Առաջադրանքներ, որոնց լուծումն է լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպում, բավականին հաճախ հայտնաբերված քննության ժամանակ:

Դրանց հետ նվազագույն ժամանակի ծախսումով հաջողությամբ հաղթահարելու համար, բացի հիմնական լոգարիթմական ինքնություններից, անհրաժեշտ է իմանալ և ճիշտ օգտագործել ևս մի քանի բանաձևեր:

Սա է՝ a log a b = b, որտեղ a, b > 0, a ≠ 1 (Անմիջապես բխում է լոգարիթմի սահմանումից):

log a b = log c b / log c a կամ log a b = 1/log b a
որտեղ a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |բ|
որտեղ a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0:

a log c b = b log c a
որտեղ a, b, c > 0 և a, b, c ≠ 1

Չորրորդ հավասարության վավերականությունը ցույց տալու համար վերցնում ենք ձախ և աջ կողմերի լոգարիթմը a հիմքում։ Մենք ստանում ենք log a (a log c b) = log a (b log c a) կամ log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log b-ով = log b-ով:

Մենք ապացուցել ենք լոգարիթմների հավասարությունը, ինչը նշանակում է, որ լոգարիթմների տակ գտնվող արտահայտությունները նույնպես հավասար են։ Ֆորմուլա 4-ն ապացուցված է.

Օրինակ 1

Հաշվիր 81 լոգ 27 5 լոգ 5 4։

Լուծում.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Հետևաբար,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Այնուհետեւ 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4:

Դուք կարող եք ինքներդ կատարել հետևյալ առաջադրանքը.

Հաշվել (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.

Որպես հուշում, 0.2 = 1/5 = 5 -1; log 0.2 5 = -1.

Պատասխան՝ 5.

Օրինակ 2

Հաշվարկել (√11) գերան √3 9 լոգ 121 81 .

Լուծում.

Փոխարինենք արտահայտությունները՝ 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, մատյան 121 81 = 2 լոգ 11 3 (օգտագործվել է 3-րդ բանաձևը):

Այնուհետեւ (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 լոգ 11 3) = 121/3.

Օրինակ 3

Հաշվել մատյան 2 24 / մատյան 96 2 - մատյան 2 192 / մատյան 12 2:

Լուծում.

Օրինակում պարունակվող լոգարիթմները կփոխարինենք 2-րդ հիմքով լոգարիթմներով։

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3):

Ապա log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + մատյան 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Փակագծերը բացելուց և համանման տերմինները կրճատելուց հետո ստանում ենք 3 թիվը: (Արտահայտությունը պարզեցնելիս log 2 3-ը կարելի է նշանակել n-ով և պարզեցնել արտահայտությունը.

(3 + n) (5 + n) – (6 + n) (2 + n)):

Պատասխան՝ 3.

Դուք կարող եք ինքնուրույն անել հետևյալը.

Հաշվել (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Այստեղ անհրաժեշտ է անցում կատարել 3-րդ հիմքի լոգարիթմներին և տարրալուծվել մեծ թվերի պարզ գործակիցների։

Պատասխան՝ 1/2

Օրինակ 4

Տրված է երեք թիվ A \u003d 1 / (log 3 0.5), B \u003d 1 / (log 0.5 3), C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. Դասավորեք դրանք աճման կարգով:

Լուծում.

Եկեք փոխակերպենք թվերը A \u003d 1 / (log 3 0.5) \u003d log 0.5 3; C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \u003d log 0.5 12/3 \u003d log 0.5 4 \u003d -2.

Եկեք համեմատենք դրանք

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 և log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Կամ 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Պատասխանել. Հետևաբար, թվերի տեղադրման կարգը՝ C; Ա; IN.

Օրինակ 5

Քանի՞ ամբողջ թիվ կա միջակայքում (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48):

Լուծում.

Եկեք որոշենք, թե 3 թվի որ ուժերի միջև է 1/16 թիվը։ Մենք ստանում ենք 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Քանի որ y \u003d log 3 x ֆունկցիան մեծանում է, ապա log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3): Համեմատեք մատյան 6 (4/3) և 1/5: Եվ դրա համար մենք համեմատում ենք 4 / 3 և 6 1/5 թվերը: Երկու թվերն էլ բարձրացրեք 5-րդ աստիճանի։ Մենք ստանում ենք (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

մատյան 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Հետևաբար, միջակայքը (log 3 1 / 16 ; log 6 48) ներառում է [-2; 4] և դրա վրա դրված են -2 ամբողջ թվեր; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Պատասխան՝ 7 ամբողջ թիվ:

Օրինակ 6

Հաշվեք 3 lglg 2 / lg 3 - lg20:

Լուծում.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2:

Այնուհետեւ 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1:

Պատասխան՝ -1.

Օրինակ 7

Հայտնի է, որ log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Գտեք log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2):

Լուծում.

Համարներ (√3 + 1) և (√3 - 1); (√6 - 2) և (√6 + 2) խոնարհված են:

Կատարենք արտահայտությունների հետևյալ փոխակերպումը

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2):

Այնուհետև log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Մատյան 2 2 – մատյան 2 (√3 + 1) + մատյան 2 2 – մատյան 2 (√6 – 2) = 1 – մատյան 2 (√3 + 1) + 1 – մատյան 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - Ա.

Պատասխան՝ 2 - Ա.

Օրինակ 8.

Պարզեցրե՛ք և գտե՛ք արտահայտության մոտավոր արժեքը (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Լուծում.

Մենք նվազեցնում ենք բոլոր լոգարիթմները ընդհանուր հիմք 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010: (lg 2-ի մոտավոր արժեքը կարելի է գտնել աղյուսակի, սլայդի կանոնի կամ հաշվիչի միջոցով):

Պատասխան՝ 0.3010։

Օրինակ 9.

Հաշվեք log a 2 b 3 √(a 11 b -3), եթե log √ a b 3 = 1. (Այս օրինակում a 2 b 3-ը լոգարիթմի հիմքն է):

Լուծում.

Եթե ​​log √ a b 3 = 1, ապա 3/(0.5 log a b = 1. Եվ log a b = 1/6:

Այնուհետև գրանցեք a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) այդ լոգը և b = 1/6 մենք ստանում ենք (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1:

Պատասխան՝ 2.1.

Դուք կարող եք ինքնուրույն անել հետևյալը.

Հաշվեք մատյան √3 6 √2.1, եթե մատյան 0.7 27 = ա.

Պատասխան՝ (3 + ա) / (3ա):

Օրինակ 10

Հաշվի՛ր 6,5 4/ լոգ 3 169 3 1/ լոգ 4 13 + լոգ125։

Լուծում.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (բանաձև 4))

Մենք ստանում ենք 9 + 6 = 15:

Պատասխան՝ 15.

