A koordinátatengelyen lévő szakasz hosszát a következő képlet határozza meg:

A szakasz hossza Koordináta sík képlettel keresve:

Egy háromdimenziós koordinátarendszerben egy szakasz hosszának meghatározásához a következő képletet kell használni:

A szakasz közepének koordinátáit (a koordinátatengelyre csak az első képletet használják, a koordinátasíkra - az első két képletet, a háromdimenziós koordinátarendszerre - mindhárom képletet) a képletekkel számítják ki:

Funkció az űrlap megfelelése y= f(x) változók között, ami miatt minden egyes figyelembe vett értéke néhány változó x(argumentum vagy független változó) egy másik változó egy bizonyos értékének felel meg, y(függő változó, néha ezt az értéket egyszerűen a függvény értékének nevezik). Vegye figyelembe, hogy a függvény az argumentum egy értékét feltételezi x a függő változónak csak egy értéke lehet nál nél. Ugyanakkor ugyanaz az érték nál nél különféle változatokkal beszerezhető x.

Funkció hatóköre a független változó összes értéke (általában a függvény argumentuma x), amelyre a függvény definiálva van, azaz. jelentése létezik. Meg van adva a definíció tartománya D(y). Nagyjából Ön már ismeri ezt a fogalmat. Egy függvény hatókörét más néven érvényes értékek tartományának, vagy ODZ-nek hívják, amelyet már régóta meg tud találni.

Funkció tartomány a függvény függő változójának összes lehetséges értéke. Jelölve E(nál nél).

A funkció emelkedik azon az intervallumon, amelyen az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. Funkció csökken azon az intervallumon, amelyen az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Funkcióintervallumok a független változó azon intervallumai, amelyeknél a függő változó megtartja pozitív vagy negatív előjelét.

Funkció nullák az argumentum azon értékei, amelyeknél a függvény értéke nulla. Ezeken a pontokon a függvény grafikonja metszi az abszcissza tengelyt (OX tengely). Nagyon gyakran egy függvény nulláinak megtalálása az egyenlet egyszerű megoldását jelenti. Ezenkívül gyakran az állandó előjelű intervallumok keresésének szükségessége azt jelenti, hogy egyszerűen meg kell oldani az egyenlőtlenséget.

Funkció y = f(x) hívják még x

Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén a páros függvény értéke egyenlő. Menetrend páros funkció mindig szimmetrikus az y y tengelyére.

Funkció y = f(x) hívják páratlan, ha szimmetrikus halmazon van definiálva és bármely x a definíció tartományából az egyenlőség teljesül:

Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén a páratlan függvény értékei is ellentétesek. A páratlan függvény grafikonja mindig szimmetrikus az origóra.

A páros és a gyökök összege furcsa tulajdonságok(az x tengely OX metszéspontjai) mindig nulla, mert minden pozitív gyökérre x számla negatív gyök –x.

Fontos megjegyezni, hogy néhány függvénynek nem kell párosnak vagy páratlannak lennie. Sok olyan függvény van, amely nem páros és nem páratlan. Az ilyen függvényeket ún funkciókat Általános nézet , és a fenti egyenlőségek vagy tulajdonságok egyike sem áll fenn rájuk.

Lineáris függvény függvénynek nevezzük, amely a következő képlettel adható meg:

Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes, és általános esetben így néz ki (egy példa arra az esetre, amikor k> 0, ebben az esetben a függvény növekszik; az alkalomra k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

A másodfokú függvény grafikonja (parabola)

A parabola grafikonját egy másodfokú függvénnyel adjuk meg:

A másodfokú függvény, mint minden más függvény, az OX tengelyt azokban a pontokban metszi, amelyek a gyökerei: ( x 1; 0) és ( x 2; 0). Ha nincsenek gyökök, akkor a másodfokú függvény nem metszi az OX tengelyt, ha van egy gyök, akkor ezen a ponton ( x 0; 0) a másodfokú függvény csak érinti az OX tengelyt, de nem metszi azt. A másodfokú függvény mindig egy pontban metszi az OY tengelyt, melynek koordinátái: (0; c). Egy másodfokú függvény (parabola) grafikonja így nézhet ki (az ábrán olyan példák láthatók, amelyek messze nem merítik ki az összes lehetséges parabolatípust):

Ahol:

• ha az együttható a> 0, a függvényben y = fejsze 2 + bx + c, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak;
• ha a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

A parabola csúcskoordinátái a következő képletekkel számíthatók ki. X felsők (p- a fenti ábrákon) egy parabola (vagy az a pont, ahol a négyzetháromtag eléri maximális vagy minimális értékét):

Y felsők (q- a fenti ábrákon) egy parabola vagy a maximum, ha a parabola ágai lefelé irányulnak ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), érték négyzetes trinomikus:

Egyéb függvények grafikonjai

teljesítmény funkció

Íme néhány példa a hatványfüggvények grafikonjaira:

Fordítottan arányos függőség hívja meg a képlettel megadott függvényt:

A szám előjelétől függően k Egy fordítottan arányos gráfnak két alapvető lehetősége lehet:

Aszimptota az az egyenes, amelyhez a függvény grafikonjának egyenese végtelenül közelít, de nem metszi egymást. Grafikonok aszimptotái fordított arányosság a fenti ábrán láthatók azok a koordinátatengelyek, amelyekhez a függvény grafikonja végtelenül közelít, de nem metszi őket.

exponenciális függvény alappal A hívja meg a képlettel megadott függvényt:

a menetrend exponenciális függvény két alapvető opciója lehet (a példákat is hozzuk, lásd alább):

logaritmikus függvény hívja meg a képlettel megadott függvényt:

Attól függően, hogy a szám nagyobb vagy kisebb egynél a A logaritmikus függvény grafikonjának két alapvető lehetősége lehet:

Függvénygrafikon y = |x| alábbiak szerint:

Periodikus (trigonometrikus) függvények grafikonjai

Funkció nál nél = f(x) nak, nek hívják időszakos, ha létezik ilyen nem nulla szám T, Mit f(x + T) = f(x), bárkinek x kívül esik a funkció hatókörén f(x). Ha a funkció f(x) periodikus a ponttal T, akkor a függvény:

Ahol: A, k, bállandó számok, és k nem egyenlő nullával, periodikus is ponttal T 1 , amelyet a következő képlet határoz meg:

A periodikus függvények legtöbb példája trigonometrikus függvény. Itt vannak a fő grafikonjai trigonometrikus függvények. A következő ábra a függvény grafikonjának egy részét mutatja y= bűn x(a teljes gráf végtelenségig folytatódik balra és jobbra), a függvény grafikonja y= bűn x hívott szinuszos:

Függvénygrafikon y= cos x hívott koszinusz hullám. Ez a grafikon a következő ábrán látható. A szinusz grafikonja óta korlátlanul folytatódik az OX tengely mentén balra és jobbra:

Függvénygrafikon y=tg x hívott tangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a grafikon is korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.

És végül a függvény grafikonja y=ctg x hívott kotangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus és trigonometrikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a gráf korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.

Tanuljon meg minden képletet és törvényt a fizikában, valamint képleteket és módszereket a matematikában. Valójában ezt is nagyon egyszerű megtenni, a fizikában csak körülbelül 200 szükséges képlet van, a matematikában pedig még egy kicsit kevesebb. Mindegyik tantárgyban körülbelül egy tucat standard módszer található az alapvető bonyolultságú problémák megoldására, amelyek megtanulhatók is, és így teljesen automatikusan és nehézségek nélkül, a megfelelő időben megoldják a digitális átalakulás nagy részét. Ezután már csak a legnehezebb feladatokra kell gondolnia.

Vegyen részt a fizika és a matematika próbatételének mindhárom szakaszában. Mindegyik RT kétszer látogatható mindkét lehetőség megoldásához. A CT-n ismét a gyors és hatékony problémamegoldó képesség, a képletek és módszerek ismerete mellett szükséges az idő megfelelő tervezése, az erők elosztása, és legfőképpen a válaszlap helyes kitöltése anélkül, hogy összekeverné a válaszok és feladatok számát, vagy a saját nevét. Emellett az RT során fontos megszokni a feladatokban a kérdések feltevésének stílusát, ami a DT-n egy felkészületlen ember számára nagyon szokatlannak tűnhet.

Ennek a három pontnak a sikeres, szorgalmas és felelősségteljes megvalósítása lehetővé teszi, hogy a CT-n kiváló eredményt mutasson, a maximumot, amire képes.

Hibát talált?

Ha úgy gondolja, hogy hibát talált képzési anyagok, majd írj, kérlek, erről mailben. Bejelentheti a hibát is közösségi háló(). A levélben tüntesse fel a tantárgyat (fizika vagy matematika), a téma vagy teszt megnevezését vagy számát, a feladat számát, vagy azt a helyet a szövegben (oldal), ahol Ön szerint hiba található. Írja le azt is, hogy mi az állítólagos hiba. Levele nem marad észrevétlen, a hibát vagy kijavítják, vagy elmagyarázzák, miért nem tévedésről van szó.

Elemi függvények és grafikonjaik

Egyenes arányosság. Lineáris függvény.

Fordított arány. Hiperbola.

másodfokú függvény. Négyzet parabola.

Teljesítmény funkció. Exponenciális függvény.

logaritmikus függvény. trigonometrikus függvények.

Inverz trigonometrikus függvények.

1.	arányos értékeket. Ha változók yÉs x közvetlenül arányos, akkor a köztük lévő funkcionális függést a következő egyenlettel fejezzük ki: y = k x , Ahol k- állandó érték ( arányossági tényező). Menetrend egyenes arányosság- az origón áthaladó és a tengellyel együtt kialakuló egyenes x szög, amelynek érintője k:tan= k(8. ábra). Ezért az arányossági együtthatót is nevezik lejtési tényező. A 8. ábra három grafikont mutat be k = 1/3, k= 1 és k = 3 .
2.	Lineáris függvény. Ha változók yÉs x 1. fokú egyenlettel összekapcsolva: Axe + By = C , ahol legalább az egyik szám A vagy B nem egyenlő nullával, akkor ennek a funkcionális függőségnek a grafikonja az egyenes. Ha C= 0, akkor átmegy az origón, egyébként nem. Lineáris függvénygrafikonok különféle kombinációkhoz A,B,Cábrán láthatók.
3.	Fordított arányosság. Ha változók yÉs x vissza arányos, akkor a köztük lévő funkcionális függést a következő egyenlettel fejezzük ki: y = k / x , Ahol k- állandó érték. Inverz arányos ábrázolás - hiperbola (10. ábra). Ennek a görbének két ága van. Hiperbolákat akkor kapunk, ha egy körkúpot egy sík metsz (a kúpszeletekre lásd a „Sztereometria” fejezet „Kúp” című részét). A 10. ábrán látható, hogy a hiperbola pontjainak koordinátáinak szorzata állandó érték, példánkban 1. Általános esetben ez az érték egyenlő k, ami a hiperbola egyenletből következik: xy = k. A hiperbola főbb jellemzői és tulajdonságai: Funkció hatóköre: x 0, tartomány: y 0 ; A függvény monoton (csökkenő) at x< 0 és at x > 0, de nem a töréspont miatt összességében monoton x= 0 (gondold meg, miért?); Korlátlan függvény, nem folytonos egy ponton x= 0, páratlan, nem periodikus; - A függvénynek nincsenek nullák.
4.	Másodfokú függvény. Ez a funkció: y = fejsze 2 + bx + c, Ahol a, b, c- állandó, a 0. A legegyszerűbb esetben: b=c= 0 és y = fejsze 2. Ennek a függvénynek a grafikonja négyzet parabola - az origón áthaladó görbe (11. ábra). Minden parabolának van szimmetriatengelye OY, ami az úgynevezett parabola tengely. Pont O parabola metszéspontját a tengelyével nevezzük a parabola teteje. Függvénygrafikon y = fejsze 2 + bx + c is egy ugyanolyan típusú négyzetes parabola, mint y = fejsze 2 , de a csúcsa nem az origóban van, hanem a koordinátákkal rendelkező pontban: A négyzet alakú parabola alakja és elhelyezkedése a koordinátarendszerben teljes mértékben két paramétertől függ: az együtthatótól a nál nél x 2 és diszkriminatív D:D = b 2 – 4ac. Ezek a tulajdonságok a másodfokú egyenlet gyökeinek elemzéséből következnek (lásd a megfelelő részt az Algebra fejezetben). A négyzetes parabola összes lehetséges esetét a 12. ábra mutatja.

Kérjük, rajzoljon négyzetes parabolát az esethez a > 0, D > 0 .

A négyzetes parabola főbb jellemzői és tulajdonságai:

Funkció hatóköre:  < x+ (azaz. x R ), és a terület

értékek: … (Kérjük, válaszoljon erre a kérdésre saját maga!);

A függvény egésze nem monoton, hanem a csúcstól jobbra vagy balra

monoton módon viselkedik;

A függvény korlátlan, mindenhol folyamatos, még for b = c = 0,

és nem időszakos;

- nál nél D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Teljesítmény funkció. Ez a funkció: y=ax n, Ahol a, n- állandó. Nál nél n= 1-et kapunk egyenes arányosság: y=fejsze; nál nél n = 2 - négyzetes parabola; nál nél n = 1 - fordított arányosság vagy túlzás. Így ezek a függvények egy hatványfüggvény speciális esetei. Tudjuk, hogy a nullától eltérő szám nulla hatványa egyenlő 1-gyel, tehát amikor n= 0 a hatványfüggvény állandóvá válik: y= a, azaz grafikonja a tengellyel párhuzamos egyenes x, kivéve a koordináták origóját (magyarázza meg, miért?). Mindezek az esetek (val a= 1) a 13. ábrán láthatók ( n 0) és 14. ábra ( n < 0). Отрицательные значения x itt nem veszünk figyelembe, mert akkor néhány funkció: Ha n– teljes, hatalmi függvényeknek akkor is van értelme x < 0, но их графики имеют másfajta attól függően, hogy n páros vagy páratlan szám. A 15. ábrán két ilyen teljesítményfüggvény látható: for n= 2 és n = 3. Nál nél n= 2 a függvény páros és grafikonja szimmetrikus a tengelyre Y. Nál nél n= 3 a függvény páratlan és grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest. Funkció y = x 3 hívott köbös parabola. A 16. ábra a funkciót mutatja. Ez a függvény a négyzetes parabola inverze y = x 2 , grafikonját úgy kapjuk meg, hogy egy négyzetes parabola grafikonját az 1. koordinátaszög felezője körül elforgatjukEz egy módja annak, hogy bármely inverz függvény grafikonját megkapjuk az eredeti függvény grafikonjából. A grafikonon láthatjuk, hogy ez egy kétértékű függvény (ezt a négyzetgyök előtti  jel is jelzi). Az ilyen függvényeket az elemi matematikában nem tanulmányozzák, ezért függvényként általában annak egyik ágát tekintjük: felsőt vagy alsót.
6.	Demonstráció funkció. Funkció y = a x, Ahol a egy pozitív állandó szám, ún exponenciális függvény. Érv x elfogadja bármilyen érvényes érték; a függvényértékek figyelembevételével csak pozitív számok, mivel egyébként többértékű függvényünk van. Igen, a funkció y = 81 x rendelkezik x= 1/4 négy különböző jelentések: y = 3, y = 3, y = 3 énÉs y = 3 én(Ellenőrizze kérem!). De csak a függvény értékének tekintjük y= 3. Az exponenciális függvény grafikonjai a= 2 és a= 1/2 a 17. ábrán láthatók. Áthaladnak a ponton (0, 1). Nál nél a= 1 van a tengellyel párhuzamos egyenes grafikonja x, azaz a függvény 1-gyel egyenlő konstans értékké változik. Amikor a> 1, az exponenciális függvény növekszik, és 0-nál< a < 1 – убывает. Az exponenciális függvény főbb jellemzői és tulajdonságai:  < x+ (azaz. x R ); hatótávolság: y> 0 ; A függvény monoton: együtt növekszik a> 1, és 0-ra csökken< a < 1; - A függvénynek nincsenek nullák.
7.	Logaritmikus függvény. Funkció y= log a x, Ahol aállandó pozitív szám, nem egyenlő 1-gyel nevezzük logaritmikus. Ez a függvény az exponenciális függvény inverze; grafikonját (18. ábra) úgy kaphatjuk meg, hogy az exponenciális függvény grafikonját az 1. koordinátaszög felezője körül elforgatjuk. A logaritmikus függvény főbb jellemzői és tulajdonságai: Funkció hatóköre: x> 0, és az értéktartomány:  < y+ (azaz. y R ); Ez egy monoton függvény: növekszik, mint a> 1, és 0-ra csökken< a < 1; A függvény korlátlan, mindenhol folyamatos, nem periodikus; A függvénynek egy nulla van: x = 1.
8.	trigonometrikus függvények. A trigonometrikus függvények konstruálásakor használjuk radián szögek mérése. Aztán a függvény y= bűn x grafikonnal ábrázolva (19. ábra). Ezt a görbét ún szinuszos. Függvénygrafikon y= cos x a 20. ábrán látható; ez is egy szinuszhullám, amely a gráf mozgatása következtében jön létre y= bűn x a tengely mentén x balra 2 Ezekből a grafikonokból jól láthatóak ezeknek a függvényeknek a jellemzői és tulajdonságai: Tartomány:  < x+  tartomány: -1 y +1; Ezek a függvények periodikusak: periódusuk 2; Korlátozott funkciók (| y| , mindenhol folyamatos, nem monoton, hanem miután ún időközönként egyhangúság, amelyen belül ők monoton függvényekként viselkednek (lásd a 19. és 20. ábra grafikonjait); A függvényeknek végtelen számú nullája van (további részletekért lásd a részt "Trigonometrikus egyenletek"). Függvénygrafikonok y= cser xÉs y= kiságy x a 21. és a 22. ábrán láthatók A grafikonokból látható, hogy ezek a függvények: periodikusak (periódusuk , korlátlan, általában nem monoton, de vannak monoton intervallumok (mi?), nem folytonos (milyen töréspontjaik vannak ezeknek a függvényeknek?). Vidék ezeknek a függvényeknek a definíciói és köre:
9.	Inverz trigonometrikus függvények. Az inverzek definíciói trigonometrikus függvények és főbb tulajdonságaikat adjuk meg azonos nevű szakaszt a „Trigonometria” fejezetben. Ezért itt korlátozzuk magunkat csak rövid megjegyzések érkeztek grafikonjaikkal kapcsolatban a trigonometrikus függvények grafikonjainak az 1. felezőpontja körüli elforgatásával koordinátaszög.

Funkciók y= Arcsin x(23. ábra) és y= Arccos x(24. ábra) sokértékű, korlátlan; definíciós tartományuk, illetve értéktartományuk: 1 x+1 és  < y+ . Mivel ezek a függvények többértékűek,

Koordináta-rendszer - ez két egymásra merőleges koordinátaegyenes, amelyek az origó pontjában metszik egymást.

Koordinátatengelyek a koordinátarendszert alkotó egyenesek.

abszcissza(x-tengely) a vízszintes tengely.

Y-tengely(y-tengely) a függőleges tengely.

Funkció

Funkció az X halmaz elemeinek leképezése az Y halmazra. Ebben az esetben az X halmaz minden x eleme az Y halmaz egyetlen y értékének felel meg.

Egyenes

Lineáris függvény az y = a x + b alakú függvény, ahol a és b tetszőleges számok.

A lineáris függvény grafikonja egy egyenes.

Fontolja meg, hogyan fog kinézni a grafikon az a és b együtthatók függvényében:

Ha a > 0 , az egyenes átmegy az I és III koordinátanegyeden.

Ha a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b az egyenes metszéspontja az y tengellyel.

Ha a = 0, a függvény y = b lesz.

Külön kiválasztjuk az x \u003d a egyenlet grafikonját.

Fontos: ez az egyenlet nem függvény, mivel a függvény definíciója sérül (a függvény az X halmaz minden x elemét az Y halmaz egyetlen y értékéhez rendeli). Ez az egyenlet egy x elemet egy végtelen y elemhalmazhoz társít. Ennek az egyenletnek a grafikonja azonban ábrázolható. Ne nevezzük ezt a büszke „funkció” szónak.

Parabola

Az y = a x 2 + b x + c függvény grafikonja az parabola .

Annak érdekében, hogy egyértelműen meghatározzuk, hogyan helyezkedik el a parabola gráf a síkon, tudnia kell, hogy az a, b, c együtthatók mit befolyásolnak:

1. Az a együttható azt jelzi, hogy a parabola ágai merre vannak irányítva.

• Ha a > 0, a parabola ágai felfelé irányulnak.
• Ha egy< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. A c együttható azt jelzi, hogy a parabola melyik pontban metszi az y tengelyt.
2. A b együttható segít megtalálni x-et a parabola csúcsának koordinátájában.

x in \u003d - b 2 a

1. A diszkrimináns segítségével meghatározható, hogy hány metszéspontja van egy parabolának egy tengellyel.

• Ha D > 0 - két metszéspont.
• Ha D = 0 - egy metszéspont.
• Ha D< 0 — нет точек пересечения.

Az y = k x függvény grafikonja az hiperbola .

A hiperbola jellegzetessége, hogy aszimptotái vannak.

A hiperbola aszimptotái - egyenes vonalak, amelyekre hajlik, a végtelenbe megy.

Az x tengely a hiperbola vízszintes aszimptotája

Az y tengely a hiperbola függőleges aszimptotája.

A grafikonon az aszimptotákat zöld pontozott vonal jelöli.

Ha a koefficiens k > 0, akkor a hyperola ágai áthaladnak az I. és III. negyeden.

Ha k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Minél kisebb a k együttható abszolút értéke (a k együttható az előjel figyelembe vétele nélkül), annál közelebb vannak a hiperbola ágai az x és y tengelyekhez.

Négyzetgyök

Az y     =     x függvénynek a következő grafikonja van:

Funkciók növelése/csökkentése

Függvény y   =   f(x) növekszik az intervallum során ha az argumentum nagyobb értéke (nagyobb x érték) nagyobb függvényértéknek (nagyobb y érték) felel meg .

Azaz minél több (jobbra) x, annál több (magasabb) y. A grafikon emelkedik (nézze balról jobbra)

Függvény y   =   f(x) az intervallum alatt csökken ha egy nagyobb argumentumérték (nagyobb x érték) kisebb függvényértéknek (nagyobb y értéknek) felel meg .

A módszeres anyag referencia célokat szolgál, és a témák széles skáláját fedi le. A cikk áttekintést nyújt a fő elemi függvények grafikonjairól, és megvizsgálja a legfontosabb kérdést - hogyan kell helyesen és GYORSAN felépíteni egy grafikont. A felsőbb matematika tanulmányozása során a fő grafikonjainak ismerete nélkül elemi függvények nehéz lesz, ezért nagyon fontos megjegyezni, hogyan néznek ki egy parabola, hiperbola, szinusz, koszinusz stb. grafikonjai, emlékezzen néhány függvényértékre. Szó lesz a fő funkciók néhány tulajdonságáról is.

Nem állítom az anyagok teljességét és tudományos alaposságát, a hangsúly mindenekelőtt a gyakorlaton lesz – azokon, amelyekkel az embernek szó szerint szembe kell néznie minden lépésnél, a felsőbb matematika bármely témakörében. Táblázatok a bábokhoz? Ezt mondhatod.

Az olvasók nagy kérésére kattintható tartalomjegyzék:

Ezen kívül van egy ultrarövid kivonat is a témáról
– sajátíts el 16 féle diagramot HAT oldal tanulmányozásával!

Komolyan, hat, még én magam is meglepődtem. Ez az absztrakt javított grafikát tartalmaz, és névleges díj ellenében elérhető, demó verziója megtekinthető. Kényelmes a fájl kinyomtatása, hogy a grafikonok mindig kéznél legyenek. Köszönjük a projekt támogatását!

És rögtön kezdjük is:

Hogyan építsünk helyesen koordinátatengelyeket?

A gyakorlatban a teszteket szinte mindig a tanulók külön füzetbe, ketrecbe sorakozva készítik. Miért van szükség kockás jelölésekre? Végül is a munka elvileg A4-es lapokon is elvégezhető. A ketrec pedig már csak a rajzok minőségi és pontos megtervezéséhez szükséges.

A függvénygráf bármely rajza koordinátatengelyekkel kezdődik.

A rajzok kétdimenziósak és háromdimenziósak.

Nézzük először a kétdimenziós esetet kartéziánus téglalap alakú rendszer koordináták:

1) Koordinátatengelyeket rajzolunk. A tengelyt ún x tengely , és a tengely y tengely . Mindig megpróbáljuk lerajzolni őket ügyes és nem görbe. A nyilak sem hasonlíthatnak Carlo papa szakállára.

2) A tengelyeket nagy "x" és "y" betűkkel írjuk alá. Ne felejtse el aláírni a tengelyeket.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén: húzz nullát és két egyest. Rajzkészítésnél a legkényelmesebb és legelterjedtebb lépték: 1 egység = 2 cella (bal oldali rajz) - lehetőség szerint ragaszkodjon hozzá. Időnként azonban előfordul, hogy a rajz nem fér fel egy füzetlapra - ekkor csökkentjük a léptéket: 1 egység = 1 cella (jobb oldali rajz). Ritkán, de előfordul, hogy a rajz léptékét még inkább csökkenteni (vagy növelni) kell

NE firkáljon géppuskából ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... A koordinátasík ugyanis nem Descartes emlékműve, és a diák sem galamb. Rakjuk nullaÉs két egység a tengelyek mentén. Néha ahelyett egységek, kényelmes más értékek „észlelése”, például „kettő” az abszcissza tengelyen és „három” az ordináta tengelyen - és ez a rendszer (0, 2 és 3) egyedileg beállítja a koordináta rácsot is.

