b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա այն ցուցանիշն է, որի վրա պետք է բարձրացնել a թիվը՝ b թիվը ստանալու համար:

Եթե, ապա .

Լոգարիթմը ծայրահեղ է կարևոր մաթեմատիկական արժեք , քանի որ լոգարիթմական հաշվարկը թույլ է տալիս ոչ միայն լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումներ, այլ նաև գործել ցուցիչներով, տարբերակել էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները, ինտեգրել դրանք և հանգեցնել ավելի ընդունելի ձևի, որը պետք է հաշվարկվի։

հետ շփման մեջ

Լոգարիթմների բոլոր հատկությունները անմիջականորեն կապված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հատկությունների հետ։ Օրինակ, այն փաստը, որ նշանակում է, որ.

Հարկ է նշել, որ կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս լոգարիթմների հատկությունները կարող են ավելի կարևոր և օգտակար լինել, քան հզորությունների հետ աշխատելու կանոնները։

Ահա մի քանի ինքնություն.

Ահա հիմնական հանրահաշվական արտահայտությունները.

;

.

Ուշադրություն.կարող է գոյություն ունենալ միայն x>0, x≠1, y>0 համար:

Փորձենք հասկանալ այն հարցը, թե ինչ են բնական լոգարիթմները։ Առանձին հետաքրքրություն մաթեմատիկայի նկատմամբ ներկայացնում են երկու տեսակ- առաջինը հիմքում ունի «10» թիվը և կոչվում է « տասնորդական լոգարիթմ«. Երկրորդը կոչվում է բնական: Բնական լոգարիթմի հիմքը e թիվն է։ Նրա մասին է, որ մենք մանրամասն կխոսենք այս հոդվածում։

Նշումներ:

• lg x - տասնորդական;
• ln x - բնական:

Օգտագործելով ինքնությունը՝ մենք կարող ենք տեսնել, որ ln e = 1, ինչպես նաև lg 10=1:

բնական մատյան գրաֆիկ

Մենք կառուցում ենք բնական լոգարիթմի գրաֆիկը ստանդարտ դասական եղանակով՝ ըստ կետերի: Եթե ​​ցանկանում եք, կարող եք ստուգել, ​​թե արդյոք մենք ճիշտ ենք կառուցում ֆունկցիան՝ ուսումնասիրելով ֆունկցիան: Այնուամենայնիվ, իմաստ ունի սովորել, թե ինչպես կառուցել այն «ձեռքով», որպեսզի իմանանք, թե ինչպես ճիշտ հաշվարկել լոգարիթմը:

Ֆունկցիան՝ y = log x: Գրենք կետերի աղյուսակ, որոնց միջով կանցնի գրաֆիկը.

Եկեք բացատրենք, թե ինչու ենք ընտրել x արգումենտի նման արժեքները: Ամեն ինչ ինքնության մասին է. Բնական լոգարիթմի համար այս ինքնությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

Հարմարության համար մենք կարող ենք վերցնել հինգ հղման կետ.

;

;

.

;

.

Այսպիսով, բնական լոգարիթմները հաշվելը բավականին պարզ խնդիր է, ավելին, այն հեշտացնում է հզորությունների հետ գործողությունների հաշվարկը՝ դրանք վերածելով. նորմալ բազմապատկում.

Կառուցելով գրաֆիկ ըստ կետերի, մենք ստանում ենք մոտավոր գրաֆիկ.

Բնական լոգարիթմի տիրույթը (այսինքն՝ X արգումենտի բոլոր վավեր արժեքները) բոլոր թվերը զրոյից մեծ են:

Ուշադրություն.Բնական լոգարիթմի տիրույթը ներառում է միայն դրական թվեր: Շրջանակը չի ներառում x=0: Սա անհնար է՝ ելնելով լոգարիթմի գոյության պայմաններից։

Արժեքների միջակայքը (այսինքն՝ y = ln x ֆունկցիայի բոլոր վավեր արժեքները) միջակայքի բոլոր թվերն են:

բնական գերան սահմանը

Ուսումնասիրելով գրաֆիկը՝ հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս է իրեն պահում ֆունկցիան, երբ y<0.

Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը հակված է հատել y առանցքը, բայց չի կարող դա անել, քանի որ x-ի բնական լոգարիթմը<0 не существует.

Բնական սահմանը գերանկարելի է գրել այսպես.

Լոգարիթմի հիմքը փոխելու բանաձև

Բնական լոգարիթմի հետ գործ ունենալը շատ ավելի հեշտ է, քան կամայական հիմք ունեցող լոգարիթմի հետ գործ ունենալը: Այդ իսկ պատճառով մենք կփորձենք սովորել, թե ինչպես կարելի է ցանկացած լոգարիթմ վերածել բնականի, կամ այն ​​արտահայտել կամայական հիմքով բնական լոգարիթմների միջոցով։

Սկսենք լոգարիթմական ինքնությունից.

Այնուհետև ցանկացած թիվ կամ փոփոխական y կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

որտեղ x-ը ցանկացած թիվ է (դրական՝ ըստ լոգարիթմի հատկությունների):

Այս արտահայտությունը կարելի է լոգարիթմացնել երկու կողմից: Եկեք դա անենք կամայական z հիմքով.

Եկեք օգտագործենք հատկությունը (միայն «հետ»-ի փոխարեն ունենք արտահայտություն).

Այստեղից մենք ստանում ենք համընդհանուր բանաձևը.

.

Մասնավորապես, եթե z=e, ապա.

.

Մեզ հաջողվեց լոգարիթմը ներկայացնել կամայական հիմքի երկու բնական լոգարիթմների հարաբերակցության միջոցով:

Մենք խնդիրներ ենք լուծում

Բնական լոգարիթմներում ավելի լավ կողմնորոշվելու համար դիտարկեք մի քանի խնդիրների օրինակներ:

Առաջադրանք 1. Անհրաժեշտ է լուծել ln x = 3 հավասարումը։

Լուծում:Օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը. եթե , ապա , մենք ստանում ենք.

Առաջադրանք 2. Լուծեք հավասարումը (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3:

Լուծում. Օգտվելով լոգարիթմի սահմանումից՝ եթե , ապա , մենք ստանում ենք.

.

Կրկին մենք կիրառում ենք լոգարիթմի սահմանումը.

.

Այսպիսով.

.

Պատասխանը կարող եք հաշվարկել մոտավորապես, կամ կարող եք թողնել այս ձևով։

Առաջադրանք 3.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:Կատարենք փոխարինում՝ t = ln x: Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

.

Մենք ունենք քառակուսի հավասարում. Գտնենք դրա տարբերակիչը.

Հավասարման առաջին արմատը.

.

Հավասարման երկրորդ արմատը.

.

Հիշելով, որ մենք կատարել ենք t = ln x փոխարինումը, ստանում ենք.

Վիճակագրության և հավանականությունների տեսության մեջ լոգարիթմական մեծությունները շատ տարածված են։ Սա զարմանալի չէ, քանի որ e - թիվը հաճախ արտացոլում է էքսպոնենցիալ արժեքների աճի տեմպերը:

Համակարգչային գիտության, ծրագրավորման և համակարգչային տեսության մեջ լոգարիթմները բավականին տարածված են, օրինակ՝ N բիթ հիշողության մեջ պահելու համար։

Ֆրակտալների և չափումների տեսություններում անընդհատ օգտագործվում են լոգարիթմներ, քանի որ ֆրակտալների չափերը որոշվում են միայն նրանց օգնությամբ։

Մեխանիկայի և ֆիզիկայի մեջչկա մի հատված, որտեղ լոգարիթմներ չեն օգտագործվել: Բարոմետրիկ բաշխումը, վիճակագրական թերմոդինամիկայի բոլոր սկզբունքները, Ցիոլկովսկու հավասարումը և այլն, գործընթացներ են, որոնք կարելի է նկարագրել միայն մաթեմատիկորեն՝ օգտագործելով լոգարիթմները։

Քիմիայում լոգարիթմն օգտագործվում է Ներնստի հավասարումների, ռեդոքս պրոցեսների նկարագրության մեջ։

Զարմանալի է, որ նույնիսկ երաժշտության մեջ օկտավայի մասերի քանակը պարզելու համար օգտագործվում են լոգարիթմներ։

Բնական լոգարիթմ Ֆունկցիան y=ln x նրա հատկությունները

Բնական լոգարիթմի հիմնական հատկության ապացույց

Հասարակության զարգացման, արտադրության բարդության հետ զարգացավ նաև մաթեմատիկան։ Շարժում պարզից բարդ: Գումարման և հանման սովորական հաշվառման մեթոդից, դրանց կրկնվող կրկնությամբ, նրանք հասան բազմապատկման և բաժանման հասկացությանը։ Բազմապատկվող կրկնվող գործողության կրճատումը դարձավ էքսպոնենտացիայի հայեցակարգ։ Հիմքից թվերի կախվածության և հզորության թվի առաջին աղյուսակները կազմվել են դեռևս 8-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Վարասենայի կողմից։ Դրանցից կարելի է հաշվել լոգարիթմների առաջացման ժամանակը:

Պատմական ուրվագիծ

16-րդ դարում Եվրոպայի վերածնունդը խթանեց նաև մեխանիկայի զարգացումը։ Տ պահանջվում էր մեծ քանակությամբ հաշվարկկապված բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ: Հնագույն սեղանները մեծ ծառայություն մատուցեցին։ Նրանք հնարավորություն տվեցին բարդ գործողությունները փոխարինել ավելի պարզներով՝ գումարում և հանում։ Մեծ քայլ առաջ էր 1544 թվականին հրատարակված մաթեմատիկոս Միքայել Շտիֆելի աշխատանքը, որում նա իրագործեց շատ մաթեմատիկոսների գաղափարը։ Սա հնարավորություն տվեց օգտագործել աղյուսակները ոչ միայն աստիճանների համար՝ պարզ թվերի տեսքով, այլև կամայական ռացիոնալների համար։

1614 թվականին շոտլանդացի Ջոն Նապիերը, զարգացնելով այս գաղափարները, առաջին անգամ ներկայացրեց «թվի լոգարիթմ» նոր տերմինը։ Կազմվել են նոր բարդ աղյուսակներ՝ սինուսների և կոսինուսների լոգարիթմները, ինչպես նաև շոշափողները հաշվելու համար։ Սա մեծապես նվազեցրեց աստղագետների աշխատանքը:

Սկսեցին հայտնվել նոր աղյուսակներ, որոնք հաջողությամբ օգտագործվեցին գիտնականների կողմից երեք դար շարունակ։ Շատ ժամանակ անցավ, մինչև հանրահաշվի նոր գործողությունը ստացավ իր ավարտուն ձևը: Սահմանվեց լոգարիթմը և ուսումնասիրվեցին նրա հատկությունները։

Միայն 20-րդ դարում, երբ հայտնվեցին հաշվիչը և համակարգիչը, մարդկությունը լքեց հնագույն աղյուսակները, որոնք հաջողությամբ գործում էին 13-րդ դարում:

Այսօր b-ի լոգարիթմ ենք անվանում՝ a-ի հիմքում x թիվը, որը a-ի հզորությունն է, ստանալու համար b թիվը: Սա գրված է որպես բանաձև՝ x = log a(b):

Օրինակ, log 3(9)-ը հավասար կլինի 2-ի: Սա ակնհայտ է, եթե հետևեք սահմանմանը: Եթե ​​3-ը հասցնենք 2-ի, ապա կստանանք 9:

Այսպիսով, ձևակերպված սահմանումը դնում է միայն մեկ սահմանափակում՝ a և b թվերը պետք է իրական լինեն։

Լոգարիթմների տարատեսակներ

Դասական սահմանումը կոչվում է իրական լոգարիթմ և իրականում a x = b հավասարման լուծումն է: a = 1 տարբերակը սահմանային է և ոչ մի հետաքրքրություն չի ներկայացնում: Նշում. ցանկացած հզորության 1-ը 1 է:

Լոգարիթմի իրական արժեքըսահմանվում է միայն այն դեպքում, եթե հիմքը և արգումենտը մեծ են 0-ից, և հիմքը չպետք է հավասար լինի 1-ի:

Հատուկ տեղ մաթեմատիկայի ոլորտումխաղալ լոգարիթմներ, որոնք կանվանվեն՝ կախված դրանց բազայի արժեքից.

Կանոններ և սահմանափակումներ

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը կանոնն է՝ արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմական գումարին։ log abp = log a(b) + log a(p):

Որպես այս հայտարարության տարբերակ, դա կլինի. log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), քանորդ ֆունկցիան հավասար է ֆունկցիաների տարբերությանը:

Նախորդ երկու կանոններից հեշտ է տեսնել, որ log a(b p) = p * log a(b):

Այլ հատկությունները ներառում են.

Մեկնաբանություն. Սովորական սխալ մի թույլ տվեք՝ գումարի լոգարիթմը հավասար չէ լոգարիթմների գումարին:

Շատ դարեր շարունակ լոգարիթմը գտնելու գործողությունը բավականին ժամանակատար խնդիր էր։ Մաթեմատիկոսներն օգտագործել են բազմանդամի ընդլայնման լոգարիթմական տեսության հայտնի բանաձևը.

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), որտեղ n-ը 1-ից մեծ բնական թիվ է, որը որոշում է հաշվարկի ճշգրտությունը։

Այլ հիմքերով լոգարիթմները հաշվարկվել են՝ օգտագործելով մի հիմքից մյուսին անցնելու թեորեմը և արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը։

Քանի որ այս մեթոդը շատ աշխատատար է և գործնական խնդիրներ լուծելիսդժվար է իրականացնել, նրանք օգտագործել են նախապես կազմված լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք մեծապես արագացրել են ամբողջ աշխատանքը:

Որոշ դեպքերում օգտագործվել են լոգարիթմների հատուկ կազմված գրաֆիկներ, որոնք ավելի քիչ ճշգրտություն են տվել, բայց զգալիորեն արագացրել են ցանկալի արժեքի որոնումը։ y = log a(x) ֆունկցիայի կորը, որը կառուցված է մի քանի կետերի վրա, թույլ է տալիս սովորական քանոն օգտագործել ցանկացած այլ կետում ֆունկցիայի արժեքները գտնելու համար: Երկար ժամանակ ինժեներները այդ նպատակների համար օգտագործում էին այսպես կոչված գրաֆիկական թուղթ։

17-րդ դարում ի հայտ եկան առաջին օժանդակ անալոգային հաշվողական պայմանները, որոնք 19-րդ դարում ձեռք էին բերել պատրաստի ձև։ Ամենահաջող սարքը կոչվում էր սլայդի կանոն: Չնայած սարքի պարզությանը, նրա տեսքը զգալիորեն արագացրեց բոլոր ինժեներական հաշվարկների գործընթացը, և դա դժվար է գերագնահատել: Ներկայումս քչերն են ծանոթ այս սարքին։

Հաշվիչների և համակարգիչների հայտնվելը անիմաստ դարձրեց այլ սարքերի օգտագործումը:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Լոգարիթմների միջոցով տարբեր հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

• Անցում մեկ բազայից մյուսին. log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Նախորդ տարբերակի հետևանքով՝ log a(b) = 1 / log b(a):

Անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է իմանալ.

• Լոգարիթմի արժեքը դրական կլինի միայն այն դեպքում, եթե և՛ հիմքը, և՛ փաստարկը մեկից մեծ կամ փոքր են. եթե գոնե մեկ պայման խախտվի, ապա լոգարիթմի արժեքը բացասական կլինի:
• Եթե ​​լոգարիթմի ֆունկցիան կիրառվում է անհավասարության աջ և ձախ կողմերի վրա, իսկ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է. հակառակ դեպքում՝ փոխվում է։

Առաջադրանքների օրինակներ

Դիտարկենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման մի քանի տարբերակներ: Հավասարումների լուծման օրինակներ.

Դիտարկենք լոգարիթմը աստիճանի մեջ տեղադրելու տարբերակը.

• Առաջադրանք 3. Հաշվել 25^log 5(3): Լուծում. խնդրի պայմաններում նշումը նման է հետևյալին (5^2)^log5(3) կամ 5^(2 * log 5(3)). Գրենք այլ կերպ՝ 5^log 5(3*2), կամ թվի քառակուսին որպես ֆունկցիայի արգումենտ կարելի է գրել որպես բուն ֆունկցիայի քառակուսի (5^log 5(3))^2։ Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները՝ այս արտահայտությունը 3^2 է։ Պատասխան՝ հաշվարկի արդյունքում ստանում ենք 9։

Գործնական օգտագործում

Լինելով զուտ մաթեմատիկական գործիք, իրական կյանքից հեռու է թվում, որ լոգարիթմը հանկարծակի ձեռք է բերել մեծ նշանակություննկարագրել առարկաները իրական աշխարհում: Դժվար է գտնել գիտություն, որտեղ այն չի օգտագործվում։ Սա լիովին վերաբերում է ոչ միայն բնական, այլեւ հումանիտար գիտելիքի ոլորտներին։

Լոգարիթմական կախվածություններ

Ահա թվային կախվածության մի քանի օրինակ.

Մեխանիկա և ֆիզիկա

Պատմականորեն, մեխանիկան և ֆիզիկան միշտ զարգացել են մաթեմատիկական հետազոտության մեթոդների կիրառմամբ և միևնույն ժամանակ ծառայել են որպես մաթեմատիկայի, այդ թվում՝ լոգարիթմների զարգացման խթան։ Ֆիզիկայի օրենքների մեծ մասի տեսությունը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով։ Մենք տալիս ենք ֆիզիկական օրենքների նկարագրության միայն երկու օրինակ՝ օգտագործելով լոգարիթմը:

Հնարավոր է լուծել այնպիսի բարդ քանակի հաշվարկման խնդիրը, ինչպիսին է հրթիռի արագությունը, օգտագործելով Ցիոլկովսկու բանաձևը, որը հիմք դրեց տիեզերական հետազոտության տեսությանը.

V = I * ln(M1/M2), որտեղ

• V-ն օդանավի վերջնական արագությունն է։
• Ես շարժիչի կոնկրետ իմպուլսն եմ։
• M 1-ը հրթիռի սկզբնական զանգվածն է։
• M 2 - վերջնական զանգված:

Մեկ այլ կարևոր օրինակ- սա մեկ այլ մեծ գիտնականի՝ Մաքս Պլանկի բանաձևի օգտագործումն է, որը ծառայում է թերմոդինամիկայի հավասարակշռության վիճակը գնահատելուն:

S = k * ln (Ω), որտեղ

• S-ը թերմոդինամիկական հատկություն է։
• k-ն Բոլցմանի հաստատունն է:
• Ω-ն տարբեր վիճակների վիճակագրական կշիռն է:

Քիմիա

Ավելի քիչ ակնհայտ կլիներ քիմիայի մեջ լոգարիթմների հարաբերակցություն պարունակող բանաձևերի օգտագործումը: Ահա ընդամենը երկու օրինակ.

• Ներնստի հավասարումը, միջավայրի ռեդոքսային ներուժի պայմանը նյութերի ակտիվության և հավասարակշռության հաստատունի նկատմամբ։
• Այնպիսի հաստատունների հաշվարկը, ինչպիսիք են ավտոպրոլիզի ինդեքսը և լուծույթի թթվայնությունը, նույնպես ամբողջական չէ առանց մեր ֆունկցիայի։

Հոգեբանություն և կենսաբանություն

Եվ բոլորովին անհասկանալի է, թե ինչ կապ ունի դրա հետ հոգեբանությունը: Պարզվում է, որ սենսացիայի ուժգնությունը լավ նկարագրվում է այս ֆունկցիայով որպես գրգռիչի ինտենսիվության արժեքի հակադարձ հարաբերակցություն ավելի ցածր ինտենսիվության արժեքին:

Վերոնշյալ օրինակներից հետո այլեւս զարմանալի չէ, որ լոգարիթմների թեման լայնորեն կիրառվում է նաև կենսաբանության մեջ։ Ամբողջ հատորներ կարելի է գրել լոգարիթմական պարույրներին համապատասխան կենսաբանական ձևերի մասին։

Այլ ոլորտներ

Թվում է, թե աշխարհի գոյությունն անհնար է առանց այդ ֆունկցիայի հետ կապի, և այն ղեկավարում է բոլոր օրենքները։ Հատկապես, երբ բնության օրենքները կապված են երկրաչափական պրոգրեսիայի հետ։ Արժե անդրադառնալ MatProfi կայքին, և կան բազմաթիվ նման օրինակներ գործունեության հետևյալ ոլորտներում.

Ցուցակը կարող է անվերջ լինել: Այս ֆունկցիայի հիմնական օրենքներին տիրապետելով՝ կարող եք սուզվել անսահման իմաստության աշխարհ:

Այսօր մենք կխոսենք լոգարիթմի բանաձևերև ցույց տալ լուծման օրինակներ.

Իրենք, դրանք ենթադրում են լուծման ձևեր՝ ըստ լոգարիթմների հիմնական հատկությունների։ Նախքան լուծման վրա լոգարիթմի բանաձևերը կիրառելը, մենք ձեզ համար հիշեցնում ենք նախ բոլոր հատկությունները.

Այժմ, հիմնվելով այս բանաձեւերի (հատկությունների) վրա, մենք ցույց ենք տալիս լոգարիթմների լուծման օրինակներ.

Բանաձևերի հիման վրա լոգարիթմների լուծման օրինակներ.

Լոգարիթմ a հիմքում դրական b թիվը (նշվում է log a b) այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացվի a-ն, որպեսզի ստացվի b, երբ b > 0, a > 0 և 1:

Ըստ սահմանման log a b = x, որը համարժեք է a x = b-ին, ուստի log a x = x:

Լոգարիթմներ, օրինակներ:

log 2 8 = 3, քանի որ 2 3 = 8

log 7 49 = 2, քանի որ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, քանի որ 5 -1 = 1/5

Տասնորդական լոգարիթմսովորական լոգարիթմ է, որի հիմքը 10 է. Նշվում է lg.

log 10 100 = 2, քանի որ 10 2 = 100

բնական լոգարիթմ- նաև սովորական լոգարիթմի լոգարիթմ, բայց e հիմքով (e \u003d 2.71828 ... - իռացիոնալ թիվ): Նշվում է որպես ln.

Ցանկալի է հիշել լոգարիթմների բանաձևերը կամ հատկությունները, քանի որ դրանք մեզ ավելի ուշ պետք կգան լոգարիթմներ, լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։ Եկեք կրկին աշխատենք յուրաքանչյուր բանաձևի միջոցով օրինակներով:

• Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Արտադրանքի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների գումարին
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Քաղորդի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Լոգարիթմական թվի աստիճանի և լոգարիթմի հիմքի հատկությունները

  Լոգարիթմական թվի ցուցիչը log a b m = mlog a b

  Լոգարիթմի հիմքի ցուցիչ log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  եթե m = n, մենք ստանում ենք log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Անցում դեպի նոր հիմք
  log a b = log c b / log c a,

  եթե c = b, մենք ստանում ենք log b b = 1

  ապա log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմի բանաձևերը այնքան էլ բարդ չեն, որքան թվում է: Այժմ, հաշվի առնելով լոգարիթմների լուծման օրինակները, մենք կարող ենք անցնել լոգարիթմական հավասարումների: Լոգարիթմական հավասարումների լուծման օրինակները ավելի մանրամասն կքննարկենք հոդվածում՝ «»: Բաց մի թող:

Եթե ​​դեռ հարցեր ունեք լուծման վերաբերյալ, գրեք դրանք հոդվածի մեկնաբանություններում:

Նշում. որպես տարբերակ, որոշել է արտերկրում մեկ այլ դասարանի կրթություն ստանալ:

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b * a c = a b + c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիայի օգտագործման օրինակները կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ պահանջվում է բարդ բազմապատկումը պարզեցնել պարզ գումարման: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզու.

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) «b» լոգարիթմն ըստ իր «a» հիմքի համարվում է «c»-ի հզորություն։ », որի վրա անհրաժեշտ է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի վերջում ստացվի «b» արժեքը։ Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի աստիճան գտնեք, որ 2-ից մինչև անհրաժեշտ աստիճանը ստանաք 8: Ձեր մտքում կատարելով որոշ հաշվարկներ, մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխանում տալիս է 8 թիվը։

Լոգարիթմների տարատեսակներ

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Կան երեք որոշակի տեսակներլոգարիթմական արտահայտություններ.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմը a>1 հիմքի նկատմամբ:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմներ։ Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների կարգը նրանց որոշումներում:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարիտ են։ Օրինակ, դուք չեք կարող թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է հանել արմատը նույնիսկ աստիճան-ից բացասական թվեր. Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել, թե ինչպես աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «ա» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և միևնույն ժամանակ հավասար լինի 1-ի, հակառակ դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1»-ը և «0»-ը ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
• եթե a > 0, ապա a b > 0, ստացվում է, որ «c»-ը պետք է մեծ լինի զրոյից:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք տրվեց գտնել 10 x \u003d 100 հավասարման պատասխանը: Դա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք այդպիսի հզորություն, բարձրացնելով տասը թիվը, որին մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 է: 2 \u003d 100.

Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք որպես լոգարիթմական: Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմներ լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում համընկնում են գտնելու այն աստիճանը, որով պետք է մուտքագրվի լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե դուք տեխնիկական մտածելակերպ ունեք և գիտեք բազմապատկման աղյուսակը: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար կպահանջվի էլեկտրական աղյուսակ: Այն կարող են օգտագործել նույնիսկ նրանք, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չեն հասկանում բարդ մաթեմատիկական թեմաներից։ Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Բջիջների խաչմերուկում որոշվում են թվերի արժեքները, որոնք պատասխանն են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ է և հեշտ, որ նույնիսկ ամենաիրական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարում: Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի լոգարիթմ 3-ի հիմքի վրա, որը չորս է (log 3 81 = 4): Համար բացասական ուժերկանոնները նույնն են. 2 -5 \u003d 1/32 գրում ենք լոգարիթմի տեսքով, ստանում ենք log 2 (1/32) \u003d -5: Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք մի փոքր ավելի ցածր՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ ձևի արտահայտություն՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ երկու հիմքում ցանկալի թվի լոգարիթմը մեծ է երեք թվից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ՝ 2 x = √9-ի լոգարիթմը) պատասխանում ենթադրում են մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարությունը լուծելիս երկուսն էլ՝ ընդունելի արժեքները և այս գործառույթը խախտող կետերը: Արդյունքում, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ առաջադրանքներ լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Հավասարումների օրինակների հետ կծանոթանանք ավելի ուշ, նախ ավելի մանրամասն վերլուծենք յուրաքանչյուր հատկություն։

1. Հիմնական ինքնությունը հետևյալն է. a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն 0-ից մեծ է, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում նախապայմանն է՝ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Դուք կարող եք ապացուցել լոգարիթմների այս բանաձևը, օրինակներով և լուծումներով: Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (աստիճանի հատկություններ ), և հետագայում ըստ սահմանման՝ log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, որը պետք է ապացուցվեր։
3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2:
4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»։ Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ ամբողջ մաթեմատիկան հիմնված է կանոնավոր պոստուլատների վրա: Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող գրանցվեք a b \u003d t, ստացվում է a t \u003d b. Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնեք մինչև m հզորության՝ a tn = b n;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n , հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմի խնդիրների ամենատարածված տեսակներն են հավասարումների և անհավասարությունների օրինակները: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր խնդրագրքերում, ներառված են նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասում։ Համալսարան ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստեր հանձնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները։

Ցավոք, մեկ պլան կամ սխեմա, որը պետք է լուծել և որոշել անհայտ արժեքՉկա լոգարիթմ, այնուամենայնիվ, որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար: Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր տեսարան. Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք շուտով ճանաչենք նրանց:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք մեր առջև. արտահայտության օրինակը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ դուք պետք է որոշեք այն աստիճանը, որով հիմքը 10-ը հավասար կլինի համապատասխանաբար 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմների լուծումների համար պետք է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վրա հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների։ Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի աստիճանի չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց առաջին հայացքից լուծել բարդ և անլուծելի արտահայտություն: Անհրաժեշտ է միայն ֆակտորիզացնել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ քննության ժամանակ ( Պետական ​​քննությունբոլոր ավագ դպրոցի շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենադժվար և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը ենթադրում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն։

Օրինակներն ու խնդիրների լուծումները վերցված են պաշտոնականից ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ընտրանքներ. Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերագրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2 , լոգարիթմի սահմանմամբ ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4 , հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

• Բոլոր լոգարիթմները լավագույնս կրճատվում են նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը դժվար և շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, երբ հանում ենք լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության արտահայտիչի ցուցիչը և որպես դրա հիմք, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական։

Լոգարիթմների հատվածը մեծ նշանակություն ունի դպրոցական դասընթաց « Մաթեմատիկական վերլուծություն«. Լոգարիթմական ֆունկցիաների առաջադրանքները հիմնված են այլ սկզբունքների վրա, քան անհավասարությունների և հավասարումների առաջադրանքները: Լոգարիթմ հասկացությունների սահմանումների և հիմնական հատկությունների իմացություն և լոգարիթմական ֆունկցիա, կապահովի քննությանը բնորոշ խնդիրների հաջող լուծումը։

Նախքան բացատրել, թե ինչ է լոգարիթմական ֆունկցիան, արժե անդրադառնալ լոգարիթմի սահմանմանը:

Եկեք վերլուծենք կոնկրետ օրինակև գրանցվեք a x = x, որտեղ a › 0, a ≠ 1:

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները կարելի է թվարկել մի քանի կետերում.

Լոգարիթմ

Լոգարիթմը մաթեմատիկական գործողություն է, որը թույլ է տալիս օգտագործել հայեցակարգի հատկությունները թվի կամ արտահայտության լոգարիթմը գտնելու համար։

Օրինակներ.

Լոգարիթմի ֆունկցիան և դրա հատկությունները

Լոգարիթմական ֆունկցիան ունի ձև

Մենք անմիջապես նշում ենք, որ ֆունկցիայի գծապատկերը կարող է մեծանալ a › 1-ի համար և նվազել 0 ‹ a ‹ 1-ի համար: Կախված դրանից, ֆունկցիայի կորը կունենա այս կամ այն ​​ձևը:

Ահա լոգարիթմների գրաֆիկները գծելու հատկությունները և մեթոդը.

• f(x)-ի տիրույթը բոլոր դրական թվերի բազմությունն է, այսինքն. x-ը կարող է ցանկացած արժեք վերցնել միջակայքից (0; + ∞);
• ODZ ֆունկցիաներ - բոլոր իրական թվերի բազմությունը, այսինքն. y-ը կարող է հավասար լինել ցանկացած թվի միջակայքից (- ∞; +∞);
• եթե a > 1 լոգարիթմի հիմքը, ապա f(x)-ը մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում.
• եթե լոգարիթմի հիմքը 0 ‹ a ‹ 1 է, ապա F-ն նվազում է;
• լոգարիթմական ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ.
• գրաֆիկի կորը միշտ անցնում է (1;0) կոորդինատներով կետով:

Երկու տեսակի գրաֆիկների կառուցումը շատ պարզ է, եկեք նայենք գործընթացին՝ օգտագործելով օրինակ

Նախ պետք է հիշել հատկությունները պարզ լոգարիթմև դրա գործառույթները։ Նրանց օգնությամբ դուք պետք է աղյուսակ կառուցեք հատուկ x և y արժեքների համար: Այնուհետեւ, կոորդինատային առանցքի վրա, ստացված կետերը պետք է նշվեն եւ միացվեն հարթ գծով: Այս կորը կլինի պահանջվող գրաֆիկը:

Լոգարիթմական ֆունկցիան հակադարձ է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, տրված է y= a x բանաձեւով։ Սա ստուգելու համար բավական է երկու կորերը գծել նույն կոորդինատային առանցքի վրա։

Ակնհայտ է, որ երկու տողերն էլ միմյանց հայելային պատկերներ են: Կառուցելով ուղիղ y = x, դուք կարող եք տեսնել համաչափության առանցքը:

Խնդրի պատասխանը արագ գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել կետերի արժեքները y = log 2⁡ x-ի համար, այնուհետև պարզապես տեղափոխել կոորդինատային կետերի սկզբնաղբյուրը երեք բաժին OY առանցքով ներքև և 2 բաժանում. ձախը OX առանցքի երկայնքով:

Որպես ապացույց, մենք կկառուցենք հաշվարկային աղյուսակ y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 գրաֆիկի կետերի համար և ստացված արժեքները կհամեմատենք նկարի հետ։

Ինչպես տեսնում եք, աղյուսակի կոորդինատները և գրաֆիկի կետերը համընկնում են, հետևաբար առանցքների երկայնքով փոխանցումը ճիշտ է կատարվել։

Օգտագործման տիպիկ խնդիրների լուծման օրինակներ

Թեստային առաջադրանքների մեծ մասը կարելի է բաժանել երկու մասի. գտնել սահմանման տիրույթը, նշել ֆունկցիայի տեսակը ըստ գրաֆիկի գծագրի, որոշել, թե արդյոք ֆունկցիան աճում է/նվազում:

Առաջադրանքներին արագ պատասխանելու համար անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ, որ f (x) մեծանում է, եթե լոգարիթմի ցուցիչը a > 1, և նվազում է - երբ 0 ‹ a ‹ 1: Այնուամենայնիվ, ոչ միայն հիմքը, այլ նաև փաստարկը: կարող է մեծապես ազդել ֆունկցիայի կորի ձևի վրա:

F(x) նշանով նշված ճիշտ պատասխաններն են: Այս դեպքում կասկածներ են առաջանում 2-րդ և 3-րդ օրինակներով: Գրանցման դիմաց գտնվող «-» նշանը փոխվում է գնալով նվազման և հակառակը:

Հետևաբար, y=-log 3⁡ x գրաֆիկը նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում, և y= -log (1/3) ⁡x մեծանում է, չնայած այն հանգամանքին, որ հիմքը 0 ‹ a ‹ 1 է:

Պատասխանել: 3,4,5.

Պատասխանել: 4.

Այս տեսակի առաջադրանքները համարվում են հեշտ և գնահատվում են 1-2 միավոր:

Առաջադրանք 3.

Որոշեք՝ ֆունկցիան նվազում է, թե մեծանում, և նշեք դրա սահմանման շրջանակը:

Y = log 0.7 ⁡(0.1x-5)

Քանի որ լոգարիթմի հիմքը մեկից փոքր է, բայց զրոյից մեծ, x-ի ֆունկցիան նվազում է։ Ըստ լոգարիթմի հատկությունների՝ արգումենտը նույնպես պետք է զրոյից մեծ լինի։ Եկեք լուծենք անհավասարությունը.

Պատասխանել D(x) սահմանման տիրույթը (50; + ∞) միջակայքն է:

Պատասխանել 3, 1, OX առանցք, դեպի աջ:

Նման առաջադրանքները դասակարգվում են որպես միջին և գնահատվում են 3-4 միավոր:

Առաջադրանք 5. Գտեք ֆունկցիայի միջակայքը.

Լոգարիթմի հատկություններից հայտնի է, որ փաստարկը կարող է լինել միայն դրական։ Հետևաբար, մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի թույլատրելի արժեքների տարածքը: Դա անելու համար անհրաժեշտ կլինի լուծել երկու անհավասարությունների համակարգ։