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք, թե ինչպես գտնել լոգարիթմական արտահայտության արժեքը:
Ուսուցիչից օգնություն ստանալու համար -.
Առաջին դասն անվճար է։

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Պարզունակ մակարդակի հանրահաշվի տարրերից մեկը լոգարիթմն է։ Անունը հունարենից առաջացել է «թիվ» կամ «աստիճան» բառից և նշանակում է այն աստիճանը, որով անհրաժեշտ է բարձրացնել թիվը հիմքում՝ վերջնական թիվը գտնելու համար:

Լոգարիթմների տեսակները

• log a b-ը b թվի լոգարիթմն է a հիմքի նկատմամբ (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - տասնորդական լոգարիթմ (լոգարիթմի հիմք 10, a = 10);
• ln b - բնական լոգարիթմ (լոգարիթմի հիմք e, a = e):

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

b թվի լոգարիթմը a հիմքի նկատմամբ ցուցիչ է, որը պահանջում է, որ a հիմքը բարձրացվի մինչև b թիվը։ Արդյունքն արտասանվում է այսպես. «b-ի լոգարիթմը a-ի հիմքին»: Լոգարիթմական խնդիրների լուծումն այն է, որ դուք պետք է որոշեք տրված աստիճանը թվերով նշված թվերով։ Կան լոգարիթմը որոշելու կամ լուծելու մի քանի հիմնական կանոններ, ինչպես նաև ինքնին նշումը փոխակերպելու համար: Դրանց կիրառմամբ լուծվում են լոգարիթմական հավասարումներ, գտնվում են ածանցյալներ, լուծվում են ինտեգրալներ և բազմաթիվ այլ գործողություններ։ Հիմնականում լոգարիթմի լուծումն ինքնին նրա պարզեցված նշումն է: Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը և հատկությունները.

Ցանկացած ա ; a > 0; a ≠ 1 և ցանկացած x-ի համար; y > 0.

• a log a b = b-ը հիմնական լոգարիթմական ինքնությունն է
• գրանցվեք 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0-ի համար
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - նոր բազայի անցնելու բանաձև
• log a x = 1/log x a

Ինչպես լուծել լոգարիթմները - լուծման քայլ առ քայլ հրահանգներ

• Նախ, գրեք պահանջվող հավասարումը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե հիմնական լոգարիթմը 10 է, ապա գրառումը կրճատվում է, ստացվում է տասնորդական լոգարիթմ: Եթե ​​կա e բնական թիվ, ապա մենք գրում ենք՝ նվազեցնելով բնական լոգարիթմի։ Նշանակում է, որ բոլոր լոգարիթմների արդյունքը այն հզորությունն է, որով բազային թիվը բարձրացվում է b թիվը ստանալու համար:

Ուղղակիորեն լուծումը կայանում է այս աստիճանի հաշվարկի մեջ: Արտահայտությունը լոգարիթմով լուծելուց առաջ այն պետք է պարզեցվի ըստ կանոնի, այսինքն՝ օգտագործելով բանաձևեր։ Հիմնական ինքնությունները կարող եք գտնել՝ հոդվածում մի փոքր հետ գնալով։

Երկու տարբեր թվերով լոգարիթմների գումարում և հանում, բայց նույն հիմքերը, փոխարինել մեկ լոգարիթմով b և c թվերի արտադրյալով կամ բաժանմամբ։ Այս դեպքում դուք կարող եք կիրառել անցումային բանաձևը մեկ այլ հիմքի վրա (տես վերևում):

Եթե ​​դուք օգտագործում եք արտահայտություններ լոգարիթմը պարզեցնելու համար, կան որոշ սահմանափակումներ, որոնց մասին պետք է տեղյակ լինել: Եվ դա այն է՝ a լոգարիթմի հիմքը միայն դրական թիվ է, բայց ոչ հավասար մեկին։ b թիվը, ինչպես a-ն, պետք է լինի զրոյից մեծ:

Լինում են դեպքեր, երբ պարզեցնելով արտահայտությունը, դուք չեք կարողանա լոգարիթմը հաշվարկել թվային տեսքով։ Պատահում է, որ նման արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ շատ աստիճաններ իռացիոնալ թվեր են։ Այս պայմանով թողեք թվի հզորությունը որպես լոգարիթմ:

Տրված են լոգարիթմի հիմնական հատկությունները, լոգարիթմի գրաֆիկը, սահմանման տիրույթը, արժեքների բազմությունը, հիմնական բանաձևերը, աճը և նվազումը։ Դիտարկվում է լոգարիթմի ածանցյալը գտնելը: Ինչպես նաև ինտեգրալ, հզորության շարքի ընդլայնում և ներկայացում կոմպլեքս թվերի միջոցով։

Լոգարիթմի սահմանում

Ա հիմքով լոգարիթմ y ֆունկցիան է (x) = log x, հակադարձ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հետ a հիմքով՝ x (y) = a y.

Տասնորդական լոգարիթմթվի հիմքի լոգարիթմն է 10 : log x ≡ log 10 x.

բնական լոգարիթմ e-ի հիմքի լոգարիթմն է. ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Լոգարիթմի գրաֆիկը ստացվում է էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկից y \u003d x ուղիղ գծի հայելային արտացոլմամբ: Ձախ կողմում y ֆունկցիայի գրաֆիկներն են (x) = log xչորս արժեքների համար լոգարիթմի հիմքերը:a= 2 , ա = 8 , ա = 1/2 և a = 1/8 . Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ >-ի համար 1 լոգարիթմը միապաղաղ աճում է: Քանի որ x-ը մեծանում է, աճը զգալիորեն դանդաղում է: ժամը 0 < a < 1 լոգարիթմը միապաղաղ նվազում է։

Լոգարիթմի հատկությունները

Դոմեն, արժեքների բազմություն, աճող, նվազող

Լոգարիթմը միապաղաղ ֆունկցիա է, ուստի այն չունի ծայրահեղություններ։ Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

Դոմեն	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Արժեքների տիրույթ	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Միապաղաղ	միապաղաղ աճում է	միապաղաղ նվազում է
Զրոներ, y= 0	x= 1	x= 1
y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0	Ոչ	Ոչ
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Մասնավոր արժեքներ

Բազային 10 լոգարիթմը կոչվում է տասնորդական լոգարիթմև նշվում է այսպես.

բազային լոգարիթմ եկանչեց բնական լոգարիթմ:

Հիմնական լոգարիթմի բանաձևեր

Հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումից բխող լոգարիթմի հատկությունները.

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը և դրա հետևանքները

Հիմքի փոխարինման բանաձև

Լոգարիթմլոգարիթմը վերցնելու մաթեմատիկական գործողությունն է։ Լոգարիթմ վերցնելիս գործակիցների արտադրյալները վերածվում են տերմինների գումարների։

Հզորացումլոգարիթմի հակադարձ մաթեմատիկական գործողությունն է: Հզորացնելիս տվյալ հիմքը բարձրացվում է այն արտահայտության ուժի, որի վրա կատարվում է հզորացումը։ Այս դեպքում տերմինների գումարները վերածվում են գործոնների արտադրյալների:

Լոգարիթմների հիմնական բանաձևերի ապացույց

Լոգարիթմների հետ կապված բանաձևերը բխում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների բանաձևերից և հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումից։

Դիտարկենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը
.
Հետո
.
Կիրառել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունը
:
.

