Իրադարձությունների դասակարգումը հնարավոր, հավանական և պատահական: Պարզ և բարդ տարրական իրադարձությունների հասկացությունները: Գործողություններ իրադարձությունների վրա. Պատահական իրադարձության հավանականության դասական սահմանումը և դրա հատկությունները: Կոմբինատորիկայի տարրերը հավանականության տեսության մեջ. երկրաչափական հավանականություն. Հավանականության տեսության աքսիոմներ.

Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը իրադարձության հասկացությունն է: Տակ իրադարձություն հասկանալ ցանկացած փաստ, որը կարող է առաջանալ փորձի կամ փորձության արդյունքում: Տակ փորձը , կամ փորձարկում , հասկացվում է որպես որոշակի պայմանների իրականացում։

Միջոցառումների օրինակներ.

• - ատրճանակից կրակելիս թիրախին հարվածելը (փորձը՝ կրակոցի արդյունք; իրադարձություն՝ թիրախին հարվածելը);
• - մետաղադրամի եռակի նետման ժամանակ երկու զինանշանի կորուստ (փորձ՝ մետաղադրամի եռակի նետում; իրադարձություն՝ երկու զինանշանի կորուստ).
• - չափման սխալի հայտնվելը նշված սահմաններում մինչև թիրախ հեռավորությունը չափելիս (փորձ - հեռավորության չափում; իրադարձություն - չափման սխալ):

Նման անթիվ օրինակներ կարելի է բերել։ Իրադարձությունները նշվում են լատիներեն մեծատառերով այբուբեններ A, B, Cև այլն:

Տարբերել համատեղ միջոցառումներ Եվ անհամատեղելի . Իրադարձությունները կոչվում են համատեղ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը։ Հակառակ դեպքում իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի։ Օրինակ, երկու զառ են նետում: Իրադարձությունը AA-ն երեք կետից կազմված պտույտ է առաջին մատիտի վրա, իրադարձություն B-ն երեք կետից բաղկացած պտույտ է երկրորդ ձողի վրա: A-ն և B-ն համատեղ միջոցառումներ են:

Թող խանութը ստանա նույն ոճի և չափսի, բայց այլ գույնի կոշիկների խմբաքանակ։ Իրադարձություն A - պատահականորեն վերցված տուփը կլինի սև կոշիկներով, իրադարձություն B - տուփը կլինի շագանակագույն կոշիկներով, A և B-ն անհամատեղելի իրադարձություններ են:

Միջոցառումը կոչվում է հուսալի եթե այն անպայման տեղի է ունենում տվյալ փորձի պայմաններում։

Իրադարձությունն անհնարին է համարվում, եթե այն չի կարող տեղի ունենալ տվյալ փորձառության պայմաններում: Օրինակ, այն դեպքը, երբ ստանդարտ մասը վերցված է ստանդարտ մասերի խմբաքանակից, միանշանակ է, բայց ոչ ստանդարտ մասը անհնար է:

Միջոցառումը կոչվում է հնարավոր է , կամ պատահական , եթե փորձի արդյունքում կարող է հայտնվել կամ չհայտնվել։ Պատահական իրադարձության օրինակ է պատրաստի արտադրանքի խմբաքանակի վերահսկման ժամանակ արտադրանքի թերությունների հայտնաբերումը, վերամշակված արտադրանքի չափի անհամապատասխանությունը, ավտոմատ կառավարման համակարգի օղակներից մեկի խափանումը:

Իրադարձությունները կոչվում են հավասարապես հնարավոր է եթե թեստի պայմաններում այս իրադարձություններից ոչ մեկը օբյեկտիվորեն ավելի հավանական չէ, քան մյուսները: Օրինակ, ենթադրենք խանութին լամպեր են մատակարարում (և հավասար քանակությամբ) մի քանի արտադրողների կողմից։ Իրադարձությունները, որոնք բաղկացած են այս գործարաններից որևէ մեկից լամպ գնելուց, հավասարապես հավանական են:

Կարևոր հայեցակարգ է միջոցառումների ամբողջական խումբ . Տվյալ փորձի մի քանի իրադարձություններ կազմում են ամբողջական խումբ, եթե դրանցից գոնե մեկը անպայմանորեն հայտնվի փորձի արդյունքում: Օրինակ՝ ափսեի մեջ կա տասը գնդակ, որոնցից վեցը կարմիր են, չորսը՝ սպիտակ, որոնցից հինգը՝ համարակալված։

Ա - մեկ արդյունահանմամբ կարմիր գնդակի տեսք,

B - սպիտակ գնդակի տեսք,

C - գնդակի տեսքը թվով: Իրադարձություններ A,B,Cկազմել համատեղ միջոցառումների ամբողջական խումբ:

Ներկայացնենք հակառակ կամ լրացուցիչ իրադարձության հասկացությունը։ Տակ հակառակը իրադարձություն

AЇ հասկացվում է որպես իրադարձություն, որը պետք է անպայման տեղի ունենա, եթե որևէ իրադարձություն տեղի չի ունեցել

Ա. Հակառակ իրադարձությունները անհամատեղելի են և միակ հնարավորը։ Նրանք կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ։

Իրադարձություններ և դրանց դասակարգում

Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները

Ցանկացած մաթեմատիկական տեսություն կառուցելիս առաջին հերթին առանձնանում են ամենապարզ հասկացությունները, որոնք ընդունվում են որպես սկզբնական փաստեր։ Նման հիմնական հասկացությունները հավանականության տեսության մեջ են հայեցակարգը պատահական փորձ, պատահական իրադարձություն, պատահական իրադարձության հավանականություն։

պատահական փորձմեզ հետաքրքրող իրադարձության դիտարկման գրանցման գործընթացն է, որն իրականացվում է տվյալ ստացիոնարի պայմանով. (ժամանակի ընթացքում չի փոխվում) պայմանների իրական փաթեթ, ներառյալ մեծ թվով պատահական (կոշտ հաշվառման և վերահսկման համար ոչ ենթակա) գործոնների ազդեցության անխուսափելիությունը:

Այս գործոններն իրենց հերթին թույլ չեն տալիս լիովին հավաստի եզրակացություններ անել այն մասին, թե արդյոք մեզ հետաքրքրող իրադարձությունը տեղի կունենա, թե ոչ։ Միևնույն ժամանակ, ենթադրվում է, որ մենք ունենք հիմնարար հնարավորություն (առնվազն մտավոր իրագործելի) մեր փորձի կամ դիտարկումը կրկնելու նույն պայմանների շրջանակներում:

Ահա պատահական փորձերի մի քանի օրինակ:

1. Պատահական փորձը, որը բաղկացած է կատարյալ սիմետրիկ մետաղադրամ նետելուց, ներառում է այնպիսի պատահական գործոններ, ինչպիսիք են մետաղադրամի նետման ուժը, մետաղադրամի թռիչքի հետագիծը, սկզբնական արագությունը, պտտման պահը և այլն։ Այս պատահական գործոնները անհնարին են դարձնում ճշգրիտ որոշել յուրաքանչյուր առանձին թեստի արդյունքը. «զինանշանը կհայտնվի, երբ մետաղադրամը նետվի» կամ «պոչերը կհայտնվեն, երբ մետաղադրամը նետեն»:

2. «Ստալկանատ» գործարանը փորձարկում է արտադրված մալուխները առավելագույն թույլատրելի բեռի համար։ Բեռը տատանվում է որոշակի սահմաններում մի փորձից մյուսը: Դա պայմանավորված է այնպիսի պատահական գործոններով, ինչպիսիք են նյութի միկրո թերությունները, որոնցից պատրաստված են մալուխները, սարքավորումների շահագործման տարբեր միջամտությունները, որոնք տեղի են ունենում մալուխների արտադրության ընթացքում, պահեստավորման պայմանները, փորձերի անցկացման եղանակը և այլն:

3. Նույն ատրճանակից մի շարք կրակոցներ են արձակվում կոնկրետ թիրախի ուղղությամբ: Թիրախին հարվածելը կախված է բազմաթիվ պատահական գործոններից, որոնք ներառում են հրացանի և արկի վիճակը, հրացանի տեղադրումը, հրաձիգի վարպետությունը, եղանակային պայմանները (քամի, լուսավորություն և այլն):

Սահմանում. Պայմանների որոշակի փաթեթի իրականացումը կոչվում է փորձարկում. Թեստի արդյունքը կոչվում է իրադարձություն.

Պատահական իրադարձությունները նշվում են լատինական այբուբենի մեծատառերով. Ա, Բ, Գ... կամ մեծատառ՝ ցուցիչով.

Օրինակ՝ քննություն հանձնելը տվյալ մի շարք պայմանների (գրավոր քննություն, ներառյալ վարկանիշային համակարգգնահատականներ և այլն) ուսանողի համար թեստ է, իսկ որոշակի գնահատական ​​ստանալը՝ իրադարձություն.

Տրված պայմանների (եղանակային պայմաններ, ատրճանակի վիճակ և այլն) ատրճանակից կրակոց կատարելը փորձություն է, իսկ թիրախին խոցելը կամ բաց թողնելը` իրադարձություն:

Նույն պայմաններում մենք կարող ենք բազմիցս կրկնել նույն փորձը։ Յուրաքանչյուր նման փորձի անցկացման պայմանները բնութագրող մեծ թվով պատահական գործոնների առկայությունը անհնարին է դարձնում միանգամայն որոշակի եզրակացություն, թե արդյոք մեզ հետաքրքրող իրադարձությունը տեղի կունենա, թե ոչ առանձին թեստում: Նկատի ունեցեք, որ հավանականության տեսության մեջ նման խնդիր դրված չէ։

Իրադարձությունների դասակարգում

Իրադարձություններ են տեղի ունենում հուսալի, անհնարինԵվ պատահական.

Սահմանում. Միջոցառումը կոչվում է հուսալիեթե որոշակի պայմանների դեպքում դա անպայման տեղի ունենա:

Բոլոր հուսալի իրադարձությունները նշվում են տառով (անգլերեն բառի առաջին տառը ունիվերսալ- ընդհանուր)

Որոշ իրադարձությունների օրինակներ են. սպիտակ գնդակի հայտնվելը միայն սպիտակ գնդիկներ պարունակող urn-ից; շահել շահեկան վիճակախաղում:

Սահմանում. Միջոցառումը կոչվում է անհնարինեթե որոշակի պայմանների դեպքում դա չի կարող առաջանալ:

Բոլոր անհնարին իրադարձությունները նշվում են տառով:

Օրինակ, Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ եռանկյան անկյունների գումարը չի կարող ավելի մեծ լինել, քան , հինգ բալանոց համակարգով քննությունից չես կարող ստանալ «6» գնահատական։

Սահմանում. Միջոցառումը կոչվում է պատահական,եթե այն կարող է հայտնվել կամ չհայտնվել որոշակի պայմանների ներքո:

Օրինակ՝ պատահական իրադարձություններն են. Ֆուտբոլի թիմային հանդիպման հաղթող միջոցառում; դրամական և հագուստի վիճակախաղի շահում. թերի հեռուստացույց գնելու միջոցառում և այլն։

Սահմանում. Իրադարձություններ կանչեց անհամատեղելիեթե այս իրադարձություններից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի առաջացումը:

Օրինակ 1 Եթե ​​դիտարկենք թեստը, որը բաղկացած է մետաղադրամ նետելուց, ապա իրադարձությունները՝ զինանշանի տեսքը և թվի տեսքը, անհամատեղելի իրադարձություններ են։

Սահմանում. Իրադարձություններ կանչեց համատեղ,եթե այդ իրադարձություններից մեկի առաջացումը չի բացառում այլ իրադարձությունների առաջացումը:

Օրինակ 2 Եթե ​​կրակոց է արձակվում երեք ատրճանակից, ապա հետևյալ իրադարձությունները համատեղ են. հարված առաջին հրացանից; հարված երկրորդ ատրճանակից; հարվածել երրորդ ատրճանակից.

Սահմանում. Իրադարձություններ կանչեց միակ հնարավորը, եթե տվյալ իրադարձություններից առնվազն մեկը պետք է անպայման տեղի ունենա տվյալ պայմանների փաթեթի իրականացման ժամանակ։

Օրինակ 3 Երբ գլանափաթեթը գլորվում է, միակ հնարավոր իրադարձությունները հետևյալն են.

Ա 1 - մեկ կետի տեսք,

Ա 2 - երկու կետի տեսք,

Ա 3 - երեք միավորի տեսք,

Ա 4 - չորս միավորի տեսք,

Ա 5 - հինգ միավորի տեսք,

Ա 6 - վեց միավորի տեսք:

Սահմանում. Ասում են՝ իրադարձություններ են ձևավորվում միջոցառումների ամբողջական խումբեթե այս իրադարձությունները միակ հնարավորն ու անհամատեղելին են։

Իրադարձությունները, որոնք դիտարկվել են 1, 3 օրինակներում, կազմում են ամբողջական խումբ, քանի որ դրանք անհամատեղելի են և միակ հնարավորը:

Սահմանում. Երկու իրադարձություն, որոնք կազմում են ամբողջական խումբ, կոչվում են հակառակը։

Եթե ​​ինչ-որ իրադարձություն է, ապա հակառակ իրադարձությունը նշանակվում է .

Օրինակ 4 Եթե ​​միջոցառումը զինանշան է, ապա միջոցառումը պոչեր են։

Հակառակ իրադարձություններն են նաև՝ «աշակերտը հանձնել է քննությունը» և «աշակերտը չի հանձնել քննությունը», «գործարանը կատարել է պլանը» և «գործարանը չի կատարել պլանը»։

Սահմանում. Իրադարձություններ կանչեց համարժեքկամ հավասարապես հնարավոր էեթե թեստի ընթացքում նրանք բոլորն էլ օբյեկտիվորեն ունեն նույն հնարավորությունը հայտնվելու:

Նկատի ունեցեք, որ նույնքան հավանական իրադարձությունները կարող են ի հայտ գալ միայն ելքի համաչափությամբ փորձերի ժամանակ, որն ապահովվում է հատուկ մեթոդներով (օրինակ՝ բացարձակ սիմետրիկ մետաղադրամների պատրաստում, զառախաղ, քարտերի զգույշ խառնում, դոմինոներ, գնդիկները խառնելով ափսեի մեջ և այլն):

Սահմանում. Եթե ​​ինչ-որ թեստի արդյունքները եզակիորեն հնարավոր են, անհամատեղելի և հավասարապես հնարավոր, ապա դրանք կոչվում են տարրական արդյունքներ, դեպքերկամ հնարավորություններ, իսկ թեստն ինքնին կոչվում է դեպքի գծապատկերկամ «կաթսայի սխեման»(քանի որ քննարկվող թեստի ցանկացած հավանական խնդիր կարող է փոխարինվել տարբեր գույների ուրթերի և գնդերի համարժեք խնդրով) .

Օրինակ 5 Եթե ​​ափսեի մեջ կան 3 սպիտակ և 3 սև գնդակներ, որոնք նույնական են հպմանը, ապա իրադարձությունը. Ա 1 - սպիտակ գնդակի տեսք և իրադարձություն Ա 2 - սև գնդակի հայտնվելը հավասար հավանական իրադարձություններ են:

Սահմանում. Ասում են, որ միջոցառումը լավություններիրադարձություն կամ իրադարձություն ենթադրում է իրադարձություն , եթե արտաքին տեսքով իրադարձություն անպայման կգա:

Եթե ​​իրադարձությունը ներառում է իրադարձություն, ապա այն նշվում է խորհրդանիշներովհամարժեք կամ համարժեքև նշել

Այսպիսով, համարժեք իրադարձություններ և յուրաքանչյուր փորձության ժամանակ կամ երկուսն էլ տեղի են ունենում, կամ երկուսն էլ տեղի չեն ունենում:

Հավանականությունների տեսություն կառուցելու համար, բացի արդեն ներդրված հիմնական հասկացություններից (պատահական փորձ, պատահական իրադարձություն), անհրաժեշտ է ներկայացնել ևս մեկ հիմնական հասկացություն. պատահական իրադարձության հավանականությունը.

Նկատի ունեցեք, որ հավանականության տեսության մշակման ընթացքում փոխվել են իրադարձության հավանականության մասին պատկերացումները։ Եկեք հետևենք այս հայեցակարգի զարգացման պատմությանը:

Տակ հավանականությունըպատահական իրադարձություն հասկանալ իրադարձության առաջացման օբյեկտիվ հնարավորության չափը:

Այս սահմանումը որակական տեսանկյունից արտացոլում է հավանականության հայեցակարգը: Այն հայտնի էր հին աշխարհում։

Իրադարձության հավանականության քանակական սահմանումը առաջին անգամ տրվել է հավանականության տեսության հիմնադիրների աշխատություններում, ովքեր դիտարկել են պատահական փորձեր, որոնք ունեն համաչափություն կամ արդյունքների օբյեկտիվ հավասար հավանականություն։ Նման պատահական փորձերը, ինչպես նշվեց վերևում, ամենից հաճախ ներառում են արհեստականորեն կազմակերպված փորձեր, որոնցում կիրառվում են հատուկ մեթոդներ՝ արդյունքի հավասար հնարավորություն ապահովելու համար (քարտեր կամ դոմինո խառնել, կատարելապես սիմետրիկ զառեր պատրաստել, մետաղադրամներ և այլն): Ինչ վերաբերում է նման պատահական փորձերի տասնյոթերորդ դարում. Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լապլասը ձևակերպել է հավանականության դասական սահմանումը։

Ի սկզբանե, լինելով զառախաղի ընդամենը տեղեկատվության և էմպիրիկ դիտարկումների հավաքածու, հավանականության տեսությունը դարձել է ամուր գիտություն։ Ֆերմատն ու Պասկալը առաջինն էին, որ դրան տվեցին մաթեմատիկական շրջանակ։

Հավերժականի մասին մտորումներից մինչև հավանականության տեսություն

Երկու անհատներ, որոնց հավանականության տեսությունը շատ հիմնարար բանաձևերի է պարտական՝ Բլեզ Պասկալը և Թոմաս Բայեսը, հայտնի են որպես խորապես կրոնական մարդիկ, վերջինս եղել է պրեսբիտերական նախարար։ Ըստ երևույթին, այս երկու գիտնականների ցանկությունն ապացուցել որոշակի Fortune-ի մասին կարծիքի սխալ լինելը, հաջողություն բերելով նրա ֆավորիտներին, խթան է տվել այս ոլորտում հետազոտություններին: Չէ՞ որ իրականում ցանկացած պատահական խաղ՝ իր հաղթանակներով ու պարտություններով, ընդամենը մաթեմատիկական սկզբունքների սիմֆոնիա է։

Շեվալիե դե Մերեի ոգևորության շնորհիվ, ով հավասարապես խաղամոլ էր և գիտության նկատմամբ անտարբեր անձնավորություն, Պասկալը ստիպված եղավ գտնել հավանականությունը հաշվարկելու միջոց։ Դե Մերին հետաքրքրում էր այս հարցը. «Քանի՞ անգամ է անհրաժեշտ զույգերով երկու զառ նետել, որպեսզի 12 միավոր ստանալու հավանականությունը գերազանցի 50%-ը»։ Երկրորդ հարցը, որը չափազանց հետաքրքրեց պարոնին. «Ինչպե՞ս բաժանել խաղադրույքը անավարտ խաղի մասնակիցների միջև»։ Իհարկե, Պասկալը հաջողությամբ պատասխանեց դե Մերեի երկու հարցերին, ով դարձավ հավանականության տեսության զարգացման ակամա նախաձեռնողը։ Հետաքրքիր է, որ դե Մերեի անձը հայտնի մնաց այս ոլորտում, այլ ոչ գրականության մեջ։

Նախկինում ոչ մի մաթեմատիկոս դեռ փորձ չի արել հաշվարկել իրադարձությունների հավանականությունը, քանի որ կարծում էին, որ սա միայն գուշակության լուծում է: Բլեզ Պասկալը տվեց իրադարձության հավանականության առաջին սահմանումը և ցույց տվեց, որ սա կոնկրետ թիվ է, որը կարելի է արդարացնել. մաթեմատիկորեն. Հավանականությունների տեսությունը դարձել է վիճակագրության հիմք և լայնորեն կիրառվում է ժամանակակից գիտության մեջ։

Ինչ է պատահականությունը

Եթե ​​դիտարկենք մի թեստ, որը կարող է կրկնվել անսահման թվով անգամ, ապա կարող ենք սահմանել պատահական իրադարձություն։ Սա փորձի հնարավոր արդյունքներից մեկն է:

Փորձը մշտական ​​պայմաններում կոնկրետ գործողությունների իրականացումն է:

Փորձի արդյունքների հետ աշխատելու համար իրադարձությունները սովորաբար նշվում են A, B, C, D, E տառերով:

Պատահական իրադարձության հավանականությունը

Հավանականության մաթեմատիկական մասին անցնելու համար անհրաժեշտ է սահմանել դրա բոլոր բաղադրիչները։

Իրադարձության հավանականությունը փորձի արդյունքում ինչ-որ իրադարձության (A կամ B) առաջացման հնարավորության թվային չափումն է։ Հավանականությունը նշվում է որպես P(A) կամ P(B):

Հավանականությունների տեսությունը հետևյալն է.

• հուսալիիրադարձությունը երաշխավորված է, որ տեղի կունենա փորձի արդյունքում Р(Ω) = 1;
• անհնարինիրադարձությունը երբեք չի կարող տեղի ունենալ Р(Ø) = 0;
• պատահականիրադարձությունը գտնվում է որոշակիի և անհնարինի միջև, այսինքն՝ դրա առաջացման հավանականությունը հնարավոր է, բայց երաշխավորված չէ (պատահական իրադարձության հավանականությունը միշտ գտնվում է 0≤P(A)≤1-ի սահմաններում):

Իրադարձությունների միջև հարաբերությունները

Ե՛վ մեկը, և՛ A + B իրադարձությունների գումարը համարվում են, երբ իրադարձությունը հաշվվում է բաղադրիչներից առնվազն մեկի՝ A կամ B, կամ երկուսն էլ՝ A և B-ի իրականացման մեջ:

Իրար հետ կապված իրադարձությունները կարող են լինել.

• Հավասարապես հնարավոր է.
• համատեղելի։
• Անհամատեղելի.
• Հակառակ (փոխբացառող):
• Կախված.

Եթե ​​երկու իրադարձություն կարող են տեղի ունենալ հավասար հավանականությամբ, ապա նրանք հավասարապես հնարավոր է.

Եթե ​​A դեպքի առաջացումը չի զրոյացնում B իրադարձության հավանականությունը, ապա նրանք համատեղելի։

Եթե ​​A և B իրադարձությունները երբեք միևնույն ժամանակ տեղի չեն ունենում նույն փորձի ժամանակ, ապա դրանք կոչվում են անհամատեղելի. Մետաղադրամ նետելը լավ օրինակ է. պոչերի վեր բարձրանալն ինքնաբերաբար գլուխներ չբարձրանալն է:

Նման անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը բաղկացած է իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունների գումարից.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Եթե ​​մի իրադարձության առաջացումը անհնարին է դարձնում մյուսի առաջացումը, ապա դրանք կոչվում են հակառակ։ Այնուհետև դրանցից մեկը նշանակվում է որպես A, իսկ մյուսը ՝ Ā (կարդալ որպես «ոչ A»): A իրադարձության առաջացումը նշանակում է, որ Ā չի եղել: Այս երկու իրադարձությունները կազմում են մի ամբողջական խումբ, որի հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի:

Կախված իրադարձություններն ունեն փոխադարձ ազդեցություն, նվազեցնելով կամ մեծացնելով միմյանց հավանականությունը։

Իրադարձությունների միջև հարաբերությունները. Օրինակներ

Օրինակների միջոցով շատ ավելի հեշտ է հասկանալ հավանականությունների տեսության և իրադարձությունների համակցման սկզբունքները:

Փորձը, որը կիրականացվի, գնդակները տուփից դուրս հանելն է, և յուրաքանչյուր փորձի արդյունքը տարրական արդյունք է:

Իրադարձությունը փորձառության հնարավոր արդյունքներից մեկն է՝ կարմիր գնդակ, կապույտ գնդակ, վեց թվով գնդակ և այլն։

Թիվ 1 թեստ. Կան 6 գնդակներ, որոնցից երեքը կապույտ են՝ կենտ թվերով, իսկ մյուս երեքը՝ կարմիր՝ զույգ թվերով։

Թիվ 2 թեստ. Կան 6 կապույտ գնդակներ մեկից վեց թվերով:

Այս օրինակի հիման վրա մենք կարող ենք անվանել համակցություններ.

• Հուսալի իրադարձություն.Իսպաներեն Թիվ 2 «վերցրու կապույտ գնդակը» իրադարձությունը հուսալի է, քանի որ դրա առաջացման հավանականությունը 1 է, քանի որ բոլոր գնդակները կապույտ են և բաց թողնել չի կարող։ Մինչդեռ «գնդակը ստանալ 1 թվով» իրադարձությունը պատահական է։
• Անհնար իրադարձություն.Իսպաներեն Կապույտ և կարմիր գնդակներով թիվ 1 «ստացեք մանուշակագույն գնդակը» իրադարձությունն անհնար է, քանի որ դրա առաջացման հավանականությունը 0 է։
• Համարժեք իրադարձություններ.Իսպաներեն Թիվ 1, «գնդակ ստացիր 2 թվով» և «գնդակ ստացիր 3 թվով» իրադարձությունները հավասարապես հավանական են, իսկ «գնդակը ստացիր զույգ թվով» և «գնդակ ստացիր 2 թվով» իրադարձությունները։ «տարբեր հավանականություններ ունեն.
• Համատեղելի իրադարձություններ.Երկու անգամ անընդմեջ մեռնոց նետելու գործընթացում վեց ստանալը համատեղելի իրադարձություններ են:
• Անհամատեղելի իրադարձություններ.Նույն իսպաներենով Թիվ 1 իրադարձությունները «ստացեք կարմիր գնդակը» և «գնդակը ստացեք կենտ թվով» չեն կարող համատեղվել նույն փորձի մեջ:
• հակադիր իրադարձություններ.Դրա ամենավառ օրինակը մետաղադրամ նետելն է, որտեղ նկարելու գլուխները նույնն են, ինչ պոչեր չգծելը, և դրանց հավանականությունների գումարը միշտ 1 է (ամբողջական խումբ):
• Կախված իրադարձություններ. Այսպիսով, իսպաներեն Թիվ 1, դուք կարող եք ձեր առջեւ նպատակ դնել երկու անգամ անընդմեջ կարմիր գնդակ կորզել: Առաջին անգամ արդյունահանելը կամ չհանելը ազդում է երկրորդ անգամ հանելու հավանականության վրա։

Երևում է, որ առաջին իրադարձությունը զգալիորեն ազդում է երկրորդի հավանականության վրա (40% և 60%)։

Իրադարձությունների հավանականության բանաձև

Գուշակությունից ճշգրիտ տվյալների անցումը տեղի է ունենում թեման մաթեմատիկական հարթություն տեղափոխելու միջոցով: Այսինքն՝ պատահական իրադարձության մասին դատողությունները, ինչպիսիք են «բարձր հավանականությունը» կամ «նվազագույն հավանականությունը», կարող են թարգմանվել կոնկրետ թվային տվյալների։ Արդեն իսկ թույլատրելի է գնահատել, համեմատել և ներմուծել նման նյութը ավելի բարդ հաշվարկների մեջ։

Հաշվարկի տեսանկյունից, իրադարձության հավանականության սահմանումը տարրական դրական արդյունքների քանակի հարաբերակցությունն է որոշակի իրադարձության վերաբերյալ փորձի բոլոր հնարավոր արդյունքների թվին: Հավանականությունը նշվում է P-ով (A), որտեղ P-ն նշանակում է «հավանականություն» բառը, որը ֆրանսերենից թարգմանվում է որպես «հավանականություն»։

Այսպիսով, իրադարձության հավանականության բանաձևը հետևյալն է.

Այնտեղ, որտեղ m-ը A իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների թիվն է, n-ը այս փորձառության բոլոր հնարավոր արդյունքների գումարն է: Իրադարձության հավանականությունը միշտ 0-ի և 1-ի միջև է.

0 ≤ P(A) ≤ 1:

Իրադարձության հավանականության հաշվարկ. Օրինակ

Վերցնենք իսպաներենը։ Թիվ 1 գնդակներով, որը նկարագրված է ավելի վաղ՝ 3 կապույտ գնդակներ 1/3/5 թվերով և 3 կարմիր գնդակներ 2/4/6 համարներով։

Այս թեստի հիման վրա կարելի է դիտարկել մի քանի տարբեր առաջադրանքներ.

• A - կարմիր գնդակի անկում: Կան 3 կարմիր գնդակներ, և ընդհանուր առմամբ կա 6 տարբերակ: Սա է ամենապարզ օրինակը, որի դեպքում իրադարձության հավանականությունը P(A)=3/6=0.5 է։
• B - զույգ թվի իջեցում: Ընդհանուր առմամբ կան 3 (2,4,6) զույգ թվեր, իսկ հնարավոր թվային տարբերակների ընդհանուր թիվը 6 է։ Այս իրադարձության հավանականությունը P(B)=3/6=0.5 է։
• C - 2-ից մեծ թվի կորուստ: Հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվից կա 4 նման տարբերակ (3,4,5,6) 6. C իրադարձության հավանականությունը P(C)=4/6= է: 0,67.

Ինչպես երևում է հաշվարկներից, C իրադարձությունն ավելի մեծ հավանականություն ունի, քանի որ հնարավոր դրական արդյունքների թիվն ավելի մեծ է, քան A-ում և B-ում:

Անհամատեղելի իրադարձություններ

Նման իրադարձությունները չեն կարող միաժամանակ հայտնվել նույն փորձառության մեջ: Ինչպես իսպաներենում Թիվ 1, անհնար է միաժամանակ ստանալ կապույտ և կարմիր գնդակ։ Այսինքն, դուք կարող եք ստանալ կամ կապույտ կամ կարմիր գնդակ: Նույն կերպ, զույգ և կենտ թիվը չեն կարող միաժամանակ հայտնվել մատյանում։

Երկու իրադարձությունների հավանականությունը համարվում է դրանց գումարի կամ արտադրյալի հավանականությունը: Նման իրադարձությունների A + B գումարը համարվում է իրադարձություն, որը բաղկացած է A կամ B իրադարձության տեսքից, իսկ դրանց AB-ի արտադրյալը՝ երկուսի տեսքից: Օրինակ, միանգամից երկու վեցերի հայտնվելը երկու զառերի երեսին՝ մեկ նետումով:

Մի քանի իրադարձությունների գումարը իրադարձություն է, որը ենթադրում է դրանցից առնվազն մեկի առաջացումը: Մի քանի իրադարձությունների արդյունքը բոլորի համատեղ երևույթն է։

Հավանականությունների տեսության մեջ, որպես կանոն, «և» միության օգտագործումը նշանակում է գումար, «կամ» միությունը՝ բազմապատկում։ Օրինակներով բանաձևերը կօգնեն ձեզ հասկանալ հավանականությունների տեսության մեջ գումարման և բազմապատկման տրամաբանությունը:

Անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը

Եթե ​​դիտարկվում է անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունը, ապա իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Օրինակ՝ մենք հաշվարկում ենք հավանականությունը, որ իսպաներեն. Կապույտ և կարմիր գնդիկներով թիվ 1-ը կթողնի 1-ի և 4-ի միջև ընկած թիվը: Մենք հաշվարկելու ենք ոչ թե մեկ գործողությամբ, այլ տարրական բաղադրիչների հավանականությունների գումարով: Այսպիսով, նման փորձի ժամանակ կա ընդամենը 6 գնդակ կամ բոլոր հնարավոր արդյունքներից 6-ը: Պայմանին բավարարող թվերն են 2-ը և 3-ը, 2-ը ստանալու հավանականությունը 1/6 է, 3-ի հավանականությունը նույնպես 1/6 է։ 1-ից 4-ի միջև թիվ ստանալու հավանականությունը հետևյալն է.

Ամբողջական խմբի անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը 1 է։

Այսպիսով, եթե խորանարդով փորձի ժամանակ մենք գումարում ենք բոլոր թվերը ստանալու հավանականությունը, ապա արդյունքում ստանում ենք մեկը։

Սա ճիշտ է նաև հակառակ իրադարձությունների դեպքում, օրինակ՝ մետաղադրամի հետ փորձի ժամանակ, որտեղ նրա մի կողմը A իրադարձությունն է, իսկ մյուսը՝ հակառակ իրադարձությունը Ā, ինչպես հայտնի է.

Р(А) + Р(Ā) = 1

Անհամատեղելի իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը

Հավանականությունների բազմապատկումն օգտագործվում է մեկ դիտարկման մեջ երկու կամ ավելի անհամատեղելի իրադարձությունների առաջացումը դիտարկելիս։ Հավանականությունը, որ A և B իրադարձությունները դրանում կհայտնվեն միաժամանակ, հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին, կամ.

P(A*B)=P(A)*P(B)

Օրինակ, հավանականությունը, որ ին Թիվ 1 երկու փորձի արդյունքում երկու անգամ կհայտնվի կապույտ գնդակ՝ հավասար

Այսինքն՝ իրադարձության հավանականությունը, երբ գնդակներ հանելու երկու փորձի արդյունքում կհանվեն միայն կապույտ գնդակներ, 25% է։ Շատ հեշտ է գործնական փորձեր անել այս խնդրի շուրջ և տեսնել, թե արդյոք դա իրականում այդպես է:

Համատեղ միջոցառումներ

Իրադարձությունները համարվում են համատեղ, երբ դրանցից մեկի տեսքը կարող է համընկնել մյուսի տեսքի հետ։ Չնայած այն հանգամանքին, որ դրանք համատեղ են, դիտարկվում է անկախ իրադարձությունների հավանականությունը։ Օրինակ, երկու զառ նետելը կարող է արդյունք տալ, երբ երկուսի վրա էլ ընկնում է 6 թիվը: Թեև իրադարձությունները համընկել են և ի հայտ են եկել միաժամանակ, դրանք միմյանցից անկախ են. միայն վեցը կարող է ընկնել, երկրորդը չունի: ազդեցություն դրա վրա։

Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունը համարվում է դրանց գումարի հավանականությունը:

Համատեղ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը. Օրինակ

A և B իրադարձությունների գումարի հավանականությունը, որոնք միմյանց նկատմամբ համատեղ են, հավասար է իրադարձության հավանականությունների գումարին՝ հանած դրանց արտադրյալի հավանականությունը (այսինքն՝ դրանց համատեղ իրականացումը).

R համատեղ. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Ենթադրենք, որ մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,4 է։ Այնուհետև իրադարձություն A՝ առաջին փորձի ժամանակ թիրախին հարվածելը, երկրորդում՝ B: Այս իրադարձությունները համատեղ են, քանի որ հնարավոր է թիրախին խոցել թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ կրակոցից։ Բայց իրադարձությունները կախված չեն։ Որքա՞ն է երկու կրակոցով (առնվազն մեկ) թիրախին խոցելու դեպքի հավանականությունը: Ըստ բանաձևի.

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Հարցի պատասխանն է՝ «Երկու կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 64 տոկոս է»։

Իրադարձության հավանականության այս բանաձևը կարող է կիրառվել նաև անհամատեղելի իրադարձությունների նկատմամբ, որտեղ իրադարձության համատեղ առաջացման հավանականությունը P(AB) = 0: Սա նշանակում է, որ անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը կարելի է համարել հատուկ դեպք: առաջարկվող բանաձեւից։

Հավանականության երկրաչափություն պարզության համար

Հետաքրքիր է, որ համատեղ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը կարելի է ներկայացնել որպես երկու A և B տարածքներ, որոնք հատվում են միմյանց հետ: Ինչպես երևում է նկարից, նրանց միավորման տարածքը հավասար է ընդհանուր տարածքին` հանած դրանց հատման տարածքը: Այս երկրաչափական բացատրությունն ավելի հասկանալի է դարձնում անտրամաբանական թվացող բանաձեւը։ Նշենք, որ երկրաչափական լուծումները հազվադեպ չեն հավանականությունների տեսության մեջ:

Համատեղ իրադարձությունների մի շարք (երկուից ավելի) գումարի հավանականության սահմանումը բավականին ծանր է: Այն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել այն բանաձևերը, որոնք նախատեսված են այս դեպքերի համար:

Կախված իրադարձություններ

Կախված իրադարձությունները կոչվում են, եթե դրանցից մեկի (A) առաջացումը ազդում է մյուսի (B) առաջացման հավանականության վրա: Ընդ որում, հաշվի է առնվում ինչպես Ա իրադարձության առաջացման, այնպես էլ դրա չկայանալու ազդեցությունը։ Թեև իրադարձություններն ըստ սահմանման կոչվում են կախված, դրանցից միայն մեկն է կախված (B): Սովորական հավանականությունը նշվում էր որպես P(B) կամ անկախ իրադարձությունների հավանականություն։ Կախյալների դեպքում ներդրվում է նոր հասկացություն՝ պայմանական հավանականություն P A (B), որը կախվածության B իրադարձության հավանականությունն է այն պայմանով, որ տեղի է ունեցել A իրադարձությունը (հիպոթեզ), որից այն կախված է։

Բայց իրադարձություն A-ն նույնպես պատահական է, ուստի այն նույնպես ունի հավանականություն, որը պետք է և կարելի է հաշվի առնել հաշվարկներում։ Հետևյալ օրինակը ցույց կտա, թե ինչպես աշխատել կախված իրադարձությունների և վարկածի հետ:

Կախված իրադարձությունների հավանականության հաշվարկման օրինակ

Կախված իրադարձությունները հաշվարկելու լավ օրինակ է քարտերի ստանդարտ տախտակամածը:

36 քարտերից բաղկացած տախտակամածի օրինակով դիտարկեք կախված իրադարձությունները: Անհրաժեշտ է որոշել, որ տախտակամածից վերցված երկրորդ քարտը կլինի ադամանդե կոստյում, եթե առաջին խաղարկված քարտը հետևյալն է.

1. դափ.
2. Մեկ այլ կոստյում.

Ակնհայտ է, որ երկրորդ B իրադարձության հավանականությունը կախված է առաջին A-ից: Այսպիսով, եթե առաջին տարբերակը ճիշտ է, որը 1 քարտ (35) և 1 ադամանդ (8) պակաս է տախտակամածում, ապա B իրադարձության հավանականությունը.

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

Եթե ​​երկրորդ տարբերակը ճիշտ է, ապա տախտակամածում կա 35 քարտ, և դափերի ընդհանուր թիվը (9) դեռ պահպանված է, ապա հետևյալ իրադարձության հավանականությունը B է.

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26:

Երևում է, որ եթե A իրադարձությունը պայմանավորված է նրանով, որ առաջին քարտը ադամանդ է, ապա B իրադարձության հավանականությունը նվազում է և հակառակը։

Կախված իրադարձությունների բազմապատկում

Ելնելով նախորդ գլխից՝ մենք ընդունում ենք առաջին իրադարձությունը (Ա) որպես փաստ, բայց ըստ էության այն ունի պատահական բնույթ։ Այս իրադարձության հավանականությունը, այն է` քարտերի տախտակամածից դափ հանելը, հավասար է.

P(A) = 9/36=1/4

Քանի որ տեսությունն ինքնուրույն գոյություն չունի, այլ կոչված է ծառայելու գործնական նպատակներ, արդարացի է նշել, որ ամենից հաճախ անհրաժեշտ է կախված իրադարձությունների արդյունքի հավանականությունը։

Կախված իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալի թեորեմի համաձայն, A և B համատեղ կախված իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը հավասար է մեկ իրադարձության A հավանականությանը, որը բազմապատկվում է B իրադարձության պայմանական հավանականությամբ (կախված A-ից).

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Այնուհետև տախտակամածով օրինակում ադամանդի կոստյումով երկու քարտ նկարելու հավանականությունը հետևյալն է.

9/36*8/35=0,0571 կամ 5,7%

Իսկ սկզբում ոչ ադամանդ, իսկ հետո ադամանդ հանելու հավանականությունը հավասար է.

27/36*9/35=0,19 կամ 19%

Կարելի է տեսնել, որ B իրադարձության առաջացման հավանականությունն ավելի մեծ է, պայմանով, որ նախ ադամանդից բացի այլ կոստյումի քարտ է խաղարկվում: Այս արդյունքը միանգամայն տրամաբանական է և հասկանալի։

Իրադարձության ընդհանուր հավանականությունը

Երբ պայմանական հավանականությունների հետ կապված խնդիրը դառնում է բազմակողմանի, այն չի կարող հաշվարկվել սովորական մեթոդներով: Երբ կան ավելի քան երկու վարկածներ, այն է՝ A1, A2, ..., A n, .. ձևավորում է իրադարձությունների ամբողջական խումբ՝ պայմանով.

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Այսպիսով, A1, A2, ..., A n պատահական իրադարձությունների ամբողջական խմբով B իրադարձության ընդհանուր հավանականության բանաձևը հետևյալն է.

Հայացք դեպի ապագա

Պատահական իրադարձության հավանականությունը էական նշանակություն ունի գիտության շատ ոլորտներում՝ էկոնոմետրիկա, վիճակագրություն, ֆիզիկա և այլն: Քանի որ որոշ գործընթացներ հնարավոր չէ նկարագրել դետերմինիստականորեն, քանի որ դրանք ինքնին հավանական են, անհրաժեշտ են աշխատանքի հատուկ մեթոդներ: Իրադարձությունների տեսության հավանականությունը կարող է օգտագործվել ցանկացած տեխնոլոգիական ոլորտում՝ որպես սխալի կամ անսարքության հավանականությունը որոշելու միջոց։

Կարելի է ասել, որ հավանականությունը ճանաչելով՝ մենք ինչ-որ կերպ տեսական քայլ ենք անում դեպի ապագա՝ դրան նայելով բանաձևերի պրիզմայով։

Պլանավորել.

1. Պատահական փոփոխական (CV) և իրադարձության հավանականությունը:

2. SW բաշխման օրենքը.

3. Երկանդամ բաշխում (Bernoulli բաշխում).

4. Պուասոնի բաշխում.

5. Նորմալ (գաուսյան) բաշխում.

6. Միատեսակ բաշխում.

7. Ուսանողի բաշխում.

2.1 Պատահական փոփոխական և իրադարձության հավանականություն

Մաթեմատիկական վիճակագրությունը սերտորեն կապված է մյուսների հետ մաթեմատիկական գիտ- հավանականության տեսությունը և հիմնված է դրա մաթեմատիկական ապարատի վրա:

Հավանականությունների տեսություն գիտություն է, որն ուսումնասիրում է պատահական իրադարձությունների արդյունքում առաջացած օրինաչափությունները:

Մանկավարժական երևույթները զանգվածայիններից են՝ ընդգրկում են մարդկանց մեծ պոպուլյացիա, կրկնվում են տարեցտարի, տեղի են ունենում շարունակաբար։ Մանկավարժական գործընթացի ցուցիչները (պարամետրերը, արդյունքները) հավանականական բնույթ ունեն. նույն մանկավարժական ազդեցությունը կարող է հանգեցնել տարբեր հետևանքների (պատահական իրադարձություններ, պատահական փոփոխականներ) Այնուամենայնիվ, պայմանների կրկնվող վերարտադրմամբ որոշակի հետևանքներ ավելի հաճախ են առաջանում, քան մյուսները. սա այսպես կոչված վիճակագրական օրինաչափությունների դրսևորումն է (որոնք ուսումնասիրվում են հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության կողմից):

Պատահական փոփոխական (CV) - սա թվային բնութագիր է, որը չափվում է փորձի ընթացքում և կախված պատահական արդյունքից: Փորձի ընթացքում հայտնաբերված SW-ն ինքնին պատահական է: Յուրաքանչյուր RV սահմանում է հավանականության բաշխում:

հիմնական գույքը մանկավարժական գործընթացները, երևույթները դրանց հավանականական բնույթն են (տվյալ պայմաններում կարող են առաջանալ, իրականանալ, բայց չառաջանալ)։ Նման երևույթների համար էական դեր է խաղում հավանականություն հասկացությունը։

Հավանականությունը (P) ցույց է տալիս տվյալ իրադարձության, երեւույթի, արդյունքի հնարավորության աստիճանը։ Անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական էէջ = 0, հուսալի - մեկէջ = 1 (100%): Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը գտնվում է 0-ի և 1-ի միջև՝ կախված նրանից, թե որքան պատահական է իրադարձությունը:

Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է A իրադարձությունը, ապա, ամենայն հավանականությամբ, կարող ենք դիտարկել, ամրագրել դրա առաջացման փաստերը։ Հավանականության հայեցակարգի և դրա հաշվարկի անհրաժեշտությունը ակնհայտորեն կառաջանա միայն այն ժամանակ, երբ մենք դիտարկենք այս իրադարձությունը ոչ ամեն անգամ, կամ հասկանանք, որ այն կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել: Երկու դեպքում էլ օգտակար է օգտագործել f(A) իրադարձության առաջացման հաճախականության հայեցակարգը՝ որպես դրա առաջացման դեպքերի (բարենպաստ արդյունքների) քանակի հարաբերակցություն դիտումների ընդհանուր թվին: Պատահական իրադարձության առաջացման հաճախականությունը կախված է ոչ միայն բուն իրադարձության պատահականության աստիճանից, այլև այս SW-ի դիտարկումների քանակից (թվից):

SV նմուշների երկու տեսակ կա. կախյալԵվ անկախ. Եթե ​​առաջին նմուշի օբյեկտներում որոշակի հատկության չափման արդյունքները չեն ազդում երկրորդ նմուշի օբյեկտներում այդ հատկության չափման արդյունքների վրա, ապա այդպիսի նմուշները համարվում են անկախ: Երբ մի նմուշի արդյունքներն ազդում են մեկ այլ նմուշի արդյունքների վրա, նմուշները դիտարկվում են կախյալ. Կախված չափումներ ստանալու դասական եղանակը նույն հատկությունը կրկնակի չափելն է (կամ տարբեր հատկություններ) նույն խմբի անդամների համար:

Իրադարձությունը A-ն կախված չէ B իրադարձությունից, եթե A-ի հավանականությունը կախված չէ B-ի տեղի ունեցած կամ ոչ տեղի ունեցած իրադարձությունից: A և B իրադարձությունները անկախ են, եթե P(AB)=P(A)P(B): Գործնականում իրադարձության անկախությունը հաստատվում է փորձի, հետազոտողի ինտուիցիայի և պրակտիկայի պայմաններից։

CV-ն դիսկրետ է (մենք կարող ենք համարել դրա հնարավոր արժեքները), օրինակ՝ թմբուկի պտույտը = 4, 6, 2 և շարունակական (նրա բաշխման ֆունկցիան F(x) շարունակական է), օրինակ՝ լամպի կյանքը։ .

Մաթեմատիկական ակնկալիքը SW-ի թվային բնութագիրն է, մոտավորապես հավասար է SW-ի միջին արժեքին.

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 SW բաշխման օրենքը

Բնության մեջ պատահական երևույթները ենթակա՞ են որևէ օրենքի: Այո, բայց այս օրենքները տարբերվում են նրանից, ինչին մենք սովոր ենք։ ֆիզիկական օրենքներ. SW-ի արժեքները հնարավոր չէ կանխատեսել նույնիսկ հայտնի փորձարարական պայմաններում, մենք կարող ենք միայն նշել այն հավանականությունը, որ SW-ն կվերցնի այս կամ այն ​​արժեքները: Բայց իմանալով SW-ի հավանականության բաշխումը, մենք կարող ենք եզրակացություններ անել այն իրադարձությունների մասին, որոնց մասնակցում են այս պատահական փոփոխականները: Ճիշտ է, այս եզրակացությունները նույնպես հավանական բնույթ են կրելու։

Թող որոշ SW լինի դիսկրետ, այսինքն. կարող է վերցնել միայն ֆիքսված արժեքներ X i: Այս դեպքում P(X i) հավանականությունների շարքը այս մեծության բոլոր (i=1…n) թույլատրելի արժեքների համար կոչվում է դրա բաշխման օրենք:

SW-ի բաշխման օրենքը հարաբերություն է, որը կապ է հաստատում SW-ի հնարավոր արժեքների և այդ արժեքների ընդունման հավանականությունների միջև: Բաշխման օրենքը լիովին բնութագրում է SW.

Վիճակագրական վարկածը ստուգելու համար մաթեմատիկական մոդել կառուցելիս անհրաժեշտ է մաթեմատիկական ենթադրություն ներկայացնել SW բաշխման օրենքի վերաբերյալ (մոդելի կառուցման պարամետրիկ եղանակ):

Մաթեմատիկական մոդելի նկարագրության ոչ պարամետրիկ մոտեցումը (SW չունի պարամետրային բաշխման օրենք) ավելի քիչ ճշգրիտ է, բայց ունի ավելի լայն շրջանակ։

Ինչպես պատահական իրադարձության հավանականության դեպքում, CV-ի բաշխման օրենքի համար այն գտնելու միայն երկու եղանակ կա: Կամ մենք կառուցում ենք պատահական իրադարձության սխեման և գտնում ենք վերլուծական արտահայտություն (բանաձև) հավանականությունը հաշվարկելու համար (գուցե ինչ-որ մեկը դա արդեն արել է կամ կանի դա ձեզնից առաջ), կամ մենք ստիպված կլինենք օգտագործել փորձ և, հիմնվելով հետևյալի վրա. դիտարկումների հաճախականությունները, որոշ ենթադրություններ անել (առաջարկել վարկածներ) օրենքի բաշխման վերաբերյալ։

Իհարկե, «դասական» բաշխումներից յուրաքանչյուրի համար այս աշխատանքը կատարվել է երկար ժամանակ. լայնորեն հայտնի և կիրառական վիճակագրության մեջ շատ հաճախ օգտագործվում են երկանդամ և բազմանդամ բաշխումները, երկրաչափական և գերերկրաչափական բաշխումները, Պասկալ և Պուասոնի բաշխումները, և շատ ուրիշներ։

Գրեթե բոլոր դասական բաշխումների համար հատուկ վիճակագրական աղյուսակներ անմիջապես կառուցվեցին և հրապարակվեցին, որոնք ճշգրտվեցին, քանի որ հաշվարկների ճշգրտությունը մեծացավ: Առանց այս աղյուսակների բազմաթիվ հատորների օգտագործման, առանց դրանց կիրառման կանոնները սովորելու, վիճակագրության գործնական օգտագործումն անհնար էր վերջին երկու դարերի ընթացքում։

Այսօր իրավիճակը փոխվել է. կարիք չկա հաշվարկի տվյալները պահել բանաձևերի միջոցով (անկախ նրանից, թե որքան բարդ են վերջիններս), պրակտիկայի համար բաշխման օրենքը օգտագործելու ժամանակը կրճատվում է րոպեների կամ նույնիսկ վայրկյանների: Արդեն այժմ այդ նպատակների համար կիրառական համակարգչային ծրագրերի տարբեր փաթեթների բավարար քանակ կա։

Բոլոր հավանականության բաշխումների շարքում կան այնպիսիք, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են գործնականում: Այս բաշխումները մանրամասն ուսումնասիրվել են, և դրանց հատկությունները քաջ հայտնի են։ Այս բաշխումներից շատերը հիմք են հանդիսանում գիտելիքների ողջ ոլորտների, ինչպիսիք են հերթերի տեսությունը, հուսալիության տեսությունը, որակի վերահսկումը, խաղերի տեսությունը և այլն:

2.3 Երկանդամ բաշխում (Բեռնուլիի բաշխում)

Այն առաջանում է այն դեպքերում, երբ հարց է դրվում՝ քանի՞ անգամ է տեղի ունենում մի իրադարձություն միևնույն պայմաններում կատարվող որոշակի թվով անկախ դիտարկումների (փորձերի) շարքում։

Հարմարության և պարզության համար մենք կենթադրենք, որ գիտենք p արժեքը՝ հավանականությունը, որ խանութ մտնող այցելուն գնորդ կլինի և (1 - p) = q՝ հավանականությունը, որ խանութ մտնող այցելուն գնորդ չի լինի։

Եթե ​​X-ը գնորդների թիվն է ընդհանուր թիվը n այցելու, ապա հավանականությունը, որ n այցելուների մեջ կա k գնորդ

P(X= k) = , որտեղ k=0,1,…n (1)

Բանաձևը (1) կոչվում է Բեռնուլիի բանաձև։ Մեծ թվով փորձարկումների դեպքում երկանդամ բաշխումը հակված է նորմալ լինելու:

2.4 Պուասոնի բաշխում

Այն կարևոր դեր է խաղում ֆիզիկայի, կապի տեսության, հուսալիության տեսության, հերթերի տեսության և այլնի մի շարք հարցերում։ Ամենուր, որտեղ որոշակի ժամանակահատվածում կարող են պատահական թվով որոշ իրադարձություններ (ռադիոակտիվ քայքայումներ, հեռախոսազանգեր, սարքավորումների խափանումներ, վթարներ և այլն) տեղի ունենալ:

Դիտարկենք առավել բնորոշ իրավիճակը, որում տեղի է ունենում Պուասոնի բաշխումը: Թող որոշ իրադարձություններ (խանութներից գնումներ) տեղի ունենան պատահական ժամանակներում: Եկեք որոշենք նման իրադարձությունների առաջացման թիվը 0-ից մինչև T ժամանակային միջակայքում:

Իրադարձությունների պատահական թիվը, որոնք տեղի են ունեցել ժամանակի ընթացքում 0-ից մինչև T, բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն l=aT պարամետրով, որտեղ a>0-ը առաջադրանքի պարամետր է, որն արտացոլում է իրադարձությունների միջին հաճախականությունը: Մեծ ժամանակային ընդմիջումով (օրինակ՝ մեկ օրում) k գնումների հավանականությունը կլինի

P(Z=k) =

(2)

2.5 Նորմալ (գաուսյան) բաշխում

Հավանական-վիճակագրական հետազոտության տեսության և պրակտիկայում կենտրոնական տեղ է գրավում նորմալ (գաուսյան) բաշխումը։ Որպես շարունակական մոտարկում երկանդամ բաշխումայն առաջին անգամ դիտարկվել է Ա. Մոյվրի կողմից 1733 թվականին: Որոշ ժամանակ անց նորմալ բաշխումը կրկին հայտնաբերվեց և ուսումնասիրվեց Կ. Գաուսի (1809) և Պ. Լապլասի կողմից, ովքեր նորմալ ֆունկցիա կատարեցին՝ կապված դիտողական տեսության վրա աշխատանքի հետ: սխալներ.

Շարունակական պատահական փոփոխական Xկանչեց բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն, եթե դրա բաշխման խտությունը հավասար է

Որտեղ

համընկնում է X-ի մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ.
=M(X), s պարամետրը համընկնում է X-ի ստանդարտ շեղման հետ՝ s =s(X): Նորմալ բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը, ինչպես երևում է նկարից, ունի գմբեթաձև կորի ձև, որը կոչվում է Գաուսյան, առավելագույն կետն ունի կոորդինատներ (ա.

Այս կորը μ=0-ում, σ=1-ը ստացել է ստանդարտի կարգավիճակ, այն կոչվում է միավոր նորմալ կոր, այսինքն՝ ցանկացած հավաքագրված տվյալ ձգտում է փոխակերպվել այնպես, որ դրանց բաշխման կորը հնարավորինս մոտ լինի այս ստանդարտ կորին։ .

Նորմալացված կորը հորինվել է հավանականությունների տեսության խնդիրներ լուծելու համար, սակայն գործնականում պարզվել է, որ այն հիանալի կերպով մոտեցնում է հաճախականության բաշխումը բազմաթիվ փոփոխականների համար մեծ թվով դիտարկումներով։ Կարելի է ենթադրել, որ առանց առարկաների քանակի և փորձի ժամանակի նյութական սահմանափակումների, վիճակագրական ուսումնասիրությունիջեցվել է նորմալ կորի:

2.6 Միատեսակ բաշխում

Հավանականության միասնական բաշխումը ամենապարզն է և կարող է լինել կամ դիսկրետ կամ շարունակական: Դիսկրետ միասնական բաշխումը այնպիսի բաշխումն է, որի համար ԿԲ արժեքներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը նույնն է, այսինքն.

որտեղ N-ը հնարավոր SW արժեքների թիվն է:

Շարունակական CB X-ի հավանականության բաշխումը, վերցնելով նրա բոլոր արժեքները [a; b] հատվածից, կոչվում է միատեսակ, եթե դրա հավանականության խտությունը այս հատվածում հաստատուն է, իսկ դրսում հավասար է զրոյի.

(5)

2.7 Աշակերտի բաշխում

Այս բաշխումը կապված է նորմալ բաշխման հետ: Եթե ​​RV x 1, x 2, … x n անկախ են, և նրանցից յուրաքանչյուրն ունի ստանդարտ նորմալ բաշխում N(0,1), ապա SW-ն ունի բաշխում, որը կոչվում է բաշխում Ուսանող:

հավանականությունների իրադարձության կոմբինատորիկայի վիճակագրություն

Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է պատահական երևույթների օրինաչափությունները։ Պատահական երևույթները անորոշ ելքով երևույթներ են, որոնք տեղի են ունենում, երբ որոշակի պայմաններ բազմիցս վերարտադրվում են: Հավանականության տեսության ձևավորումն ու զարգացումը կապված է այնպիսի մեծ գիտնականների անունների հետ, ինչպիսիք են՝ Կարդանոն, Պասկալը, Ֆերմատը, Բերնուլին, Գաուսը, Չեբիշևը, Կալմոգորովը և շատ ուրիշներ: Պատահական երևույթների օրինաչափությունները առաջին անգամ հայտնաբերվել են 16-17-րդ դարերում։ մոլախաղի օրինակով, որը նման է զառախաղին. Ծննդյան և մահվան օրենքները նույնպես հայտնի են շատ վաղուց։ Օրինակ՝ հայտնի՞ է, որ նորածնի տղա լինելու հավանականությունը։ 0,515։ 19-րդ և 20-րդ դարերում բացվել է մեծ թիվօրենքներ ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության և այլն: Ներկայումս հավանականությունների տեսության մեթոդները լայնորեն կիրառվում են տարբեր արդյունաբերություններբնական գիտություններ և տեխնիկա. հուսալիության տեսություն, հերթագրման տեսություն, ին տեսական ֆիզիկա, գեոդեզիա, աստղագիտություն, կրակոցների տեսություն, դիտման սխալի տեսություն, ավտոմատ կառավարման տեսություն, ընդհանուր տեսությունկապի և բազմաթիվ այլ տեսական և կիրառական գիտություններում։ Հավանականության տեսությունը ծառայում է նաև մաթեմատիկական և կիրառական վիճակագրության հիմնավորմանը, որն իր հերթին օգտագործվում է արտադրության պլանավորման և կազմակերպման, տեխնոլոգիական գործընթացների վերլուծության, արտադրանքի որակի կանխարգելման և ընդունման վերահսկման և բազմաթիվ այլ նպատակների համար: IN վերջին տարիներըՀավանականությունների տեսության մեթոդներն ավելի ու ավելի են թափանցում տարբեր ոլորտներգիտությունը և տեխնիկան՝ նպաստելով դրանց առաջընթացին։

Դատավարություն. Իրադարձություն. Իրադարձությունների դասակարգում

Թեստը նույն մի շարք պայմանների կրկնվող վերարտադրությունն է, որոնց ներքո կատարվում է դիտարկումը: Որակական թեստի արդյունքը իրադարձություն է: Օրինակ 1. Սուրը պարունակում է գունավոր գնդիկներ: Հաջողության համար մեկ գնդակ վերցվում է urn-ից: Թեստ - գնդակի հանում urn-ից; Իրադարձություն - գնդակի տեսք որոշակի գույն. A.2. Մեկ դատավարության փոխադարձ բացառող արդյունքների ամբողջությունը կոչվում է տարրական իրադարձությունների կամ տարրական արդյունքների բազմություն: Օրինակ 2. Մատաղը մեկ անգամ նետվում է: Թեստ - ոսկոր նետելը; Իրադարձություն - որոշակի քանակությամբ միավորների կորուստ: Տարրական արդյունքների հավաքածուն է (1,2,3,4,5,6): Իրադարձությունները նշվում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A 1, A 2, ..., A, B, C, ... Դիտարկվող իրադարձությունները (երևույթները) կարելի է բաժանել հետևյալ երեք տեսակի՝ վստահելի, անհնարին, պատահական։ A. 3. Իրադարձությունը կոչվում է որոշակի, եթե թեստի արդյունքում այն ​​անպայման տեղի կունենա: A4. Իրադարձությունն անհնարին է համարվում, եթե թեստի արդյունքում այն ​​երբեք տեղի չի ունենա: A.5. Իրադարձությունը կոչվում է պատահական, եթե թեստի արդյունքում այն ​​կարող է տեղի ունենալ կամ տեղի չունենալ: Օրինակ 3. Փորձարկում - գնդակը վեր է նետվում: Իրադարձություն A = (գնդակը կընկնի) - հուսալի; Իրադարձություն B=(գնդակը կախված կլինի օդում) անհնար է; C=(գնդակը կընկնի նետողի գլխին) իրադարձությունը պատահական է: Պատահական իրադարձությունները (երևույթները) կարելի է բաժանել հետևյալ տեսակների՝ համատեղ, անհամատեղելի, հակադիր, հավասարապես հնարավոր։ A. 6. Երկու իրադարձություն կոչվում են համատեղ, եթե մի փորձության ժամանակ դրանցից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը: Ա. 7. Երկու իրադարձություն համարվում են անհամատեղելի, եթե մի փորձության ժամանակ դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի առաջացումը: Օրինակ 4. Մետաղադրամը նետվում է երկու անգամ: Իրադարձություն A - (Զինանշանն առաջին անգամ ընկավ); Միջոցառում B - (Երկրորդ զինանշանն ընկավ); Իրադարձություն C - (Առաջին անգամ ղեկավարում է): A և B իրադարձությունները համատեղ են, A և C-ն անհամատեղելի են: A. 8. Մի քանի իրադարձություններ կազմում են ամբողջական խումբ տվյալ փորձաշրջանում, եթե դրանք զույգերով անհամատեղելի են, և փորձության արդյունքում այդ իրադարձություններից մեկը անպայման կհայտնվի: Օրինակ 5. Տղան մետաղադրամ է նետում խաղային ավտոմատի մեջ: Իրադարձություն A = (տղան հաղթում է); Իրադարձություն B=(տղան չի հաղթի); A և B - ձևավորել իրադարձությունների ամբողջական խումբ: A.9. Երկու անհամատեղելի իրադարձությունները, որոնք կազմում են ամբողջական խումբ, կոչվում են հակառակ: Նշվում է A իրադարձության հակառակ իրադարձությունը: Օրինակ 6. Մեկ կրակոց է արձակվում թիրախի ուղղությամբ: Իրադարձություն A - հարված; Միջոցառումը բաց թողնված է: