Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Ընդհանուր տեղեկություններ ուղիղ պրիզմայի մասին

Պրիզմայի կողային մակերեսը (ավելի ճիշտ՝ կողային մակերեսը) կոչվում է գումարկողային երեսների տարածքները. Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հավասար է կողային մակերեսի և հիմքերի մակերեսների գումարին։

Թեորեմ 19.1. Կողքի մակերեսըպրիզմայի ուղիղ գիծը հավասար է հիմքի պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին, այսինքն՝ կողային եզրի երկարությանը։

Ապացույց. Ուղիղ պրիզմայի կողային երեսները ուղղանկյուն են։ Այս ուղղանկյունների հիմքերը պրիզմայի հիմքում ընկած բազմանկյունի կողմերն են, իսկ բարձրությունները հավասար են կողային եզրերի երկարությանը։ Դրանից բխում է, որ պրիզմայի կողային մակերեսը հավասար է

S = a 1 լ + a 2 լ + ... + a n l = pl,

որտեղ a 1-ը և n-ը հիմքի եզրերի երկարությունն են, p-ը պրիզմայի հիմքի պարագիծն է, իսկ I-ը կողային եզրերի երկարությունն է: Թեորեմն ապացուցված է.

Գործնական առաջադրանք

Խնդիր (22) . Թեք պրիզմայով իրականացվում է Բաժին, կողային կողերին ուղղահայաց և հատելով բոլորը կողային կողիկներ. Գտե՛ք պրիզմայի կողային մակերեսը, եթե հատվածի պարագիծը հավասար է p-ի, իսկ կողային եզրերը՝ l-ի:

Լուծում. Գծված հատվածի հարթությունը պրիզման բաժանում է երկու մասի (նկ. 411)։ Դրանցից մեկը ենթարկենք զուգահեռ թարգմանության՝ համադրելով պրիզմայի հիմքերը։ Այս դեպքում ստանում ենք ուղիղ պրիզմա, որի հիմքը սկզբնական պրիզմայի խաչմերուկն է, իսկ կողային եզրերը հավասար են l-ի։ Այս պրիզման ունի նույն կողային մակերեսը, ինչ սկզբնականը։ Այսպիսով, սկզբնական պրիզմայի կողային մակերեսը հավասար է pl.

Ծածկված թեմայի ամփոփում

Հիմա փորձենք ամփոփել պրիզմաների մասին մեր անդրադարձած թեման և հիշենք, թե ինչ հատկություններ ունի պրիզման:

Պրիզմայի հատկությունները

Նախ, պրիզման ունի իր բոլոր հիմքերը որպես հավասար բազմանկյուններ.
Երկրորդ, պրիզման ունի իր բոլորը կողմնակի դեմքերզուգահեռներ են;
Երրորդ, պրիզմայի նման բազմակողմանի կերպարում բոլոր կողային եզրերը հավասար են.

Նաև պետք է հիշել, որ պրիզմաների նման պոլիէդրները կարող են լինել ուղիղ կամ թեքված:

Ո՞ր պրիզմա է կոչվում ուղիղ պրիզմա:

Եթե ​​պրիզմայի կողային եզրը գտնվում է նրա հիմքի հարթությանը ուղղահայաց, ապա այդպիսի պրիզման կոչվում է ուղիղ։

Ավելորդ չի լինի հիշել, որ ուղիղ պրիզմայի կողային երեսները ուղղանկյուն են։

Պրիզմայի ո՞ր տեսակն է կոչվում թեք:

Բայց եթե պրիզմայի կողային եզրը գտնվում է իր հիմքի հարթությանը ուղղահայաց, ապա կարելի է վստահորեն ասել, որ այն թեք պրիզմա է։

Ո՞ր պրիզմա է կոչվում ճիշտ:

Եթե ​​կանոնավոր բազմանկյունն ընկած է ուղիղ պրիզմայի հիմքում, ապա այդպիսի պրիզման կանոնավոր է։

Հիմա հիշենք կանոնավոր պրիզմայի հատկությունները։

Կանոնավոր պրիզմայի հատկությունները

Նախ, կանոնավոր բազմանկյունները միշտ ծառայում են որպես կանոնավոր պրիզմայի հիմքեր.
Երկրորդ, եթե դիտարկենք կանոնավոր պրիզմայի կողային երեսները, դրանք միշտ հավասար ուղղանկյուններ են.
Երրորդ, եթե համեմատում եք կողային կողերի չափերը, ապա սովորական պրիզմայում դրանք միշտ հավասար են:
Չորրորդ, ճիշտ պրիզմա միշտ ուղիղ է.
Հինգերորդ, եթե կանոնավոր պրիզմայում կողային երեսներն ունեն քառակուսիների ձև, ապա այդպիսի գործիչը սովորաբար կոչվում է կիսաեզրափակիչ։ կանոնավոր բազմանկյուն.