Եկեք ապացուցենք բազային փոփոխության բանաձևը.
;
.
Սահմանելով c = b , մենք ունենք.

Հակադարձ ֆունկցիա

Հիմքի փոխադարձ լոգարիթմն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիացուցիչով a.

Եթե, ապա

Եթե, ապա

Լոգարիթմի ածանցյալ

Լոգարիթմի մոդուլի ածանցյալ x .
.
n-րդ կարգի ածանցյալ.
.
Բանաձևերի ածանցում > > >

Լոգարիթմի ածանցյալը գտնելու համար այն պետք է հասցվի հիմքի ե.
;
.

Անբաժանելի

Լոգարիթմի ինտեգրալը հաշվարկվում է մասերով ինտեգրվելով.
Այսպիսով,

Արտահայտություններ կոմպլեքս թվերով

Դիտարկենք կոմպլեքս թվերի ֆունկցիան զ:
.
Էքսպրես համալիր համարը զմոդուլի միջոցով rև փաստարկ φ :
.
Այնուհետև, օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները, ունենք.
.
Կամ

Այնուամենայնիվ, փաստարկը φ հստակ սահմանված չէ. Եթե ​​դնենք
, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է,
ապա դա կլինի նույն թիվը տարբերի համար n.

Հետևաբար, լոգարիթմը, որպես բարդ փոփոխականի ֆունկցիա, միարժեք ֆունկցիա չէ։

Power շարքի ընդլայնում

Համար, ընդլայնումը տեղի է ունենում.

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.

Թվարկված հավասարությունները լոգարիթմներով արտահայտությունները փոխակերպելիս օգտագործվում են ինչպես աջից ձախ, այնպես էլ ձախից աջ։

Հարկ է նշել, որ անհրաժեշտ չէ անգիր անել հատկությունների հետևանքները. փոխակերպումներ կատարելիս կարող եք յոլա գնալ լոգարիթմների հիմնական հատկություններից և այլ փաստերից (օրինակ՝ b≥0-ի համար), որոնցից համապատասխան. հետևանքները. Այս մոտեցման «կողմնակի ազդեցությունը» միայն այն է, որ լուծումը մի փոքր ավելի երկար կլինի։ Օրինակ՝ առանց հետևանքի անելու համար, որն արտահայտվում է բանաձևով և ելնելով միայն լոգարիթմների հիմնական հատկություններից, դուք պետք է կատարեք հետևյալ ձևի փոխակերպումների շղթա. .

Նույնը կարելի է ասել վերը նշված ցանկից վերջին հատկության մասին, որը համապատասխանում է բանաձևին , քանի որ դա բխում է նաև լոգարիթմների հիմնական հատկություններից։ Հիմնական բանը հասկանալն այն է, որ ցուցիչում լոգարիթմ ունեցող դրական թվի աստիճանը միշտ էլ հնարավոր է փոխել աստիճանի հիմքը և թիվը լոգարիթմի նշանի տակ: Արդարության համար մենք նշում ենք, որ նման փոխակերպումների իրականացման օրինակները գործնականում հազվադեպ են: Ստորև մենք կտանք մի քանի օրինակ:

Թվային արտահայտությունների փոխակերպում լոգարիթմներով

Մենք հիշեցինք լոգարիթմների հատկությունները, այժմ ժամանակն է սովորել, թե ինչպես դրանք կիրառել գործնականում արտահայտությունները փոխակերպելու համար: Բնական է սկսել թվային արտահայտությունների, այլ ոչ թե փոփոխականներով արտահայտությունների փոխակերպումից, քանի որ դրանց վրա հիմունքները սովորելը ավելի հարմար և հեշտ է: Այսպիսով, մենք կանենք, և մենք կսկսենք շատից պարզ օրինակներսովորել, թե ինչպես ընտրել լոգարիթմի ցանկալի հատկությունը, բայց մենք աստիճանաբար կբարդացնենք օրինակները, մինչև այն պահը, երբ վերջնական արդյունք ստանալու համար անհրաժեշտ կլինի անընդմեջ մի քանի հատկություն կիրառել:

Ընտրելով լոգարիթմների ցանկալի հատկությունը

Լոգարիթմների հատկությունները այնքան էլ քիչ չեն, և պարզ է, որ պետք է կարողանալ դրանցից ընտրել համապատասխանը, ինչը կոնկրետ դեպքում կբերի ցանկալի արդյունքի։ Սովորաբար դա դժվար չէ անել՝ համեմատելով փոխարկվող լոգարիթմի կամ արտահայտության ձևը լոգարիթմների հատկություններն արտահայտող բանաձևերի ձախ և աջ մասերի տեսակների հետ։ Եթե ​​բանաձևերից մեկի ձախ կամ աջ կողմը համապատասխանում է տվյալ լոգարիթմին կամ արտահայտությանը, ապա, ամենայն հավանականությամբ, հենց այս հատկությունն է, որ պետք է օգտագործվի փոխակերպման ժամանակ։ Հետևյալ օրինակները հստակորեն ցույց են տալիս դա։

Սկսենք արտահայտությունների փոխակերպման օրինակներից՝ օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը, որը համապատասխանում է a log a b =b , a>0, a≠1, b>0 բանաձևին:

Օրինակ.

Հաշվեք, եթե հնարավոր է. ա) 5 լոգ 5 4 , բ) 10 լոգ (1+2 π) , գ) , դ) 2 log 2 (−7) , e) .

Լուծում.

Օրինակում a) տառը հստակ ցույց է տալիս a log a b կառուցվածքը, որտեղ a=5, b=4: Այս թվերը բավարարում են a>0, a≠1, b>0 պայմանները, այնպես որ կարող եք ապահով կերպով օգտագործել a log a b =b հավասարությունը: Մենք ունենք 5 լոգ 5 4=4:

բ) Այստեղ a=10 , b=1+2 π , a>0 , a≠1 , b>0 պայմանները կատարվում են: Այս դեպքում տեղի է ունենում 10 lg(1+2 π) =1+2 π հավասարությունը։

գ) Եվ այս օրինակում մենք գործ ունենք a log a b ձևի աստիճանի հետ, որտեղ և b=ln15: Այսպիսով .

Չնայած a log a b ձևին պատկանելուն (այստեղ a=2, b=−7), d տառի տակ արտահայտությունը չի կարող փոխարկվել a log a b =b բանաձևով։ Պատճառն այն է, որ դա իմաստ չունի, քանի որ այն պարունակում է բացասական թիվ լոգարիթմի նշանի տակ։ Ավելին, b=−7 թիվը չի բավարարում b>0 պայմանին, ինչը անհնարին է դարձնում a log a b =b բանաձևին դիմելը, քանի որ այն պահանջում է a>0, a≠1, b>0 պայմանները։ Այսպիսով, մենք չենք կարող խոսել 2 log 2 (−7) արժեքի հաշվարկման մասին: Այս դեպքում 2 log 2 (−7) = −7 գրելը սխալ կլինի։

Նմանապես, ե) տառի տակ գտնվող օրինակում հնարավոր չէ ձևի լուծում տալ , քանի որ բնօրինակ արտահայտությունը իմաստ չունի։

Պատասխան.

ա) 5 լոգ 5 4 =4 , բ) 10 լոգ (1+2 π) =1+2 π , գ) , դ), ե) արտահայտությունները իմաստ չունեն։

Հաճախ օգտակար է փոխակերպել դրական թիվը որպես որոշ դրական ոչ մեկ թվի ուժ՝ ցուցիչում լոգարիթմով: Այն հիմնված է a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 լոգարիթմի նույն սահմանման վրա, սակայն բանաձևը կիրառվում է աջից ձախ, այսինքն՝ b=a log a b ձևով: Օրինակ՝ 3=e ln3 կամ 5=5 log 5 5:

Եկեք անցնենք արտահայտությունների փոխակերպման համար լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմանը:

Օրինակ.

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ ա) log −2 1, բ) log 1 1, գ) log 0 1, դ) log 7 1, ե) ln1, զ) lg1, է) log 3,75 1, ը) log 5։ π 7 1 .

Լուծում.

ա), բ) և գ տառերի օրինակներում բերված են log −2 1, log 1 1, log 0 1 արտահայտությունները, որոնք իմաստ չունեն, քանի որ լոգարիթմի հիմքը չպետք է բացասական թիվ պարունակի. զրո կամ մեկ, քանի որ մենք լոգարիթմ ենք սահմանել միայն դրական և ոչ միավոր հիմքի համար։ Ուստի ա) - գ) օրինակներում խոսք չի կարող լինել արտահայտության արժեքը գտնելու մասին։

Մնացած բոլոր առաջադրանքներում, ակնհայտորեն, լոգարիթմների հիմքերում կան համապատասխանաբար 7, e, 10, 3.75 և 5 π 7 դրական և ոչ միավոր թվեր, իսկ միավորներն ամենուր լոգարիթմների նշանների տակ են։ Եվ մենք գիտենք միասնության լոգարիթմի հատկությունը՝ log a 1=0 ցանկացած a>0 , a≠1 : Այսպիսով, b) - f) արտահայտությունների արժեքները հավասար են զրոյի:

Պատասխան.

ա), բ), գ) արտահայտությունները իմաստ չունեն, դ) log 7 1=0, ե) ln1=0, զ) log1=0, է) log 3.75 1=0, ը) log 5 e 7 1 =0.

Օրինակ.

Հաշվեք՝ ա) , բ) lne , գ) lg10 , դ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), ե) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Լուծում.

Հասկանալի է, որ մենք պետք է օգտագործենք հիմքի լոգարիթմի հատկությունը, որը համապատասխանում է log a a=1 բանաձևին a>0, a≠1-ի համար: Իրոք, բոլոր տառերի տակ առաջադրանքներում լոգարիթմի նշանի տակ թիվը համընկնում է դրա հիմքի հետ: Այսպիսով, ուզում եմ անմիջապես ասել, որ տրված արտահայտություններից յուրաքանչյուրի արժեքը 1 է։ Այնուամենայնիվ, մի շտապեք եզրակացություններ անել. ա) - դ) տառերի տակ առաջադրանքներում արտահայտությունների արժեքները իսկապես հավասար են մեկին, իսկ առաջադրանքներում e) և զ) բնօրինակ արտահայտությունները իմաստ չունեն, ուստի չի կարող. ասենք, որ այս արտահայտությունների արժեքները հավասար են 1-ի:

Պատասխան.

ա) , բ) lne=1, գ) lg10=1, դ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, ե), զ) արտահայտությունները իմաստ չունեն։

Օրինակ.

Գտե՛ք արժեքը՝ ա) log 3 3 11 , բ) , գ) , դ) լոգ −10 (−10) 6.

Լուծում.

Ակնհայտ է, որ լոգարիթմների նշանների տակ գտնվում են հիմքի որոշ աստիճաններ: Ելնելով դրանից՝ մենք հասկանում ենք, որ հիմքի աստիճանի հատկությունն այստեղ օգտակար է. log a a p =p, որտեղ a>0, a≠1 և p ցանկացած իրական թիվ է: Հաշվի առնելով դա՝ մենք ունենք հետևյալ արդյունքները՝ ա) log 3 3 11 =11 , բ) , V) . Հնարավո՞ր է օրինակի համար նմանատիպ հավասարություն գրել log −10 (−10) 6 =6 ձևի դ) տառի տակ։ Ոչ, դուք չեք կարող, քանի որ log −10 (−10) 6-ն իմաստ չունի:

Պատասխան.

ա) մատյան 3 3 11 = 11, բ) , V) դ) արտահայտությունը իմաստ չունի.

Օրինակ.

Արտահայտությունն արտահայտեք նույն հիմքում լոգարիթմների գումարի կամ տարբերության տեսքով. ա) , բ) , գ) լոգ((−5) (−12)) .

Լուծում.

ա) Արտադրյալը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ, և մենք գիտենք արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Մեր դեպքում լոգարիթմի հիմքում թվերը և արտադրյալի թվերը դրական են, այսինքն՝ բավարարում են ընտրված հատկության պայմանները, հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով կիրառել այն. .

բ) Այստեղ մենք օգտագործում ենք քանորդի լոգարիթմի հատկությունը, որտեղ a>0, a≠1, x>0, y>0: Մեր դեպքում լոգարիթմի հիմքը դրական e թիվ է, π համարիչը և հայտարարը դրական են, ինչը նշանակում է, որ դրանք բավարարում են գույքի պայմանները, ուստի մենք իրավունք ունենք օգտագործել ընտրված բանաձևը. .

գ) Նախ նշենք, որ lg((−5) (−12)) արտահայտությունը իմաստ ունի։ Բայց միևնույն ժամանակ մենք իրավունք չունենք լոգարիթմի լոգարիթմի բանաձևը կիրառելու a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y>0. , քանի որ −5 և −12 թվերը բացասական են և չեն բավարարում x>0 , y>0 պայմանները։ Այսինքն, անհնար է իրականացնել նման վերափոխում. log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Բայց ի՞նչ անել։ Նման դեպքերում բնօրինակ արտահայտությունը պետք է նախապես փոխակերպվի բացասական թվերից խուսափելու համար: Մենք մանրամասն կխոսենք լոգարիթմի նշանի տակ բացասական թվերով արտահայտությունների փոխակերպման նմանատիպ դեպքերի մասին, սակայն առայժմ կտանք այս օրինակին, որը նախապես պարզ է և առանց բացատրության. lg((-5)(-12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Պատասխան.

Ա) , բ) , գ) lg((−5) (−12))=lg5+lg12.

Օրինակ.

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ ա) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, բ) .

Լուծում.

Այստեղ մեզ կօգնեն արտադրյալի լոգարիթմի բոլոր նույն հատկությունները և գործակիցի լոգարիթմը, որոնք մենք օգտագործել ենք նախորդ օրինակներում, միայն հիմա դրանք կկիրառենք աջից ձախ։ Այսինքն՝ մենք լոգարիթմների գումարը վերածում ենք արտադրյալի լոգարիթմի, իսկ լոգարիթմների տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմին։ Մենք ունենք
Ա) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
բ) .

Պատասխան.

Ա) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2, բ) .

Օրինակ.

Ազատվեք աստիճանից լոգարիթմի նշանի տակ՝ ա) լոգ 0,7 5 11, բ) , գ) լոգ 3 (−5) 6.

Լուծում.

Հեշտ է հասկանալ, որ մենք գործ ունենք այնպիսի արտահայտությունների հետ, ինչպիսին log a b p. Լոգարիթմի համապատասխան հատկությունն է log a b p =p log a b , որտեղ a>0 , a≠1 , b>0 , p ցանկացած իրական թիվ է։ Այսինքն՝ a>0, a≠1, b>0 log a b p աստիճանի լոգարիթմից կարող ենք գնալ p·log a b արտադրյալին: Այս փոխակերպումն իրականացնենք տրված արտահայտություններով.

ա) Այս դեպքում a=0.7, b=5 և p=11: Այսպիսով, log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5:

բ) Այստեղ կատարվում են a>0, a≠1, b>0 պայմանները: Ահա թե ինչու

գ) log 3 (−5) 6 արտահայտությունն ունի նույն կառուցվածքը log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 : Բայց b-ի համար b>0 պայմանը չի բավարարվում, ինչը անհնարին է դարձնում log a b p =p log a b բանաձևի կիրառումը: Ուրեմն ինչո՞ւ չեք կարողանում գործն ավարտել: Հնարավոր է, բայց պահանջվում է արտահայտության նախնական վերափոխում, որը մենք մանրամասն կքննարկենք ստորև՝ վերնագրի տակ գտնվող պարբերությունում: Լուծումը կլինի այսպիսին. log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Պատասխան.

ա) լոգ 0,7 5 11 = 11 լոգ 0,7 5,
բ)
գ) լոգ 3 (−5) 6 =6 լոգ 3 5:

Հաճախ փոխակերպումներ իրականացնելիս աստիճանի լոգարիթմի բանաձևը պետք է կիրառվի աջից ձախ p log a b \u003d log a b p ձևով (սա պահանջում է նույն պայմանները a, b և p-ի համար): Օրինակ՝ 3 ln5=ln5 3 և lg2 log 2 3=log 2 3 lg2:

Օրինակ.

ա) Հաշվե՛ք log 2 5-ի արժեքը, եթե հայտնի է, որ lg2≈0.3010 և lg5≈0.6990. բ) Կոտորակը որպես լոգարիթմ գրի՛ր 3-ի հիմքում:

Լուծում.

ա) Լոգարիթմի նոր հիմքի անցնելու բանաձևը թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել այս լոգարիթմը որպես հարաբերակցություն. տասնորդական լոգարիթմներ, որոնց արժեքները մեզ հայտնի են. Մնում է միայն հաշվարկներն իրականացնել, ունենք .

բ) Այստեղ բավական է օգտագործել նոր բազայի անցնելու բանաձևը և կիրառել այն աջից ձախ, այսինքն՝ ձևով. . Մենք ստանում ենք .

Պատասխան.

ա) log 2 5≈2.3223, բ) .

Այս փուլում մենք բավականին մանրակրկիտ դիտարկել ենք ամենապարզ արտահայտությունների փոխակերպումը` օգտագործելով լոգարիթմների հիմնական հատկությունները և լոգարիթմի սահմանումը: Այս օրինակներում մենք պետք է օգտագործեինք մեկ գույք և ուրիշ ոչինչ: Այժմ, մաքուր խղճով, կարող եք անցնել օրինակներին, որոնց փոխակերպումը պահանջում է լոգարիթմների մի քանի հատկությունների և այլ լրացուցիչ փոխակերպումների օգտագործում: Դրանցով կզբաղվենք հաջորդ պարբերությունում։ Բայց մինչ այդ հակիրճ անդրադառնանք լոգարիթմների հիմնական հատկություններից հետևանքների կիրառման օրինակներին։

Օրինակ.

ա) Ազատվել արմատից լոգարիթմի նշանի տակ. բ) Կոտորակը դարձրեք 5 հիմքի լոգարիթմի: գ) Ազատվեք լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում գտնվող հզորություններից: դ) Հաշվիր արտահայտության արժեքը . ե) արտահայտությունը փոխարինի՛ր 3 հիմքով հզորությամբ։

Լուծում.

ա) Եթե հետևանքը հիշենք աստիճանի լոգարիթմի հատկությունից , ապա անմիջապես կարող եք պատասխանել. .

բ) Այստեղ մենք օգտագործում ենք բանաձևը աջից ձախ ունենք .

գ) Այս դեպքում բանաձեւը հանգեցնում է արդյունքի . Մենք ստանում ենք .

դ) Եվ այստեղ բավական է կիրառել այն եզրակացությունը, որին համապատասխանում է բանաձեւը . Այսպիսով .

ե) Լոգարիթմի հատկությունը թույլ է տալիս մեզ հասնել ցանկալի արդյունքի. .

Պատասխան.

Ա) . բ) . V) . է) . ե) .

Հետևողականորեն կիրառելով բազմաթիվ հատկություններ

Լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունների փոխակերպման իրական առաջադրանքները սովորաբար ավելի բարդ են, քան նախորդ պարբերությունում քննարկվածները: Դրանցում, որպես կանոն, արդյունքը չի ստացվում մեկ քայլով, այլ լուծումն արդեն իսկ բաղկացած է գույքի հաջորդական կիրառումից մյուսի հետևից՝ լրացուցիչ նույնական փոխակերպումների հետ միասին, ինչպիսիք են փակագծերը բացելը, նման տերմինների կրճատումը, կոտորակների կրճատումը և այլն։ . Այսպիսով, եկեք ավելի մոտենանք նման օրինակներին: Սրանում ոչ մի բարդ բան չկա, գլխավորը զգույշ և հետևողական գործելն է՝ պահպանելով գործողությունների կատարման հերթականությունը։

Օրինակ.

Հաշվիր արտահայտության արժեքը (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Լուծում.

Փակագծերում գտնվող լոգարիթմների տարբերությունը քանորդի լոգարիթմի հատկությամբ կարելի է փոխարինել լոգարիթմի log 3-ով (15:5), այնուհետև հաշվարկել դրա արժեքը log 3 (15:5)=log 3 3=1: Իսկ 7 log 7 5 արտահայտության արժեքը լոգարիթմի սահմանմամբ 5 է։ Այս արդյունքները փոխարինելով սկզբնական արտահայտությամբ՝ ստանում ենք (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Ահա մի լուծում առանց բացատրության.
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Պատասխան.

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Օրինակ.

Որքա՞ն է log 3 log 2 2 3 −1 թվային արտահայտության արժեքը:

Լուծում.

Նախ փոխակերպենք լոգարիթմը, որը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ, ըստ աստիճանի լոգարիթմի բանաձևի՝ log 2 2 3 =3։ Այսպիսով, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 և ապա log 3 3=1: Այսպիսով, log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0:

Պատասխան.

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Օրինակ.

Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Լուծում.

Լոգարիթմի նոր հիմքի վերածելու բանաձևը թույլ է տալիս լոգարիթմների և մեկ հիմքի հարաբերակցությունը ներկայացնել որպես log 3 5: Այս դեպքում բնօրինակ արտահայտությունը կունենա . Լոգարիթմի սահմանմամբ 3 log 3 5 =5 , այսինքն , և ստացված արտահայտության արժեքը, լոգարիթմի նույն սահմանման ուժով, հավասար է երկուսի։

Այստեղ կարճ տարբերակլուծում, որը սովորաբար տրվում է. .

Պատասխան.

.

Հաջորդ պարբերության տեղեկատվությանը սահուն անցնելու համար եկեք նայենք 5 2+log 5 3 և lg0.01 արտահայտություններին: Նրանց կառուցվածքը չի համապատասխանում լոգարիթմների ոչ մի հատկության։ Այսպիսով, ի՞նչ է տեղի ունենում, եթե դրանք չեն կարող փոխակերպվել՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները: Դա հնարավոր է, եթե իրականացնեք նախնական փոխակերպումներ, որոնք պատրաստում են այս արտահայտությունները լոգարիթմների հատկությունները կիրառելու համար: Այսպիսով 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, և lg0,01=lg10 −2 = −2: Այնուհետև մենք մանրամասն կհասկանանք, թե ինչպես է իրականացվում արտահայտությունների նման պատրաստումը։

Արտահայտությունների պատրաստում լոգարիթմների հատկությունները կիրառելու համար

Փոխակերպված արտահայտության մեջ լոգարիթմները շատ հաճախ նշումների կառուցվածքով տարբերվում են բանաձևերի ձախ և աջ մասերից, որոնք համապատասխանում են լոգարիթմների հատկություններին: Բայց նույնքան հաճախ, այս արտահայտությունների փոխակերպումը ներառում է լոգարիթմների հատկությունների օգտագործումը. դրանց օգտագործումը միայն նախնական նախապատրաստություն է պահանջում: Եվ այս պատրաստումը բաղկացած է որոշակի նույնական փոխակերպումներ իրականացնելուց, որոնք լոգարիթմները բերում են հատկությունների կիրառման համար հարմար ձևի:

Արդարության համար մենք նշում ենք, որ արտահայտությունների գրեթե ցանկացած փոխակերպում կարող է հանդես գալ որպես նախնական փոխակերպումներ՝ սկսած նմանատիպ տերմինների սովորական կրճատումից մինչև եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործումը: Սա հասկանալի է, քանի որ փոխարկված արտահայտությունները կարող են պարունակել ցանկացած մաթեմատիկական օբյեկտ՝ փակագծեր, մոդուլներ, կոտորակներ, արմատներ, աստիճաններ և այլն։ Այսպիսով, պետք է պատրաստ լինել կատարել ցանկացած անհրաժեշտ փոխակերպում, որպեսզի հետագայում օգտվենք լոգարիթմների հատկություններից:

Անմիջապես ասենք, որ այս պարբերությունում մենք մեզ խնդիր չենք դնում դասակարգել և վերլուծել բոլոր հնարավոր նախնական փոխակերպումները, որոնք թույլ են տալիս մեզ ապագայում կիրառել լոգարիթմների հատկությունները կամ լոգարիթմի սահմանումը: Այստեղ մենք կկենտրոնանանք դրանցից միայն չորսի վրա, որոնք ամենաբնորոշն են և առավել հաճախ հանդիպող գործնականում:

Իսկ հիմա դրանցից յուրաքանչյուրի մասին մանրամասն, որից հետո մեր թեմայի շրջանակներում մնում է միայն զբաղվել լոգարիթմների նշանների տակ փոփոխականներով արտահայտությունների փոխակերպմամբ։

Հզորությունների ընտրություն լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում

Անմիջապես սկսենք օրինակով. Եկեք ունենանք լոգարիթմ. Ակնհայտ է, որ այս ձևով նրա կառուցվածքը չի նպաստում լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմանը: Հնարավո՞ր է ինչ-որ կերպ փոխակերպել այս արտահայտությունը՝ այն պարզեցնելու կամ նույնիսկ ավելի լավ հաշվարկելու համար դրա արժեքը: Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք ավելի մոտիկից նայենք 81 և 1/9 թվերին մեր օրինակի համատեքստում: Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ այս թվերը կարող են ներկայացվել որպես 3-ի, իսկապես, 81=3 4 և 1/9=3 −2 աստիճանի: Այս դեպքում սկզբնական լոգարիթմը ներկայացվում է ձևով և հնարավոր է դառնում կիրառել բանաձևը . Այսպիսով, .

Վերլուծված օրինակի վերլուծությունից առաջանում է հետևյալ միտքը. հնարավորության դեպքում կարող եք փորձել ընդգծել աստիճանը լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում՝ աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը կամ դրա հետևանքը կիրառելու համար։ Մնում է միայն պարզել, թե ինչպես կարելի է առանձնացնել այս աստիճանները։ Այս հարցում մենք մի քանի առաջարկություններ կտանք։

Երբեմն միանգամայն ակնհայտ է, որ լոգարիթմի նշանի տակ և/կամ դրա հիմքում գտնվող թիվը ներկայացնում է որոշակի ամբողջ հզորություն, ինչպես վերը քննարկված օրինակում: Գրեթե անընդհատ դուք պետք է գործ ունենաք երկու ուժերի հետ, որոնք լավ ծանոթ են՝ 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8. , 512= 2 9 , 1024=2 10 ։ Նույնը կարելի է ասել եռյակի աստիճանների մասին՝ 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Ընդհանրապես չի վնասում, եթե կա. աստիճանի աղյուսակ բնական թվեր տասի ընթացքում։ Դժվար չէ նաև աշխատել տասը, հարյուր, հազար և այլն ամբողջ հզորություններով։

Օրինակ.

Հաշվիր արժեքը կամ պարզեցրու արտահայտությունը՝ ա) log 6 216 , բ) , գ) log 0,000001 0,001 .

Լուծում.

ա) Ակնհայտորեն, 216=6 3, ուրեմն log 6 216=log 6 6 3 =3:

բ) Բնական թվերի հզորությունների աղյուսակը թույլ է տալիս 343 և 1/243 թվերը ներկայացնել որպես համապատասխանաբար 7 3 և 3 −4 թվերի ուժեր։ Հետևաբար, հնարավոր է տվյալ լոգարիթմի հետևյալ փոխակերպումը.

գ) Քանի որ 0,000001=10 −6 և 0,001=10 −3, ապա log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Պատասխան.

ա) լոգ 6 216=3, բ) , գ) լոգ 0.000001 0.001=1/2.

Ավելի շատ դժվար դեպքերթվերի ուժերն ընդգծելու համար պետք է դիմել.

Օրինակ.

Արտահայտությունը փոխեք ավելի պարզ ձևի log 3 648 log 2 3:

Լուծում.

Տեսնենք, թե որն է 648 թվի տարրալուծումը պարզ գործոնների.

Այսինքն՝ 648=2 3 3 4: Այսպիսով, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Այժմ արտադրյալի լոգարիթմը վերածում ենք լոգարիթմների գումարի, որից հետո կիրառում ենք աստիճանի լոգարիթմի հատկությունները.
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Աստիճանի լոգարիթմի հատկության հետևանքի ուժով, որը համապատասխանում է բանաձևին. , log32 log23 արտադրյալը արտադրյալն է, և հայտնի է, որ այն հավասար է մեկի։ Սա հաշվի առնելով՝ մենք ստանում ենք 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Պատասխան.

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Շատ հաճախ լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում արտահայտությունները որոշ թվերի արմատների և/կամ հզորությունների արտադրյալներ կամ հարաբերակցություններ են, օրինակ՝ , . Նմանատիպ արտահայտությունները կարող են ներկայացվել որպես աստիճան: Դրա համար իրականացվում է արմատներից աստիճանների անցում, և կիրառվում են: Այս փոխակերպումները թույլ են տալիս ընտրել աստիճանները լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում, այնուհետև կիրառել լոգարիթմի հատկությունները։

Օրինակ.

Հաշվիր՝ ա) , բ).

Լուծում.

ա) Լոգարիթմի հիմքում արտահայտված արտահայտությունը նույն հիմքերով հզորությունների արտադրյալն է՝ մեր ունեցած հզորությունների համապատասխան հատկությամբ. 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Այժմ փոխարկենք կոտորակը լոգարիթմի նշանի տակ՝ արմատից անցնենք աստիճանի, որից հետո կօգտագործենք աստիճանների հարաբերակցության հատկությունը նույն հիմքերով. .

Մնում է ստացված արդյունքները փոխարինել սկզբնական արտահայտությամբ, օգտագործել բանաձևը և ավարտիր վերափոխումը.

բ) Քանի որ 729=3 6, և 1/9=3 −2, սկզբնական արտահայտությունը կարող է վերագրվել որպես .

Այնուհետև կիրառեք ցուցիչի արմատի հատկությունը, արմատից շարժվեք դեպի աստիճան և օգտագործեք հզորությունների հարաբերակցության հատկությունը՝ լոգարիթմի հիմքը հզորության փոխարկելու համար. .

Հաշվի առնելով վերջին արդյունքը՝ ունենք .

Պատասխան.

Ա) , բ).

Հասկանալի է, որ ընդհանուր դեպքում լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում հզորություններ ստանալու համար կարող են պահանջվել տարբեր արտահայտությունների տարբեր փոխակերպումներ։ Բերենք մի երկու օրինակ։

Օրինակ.

Ո՞րն է արտահայտության արժեքը. ա) , բ) .

Լուծում.

Այնուհետև նշում ենք, որ տրված արտահայտությունն ունի log A B p ձևը, որտեղ A=2, B=x+1 և p=4: Մենք վերափոխեցինք այս տեսակի թվային արտահայտությունները ըստ աստիճանի log a b p \u003d p log a b աստիճանի լոգարիթմի հատկության, հետևաբար, տրված արտահայտությամբ ես ուզում եմ անել նույնը և գնալ log 2-ից (x + 1) 4: դեպի 4 log 2 (x + 1) . Իսկ հիմա հաշվարկենք սկզբնական արտահայտության արժեքը և փոխակերպումից հետո ստացված արտահայտությունը, օրինակ, x=−2-ով։ Մենք ունենք log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , և 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- անիմաստ արտահայտություն. Սա օրինաչափ հարց է առաջացնում. «Ի՞նչ ենք մենք սխալ արել»:

Իսկ պատճառը հետևյալն է՝ մենք կատարել ենք փոխակերպման log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) log a b p =p log a b բանաձևը, բայց. այս բանաձեւըմենք իրավունք ունենք կիրառելու միայն a>0, a≠1, b>0, p՝ ցանկացած իրական թիվ: Այսինքն՝ մեր կատարած փոխակերպումը տեղի է ունենում, եթե x+1>0 , որը նույնն է x>−1 (A-ի և p-ի համար պայմանները բավարարված են): Այնուամենայնիվ, մեր դեպքում, սկզբնական արտահայտության համար x փոփոխականի ODZ-ը բաղկացած է ոչ միայն x> −1 միջակայքից, այլ նաև x միջակայքից։<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ՕՁՀ-ն հաշվի առնելու անհրաժեշտությունը

Շարունակենք վերլուծել մեր ընտրած log 2 (x+1) 4 արտահայտության փոխակերպումը, իսկ հիմա տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում ODZ-ի հետ 4 log 2 (x+1) արտահայտությանն անցնելիս: Նախորդ պարբերությունում մենք գտանք սկզբնական արտահայտության ODZ - սա բազմությունն է (−∞, −1)∪(−1, +∞) ։ Այժմ եկեք գտնենք x փոփոխականի ընդունելի արժեքների տարածքը 4 log 2 (x+1) արտահայտության համար: Այն որոշվում է x+1>0 պայմանով, որը համապատասխանում է (−1, +∞) բազմությանը։ Ակնհայտ է, որ log 2 (x+1) 4-ից 4·log 2 (x+1) անցնելիս թույլատրելի արժեքների շրջանակը նեղանում է։ Եվ մենք պայմանավորվեցինք խուսափել բարեփոխումներից, որոնք հանգեցնում են ՕԶՀ-ի նեղացմանը, քանի որ դա կարող է հանգեցնել տարբեր բացասական հետեւանքների:

Այստեղ արժե ինքներդ նշել, որ օգտակար է վերահսկել ODZ-ը փոխակերպման յուրաքանչյուր քայլում և թույլ չտալ, որ այն նեղանա: Եվ եթե հանկարծ փոխակերպման ինչ-որ փուլում ՕՁ-ի նեղացում եղավ, ապա արժե շատ ուշադիր նայել, թե արդյոք այդ փոխակերպումը թույլատրելի է, և արդյոք մենք իրավունք ունեինք այն իրականացնելու։

Արդարության համար մենք ասում ենք, որ գործնականում մենք սովորաբար պետք է աշխատենք արտահայտությունների հետ, որոնցում փոփոխականների ODZ-ն այնպիսին է, որ թույլ է տալիս օգտագործել լոգարիթմների հատկությունները առանց սահմանափակումների մեզ արդեն հայտնի ձևով, ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ՝ աջից ձախ՝ փոխակերպումներ կատարելիս։ Դուք արագ ընտելանում եք դրան, և սկսում եք մեխանիկորեն իրականացնել փոխակերպումները՝ չմտածելով, թե արդյոք հնարավոր էր դրանք իրականացնել։ Եվ նման պահերին, ինչպես բախտը բերեց, սայթաքում են ավելի բարդ օրինակներ, որոնցում լոգարիթմների հատկությունների ոչ ճշգրիտ կիրառումը հանգեցնում է սխալների։ Այսպիսով, դուք պետք է միշտ զգոն լինեք և համոզվեք, որ ODZ-ի նեղացում չկա:

Չի խանգարում առանձին ընդգծել հիմնական փոխակերպումները, որոնք հիմնված են լոգարիթմների հատկությունների վրա, որոնք պետք է իրականացվեն շատ ուշադիր, ինչը կարող է հանգեցնել DPV-ի նեղացման, և արդյունքում՝ սխալների.

Արտահայտությունների որոշ փոխակերպումներ՝ ըստ լոգարիթմների հատկությունների, կարող են հանգեցնել նաև հակառակի՝ ODZ-ի ընդլայնմանը։ Օրինակ, 4 log 2-ից (x+1) անցնելով log 2 (x+1) 4, ODZ-ը (−1, +∞) բազմությունից երկարացնում է մինչև (−∞, −1)∪(−1, +∞): ) . Նման փոխակերպումները տեղի են ունենում, եթե դուք մնում եք ODZ-ի սահմաններում սկզբնական արտահայտության համար: Այսպիսով, վերափոխումը հենց նոր նշված 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 տեղի է ունենում ODZ փոփոխականի վրա՝ 4 log 2 (x+1) սկզբնական արտահայտության համար, այսինքն, երբ x+1> 0, որը նույնն է, ինչ (−1, +∞) .

Այժմ, երբ մենք քննարկեցինք այն նրբությունները, որոնց վրա պետք է ուշադրություն դարձնեք լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունները փոփոխականներով փոխակերպելիս, մնում է պարզել, թե ինչպես պետք է այդ փոխարկումները ճիշտ իրականացվեն:

X+2>0. Արդյո՞ք դա աշխատում է մեր դեպքում: Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք նայենք x փոփոխականի DPV-ին: Այն որոշվում է անհավասարությունների համակարգով , որը համարժեք է x+2>0 պայմանին (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը անհավասարությունների համակարգերի լուծում) Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով կիրառել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը։

Մենք ունենք
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Դուք կարող եք այլ կերպ վարվել, քանի որ ODZ-ն թույլ է տալիս դա անել, օրինակ այսպես.

Պատասխան.

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Իսկ ի՞նչ անել, երբ ODZ-ում լոգարիթմների հատկությունների հետ կապված պայմանները չեն պահպանվում: Սրա հետ կզբաղվենք օրինակներով։

Եկեք մեզանից պահանջենք պարզեցնել lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 արտահայտությունը: Այս արտահայտության փոխակերպումը, ի տարբերություն նախորդ օրինակի արտահայտության, թույլ չի տալիս ազատորեն օգտագործել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը։ Ինչո՞ւ։ x փոփոխականի ODZ-ն այս դեպքում x>−2 և x երկու ինտերվալների միավորումն է<−2 . При x>−2 մենք կարող ենք ապահով կերպով կիրառել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը և շարունակել այնպես, ինչպես վերը նշված օրինակում. log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Բայց ODZ-ը պարունակում է մեկ այլ միջակայք x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2և հետագայում, lg|x+2|-ի հզորության հատկությունների շնորհիվ 4−lg|x+2| 2. Ստացված արտահայտությունը կարող է փոխակերպվել ըստ աստիճանի լոգարիթմի հատկության, քանի որ փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար |x+2|>0: Մենք ունենք տեղեկամատյան|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 լոգ|x+2|−2 լոգ|x+2|=2 լոգ|x+2|. Այժմ դուք կարող եք ազատվել մոդուլից, քանի որ այն կատարել է իր գործը: Քանի որ մենք փոխակերպվում ենք x+2-ով<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ՝ մոդուլների հետ աշխատանքը ծանոթ դարձնելու համար: Եկեք պատկերացնենք արտահայտությունից անցնել x−1 , x−2 և x−3 գծային երկանդամների լոգարիթմների գումարին և տարբերությանը։ Նախ մենք գտնում ենք ODZ-ը.

(3, +∞) ինտերվալի վրա x−1, x−2 և x−3 արտահայտությունների արժեքները դրական են, ուստի մենք կարող ենք ապահով կերպով կիրառել գումարի և տարբերության լոգարիթմի հատկությունները.

Իսկ (1, 2) միջակայքում x−1 արտահայտության արժեքները դրական են, իսկ x−2 և x−3 արտահայտությունների արժեքները՝ բացասական։ Հետևաբար, դիտարկվող միջակայքում մենք ներկայացնում ենք x−2 և x−3 մոդուլը՝ օգտագործելով −|x−2| եւ −|x−3| համապատասխանաբար. Որտեղ

Այժմ մենք կարող ենք կիրառել արտադրյալի լոգարիթմի և գործակիցի հատկությունները, քանի որ դիտարկված միջակայքում (1, 2) նշվում են x−1 , |x−2| արտահայտությունների արժեքները։ եւ |x−3| - դրական.

Մենք ունենք

Ստացված արդյունքները կարելի է համատեղել.

Ընդհանուր առմամբ, նմանատիպ հիմնավորումը թույլ է տալիս, հիմնվելով արտադրանքի լոգարիթմի, հարաբերակցության և աստիճանի բանաձևերի վրա, ստանալ երեք գործնականորեն օգտակար արդյունք, որոնք բավականին հարմար են օգտագործման համար.

• Logar a (X·Y) ձևի X և Y երկու կամայական արտահայտությունների արտադրյալի լոգարիթմը կարելի է փոխարինել log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Հատուկ լոգարիթմի log a (X:Y) կարելի է փոխարինել լոգարիթմների տարբերությամբ log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X և Y կամայական արտահայտություններ են:
• Որոշ B արտահայտության լոգարիթմից մինչև նույնիսկ աստիճան log a B p ձևի p կարող ենք անցնել p log a |B| արտահայտությանը , որտեղ a>0, a≠1, p զույգ թիվ է, իսկ B-ն կամայական արտահայտություն է:

Նմանատիպ արդյունքներ են տրվում, օրինակ, բուհերի դիմորդների համար մաթեմատիկայի խնդիրների հավաքածուում էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումների լուծման հրահանգներում, որը խմբագրվել է M. I. Skanavi-ի կողմից:

Օրինակ.

Պարզեցրեք արտահայտությունը .

Լուծում.

Լավ կլինի կիրառել աստիճանի, գումարի և տարբերության լոգարիթմի հատկությունները։ Բայց կարո՞ղ ենք դա անել այստեղ: Այս հարցին պատասխանելու համար մենք պետք է իմանանք ODZ-ին:

Եկեք սահմանենք այն.

Ակնհայտ է, որ x+4, x−2 և (x+4) 13 արտահայտությունները x փոփոխականի հնարավոր արժեքների տիրույթում կարող են ընդունել և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ: Հետեւաբար, մենք ստիպված կլինենք աշխատել մոդուլների միջոցով:

Մոդուլի հատկությունները թույլ են տալիս վերաշարադրել ինչպես, այնպես

Բացի այդ, ոչինչ չի խանգարում ձեզ օգտագործել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը, այնուհետև բերել նման տերմիններ.

Փոխակերպումների մեկ այլ հաջորդականություն հանգեցնում է նույն արդյունքին.

և քանի որ x−2 արտահայտությունը կարող է ընդունել և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ ODZ-ի վրա, երբ վերցնում ենք զույգ ցուցիչ 14: