Եռանկյունը (Էվկլիդեսի տարածության տեսանկյունից) այդպիսին է երկրաչափական պատկեր, որը ձևավորվում է երեք հատվածներով, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա: Երեք կետերը, որոնք կազմում են եռանկյուն, կոչվում են նրա գագաթներ, իսկ գագաթները միացնող ուղիղ հատվածները՝ եռանկյան կողմեր։ Ի՞նչ են եռանկյունները:

Հավասար եռանկյուններ

Եռանկյունների հավասարության երեք նշան կա. Ո՞ր եռանկյուններն են կոչվում հավասար: Սրանք նրանք են, ովքեր.

• երկու կողմերը և այս կողմերի միջև անկյունը հավասար են.
• մի կողմը և դրան հարող երկու անկյունները հավասար են.
• բոլոր երեք կողմերը հավասար են:

ժամը ուղղանկյուն եռանկյուններկան հավասարության հետևյալ նշանները.

• սուր անկյան և հիպոթենուսի երկայնքով;
• սուր անկյան և ոտքի երկայնքով;
• երկու ոտքերի վրա;
• հիպոթենուսի և կաթետուսի երկայնքով:

Ինչ են եռանկյունները

Ըստ հավասար կողմերի քանակի՝ եռանկյունը կարող է լինել.

• Հավասարակողմ. Այն երեք հավասար կողմերով եռանկյունի է։ Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները 60 աստիճան են: Բացի այդ, շրջագծված և մակագրված շրջանների կենտրոնները համընկնում են:
• Միակողմանի. Եռանկյուն, առանց հավասար կողմերի:
• Isosceles. Այն երկու հավասար կողմերով եռանկյունի է։ Երկու նույնական կողմերը կողմերն են, իսկ երրորդ կողմը հիմքն է: Նման եռանկյունու մեջ կիսանկյունը, միջինը և բարձրությունը համընկնում են, եթե դրանք իջեցված են հիմքի վրա:

Ըստ անկյունների մեծության՝ եռանկյունը կարող է լինել.

1. Բութ - երբ անկյուններից մեկն ունի 90 աստիճանից ավելի արժեք, այսինքն՝ երբ այն բութ է:
2. Սուր անկյունային - եթե եռանկյան բոլոր երեք անկյունները սուր են, այսինքն, ունեն 90 աստիճանից պակաս արժեք:
3. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն եռանկյուն: Սա մեկն է, որն ունի մեկ ուղիղ անկյուն, որը հավասար է 90 աստիճանի: Նրա մեջ գտնվող ոտքերը կկոչվեն այս անկյունը կազմող երկու կողմերը, իսկ հիպոթենուսը հակառակն է Աջ անկյունըկողմը.

Եռանկյունների հիմնական հատկությունները

1. Ավելի փոքր անկյունը միշտ գտնվում է փոքր կողմի հակառակ կողմում, իսկ ավելի մեծ անկյունը միշտ գտնվում է ավելի մեծ կողմի դիմաց:
2. Հավասար անկյունները միշտ գտնվում են հավասար կողմերի հակառակ կողմերում, իսկ հակառակ կողմերը՝ միշտ տարբեր անկյուններ. Մասնավորապես, հավասարակողմ եռանկյունում բոլոր անկյուններն ունեն նույն արժեքը։
3. Ցանկացած եռանկյունում անկյունների գումարը 180 աստիճան է։
4. Արտաքին անկյուն կարելի է ձեռք բերել՝ նրա կողմերից մեկը եռանկյունի երկարացնելով։ Արտաքին անկյան արժեքը հավասար կլինի դրան ոչ հարակից ներքին անկյունների գումարին։
5. Եռանկյան կողմն ավելի մեծ է, քան նրա մյուս երկու կողմերի տարբերությունը, բայց փոքր է նրանց գումարից։

Լոբաչևսկու տարածական երկրաչափության մեջ եռանկյան անկյունների գումարը միշտ կլինի 180 աստիճանից պակաս։ Գնդի վրա այս արժեքը 180 աստիճանից մեծ է։ 180 աստիճանի և եռանկյան անկյունների գումարի տարբերությունը կոչվում է թերություն։

Առաջադրանքներ.

1. Աշակերտներին ծանոթացնել տարբեր տեսակի եռանկյունների հետ՝ կախված անկյունների տեսակից (ուղղանկյուն, սուր-անկյուն, բութ-անկյուն): Սովորեք գծագրերում գտնել եռանկյուններ և դրանց տեսակները: Ուղղել հիմնական երկրաչափական հասկացությունները և դրանց հատկությունները` ուղիղ գիծ, ​​հատված, ճառագայթ, անկյուն:

2. Մտածողության, երեւակայության, մաթեմատիկական խոսքի զարգացում.

3. Ուշադրության, գործունեության դաստիարակություն.