Jobb, ha a rajz becsült méreteit a rajz elkészítése ELŐTT becsüljük meg.. Így például, ha a feladathoz olyan háromszöget kell rajzolni, amelynek csúcsai , , , akkor teljesen egyértelmű, hogy a népszerű lépték 1 egység = 2 cella nem fog működni. Miért? Nézzük a lényeget - itt tizenöt centimétert kell lefelé mérni, és nyilvánvalóan nem (vagy alig) fér el a rajz egy jegyzetfüzet lapjára. Ezért azonnal kiválasztunk egy kisebb léptékű 1 egység = 1 cellát.

Apropó, centiméterekről és notebook cellákról. Igaz, hogy 30 notebook cellában 15 centiméter van? Érdeklődni jegyzetfüzetben 15 centimétert vonalzóval mérni. A Szovjetunióban ez talán igaz volt ... Érdekes megjegyezni, hogy ha ugyanazokat a centimétereket vízszintesen és függőlegesen méri, akkor az eredmények (cellákban) eltérőek lesznek! Szigorúan véve a modern notebookok nem kockásak, hanem téglalap alakúak. Hülyeségnek tűnhet, de például egy kört rajzolni egy iránytűvel ilyen helyzetekben nagyon kényelmetlen. Hogy őszinte legyek, ilyen pillanatokban az ember Sztálin elvtárs helyességén kezd el gondolkodni, akit a termelési munkák miatt táborokba küldtek, nem is beszélve a hazai autóiparról, a zuhanó repülőgépekről vagy a felrobbanó erőművekről.

Ha már a minőségről beszélünk, vagy egy rövid ajánlás az írószerekkel kapcsolatban. A mai napig az eladásra kínált notebookok többsége, rossz szó nélkül, komplett goblin. Azért, mert beáznak, és nem csak zselés tolltól, hanem golyóstollal is! Spórolj papíron. Az engedélyért vezérlés működik Azt javaslom, hogy használja az Arhangelszki Pép- és Papírgyár (18 lap, ketrec) vagy a Pyaterochka notebookját, bár drágább. Célszerű zselés tollat ​​választani, a legolcsóbb kínai zselés utántöltő is sokkal jobb, mint a golyóstoll, ami vagy elkenődik, vagy széttépi a papírt. Emlékeim szerint egyetlen "versenyképes" golyóstoll az Erich Krause. Tisztán, szépen és stabilan ír – akár teli szárral, akár csaknem üresen.

Továbbá: egy téglalap alakú koordinátarendszer látásmódja az analitikus geometria szemével a cikkben A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon, a koordinátanegyedekről részletes információ a lecke második bekezdésében található Lineáris egyenlőtlenségek.

3D tok

Itt is majdnem ugyanaz.

1) Koordinátatengelyeket rajzolunk. Alapértelmezett: alkalmazási tengely – felfelé irányított, tengely – jobbra, tengely – lefelé balra szigorúan 45 fokos szögben.

2) A tengelyeket aláírjuk.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén. Méretezés a tengely mentén - kétszer kisebb, mint a többi tengely mentén. Azt is vegye figyelembe, hogy a jobb oldali rajzon nem szabványos "serifet" használtam a tengely mentén (erről a lehetőségről fentebb már volt szó). Az én szempontomból pontosabb, gyorsabb és esztétikusabb – nem kell mikroszkóp alatt keresni a cella közepét, és az egységet egészen az origóig „faragni”.

Ha ismét 3D-s rajzot készít, adjon elsőbbséget a méretaránynak
1 egység = 2 cella (bal oldali rajz).

Mire szolgálnak ezek a szabályok? A szabályok azért vannak, hogy megszegjék. Most mit fogok csinálni. Az a helyzet, hogy a cikk későbbi rajzait én készítem el Excelben, és a koordinátatengelyek a megfelelő tervezés szempontjából hibásan fognak kinézni. Az összes grafikont meg tudtam rajzolni kézzel, de nagyon ijesztő megrajzolni őket, mivel az Excel nem szívesen rajzolja meg őket sokkal pontosabban.

Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai

A lineáris függvényt az egyenlet adja meg. A lineáris függvénygrafikon az közvetlen. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pontot ismerni.

1. példa

Ábrázolja a függvényt. Keressünk két pontot. A pontok közül előnyös a nullát választani.

Ha akkor

Vegyünk egy másik pontot, például 1.

Ha akkor

A feladatok elkészítésekor a pontok koordinátáit általában táblázatban foglaljuk össze:

Magukat az értékeket pedig szóban vagy vázlaton, számológépen számítják ki.

Két pontot találtunk, húzzuk:

A rajz elkészítésekor mindig aláírjuk a grafikát.

Nem lesz felesleges felidézni a lineáris függvény speciális eseteit:

Figyeld meg, hogyan helyeztem el a feliratokat, Az aláírások nem lehetnek kétértelműek a rajz tanulmányozásakor. Ebben az esetben nagyon nem volt kívánatos, hogy a vonalak metszéspontja mellé, vagy a jobb alsó sarokban a grafikonok közé aláírást helyezzenek el.

1) A () alakú lineáris függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Például, . Az egyenes arányossági gráf mindig az origón halad át. Így az egyenes építése leegyszerűsödik - elég csak egy pontot találni.

2) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja azonnal, pontkeresés nélkül épül fel. Vagyis a bejegyzést a következőképpen kell érteni: "y mindig egyenlő -4-gyel, bármely x érték esetén."

3) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja is azonnal felépül. A bejegyzést a következőképpen kell érteni: "x mindig, y bármely értéke esetén egyenlő 1-gyel."

Egyesek azt kérdezik, hát miért emlékeznek a 6. osztályra?! Így van ez, talán így is van, csak a gyakorlati évek alatt találkoztam jó tucat diákkal, akik értetlenül álltak a vagy a gráf megalkotása előtt.

Az egyenes vonal rajzolása a leggyakoribb művelet a rajzok készítésekor.

Az egyenest az analitikus geometria során részletesen tárgyaljuk, aki szeretné, az a cikkre hivatkozhat. Egyenlet egy síkon.

Másodfokú függvény gráf, köbfüggvény gráf, polinom gráf

Parabola. Másodfokú függvény grafikonja () egy parabola. Tekintsük a híres esetet:

Emlékezzünk vissza a függvény néhány tulajdonságára.

Tehát az egyenletünk megoldása: - ezen a ponton található a parabola csúcsa. Hogy ez miért van így, azt a deriváltról szóló elméleti cikkből és a függvény szélsőértékeiről szóló leckéből tanulhatjuk meg. Közben kiszámítjuk az "y" megfelelő értékét:

Tehát a csúcs a ponton van

Most más pontokat találunk, miközben pimaszul a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció – nem egyenletes, de ennek ellenére senki sem törölte a parabola szimmetriáját.

Azt hiszem, a döntő táblázatból kiderül, hogy milyen sorrendben találjuk meg a maradék pontokat:

Ezt az építési algoritmust átvitt értelemben "shuttle"-nek vagy "oda-vissza" elvnek nevezhetjük Anfisa Chekhova-val.

Készítsünk rajzot:

A figyelembe vett grafikonokból egy másik hasznos funkció is eszembe jut:

Másodfokú függvényhez () a következő igaz:

Ha , akkor a parabola ágai felfelé irányulnak.

Ha , akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.

A görbe mélyreható ismerete a Hiperbola és parabola leckében szerezhető.

A köbös parabolát a függvény adja meg. Íme egy iskolából ismerős rajz:

Felsoroljuk a függvény főbb tulajdonságait

Függvénygrafikon

A parabola egyik ágát képviseli. Készítsünk rajzot:

A függvény főbb tulajdonságai:

Ebben az esetben a tengely az függőleges aszimptota a hiperbola gráfhoz.

NAGY hiba lesz, ha a rajz elkészítésekor hanyagságból megengedi, hogy a gráf metszi az aszimptotát.

Szintén egyoldalú határértékek, mondd, hogy egy hiperbola felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.

Vizsgáljuk meg a függvényt a végtelenben: , vagyis ha elkezdünk mozogni a tengely mentén balra (vagy jobbra) a végtelenbe, akkor a „játékok” egy karcsú lépés lesz. végtelenül közel nullához közelít, és ennek megfelelően a hiperbola ágai végtelenül közel közelítse meg a tengelyt.

Tehát a tengely az vízszintes aszimptota a függvény grafikonjára, ha "x" a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik.

A funkció az páratlan, ami azt jelenti, hogy a hiperbola szimmetrikus az origóhoz képest. Ezt a tényt a rajzból nyilvánvaló, sőt analitikusan is könnyen ellenőrizhető: .

A () alakú függvény grafikonja a hiperbola két ágát ábrázolja.

Ha , akkor a hiperbola az első és a harmadik koordinátanegyedben található(lásd a fenti képet).

Ha , akkor a hiperbola a második és a negyedik koordinátanegyedben található.

A hiperbola lakóhelyének meghatározott szabályszerűségét a gráfok geometriai transzformációi szempontjából nem nehéz elemezni.

3. példa

Szerkessze meg a hiperbola jobb oldali ágát!

Pontos szerkesztési módszert alkalmazunk, de előnyös úgy kiválasztani az értékeket, hogy azok teljesen fel legyenek osztva:

Készítsünk rajzot:

Nem lesz nehéz megszerkeszteni a hiperbola bal ágát, itt csak a függvény páratlansága segít. Nagyjából elmondható, hogy a pontszerű konstrukciós táblázatban gondolatban adjunk hozzá egy mínuszt minden számhoz, helyezzük el a megfelelő pontokat, és rajzoljuk meg a második ágat.

A vizsgált vonalról részletes geometriai információk találhatók a Hiperbola és parabola cikkben.

Egy exponenciális függvény grafikonja

Ebben a bekezdésben azonnal az exponenciális függvényt fogom megvizsgálni, mivel a magasabb matematikai feladatokban az esetek 95%-ában az exponens fordul elő.

Emlékeztetlek arra, hogy - ez egy irracionális szám: , ez szükséges lesz egy gráf készítésekor, amelyet valójában ceremónia nélkül fogok megépíteni. Három pont elég lehet:

A függvény grafikonját most hagyjuk békén, erről majd később.

A függvény főbb tulajdonságai:

Alapvetően a függvénygrafikonok ugyanúgy néznek ki, stb.

Azt kell mondanom, hogy a második eset ritkábban fordul elő a gyakorlatban, de előfordul, ezért szükségesnek tartottam, hogy ebbe a cikkbe belefoglaljam.

Egy logaritmikus függvény grafikonja

Tekintsünk egy természetes logaritmusú függvényt.
Rajzoljunk egy vonalat:

Ha elfelejtette, mi az a logaritmus, olvassa el az iskolai tankönyveket.

A függvény főbb tulajdonságai:

Tartomány:

Értéktartomány: .

A funkció felülről nincs korlátozva: , ha lassan is, de a logaritmus ága felmegy a végtelenbe.
Megvizsgáljuk a jobb oldali nullához közeli függvény viselkedését: . Tehát a tengely az függőleges aszimptota a jobb oldalon nullára hajló "x" függvény grafikonjára.

Ügyeljen arra, hogy ismerje és emlékezzen a logaritmus tipikus értékére: .

Alapvetően a logaritmus grafikonja az alapon így néz ki: , , ( decimális logaritmus a 10-es alapban) stb. Ugyanakkor minél nagyobb az alap, annál laposabb lesz a diagram.

Nem foglalkozunk ezzel az esettel, amire nem emlékszem, mikor építettem utoljára ilyen alapon grafikont. Igen, és úgy tűnik, hogy a logaritmus nagyon ritka vendég a magasabb matematikai feladatokban.

A bekezdés végén elmondok még egy tényt: Exponenciális függvény és logaritmikus függvénykét kölcsönös inverz függvények . Ha alaposan megnézi a logaritmus grafikonját, láthatja, hogy ez ugyanaz a kitevő, csak egy kicsit másképp helyezkedik el.

Trigonometrikus függvények grafikonjai

Hogyan kezdődik a trigonometrikus gyötrelem az iskolában? Jobb. A szinuszból

Ábrázoljuk a függvényt

Ezt a vonalat hívják szinuszos.

Emlékeztetlek arra, hogy a „pi” irracionális szám:, és a trigonometriában káprázik a szemed.

A függvény főbb tulajdonságai:

Ez a funkció az időszakos időszakkal. Mit jelent? Nézzük a vágást. Tőle balra és jobbra pontosan ugyanaz a grafikondarab ismétlődik a végtelenségig.

Tartomány: , azaz "x" bármely értékéhez van szinuszérték.

Értéktartomány: . A funkció az korlátozott: , vagyis az összes „játék” szigorúan a szegmensbe tartozik.
Ez nem történik meg: pontosabban megtörténik, de ezeknek az egyenleteknek nincs megoldásuk.

A függvény grafikonja a koordinátasík összes pontjának halmaza, amelynek abszcisszája egyenlő az argumentum értékeivel, az ordináták pedig a függvény megfelelő értékeivel.

Az alábbi táblázat mutatja hazánk fővárosának, Minszk városának havi átlaghőmérsékletét.

P

tévé

Itt az argumentum a hónap sorszáma, a függvény értéke pedig a levegő hőmérséklete Celsius-fokban. Ebből a táblázatból például megtudjuk, hogy áprilisban a havi átlaghőmérséklet 5,3 °C.

A funkcionális függés megadható grafikonnal.

Az 1. ábra a horizonttal 6СГ szögben bedobott test mozgásának grafikonját mutatja 20 m/s kezdősebességgel.

A függvénygráf segítségével az argumentum értékével megtalálhatja a függvény megfelelő értékét. Az 1. ábra grafikonja alapján megállapítjuk, hogy például a mozgás kezdetétől számított 2 s elteltével a test 15 m, 3 s után pedig 7,8 m magasságban volt (2. ábra).

Megoldható az inverz probléma is, nevezetesen a függvény adott a értékével megkeressük az argumentum azon értékeit, amelyekre a függvény ezt az a értéket veszi. Például az 1. ábra grafikonja szerint azt találjuk, hogy 10 m magasságban a test 0,7 s és 2,8 s alatt volt a mozgás kezdetétől számítva (3. ábra),

Vannak olyan eszközök, amelyek grafikonokat rajzolnak a mennyiségek közötti függőségekről. Ezek a barográfok - a légköri nyomás időtől való függésének rögzítésére szolgáló eszközök, a termográfok - a hőmérséklet időtől való függésének rögzítésére szolgáló eszközök, a kardiográfok - a szívműködés grafikus rögzítésére szolgáló eszközök stb. A 102. ábra egy termográfot mutat sematikusan. Dobja egyenletesen forog. A dobra tekercselt papírt rögzítő érinti, amely a hőmérséklettől függően emelkedik és süllyed, és egy bizonyos vonalat húz a papírra.

A függvény képlettel történő ábrázolásától továbbléphet annak táblázatban és grafikonban történő ábrázolására.