Այստեղ հավաքված են հիմնական տեղեկություններ բուրգերի և հարակից բանաձևերի և հասկացությունների մասին: Բոլորն էլ քննությանը նախապատրաստվելիս ուսումնասիրվում են մաթեմատիկայի կրկնուսույցի մոտ։

Դիտարկենք հարթություն, բազմանկյուն պառկած դրա մեջ և մի կետ S, որը չի ընկած դրա մեջ: Միացնել S-ը բազմանկյան բոլոր գագաթներին: Ստացված բազմանիստը կոչվում է բուրգ: Հատվածները կոչվում են կողային եզրեր: Բազմանկյունը կոչվում է հիմք, իսկ S կետը՝ բուրգի գագաթ։ Կախված n թվից՝ բուրգը կոչվում է եռանկյուն (n=3), քառանկյուն (n=4), հնգանկյուն (n=5) և այլն։ Եռանկյունաձև բուրգի այլընտրանքային անվանումը. քառաեդրոն. Բուրգի բարձրությունը նրա գագաթից բազային հարթությանը գծված ուղղահայացն է:

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի բարձրության հիմքը (ուղղահայաց հիմքը) նրա կենտրոնն է։

Ուսուցչի մեկնաբանությունը:
Մի շփոթեք «կանոնավոր բուրգ» և «կանոնավոր քառաեդրոն» հասկացությունները։ Կանոնավոր բուրգում կողային եզրերը պարտադիր չէ, որ հավասար լինեն հիմքի եզրերին, սակայն կանոնավոր քառանիստում եզրերի բոլոր 6 եզրերը հավասար են։ Սա նրա սահմանումն է։ Հեշտ է ապացուցել, որ հավասարությունը ենթադրում է, որ բազմանկյան P կենտրոնը բարձրության հիմքով, ուստի կանոնավոր քառաեդրոնը կանոնավոր բուրգ է։

Ի՞նչ է ապոտեմը:
Բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է: Եթե բուրգը կանոնավոր է, ապա նրա բոլոր ապոտեմները հավասար են։ Հակառակը ճիշտ չէ։

Մաթեմատիկայի դասախոսը իր տերմինաբանության մասին. բուրգերի հետ աշխատանքը 80%-ով կառուցված է երկու տեսակի եռանկյունների միջոցով.
1) ՍԿ ապոտեմ և ՍՊ բարձրություն պարունակող
2) պարունակող կողային եզրը SA և դրա պրոյեկցիոն ՊԱ

Այս եռանկյունների հղումները պարզեցնելու համար մաթեմատիկայի դասավանդողի համար ավելի հարմար է անվանել դրանցից առաջինը. ապոթեմիկ, և երկրորդ ծովափնյա. Ցավոք, դասագրքերից ոչ մեկում չեք գտնի այս տերմինաբանությունը, և ուսուցիչը ստիպված է այն միակողմանի ներմուծել:

Բուրգի ծավալի բանաձևը:
1) , որտեղ է բուրգի հիմքի մակերեսը և բուրգի բարձրությունն է
2) որտեղ է ներգծված ոլորտի շառավիղը և տարածքն է ամբողջական մակերեսբուրգեր.
3) , որտեղ MN-ը ցանկացած երկու հատվող եզրերի հեռավորությունն է, և այն զուգահեռագծի մակերեսն է, որը ձևավորվում է մնացած չորս եզրերի միջնակետերով:

Pyramid Height Base Property:

P կետը (տես նկարը) համընկնում է բուրգի հիմքում գտնվող ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.
1) Բոլոր ապոթեմները հավասար են
2) Բոլոր կողային երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր ապոտեմները հավասարապես հակված են դեպի բուրգի բարձրությունը
4) Բուրգի բարձրությունը հավասարապես թեքված է բոլոր կողային երեսներին

Մաթեմատիկայի դաստիարակի մեկնաբանությունՆկատի ունեցեք, որ բոլոր տարրերը միավորված են մեկով ընդհանուր սեփականությունԱյսպես թե այնպես, ամենուր մասնակցում են կողային դեմքերը (ապոթեմները դրանց տարրերն են): Հետևաբար, դասավանդողը կարող է առաջարկել ավելի քիչ ճշգրիտ, բայց ավելի հարմար ձևակերպում մտապահման համար. P կետը համընկնում է ներգծված շրջանագծի կենտրոնի հետ, բուրգի հիմքի հետ, եթե դրա կողային երեսների մասին որևէ հավասար տեղեկատվություն կա: Դա ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ բոլոր ապոթեմիկ եռանկյունները հավասար են:

P կետը համընկնում է բուրգի հիմքի մոտ գտնվող շրջանագծի կենտրոնի հետ, եթե երեք պայմաններից մեկը ճիշտ է.
1) Բոլոր կողային եզրերը հավասար են
2) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքը
3) Բոլոր կողային կողերը հավասարապես թեքված են դեպի բարձրությունը

Սահմանում

Բուրգբազմանկյուն է, որը կազմված է $A_1A_2...A_n$ և $n$ եռանկյուններից՝ ընդհանուր $P$ գագաթով (չ ընկած բազմանկյան հարթությունում) և հակառակ կողմերից, որոնք համընկնում են կողմերի հետ։ բազմանկյունը.
Նշանակում՝ $PA_1A_2...A_n$ .
Օրինակ՝ հնգանկյուն բուրգ $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Եռանկյուններ $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ և այլն: կանչեց կողմնակի դեմքերբուրգեր, հատվածներ $PA_1, PA_2$ և այլն: - կողային կողիկներ, բազմանկյուն $A_1A_2A_3A_4A_5$ – հիմք, կետ $P$ – գագաթնաժողով.

ԲարձրությունԲուրգերը բուրգի գագաթից դեպի հիմքի հարթությունն ընկած ուղղահայաց են:

Բուրգը, որի հիմքում եռանկյուն է, կոչվում է քառաեդրոն.

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե նրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է և բավարարված է հետևյալ պայմաններից մեկը.

$(a)$ բուրգի կողային եզրերը հավասար են.

$բ)$ բուրգի բարձրությունն անցնում է հիմքի մոտ գտնվող շրջագծի կենտրոնով.

$(c)$ կողային կողերը թեքված են դեպի բազային հարթությունը նույն անկյան տակ:

$(դ)$ կողային երեսները թեքված են դեպի բազային հարթությունը նույն անկյան տակ:

կանոնավոր քառաեդրոնեռանկյուն բուրգ է, որի բոլոր երեսները հավասարազոր եռանկյուններ են։

Թեորեմ

$(a), (b), (c), (d)$ պայմանները համարժեք են:

Ապացույց

Գծե՛ք $PH$ բուրգի բարձրությունը: Թող $\ալֆա$ լինի բուրգի հիմքի հարթությունը։

1) Եկեք ապացուցենք, որ $(a)$-ը ենթադրում է $(b)$ . Թող $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Որովհետեւ $PH\perp \alpha$ , ապա $PH$-ն ուղղահայաց է այս հարթությունում ընկած ցանկացած ուղիղին, ուստի եռանկյունները ուղղանկյուն են: Այսպիսով, այս եռանկյունները հավասար են ընդհանուր ոտքով $PH$ և հիպոթենուսում $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Այսպիսով, $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Սա նշանակում է, որ $A_1, A_2, ..., A_n$ կետերը գտնվում են $H$ կետից նույն հեռավորության վրա, հետևաբար նրանք գտնվում են $A_1H$ շառավղով նույն շրջանագծի վրա: Այս շրջանագիծը, ըստ սահմանման, սահմանափակված է $A_1A_2...A_n$ բազմանկյունով:

2) Եկեք ապացուցենք, որ $(b)$-ը ենթադրում է $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ուղղանկյուն և հավասար երկու ոտքերով: Այսպիսով, նրանց անկյունները նույնպես հավասար են, հետևաբար. $\անկյուն PA_1H=\անկյուն PA_2H=...=\անկյուն PA_nH$.

3) Եկեք ապացուցենք, որ $(c)$-ը ենթադրում է $(a)$ .

Առաջին կետի նման՝ եռանկյուններ $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ուղղանկյուն և ոտքի երկայնքով և սուր անկյուն. Սա նշանակում է, որ նրանց հիպոթենուսները նույնպես հավասար են, այսինքն՝ $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Եկեք ապացուցենք, որ $(b)$-ը ենթադրում է $(դ)$ .

Որովհետեւ Կանոնավոր բազմանկյունում շրջագծված և ներգծված շրջանների կենտրոնները համընկնում են (ընդհանուր առմամբ, այս կետը կոչվում է կանոնավոր բազմանկյունի կենտրոն), ապա $H$ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։ $H$ կետից դեպի հիմքի կողմերը գծենք ուղղահայացներ՝ $HK_1, HK_2$ և այլն։ Սրանք ներգծված շրջանագծի շառավիղներն են (ըստ սահմանման): Այնուհետև, ըստ TTP-ի, ($PH$ ուղղահայաց է հարթությանը, $HK_1, HK_2$ և այլն: $A_1A_2, A_2A_3$ կողմերին ուղղահայաց և այլն: համապատասխանաբար. Այսպիսով, ըստ սահմանման $\անկյուն PK_1H, \անկյուն PK_2H$հավասար է կողային երեսների և հիմքի միջև եղած անկյուններին: Որովհետեւ եռանկյունները $PK_1H, PK_2H, ...$ հավասար են (որպես ուղղանկյուն երկու ոտքերի վրա), ապա անկյունները $\անկյուն PK_1H, \անկյուն PK_2H, ...$հավասար են.

5) Եկեք ապացուցենք, որ $(d)$-ը ենթադրում է $(b)$ .

Չորրորդ կետի նման, $PK_1H, PK_2H, ...$ եռանկյունները հավասար են (որպես ուղղանկյուն ոտքի երկայնքով և սուր անկյուն), ինչը նշանակում է, որ հատվածները $HK_1=HK_2=...=HK_n$ հավասար են. Հետևաբար, ըստ սահմանման, $H$ հիմքում գրված շրջանագծի կենտրոնն է: Բայց քանի որ Կանոնավոր բազմանկյունների համար ներգծված և շրջագծված շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են, ապա $H$ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնն է։ Chtd.

Հետևանք

Կանոնավոր բուրգի կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ եռանկյուններ են։

Սահմանում

Կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը, որը գծված է նրա գագաթից, կոչվում է ապոթեմա.
Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային երեսների ապոթեմները հավասար են միմյանց և նաև միջնորդներ և կիսադիրներ են:

Կարևոր նշումներ

1. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը ընկնում է հիմքի բարձրությունների (կամ կիսատների կամ միջնամասերի) հատման կետին (հիմքը կանոնավոր եռանկյունի է):

2. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի բարձրությունը ընկնում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետին (հիմքը քառակուսի է):

3. Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի բարձրությունը ընկնում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետին (հիմքը կանոնավոր վեցանկյուն է):

4. Բուրգի բարձրությունը ուղղահայաց է հիմքում ընկած ցանկացած ուղիղ գծին:

Սահմանում

Բուրգը կոչվում է ուղղանկյունեթե նրա կողային եզրերից մեկն ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը.

Կարևոր նշումներ

1. Կատարեք ուղղանկյուն բուրգհիմքին ուղղահայաց եզրը բուրգի բարձրությունն է: Այսինքն՝ $SR$ բարձրությունն է։

2. Քանի որ $SR$ ուղղահայաց հիմքից ցանկացած տողին, ապա $\եռանկյունի SRM, \եռանկյունի SRP$ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

3. Եռանկյուններ $\եռանկյունի SRN, \եռանկյունի SRK$նույնպես ուղղանկյուն են.
Այսինքն՝ այս եզրով ձևավորված ցանկացած եռանկյուն և այս եզրի գագաթից դուրս եկող անկյունագիծը, որն ընկած է հիմքում, կլինի ուղղանկյուն։

\[(\Large(\text(Բուրգի ծավալը և մակերեսը)))\]

Թեորեմ

Բուրգի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բուրգի բարձրության արտադրյալի մեկ երրորդին. \

Հետեւանքները

Թող $a$ լինի հիմքի կողմը, $h$ լինի բուրգի բարձրությունը:

1. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ծավալն է $V_(\text(աջ եռանկյունի pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալն է $V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h$.

3. Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալն է $V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Կանոնավոր քառանիստի ծավալն է $V_(\text(աջ tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Թեորեմ

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի և ապոտեմի պարագծի արտադրյալի կեսին:

\[(\Large(\text(Կճճված բուրգ)))\]

Սահմանում

Դիտարկենք կամայական $PA_1A_2A_3...A_n$ բուրգը: Եկեք բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթություն գծենք բուրգի կողային եզրին ընկած որոշակի կետով: Այս հարթությունը բուրգը կբաժանի երկու բազմանիստ, որոնցից մեկը բուրգ է ($PB_1B_2...B_n$), իսկ մյուսը կոչվում է. կտրված բուրգ($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$):

Կտրված բուրգն ունի երկու հիմք՝ $A_1A_2...A_n$ և $B_1B_2...B_n$ բազմանկյունները, որոնք նման են միմյանց:

Կտրված բուրգի բարձրությունը վերին հիմքի ինչ-որ կետից դեպի ստորին հիմքի հարթության ուղղահայաց է:

Կարևոր նշումներ

1. Կտրված բուրգի բոլոր կողային երեսները trapezoids են:

2. Կանոնավոր կտրված բուրգի (այսինքն՝ կանոնավոր բուրգի մի հատվածով ստացված բուրգի) հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածը բարձրություն է։

Բուրգի հայեցակարգ

Սահմանում 1

Երկրաչափական պատկերը, որը ձևավորվում է բազմանկյունով և այն կետով, որը չի գտնվում այս բազմանկյունը պարունակող հարթության մեջ և կապված է բազմանկյան բոլոր գագաթներին, կոչվում է բուրգ (նկ. 1):

Այն բազմանկյունը, որից կազմված է բուրգը, կոչվում է բուրգի հիմք, կետի հետ միանալուց ստացված եռանկյունները բուրգի կողային երեսներն են, եռանկյունների կողմերը՝ բուրգի կողմերը, իսկ բոլորի համար ընդհանուր կետը։ եռանկյունները բուրգի գագաթն են:

Բուրգերի տեսակները

Կախված բուրգի հիմքի անկյունների քանակից, այն կարելի է անվանել եռանկյուն, քառանկյուն և այլն (նկ. 2):

Նկար 2.

Բուրգի մեկ այլ տեսակ սովորական բուրգն է:

Ներկայացնենք և ապացուցենք կանոնավոր բուրգի հատկությունը։

Թեորեմ 1

Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են, որոնք հավասար են միմյանց:

Ապացույց.

Դիտարկենք սովորական $n-$gonal բուրգը $S$ բարձրության $h=SO$ գագաթով: Նկարագրենք հիմքի շուրջ շրջան (նկ. 4):

Նկար 4

Դիտարկենք $SOA$ եռանկյունը: Պյութագորասի թեորեմով մենք ստանում ենք

Ակնհայտ է, որ ցանկացած կողային եզր կսահմանվի այս կերպ: Այսպիսով, բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, այսինքն, բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են: Եկեք ապացուցենք, որ նրանք հավասար են միմյանց։ Քանի որ հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, բոլոր կողային երեսների հիմքերը հավասար են միմյանց: Հետևաբար, բոլոր կողային երեսները հավասար են եռանկյունների հավասարության III նշանի համաձայն։

Թեորեմն ապացուցված է.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք կանոնավոր բուրգ հասկացության հետ կապված հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 3

Կանոնավոր բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է։

Ակնհայտ է, որ թեորեմ 1-ով բոլոր ապոթեմները հավասար են:

Թեորեմ 2

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը սահմանվում է որպես հիմքի կիսաշրջագծի և ապոտեմի արտադրյալ:

Ապացույց.

$n-$ածխային բուրգի հիմքի կողմը նշանակենք $a$-ով, իսկ ապոտեմը $d$-ով։ Հետևաբար, կողային դեմքի մակերեսը հավասար է

Քանի որ թեորեմ 1-ով բոլոր կողմերը հավասար են, ուրեմն

Թեորեմն ապացուցված է.

Բուրգի մեկ այլ տեսակ է կտրված բուրգը:

Սահմանում 4

Եթե իր հիմքին զուգահեռ հարթությունը գծվում է սովորական բուրգի միջով, ապա այս հարթության և հիմքի հարթության միջև ձևավորված պատկերը կոչվում է կտրված բուրգ (նկ. 5):

Նկար 5. Կտրված բուրգ

Կտրված բուրգի կողային երեսները trapezoids են:

Թեորեմ 3

Կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը սահմանվում է որպես հիմքերի կիսաշրջագծերի գումարի և ապոտեմի արտադրյալ:

Ապացույց.

$n-$ածխային բուրգի հիմքերի կողմերը նշանակենք համապատասխանաբար $a\ և\ b$-ով, իսկ ապոտեմը $d$-ով։ Հետևաբար, կողային դեմքի մակերեսը հավասար է

Քանի որ բոլոր կողմերը հավասար են, ուրեմն

Թեորեմն ապացուցված է.

Առաջադրանքի օրինակ

Օրինակ 1

Գտեք կտրված եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը, եթե այն ստացվել է 4-րդ հիմքով և ապոտեմ 5-ով կանոնավոր բուրգից՝ կտրվելով կողային երեսների միջին գծով անցնող հարթությամբ:

Լուծում.

Միջին գծի թեորեմի համաձայն՝ մենք ստանում ենք, որ կտրված բուրգի վերին հիմքը հավասար է $4\cdot \frac(1)(2)=2$, իսկ ապոտեմը հավասար է $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Այնուհետև, թեորեմ 3-ով, մենք ստանում ենք

Աշխատանքի տեքստը տեղադրված է առանց պատկերների և բանաձևերի։
Ամբողջական տարբերակըաշխատանքը հասանելի է «Աշխատանքի ֆայլեր» ներդիրում՝ PDF ձևաչափով

Ներածություն

Երբ հանդիպում ենք «բուրգ» բառին, ապա ասոցիատիվ հիշողությունտանում է մեզ Եգիպտոս։ Եթե խոսենք ճարտարապետության վաղ հուշարձանների մասին, ապա կարելի է պնդել, որ դրանց թիվն առնվազն մի քանի հարյուր է։ 13-րդ դարի մի արաբ գրող ասել է. «Աշխարհում ամեն ինչ վախենում է ժամանակից, իսկ ժամանակը վախենում է բուրգերից»: Բուրգերը աշխարհի յոթ հրաշալիքներից միակ հրաշքն են, որը պահպանվել է մինչև մեր ժամանակները, մինչև դարաշրջանը համակարգչային տեխնիկա. Այնուամենայնիվ, հետազոտողներին դեռևս չի հաջողվել գտնել նրանց բոլոր առեղծվածների հետքեր: Որքան շատ ենք սովորում բուրգերի մասին, այնքան ավելի շատ հարցեր ենք ունենում։ Բուրգերը հետաքրքրում են պատմաբաններին, ֆիզիկոսներին, կենսաբաններին, բժիշկներին, փիլիսոփաներին և այլն: Նրանք մեծ հետաքրքրություն են ներկայացնում և խրախուսում են դրանց հատկությունների ավելի խորը ուսումնասիրությունը ինչպես մաթեմատիկական, այնպես էլ այլ (պատմական, աշխարհագրական և այլն) տեսանկյունից:

Ահա թե ինչու նպատակըՄեր ուսումնասիրությունը բուրգի հատկությունների ուսումնասիրությունն էր տարբեր տեսակետներից։ Որպես միջանկյալ նպատակներ մենք առանձնացրել ենք՝ բուրգի հատկությունների դիտարկումը մաթեմատիկայի տեսանկյունից, բուրգի գաղտնիքների և առեղծվածների գոյության վարկածների ուսումնասիրությունը, ինչպես նաև դրա կիրառման հնարավորությունները։

օբյեկտուսումնասիրությունը այս հոդվածում բուրգ է:

Նյութհետազոտություն. բուրգի առանձնահատկություններն ու հատկությունները.

Առաջադրանքներհետազոտություն:

Ուսումնասիրել գիտահանրամատչելի գրականություն հետազոտական թեմայի վերաբերյալ:

Դիտարկենք բուրգը որպես երկրաչափական մարմին:

Որոշեք բուրգի հատկությունները և առանձնահատկությունները:

Գտեք նյութ, որը հաստատում է բուրգի հատկությունների օգտագործումը տարբեր ոլորտներգիտություն և տեխնիկա։

Մեթոդներհետազոտություն՝ վերլուծություն, սինթեզ, անալոգիա, մտավոր մոդելավորում։

Աշխատանքի ակնկալվող արդյունքըպետք է լինի կառուցվածքային տեղեկատվություն բուրգի, դրա հատկությունների և կիրառությունների մասին:

Ծրագրի պատրաստման փուլերը:

Ծրագրի թեմայի, նպատակների և խնդիրների որոշում:

Նյութերի ուսումնասիրություն և հավաքում:

Ծրագրի պլանի կազմում:

Նախագծի վրա գործունեության ակնկալվող արդյունքի ձևակերպում, ներառյալ նոր նյութի յուրացում, առարկայական գործունեության մեջ գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների ձևավորում:

Հետազոտության արդյունքների ձևակերպում.

Արտացոլում

Բուրգը որպես երկրաչափական մարմին

Նկատի առեք բառի և տերմինի ծագումը» բուրգ«. Անմիջապես հարկ է նշել, որ «բուրգը» կամ « բուրգ»(անգլերեն), « բուրգ»(ֆրանսերեն, իսպաներեն և Սլավոնական լեզուներ), բուրգ(գերմաներեն) արևմտյան տերմին է, որի ծագումը հին Հունաստանում է: Հին հունարենում πύραμίς («Պ իրամիս«և շատ ուրիշներ. հ. Πύραμίδες « բուրգեր«») ունի մի քանի իմաստ. Հին հույները կոչում էին բուրգեր» ցորենի տորթ, որը նման էր եգիպտական կառույցների ձևին: Հետագայում բառը սկսեց նշանակել «մոնումենտալ կառույց հետ քառակուսի տարածքհիմքում և վերևում հանդիպող թեք կողմերի հետ: Ստուգաբանական բառարանը ցույց է տալիս, որ հունարեն «pyramis» գալիս է եգիպտական « պիմար».Բառի առաջին գրավոր մեկնաբանությունը «բուրգ»հայտնաբերվել է Եվրոպայում 1555 թվականին և նշանակում է՝ «արքաների հին շինությունների տեսակներից մեկը»։ Մեքսիկայում բուրգերի հայտնաբերումից և 18-րդ դարում գիտության զարգացման հետ մեկտեղ բուրգը դարձավ ոչ միայն ճարտարապետության հնագույն հուշարձան, այլև չորս սիմետրիկ կողմերով կանոնավոր երկրաչափական պատկեր (1716 թ.): Բուրգի երկրաչափության սկիզբը դրվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, բայց այն ակտիվորեն զարգացել է մ. Հին Հունաստան. Առաջինը, ով հաստատեց, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, Դեմոկրիտն էր, և Եվդոքս Կնիդացին ապացուցեց դա։

Առաջին սահմանումը պատկանում է հին հույն մաթեմատիկոս, մեզ հասած մաթեմատիկայի տեսական տրակտատների հեղինակ Էվկլիդեսին։ Իր «Սկիզբների» XII հատորում նա բուրգը սահմանում է որպես մարմնական կերպար՝ սահմանափակված հարթություններով, որոնք մի հարթությունից (հիմք) միանում են մի կետում (վերևում)։ Բայց այս սահմանումը քննադատության է ենթարկվել արդեն հնում։ Այսպիսով, Հերոնը առաջարկեց բուրգի հետևյալ սահմանումը. «Սա մի եռանկյուններով սահմանափակված մի կետ է, և որի հիմքը բազմանկյուն է»:

Գոյություն ունի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ադրիեն Մարի Լեժանդրի սահմանումը, ով 1794 թվականին իր «Երկրաչափության տարրեր» աշխատության մեջ բուրգը սահմանում է հետևյալ կերպ. հարթ հիմք»:

Ժամանակակից բառարանները «բուրգ» տերմինը մեկնաբանում են հետևյալ կերպ.

	Բազմանկյուն, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մյուս դեմքերը եռանկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ	Ռուսաց լեզվի բացատրական բառարան, խմբ. Դ.Ն.Ուշակովա
	Հավասար եռանկյուններով սահմանափակված մարմին, որը կազմված է մի կետում գտնվող գագաթներից և դրանց հիմքերով քառակուսի է կազմում	V.I.Dal-ի բացատրական բառարան
	Բազմանկյուն, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը՝ ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ	Բացատրական բառարան, խմբ. Ս. Ի. Օժեգովան և Ն. Յու. Շվեդովան
	Բազմանկյուն, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ կողային երեսները՝ եռանկյուններ, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ	T. F. Efremov. Ռուսաց լեզվի նոր բացատրական և ածանցյալ բառարան.
	Բազմեյդրոն, որի մի դեմքը բազմանկյուն է, իսկ մյուս դեմքերը՝ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ	Օտար բառերի բառարան
	Երկրաչափական մարմինը, որի հիմքը բազմանկյուն է, և որի կողմերը նույնքան եռանկյուն են, որքան հիմքը, ունի կողմեր, որոնց գագաթները համընկնում են մեկ կետի:	Ռուսաց լեզվի օտար բառերի բառարան
	Բազմանկյուն, որի մի երեսը ինչ-որ հարթ բազմանկյուն է, իսկ մնացած բոլոր երեսները եռանկյուններ են, որոնց հիմքերը եռանկյան հիմքի կողմերն են, իսկ գագաթները միանում են մի կետում։	Ֆ. Բրոքհաուս, Ի.Ա. Էֆրոն. Հանրագիտարանային բառարան
	Բազմեյդրոն, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ	Ժամանակակից Բառարան
	Բազմանդրոն, որի դեմքերից մեկը բազմանկյուն է, իսկ մյուս դեմքերը՝ ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ	Մաթեմատիկական Հանրագիտարանային բառարան

Վերլուծելով բուրգի սահմանումները՝ կարող ենք եզրակացնել, որ բոլոր աղբյուրներն ունեն նմանատիպ ձևակերպումներ.

Բուրգը բազմանկյուն է, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ: Ըստ հիմքի անկյունների քանակի՝ բուրգերը լինում են եռանկյուն, քառանկյուն և այլն։

A 1 A 2 A 3 ... An բազմանկյունը բուրգի հիմքն է, իսկ RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PANA 1 եռանկյունները բուրգի կողային երեսներն են, P-ը՝ գագաթը։ բուրգի հատվածները RA 1, RA 2, ..., PAn - կողային կողիկներ:

Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանը գծված ուղղահայացը կոչվում է հբուրգեր.

Բացի կամայական բուրգից, կա կանոնավոր բուրգ, որի հիմքում կան կանոնավոր բազմանկյուն և կտրված բուրգ։

տարածքԲուրգի ընդհանուր մակերեսը նրա բոլոր երեսների մակերեսների գումարն է։ Sfull = S կողմ + S հիմնական, որտեղ S կողմը կողային երեսների մակերեսների գումարն է:

Ծավալըբուրգը գտնում ենք բանաձևով՝ V=1/3S main.h, որտեղ S հիմնական. - բազայի տարածքը, h - բարձրությունը:

TO բուրգի հատկություններըառնչվում են:

Երբ բոլոր կողային եզրերը նույն չափի են, ապա հեշտ է նկարագրել շրջանագիծը բուրգի հիմքի մոտ, մինչդեռ բուրգի գագաթը նախագծված կլինի այս շրջանի կենտրոնում. կողային կողերը կազմում են նույն անկյունները բազային հարթության հետ; բացի այդ, ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն. երբ կողային ծայրերը հավասար անկյուններ են կազմում բազային հարթության հետ, կամ երբ բուրգի հիմքի մոտ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել, և բուրգի գագաթը դուրս կգա այս շրջանագծի կենտրոնում, ապա բուրգի բոլոր կողային եզրերն ունեն. նույն չափը:

Երբ կողային երեսները թեքության անկյուն ունեն նույն արժեքի հիմքի հարթության նկատմամբ, ապա հեշտ է նկարագրել շրջանագիծը բուրգի հիմքի մոտ, մինչդեռ բուրգի գագաթը նախագծված կլինի այս շրջանի կենտրոնում: ; կողային երեսների բարձրություններն են հավասար երկարություն; կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողային երեսի բարձրության արտադրյալի կեսին:

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե նրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում։ Կանոնավոր բուրգի կողային երեսները հավասար են, հավասարաչափ եռանկյունիներ (նկ. 2ա): առանցքԿանոնավոր բուրգը կոչվում է ուղիղ գիծ, որը պարունակում է իր բարձրությունը: Ապոթեմ -կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը՝ գծված նրա գագաթից։

ՔառակուսիԿանոնավոր բուրգի կողային երեսը արտահայտվում է հետևյալ կերպ. \u003d 1 / 2P h, որտեղ P-ը հիմքի պարագիծն է, h-ը կողային երեսի բարձրությունն է (կանոնավոր բուրգի ապոտեմ): Եթե բուրգը հատվում է հիմքին զուգահեռ A'B'C'D' հարթությամբ, ապա. կողային կողիկներիսկ բարձրությունը այս հարթությամբ բաժանվում է համամասնական մասերի. հատվածում ստացվում է A'B'C'D' բազմանկյուն, որը նման է հիմքին. հատվածի և հիմքի տարածքները կապված են վերևից դրանց հեռավորությունների քառակուսիների հետ:

Կտրված բուրգստացվում է բուրգից դրա վերին մասը հիմքին զուգահեռ հարթությամբ կտրելով (նկ. 2բ): Կտրված բուրգի հիմքերը ABCD և A`B`C`D` նման բազմանկյուններ են, կողային երեսները` trapezoids: Կտրված բուրգի բարձրությունը հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է: Կտրված բուրգի ծավալը գտնում ենք բանաձևով՝ V=1/3 h (S + + S'), որտեղ S և S' ABCD և A'B'C'D' հիմքերի մակերեսներն են, h-ն է՝ բարձրությունը։

Կանոնավոր կտրված n-անկյունային բուրգի հիմքերը - կանոնավոր n-gons. Կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը արտահայտվում է հետևյալ կերպ. \u003d ½ (P + P ') h, որտեղ P և P' հիմքերի պարագծերն են, h-ը կողային երեսի բարձրությունն է (կանոնավոր կտրված բուրգի ապոտեմը)

Բուրգի գագաթով անցնող հարթություններով հատվածները եռանկյուն են: Բուրգի երկու ոչ հարևան կողային եզրերով անցնող հատվածը կոչվում է անկյունագծային հատված։ Եթե հատվածն անցնում է կողային եզրին և հիմքի կողային կետով, ապա այս կողմը կլինի նրա հետքը բուրգի հիմքի հարթության վրա: Բուրգի երեսին ընկած կետով և հիմքի հարթության վրա գտնվող հատվածի տրված հետքով անցնող հատված, այնուհետև շինարարությունը պետք է կատարվի հետևյալ կերպ. գտնել տվյալ երեսի հարթության հատման կետը և բուրգի հատվածի հետք և նշանակել այն. կառուցել ուղիղ գիծ, որն անցնում է տվյալ կետով և ստացված հատման կետով. Կրկնեք այս քայլերը հաջորդ դեմքերի համար:

Ուղղանկյուն բուրգ -դա բուրգ է, որի կողային եզրերից մեկն ուղղահայաց է հիմքին: Այս դեպքում այս եզրը կլինի բուրգի բարձրությունը (նկ. 2c):

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգ- Սա բուրգ է, որի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է, իսկ գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում: Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հատուկ դեպք է քառաեդրոն. (նկ. 2ա)

Դիտարկենք բուրգը այլ երկրաչափական մարմինների հետ կապող թեորեմները։

Ոլորտ

Գունդը կարելի է նկարագրել բուրգի մոտ, երբ բուրգի հիմքում ընկած է բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան (անհրաժեշտ և բավարար պայման) Ոլորտի կենտրոնը կլինի բուրգի եզրերի նրանց ուղղահայաց միջնակետերով անցնող հարթությունների հատման կետը։ Այս թեորեմից հետևում է, որ գունդը կարելի է նկարագրել ինչպես ցանկացած եռանկյունի, այնպես էլ ցանկացած կանոնավոր բուրգի մասին. Գունդը կարելի է մակագրել բուրգի մեջ, երբ բուրգի ներքին երկանկյուն անկյունների կիսադիր հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ Այս կետը կլինի ոլորտի կենտրոնը։

Կոն

Կոնը կոչվում է բուրգի մեջ գրված, եթե դրանց գագաթները համընկնում են, իսկ հիմքը գրված է բուրգի հիմքում։ Ընդ որում, կոն բուրգի մեջ կարելի է ներքաշել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի ապոտեմները հավասար են միմյանց (անհրաժեշտ և բավարար պայման); Կոն կոչվում է բուրգի մոտ գրված, երբ դրանց գագաթները համընկնում են, իսկ հիմքը գրված է բուրգի հիմքի մոտ: Ընդ որում, բուրգի մոտ կոնը կարելի է նկարագրել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց (անհրաժեշտ և բավարար պայման); Նման կոնների և բուրգերի բարձրությունները հավասար են միմյանց:

Մխոց

Մխոցը կոչվում է բուրգի մեջ գրված, եթե նրա հիմքերից մեկը համընկնում է բուրգի հատվածում հիմքին զուգահեռ հարթությամբ մակագրված շրջանագծի հետ, իսկ մյուս հիմքը պատկանում է բուրգի հիմքին։ Մխոցը կոչվում է գրված բուրգի մոտ, եթե բուրգի գագաթը պատկանում է նրա հիմքերից մեկին, իսկ մյուս հիմքը գրված է բուրգի հիմքի մոտ։ Ընդ որում, բուրգի մոտ մխոց կարելի է նկարագրել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքում կա ներգծված բազմանկյուն (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։

Շատ հաճախ գիտնականներն իրենց հետազոտություններում օգտագործում են բուրգի հատկությունները Ոսկե հարաբերակցության համամասնություններով. Թե ինչպես են օգտագործվել ոսկե հատվածի հարաբերակցությունները բուրգերը կառուցելիս, մենք կքննարկենք հաջորդ պարբերությունում, իսկ այստեղ կանդրադառնանք ոսկե հատվածի սահմանմանը:

Մաթեմատիկական հանրագիտարանային բառարանը տալիս է հետևյալ սահմանումը ոսկե հատված- սա AB հատվածի բաժանումն է երկու մասի այնպես, որ նրա AC-ի մեծ մասը միջին համամասնությունն է ամբողջ AB հատվածի և նրա փոքր մասի CB-ի միջև:

AB = a հատվածի Ոսկե հատվածի հանրահաշվական հայտնաբերումը կրճատվում է a՝ x = x: (a-x) հավասարումը լուծելով, որտեղից x-ը մոտավորապես հավասար է 0,62a-ի: x հարաբերակցությունը կարող է արտահայտվել n/n+1= կոտորակների տեսքով 0,618, որտեղ n-ը n համարակալված Ֆիբոնաչիի թիվն է:

Ոսկե հարաբերակցությունը հաճախ օգտագործվում է արվեստի գործերում, ճարտարապետության մեջ և հանդիպում է բնության մեջ: Վառ օրինակներ են Ապոլլոն Բելվեդերեի քանդակը, Պարթենոնը։ Պարթենոնի կառուցման ժամանակ օգտագործվել է շենքի բարձրության և երկարության հարաբերակցությունը և այդ հարաբերակցությունը 0,618 է։ Մեզ շրջապատող առարկաները նույնպես տալիս են Ոսկե հարաբերակցության օրինակներ, օրինակ, շատ գրքերի կապանքները նույնպես ունեն լայնության և երկարության հարաբերակցությունը մոտ 0,618:

Այսպիսով, ուսումնասիրելով գիտահանրամատչելի գրականությունը հետազոտական խնդրի վերաբերյալ, մենք եկանք այն եզրակացության, որ բուրգը բազմանկյուն է, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով։ Մենք ուսումնասիրեցինք բուրգի տարրերն ու հատկությունները, դրա տեսակները և հարաբերակցությունը Ոսկե հատվածի համամասնությունների հետ:

2. Բուրգի առանձնահատկությունները

Այսպիսով, Մեծ հանրագիտարանային բառարանում գրված է, որ բուրգը մոնումենտալ կառույց է երկրաչափական ձևբուրգեր (երբեմն աստիճանավոր կամ աշտարակի տեսքով): 3-2-րդ հազարամյակի հին եգիպտական փարավոնների դամբարանները կոչվում էին բուրգեր։ ե., ինչպես նաև տաճարների պատվանդանները Կենտրոնական և Հարավային Ամերիկակապված է տիեզերական պաշտամունքների հետ։ Եգիպտոսի վիթխարի բուրգերի շարքում առանձնահատուկ տեղ է գրավում Քեոպսի փարավոնի Մեծ բուրգը։ Նախքան Քեոպսի բուրգի ձևի և չափերի վերլուծությանը անցնելը, պետք է հիշել, թե ինչ միջոցների համակարգ էին կիրառում եգիպտացիները։ Եգիպտացիներն ունեին երեք միավոր երկարություն՝ «կուբիտ» (466 մմ), հավասար յոթ «ափի» (66,5 մմ), որն իր հերթին հավասար էր չորս «մատի» (16,6 մմ)։

Հետազոտողների մեծամասնությունը համաձայն է, որ բուրգի հիմքի կողմի երկարությունը, օրինակ՝ GF, L=233,16 մ է։ 500 «կուբիտի» լրիվ համապատասխանությունը կլինի, եթե «կուբիտի» երկարությունը համարվի հավասար 0,4663 մ։

Բուրգի (H) բարձրությունը հետազոտողները տարբեր կերպ են գնահատում 146,6-ից մինչև 148,2 մ: Եվ կախված բուրգի ընդունված բարձրությունից՝ փոխվում են նրա երկրաչափական տարրերի բոլոր հարաբերությունները: Ինչո՞վ է պայմանավորված բուրգի բարձրության գնահատման տարբերությունները: Բանն այն է, որ Քեոպսի բուրգը կտրված է։ Նրա վերին հարթակն այսօր ունի մոտավորապես 10x10 մ չափսեր, իսկ մեկ դար առաջ այն եղել է 6x6 մ, ակնհայտ է, որ բուրգի գագաթը ապամոնտաժվել է, և այն չի համապատասխանում սկզբնականին։ Գնահատելով բուրգի բարձրությունը՝ անհրաժեշտ է հաշվի առնել այնպիսի ֆիզիկական գործոն, ինչպիսին է կառուցվածքի նստվածքը։ Հետևում երկար ժամանակվիթխարի ճնշման ազդեցության տակ (ստորին մակերեսի 1 մ 2-ի համար հասնելով 500 տոննայի) բուրգի բարձրությունը նվազել է սկզբնական բարձրության համեմատ։ Բուրգի սկզբնական բարձրությունը կարող է վերստեղծվել, եթե գտնեք հիմնական երկրաչափական գաղափարը:

1837 թվականին անգլիացի գնդապետ Գ. Ուայզը չափեց բուրգի երեսների թեքության անկյունը. պարզվեց, որ այն հավասար է a = 51 ° 51: Այս արժեքը մինչ օրս ճանաչվում է հետազոտողների մեծ մասի կողմից: Նշված արժեքը Անկյունը համապատասխանում է շոշափողին (tg a), հավասար է 1,27306-ի:Այս արժեքը համապատասխանում է AC բուրգի բարձրության հարաբերակցությանը նրա բազային CB-ի կեսին, այսինքն՝ AC / CB = H / (L / 2) = 2H / Լ.

Եվ ահա հետազոտողներին մեծ անակնկալ էր սպասվում։ Փաստն այն է, որ եթե վերցնենք ոսկե հարաբերակցության քառակուսի արմատը, ապա կստանանք հետևյալ արդյունքը = 1.272: Համեմատելով այս արժեքը tg a = 1.27306 արժեքի հետ, մենք տեսնում ենք, որ այս արժեքները շատ մոտ են միմյանց: Եթե վերցնենք a \u003d 51 ° 50 " անկյունը, այսինքն՝ այն փոքրացնենք ընդամենը մեկ աղեղային րոպեով, ապա a-ի արժեքը հավասար կլինի 1,272-ի, այսինքն՝ այն կհամընկնի արժեքի հետ։ Պետք է նշել, որ 1840 թվականին Գ. Ուայսը կրկնեց իր չափումները և պարզաբանեց, որ անկյան արժեքը a \u003d 51 ° 50»:

Այս չափումները հանգեցրին հետազոտողներին հետևյալ հետաքրքիր վարկածին. Քեոպսի բուրգի ASV եռանկյունը հիմնված էր AC/CB = 1,272 հարաբերակցության վրա:

Հաշվի առեք հիմա ուղղանկյուն եռանկյուն ABC, որի ոտքերի հարաբերակցությունը AC / CB = . Եթե մենք այժմ նշում ենք ABC ուղղանկյան կողմերի երկարությունները որպես x, y, z, ինչպես նաև հաշվի առնենք, որ y / x \u003d հարաբերակցությունը, ապա Պյութագորասի թեորեմի համաձայն, z երկարությունը կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ. բանաձև:

Եթե ընդունենք x = 1, y = , ապա.

Ուղղանկյուն եռանկյունը, որի կողմերը կապված են t::1 ձևով, կոչվում է «ոսկե» ուղղանկյուն եռանկյուն:

Այնուհետև, եթե հիմք ընդունենք այն վարկածը, որ Քեոպսի բուրգի հիմնական «երկրաչափական գաղափարը» «ոսկե» ուղղանկյուն եռանկյունին է, ապա այստեղից հեշտ է հաշվարկել Քեոպսի բուրգի «նախագծային» բարձրությունը։ Այն հավասար է.

H \u003d (L / 2) / \u003d 148,28 մ.

Այժմ բերենք մի քանի այլ հարաբերություններ Քեոպսի բուրգի համար, որոնք բխում են «ոսկե» վարկածից։ Մասնավորապես, մենք գտնում ենք բուրգի արտաքին տարածքի հարաբերակցությունը նրա հիմքի մակերեսին: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք CB ոտքի երկարությունը որպես միավոր, այսինքն. S EFGH = 4.

Այժմ հաշվարկենք Քեոպսի բուրգի կողային երեսի մակերեսը S D. Քանի որ AEF եռանկյան AB բարձրությունը հավասար է t-ի, ապա կողային երեսի մակերեսը հավասար կլինի S D = t: Այնուհետև բուրգի բոլոր չորս կողային երեսների ընդհանուր մակերեսը հավասար կլինի 4 տ, և բուրգի ընդհանուր արտաքին մակերեսի հարաբերությունը հիմքի մակերեսին հավասար կլինի ոսկե հարաբերակցությանը.. Սա Քեոպսի բուրգի գլխավոր երկրաչափական գաղտնիքն է։

Եվ նաև, եգիպտական բուրգերի կառուցման ժամանակ պարզվեց, որ բուրգի բարձրության վրա կառուցված հրապարակը, ճիշտ. մակերեսին հավասարկողային եռանկյուններից յուրաքանչյուրը: Դա հաստատում են վերջին չափումները։

Մենք գիտենք, որ շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունը հաստատուն արժեք է, որը քաջ հայտնի է ժամանակակից մաթեմատիկոսներին, դպրոցականներին. սա «Pi» թիվն է = 3,1416... Բայց եթե գումարենք հիմքի չորս կողմերը: Քեոպսի բուրգ, ստանում ենք 931,22 մ: Սա բուրգի բարձրությունից երկու անգամ մեծ թիվ է բաժանելով (2x148,208), ստանում ենք 3,1416 ..., այսինքն՝ «Pi» թիվը: Հետեւաբար, Քեոպսի բուրգը եզակի հուշարձան է, որը մաթեմատիկայի մեջ կարեւոր դեր ունեցող «Պի» թվի նյութական մարմնավորումն է։

Այսպիսով, ոսկե հատվածի բուրգի չափի առկայությունը - բուրգի կրկնապատկված կողմի և նրա բարձրության հարաբերակցությունը - պ թվին արժեքով շատ մոտ թիվ է:Սա, իհարկե, նույնպես հատկանիշ է։ Թեև շատ հեղինակներ կարծում են, որ այս զուգադիպությունը պատահական է, քանի որ 14/11 կոտորակը «լավ մոտարկում է. քառակուսի արմատոսկե կտրվածքի հարաբերակցությունից և դրա մեջ ներգծված քառակուսու և շրջանագծի մակերեսների հարաբերության համար։

Սակայն այստեղ միայն եգիպտական բուրգերի մասին խոսելը սխալ է։ Կան ոչ միայն եգիպտական բուրգեր, կա բուրգերի մի ամբողջ ցանց Երկրի վրա: Հիմնական հուշարձանները (եգիպտական և մեքսիկական բուրգերը, Զատկի կղզին և Անգլիայի Սթոունհենջի համալիրը) առաջին հայացքից պատահականորեն ցրված են մեր մոլորակով մեկ: Բայց եթե ուսումնասիրությունը ներառում է տիբեթյան բուրգի համալիրը, ապա Երկրի մակերեսին դրանց գտնվելու վայրի մաթեմատիկական խիստ համակարգ է հայտնվում։ Հիմալայան լեռնաշղթայի ֆոնի վրա հստակորեն առանձնանում է բրգաձև գոյացություն՝ Կայլաշ լեռը։ Շատ հետաքրքիր է Կայլաշ քաղաքի, եգիպտական և մեքսիկական բուրգերի գտնվելու վայրը, մասնավորապես, եթե Քայլաշ քաղաքը կապում եք մեքսիկական բուրգերի հետ, ապա դրանք միացնող գիծը գնում է Զատկի կղզի։ Եթե Կայլաշ քաղաքը կապում եք եգիպտական բուրգերի հետ, ապա նրանց կապի գիծը կրկին գնում է Զատկի կղզի։ Ուղիղ մեկ չորրորդը երկրագունդը. Եթե միացնենք մեքսիկական բուրգերն ու եգիպտականները, ապա կտեսնենք երկուսը հավասար եռանկյուն. Եթե գտնում եք նրանց տարածքը, ապա դրանց գումարը հավասար է երկրագնդի տարածքի մեկ չորրորդին:

Բացահայտվել է տիբեթյան բուրգերի համալիրի անվիճելի կապը այլ կառույցների հետհնություն - եգիպտական և մեքսիկական բուրգեր, Զատկի կղզու կոլոսները և Անգլիայի Սթոունհենջի համալիրը: Տիբեթի գլխավոր բուրգի` Կայլաշ լեռան բարձրությունը կազմում է 6714 մետր: Հեռավորությունը Կայլաշից մինչև Հյուսիսային բեւեռհավասար է 6714 կմ, Քայլաշից Սթոունհենջ հեռավորությունը կազմում է 6714 կիլոմետր։ Եթե դուք մի կողմ դնեք երկրագնդի վրա Հյուսիսային բևեռից սրանք 6714 կիլոմետրեր, ապա կհասնենք այսպես կոչված Սատանայի աշտարակին, որը նման է կտրված բուրգի։ Եվ վերջապես հենց 6714 կմ Սթոունհենջից մինչև Բերմուդյան եռանկյունի:

Այս ուսումնասիրությունների արդյունքում կարելի է եզրակացնել, որ Երկրի վրա գոյություն ունի բրգաձեւ-աշխարհագրական համակարգ։

Այսպիսով, հատկանիշներն են բուրգի ընդհանուր արտաքին մակերեսի հարաբերությունը հիմքի մակերեսին հավասար կլինի ոսկե հարաբերակցությանը.ոսկե հատվածի բուրգի չափի առկայությունը՝ բուրգի կրկնակի կողմի հարաբերակցությունը նրա բարձրությանը, արժեքով շատ մոտ թիվ π թվին է, այսինքն. Քեոպսի բուրգը եզակի հուշարձան է, որը «Պի» թվի նյութական մարմնավորումն է. բրգաձեւ աշխարհագրական համակարգի առկայությունը։

3. Բուրգի այլ հատկություններ և կիրառություններ:

Դիտարկենք դրա գործնական կիրառումը երկրաչափական պատկեր. Օրինակ, հոլոգրամ:Նախ, եկեք տեսնենք, թե ինչ է հոլոգրաֆիան: Հոլոգրաֆիա -օպտիկական էլեկտրամագնիսական ճառագայթման ալիքային դաշտերը ճշգրիտ գրանցելու, վերարտադրելու և ձևափոխելու տեխնոլոգիաների մի շարք, հատուկ լուսանկարչական մեթոդ, որում գրանցվում են եռաչափ առարկաների պատկերները, այնուհետև վերականգնվում լազերի միջոցով. ամենաբարձր աստիճանընման են իրականներին: Հոլոգրամը հոլոգրաֆիայի արդյունք է, եռաչափ պատկեր, որը ստեղծվել է լազերի միջոցով, որը վերարտադրում է եռաչափ առարկայի պատկերը։ Օգտագործելով սովորական կտրված քառանիստ բուրգը, կարող եք վերստեղծել պատկեր՝ հոլոգրամ: Ստեղծվում է կիսաթափանցիկ նյութից ֆոտոֆայլ և սովորական կտրված քառանիստ բուրգ: Ամենաներքևի պիքսելից և միջին պիքսելից փոքր նահանջ է արվում y առանցքի նկատմամբ: Այս կետըկլինի հատվածի կողմից ձևավորված քառակուսի կողմի միջնակետը: Լուսանկարը բազմապատկվում է, և դրա պատճենները գտնվում են նույն կերպ մյուս երեք կողմերի համեմատ: Քառակուսու վրա դրվում է բուրգ, որի հատվածը ներքև է, որպեսզի այն համընկնի քառակուսու հետ: Մոնիտորը լույսի ալիք է առաջացնում, չորս միանման լուսանկարներից յուրաքանչյուրը, գտնվելով հարթության մեջ, որը բուրգի դեմքի պրոյեկցիան է, ընկնում է հենց դեմքի վրա: Արդյունքում, չորս երեսներից յուրաքանչյուրի վրա մենք ունենք նույն պատկերները, և քանի որ նյութը, որից պատրաստված է բուրգը, ունի թափանցիկության հատկություն, ալիքները կարծես բեկվում են՝ հանդիպելով կենտրոնում։ Արդյունքում մենք ստանում ենք նույն միջամտության օրինակը կանգնած ալիք, որի կենտրոնական առանցքը կամ պտտման առանցքը կանոնավոր կտրված բուրգի բարձրությունն է։ Այս մեթոդն աշխատում է նաև վիդեո պատկերի հետ, քանի որ գործողության սկզբունքը մնում է անփոփոխ։

Հաշվի առնելով առանձին դեպքեր՝ կարելի է տեսնել, որ բուրգը լայնորեն կիրառվում է Հայաստանում Առօրյա կյանքնույնիսկ տնային տնտեսությունում: Բուրգաձև ձևը հաճախ հանդիպում է հիմնականում բնության մեջ՝ բույսեր, բյուրեղներ, մեթանի մոլեկուլն ունի կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ձև՝ քառաեդրոն,Ադամանդի բյուրեղի միավոր բջիջը նույնպես քառանիստ է, որի կենտրոնում և չորս գագաթները ածխածնի ատոմներ են: Տանը հայտնաբերվում են բուրգեր, մանկական խաղալիքներ։ Կոճակները, համակարգչային ստեղնաշարերը հաճախ նման են քառանկյուն կտրված բուրգին: Դրանք կարելի է տեսնել շինարարական տարրերի կամ հենց ճարտարապետական կառույցների տեսքով, որպես տանիքի կիսաթափանցիկ կառույցներ:

Դիտարկենք «բուրգ» տերմինի օգտագործման ևս մի քանի օրինակ.

Էկոլոգիական բուրգեր- սրանք գրաֆիկական մոդելներ են (սովորաբար եռանկյունների տեսքով), որոնք արտացոլում են անհատների թիվը (թվերի բուրգ), նրանց կենսազանգվածի քանակը (կենսազանգվածի բուրգ) կամ դրանցում պարունակվող էներգիան (էներգետիկ բուրգ) յուրաքանչյուր տրոֆիկ մակարդակում և ցույց են տալիս. բոլոր ցուցանիշների նվազումը տրոֆիկ մակարդակի բարձրացմամբ

Տեղեկատվական բուրգ.Այն արտացոլում է հիերարխիան տարբեր տեսակներտեղեկատվություն։ Տեղեկատվության տրամադրումը կառուցված է հետևյալ բրգաձև սխեմայի համաձայն. վերևում - հիմնական ցուցանիշները, որոնց միջոցով դուք կարող եք միանշանակ հետևել ձեռնարկության շարժման տեմպին դեպի ընտրված նպատակ: Եթե ինչ-որ բան այն չէ, ապա կարող եք գնալ բուրգի միջին մակարդակ՝ ընդհանրացված տվյալներ: Նրանք հստակեցնում են պատկերը յուրաքանչյուր ցուցանիշի համար առանձին կամ միմյանց նկատմամբ։ Այս տվյալներից կարելի է որոշել հնարավոր վայրձախողում կամ խնդիր: Ավելին ամբողջական տեղեկատվությունդուք պետք է դիմեք բուրգի հիմքին `բոլոր գործընթացների վիճակի մանրամասն նկարագրությունը թվային տեսքով: Այս տվյալները օգնում են բացահայտել խնդրի պատճառը, որպեսզի հետագայում այն հնարավոր լինի շտկել և խուսափել:

Բլումի տաքսոնոմիա.Բլումի տաքսոնոմիան առաջարկում է առաջադրանքների դասակարգում բուրգի տեսքով, որը ուսուցիչները սահմանում են ուսանողներին և, համապատասխանաբար, ուսուցման նպատակներին: Նա կրթական նպատակները բաժանում է երեք ոլորտների՝ ճանաչողական, աֆեկտիվ և հոգեմետորական: Յուրաքանչյուր առանձին բնագավառում ավելի բարձր մակարդակի անցնելու համար անհրաժեշտ է այս ոլորտում աչքի ընկնող նախորդ մակարդակների փորձը։

Ֆինանսական բուրգ- կոնկրետ իրադարձություն տնտեսական զարգացում. «Բուրգ» անվանումը հստակ ցույց է տալիս այն իրավիճակը, երբ բուրգի «ներքևում» մարդիկ փող են տալիս փոքրիկ գագաթին։ Միևնույն ժամանակ, յուրաքանչյուր նոր մասնակից վճարում է բուրգի գագաթին իր բարձրացման հնարավորությունը մեծացնելու համար։

Կարիքների բուրգՄասլոուն արտացոլում է մոտիվացիայի ամենահայտնի և հայտնի տեսություններից մեկը՝ հիերարխիայի տեսությունը։ կարիքները. Մասլոուն կարիքները բաշխեց աճման կարգով՝ նման կառուցումը բացատրելով նրանով, որ մարդը չի կարող կարիքներ զգալ։ բարձր մակարդակմինչդեռ ավելի պարզունակ բաների կարիք ունեն: Քանի որ ցածր կարիքները բավարարվում են, ավելի բարձր մակարդակի կարիքները դառնում են ավելի ու ավելի հրատապ, բայց դա ամենևին չի նշանակում, որ նախկին կարիքի տեղը զբաղեցնում է նորը միայն այն դեպքում, երբ առաջինը լիովին բավարարված է։

«Բուրգ» տերմինի օգտագործման մեկ այլ օրինակ է սննդի բուրգ -դիետոլոգների կողմից մշակված առողջ սնվելու սկզբունքների սխեմատիկ ներկայացում: Բուրգի ստորին մասում գտնվող մթերքները պետք է հնարավորինս հաճախ օգտագործել, մինչդեռ բուրգի վերին մասում գտնվող մթերքները պետք է խուսափել կամ օգտագործել սահմանափակ քանակությամբ:

Այսպիսով, վերը նշված բոլորը ցույց են տալիս բուրգի օգտագործման բազմազանությունը մեր կյանքում: Թերևս բուրգը շատ ավելի բարձր նպատակ ունի և նախատեսված է ավելին, քան դրանք գործնական ուղիներդրա օգտագործումը, որոնք այժմ բաց են:

Եզրակացություն

Մենք մեր կյանքում անընդհատ հանդիպում ենք բուրգերի՝ դրանք հնագույն են Եգիպտական բուրգերև խաղալիքներ, որոնցով երեխաները խաղում են; ճարտարապետության և դիզայնի առարկաներ, բնական բյուրեղներ; վիրուսներ, որոնք կարող են միայն դիտարկվել էլեկտրոնային մանրադիտակ. Իր գոյության բազմաթիվ հազարամյակների ընթացքում բուրգերը դարձել են մի տեսակ խորհրդանիշ, որն անձնավորում է գիտելիքի գագաթնակետին հասնելու մարդու ցանկությունը:

Ուսումնասիրության ընթացքում մենք պարզեցինք, որ բուրգերը բավականին տարածված երևույթ են ամբողջ աշխարհում:

Մենք ուսումնասիրեցինք գիտահանրամատչելի գրականությունը հետազոտության թեմայով, ուսումնասիրեցինք «բուրգ» տերմինի տարբեր մեկնաբանություններ, որոշեցինք, որ երկրաչափական իմաստով բուրգը բազմանկյուն է, որի հիմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են ընդհանուր գագաթ. Մենք ուսումնասիրել ենք բուրգերի տեսակները (կանոնավոր, կտրված, ուղղանկյուն), տարրերը (ապոթեմ, կողային երեսներ, կողային եզրեր, վերև, բարձրություն, հիմք, անկյունագծային հատված) և հավասար կողային եզրերով և կողային երեսները թեքված երկրաչափական բուրգերի հատկությունները։ դեպի բազային հարթությունը մեկ անկյան տակ: Դիտարկեցինք բուրգը այլ երկրաչափական մարմինների հետ (գունդ, կոն, գլան) կապող թեորեմները։

Բուրգի առանձնահատկություններն են.

բուրգի ընդհանուր արտաքին մակերեսի հարաբերությունը հիմքի մակերեսին հավասար կլինի ոսկե հարաբերակցությանը.

ոսկե հատվածի բուրգի չափի առկայությունը՝ բուրգի կրկնակի կողմի հարաբերակցությունը նրա բարձրությանը, արժեքով շատ մոտ թիվ π թվին է, այսինքն. Քեոպսի բուրգը եզակի հուշարձան է, որը «Պի» թվի նյութական մարմնավորումն է.

բրգաձեւ աշխարհագրական համակարգի առկայությունը։

Մենք ուսումնասիրեցինք այս երկրաչափական գործչի ժամանակակից կիրառությունը: Մենք ուսումնասիրեցինք, թե ինչպես են կապված բուրգը և հոլոգրամը, ուշադրություն հրավիրեցինք այն փաստի վրա, որ բրգաձև ձևն ամենից հաճախ հանդիպում է բնության մեջ (բույսեր, բյուրեղներ, մեթանի մոլեկուլներ, ադամանդի ցանցի կառուցվածքը և այլն): Ողջ ուսումնասիրության ընթացքում մենք հանդիպեցինք բուրգի հատկությունների օգտագործումը գիտության և տեխնիկայի տարբեր ոլորտներում, մարդկանց առօրյա կյանքում, տեղեկատվության վերլուծության, տնտեսության և շատ այլ ոլորտներում հաստատող նյութերի: Եվ նրանք եկան այն եզրակացության, որ, հավանաբար, բուրգերը շատ ավելի բարձր նպատակ ունեն և նախատեսված են ավելին, քան դրանց գործնական օգտագործման համար, որոնք այժմ բաց են:

Մատենագիտություն.

Van der Waerden, Barthel Leendert. Զարթոնքի գիտություն. Մաթեմատիկա Հին Եգիպտոս, Բաբելոն և Հունաստան։ [Տեքստ] / B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007 թ

Վոլոշինով Ա.Վ. Մաթեմատիկա և արվեստ. [Տեքստ] / Ա.Վ. Վոլոշինով - Մոսկվա: «Լուսավորություն» 2000 թ.

Համաշխարհային պատմություն(հանրագիտարան երեխաների համար): [Տեքստ] / - Մ .: «Ավանտա +», 1993 թ.

հոլոգրամ . [Էլեկտրոնային ռեսուրս] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - հոդված ինտերնետում

Երկրաչափություն [Տեքստ]: Պրոց. 10-11 բջիջ: ուսումնական հաստատությունների համար Լ. Ս. Աթանասյան, Վ. Ֆ. Բուտուզով և այլք - 22-րդ հրատարակություն: - Մ.: Լուսավորություն, 2013

Coppens F. Բուրգերի նոր դարաշրջան. [Տեքստ] / F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010 թ

Մաթեմատիկական հանրագիտարանային բառարան. [Տեքստ] / Ա.Մ. Պրոխորով և ուրիշներ - Մ.: Խորհրդային հանրագիտարան, 1988.

Մուլդաշև Է.Ռ. Հնության բուրգերի և հուշարձանների համաշխարհային համակարգը մեզ փրկեց աշխարհի վերջից, բայց ... [Տեքստ] / E.R. Muldashev - M .: «AiF-Print»; Մ.՝ «ՕԼՄԱ-ՊՐԵՍ»; Սանկտ Պետերբուրգ. Հրատարակչություն«Նևա»; 2003 թ.

Perelman Ya. I. Զվարճալի թվաբանություն: [Տեքստ] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017 թ.

Reichard G. Pyramids. [Տեքստ] / Հանս Ռայխարդ - Մ .: Սլովո, 1978

Terra Lexicon. Պատկերազարդ հանրագիտարանային բառարան. [Տեքստ] / - Մ.: TERRA, 1998:

Թոմփկինս Պ. Քեոպսի մեծ բուրգի գաղտնիքները. [Տեքստ]/ Փիթեր Թոմփկինս. - Մ.: «Ցենտրոպոլիգրաֆ», 2008

Ուվարով Վ. Բուրգերի կախարդական հատկությունները. [Տեքստ] / Վ. Ուվարով - Լենիզդատ, 2006 թ.

Շարիգին Ի.Ֆ. Երկրաչափություն 10-11 դասարան. [Տեքստ] / I.F. Շարիգին. - Մ: «Լուսավորություն», 2000 թ

Յակովենկո Մ. Բուրգը հասկանալու բանալին [Էլեկտրոնային ռեսուրս] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - հոդված ինտերնետում

Առաջին մակարդակ

Բուրգ. տեսողական ուղեցույց (2019)

Ի՞նչ է բուրգը:

Ինչպե՞ս է նա նայում:

Դուք տեսնում եք. ներքևի բուրգի մոտ (նրանք ասում են. հիմքում«») որոշ բազմանկյուն, և այս բազմանկյան բոլոր գագաթները կապված են տարածության ինչ-որ կետի հետ (այս կետը կոչվում է « գագաթ»).

Այս ամբողջ կառույցն ունի կողմնակի դեմքեր, կողային կողիկներԵվ հիմքի կողիկներ. Եվս մեկ անգամ, եկեք բուրգ նկարենք այս բոլոր անունների հետ միասին.

Որոշ բուրգեր կարող են շատ տարօրինակ թվալ, բայց նրանք դեռևս բուրգեր են:

Այստեղ, օրինակ, բավականին «թեք». բուրգ.

Եվ մի փոքր ավելին անունների մասին. եթե բուրգի հիմքում կա եռանկյուն, ապա բուրգը կոչվում է եռանկյուն;

Միեւնույն ժամանակ, այն կետը, որտեղ այն ընկավ բարձրությունը, կոչվում է բարձրության հիմքը. Նշենք, որ «ծուռ» բուրգերում բարձրությունըկարող է նույնիսկ բուրգից դուրս լինել: Սրա նման:

Եվ սրա մեջ ոչ մի սարսափելի բան չկա։ Կարծես թե բութ եռանկյունի լինի։

Ճիշտ բուրգ.

Շատ բարդ բառեր? Եկեք վերծանենք. «Հիմքում՝ ճիշտ», սա հասկանալի է։ Եվ հիմա հիշեք, որ կանոնավոր բազմանկյունն ունի կենտրոն՝ մի կետ, որը և-ի կենտրոնն է, և.

Դե, իսկ «վերևը նախագծված է հիմքի կենտրոնում» բառերը նշանակում են, որ բարձրության հիմքը ընկնում է հենց հիմքի կենտրոնում: Տեսեք, թե որքան հարթ և գեղեցիկ տեսք ունի աջ բուրգ.

Վեցանկյունհիմքում - կանոնավոր վեցանկյուն, գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում:

քառանկյունհիմքում` քառակուսի, գագաթը նախագծված է այս քառակուսու անկյունագծերի հատման կետին:

եռանկյունաձևՀիմքում կանոնավոր եռանկյուն է, գագաթը նախագծված է այս եռանկյան բարձրությունների հատման կետին (դրանք նաև միջնորդներն ու կիսադիրներն են):

Շատ Կանոնավոր բուրգի կարևոր հատկությունները.

IN աջ բուրգ

բոլոր կողային եզրերը հավասար են:
բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են, և այս բոլոր եռանկյունները հավասար են:

Բուրգի ծավալը

Բուրգի ծավալի հիմնական բանաձևը.

Որտեղի՞ց այն կոնկրետ: Սա այնքան էլ պարզ չէ, և սկզբում պարզապես պետք է հիշել, որ բանաձևում բուրգը և կոնը ծավալ ունեն, իսկ գլանը՝ ոչ:

Հիմա եկեք հաշվարկենք ամենահայտնի բուրգերի ծավալը։

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը հավասար լինի: Ես պետք է գտնեմ և.

Սա ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսն է:

Եկեք հիշենք, թե ինչպես փնտրել այս տարածքը: Մենք օգտագործում ենք տարածքի բանաձևը.

Մենք ունենք «» - սա, և «» - սա նույնպես, էհ.

Հիմա եկեք գտնենք.

Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի համար

Ի՞նչ կապ ունի։ Սա շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է, քանի որ բուրգճիշտև հետևաբար կենտրոնը:

Քանի որ - հատման կետը և միջինը նույնպես:

(Պյութագորասի թեորեմ)

Փոխարինել բանաձևում.

Եկեք ամեն ինչ միացնենք ծավալի բանաձևին.

Ուշադրություն.եթե ունեք կանոնավոր քառաեդրոն (այսինքն), ապա բանաձևը հետևյալն է.

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը հավասար լինի:

Այստեղ փնտրելու կարիք չկա. քանի որ հիմքում քառակուսի է, և հետևաբար.

Եկեք գտնենք. Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի համար

Մենք գիտե՞նք։ Գրեթե. Նայել:

(մենք դա տեսանք վերանայելով):

Բանաձևում փոխարինել՝

Եվ հիմա մենք փոխարինում ենք ծավալային բանաձևի մեջ:

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը:

Ինչպե՞ս գտնել: Տեսեք, վեցանկյունը բաղկացած է ուղիղ վեց միանման կանոնավոր եռանկյուններից: Կանոնավոր եռանկյունի բուրգի ծավալը հաշվարկելիս մենք արդեն որոնել ենք կանոնավոր եռանկյան մակերեսը, այստեղ օգտագործում ենք գտնված բանաձևը։

Հիմա եկեք գտնենք (սա):

Համաձայն Պյութագորասի թեորեմի համար

Բայց դա ի՞նչ նշանակություն ունի։ Դա պարզ է, քանի որ (և բոլորը նույնպես) ճիշտ են:

Մենք փոխարինում ենք.

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ԲՈՒՐԳ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Բուրգը բազմանկյուն է, որը բաղկացած է ցանկացած հարթ բազմանկյունից (), այն կետից, որը չի գտնվում հիմքի հարթության վրա (բուրգի վերևում) և բուրգի գագաթը բազային կետերին միացնող բոլոր հատվածներից (կողային եզրեր):

Բուրգի գագաթից դեպի հիմքի հարթությունն ընկել է ուղղահայաց:

Ճիշտ բուրգ- բուրգ, որը հիմքում ունի կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում:

Սովորական բուրգի հատկությունը.

Կանոնավոր բուրգում բոլոր կողային եզրերը հավասար են:
Բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են և այս բոլոր եռանկյունները հավասար են:

Pyramid Height Base Property:

Բուրգերի տեսակները

Առաջադրանքի օրինակ

Բուրգ. տեսողական ուղեցույց (2019)

Ի՞նչ է բուրգը:

Ճիշտ բուրգ.

Բուրգի ծավալը

Բուրգի ծավալի հիմնական բանաձևը.

ԲՈՒՐԳ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Ձեզ կարող է հետաքրքրել