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Ինչքա՞ն է մեզ պետք տղերք:
Մեր հմուտ ձեռքերի համար.
Նկարեք երկու քառակուսի
Եվ նրանք ունեն մեծ շրջանակ:
Եվ հետո ևս մի քանի շրջանակ
Եռանկյունի գլխարկ:
Այսպիսով, դուրս եկավ շատ, շատ
Կենսուրախ տարօրինակ:

II. Դասի թեմայի հայտարարություն.

Այսօր դասին մենք ճամփորդություն կկատարենք Երկրաչափություն քաղաքում և կայցելենք Եռանկյունների միկրոշրջան (այսինքն՝ կծանոթանանք եռանկյունների տարբեր տեսակներին՝ կախված դրանց անկյուններից, կսովորենք գտնել այդ եռանկյունները գծագրերում։) հրամաններով դաս կանցկացնի «մրցութային խաղի» տեսքով.

1 թիմ - «Սեգմենտ»:

2 թիմ՝ «Ռեյ».

Թիմ 3 - «Անկյուն».

Իսկ հյուրերը կներկայացնեն ժյուրին։

Ժյուրին մեզ կուղեկցի ճանապարհին

Եվ առանց ուշադրության չի թողնի: (Գնահատե՛ք 5,4,3,... կետերով):

Իսկ ինչի՞ վրա ենք շրջելու Երկրաչափություն քաղաքում։ Հիշեք, թե ինչ տեսակի ուղևորափոխադրումներ կան քաղաքում: Մենք այնքան շատ ենք, ո՞ր մեկն ընտրենք։ (Ավտոբուս):

Ավտոբուս. Պարզ, հակիրճ. Սկսվում է գիշերօթիկը։

Եկեք հարմարավետ լինենք և սկսենք մեր ճանապարհորդությունը: Թիմերի ավագները տոմսեր են ստանում:

Բայց այս տոմսերը հեշտ չեն, իսկ տոմսերը «խնդիրներ» են։

III. Ծածկված նյութի կրկնություն:

Առաջին կանգառ«Կրկնել».

Հարց բոլոր թիմերին.

Գտի՛ր գծագրում ուղիղ գիծ և անվանի՛ր դրա հատկությունները:

Առանց ծայրի և եզրի, գիծը ուղիղ է:
Դրանով անցնում է առնվազն հարյուր տարի,
Դուք չեք գտնի ճանապարհի վերջը:

• Ուղիղ գիծը չունի ոչ սկիզբ, ոչ վերջ, այն անսահման է, ուստի այն չի կարող չափվել:

Եկեք սկսենք մեր մրցույթը:

Պաշտպանեք ձեր թիմի անունները:

(Բոլոր թիմերը կարդում են առաջին հարցերը և քննարկում: Իր հերթին թիմի ավագները ընթերցում են հարցերը, 1 թիմը կարդում է 1 հարց):

1. Գծագրում ցույց տվեք հատված: Այն, ինչ կոչվում է կտրվածք: Անվանեք դրա հատկությունները:

• Ուղիղ գծի երկու կետով սահմանափակված մասը կոչվում է ուղիղ հատված։ Գծի հատվածն ունի սկիզբ և վերջ, ուստի այն կարելի է չափել քանոնով:

(Թիմ 2-ը կարդում է 1 հարց):

1. Ցույց տալ ճառագայթը գծագրում: Այն, ինչ կոչվում է ճառագայթ: Անվանեք դրա հատկությունները:

• Եթե ​​նշեք կետը և դրանից ուղիղ գծի մի մասը գծեք, ստացվում է ճառագայթի պատկեր։ Այն կետը, որտեղից գծված է գծի մի մասը, կոչվում է ճառագայթի սկիզբ։

Ճառագայթը վերջ չունի, ուստի այն չի կարող չափվել:

(3-րդ թիմը կարդում է 1 հարց):

1. Ցույց տվեք գծագրի անկյունը: Այն, ինչ կոչվում է անկյուն: Անվանեք դրա հատկությունները:

• Մեկ կետից երկու ճառագայթ գծելով՝ ստացվում է երկրաչափական պատկեր, որը կոչվում է անկյուն։ Անկյունն ունի գագաթ, իսկ ճառագայթներն իրենք կոչվում են անկյան կողմեր: Անկյունները չափվում են աստիճաններով՝ օգտագործելով անկյունաչափ:

Ֆիզկուլտմինուտկա (երաժշտության ներքո):

IV. Պատրաստվում է ուսումնասիրել նոր նյութ.

Երկրորդ կանգառ«Հիասքանչ».

Զբոսանքի ժամանակ Մատիտը հանդիպեց տարբեր անկյունների: Ես ուզում էի բարևել նրանց, բայց մոռացա նրանցից յուրաքանչյուրի անունը։ Մատիտը ստիպված կլինի օգնել:

(Ուսումնասիրության անկյունները ստուգվում են՝ օգտագործելով ուղիղ անկյան մոդելը):

Հանձնարարություն թիմերին. Կարդացեք թիվ 2 հարցերը և քննարկեք:

1-ին թիմը կարդում է 2-րդ հարցը:

2. Գտիր ուղիղ անկյուն, տուր սահմանում:

• 90° անկյունը կոչվում է ուղիղ անկյուն։

2-րդ թիմը կարդում է 2-րդ հարցը:

2. Գտեք սուր անկյունտալ սահմանում.

• Ուղղանկյունից փոքր անկյունը կոչվում է սուր անկյուն:

3-րդ թիմը կարդում է 2-րդ հարցը:

2. Գտիր բութ անկյուն, տուր սահմանում:

Ուղղանկյունից մեծ անկյունը կոչվում է բութ:

Միկրոշրջանում, որտեղ Փենսը սիրում էր քայլել, բոլոր անկյունները տարբերվում էին մյուս բնակիչներից նրանով, որ մենք երեքով միշտ քայլում էինք, միասին թեյ էինք խմում, միասին գնում կինոթատրոն։ Եվ Մատիտը չկարողացավ հասկանալ, թե ինչպիսի երկրաչափական պատկեր է կազմում երեք անկյունները միասին:

Բանաստեղծությունը ձեզ հուշում կտա.

Դու ինձ վրա, դու նրա վրա
Նայիր մեզ բոլորիս.
Մենք ամեն ինչ ունենք, ամեն ինչ ունենք
Մենք ունենք ընդամենը երեք!

Ո՞ր ձևին է վերաբերում:

• Եռանկյունու մասին.

Ո՞ր ձևն է կոչվում եռանկյուն:

• Եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որն ունի երեք գագաթ, երեք անկյուն և երեք կողմ:

(Սովորողները գծագրում ցույց են տալիս եռանկյունին, անվանում են գագաթները, անկյունները և կողմերը):

Գծեր՝ A, B, C (միավորներ)

Անկյուններ՝ BAC, ABC, BCA:

Կողմերը՝ AB, BC, CA (հատվածներ):

V. Ֆիզիկական դաստիարակություն:

8 անգամ հարվածեք ձեր ոտքին,
Ծափահարեք ձեր ձեռքերը 9 անգամ
մենք 10 անգամ կծկվելու ենք,
և 6 անգամ թեքվել
մենք ուղիղ կցատկենք
այնքան շատ (եռանկյունի ցուցադրում)
Հեյ, այո, հաշվեք: Խաղ և ավելին:

VI. Նոր նյութ սովորելը.

Շուտով անկյունները ընկերացան ու դարձան անբաժան։

Եվ հիմա մենք կկոչենք միկրոշրջան՝ Եռանկյունների միկրոշրջան:

Երրորդ կանգառը «Զնայկա»-ն է։

Որո՞նք են այս եռանկյունների անունները:

Եկեք նրանց անուններ տանք։ Իսկ սահմանումը փորձենք ինքներս ձեւակերպել։

2. Գտի՛ր տարբեր տեսակի եռանկյուններ

1 թիմ կգտնի և ցույց կտա բութ եռանկյունները:

2 հրամանը կգտնի և ցույց կտա ուղղանկյուն եռանկյունները:

3 հրամանը կգտնի և ցույց կտա սուր եռանկյունները:

VIII. Հաջորդ կանգառը Մտածելն է:

Հանձնարարություն բոլոր թիմերին.

6 ձողիկ տեղափոխելուց հետո լապտերից պատրաստեք 4 հավասար եռանկյունիներ։

Ինչպիսի՞ անկյուններ են եռանկյունները: (Սուր-անկյունային):

IX. Դասի ամփոփում.

Ո՞ր թաղամասն ենք այցելել:

Եռանկյունների ո՞ր տեսակներին եք ծանոթ:

Թերևս երկրաչափության ամենահիմնական, պարզ և հետաքրքիր պատկերը եռանկյունին է: Ես գիտեմ ավագ դպրոցդրա հիմնական հատկությունները ուսումնասիրվում են, բայց երբեմն այս թեմայի վերաբերյալ գիտելիքները ձևավորվում են թերի: Եռանկյունների տեսակները սկզբում որոշում են դրանց հատկությունները: Բայց այս տեսակետը մնում է խառը: Այսպիսով, հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք այս թեմային:

Եռանկյունների տեսակները կախված են անկյունների աստիճանի չափից։ Այս թվերը սուր են, ուղղանկյուն և բութ: Եթե ​​բոլոր անկյունները չեն գերազանցում 90 աստիճանը, ապա գործիչը կարելի է ապահով կերպով անվանել սուր անկյուն: Եթե ​​եռանկյան առնվազն մեկ անկյունը 90 աստիճան է, ապա գործ ունեք ուղղանկյուն ենթատեսակի հետ։ Ըստ այդմ, մնացած բոլոր դեպքերում դիտարկվողը կոչվում է բութանկյուն։

Սուր անկյունային ենթատեսակների համար բազմաթիվ առաջադրանքներ կան։ Հատկանշական առանձնահատկությունն այն է, որ բիսեկտորների, միջինների և բարձրությունների հատման կետերի ներքին տեղակայումն է: Այլ դեպքերում այս պայմանը կարող է չկատարվել: Գործչի «եռանկյունու» տեսակը որոշելը դժվար չէ։ Բավական է իմանալ, օրինակ, յուրաքանչյուր անկյան կոսինուսը։ Եթե ​​որևէ արժեք զրոյից փոքր է, ապա եռանկյունը ցանկացած դեպքում բութ է: Զրոյական ցուցիչի դեպքում պատկերն ունի ուղիղ անկյուն։ Բոլոր դրական արժեքները երաշխավորված են ձեզ ասելու, որ դուք սուր անկյունային հայացք ունեք:

Անհնար է չասել ուղղանկյուն եռանկյունու մասին։ Սա ամենաիդեալական տեսարանն է, որտեղ մեդիանների, բիսեկտորների և բարձրությունների բոլոր հատման կետերը համընկնում են։ Նույն տեղում է գտնվում նաև մակագրված և շրջագծված շրջանների կենտրոնը։ Խնդիրները լուծելու համար դուք պետք է իմանաք միայն մի կողմը, քանի որ անկյունները ի սկզբանե դրված են ձեզ համար, իսկ մյուս երկու կողմերը հայտնի են: Այսինքն, ցուցանիշը տրվում է միայն մեկ պարամետրով. Կան Նրանք հիմնական հատկանիշը- հիմքում երկու կողմերի և անկյունների հավասարություն.

Երբեմն հարց է առաջանում, թե արդյոք կա տրված կողմերով եռանկյունի: Իսկապե՞ս ձեզ հարցնում են՝ արդյոք տրված նկարագրությունըհիմնական տեսակների ներքո. Օրինակ, եթե երկու կողմերի գումարը փոքր է երրորդից, ապա իրականում նման թիվ ընդհանրապես գոյություն չունի։ Եթե ​​առաջադրանքը խնդրում է գտնել 3,5,9 կողմերով եռանկյան անկյունների կոսինուսները, ապա ակնհայտը կարելի է բացատրել այստեղ առանց բարդ մաթեմատիկական հնարքների։ Ենթադրենք, դուք ցանկանում եք հասնել A կետից B կետ: Ուղիղ գծի հեռավորությունը 9 կիլոմետր է: Այնուամենայնիվ, դուք հիշեցիք, որ խանութում պետք է գնալ C կետ: A-ից C հեռավորությունը 3 կիլոմետր է, իսկ C-ից B-ն՝ 5: Այսպիսով, պարզվում է, որ խանութով շարժվելիս դուք մեկ կիլոմետր պակաս կքայլեք։ Բայց քանի որ C կետը չի գտնվում AB գծում, դուք ստիպված կլինեք անցնել լրացուցիչ հեռավորություն: Այստեղ հակասություն է առաջանում. Սա, իհարկե, հիպոթետիկ բացատրություն է։ Մաթեմատիկան գիտի մեկից ավելի եղանակներ ապացուցելու, որ բոլոր տեսակի եռանկյունները հնազանդվում են հիմնական ինքնությանը: Այն ասում է, որ երկու կողմերի գումարը մեծ է երրորդի երկարությունից:

Յուրաքանչյուր տեսակ ունի հետևյալ հատկությունները.

1) Բոլոր անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

2) Միշտ կա ուղղակենտրոն՝ բոլոր երեք բարձրությունների հատման կետը:

3) Ներքին անկյունների գագաթներից գծված բոլոր երեք միջինները հատվում են մեկ տեղում:

4) Շրջանակը կարելի է շրջագծել ցանկացած եռանկյունու շուրջ: Կարելի է նաև շրջանագիծ գրել այնպես, որ այն ունենա միայն երեք շփման կետ և դուրս չգա արտաքին կողմերից:

Այժմ դուք ծանոթ եք այն հիմնական հատկություններին, որոնք տարբեր տեսակներեռանկյուններ. Ապագայում կարեւոր է հասկանալ, թե ինչի հետ գործ ունես խնդիր լուծելիս։

Ավելի շատ երեխաներ նախադպրոցական տարիքգիտեք, թե ինչ տեսք ունի եռանկյունը: Բայց ինչով են նրանք, տղերքը դպրոցում արդեն սկսում են հասկանալ։ Տեսակներից մեկը բութ եռանկյունին է: Հասկանալու համար, թե ինչ է դա, ամենահեշտ ճանապարհը պատկերն իր պատկերով տեսնելն է։ Եվ տեսականորեն սա այն է, ինչ նրանք անվանում են «ամենապարզ բազմանկյուն» երեք կողմերով և գագաթներով, որոնցից մեկը.

Հասկանալով հասկացությունները

Երկրաչափության մեջ կան երեք կողմ ունեցող ֆիգուրների այսպիսի տեսակներ՝ սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութ եռանկյուն։ Ավելին, այս ամենապարզ բազմանկյունների հատկությունները բոլորի համար նույնն են։ Այսպիսով, թվարկված բոլոր տեսակների համար նման անհավասարություն կնկատվի։ Ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարն անպայմանորեն ավելի մեծ է, քան երրորդ կողմի երկարությունը:

Բայց որպեսզի համոզվենք, որ խոսքը ամբողջական պատկերի, այլ ոչ թե առանձին գագաթների բազմության մասին է, անհրաժեշտ է ստուգել, ​​որ բավարարված է հիմնական պայմանը՝ բութ եռանկյան անկյունների գումարը 180 o է։ Նույնը վերաբերում է երեք կողմ ունեցող այլ տեսակի գործիչներին: Ճիշտ է, բութ եռանկյունում անկյուններից մեկը կլինի նույնիսկ ավելի քան 90 o, իսկ մնացած երկուսը պարտադիր կլինեն սուր: Այս դեպքում դա ամենամեծ անկյունն է, որը կլինի ամենաերկար կողմի հակառակ կողմը: Ճիշտ է, դրանք հեռու են բութ եռանկյունու բոլոր հատկություններից: Բայց նույնիսկ իմանալով միայն այս հատկանիշները՝ ուսանողները կարող են լուծել երկրաչափության բազմաթիվ խնդիրներ։

Երեք գագաթ ունեցող յուրաքանչյուր բազմանկյունի համար ճիշտ է նաև, որ կողմերից որևէ մեկը շարունակելով՝ ստանում ենք անկյուն, որի չափը հավասար կլինի երկու ոչ հարակից ներքին գագաթների գումարին։ Բութ եռանկյունու պարագիծը հաշվարկվում է այնպես, ինչպես մյուս ձևերը: Այն հավասար է նրա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարին։ Մաթեմատիկոսներին որոշելու համար տարբեր բանաձևեր են ստացվել՝ կախված նրանից, թե ի սկզբանե ինչ տվյալներ են եղել։

Ճիշտ ոճ

Երկրաչափության խնդիրների լուծման կարևոր պայմաններից մեկը ճիշտ գծագրությունն է։ Մաթեմատիկայի ուսուցիչները հաճախ ասում են, որ դա կօգնի ոչ միայն պատկերացնել, թե ինչ է տրվում և ինչ է պահանջվում ձեզանից, այլև 80%-ով մոտենալ ճիշտ պատասխանին։ Այդ իսկ պատճառով կարևոր է իմանալ, թե ինչպես կառուցել բութ եռանկյուն: Եթե ​​դուք պարզապես հիպոթետիկ պատկեր եք ուզում, ապա կարող եք գծել երեք կողմերով ցանկացած բազմանկյուն, որպեսզի անկյուններից մեկը լինի 90 աստիճանից մեծ:

Եթե ​​տրված են կողմերի երկարությունների կամ անկյունների աստիճանների որոշակի արժեքներ, ապա անհրաժեշտ է դրանց համապատասխան գծել բութանկյուն եռանկյունի: Միաժամանակ անհրաժեշտ է փորձել անկյունները հնարավորինս ճշգրիտ պատկերել՝ դրանք հաշվարկելով անկյունաչափի օգնությամբ, և առաջադրանքում տրված պայմաններին համաչափ ցուցադրել կողմերը։

Հիմնական գծեր

Հաճախ դպրոցականների համար բավարար չէ միայն իմանալ, թե ինչ տեսք պետք է ունենան որոշ գործիչներ։ Նրանք չեն կարող սահմանափակվել միայն տեղեկություններով, թե որ եռանկյունն է բութ և որն է ուղղանկյուն: Մաթեմատիկայի դասընթացը նախատեսում է, որ թվերի հիմնական հատկանիշների վերաբերյալ նրանց իմացությունը պետք է լինի ավելի ամբողջական։

Այսպիսով, յուրաքանչյուր աշակերտ պետք է հասկանա կիսանդրի, միջնագծի, ուղղահայաց կիսաչափի և բարձրության սահմանումը: Բացի այդ, նա պետք է իմանա նրանց հիմնական հատկությունները:

Այսպիսով, բիսեկտորները անկյունը կիսում են կիսով չափ, իսկ հակառակ կողմը հատվածների, որոնք համաչափ են հարակից կողմերին:

Միջնագիծը ցանկացած եռանկյունի բաժանում է երկու հավասար տարածքների: Այն կետում, որտեղ նրանք հատվում են, նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 2 հատվածի 2: 1 հարաբերակցությամբ, երբ դիտվում է այն վերևից, որտեղից այն առաջացել է: Այս դեպքում ամենամեծ մեդիանը միշտ ձգվում է դեպի իր ամենափոքր կողմը:

Ոչ պակաս ուշադրություն է դարձվում բարձրությանը։ Սա անկյունից հակառակ կողմին ուղղահայաց է: Բութ եռանկյունու բարձրությունն ունի իր առանձնահատկությունները: Եթե ​​այն գծված է սուր գագաթից, ապա այն ընկնում է ոչ թե այս ամենապարզ բազմանկյան կողմում, այլ նրա երկարացման վրա։

Ուղղահայաց կիսորդը այն ուղիղ հատվածն է, որը դուրս է գալիս եռանկյան երեսի կենտրոնից։ Միևնույն ժամանակ, այն գտնվում է դրա նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ:

