Տարբեր պրիզմաները տարբերվում են միմյանցից: Միեւնույն ժամանակ, նրանք շատ ընդհանրություններ ունեն։ Պրիզմայի հիմքի տարածքը գտնելու համար պետք է պարզել, թե ինչպիսի տեսք ունի այն:

Ընդհանուր տեսություն

Պրիզմա է ցանկացած բազմանիստ, որի կողմերն ունեն զուգահեռագծի ձև: Ընդ որում, ցանկացած բազմանիստ կարող է լինել իր հիմքում՝ եռանկյունից մինչև n-անկյուն: Ընդ որում, պրիզմայի հիմքերը միշտ հավասար են միմյանց. Ինչը չի վերաբերում կողային երեսներին, դրանք կարող են զգալիորեն տարբերվել չափերով:

Խնդիրները լուծելիս հանդիպում է ոչ միայն պրիզմայի հիմքի տարածքը: Հնարավոր է, որ անհրաժեշտ լինի իմանալ կողային մակերեսը, այսինքն, բոլոր դեմքերը, որոնք հիմքեր չեն: Ամբողջ մակերեսն արդեն կլինի պրիզմա կազմող բոլոր դեմքերի միավորումը։

Երբեմն առաջադրանքներում հայտնվում են բարձրություններ: Այն ուղղահայաց է հիմքերին։ Բազմեյդրոնի անկյունագիծը մի հատված է, որը զույգերով միացնում է նույն դեմքին չպատկանող ցանկացած երկու գագաթ:

Հարկ է նշել, որ ուղիղ կամ թեք պրիզմայի հիմքի տարածքը կախված չէ նրանց և կողային երեսների միջև եղած անկյունից: Եթե ​​նրանք ունեն նույն թվերը վերին և ստորին երեսներում, ապա նրանց տարածքները հավասար կլինեն:

եռանկյուն պրիզմա

Այն հիմքում ունի երեք գագաթներով պատկեր, այսինքն՝ եռանկյուն: Հայտնի է, որ տարբեր է: Եթե, ապա բավական է հիշել, որ դրա տարածքը որոշվում է ոտքերի արտադրանքի կեսով:

Մաթեմատիկական նշումն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = ½ av.

Բազայի տարածքը գտնելու համար ընդհանուր տեսարան, բանաձևերը օգտակար են՝ Հերոն և այն, որի կողքի կեսը վերցված է դեպի իրեն ձգված բարձրության վրա։

Առաջին բանաձևը պետք է գրվի այսպես. S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)): Այս գրառումը պարունակում է կիսաշրջագիծ (p), այսինքն՝ երեք կողմերի գումարը՝ բաժանված երկուսի։

Երկրորդ. S = ½ n a * a.

Եթե ​​ցանկանում եք իմանալ բազայի տարածքը եռանկյուն պրիզմա, որը ճիշտ է, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է։ Այն ունի իր բանաձևը՝ S = ¼ a 2 * √3:

քառանկյուն պրիզմա

Նրա հիմքը հայտնի քառանկյուններից որևէ մեկն է։ Այն կարող է լինել ուղղանկյուն կամ քառակուսի, զուգահեռական կամ ռոմբուս: Յուրաքանչյուր դեպքում, պրիզմայի հիմքի տարածքը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է ձեր սեփական բանաձևը:

Եթե ​​հիմքը ուղղանկյուն է, ապա դրա մակերեսը որոշվում է հետևյալ կերպ՝ S = av, որտեղ a, b ուղղանկյան կողմերն են։

Երբ խոսքը վերաբերում է քառանկյուն պրիզմայի, կանոնավոր պրիզմայի բազային տարածքը հաշվարկվում է քառակուսու բանաձևով: Որովհետև հենց նա է ընկած հիմքում։ S \u003d a 2.

Այն դեպքում, երբ հիմքը զուգահեռ է, անհրաժեշտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ S \u003d a * n a. Պատահում է, որ տրված են զուգահեռականի մի կողմ և անկյուններից մեկը։ Այնուհետեւ, բարձրությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել լրացուցիչ բանաձեւ n a \u003d b * sin A: Ավելին, A անկյունը հարում է «b» կողմին, իսկ բարձրությունը n և հակառակ այս անկյունին:

Եթե ​​ռոմբը ընկած է պրիզմայի հիմքում, ապա դրա մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ կլինի նույն բանաձևը, ինչ զուգահեռագծի համար (քանի որ դա դրա հատուկ դեպքն է): Բայց դուք կարող եք նաև օգտագործել սա՝ S = ½ d 1 d 2: Այստեղ d 1 և d 2-ը ռոմբի երկու անկյունագծեր են:

Կանոնավոր հնգանկյուն պրիզմա

Այս դեպքը ներառում է բազմանկյունը եռանկյունների բաժանելը, որոնց տարածքներն ավելի հեշտ է պարզել։ Թեև պատահում է, որ թվերը կարող են լինել տարբեր թվով գագաթներով։

Քանի որ պրիզմայի հիմքն է կանոնավոր հնգանկյուն, ապա այն կարելի է բաժանել հինգ հավասարակողմ եռանկյունների։ Այնուհետև պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասար է մեկ այդպիսի եռանկյունու մակերեսին (բանաձևը կարելի է տեսնել վերևում), բազմապատկված հինգով:

Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա

Հնգանկյուն պրիզմայի համար նկարագրված սկզբունքով կարելի է հիմքի վեցանկյունը բաժանել 6 հավասարակողմ եռանկյունների։ Նման պրիզմայի հիմքի մակերեսի բանաձևը նման է նախորդին: Միայն դրա մեջ պետք է բազմապատկել վեցով։

Բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝ S = 3/2 և 2 * √3:

Առաջադրանքներ

Թիվ 1. Տրված է կանոնավոր ուղիղ գիծ, ​​որի անկյունագիծը 22 սմ է, բազմանկյունի բարձրությունը՝ 14 սմ։ Հաշվե՛ք պրիզմայի հիմքի և ամբողջ մակերեսի մակերեսը։

Լուծում.Պրիզմայի հիմքը քառակուսի է, բայց նրա կողմը հայտնի չէ։ Դրա արժեքը կարող եք գտնել քառակուսու (x) անկյունագծից, որը կապված է պրիզմայի (d) անկյունագծի և բարձրության (n) հետ։ x 2 \u003d d 2 - n 2: Մյուս կողմից, այս «x» հատվածը հիպոթենուսն է եռանկյան մեջ, որի ոտքերը հավասար են քառակուսու կողմին: Այսինքն, x 2 \u003d a 2 + a 2: Այսպիսով, պարզվում է, որ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2:

Փոխարինեք 22 թիվը d-ի փոխարեն և փոխարինեք «n»-ն իր արժեքով՝ 14, ստացվում է, որ քառակուսու կողմը 12 սմ է: Այժմ հեշտ է պարզել բազային տարածքը՝ 12 * 12 \u003d 144 սմ 2: .

Ամբողջ մակերեսի տարածքը պարզելու համար հարկավոր է կրկնակի ավելացնել բազային տարածքի արժեքը և քառապատկել կողմը: Վերջինս հեշտ է գտնել ուղղանկյան բանաձևով՝ բազմապատկել բազմանկյունի բարձրությունը և հիմքի կողմը։ Այսինքն՝ 14 և 12, այս թիվը հավասար կլինի 168 սմ 2-ի։ Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը 960 սմ 2 է:

Պատասխանել.Պրիզմայի հիմքի մակերեսը 144 սմ2 է։ Ամբողջ մակերեսը - 960 սմ 2:

Թիվ 2. Դանա Հիմքում ընկած է 6 սմ կողմ ունեցող եռանկյուն, այս դեպքում կողային երեսի անկյունագիծը 10 սմ է։Հաշվե՛ք մակերեսները՝ հիմքը և կողային մակերեսը։

Լուծում.Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, դրա հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է: Հետևաբար, նրա մակերեսը հավասար է 6-ի քառակուսի ¼-ի և քառակուսի արմատի 3-ի: Պարզ հաշվարկով ստացվում է արդյունք՝ 9√3 սմ 2: Սա պրիզմայի մեկ հիմքի տարածքն է:

Բոլոր կողային երեսները նույնն են և ուղղանկյուն են, որոնց կողմերը 6 և 10 սմ են, դրանց մակերեսները հաշվարկելու համար բավական է բազմապատկել այս թվերը։ Այնուհետև դրանք բազմապատկեք երեքով, քանի որ պրիզման ունի ճիշտ այդքան կողային երեսներ: Այնուհետև կողային մակերեսի մակերեսը փաթաթվում է 180 սմ 2:

Պատասխանել.Տարածքները՝ հիմքը՝ 9√3 սմ 2, պրիզմայի կողային մակերեսը՝ 180 սմ 2։

Պրիզմայի ծավալը. Խնդրի լուծում

Երկրաչափությունը մեր մտավոր ունակությունների կատարելագործման ամենահզոր գործիքն է և մեզ հնարավորություն է տալիս ճիշտ մտածել և տրամաբանել:

Գ.Գալիլեո

Դասի նպատակը.

• սովորեցնել պրիզմաների ծավալը հաշվարկելու խնդիրների լուծում, ընդհանրացնել և համակարգել պրիզմայի և դրա տարրերի մասին ուսանողների ունեցած տեղեկատվությունը, ձևավորել բարդության խնդիրներ լուծելու ունակություն.
• զարգացնել տրամաբանական մտածողություն, ինքնուրույն աշխատելու ունակություն, փոխադարձ վերահսկողության և ինքնատիրապետման հմտություններ, խոսելու և լսելու կարողություն.
• զարգացնել մշտական ​​աշխատանքի, ինչ-որ օգտակար գործի սովորություն, արձագանքելու, աշխատասիրության, ճշգրտության կրթություն:

Դասի տեսակը՝ գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների կիրառման դաս։

Սարքավորումներ՝ կառավարման քարտեր, մեդիա պրոյեկտոր, շնորհանդես «Դաս. Պրիզմայի ծավալը», համակարգիչներ։

Դասերի ժամանակ

• Պրիզմայի կողային կողիկներ (նկ. 2):
• Պրիզմայի կողային մակերեսը (Նկար 2, Նկար 5):
• Պրիզմայի բարձրությունը (Նկար 3, Նկար 4):
• Ուղղակի պրիզմա (նկ. 2,3,4):
• Թեք պրիզմա (Նկար 5):
• Ճիշտ պրիզմա (նկ. 2, նկ. 3):
• Պրիզմայի անկյունագծային հատված (նկ. 2):
• Պրիզմայի անկյունագիծ (Նկար 2):
• Պրիզմայի ուղղահայաց հատված (pi3, fig4):
• Պրիզմայի կողային մակերեսի տարածքը.
• Քառակուսի ամբողջական մակերեսպրիզմաներ.
• Պրիզմայի ծավալը.

1. ՍՏՈՒԳԵԼ ՏՆԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԸ (8 րոպե)

Փոխանակեք նոթատետրերը, ստուգեք լուծումը սլայդների վրա և նշեք նշանը (նշեք 10, եթե առաջադրանքը կազմված է)

Նկարիր խնդիր և լուծիր այն։ Աշակերտը գրատախտակի վրա պաշտպանում է իր կազմած խնդիրը։ Նկար 6 և Նկար 7:





Գլուխ 2, §3
Առաջադրանք.2. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի բոլոր եզրերի երկարությունները հավասար են միմյանց: Հաշվե՛ք պրիզմայի ծավալը, եթե դրա մակերեսը սմ 2 է (նկ. 8)



Գլուխ 2, §3
Խնդիր 5. ABCA 1B 1C1 ուղիղ պրիզմայի հիմքն է ուղղանկյուն եռանկյուն ABC (անկյուն ABC=90°), AB=4սմ. Հաշվե՛ք պրիզմայի ծավալը, եթե ABC շրջագծված եռանկյան շառավիղը 2,5 սմ է, իսկ պրիզմայի բարձրությունը՝ 10 սմ։ (Նկար 9):



Գլուխ 2, § 3
Խնդիր 29. Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմի երկարությունը 3 սմ է։ Պրիզմայի անկյունագիծը կողային երեսի հարթության հետ կազմում է 30° անկյուն։ Հաշվե՛ք պրիզմայի ծավալը (Նկար 10):



2. Համագործակցությունուսուցիչները դասարանով (2-3 րոպե):

Նպատակը. ամփոփել տեսական տաքացման արդյունքները (աշակերտները միմյանց գնահատել են), սովորել, թե ինչպես լուծել թեմայի վերաբերյալ խնդիրները:

3. ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ՐՈՊ (3 րոպե)
4. ԽՆԴԻՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄ (10 րոպե)

Վրա այս փուլըուսուցիչը կազմակերպում է ճակատային աշխատանք պլանաչափական խնդիրների լուծման մեթոդների կրկնության, պլանաչափության բանաձևերի վերաբերյալ: Դասարանը բաժանված է երկու խմբի, ոմանք լուծում են խնդիրներ, մյուսներն աշխատում են համակարգչով: Հետո փոխվում են։ Ուսանողները հրավիրվում են լուծելու բոլոր թիվ 8 (բանավոր), թիվ 9 (բանավոր): Այն բանից հետո, երբ նրանք բաժանվում են խմբերի և օրինազանցում են՝ լուծելու թիվ 14, թիվ 30, թիվ 32 խնդիրները։

Գլուխ 2, §3, էջ 66-67

Խնդիր 8. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի բոլոր եզրերը հավասար են միմյանց: Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը, եթե ստորին հիմքի եզրով և վերին հիմքի կողքի միջնամասով անցնող հարթության կտրվածքի մակերեսը սմ է (նկ. 11):



Գլուխ 2, §3, էջ 66-67
Խնդիր 9. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը քառակուսի է, իսկ կողային եզրերը երկու անգամ գերազանցում են հիմքի կողմը: Հաշվե՛ք պրիզմայի ծավալը, եթե պրիզմայի հատվածի շուրջ շրջագծի շառավիղը շրջագծված է հիմքի կողմով և հակառակի միջնակետով անցնող հարթությամբ։ կողային կող, հավասար է սմ (նկ. 12)



Գլուխ 2, §3, էջ 66-67
Առաջադրանք 14.Ուղիղ պրիզմայի հիմքը ռոմբ է, որի անկյունագծերից մեկը հավասար է իր կողմին։ Հաշվե՛ք հատվածի պարագիծը ստորին հիմքի մեծ անկյունագծով անցնող հարթությամբ, եթե պրիզմայի ծավալը հավասար է, իսկ բոլոր կողային երեսները՝ քառակուսի (նկ. 13)։



Գլուխ 2, §3, էջ 66-67
Խնդիր 30.ABCA 1 B 1 C 1 կանոնավոր եռանկյունաձև պրիզմա է, որի բոլոր եզրերը հավասար են միմյանց, BB 1 եզրի կեսին մոտ գտնվող կետը: Հաշվե՛ք AOS հարթությամբ պրիզմայի հատվածում ներգծված շրջանագծի շառավիղը, եթե պրիզմայի ծավալը հավասար է (նկ. 14):



Գլուխ 2, §3, էջ 66-67
Խնդիր 32Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայում հիմքերի մակերեսների գումարը հավասար է կողային մակերեսի մակերեսին։ Հաշվե՛ք պրիզմայի ծավալը, եթե ստորին հիմքի երկու գագաթներով և վերին հիմքի հակառակ գագաթով անցնող հարթությամբ պրիզմայի հատվածի մոտ շրջագծի տրամագիծը 6 սմ է (նկ. 15):



Խնդիրները լուծելիս ուսանողները համեմատում են իրենց պատասխանները ուսուցչի ցույց տված պատասխանների հետ: Սա խնդրի լուծման օրինակ է մանրամասն մեկնաբանություններով… Անհատական ​​աշխատանքուսուցիչներ՝ «ուժեղ» աշակերտներով (10 րոպե):

5. Անկախ աշխատանքուսանողները համակարգչում թեստում

1. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը , իսկ բարձրությունը՝ 5։ Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը:

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Ընտրեք ճիշտ պնդումը:

1) Ուղղանկյուն պրիզմայի ծավալը, որի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալին:

2) Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի ծավալը հաշվարկվում է V \u003d 0,25a 2 ժ բանաձևով, որտեղ a-ն հիմքի կողմն է, h-ը պրիզմայի բարձրությունն է:

3) Ուղիղ պրիզմայի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալի կեսին:

4) Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի ծավալը հաշվարկվում է V \u003d a 2 h բանաձևով, որտեղ a-ն հիմքի կողմն է, h-ը պրիզմայի բարձրությունն է:

5) Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի ծավալը հաշվարկվում է V \u003d 1.5a 2 ժ բանաձևով, որտեղ a-ն հիմքի կողմն է, h-ը պրիզմայի բարձրությունն է:

3. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը հավասար է. Ներքևի հիմքի կողքով և վերին հիմքի հակառակ վերևի միջով գծվում է հարթություն, որն անցնում է հիմքի նկատմամբ 45° անկյան տակ։ Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը:

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը ռոմբ է, որի կողմը 13 է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 24։ Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը, եթե կողային երեսի անկյունագիծը 14 է։

Ֆիզիկայի մեջ սպեկտրը ուսումնասիրելու համար հաճախ օգտագործվում է ապակուց պատրաստված եռանկյուն պրիզմա սպիտակ լույս, քանի որ ունակ է այն տարրալուծել առանձին բաղադրիչների։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ծավալի բանաձևը

Ի՞նչ է եռանկյուն պրիզմա:

Նախքան ծավալի բանաձևը տալը, հաշվի առեք այս գործչի հատկությունները:

Դա ստանալու համար հարկավոր է վերցնել կամայական ձևի եռանկյունին և այն տեղափոխել իրեն զուգահեռ որոշակի հեռավորության վրա: Եռանկյան գագաթները սկզբնական և վերջնական դիրքերում պետք է միացված լինեն ուղիղ հատվածներով: Ստացված եռաչափ պատկերը կոչվում է եռանկյուն պրիզմա։ Այն ունի հինգ կողմ: Դրանցից երկուսը կոչվում են հիմքեր՝ զուգահեռ են և հավասար: Դիտարկվող պրիզմայի հիմքերը եռանկյուններ են։ Մնացած երեք կողմերը զուգահեռներ են։

Բացի կողմերից, դիտարկվող պրիզման բնութագրվում է վեց գագաթներով (երեքը յուրաքանչյուր հիմքի համար) և ինը եզրերով (6 եզրերը ընկած են հիմքերի հարթություններում, իսկ 3 եզրերը ձևավորվում են կողմերի խաչմերուկից): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա նման պրիզման կոչվում է ուղղանկյուն։

Եռանկյուն պրիզմայի և այս դասի մյուս բոլոր պատկերների միջև տարբերությունն այն է, որ այն միշտ ուռուցիկ է (չորս, հինգ, ..., n-անկյունային պրիզմաները կարող են նաև գոգավոր լինել):

Սա ուղղանկյուն պատկեր է, որի հիմքում ընկած է հավասարակողմ եռանկյուն:

Ընդհանուր տիպի եռանկյուն պրիզմայի ծավալը

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյուն պրիզմայի ծավալը: Ընդհանուր առմամբ բանաձևը նման է ցանկացած տեսակի պրիզմայի բանաձևին: Այն ունի հետևյալ մաթեմատիկական նշումը.

Այստեղ h-ն գործչի բարձրությունն է, այսինքն՝ նրա հիմքերի միջև ընկած հեռավորությունը, S o-ն եռանկյունու մակերեսն է:

S o-ի արժեքը կարելի է գտնել, եթե հայտնի են եռանկյան որոշ պարամետրեր, օրինակ՝ մեկ կողմ և երկու անկյուն, կամ երկու կողմ և մեկ անկյուն։ Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա բարձրության արտադրյալի կեսին և այն կողմի երկարությանը, որի վրա այս բարձրությունն իջեցվել է:

Ինչ վերաբերում է նկարի h բարձրությանը, ապա այն ամենահեշտն է գտնել ուղղանկյուն պրիզմայի համար։ Վերջին դեպքում h-ը համընկնում է կողային եզրի երկարության հետ։

Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի ծավալը

Եռանկյուն պրիզմայի ծավալի ընդհանուր բանաձևը, որը տրված է հոդվածի նախորդ բաժնում, կարող է օգտագործվել կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի համապատասխան արժեքը հաշվարկելու համար։ Քանի որ դրա հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, դրա մակերեսը հետևյալն է.

Բոլորը կարող են ստանալ այս բանաձևը, եթե հիշեն, որ հավասարակողմ եռանկյունում բոլոր անկյունները հավասար են միմյանց և կազմում են 60 o: Այստեղ a խորհրդանիշը եռանկյան կողմի երկարությունն է:

h բարձրությունը եզրի երկարությունն է։ Այն ոչ մի կապ չունի կանոնավոր պրիզմայի հիմքի հետ և կարող է ընդունել կամայական արժեքներ։ Արդյունքում, ճիշտ ձևի եռանկյուն պրիզմայի ծավալի բանաձևը հետևյալն է.

Արմատը հաշվարկելով՝ մենք կարող ենք այս բանաձևը վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, գտնել կանոնավոր պրիզմայի ծավալը եռանկյուն հիմք, անհրաժեշտ է հիմքի կողմը քառակուսի դնել, այս արժեքը բազմապատկել բարձրությամբ և ստացված արժեքը բազմապատկել 0,433-ով։

«Get a A» տեսադասընթացը ներառում է հաջողակ լինելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները քննություն հանձնելըմաթեմատիկայից 60-65 միավորով. Ամբողջությամբ բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի քննությունՄաթեմատիկա. Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներքննության լուծումներ, թակարդներ և գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ: Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, USE-ի բոլոր տեսակի առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, զարգացում տարածական երևակայություն. Եռանկյունաչափություն զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Հիմք լուծման համար դժվար առաջադրանքներՔննության 2 մաս.

Պինդ երկրաչափության դասընթացի դպրոցական ծրագրում եռաչափ պատկերների ուսումնասիրությունը սովորաբար սկսվում է պարզ երկրաչափական մարմնից՝ պրիզմայական պոլիէդրոնից։ Նրա հիմքերի դերը կատարում են զուգահեռ հարթություններում ընկած 2 հավասար բազմանկյուններ։ Հատուկ դեպք է կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա: Նրա հիմքերը 2 միանման կանոնավոր քառանկյուններ են, որոնց կողմերը ուղղահայաց են՝ ունենալով զուգահեռագծի (կամ ուղղանկյունների, եթե պրիզմաը թեքված չէ):

Ինչ տեսք ունի պրիզմա

Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա վեցանկյուն է, որի հիմքերում կա 2 քառակուսի, իսկ կողային երեսները ներկայացված են ուղղանկյուններով։ Սրա մեկ այլ անուն երկրաչափական պատկեր- ուղիղ զուգահեռական:

Նկարը, որը պատկերում է քառանկյուն պրիզմա, ներկայացված է ստորև։

Դուք կարող եք տեսնել նաև նկարում ամենակարևոր տարրերը, որոնք կազմում են երկրաչափական մարմինը. Դրանք սովորաբար կոչվում են.

Երբեմն երկրաչափության խնդիրների մեջ կարելի է գտնել հատված հասկացությունը: Սահմանումը կհնչի այսպես. հատվածը ծավալային մարմնի բոլոր կետերն են, որոնք պատկանում են կտրող հարթությանը: Հատվածը ուղղահայաց է (հատում է նկարի եզրերը 90 աստիճանի անկյան տակ): Ուղղանկյուն պրիզմայի համար դիտարկվում է նաև անկյունագծային հատված (հատվածների առավելագույն քանակը, որոնք կարելի է կառուցել 2-ն է)՝ անցնելով 2 եզրերով և հիմքի անկյունագծերով։

Եթե ​​հատվածը գծված է այնպես, որ կտրող հարթությունը զուգահեռ չլինի ոչ հիմքերին, ոչ կողային երեսներին, ապա ստացվում է կտրված պրիզմա:

Կրճատված պրիզմատիկ տարրերը գտնելու համար օգտագործվում են տարբեր գործակիցներ և բանաձևեր: Դրանցից մի քանիսը հայտնի են պլանաչափության ընթացքից (օրինակ, պրիզմայի հիմքի մակերեսը գտնելու համար բավական է հիշել քառակուսու մակերեսի բանաձևը):

Մակերեսի մակերեսը և ծավալը

Բանաձևով պրիզմայի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը.

V = Sprim h

Քանի որ կանոնավոր քառանիստ պրիզմայի հիմքը կողքով քառակուսի է ա,Դուք կարող եք բանաձևը գրել ավելի մանրամասն ձևով.

V = a² ժ

Եթե ​​մենք խոսում ենք խորանարդի մասին, սովորական պրիզմա հետ հավասար երկարություն, լայնությունը և բարձրությունը, ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Հասկանալու համար, թե ինչպես գտնել պրիզմայի կողային մակերեսը, դուք պետք է պատկերացնեք դրա ավլումը:

Գծանկարից երևում է, որ կողային մակերեսկազմված 4 հավասար ուղղանկյուններից։ Դրա մակերեսը հաշվարկվում է որպես հիմքի պարագծի և նկարի բարձրության արտադրյալ.

Կողք = Pos h

Քանի որ քառակուսու պարագիծը P = 4 ա,բանաձևը ստանում է ձև.

Կողք = 4ա ժ

Խորանարդի համար.

Կողք = 4a²

Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հաշվարկելու համար կողային մակերեսին ավելացրեք 2 հիմնական տարածք.

Sfull = Siside + 2Sbase

Ինչպես կիրառվում է քառանկյուն կանոնավոր պրիզմայի նկատմամբ, բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Լիքը = 4ա ժ + 2ա²

Խորանարդի մակերեսի համար.

Լիքը = 6a²

Իմանալով ծավալը կամ մակերեսը, կարող եք հաշվարկել երկրաչափական մարմնի առանձին տարրերը:

Պրիզմայի տարրերի հայտնաբերում

Հաճախ կան խնդիրներ, որոնցում տրվում է ծավալը կամ հայտնի է կողային մակերեսի արժեքը, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմքի կողմի երկարությունը կամ բարձրությունը։ Նման դեպքերում բանաձևերը կարող են ստացվել.

• բազային կողմի երկարությունը. a = կողմ / 4h = √ (V / h);
• բարձրությունը կամ կողքի երկարությունը. h = Կողք / 4a = V / a²;
• բազայի տարածքը: Sprim = V / h;
• կողային դեմքի տարածքը. Կողք gr = Կողք / 4.

Որոշելու համար, թե որքան տարածք ունի անկյունագծային հատվածը, դուք պետք է իմանաք շեղանկյունի երկարությունը և նկարի բարձրությունը: Քառակուսու համար d = a√2.Հետևաբար.

Սդիագ = ah√2

Պրիզմայի անկյունագիծը հաշվարկելու համար օգտագործվում է բանաձևը.

dprize = √(2a² + h²)

Հասկանալու համար, թե ինչպես կիրառել վերը նշված գործակիցները, կարող եք զբաղվել և լուծել մի քանի պարզ առաջադրանքներ:

Լուծումների հետ կապված խնդիրների օրինակներ

Ահա որոշ առաջադրանքներ, որոնք ի հայտ են գալիս մաթեմատիկայի պետական ​​ավարտական ​​քննություններում.

Վարժություն 1.

Ավազը լցվում է սովորական քառանկյուն պրիզմայի ձևով տուփի մեջ։ Նրա մակարդակի բարձրությունը 10 սմ է։Որքա՞ն կլինի ավազի մակարդակը, եթե այն տեղափոխեք նույն ձևի, բայց հիմքի երկարությամբ 2 անգամ ավելի երկար տարայի մեջ։

Պետք է վիճարկել հետևյալ կերպ. Առաջին և երկրորդ տարաներում ավազի քանակը չի փոխվել, այսինքն՝ դրանց ծավալը նույնն է։ Դուք կարող եք սահմանել բազայի երկարությունը որպես ա. Այս դեպքում առաջին տուփի համար նյութի ծավալը կլինի.

V1 = ha² = 10a²

Երկրորդ տուփի համար հիմքի երկարությունն է 2 ա, բայց ավազի մակարդակի բարձրությունը անհայտ է.

V2 = h(2a)² = 4հա²

Քանի որ V1 = V2, արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել.

10 ա² = 4 հա²

Հավասարման երկու կողմերը a²-ով կրճատելուց հետո մենք ստանում ենք.

Արդյունքում ավազի նոր մակարդակը կլինի h = 10 / 4 = 2,5սմ.

Առաջադրանք 2.

ABCDA1B1C1D1 կանոնավոր պրիզմա է: Հայտնի է, որ BD = AB₁ = 6√2: Գտեք մարմնի ընդհանուր մակերեսը:

Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հասկանալ, թե որ տարրերն են հայտնի, կարող եք նկարել նկար:

Քանի որ խոսքը կանոնավոր պրիզմայի մասին է, կարելի է եզրակացնել, որ հիմքը 6√2 անկյունագծով քառակուսի է։ Կողքի երեսի անկյունագիծն ունի նույն արժեքը, հետևաբար. կողային դեմքըունի նաև քառակուսիի ձև՝ հիմքին հավասար։ Պարզվում է, որ բոլոր երեք չափերը՝ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը, հավասար են։ Կարող ենք եզրակացնել, որ ABCDA1B1C1D1 խորանարդ է:

Ցանկացած եզրի երկարությունը որոշվում է հայտնի անկյունագծով.

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ընդհանուր մակերեսը հայտնաբերվում է խորանարդի բանաձևով.

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Առաջադրանք 3.

Սենյակը վերանորոգվում է։ Հայտնի է, որ դրա հատակն ունի քառակուսիի ձև՝ 9 մ² մակերեսով։ Սենյակի բարձրությունը 2,5 մ է: Ո՞րն է սենյակի պաստառապատման ամենացածր արժեքը, եթե 1 մ²-ն արժե 50 ռուբլի:

Քանի որ հատակը և առաստաղը քառակուսի են, այսինքն՝ կանոնավոր քառանկյուններ, իսկ պատերը ուղղահայաց են հորիզոնական մակերևույթներին, կարող ենք եզրակացնել, որ այն կանոնավոր պրիզմա է։ Անհրաժեշտ է որոշել դրա կողային մակերեսի տարածքը:

Սենյակի երկարությունը կազմում է a = √9 = 3մ.

Հրապարակը ծածկվելու է պաստառով Կողք = 4 3 2,5 = 30 մ².

Այս սենյակի համար պաստառների ամենացածր արժեքը կլինի 50 30 = 1500ռուբլի։

Այսպիսով, ուղղանկյուն պրիզմայի համար խնդիրներ լուծելու համար բավական է կարողանալ հաշվարկել քառակուսու և ուղղանկյունի մակերեսը և պարագիծը, ինչպես նաև իմանալ ծավալը և մակերեսը գտնելու բանաձևերը։

Ինչպես գտնել խորանարդի մակերեսը