónap múlva egy pár a nyulak egy másikat szaporítanak, a nyulak pedig a születésük utáni második hónaptól szülnek."
| Hónapok | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Nyúlpárok | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Most térjünk át a nyulakról a számokra, és vegyük figyelembe a következő számsort:
u 1 , u 2 … u n
amelyben minden tag egyenlő a két előző összegével, azaz. bármely n>2 esetén
u n \u003d u n -1 + u n -2.
Ez a szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közeledve) valamilyen állandó relációra hajlik. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számról van szó, amelynek törtrészében végtelen, megjósolhatatlan tizedesjegyek sorozata van. Nem lehet pontosan kifejezni.
Ha a Fibonacci sorozat bármely tagját elosztjuk az előtte lévővel (például 13:8), akkor az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és néha meghaladja, néha nem éri el.
A sorozat aszimptotikus viselkedése, arányának csillapított ingadozása egy Φ irracionális szám körül érthetőbbé válhat, ha a sorozat több első tagjának arányait megmutatjuk. Ez a példa bemutatja a második tag kapcsolatát az elsővel, a harmadikat a másodikkal, a negyediket a harmadikkal, és így tovább:
1:1 = 1,0000, ami 0,6180-al kisebb, mint a phi
2:1 = 2,0000, ami 0,3820 phi-val több
3:2 = 1,5000, ami 0,1180-al kevesebb, mint a phi
5:3 = 1,6667, ami 0,0486 phi-val több
8:5 = 1,6000, ami 0,0180-al kevesebb, mint a phi
Ahogy haladunk a Fibonacci összegzési szekvencián, minden új tag az elérhetetlen F-hez egyre nagyobb közelítéssel osztja a következőt.
Az ember tudat alatt az isteni arányt keresi: arra van szükség, hogy kielégítse kényelmi szükségletét.
Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk a következővel, csak az 1,618 reciprokát kapjuk (1: 1,618=0,618). De ez is nagyon szokatlan, sőt figyelemre méltó jelenség. Mivel az eredeti arány egy végtelen tört, ennek az aránynak sem szabad vége lenni.
Ha minden számot elosztunk az utána következővel, 0,382-t kapunk
Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-együtthatók fő halmazát: 4.235,2.618,1.618,0.618,0.382,0.236. Említsük meg a 0.5-öt is.Mindegyik különleges szerepet játszik a természetben és különösen az életben. technikai elemzés.
Itt meg kell jegyezni, hogy Fibonacci csak a sorozatára emlékeztette az emberiséget, mivel az ókorban Aranymetszet néven ismerték.
Az aranymetszés, mint láttuk, a szabályos ötszöggel kapcsolatban merül fel, így a Fibonacci-számok mindenben szerepet játszanak, ami a szabályos ötszögekhez kapcsolódik - domború és csillag alakú.
A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem lett volna az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az aranyosztás törvényének számtani kifejezésére. . A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci-számok felhasználásával megoldja Hilbert 10. feladatát (a diofantini egyenletek megoldásáról). Elegáns módszerek léteznek számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására Fibonacci-számok és az aranymetszet segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.
Az egyik vívmány ezen a területen az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése. A Fibonacci-sorok (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett „bináris” számsorok 1, 2, 4, 8, 16 ... (vagyis egy számsor n-ig , hol van természetes szám, n-nél kisebb érték e sorozat néhány számának összegével ábrázolható) első ránézésre teljesen különbözőek. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., a másodikban - ez a két előző szám összege 2 \u003d 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... hogy találjunk egy általános matematikai képletet, amelyből és a " bináris sorozat, valamint a Fibonacci sorozat?
Valóban, állítsuk be az S numerikus paramétert, amely tetszőleges értéket vehet fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tekintsük számsorozat, S + 1, amelynek első tagja egységek, és a következő tagok mindegyike egyenlő az előző és az előzőtől S lépéssel elválasztott két tag összegével. Ha n-edik tag ezt a sorozatot S (n)-nel jelöljük, ekkor az S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1) általános képletet kapjuk.
Nyilvánvalóan, ha S = 0, ebből a képletből egy „bináris” sorozatot kapunk, S = 1-vel - egy Fibonacci-sort, ahol S = 2, 3, 4. Új számsorok, amelyeket S-Fibonacci számoknak nevezünk.
BAN BEN Általános nézet az arany S-arány az arany S-metszet x S+1 – x S – 1 = 0 pozitív gyöke.
Könnyen kimutatható, hogy S = 0 esetén a szakasz felezését kapjuk, S = 1-nél pedig az ismert klasszikus aranymetszetet.
A szomszédos Fibonacci S-számok abszolút matematikai pontosságú arányai a határértékben egybeesnek az arany S-arányokkal! Vagyis az arany S-szelvények a Fibonacci S-számok numerikus invariánsai.
7. Aranymetszet a művészetben.
7.1. Aranymetszet a festészetben.
A festészet "aranymetszetének" példáira térve nem szabad megállítani a figyelmet Leonardo da Vinci munkásságán. Kiléte a történelem egyik titka. Maga Leonardo da Vinci mondta: "Aki nem matematikus, ne merje elolvasni a műveimet."
Kétségtelen, hogy Leonardo da Vinci nagy művész volt, ezt már kortársai is felismerték, de személyisége és tevékenysége továbbra is rejtélyes marad, hiszen nem elképzeléseinek koherens bemutatását hagyta az utókornak, hanem csak számos kézzel írt vázlatot, jegyzetet. amelyek azt mondják: „mindkettő a világon”.
Monna Lisa (Gioconda) portréja évek óta felkeltette a kutatók figyelmét, akik megállapították, hogy a rajz kompozíciója arany háromszögeken alapul, amelyek egy szabályos csillagötszög részei.
Szintén megjelenik Shishkin festményén az aranymetszet aránya. I. I. Shishkin ezen a híres festményén jól láthatóak az aranymetszet motívumai. A fényesen megvilágított fenyőfa (az előtérben) aranymetszés szerint osztja fel a kép hosszát. A fenyőtől jobbra egy domb található, amelyet a nap világít meg. A kép jobb oldalát vízszintesen osztja fel az aranymetszés szerint.
Raphael "Az ártatlanok mészárlása" című festménye az aranymetszés másik elemét mutatja be - az aranyspirált. Raphael előkészítő vázlatán a kompozíció szemantikai középpontjától - attól a ponttól, ahol a harcos ujjai a gyermek bokája körül zárultak - piros vonalak húzódnak a gyermek alakja mentén, a nőt magához szorítva, a harcost felemelt kardot, majd ugyanannak a csoportnak a figurái mentén a vázlat jobb oldalán . Nem tudni, hogy Raphael megépítette-e az aranyspirált, vagy érezte.
T. Cook az aranymetszetet használta, amikor Sandro Botticelli "Vénusz születése" című festményét elemezte.
7.2. Az aranymetszet piramisai.
A piramisok, különösen az aranymetszet gyógyászati tulajdonságai széles körben ismertek. A leggyakoribb vélemények szerint a helyiség, amelyben egy ilyen piramis található, nagyobbnak tűnik, és a levegő átlátszóbb. Az álmokra kezdenek jobban emlékezni. Az is ismert, hogy az aranymetszés széles körben használatos volt az építészetben és a szobrászatban. Példa erre: a görögországi Pantheon és Parthenon, Bazhenov és Malevics építészek épületei
8. Következtetés.
Azt kell mondanunk, hogy az aranymetszés nagyszerűen alkalmazható az életünkben.
Az bebizonyosodott emberi test osztva az aranymetszés arányában az övvonallal.
A nautilus héja arany spirálként csavarodott.
Az aranymetszésnek köszönhetően felfedezték a Mars és a Jupiter közötti aszteroidaövet – arányaiban ott kellene lennie még egy bolygónak.
A húr gerjesztése az azt osztó pontban az aranyosztáshoz képest nem fogja rezgésbe hozni a húrt, vagyis ez a kompenzációs pont.
Az elektromágneses energiaforrással rendelkező repülőgépeken négyszögletes cellák jönnek létre az aranymetszet arányával.
A Gioconda arany háromszögekre épül, az arany spirál Raphael "Az ártatlanok mészárlása" című festményén van jelen.
Sandro Botticelli "Vénusz születése" című festményén talált arány
Számos építészeti műemlék épült aranymetszés segítségével, köztük az athéni Pantheon és Parthenon, Bazhenov és Malevics építészek épületei.
John Kepler, aki öt évszázaddal ezelőtt élt, a kijelentés tulajdonosa: "A geometriának két nagy kincse van. Az első a Pitagorasz-tétel, a második egy szakasz felosztása a szélső és az átlagos arányban."
Bibliográfia
1. D. Pidow. Geometria és művészet. – M.: Mir, 1979.
2. "Tudomány és technológia" folyóirat
3. „Quantum” folyóirat, 1973, 8. sz.
4. „Mathematics at School” folyóirat, 1994, 2. szám; 3. sz.
5. Kovalev F.V. Aranymetszet a festészetben. K .: Vyscha iskola, 1989.
6. Sztahov A. Az aranymetszés kódjai.
7. Vorobjov N.N. "Fibonacci számok" - M.: Nauka 1964
8. "Matematika - Enciklopédia gyerekeknek" M .: Avanta +, 1998
9. Információk az internetről.
Fibonacci mátrixok és az úgynevezett "arany" mátrixok, új számítógépes aritmetika, új kódoláselmélet és új elmélet kriptográfia. Az új tudomány lényege az összes matematika revíziója az aranymetszet szempontjából, Pitagorasztól kezdve, ami természetesen új és minden bizonnyal nagyon érdekes matematikai eredményeket von maga után az elméletben. Gyakorlatilag - "arany" számítógépesítés. És mert...
Ez az eredmény nem lesz hatással. Az aranymetszés alapja a 4-es és 6-os rekurzív arányok invariánsa. Ez mutatja az aranymetszet "stabilitását", az élő anyag szerveződésének egyik alapelvét. Szintén az aranymetszés alapja két egzotikus rekurzív sorozat megoldása (4. ábra). 4 rekurzív Fibonacci szekvencia tehát...
A fül j5, a fül és a korona távolsága pedig j6. Így ebben a szoborban látunk geometriai progresszió j nevezővel: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (9. ábra). Így az aranymetszés az ókori Görögország művészetének egyik alapelve. A szív és az agy ritmusa. Az emberi szív egyenletesen ver - körülbelül 60 ütés / perc nyugalmi állapotban. A szív összeszorul, mint egy dugattyú...
Ennek a folyamatnak a technológiájának tanulmányozása nélkül lehetetlen. A munka elvégzésének többféle módja van. A csillag rajzolása vonalzóval segít megérteni ennek a folyamatnak a leghíresebb módszereit.
A csillagok fajtái
Sok lehetőség van kinézet olyan figura, mint egy csillag.
Ősidők óta ötágú fajtáját pentagramok rajzolására használták. Ez annak a tulajdonságának köszönhető, amely lehetővé teszi, hogy rajzot készítsen anélkül, hogy felemelné a tollat a papírról.
Vannak hatágú, farkú üstökösök is.
A tengeri csillagnak hagyományosan öt csúcsa van. A karácsonyi változat képei gyakran megtalálhatók ugyanabban a formában.
Mindenesetre egy ötágú csillag szakaszos rajzolásához speciális eszközöket kell igénybe vennie, mivel a szabadkézi kép valószínűleg nem szimmetrikus és szép.
A rajz kivitelezése
Ahhoz, hogy megértse, hogyan kell egyenletes csillagot rajzolni, meg kell értenie ennek az ábrának a lényegét.
Körvonalának alapja egy szaggatott vonal, amelynek végei a kiindulási pontban összefolynak. Szabályos ötszöget alkot – ötszöget.
Az ilyen figurák megkülönböztető tulajdonságai abban rejlenek, hogy körbe lehet írni, valamint egy kört ebben a sokszögben.
Az ötszög minden oldala egyenlő. Ha megérti, hogyan kell helyesen rajzolni egy rajzot, megértheti az összes ábra felépítésének folyamatának lényegét, valamint az alkatrészek és szerelvények különféle sémáit.
Egy ilyen cél eléréséhez, hogyan rajzoljunk csillagot vonalzóval, ismernie kell a legegyszerűbb matematikai képleteket, amelyek alapvetőek a geometriában. Számológéppel is számolnia kell. De a legfontosabb a logikus gondolkodás.
A munka nem nehéz, de pontosságot és alaposságot igényel. A ráfordított erőfeszítést egy jó szimmetrikus, ezért gyönyörű ötágú csillag képpel jutalmazzuk.
klasszikus technika
A csillagok körzővel, vonalzóval és szögmérővel történő rajzolásának leghíresebb módja meglehetősen egyszerű.
Ehhez a technikához több eszközre lesz szüksége: iránytűre vagy szögmérőre, vonalzóra, egyszerű ceruzára, radírra és egy fehér papírlapra.
Ahhoz, hogy megértse, hogyan kell gyönyörűen rajzolni egy csillagot, egymás után kell cselekednie, szakaszról szakaszra.
Munkájában speciális számításokat használhat.
Ábraszámítás
A helyes csillag rajzolásának ebben a szakaszában megjelennek a kész alak kontúrjai.
Ha minden helyesen történik, a kapott kép sima lesz. Ez vizuálisan ellenőrizhető egy papírlap elforgatásával és az alakzat értékelésével. Ez minden fordulattal ugyanaz marad.
A fő kontúrokat vonalzóval és egyszerű ceruzával világosabban megrajzoljuk. Minden segédvezetéket eltávolítanak.
Ahhoz, hogy megértse, hogyan kell szakaszosan rajzolni egy csillagot, minden műveletet átgondoltan kell végrehajtania. Hiba esetén a rajzot radírral javíthatja, vagy minden manipulációt újra elvégezhet.
A munka regisztrációja
A kész formát többféleképpen díszíthetjük. A legfontosabb dolog az, hogy ne félj kísérletezni. A fantázia eredeti és gyönyörű képet eredményez.
A megrajzolt páros csillagot egy egyszerű ceruzával díszítheti, vagy sokféle színt és árnyalatot használhat.
Ahhoz, hogy kitalálja, hogyan rajzolja meg a megfelelő csillagot, mindenben ragaszkodnia kell a tökéletes vonalakhoz. Ezért a legnépszerűbb tervezési lehetőség az, hogy az ábra minden sugarát két egyenlő részre osztják egy vonallal, amely felülről középre nyúlik.
A csillag oldalait nem lehet vonalakkal elválasztani. Megengedett, hogy a figura minden sugarát az egyik oldalról sötétebb árnyalattal egyszerűen átfestjük.
Ez a lehetőség arra a kérdésre is választ ad, hogy hogyan kell megrajzolni a helyes csillagot, mert minden vonala szimmetrikus lesz.
Kívánság szerint a figura esztétikus kialakításával díszítést vagy más különféle elemeket adhat hozzá. Ha köröket ad hozzá a tetejéhez, megkaphatja a seriff csillagát. Az árnyékoldalak sima árnyékolásával tengeri csillagot kaphat.
Ez a technika a legelterjedtebb, mivel könnyedén megértheti, hogyan kell szakaszosan ötágú csillagot rajzolni. Anélkül, hogy bonyolult matematikai számításokhoz folyamodnánk, helyes, szép képet kaphatunk.
Miután végiggondolta a csillagok vonalzóval történő rajzolásának összes módját, kiválaszthatja a legmegfelelőbbet. A legnépszerűbb a geometriai fázisú módszer. Ez meglehetősen egyszerű és hatékony. A fantázia és a képzelet alkalmazásával a kapott helyes, szép forma hozzon létre egy eredeti kompozíciót. Számos tervezési lehetőség van a rajzoláshoz. De mindig kitalálhatja a saját, a legszokatlanabb és legemlékezetesebb történetét. A legfontosabb, hogy ne félj kísérletezni!
Szabályos ötszöget készíthetünk körzővel és egyenes éllel, vagy egy adott körbe beírva, vagy adott oldalról építve. Ezt a folyamatot írja le Eukleidész az Elemek című művében Kr.e. 300 körül. e.
Íme egy módszer egy szabályos ötszög megszerkesztésére egy adott körben:
1. Szerkesszünk meg egy kört, amelybe az ötszöget beírjuk, és jelöljük ki a középpontját O. (Ez a zöld kör a jobb oldali ábrán).
- Válasszon egy pontot a körön A, amely az ötszög egyik csúcsa lesz. Húzzon egy vonalat OÉs A.
- Készítsen egy egyenest az egyenesre merőlegesen OA ponton áthaladva O. Jelölje ki az egyik metszéspontját a körrel pontnak B.
- Építs egy pontot C félúton között OÉs B.
- C ponton keresztül A. Jelölje meg a metszéspontját a vonallal OB(az eredeti körön belül) pontként D.
- Rajzolj egy kört a középponttal A ponton keresztül D. Jelölje ki a metszéspontjait az eredetivel (zöld kör) pontként EÉs F.
- Rajzolj egy kört a középponttal E ponton keresztül A G.
- Rajzolj egy kört a középponttal F ponton keresztül A. Jelölje ki pontnak a másik metszéspontját az eredeti körrel H.
- Építs egy szabályos ötszöget AEGHF.
ikozaéder
ikozaéder- az öt platóni szilárd test egyike, egyszerűséggel a tetraédert és az oktaédert követve. Egyesíti őket az a tény, hogy mindegyik lapja egyenlő oldalú háromszög. Az ikozaéder modelljének elkészítésekor két látványos lehetőség közül választhat öt szín eloszlására.
Először is, az ikozaéder színezhető úgy, hogy minden csúcsnak mind az öt színe legyen (azonban ebben az esetben a szemközti lapok nem lesznek azonos színűek).
Egy másik módszer a szemközti lapokat ugyanazokkal a színekkel látja el, de minden csúcsban, a két poláris kivételével, egy szín ismétlődik a kör körül. Mindkét színezés nagyon érdekes és hasznos a céljainknak, mivel az alábbiakban leírt egységes poliéderek közül sok ikozaéder szimmetriával rendelkezik.
| | | következő ==> | |
Körbe írt szabályos hatszög felépítése.
A hatszög felépítése azon alapul, hogy oldala megegyezik a körülírt kör sugarával. Ezért a megépítéshez elegendő a kört hat részre osztani egyenlő részekés kösd össze a talált pontokat egymással.
Szabályos hatszög egy T-négyzet és egy 30X60°-os négyzet felhasználásával készíthető. Ennek a konstrukciónak a végrehajtásához a kör vízszintes átmérőjét vesszük az 1-es és 4-es szögek felezőjeként, felépítjük az 1-6, 4-3, 4-5 és 7-2 oldalakat, majd megrajzoljuk az 5-6 és 3 oldalakat. - 2.
Egy ilyen háromszög csúcsai megszerkeszthetők egy iránytű és egy 30 és 60 ° -os szögű négyzet, vagy csak egy iránytű segítségével. Tekintsünk két módszert egy körbe írt egyenlő oldalú háromszög megszerkesztésére.
Első út(61. ábra, a)) azon alapul, hogy a 7, 2, 3 háromszög mindhárom szöge 60°-ot tartalmaz, és a 7 ponton keresztül húzott függőleges vonal az 1 szög magassága és felezőpontja is. a 0 - 1 - 2 szög egyenlő 30°-kal, majd az 1 - 2 oldal megkereséséhez elegendő 30°-os szöget beállítani az 1. pontból és a 0 - 1 oldalból. Ehhez állítsa be a T-négyzetet és a négyzetet az ábrán látható módon, húzzon egy 1-2 vonalat, amely a kívánt háromszög egyik oldala lesz. A 2-3 oldal felépítéséhez állítsa a T-négyzetet a szaggatott vonalak által mutatott helyzetbe, és húzzon egy egyenest a 2. ponton keresztül, amely meghatározza a háromszög harmadik csúcsát.
Második út azon a tényen alapul, hogy ha egy körbe írt szabályos hatszöget építünk, majd egyen keresztül összekötjük a csúcsait, akkor egyenlő oldalú háromszöget kapunk.
A háromszög felépítéséhez megjelöljük az 1. csúcspontot az átmérőn, és húzunk egy átmérős egyenest 1 - 4 között. Továbbá a 4. pontból D / 2-vel egyenlő sugárral leírjuk az ívet, amíg az nem metszi a kört a 3 pontokban. és 2. Az eredményül kapott pontok a kívánt háromszög másik két csúcsa lesz.
Ezt a konstrukciót négyzet és iránytű segítségével lehet megtenni.
Első út azon alapul, hogy a négyzet átlói a körülírt kör középpontjában metszik egymást, és 45°-os szöget zárnak be a tengelyeihez. Ennek alapján egy T-négyzetet és egy 45°-os szögű négyzetet építünk be az ábrán látható módon. 62, a, és jelölje be az 1-es és 3-as pontot. Továbbá ezeken a pontokon keresztül egy T-négyzet segítségével megrajzoljuk a 4 - 1 és 3 -2 négyzet vízszintes oldalait. Ezután egy T-négyzet segítségével a négyzet szára mentén megrajzoljuk a négyzet függőleges oldalait 1-2 és 4-3.
Második út azon alapul, hogy a négyzet csúcsai felezik az átmérő végei közé zárt kör íveit. Két egymásra merőleges átmérő végén kijelöljük az A, B és C pontokat, és ezekből y sugárral írjuk le az íveket metszéspontig.
Továbbá az ívek metszéspontjain keresztül segédvonalakat rajzolunk, amelyeket az ábrán folytonos vonalakkal jelölünk. A körrel való metszéspontjaik határozzák meg az 1. és 3. csúcsot; 4 és 2. Az így kapott kívánt négyzet csúcsait sorba kapcsoljuk egymással.
Körbe írt szabályos ötszög építése.
Egy szabályos ötszög körbeírásához a következő konstrukciókat készítjük. Jelöljük a körön az 1-es pontot, és vesszük az ötszög egyik csúcsának. Oszd ketté az AO szakaszt. Ehhez az A pontból induló AO sugárral leírjuk az ívet a körrel az M és B pontokban lévő metszéspontig. Ezeket a pontokat egy egyenessel összekötve megkapjuk a K pontot, amelyet azután az 1. ponthoz kapcsolunk. Az A7 szakasszal egyenlő sugárral leírjuk az ívet a K ponttól a H pontban lévő AO átmérős egyenes metszéspontjáig. Az 1. pontot a H ponttal összekötve megkapjuk az ötszög oldalát. Ezután az 1H szakasznak megfelelő iránytűnyílással, amely az 1. csúcstól a kör metszéspontjáig ívelt ívet írja le, megtaláljuk a 2. és 5. csúcsot. Miután a 2. és 5. csúcsból bemetszett ugyanazzal az iránytűnyílással, megkapjuk a maradékot. 3. és 4. csúcsok. A talált pontokat szekvenciálisan összekötjük egymással.
Szabályos ötszög építése az oldalára adott.
Egy szabályos ötszög megalkotásához a megadott oldala mentén (64. ábra) az AB szakaszt hat egyenlő részre osztjuk. Az AB sugarú A és B pontokból íveket írunk le, amelyek metszéspontja a K pontot adja. Ezen a ponton és az AB egyenes 3. osztásán keresztül függőleges vonalat húzunk. Ezen az egyenesen a K ponttól távolabb félreteszünk egy 4/6 AB szelvényt. 1. pontot kapunk - az ötszög csúcsát. Ezután AB-val egyenlő sugárral az 1. pontból leírjuk az ívet az előzőleg A és B pontból rajzolt ívekkel való metszéspontig. Az ívek metszéspontjai határozzák meg a 2 és 5 ötszög csúcsait. csúcsok sorba kapcsolva egymással.
Körbe írt szabályos hétszög felépítése.
Legyen adott egy D átmérőjű kör; szabályos hétszöget kell beleírni (65. ábra). Osszuk a kör függőleges átmérőjét hét egyenlő részre. A D kör átmérőjével megegyező sugarú 7. pontból addig írjuk le az ívet, amíg az F pontban nem metszi a vízszintes átmérő folytatását. Az F pontot a sokszög pólusának nevezzük. A VII. pontot a hétszög egyik csúcsának véve az F pólusból a függőleges átmérő egyenletes osztásain keresztül sugarakat vonunk le, amelyeknek a körrel való metszéspontja határozza meg a hétszög VI, V és IV csúcsát. Ahhoz, hogy a IV, V és VI pontból / - // - /// csúcsokat kapjunk, vízszintes vonalakat húzunk, amíg nem metszik egymást a körrel. A talált csúcsokat sorba kötjük egymással. A hétszög az F pólusból érkező sugarak húzásával és a függőleges átmérő páratlan felosztásával építhető fel.
A fenti módszer tetszőleges számú oldalú szabályos sokszögek készítésére alkalmas.
A kör tetszőleges számú egyenlő részre osztása a táblázat adatainak felhasználásával is elvégezhető. 2. ábra, amely azokat az együtthatókat mutatja, amelyek lehetővé teszik a szabályos beírt sokszögek oldalméreteinek meghatározását.
Szabályos beírt sokszögek oldalhosszai.
A táblázat első oszlopa egy szabályos beírt sokszög oldalainak számát mutatja, a második oszlopban pedig az együtthatók. Egy adott sokszög oldalának hosszát úgy kapjuk meg, hogy egy adott kör sugarát megszorozzuk a sokszög oldalainak számának megfelelő tényezővel.
Utasítás
Szerkesszünk egy másik átmérőt az MH átmérőre merőlegesen. Ehhez iránytűvel rajzoljunk azonos sugarú íveket az M és H pontokból. Válasszunk olyan sugarat, hogy mindkét ív egy pontban metszi egymást és az adott kört. Ez lesz a második diméter első A pontja. Rajzoljon rajta egy egyenest, és mutasson O-t. Megkapja az AB átmérőt, amely merőleges az MH egyenesre.
Keresse meg a BO sugár felezőpontját. Ehhez egy kör sugarú iránytűvel húzzunk egy ívet a B pontból úgy, hogy az két C és P pontban metszi a kört. Rajzoljunk egyenest ezeken a pontokon. Ez az egyenes pontosan a felére osztja a VO sugarát. Tegyen egy K pontot az SR és BO metszéspontjába.
Kösd össze az M és K pontokat egy szakaszos vonallal. Állítsa be az iránytűn az MK szegmensnek megfelelő távolságot. Az M pontból rajzoljunk egy ívet úgy, hogy az metszi az AO sugarat. Ebbe a metszéspontba helyezzünk el egy E pontot. Az eredmény ME távolság megfelel a beírt ötszög egyik oldalának hosszának.
Szerkessze meg az ötszög fennmaradó csúcsait! Ehhez állítsa be az iránytű lábainak távolságát az ME szakaszra. Az M ötszög első csúcsától húzzunk egy ívet a körrel való metszéspontig. A metszéspont a második F csúcs lesz. A kapott pontból viszont rajzoljunk egy azonos sugarú ívet a kör metszéspontjával. Szerezd meg a G ötszög harmadik csúcsát. Szerkessd meg a többi S és L pontot is.
Kösd össze a kapott csúcsokat egyenes vonalakkal. Körbe írva egy szabályos ötszög MFGSL épül fel.
Források:
- Szabályos sokszögek
A hatszög olyan sokszög, amelynek hat sarka van. Egy tetszőleges hatszög rajzolásához mindössze 2 lépést kell tennie.
Szükséged lesz
- Ceruza, vonalzó, papírlap.
Utasítás
Vegyünk egy vonalzót, és rajzoljunk ezekre a pontokra 6 szegmenst, amelyek az előzőleg megrajzolt pontokban kapcsolódnának egymáshoz (2. ábra)
Kapcsolódó videók
jegyzet
A hatszög speciális típusa a szabályos hatszög. Azért hívják ilyennek, mert minden oldala és szöge egyenlő egymással. Egy ilyen hatszög köré kör írható le vagy írható be. Érdemes megjegyezni, hogy azokban a pontokban, amelyeket a beírt kör és a hatszög oldalainak megérintésével kapunk, a szabályos hatszög oldalai ketté vannak osztva.
A természetben a szabályos hatszögek nagyon népszerűek. Például minden méhsejt szabályos hatszög alakú.
Vagy a grafén kristályrácsa (szénmódosítás) is szabályos hatszög alakú.
A geometriai formák képeivel sok-sok játékot, kollázst és illusztrációt készítenek. A Photoshop eszközeivel bármilyen háromdimenziós alakzatot rajzolhat, beleértve a hatszöget is.
Szükséged lesz
- Adobe Photoshop
Utasítás
Nyisson meg egy új dokumentumot. Válassza a Sokszög eszközt az Eszközök eszköztáron. A tulajdonságok panelen állítsa be a sides=6 értéket, és színezze azt, amit akar. Tartsa lenyomva a Shift billentyűt és rajzoljon. Vigye az egérmutatót az alakzatra, kattintson a jobb gombbal, és válassza a Réteg raszterizálása lehetőséget.
Másolja ezt a réteget kétszer (Ctrl + J), hogy három hatszög legyen. Vegyél fel egy új réteget. Tartsa lenyomva a Ctrl billentyűt, és kattintson az új ikonra a kiválasztáshoz. Az eszköztáron állítsa az előtér színét sötétebb árnyalatra. Használja a Paint Bucket Tool-t a hatszög kitöltéséhez. Ismét lépjen egy új rétegre, és töltse ki az alakzatot egy megfelelővel. Így a hatszögek ugyanazon szín különböző árnyalataiban lesznek színezve.
Használja a Mozgató eszközt a hatszögek elhelyezéséhez az ábra szerint. Ennek során vegye figyelembe, hogy a képen hol lesz a fényforrás. Ahol a fény esik, ott világosabb élnek kell lennie. A legsötétebb széle árnyékban lesz.
Hatszögletű rétegekhez, amelyek képviselik oldalsó arcok, állítsa Opacity=50%. Válassza ki a Radír eszközt az eszköztárból. Állítsa be a keménységet 100%-ra, és óvatosan és óvatosan kezdje el törölni a felesleges képet. A szél közelében lévő nem kívánt szín eltávolításához a következőképpen járjon el: csökkentse a gumiszalag átmérőjét, hogy ne ragadja meg a felesleget. Vigye az egérmutatót egy él egyik vége fölé hatszögés kattintson a bal egérgombbal. Ezután vigye a kurzort a másik végére, nyomja meg a Shift billentyűt, és kattintson ismét a bal gombbal. Kapsz egy lapos üres csíkot. Ismételje meg ezt az eljárást annyiszor, ahányszor szükséges, hogy eltávolítsa az alakzat körüli nem kívánt hátteret.
Oldalsó felületű rétegek esetén adja vissza az Opacity=100%-ot.
Kapcsolódó videók
Hasznos tanács
A szélek színárnyalatainak kiválasztásakor vegye figyelembe a fényforrás helyét a képen.
A szabályos sokszög olyan konvex sokszög, amelyben minden oldal és minden szög egyenlő. Egy szabályos sokszög köré kör írható. Ez a kör segít a felépítésében. Az egyik szabályos sokszög, amelynek felépítése a legegyszerűbb eszközökkel is elvégezhető, a szabályos ötszög.
Szükséged lesz
- vonalzó, kör
Utasítás
Ezután az O ponton keresztül húzzon egy egyenest az OA egyenesre merőlegesen. Egy merőleges vonalat építhet négyzet vagy (két azonos sugarú kör módszerével). A körrel való metszéspontját B pontnak jelölhetjük.
Szerkesszünk egy C pontot az OB szakaszon, amely a felezőpontja lesz. Ezután meg kell rajzolnia egy kört, amelynek középpontja a C pontban van, és áthalad az A ponton, azaz CA sugarú. Ennek a körnek a metszéspontját az O középpontú körön belüli OB egyenessel (vagy az eredeti körrel) D-vel jelöljük.
Ezután rajzoljon egy kört, amelynek középpontja A középpontja a D ponton át. Jelölje ki az eredeti körrel való metszéspontját E és F pontoknak. Ez lesz a forgó ötszög két csúcsa.
Rajzoljon egy kört, amelynek középpontja E pont az A ponton keresztül. Jelölje ki a metszéspontját az eredeti körrel G pontnak. Ez lesz az ötszög egyik csúcsa.
Hasonlóképpen rajzoljon egy F középpontú kört az A ponton keresztül. Jelölje ki a másik metszéspontját az eredeti körrel H pontnak. Ez a pont lesz a téglalap csúcsa is.
Ezután kössük össze az A, E, G, H és F pontokat. Az eredmény egy körbe írt szabályos ötszög.
Kapcsolódó videók
A hatszög a sokszög speciális esete - egy zárt vonallánc által határolt síkban lévő pontok halmaza alkotja. A szabályos hatszög (hatszög) viszont szintén különleges eset - ez egy hatszögű sokszög egyenlő felekés egyenlő szögek. Ez az ábra figyelemre méltó abban, hogy minden oldalának hossza megegyezik az ábra körül leírt kör sugarával.
Szükséged lesz
- - iránytű;
- - vonalzó;
- - ceruza;
- - papír.
Utasítás
Válasszon egy oldalhosszt. Vegyünk egy iránytűt, és állítsuk be a távolságot úgy, hogy a tű vége az egyik lábán, a ceruza vége pedig a másik lábán legyen, hosszával egyenlő a rajzolandó ábra oldala. Ehhez használhatja a vonalzót, vagy választhat egy véletlenszerű távolságot, ha a pillanat nem jelentős. Rögzítse az iránytű lábait csavarral, ha lehetséges.
Rajzolj kört körzővel. A lábak közötti távolság a kör sugara lesz.
Állítsa az iránytű lábát a tűvel egy tetszőleges pontra, amely a körvonalazott kör vonalán található. A tűnek pontosan át kell szúrnia a vonalat. A szerkezetek pontossága közvetlenül függ az iránytű felszerelésének pontosságától. Rajzolj körzővel egy ívet úgy, hogy az két pontban metszi az előbb megrajzolt kört.
Mozgassa az iránytű lábát a tűvel a megrajzolt ív egyik metszéspontjához az eredeti körrel. Rajzolj egy másik ívet, amely szintén két pontban metszi a kört (az egyik pont egybeesik az iránytű előző helyének pontjával).
Ugyanígy rendezze át az iránytűt, és rajzoljon íveket még négyszer. Mozgassa az iránytű lábát a tűvel egy irányba a kerület mentén (mindig az óramutató járásával megegyező vagy ellentétes irányba). Ennek eredményeként az ívek és az eredetileg megszerkesztett kör hat metszéspontját kell azonosítani.
Rajzolj egy szabályos hatszöget. Kösd össze páronként az előző lépésben kapott hat pontot szegmensekkel. Rajzolj vonalszakaszokat ceruzával és vonalzóval. Az eredmény egy szabályos hatszög lesz. Az építés befejezése után törölheti a segédelemeket (ívek és körök).
jegyzet
Célszerű olyan távolságot választani az iránytű lábai között, hogy a köztük lévő szög 15-30 fok legyen, különben ez a távolság könnyen eltévedhet konstrukciók készítésekor.
Egy időben a szabályos hatszög rajzolásának folyamatát az ókori görög Euklidész írta le. Ma azonban más módok is léteznek ennek felépítésére geometriai alakzat. A fő elv az, hogy be kell tartani bizonyos jól ismert szabályokat az ábra rajzolásakor.