Պրիզմայի խաչմերուկ

Հիմա եկեք նայենք պրիզմայի խաչմերուկին.

Տնային աշխատանք

Հիմա եկեք փորձենք համախմբել մեր սովորած թեման՝ խնդիրներ լուծելով:

Նկարենք թեք եռանկյունաձև պրիզմա, որի եզրերի միջև հեռավորությունը հավասար կլինի՝ 3 սմ, 4 սմ և 5 սմ, իսկ այս պրիզմայի կողային մակերեսը՝ 60 սմ2։ Ունենալով այս պարամետրերը, գտե՛ք այս պրիզմայի կողային եզրը։

Գիտե՞ք, որ երկրաչափական պատկերները մշտապես շրջապատում են մեզ ոչ միայն երկրաչափության դասերին, այլև Առօրյա կյանքԿան առարկաներ, որոնք նման են այս կամ այն ​​երկրաչափական պատկերին։

Յուրաքանչյուր տուն, դպրոց կամ աշխատավայր ունի համակարգիչ, որի համակարգի միավորը ձևավորված է ուղիղ պրիզմայի տեսքով:

Եթե ​​դուք վերցնում եք պարզ մատիտ, ապա կտեսնեք, որ մատիտի հիմնական մասը պրիզմա է։

Քայլելով քաղաքի կենտրոնական փողոցով՝ տեսնում ենք, որ մեր ոտքերի տակ ընկած է վեցանկյուն պրիզմայի տեսք ունեցող սալիկ։

A. V. Pogorelov, Երկրաչափություն 7-11-րդ դասարանների համար, Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար

Սահմանում 1. Պրիզմատիկ մակերես
Թեորեմ 1. Պրիզմատիկ մակերեսի զուգահեռ հատվածների վրա
Սահմանում 2. Պրիզմատիկ մակերեսի ուղղահայաց հատված
Սահմանում 3. Պրիզմա
Սահմանում 4. Պրիզմայի բարձրություն
Սահմանում 5. Աջ պրիզմա
Թեորեմ 2. Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը

Զուգահեռաբար.
Սահմանում 6. Parallelepiped
Թեորեմ 3. Զուգահեռապատիկի անկյունագծերի հատման մասին
Սահմանում 7. Աջ զուգահեռական
Սահմանում 8. Ուղղանկյուն զուգահեռական
Սահմանում 9. Զուգահեռաբարի չափումներ
Սահմանում 10. Cube
Սահմանում 11. Rhombohedron
Թեորեմ 4. Ուղղանկյուն զուգահեռականի անկյունագծերի վրա
Թեորեմ 5. Պրիզմայի ծավալը
Թեորեմ 6. Ուղիղ պրիզմայի ծավալը
Թեորեմ 7. Ուղղանկյուն զուգահեռականի ծավալը

Պրիզմաբազմանիստ է, որի երկու երեսները (հիմքերը) գտնվում են զուգահեռ հարթություններում, իսկ եզրերը, որոնք չեն գտնվում այս երեսներում, զուգահեռ են միմյանց:
Հիմքերից բացի այլ դեմքեր կոչվում են կողային.
Կողային երեսների և հիմքերի կողմերը կոչվում են պրիզմա կողիկներ, եզրերի ծայրերը կոչվում են պրիզմայի գագաթները. Կողային կողիկներայն եզրերը, որոնք չեն պատկանում հիմքերին, կոչվում են: Կողային երեսների միավորումը կոչվում է պրիզմայի կողային մակերեսը, և բոլոր դեմքերի միությունը կոչվում է պրիզմայի ամբողջ մակերեսը. Պրիզմայի բարձրությունըկոչվում է ուղղահայաց, որը իջել է վերին հիմքի կետից դեպի ստորին հիմքի հարթություն կամ այս ուղղահայաց երկարությունը: Ուղղակի պրիզմակոչվում է պրիզմա, որի կողային կողիկներն ուղղահայաց են հիմքերի հարթություններին։ Ճիշտ էկոչվում է ուղիղ պրիզմա (նկ. 3), որի հիմքում ընկած է կանոնավոր բազմանկյուն։

Նշումներ:
լ - կողային կող;
P - բազայի պարագիծը;
S o - բազային տարածք;
H - բարձրություն;
P^ - ուղղահայաց հատվածի պարագիծը;
S b - կողային մակերեսի տարածք;
V - ծավալ;
S p-ը պրիզմայի ընդհանուր մակերեսի մակերեսն է:

V=SH S p = S b + 2S o Ս բ = Պ ^ լ

Սահմանում 1 . Պրիզմատիկ մակերեսը պատկեր է, որը ձևավորվում է մի քանի հարթությունների մասերից, որոնք զուգահեռ են մեկ ուղիղ գծին, սահմանափակված այն ուղիղներով, որոնց երկայնքով այս հարթությունները հաջորդաբար հատվում են միմյանց*; այս ուղիղները միմյանց զուգահեռ են և կոչվում են պրիզմատիկ մակերեսի եզրեր.
*Ենթադրվում է, որ յուրաքանչյուր երկու հաջորդական հարթությունները հատվում են, իսկ վերջին հարթությունը հատում է առաջինը

Թեորեմ 1 . Պրիզմատիկ մակերևույթի հատվածները միմյանց զուգահեռ հարթություններով (բայց ոչ դրա եզրերին զուգահեռ) հավասար բազմանկյուններ են:
Թող ABCDE-ն և A"B"C"D"E"-ն պրիզմատիկ մակերևույթի հատվածներ լինեն երկու զուգահեռ հարթություններով: Համոզվելու համար, որ այս երկու բազմանկյունները հավասար են, բավական է ցույց տալ, որ ABC և A"B"C եռանկյունները հավասար են: հավասար են և ունեն պտտման նույն ուղղությունը, և որ նույնն է ABD և A"B"D", ABE և A"B"E եռանկյունների համար: Բայց այս եռանկյունների համապատասխան կողմերը զուգահեռ են (օրինակ, AC-ը զուգահեռ է AC-ին), ինչպես որոշակի հարթության հատման գիծը երկու զուգահեռ հարթություններով. հետևում է, որ այս կողմերը հավասար են (օրինակ՝ AC-ը հավասար է A «C»-ին), ինչպես հակառակ կողմերըզուգահեռագիծ և որ այս կողմերից կազմված անկյունները հավասար են և ունեն նույն ուղղությունը։

Սահմանում 2 . Պրիզմատիկ մակերևույթի ուղղահայաց հատվածը այս մակերևույթի հատվածն է իր եզրերին ուղղահայաց հարթությամբ: Ելնելով նախորդ թեորեմից՝ նույն պրիզմատիկ մակերեսի բոլոր ուղղահայաց հատվածները կլինեն հավասար բազմանկյուններ։

Սահմանում 3 . Պրիզմա պրիզմատիկ մակերևույթով և միմյանց զուգահեռ երկու հարթություններով (բայց ոչ պրիզմատիկ մակերևույթի եզրերին զուգահեռ) սահմանափակված բազմանիստ մակերևույթով:
Այս վերջին ինքնաթիռներում ընկած դեմքերը կոչվում են պրիզմայի հիմքերը; պրիզմատիկ մակերեսին պատկանող դեմքեր - կողմնակի դեմքեր; պրիզմատիկ մակերեսի եզրեր - պրիզմայի կողային կողիկներ. Նախորդ թեորեմի ուժով պրիզմայի հիմքն է հավասար բազմանկյուններ. Պրիզմայի բոլոր կողային երեսները. զուգահեռագրություններ; բոլոր կողային կողերը հավասար են միմյանց:
Ակնհայտորեն, եթե տրված են ABCDE պրիզմայի հիմքը և AA եզրերից մեկը» չափերով և ուղղություններով, ապա հնարավոր է պրիզմա կառուցել՝ գծելով BB», CC», ... AA եզրին հավասար և զուգահեռ եզրեր: .

Սահմանում 4 . Պրիզմայի բարձրությունը նրա հիմքերի հարթությունների միջև եղած հեռավորությունն է (HH"):

Սահմանում 5 . Պրիզման կոչվում է ուղիղ, եթե դրա հիմքերը պրիզմատիկ մակերեսի ուղղահայաց հատվածներն են։ Այս դեպքում պրիզմայի բարձրությունը, իհարկե, իրն է կողային կող; կողային եզրերը կլինեն ուղղանկյուններ.
Պրիզմաները կարելի է դասակարգել ըստ կողային երեսների քանակի. հավասար թվովբազմանկյան կողմերը, որոնք ծառայում են որպես դրա հիմք: Այսպիսով, պրիզմաները կարող են լինել եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն և այլն։

Թեորեմ 2 . Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է կողային եզրի արտադրյալին և ուղղահայաց հատվածի պարագծին:
Թող ABCDEA"B"C"D"E" լինի տրված պրիզմա և abcde նրա ուղղահայաց հատվածը, այնպես որ ab, bc, .. հատվածները ուղղահայաց լինեն նրա կողային եզրերին: ABA"B" դեմքը զուգահեռագիծ է, դրա մակերեսը: հավասար է AA հիմքի արտադրյալին մի բարձրության վրա, որը համընկնում է ab-ի հետ; երեսի մակերեսը ВСВ «С» հավասար է ВВ հիմքի արտադրյալին bc բարձրությամբ և այլն։ Հետևաբար, կողային մակերեսը (այսինքն՝ կողային երեսների մակերեսների գումարը) հավասար է արտադրյալին։ կողային եզրի, այլ կերպ ասած՝ AA», ВВ», .. հատվածների ընդհանուր երկարությունը ab+bc+cd+de+ea քանակի համար։

Ստերեոմետրիայի դասընթացի դպրոցական ծրագրում եռաչափ պատկերների ուսումնասիրությունը սովորաբար սկսվում է պարզ երկրաչափական մարմնից՝ պրիզմայի պոլիէդրոնից: Նրա հիմքերի դերը կատարում են զուգահեռ հարթություններում ընկած 2 հավասար բազմանկյուններ։ Հատուկ դեպք է կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա: Նրա հիմքերը 2 միանման կանոնավոր քառանկյուններ են, որոնց կողմերը ուղղահայաց են՝ ունենալով զուգահեռագծի (կամ ուղղանկյունների, եթե պրիզմաը թեքված չէ) տեսք։

Ինչպիսի՞ն է պրիզմայի տեսքը:

Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա վեցանկյուն է, որի հիմքերը 2 քառակուսի են, իսկ կողային երեսները ներկայացված են ուղղանկյուններով։ Սրա մեկ այլ անուն երկրաչափական պատկեր- ուղիղ parallelepiped.

Ստորև ներկայացված է քառանկյուն պրիզմա ցուցադրող գծանկար:

Դուք կարող եք տեսնել նաև նկարում ամենակարևոր տարրերը, որոնք կազմում են երկրաչափական մարմինը. Դրանք ներառում են.

Երբեմն երկրաչափության խնդիրներում կարելի է հանդիպել հատված հասկացությանը: Սահմանումը կհնչի այսպես՝ հատվածը կտրող հարթությանը պատկանող ծավալային մարմնի բոլոր կետերն են։ Հատվածը կարող է լինել ուղղահայաց (հատում է նկարի եզրերը 90 աստիճանի անկյան տակ): Ուղղանկյուն պրիզմայի համար դիտարկվում է նաև անկյունագծային հատված (հատվածների առավելագույն քանակը, որոնք կարելի է կառուցել 2-ն է)՝ անցնելով 2 եզրերով և հիմքի անկյունագծերով։

Եթե ​​հատվածը գծված է այնպես, որ կտրող հարթությունը զուգահեռ չլինի ոչ հիմքերին, ոչ կողային երեսներին, ապա ստացվում է կտրված պրիզմա:

Կրճատված պրիզմատիկ տարրերը գտնելու համար օգտագործվում են տարբեր հարաբերություններ և բանաձևեր։ Դրանցից մի քանիսը հայտնի են պլանաչափության դասընթացից (օրինակ, պրիզմայի հիմքի մակերեսը գտնելու համար բավական է հիշել քառակուսու մակերեսի բանաձևը):

Մակերեսի մակերեսը և ծավալը

Բանաձևով պրիզմայի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը.

V = Սբաս հ

Քանի որ կանոնավոր քառանիստ պրիզմայի հիմքը կողքով քառակուսի է ա,Դուք կարող եք գրել բանաձևը ավելի մանրամասն ձևով.

V = a²·h

Եթե ​​մենք խոսում ենք խորանարդի մասին, սովորական պրիզմա հետ հավասար երկարություն, լայնությունը և բարձրությունը, ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Հասկանալու համար, թե ինչպես գտնել պրիզմայի կողային մակերեսը, պետք է պատկերացնել դրա զարգացումը:

Գծանկարից երևում է, որ կողային մակերեսը կազմված է 4 հավասար ուղղանկյուններից։ Դրա մակերեսը հաշվարկվում է որպես հիմքի պարագծի և նկարի բարձրության արտադրյալ.

Սայդ = Pos h

Հաշվի առնելով, որ քառակուսու պարագիծը հավասար է P = 4 ա,բանաձևը ստանում է ձև.

Կողք = 4ա ժ

Խորանարդի համար.

Կողք = 4a²

Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կողային մակերեսին ավելացնել 2 բազային տարածք.

Sfull = Siside + 2Smain

Քառանկյուն կանոնավոր պրիզմայի հետ կապված բանաձևը նման է.

Լիքը = 4ա ժ + 2ա²

Խորանարդի մակերեսի համար.

Լիքը = 6a²

Իմանալով ծավալը կամ մակերեսը, կարող եք հաշվարկել երկրաչափական մարմնի առանձին տարրերը:

Պրիզմայի տարրերի հայտնաբերում

Հաճախ կան խնդիրներ, որոնցում տրվում է ծավալը կամ հայտնի է կողային մակերեսի արժեքը, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմքի կողմի երկարությունը կամ բարձրությունը։ Նման դեպքերում բանաձևերը կարող են ստացվել.

• բազային կողմի երկարությունը. a = կողմ / 4h = √ (V / h);
• բարձրությունը կամ կողքի երկարությունը. h = Կողք / 4a = V / a²;
• բազայի տարածքը: Sprim = V / h;
• կողային դեմքի տարածքը. Կողք gr = Կողք / 4.

Որոշելու համար, թե որքան տարածք ունի անկյունագծային հատվածը, դուք պետք է իմանաք շեղանկյունի երկարությունը և նկարի բարձրությունը: Քառակուսու համար d = a√2.Հետևաբար.

Սդիագ = ah√2

Պրիզմայի անկյունագիծը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.

dprize = √(2a² + h²)

Հասկանալու համար, թե ինչպես կիրառել տրված հարաբերությունները, կարող եք պարապել և լուծել մի քանի պարզ առաջադրանքներ։

Լուծումների հետ կապված խնդիրների օրինակներ

Ահա մաթեմատիկայի պետական ​​ավարտական ​​քննությունների վերաբերյալ որոշ առաջադրանքներ:

Վարժություն 1.

Ավազը լցվում է սովորական քառանկյուն պրիզմայի ձևով տուփի մեջ։ Նրա մակարդակի բարձրությունը 10 սմ է, ինչքա՞ն կլինի ավազի մակարդակը, եթե այն տեղափոխեք նույն ձևի, բայց երկու անգամ ավելի երկար հիմքով տարայի մեջ:

Պետք է պատճառաբանել հետևյալ կերպ. Առաջին և երկրորդ տարաներում ավազի քանակը չի փոխվել, այսինքն՝ դրանց ծավալը նույնն է։ Դուք կարող եք նշել հիմքի երկարությունը ըստ ա. Այս դեպքում առաջին տուփի համար նյութի ծավալը կլինի.

V1 = ha² = 10a²

Երկրորդ տուփի համար հիմքի երկարությունն է 2 ա, բայց ավազի մակարդակի բարձրությունը անհայտ է.

V2 = h (2a)² = 4հա²

Քանի որ V1 = V2, մենք կարող ենք հավասարեցնել արտահայտությունները.

10 ա² = 4 հա²

Հավասարման երկու կողմերը a²-ով կրճատելուց հետո մենք ստանում ենք.

Արդյունքում ավազի նոր մակարդակը կլինի h = 10 / 4 = 2,5սմ.

Առաջադրանք 2.

ABCDA1B1C1D1 ճիշտ պրիզմա է: Հայտնի է, որ BD = AB₁ = 6√2: Գտեք մարմնի ընդհանուր մակերեսը:

Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հասկանալ, թե որ տարրերն են հայտնի, կարող եք նկարել նկար:

Քանի որ խոսքը կանոնավոր պրիզմայի մասին է, կարելի է եզրակացնել, որ հիմքում կա 6√2 անկյունագծով քառակուսի։ Կողքի երեսի անկյունագիծն ունի նույն չափը, հետևաբար, կողային երեսը նույնպես ունի հիմքին հավասար քառակուսու ձև։ Պարզվում է, որ բոլոր երեք չափերը՝ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը, հավասար են։ Կարող ենք եզրակացնել, որ ABCDA1B1C1D1 խորանարդ է:

Ցանկացած եզրի երկարությունը որոշվում է հայտնի անկյունագծով.

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ընդհանուր մակերեսը հայտնաբերվում է խորանարդի բանաձևով.

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Առաջադրանք 3.

Սենյակը վերանորոգվում է։ Հայտնի է, որ դրա հատակն ունի քառակուսիի ձև՝ 9 մ² մակերեսով։ Սենյակի բարձրությունը 2,5 մ է: Ո՞րն է սենյակի պաստառապատման ամենացածր արժեքը, եթե 1 մ²-ն արժե 50 ռուբլի:

Քանի որ հատակը և առաստաղը քառակուսի են, այսինքն՝ կանոնավոր քառանկյուններ, իսկ դրա պատերը ուղղահայաց են հորիզոնական մակերեսներին, կարող ենք եզրակացնել, որ դա կանոնավոր պրիզմա է։ Անհրաժեշտ է որոշել դրա կողային մակերեսի տարածքը:

Սենյակի երկարությունը կազմում է a = √9 = 3մ.

Տարածքը ծածկվելու է պաստառով Կողք = 4 3 2,5 = 30 մ².

Այս սենյակի համար պաստառների ամենացածր արժեքը կլինի 50·30 = 1500ռուբլի

Այսպիսով, ուղղանկյուն պրիզմայի հետ կապված խնդիրներ լուծելու համար բավական է կարողանալ հաշվարկել քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսը և պարագիծը, ինչպես նաև իմանալ ծավալը և մակերեսը գտնելու բանաձևերը։

Ինչպես գտնել խորանարդի մակերեսը

Պոլիեդրա

Ստերեոմետրիայի ուսումնասիրության հիմնական օբյեկտը տարածական մարմիններն են։ Մարմիններկայացնում է տարածության մի մասը, որը սահմանափակվում է որոշակի մակերեսով:

Բազմաթևմարմին է, որի մակերեսը բաղկացած է վերջավոր թվով հարթ բազմանկյուններից։ Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է իր մակերեսի յուրաքանչյուր հարթ բազմանկյան հարթության մի կողմում: Այդպիսի հարթության ընդհանուր մասը և բազմանիստի մակերեսը կոչվում են եզր. Ուռուցիկ բազմանկյունի երեսները հարթ ուռուցիկ բազմանկյուններ են։ Դեմքերի կողմերը կոչվում են պոլիէդրոնի եզրերը, իսկ գագաթներն են պոլիէդրոնի գագաթները.

Օրինակ, խորանարդը բաղկացած է վեց քառակուսուց, որոնք նրա դեմքերն են: Այն պարունակում է 12 եզրեր (քառակուսիների կողմերը) և 8 գագաթներ (քառակուսիների գագաթները)։

Ամենապարզ բազմանիստը պրիզմաներն ու բուրգերն են, որոնք մենք կուսումնասիրենք հետագա:

Պրիզմա

Պրիզմայի սահմանումը և հատկությունները

Պրիզմաբազմանկյուն է, որը բաղկացած է երկու հարթ բազմանկյուններից, որոնք ընկած են զուգահեռ հարթություններում` համակցված զուգահեռ թարգմանությամբ, և այս բազմանկյունների համապատասխան կետերը միացնող բոլոր հատվածներից: Բազմանկյունները կոչվում են պրիզմայի հիմքերը, իսկ բազմանկյունների համապատասխան գագաթները միացնող հատվածներն են պրիզմայի կողային եզրեր.