Շրջանակների հետ աշխատելը

Երկրաչափության ուսումնասիրության սկզբում բավական է, որ երեխաները հասկանան, թե ինչպես կարելի է նկարել բութ-անկյուն եռանկյունին, սովորել տարբերակել այն այլ տեսակներից և հիշել դրա հիմնական հատկությունները: Բայց ավագ դպրոցի աշակերտների համար այս գիտելիքները բավարար չեն։ Օրինակ, քննության ժամանակ հաճախ են հարցեր լինում շրջագծված և մակագրված շրջանակների մասին։ Դրանցից առաջինը շոշափում է եռանկյան բոլոր երեք գագաթները, իսկ երկրորդն ունի մեկ ընդհանուր կետ բոլոր կողմերի հետ։

Ներգրված կամ շրջագծված բութ-անկյուն եռանկյունի կառուցելն արդեն շատ ավելի դժվար է, քանի որ դրա համար նախ պետք է պարզել, թե որտեղ պետք է լինեն շրջանագծի կենտրոնը և նրա շառավիղը: Իմիջայլոց, էական գործիքԱյս դեպքում ոչ միայն քանոնով մատիտ կդառնա, այլ նաև կողմնացույց։

Նույն դժվարությունները ծագում են երեք կողմերով ներգծված բազմանկյուններ կառուցելիս։ Մաթեմատիկոսները մշակել են տարբեր բանաձեւեր, որոնք թույլ են տալիս հնարավորինս ճշգրիտ որոշել դրանց գտնվելու վայրը։

Արձանագրված եռանկյուններ

Ինչպես արդեն նշվեց, եթե շրջանագիծն անցնում է բոլոր երեք գագաթներով, ապա դա կոչվում է շրջագծված շրջան: Նրա հիմնական հատկությունն այն է, որ միակն է։ Պարզելու համար, թե ինչպես պետք է գտնվի բութ եռանկյան շրջագիծը, պետք է հիշել, որ դրա կենտրոնը գտնվում է երեքի հատման կետում։ միջին ուղղահայացներորոնք անցնում են գործչի կողքերը: Եթե ​​երեք գագաթներով սուր անկյունային բազմանկյունում այս կետը կլինի նրա ներսում, ապա բութ անկյունում` դրանից դուրս:

Իմանալով, օրինակ, որ բութ եռանկյան կողմերից մեկը հավասար է նրա շառավղին, կարելի է գտնել այն անկյունը, որը գտնվում է հայտնի դեմքի դիմաց: Նրա սինուսը հավասար կլինի երկարությունը բաժանելու արդյունքին հայտնի կողմը 2R-ով (որտեղ R-ը շրջանագծի շառավիղն է): Այսինքն, անկյան մեղքը հավասար կլինի ½-ի: Այսպիսով, անկյունը կլինի 150 o:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել բութ անկյուն եռանկյան շրջագծի շառավիղը, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինի տեղեկություններ նրա կողմերի երկարության (c, v, b) և S տարածքի մասին: Ի վերջո, շառավիղը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ. (c x v x b): 4 x S: Ի դեպ, կարևոր չէ, թե ինչպիսի պատկեր ունեք՝ բազմակողմանի բութ եռանկյունի, հավասարաչափ, աջ, թե սուր: Ցանկացած իրավիճակում, վերը նշված բանաձևի շնորհիվ, դուք կարող եք պարզել տրված պոլիգոնի տարածքը երեք կողմով:

Սահմանված եռանկյուններ

Բավականին տարածված է նաև ներգծված շրջանակների հետ աշխատելը: Բանաձևերից մեկի համաձայն, նման գործչի շառավիղը, որը բազմապատկվում է պարագծի ½-ով, հավասար կլինի եռանկյունու մակերեսին: Ճիշտ է, դա պարզելու համար հարկավոր է իմանալ բութ եռանկյունու կողմերը: Իսկապես, պարագծի ½ մասը որոշելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց երկարությունները և բաժանել 2-ի։

Հասկանալու համար, թե որտեղ պետք է լինի բութ եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը, անհրաժեշտ է գծել երեք կիսատ: Սրանք այն գծերն են, որոնք բաժանում են անկյունները: Հենց նրանց խաչմերուկում է գտնվելու շրջանի կենտրոնը։ Այս դեպքում այն ​​կլինի հավասար հեռավորության վրա յուրաքանչյուր կողմից:

Բութ եռանկյան մեջ ներգծված նման շրջանագծի շառավիղը հավասար է (p-c) x (p-v) x (p-b) գործակցին: Ընդ որում, p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, c, v, b՝ նրա կողմերը։

Եռանկյուն - սահմանում և ընդհանուր հասկացություններ

Եռանկյունը նման պարզ բազմանկյուն է, որը բաղկացած է երեք կողմերից և ունի նույն թվով անկյուններ: Նրա հարթությունները սահմանափակված են 3 կետով և այս կետերը զույգերով միացնող 3 հատվածներով։

Ցանկացած եռանկյան բոլոր գագաթները, անկախ նրա բազմազանությունից, նշվում են մեծ լատինատառ տառերով, իսկ դրա կողմերը պատկերված են հակառակ գագաթների համապատասխան նշանակումներով, միայն ոչ մեծատառերով, այլ փոքրերով: Այսպիսով, օրինակ, A, B և C գագաթներով եռանկյունը ունի a, b, c կողմեր:

Եթե ​​հաշվի առնենք եռանկյունը Էվկլիդեսյան տարածության մեջ, ապա սա այնպիսի երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվել է երեք հատվածների միջոցով, որոնք կապում են երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա:

Ուշադիր նայեք վերևի նկարին: Դրա վրա A, B և C կետերը այս եռանկյան գագաթներն են, իսկ հատվածները կոչվում են եռանկյան կողմեր։ Այս բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթ իր ներսում անկյուններ է կազմում:

Եռանկյունների տեսակները

Ըստ չափի, եռանկյունների անկյունների, դրանք բաժանվում են այնպիսի սորտերի, ինչպիսիք են՝ ուղղանկյուն;
Սուր անկյունային;
բութ.

Ուղղանկյուն եռանկյունները այն եռանկյուններն են, որոնք ունեն մեկ ուղղանկյուն, իսկ մյուս երկուսը՝ սուր:

Սուր անկյուն ունեցող եռանկյունները այն եռանկյուններն են, որոնցում նրա բոլոր անկյունները սուր են:

Իսկ եթե եռանկյունն ունի մեկ բութ անկյուն, իսկ մյուս երկու անկյունները սուր են, ապա այդպիսի եռանկյունը պատկանում է բութ անկյուններին։

Ձեզանից յուրաքանչյուրը հիանալի հասկանում է, որ ոչ բոլոր եռանկյուններն ունեն հավասար կողմեր. Եվ ըստ իր կողմերի երկարության՝ եռանկյունները կարելի է բաժանել.

Isosceles;
Հավասարակողմ;
Բազմակողմանի.

Առաջադրանք՝ նկարել տարբեր տեսակներեռանկյուններ. Տվեք նրանց սահմանում: Ի՞նչ տարբերություն եք տեսնում նրանց միջև:

Եռանկյունների հիմնական հատկությունները

Թեև այս պարզ բազմանկյունները կարող են տարբերվել միմյանցից անկյունների կամ կողմերի չափերով, սակայն յուրաքանչյուր եռանկյունում կան հիմնական հատկություններ, որոնք բնորոշ են այս նկարին։

Ցանկացած եռանկյունում.

Նրա բոլոր անկյունների գումարը 180º է։
Եթե ​​այն պատկանում է հավասարակողմանի, ապա նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է 60º-ի:
Հավասարակողմ եռանկյունը միմյանց նկատմամբ ունի նույնական և հավասար անկյուններ:
Որքան փոքր է բազմանկյան կողմը, այնքան փոքր է նրա դիմացի անկյունը, և հակառակը, այնքան մեծ է մեծ կողմի հակառակ անկյունը:
Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա դրանց հակառակ անկյունները հավասար են, և հակառակը։
Եթե ​​վերցնենք եռանկյունը և երկարացնենք նրա կողմը, ապա վերջում կկազմենք արտաքին անկյուն։ Այն հավասար է ներքին անկյունների գումարին։
Ցանկացած եռանկյունու մեջ նրա կողմը, անկախ նրանից, թե որ մեկը կընտրեք, միևնույն է փոքր կլինի մյուս 2 կողմերի գումարից, բայց ավելի շատ, քան նրանց տարբերությունը.

1.ա< b + c, a >բ-գ;
2.բ< a + c, b >a-c;
3.գ< a + b, c >ա-բ.

Զորավարժություններ

Աղյուսակում ներկայացված են եռանկյան արդեն հայտնի երկու անկյունները: Իմանալով բոլոր անկյունների ընդհանուր գումարը, գտե՛ք, թե ինչին է հավասար եռանկյան երրորդ անկյունը և մուտքագրեք աղյուսակում.

1. Քանի՞ աստիճան ունի երրորդ անկյունը:
2. Ինչպիսի՞ եռանկյունների է այն պատկանում։

Համարժեք եռանկյուններ

ստորագրում եմ

II նշան

III նշան

Եռանկյան բարձրությունը, կիսանկյունը և միջինը

Եռանկյան բարձրություն - նկարի վերևից դեպի հակառակ կողմը գծված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն: Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են մեկ կետում: Եռանկյան բոլոր 3 բարձրությունների հատման կետը նրա ուղղանկյունն է:

Տրված գագաթից գծված և մեջտեղում միացնող ուղիղ հատված հակառակ կողմը, միջինն է։ Միջինները, ինչպես եռանկյան բարձրությունները, ունեն մեկ ընդհանուր կետխաչմերուկ, այսպես կոչված, եռանկյունու կամ կենտրոնաձևի ծանրության կենտրոն։

Եռանկյան կիսորդը մի հատված է, որը միացնում է անկյան գագաթը և հակառակ կողմի կետը, ինչպես նաև կիսում է այս անկյունը: Եռանկյան բոլոր կիսատները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոն։

Եռանկյան 2 կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է միջնագիծ։

Պատմական անդրադարձ

Եռանկյունի նման կերպարը հայտնի էր դեռևս հին ժամանակներում: Այս ցուցանիշը և դրա հատկությունները հիշատակվել են եգիպտական ​​պապիրուսների վրա չորս հազար տարի առաջ: Քիչ անց Պյութագորասի թեորեմի և Հերոնի բանաձևի շնորհիվ եռանկյունու հատկության ուսումնասիրությունը անցավ ավելի. բարձր մակարդակ, բայց այնուամենայնիվ, դա տեղի է ունեցել ավելի քան երկու հազար տարի առաջ։

XV-ում - XVI դդսկսեց բազմաթիվ հետազոտություններ կատարել եռանկյունու հատկությունների վերաբերյալ, և արդյունքում առաջացավ այնպիսի գիտություն, ինչպիսին է պլանաչափությունը, որը կոչվում էր «Նոր եռանկյունի երկրաչափություն»:

Ռուս գիտնական Ն.Ի.Լոբաչևսկին հսկայական ներդրում է ունեցել եռանկյունների հատկությունների իմացության գործում: Նրա աշխատանքները հետագայում կիրառություն գտան ինչպես մաթեմատիկայի, այնպես էլ ֆիզիկայի ու կիբեռնետիկայի բնագավառներում։

Եռանկյունների հատկությունների իմացության շնորհիվ առաջացավ այնպիսի գիտություն, ինչպիսին է եռանկյունաչափությունը։ Պարզվեց, որ դա անհրաժեշտ է մարդուն իր գործնական կարիքների համար, քանի որ դրա օգտագործումը պարզապես անհրաժեշտ է քարտեզներ կազմելիս, տարածքները չափելիս և նույնիսկ տարբեր մեխանիզմներ նախագծելիս:

Ո՞րն է ամենահայտնի եռանկյունը: Սա, իհարկե, Բերմուդյան եռանկյունին է: Իր անվանումն ստացել է 50-ական թվականներին՝ պայմանավորված կետերի (եռանկյունու գագաթներով) աշխարհագրական դիրքով, որոնց շրջանակներում, ըստ առկա տեսության, առաջացել են նրա հետ կապված անոմալիաներ։ Բերմուդյան եռանկյունու գագաթներն են Բերմուդյան կղզիները, Ֆլորիդան և Պուերտո Ռիկոն։

Առաջադրանք. Ինչի՞ մասին են տեսությունները բերմուդյան եռանկյունիլսե՞լ ես

Գիտե՞ք, որ Լոբաչևսկու տեսության մեջ եռանկյան անկյունները գումարելիս դրանց գումարը միշտ ունենում է 180º-ից պակաս արդյունք։ Ռիմանյան երկրաչափության մեջ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը մեծ է 180º-ից, մինչդեռ Էվկլիդեսի գրվածքներում այն ​​հավասար է 180 աստիճանի։

Տնային աշխատանք

Տրված թեմայի շուրջ խաչբառ լուծել

Խաչբառի հարցեր.

1. Ինչպե՞ս է կոչվում եռանկյան գագաթից հակառակ կողմում գտնվող ուղիղ գծին գծված ուղղահայացը:
2. Ինչպե՞ս կարելի է մեկ բառով անվանել եռանկյան կողմերի երկարությունների գումարը:
3. Անվանի՛ր այն եռանկյունը, որի երկու կողմերը հավասար են:
4. Անվանի՛ր այն եռանկյունը, որն ունի 90°-ի հավասար անկյուն:
5. Ինչպե՞ս է կոչվում եռանկյան կողմերից ավելի մեծը:
6. Հավասարաչափ եռանկյան կողմի անվանումը.
7. Ցանկացած եռանկյունու մեջ միշտ դրանք երեքն են:
8. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը գերազանցում է 90 °-ը:
9. Մեր պատկերի գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատվածի անունը:
10. Պարզ ABC բազմանկյան մեջ A մեծատառը...?
11. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​հատվածը, որը կիսում է եռանկյան անկյունը:

Հարցեր եռանկյունների մասին.

1. Տվեք սահմանում.
2. Քանի՞ բարձրություն ունի:
3. Քանի՞ կիսանկյուն ունի եռանկյունը:
4. Որքա՞ն է նրա անկյունների գումարը:
5. Այս պարզ բազմանկյան ի՞նչ տեսակներ գիտեք:
6. Անվանի՛ր եռանկյունների այն կետերը, որոնք կոչվում են հրաշալի:
7. Ո՞ր գործիքը կարող է չափել անկյունը:
8. Եթե ժամացույցի սլաքները ցույց են տալիս 21 ժամ։ Ի՞նչ անկյուն են կազմում ժամացույցի սլաքները:
9. Ի՞նչ անկյան տակ է մարդը շրջվում, եթե նրան տրվում է «ձախ», «շուրջ» հրամանը:
10. Ի՞նչ այլ սահմանումներ գիտեք, որոնք կապված են երեք անկյուն և երեք կողմ ունեցող գործչի հետ:

Առարկաներ > Մաթեմատիկա > Մաթեմատիկա 7-րդ դասարան