Պրիզմայի բարձրությունըկոչվում է նրա հիմքերի հարթությունների միջև հեռավորությունը (): Այն հատվածը, որը կապում է պրիզմայի երկու գագաթները, որոնք միևնույն դեմքին չեն պատկանում, կոչվում է պրիզմայի անկյունագիծ(). Պրիզման կոչվում է n-ածուխ, եթե դրա հիմքը պարունակում է n-gon:

Ցանկացած պրիզմա ունի հետևյալ հատկությունները, որոնք պայմանավորված են նրանով, որ պրիզմայի հիմքերը համակցված են զուգահեռ թարգմանությամբ.

1. Պրիզմայի հիմքերը հավասար են։

2. Պրիզմայի կողային եզրերը զուգահեռ են և հավասար:

Պրիզմայի մակերեսը բաղկացած է հիմքերից և կողային մակերես. Պրիզմայի կողային մակերեսը բաղկացած է զուգահեռագծերից (սա բխում է պրիզմայի հատկություններից)։ Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը կողային երեսների մակերեսների գումարն է։

Ուղիղ պրիզմա

Պրիզման կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին։ Հակառակ դեպքում պրիզման կոչվում է թեք.

Ուղղանկյուն պրիզմայի դեմքերը ուղղանկյուն են: Ուղիղ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է կողային երեսներին:

Լրիվ պրիզմայի մակերեսկոչվում է կողային մակերեսի և հիմքերի մակերեսների գումար։

Ճիշտ պրիզմայով կոչվում է ուղիղ պրիզմա, որի հիմքում կանոնավոր բազմանկյուն է:

Թեորեմ 13.1. Ուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին (կամ, որը նույնն է, կողային եզրով):

Ապացույց. Ուղղանկյուն պրիզմայի կողային երեսները ուղղանկյուններ են, որոնց հիմքերը պրիզմայի հիմքերի բազմանկյունների կողմերն են, իսկ բարձրությունները՝ պրիզմայի կողային եզրերը։ Այնուհետև, ըստ սահմանման, կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

,

որտեղ է ուղիղ պրիզմայի հիմքի պարագիծը:

Զուգահեռաբար

Եթե ​​զուգահեռագծերը գտնվում են պրիզմայի հիմքերում, ապա այն կոչվում է զուգահեռ. Զուգահեռաբարի բոլոր երեսները զուգահեռական են: Այս դեպքում զուգահեռականի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:

Թեորեմ 13.2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսով չափ բաժանվում հատման կետով:

Ապացույց. Դիտարկենք երկու կամայական անկյունագծեր, օրինակ, և . Որովհետեւ Զուգահեռապատիկի երեսները զուգահեռներ են, ապա և , ինչը նշանակում է, որ ըստ To-ի երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղ կա: Բացի այդ, սա նշանակում է, որ ուղիղ գծերը և պառկած են նույն հարթության (հարթության) վրա: Այս հարթությունը հատում է զուգահեռ հարթությունները և զուգահեռ ուղիղների երկայնքով և . Այսպիսով, քառանկյունը զուգահեռագիծ է, և զուգահեռագծի հատկությամբ նրա անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ բաժանվում հատման կետով, ինչը պետք է ապացուցվեր։

Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձը, որի հիմքը ուղղանկյուն է, կոչվում է ուղղանկյուն զուգահեռական. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր երեսները ուղղանկյուն են: Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ոչ զուգահեռ եզրերի երկարությունները կոչվում են նրա գծային չափումներ (չափեր): Կան երեք այդպիսի չափեր (լայնություն, բարձրություն, երկարություն):

Թեորեմ 13.3. Ուղղանկյուն զուգահեռականի մեջ ցանկացած շեղանկյունի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին (ապացուցված՝ երկու անգամ կիրառելով Pythagorean T-ը):

Կոչվում է ուղղանկյուն զուգահեռ եզրագիծ, որի բոլոր եզրերը հավասար են խորանարդ.

Առաջադրանքներ

13.1 Քանի՞ անկյունագիծ ունի: n-ածխածնային պրիզմա

13.2 Թեք եռանկյուն պրիզմայում կողային եզրերի միջև եղած հեռավորությունները 37, 13 և 40 են: Գտե՛ք ավելի մեծ կողային եզրի և հակառակ կողային եզրերի միջև եղած հեռավորությունը:

13.3 Ճիշտի ստորին հիմքի կողքով եռանկյուն պրիզմագծված է հարթություն, որը հատում է կողային երեսները հատվածների երկայնքով, որոնց միջև անկյունը . Գտե՛ք այս հարթության թեքության անկյունը պրիզմայի հիմքի նկատմամբ: