Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, √x = a. Tāpat kā ar jebkuru skaitli, jūs varat veikt aritmētiskās saskaitīšanas un atņemšanas darbības ar kvadrātsaknēm.

Instrukcija

• Pirmkārt, pievienojot kvadrātsaknes mēģiniet iegūt šīs saknes. Tas būs iespējams, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, dota izteiksme √4 + √9. Pirmais cipars 4 ir skaitļa 2 kvadrāts. Otrais skaitlis 9 ir skaitļa 3 kvadrāts. Tātad sanāk, ka: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ja zem zīmes nav saknes pilni kvadrāti, pēc tam mēģiniet izņemt skaitļa reizinātāju zem saknes zīmes. Piemēram, pieņemsim, ka ir dots √24 + √54. Sakārtojiet skaitļus: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Skaitlim 24 ir koeficients 4, ko var izņemt no kvadrātsaknes zīmes. Skaitlim 54 ir koeficients 9. Tādējādi izrādās, ka: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Šajā piemērā reizinātāja izņemšanas rezultātā no saknes zīmes izrādījās, ka dotā izteiksme ir vienkāršota.
• Lai divu kvadrātsakņu summa ir daļdaļas saucējs, piemēram, A / (√a + √b). Un lai jūsu uzdevums ir "atbrīvoties no saucējā iracionalitātes". Pēc tam varat izmantot šādu metodi. Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar izteiksmi √a - √b. Tādējādi saucējā tiks iegūta saīsinātās reizināšanas formula: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Pēc analoģijas, ja saucējā ir norādīta sakņu starpība: √a - √b, tad daļskaitļa skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi √a + √b. Piemēram, ņemot vērā daļu 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2* (√5 - √3).
• Skatīt vairāk sarežģīts piemērs atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā. Daļa 12 / (√2 + √3 + √5) ir dota. Daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Un visbeidzot, ja jums ir nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, tad kalkulatorā varat aprēķināt kvadrātsaknes. Aprēķiniet vērtības katram skaitlim atsevišķi un pierakstiet ar nepieciešamo precizitāti (piemēram, divas zīmes aiz komata). Un pēc tam veiciet vajadzīgās aritmētiskās darbības, tāpat kā ar parastajiem skaitļiem. Piemēram, pieņemsim, ka vēlaties uzzināt izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko parādību. Kā arī parastie skaitļi, tiek pievienotas un atņemtas kvadrātsaknes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumi

1. definīcija

Tādas darbības kā kvadrātsaknes pievienošana un atņemšana ir iespējamas tikai tad, ja saknes izteiksme ir vienāda.

1. piemērs

Varat pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3, bet ne 56 Un 9 4 . Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un tuvināt to saknēm ar tādu pašu saknes numuru, tad vienkāršojiet un pēc tam pievienojiet vai atņemiet.

Galvenās darbības: pamati

2. piemērs

6 50 - 2 8 + 5 12

Darbības algoritms:

1. Vienkāršojiet saknes izteiksmi. Lai to izdarītu, saknes izteiksme ir jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrātskaitlis (skaitlis, no kura tiek iegūts vesels skaitlis Kvadrātsakne piemēram, 25 vai 9).
2. Tad jums ir jāņem kvadrāta skaitļa sakne un ierakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
3. Pēc vienkāršošanas procesa ir nepieciešams pasvītrot saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var pievienot un atņemt.
4. Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir nepieciešams pievienot vai atņemt faktorus, kas ir pirms saknes zīmes. Saknes izteiksme paliek nemainīga. Nepievienojiet un neatņemiet saknes skaitļus!

1. padoms

Ja jums ir piemērs ar liela summa identiskas radikālas izteiksmes, tad pasvītrojiet šādas izteiksmes ar vienu, dubultu un trīskāršu līniju, lai atvieglotu aprēķina procesu.

3. piemērs

Izmēģināsim šo piemēru:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vispirms jums ir jāsadala 50 2 faktoros 25 un 2, pēc tam ņem 25 sakni, kas ir 5, un 5 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (reizinātājs saknē) un jāsaņem 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 8 2 faktoros: 4 un 2. Pēc tam no 4 izvelciet sakni, kas ir vienāda ar 2, un izņemiet 2 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāsaņem 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 12 2 faktoros: 4 un 3. Pēc tam izņemiet sakni no 4, kas ir 2, un izņemiet to no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāsaņem 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteiksmju ir ietverts šajā piemērā. Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

4. piemērs

• Vienkāršot (45) . Mēs koeficientu 45: (45) = (9 × 5) ;
• Mēs izņemam 3 no zem saknes (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Mēs saskaitām faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

5. piemērs

6 40 - 3 10 + 5:

• Vienkāršošana 6 40 . Mēs koeficientu 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Mēs izņemam 2 no saknes apakšas (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Mēs reizinām faktorus, kas atrodas saknes priekšā: 12 10;
• Izteicienu rakstām vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5;
• Tā kā pirmajiem diviem terminiem ir vienādi saknes skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

6. piemērs

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam dalībniekus ar vienādiem radikālskaitļiem, veicam matemātiskās operācijas(saskaitīt, atņemt utt.) un uzrakstiet rezultātu:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Padoms:

• Pirms pievienošanas vai atņemšanas ir obligāti jāvienkāršo (ja iespējams) radikālās izteiksmes.
• Sakņu pievienošana un atņemšana ar dažādām sakņu izteiksmēm ir stingri aizliegta.
• Nepievienojiet un neatņemiet veselu skaitli vai kvadrātsakni: 3 + (2 x) 1/2 .
• Veicot darbības ar daļskaitļiem, jāatrod skaitlis, kas dalās ar katru saucēju, pēc tam jāsavieno daļskaitļi līdz kopsaucējam, tad jāpievieno skaitītāji un saucēji jāatstāj nemainīgi.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir stipri "nav ļoti. »
Un tiem, kuri “ļoti vienmērīgi. "")

Iepriekšējā nodarbībā mēs sapratām, kas ir kvadrātsakne. Ir pienācis laiks noskaidrot, kas ir formulas saknēm, kas ir sakņu īpašības un ko ar to visu var darīt.

Sakņu formulas, saknes rekvizīti un noteikumi darbībām ar saknēm būtībā ir viena un tā pati lieta. Kvadrātsakņu formulu ir pārsteidzoši maz. Kas, protams, priecē! Drīzāk var rakstīt daudz un visādas formulas, bet praktiskam un pārliecinātam darbam ar saknēm pietiek tikai ar trim. Viss pārējais izriet no šiem trim. Lai gan daudzi nomaldās trīs sakņu formulās, jā.

Sāksim ar vienkāršāko. Šeit viņa ir:

Es jums atgādinu (no iepriekšējās nodarbības): a un b ir nenegatīvi skaitļi! Pretējā gadījumā formulai nav jēgas.

Šī sakņu īpašība, kā redzat, vienkāršs, īss un nekaitīgs. Bet ar šo sakņu formulu jūs varat paveikt daudz noderīgas lietas! Apskatīsim piemēri visas šīs noderīgās lietas.

Vispirms noderīga lieta. Šī formula mums ļauj pavairot saknes.

Kā pavairot saknes?

Jā, ļoti vienkārši. Tieši uz formulu. Piemēram:

Šķiet, ka viņi ir savairojušies, un ko tad? Vai ir daudz prieka? Piekrītu, nedaudz. Bet kā tev patīk šis piemērs?

Saknes nav precīzi iegūtas no faktoriem. Un rezultāts ir lielisks! Jau labāk, vai ne? Katram gadījumam informēšu, ka reizinātāju var būt tik daudz, cik vēlaties. Joprojām darbojas saknes reizināšanas formula. Piemēram:

Tātad ar reizināšanu viss ir skaidrs, kāpēc tas ir vajadzīgs sakņu īpašums- tas arī ir saprotams.

Noderīga lieta otrā. Ciparu ievadīšana zem saknes zīmes.

Kā ievadīt skaitli zem saknes?

Pieņemsim, ka mums ir šāda izteiksme:

Vai ir iespējams paslēpt divkauni saknes iekšpusē? Viegli! Ja no diviem veido sakni, derēs sakņu pavairošanas formula. Un kā padarīt sakni no divcīņas? Jā, tas arī nav jautājums! Dubults ir kvadrātsakne no četrām!

Sakni, starp citu, var izveidot no jebkura nenegatīva skaitļa! Tā būs kvadrātsakne no šī skaitļa kvadrāta. 3 ir 9 sakne. 8 ir 64 sakne. 11 ir 121 sakne. Nu, un tā tālāk.

Protams, nav nepieciešams krāsot tik detalizēti. Izņemot iesācējiem. Pietiek apzināties, ka zem saknes var novest jebkuru nenegatīvu skaitli, kas reizināts ar sakni. Bet neaizmirstiet! - zem saknes šis skaitlis kļūs kvadrāts pats. Šo darbību - skaitļa ievadīšanu zem saknes - var saukt arī par skaitļa reizināšanu ar sakni. Vispārīgi var rakstīt:

Process ir vienkāršs, kā redzat. Kāpēc viņa ir vajadzīga?

Tāpat kā jebkura transformācija, arī šī procedūra paplašina mūsu iespējas. Iespējas pārvērst nežēlīgu un neērtu sejas izteiksmi maigā un pūkainā). Šeit jums ir vienkāršs piemērs:

Kā jūs redzat saknes īpašums, kas ļauj ieviest faktoru zem saknes zīmes, ir diezgan piemērots vienkāršošanai.

Turklāt, pievienojot reizinātāju zem saknes, ir viegli un vienkārši salīdzināt dažādu sakņu vērtības. Bez jebkāda aprēķina un kalkulatora! Trešā noderīga lieta.

Kā salīdzināt saknes?

Šī prasme ir ļoti svarīga stabilās misijās, moduļu atbloķēšanā un citās foršās lietās.

Salīdziniet šos izteicienus. Kurš ir vairāk? Bez kalkulatora! Katrs ar kalkulatoru. uh-u. Īsāk sakot, ikviens to var izdarīt!)

Tu to uzreiz nesaki. Un ja jūs ievadāt ciparus zem saknes zīmes?

Atcerieties (pēkšņi nezināju?): ja skaitlis zem saknes zīmes ir lielāks, tad pati sakne ir lielāka! Līdz ar to uzreiz pareizā atbilde bez sarežģītiem aprēķiniem un aprēķiniem:

Tas ir lieliski, vai ne? Bet tas vēl nav viss! Atcerieties, ka visas formulas darbojas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso. Mēs līdz šim esam izmantojuši formulu sakņu reizināšanai no kreisās uz labo pusi. Palaidīsim šo saknes īpašumu atpakaļ, no labās puses uz kreiso. Kā šis:

Un kāda starpība? Vai tas tev kaut ko dod!? Noteikti! Tagad jūs redzēsiet paši.

Pieņemsim, ka mums ir jāizņem (bez kalkulatora!) kvadrātsakne no skaitļa 6561. Daži cilvēki šajā posmā kritīs nevienlīdzīgā cīņā ar uzdevumu. Bet mēs esam spītīgi, mēs nepadodamies! Ceturtā noderīga lieta.

Kā iegūt saknes no liela skaita?

Mēs atgādinām formulu sakņu iegūšanai no produkta. Tas, kuru es ievietoju iepriekš. Bet kur ir mūsu darbs? Mums ir milzīgs numurs 6561, un tas arī viss. Jā, mākslas nav. Bet, ja mums tas ir vajadzīgs, mēs daram! Aprēķināsim šo skaitli. Mums ir tiesības.

Vispirms izdomāsim, ar ko tieši šis skaitlis dalās? Ko, tu nezini!? Vai aizmirsāt dalāmības pazīmes!? Velti. Dodieties uz Īpašo 555. sadaļu, tematu "Daļskaitļi", tur tie ir. Šis skaitlis dalās ar 3 un 9. Jo ciparu summa (6+5+6+1=18) dalās ar šiem skaitļiem. Šī ir viena no dalāmības pazīmēm. Mums nav jādala ar trīs (tagad jūs sapratīsit, kāpēc), bet mēs dalīsim ar 9. Vismaz stūrī. Mēs iegūstam 729. Tātad mēs atradām divus faktorus! Pirmais ir deviņnieks (paši izvēlējāmies), bet otrais ir 729 (tā sanāca). Var jau rakstīt:

Vai sapratāt ideju? Darīsim to pašu ar skaitli 729. Tas arī dalās ar 3 un 9. Atkal mēs nedalām ar 3, mēs dalām ar 9. Mēs iegūstam 81. Un mēs zinām šo skaitli! Mēs pierakstām:

Viss izrādījās viegli un eleganti! Sakni vajadzēja izņemt pa gabalu, nu, labi. To var izdarīt ar jebkuru lieli cipari. Reiziniet tos un aiziet!

Starp citu, kāpēc jums nebija jādala ar 3, vai jūs uzminējāt? Jā, jo trīs sakne nav precīzi izvilkta! Ir jēga sadalīties tādos faktoros, lai vismaz vienu sakni varētu labi iegūt. Tas ir 4, 9, 16 labi, un tā tālāk. Sadaliet savu milzīgo skaitli pēc kārtas ar šiem skaitļiem, jūs redzat, un jums ir paveicies!

Bet ne obligāti. Varbūt nepaveicās. Pieņemsim, ka skaitlis 432, ja to aprēķina un izmantojot produkta saknes formulu, sniegs šādu rezultātu:

Nu labi. Mēs tik un tā esam vienkāršojuši izteicienu. Matemātikā ir pieņemts atstāt visvairāk neliels skaits no iespējamā. Risināšanas procesā viss ir atkarīgs no piemēra (varbūt viss ir samazināts bez vienkāršošanas), bet atbildē ir jāsniedz rezultāts, kuru nevar vēl vairāk vienkāršot.

Starp citu, vai jūs zināt, ko mēs tagad esam darījuši ar 432 sakni?

Mēs izņemti faktori no zem saknes zīmes ! Tā sauc šo operāciju. Un tad uzdevums kritīs - " izņem faktoru no zem saknes zīmes"Bet vīrieši pat nezina.) Lūk, jums vēl viens pielietojums sakņu īpašības. Piektā noderīga lieta.

Kā reizinātāju izņemt no saknes?

Viegli. Faktorizējiet saknes izteiksmi un ekstrahējiet iegūtās saknes. Mēs skatāmies:

Nekas pārdabisks. Ir svarīgi izvēlēties pareizos reizinātājus. Šeit mēs esam sadalījuši 72 kā 36 2. Un viss izrādījās labi. Vai arī viņi to varēja sadalīt citādi: 72 = 6 12. Un kas!? Ne no 6, ne no 12 sakne netiek izvilkta. Ko darīt?!

Ir labi. Vai meklējiet citas sadalīšanas iespējas, vai turpiniet visu izkārtot līdz galam! Kā šis:

Kā redzat, viss izdevās. Tas, starp citu, nav ātrākais, bet visuzticamākais veids. Sadaliet skaitli mazākajos faktoros un pēc tam savāciet tos pašus kaudzēs. Metode tiek veiksmīgi pielietota arī, pavairojot neērtas saknes. Piemēram, jums ir jāaprēķina:

Reiziniet visu - jūs saņemsiet traku skaitli! Un kā tad no tā izvilkt sakni ?! Atkal reizināt? Nē, mums nav nepieciešams papildu darbs. Mēs nekavējoties sadalāmies faktoros un savācam tos pašus kaudzēs:

Tas ir viss. Protams, nav nepieciešams izlikt līdz pieturai. Visu nosaka jūsu personīgās spējas. Atveda piemēru līdz stāvoklim, kurā tev viss skaidrs tātad jau var skaitīt. Galvenais ir nepieļaut kļūdas. Nevis cilvēks matemātikai, bet matemātika vīrietim!)

Pielietosim zināšanas praksē? Sāksim ar vienkāršu:

Kvadrātsakņu pievienošanas noteikums

Kvadrātsakņu īpašības

Līdz šim esam veikuši piecas aritmētiskās darbības ar skaitļiem: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšana, dalīšana un eksponēšana, un aprēķinos aktīvi tika izmantotas dažādas šo darbību īpašības, piemēram, a + b = b + a, un n -b n = (ab) n utt.

Šī nodaļa iepazīstina jauna operācija- nenegatīva skaitļa kvadrātsaknes iegūšana. Lai to veiksmīgi izmantotu, jums jāiepazīstas ar šīs darbības īpašībām, ko mēs darīsim šajā sadaļā.

Pierādījums. Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
Mums tas ir jāpierāda negatīvi skaitļi x, y, z, x = yz.

Tātad x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Tad x 2 \u003d y 2 z 2, t.i., x 2 \u003d (yz) 2.

Ja kvadrāti divi nenegatīvi skaitļi ir vienādi, tad paši skaitļi ir vienādi, kas nozīmē, ka no vienādības x 2 \u003d (yz) 2 izriet, ka x \u003d yz, un tas bija jāpierāda.

Mēs sniedzam īsu teorēmas pierādījumu ierakstu:

1. piezīme. Teorēma paliek spēkā gadījumam, kad radikāļu izteiksme ir vairāk nekā divu nenegatīvu faktoru reizinājums.

2. piezīme. Teorēma 1 var uzrakstīt, izmantojot “ja. , tad” (kā pieņemts teorēmām matemātikā). Mēs sniedzam atbilstošo formulējumu: ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad vienādība .

Tādā veidā mēs formulējam šādu teorēmu.

(Īss formulējums, kas ir ērtāk lietojams praksē: daļas sakne ir vienāda ar sakņu daļu vai koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu daļu.)

Šoreiz mēs sniegsim tikai īsu pierādījumu pierakstu, un jūs varat mēģināt izteikt atbilstošus komentārus, kas līdzīgi tiem, kas veidoja 1. teorēmas pierādījuma būtību.

Piemērs 1. Aprēķināt .
Risinājums. Pirmā īpašuma izmantošana kvadrātsaknes(1. teorēma), iegūstam

3. piezīme. Protams, šo piemēru var atrisināt citādi, it īpaši, ja pie rokas ir kalkulators: reiziniet skaitļus 36, 64, 9 un pēc tam ņemiet iegūtā reizinājuma kvadrātsakni. Tomēr jūs piekrītat, ka iepriekš piedāvātais risinājums izskatās kulturālāks.

4. piezīme. Pirmajā metodē mēs veicām tūlītējus aprēķinus. Otrais veids ir elegantāks:
mēs pieteicāmies formula a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) un izmantoja kvadrātsakņu īpašību.

5. piezīme. Daži "karstgalvji" dažreiz piedāvā šādu "risinājumu" 3. piemēram:

Tas, protams, nav taisnība: redziet - rezultāts nav tāds pats kā mūsu 3. piemērā. Fakts ir tāds, ka nav īpašuma kā nē un īpašības Ir tikai īpašības, kas attiecas uz kvadrātsakņu reizināšanu un dalīšanu. Esiet piesardzīgs un uzmanīgs, nedomājiet par vēlmēm.

4. piemērs. Aprēķināt: a)
Risinājums. Jebkura formula algebrā tiek izmantota ne tikai "no labās uz kreiso", bet arī "no kreisās uz labo". Tātad kvadrātsakņu pirmā īpašība nozīmē, ka vajadzības gadījumā to var attēlot kā , un otrādi, ko var aizstāt ar izteiksmi Tas pats attiecas uz kvadrātsakņu otro īpašību. Paturot to prātā, atrisināsim piedāvāto piemēru.

Noslēdzot rindkopu, mēs atzīmējam vēl vienu diezgan vienkāršu un tajā pašā laikā svarīgu īpašību:
ja a > 0 un n - dabiskais skaitlis , Tas

5. piemērs Aprēķināt , neizmantojot skaitļu kvadrātu tabulu un kalkulatoru.

Risinājums. Sadalīsim saknes skaitli galvenajos faktoros:

6. piezīme. Šo piemēru var atrisināt tāpat kā līdzīgu piemēru § 15. Ir viegli uzminēt, ka atbilde būs “80 ar asti”, jo 80 2 2 . Atradīsim "asti", t.i., vēlamā skaitļa pēdējo ciparu. Pagaidām zinām, ka, ja sakne ir izvilkta, tad atbilde var būt 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 vai 89. Jāpārbauda tikai divi skaitļi: 84 un 86, jo tikai tie, kad kvadrātā, dos kā rezultātā četrciparu skaitlis, kas beidzas ar 6, t.i. tas pats cipars, kas beidzas ar numuru 7056. Mums ir 84 2 \u003d 7056 - tas ir tas, kas mums vajadzīgs. nozīmē,

Mordkovičs A. G., Algebra. 8. klase: Proc. vispārējai izglītībai iestādes - 3. izdevums, pabeigts. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 lpp.: ill.

Grāmatas, matemātikas mācību grāmatu lejupielāde, kopsavilkums, lai palīdzētu skolotājam un skolēniem, mācīties tiešsaistē

Ja jums ir labojumi vai ieteikumi šai nodarbībai, rakstiet mums.

Ja vēlaties redzēt citus labojumus un ieteikumus nodarbībām, skatiet šeit - Izglītības forums.

Kā pievienot kvadrātsaknes

Skaitļa kvadrātsakne X sauca numuru A, kas vairojoties pati ar sevi ( A*A) var dot skaitli X.
Tie. A * A = A 2 = X, Un √X = A.

virs kvadrātsaknēm ( √x), tāpat kā ar citiem skaitļiem, varat veikt aritmētiskas darbības, piemēram, atņemšanu un saskaitīšanu. Lai atņemtu un pievienotu saknes, tās jāsavieno, izmantojot zīmes, kas atbilst šīm darbībām (piemēram, √x - √y ).
Un pēc tam nogādājiet saknes to vienkāršākajā formā - ja starp tām ir līdzīgas, jums ir jāmet. Tas sastāv no tā, ka līdzīgu terminu koeficienti tiek ņemti ar atbilstošo terminu zīmēm, pēc tam tie tiek ievietoti iekavās un kopsakne tiek parādīta ārpus reizinātāja iekavām. Iegūtais koeficients ir vienkāršots saskaņā ar parastajiem noteikumiem.

1. solis. Kvadrātsakņu iegūšana

Pirmkārt, lai pievienotu kvadrātsaknes, vispirms ir jāizņem šīs saknes. To var izdarīt, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, ņemiet doto izteiksmi √4 + √9 . Pirmais numurs 4 ir skaitļa kvadrāts 2 . Otrais numurs 9 ir skaitļa kvadrāts 3 . Tādējādi var iegūt šādu vienādību: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Viss, piemērs ir atrisināts. Bet tas ne vienmēr notiek tā.

2. solis. Skaitļa reizinātāja izņemšana no saknes

Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, varat mēģināt izņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, ņemiet izteiksmi √24 + √54 .

Faktorizēsim skaitļus:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Starp 24 mums ir reizinātājs 4 , to var izņemt zem kvadrātsaknes zīmes. Starp 54 mums ir reizinātājs 9 .

Mēs iegūstam vienlīdzību:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ņemot vērā šo piemēru, mēs iegūstam faktora noņemšanu no saknes zīmes, tādējādi vienkāršojot doto izteiksmi.

3. solis. saucēja samazināšana

Apsveriet šādu situāciju: divu kvadrātsakņu summa ir daļdaļas saucējs, piemēram, A/(√a + √b).
Tagad mēs saskaramies ar uzdevumu "atbrīvoties no iracionalitātes saucējā".
Izmantosim šādu metodi: reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar izteiksmi √a - √b.

Tagad saucējā mēs iegūstam saīsinātu reizināšanas formulu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Līdzīgi, ja saucējs satur sakņu atšķirību: √a - √b, daļskaitļa skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar izteiksmi √a + √b.

Kā piemēru ņemsim daļu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Kompleksa saucēja samazināšanas piemērs

Tagad mēs apsvērsim diezgan sarežģītu piemēru, kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā.

Kā piemēru ņemsim daļu: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Jums jāņem tā skaitītājs un saucējs un jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

4. solis. Aprēķiniet aptuveno vērtību kalkulatorā

Ja nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, to var izdarīt, izmantojot kalkulatoru, aprēķinot kvadrātsakņu vērtību. Atsevišķi katram skaitlim tiek aprēķināta un reģistrēta vērtība ar nepieciešamo precizitāti, ko nosaka pēc decimālzīmju skaita. Tālāk tiek veiktas visas nepieciešamās darbības, tāpat kā ar parastajiem cipariem.

Paredzamā aprēķina piemērs

Ir nepieciešams aprēķināt šīs izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 .

Rezultātā mēs iegūstam:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lūdzu, ņemiet vērā: kvadrātsaknes nekādā gadījumā nedrīkst pievienot kā pirmskaitļus, tas ir pilnīgi nepieņemami. Tas ir, ja jūs pievienojat kvadrātsakni no pieci un trīs, mēs nevaram iegūt kvadrātsakni no astoņiem.

Noderīgs padoms: ja nolemjat faktorizēt skaitli, lai no saknes zīmes iegūtu kvadrātu, jums ir jāveic apgrieztā pārbaude, tas ir, jāreizina visi aprēķinu rezultātā iegūtie faktori un tā gala rezultāts. matemātiskajam aprēķinam jābūt skaitlim, kas mums sākotnēji tika dots.

Darbība ar saknēm: saskaitīšana un atņemšana

Skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko parādību. Tāpat kā parastos skaitļus, kvadrātsaknes var pievienot un atņemt.

Kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumi

Tādas darbības kā kvadrātsaknes pievienošana un atņemšana ir iespējamas tikai tad, ja saknes izteiksme ir vienāda.

Varat pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3, bet ne 56 Un 9 4 . Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un tuvināt to saknēm ar tādu pašu saknes numuru, tad vienkāršojiet un pēc tam pievienojiet vai atņemiet.

Galvenās darbības: pamati

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Vienkāršojiet saknes izteiksmi. Lai to izdarītu, saknes izteiksme ir jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrātskaitlis (skaitlis, no kura tiek iegūta visa kvadrātsakne, piemēram, 25 vai 9).
2. Tad jums ir jāņem kvadrāta skaitļa sakne un ierakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
3. Pēc vienkāršošanas procesa ir nepieciešams pasvītrot saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var pievienot un atņemt.
4. Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir nepieciešams pievienot vai atņemt faktorus, kas ir pirms saknes zīmes. Saknes izteiksme paliek nemainīga. Nepievienojiet un neatņemiet saknes skaitļus!

Ja jums ir piemērs ar daudzām identiskām radikālām izteiksmēm, tad pasvītrojiet šādas izteiksmes ar vienu, dubultu un trīskāršu līniju, lai atvieglotu aprēķina procesu.

Izmēģināsim šo piemēru:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vispirms jums ir jāsadala 50 2 faktoros 25 un 2, pēc tam ņem 25 sakni, kas ir 5, un 5 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (reizinātājs saknē) un jāsaņem 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 8 2 faktoros: 4 un 2. Pēc tam no 4 izvelciet sakni, kas ir vienāda ar 2, un izņemiet 2 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāsaņem 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Pirmkārt, jums ir jāsadala 12 2 faktoros: 4 un 3. Pēc tam izņemiet sakni no 4, kas ir 2, un izņemiet to no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāsaņem 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteiksmju ir ietverts šajā piemērā. Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

• Vienkāršot (45) . Mēs koeficientu 45: (45) = (9 × 5) ;
• Mēs izņemam 3 no zem saknes (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Mēs saskaitām faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Vienkāršošana 6 40 . Mēs koeficientu 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Mēs izņemam 2 no saknes apakšas (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Mēs reizinām faktorus, kas atrodas saknes priekšā: 12 10;
• Izteicienu rakstām vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5;
• Tā kā pirmajiem diviem terminiem ir vienādi saknes skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam dalībniekus ar vienādiem radikālajiem skaitļiem, veicam matemātiskas darbības (saskaitām, atņemam utt.) un ierakstām rezultātu:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Padoms:

• Pirms pievienošanas vai atņemšanas ir obligāti jāvienkāršo (ja iespējams) radikālās izteiksmes.
• Sakņu pievienošana un atņemšana ar dažādām sakņu izteiksmēm ir stingri aizliegta.
• Nepievienojiet un neatņemiet veselu skaitli vai kvadrātsakni: 3 + (2 x) 1/2 .
• Veicot darbības ar daļskaitļiem, jāatrod skaitlis, kas dalās ar katru saucēju, pēc tam jāsavieno daļskaitļi līdz kopsaucējam, tad jāpievieno skaitītāji un saucēji jāatstāj nemainīgi.

Aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības. Aritmētiskās kvadrātsaknes jauda

Aritmētisko kvadrātsakņu konvertēšana. Aritmētisko kvadrātsakņu pārvēršana

Lai iegūtu polinoma kvadrātsakne, ir nepieciešams aprēķināt polinomu un iegūt sakni no iegūtā skaitļa.

Uzmanību! Nav iespējams iegūt sakni no katra termina (samazināta un atņemta) atsevišķi.

Shchob uzvarēt polinoma kvadrātsakne, prasība ir aprēķināt bagātināto terminu un no atņemtā skaitļa ņemt sakni.

Respekt! Nav iespējams iegūt sakni no ādas piedevas (izmainīta un redzama) OKremo.

Lai iegūtu produkta kvadrātsakni (koeficients), varat aprēķināt katra faktora kvadrātsakni (dalītāju un dalītāju) un iegūt iegūtās vērtības pēc reizinājuma (daļņa).

Lai uzvarētu dobutkas kvadrātsakni (daļas), jūs varat aprēķināt ādas reizinātāja kvadrātsakni (dalīts un dilnik) un noņemt vērtību, ņemot papildu (bieži).

Lai ņemtu kvadrātsakni no daļskaitļa, jums atsevišķi jāizņem skaitītāja un saucēja kvadrātsakne un iegūtās vērtības jāatstāj kā daļskaitlis vai jāaprēķina kā koeficients (ja iespējams, pēc nosacījuma).

Lai uzvarētu daļskaitļa kvadrātsakni, jāņem kvadrātsakne no skaitļu grāmatas un okremo reklāmkaroga un jāatņem daļskaitļa vērtība ar daļskaitli vai jāskaita kā daļa (kā tas prātam iespējams).

Koeficientu var izņemt no zem saknes zīmes un faktoru var ievadīt zem saknes zīmes. Kad faktors tiek izņemts, no tā tiek iegūta sakne, un, ievadot to, tā tiek pacelta līdz atbilstošajai jaudai.

3. saknes zīmi var reizināt un saknes zīmi var reizināt. Ar reizinātāja vainu saknes ir savītas, un ar ievadu saknes tiek uzceltas pie augstākām kājām.

Piemēri. Pieteikties

Lai pārvērstu kvadrātsakņu summu (starpību), saknes izteiksmes jāsaved līdz vienai pakāpes bāzei, ja iespējams, izvelciet no grādiem saknes un ierakstiet tās pirms sakņu zīmēm, bet atlikušās kvadrātsaknes ar var pievienot tās pašas saknes izteiksmes, kurām koeficientus saskaita pirms zīmes saknes un pievieno to pašu kvadrātsakni.

Lai pārtaisītu kvadrātsakņu summu (izmaksu), ir nepieciešams novest saknes saknes uz kādu no pakāpiena pamatiem, ja iespējams, paņemt soļu sakni un pierakstīt tās pirms zīmēm. saknes, un kvadrātsakņu atrisinājums ar tiem pašiem saknes vārdiem, ko es varu saskaitīt un pievienot to pašu kvadrātsakni.

Mēs visas radikālas izteiksmes pārnesam uz 2. bāzi.

No vienmērīgs grāds sakne tiek izvilkta pilnībā, no nepāra pakāpes, pamatnes sakne 1. pakāpē tiek atstāta zem saknes zīmes.

Mēs dodam līdzīgus veselus skaitļus un pievienojam koeficientus ar vienādām saknēm. Mēs rakstām binomālu kā skaitļa un summas binomālu reizinājumu.

Novietojiet visas virazi apakšsaknes uz bāzi 2.

No pāru stadijas saknes velk rindā, no nepāra posma 1. posma pamatnes saknes aizpilda zem saknes zīmes.

Ir ierosināts vienādus skaitļus un koeficientus pievienot tām pašām saknēm. Mēs rakstām binomiālu kā sumi binoma skaitļa i papildinājumu.

Radikālās izteiksmes mēs pārnesam uz mazāko bāzi vai pakāpju reizinājumu ar mazākajām bāzēm. Sakni izvelkam no pāra pakāpēm radikāļu izteiksmēm, atlikumus atstājam pakāpes bāzes formā ar rādītāju 1 vai šādu bāzu reizinājumu zem saknes zīmes. Mēs dodam līdzīgus terminus (pievienojam to pašu sakņu koeficientus).

Mēs vedam virazi sakni uz mazāko pamatni vai pakāpienu pievienošanu ar mazākajām bāzēm. No tveicīgajiem pakāpieniem zem viraza saknēm ņem saknes, pārpalikumu pakāpiena pamatnē ar indikatoru 1 vai šādu pamatu pievienošanu aizpilda zem saknes zīmes. Mēs iesakām līdzīgus terminus (mēs saskaitām to pašu sakņu koeficientus).

Aizstāsim daļskaitļu dalījumu ar reizināšanu (ar otrās daļas aizstāšanu ar apgriezto). Reiziniet skaitītājus un saucējus atsevišķi. Zem katras saknes zīmes mēs izceļam grādus. Atcelsim tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā. Mēs iegūstam saknes no pat spējām.

Daļskaitļu dalījumu aizstājam ar reizināšanu (ar citas daļas aizstāšanu ar atdevi). Reiziniet okremo skaitļus un daļskaitļu reklāmkarogus. Zem saknes ādas zīmes ir redzami soļi. Paātrināsim tos pašus reizinātājus ciparu grāmatā un reklāmkarogā. Vaino dvīņu soļu sakni.

Lai salīdzinātu divas kvadrātsaknes, to radikālās izteiksmes jāsamazina līdz pakāpei ar vienu un to pašu bāzi, tad, jo vairāk tiek parādītas radikālas izteiksmes pakāpes, jo lielāka ir kvadrātsaknes vērtība.

Šajā piemērā radikālas izteiksmes nevar reducēt līdz vienai bāzei, jo bāze pirmajā ir 3, bet otrajā - 3 un 7.

Otrs salīdzināšanas veids ir radikāļu izteiksmē ievadīt saknes koeficientu un salīdzināt radikāļu izteiksmes skaitliskās vērtības. Kvadrātsaknei, jo lielāka ir saknes izteiksme, jo lielāka ir saknes vērtība.

Lai saskaņotu divas kvadrātsaknes, to apakšsaknes ir jānoved līdz līmenim ar tādu pašu pamatu, savukārt, jo lielāks ir vīrusa apakšsaknes pakāpes rādītājs, jo lielāka ir kvadrātsaknes vērtība.

Šajā gadījumā nav iespējams vienā bāzē ievietot virazi saknes, jo pirmajā pamats ir 3, bet otrā - 3 un 7.

Vēl viens izlīdzināšanas veids ir saknes virāzes pievienošana saknes koeficientam un sakņu virāzes skaitliskās vērtības izlīdzināšana. Kvadrātsaknei ir vairāk apakšsaknes viraz, jo lielāka ir saknes vērtība.

Izmantojot reizināšanas sadales likumu un likumu sakņu reizināšanai ar vienādiem eksponentiem (mūsu gadījumā kvadrātsaknēm), mēs ieguvām divu kvadrātsakņu summu ar reizinājumu zem saknes zīmes. Mēs sadalām 91 primārajos faktoros un izņemam sakni no iekavām ar kopīgiem radikālajiem faktoriem (13 * 5).

Esam ieguvuši saknes un binoma reizinājumu, kurā viens no monomiem ir vesels skaitlis (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny reizināšanas likums un sakņu reizināšanas noteikums ar tādiem pašiem rādītājiem (mūsu gadījumā - kvadrātsaknes), ņēma divu kvadrātsakņu summu ar papildu saknes zīmi. Mēs varam vienkāršā izteiksmē izkārtot 91 reizinātāju un ņemt sakni arkām no sakņu reizinātājiem (13 * 5).

Mēs pievienojām sakni un bināro vērtību, kurai ir viens no mononomiem veselajā skaitlī (1).

9. piemērs:

Radikālajās izteiksmēs mēs pēc faktoriem izvēlamies skaitļus, no kuriem varam iegūt visu kvadrātsakni. Mēs izņemam kvadrātsaknes no pakāpēm un saliekam skaitļus pēc kvadrātsakņu koeficientiem.

Šī polinoma vārdiem ir kopīgs koeficients √3, ko var izņemt no iekavām. Piedāvāsim līdzīgus terminus.

Apakšsakņu virāzēs tas tiek uzskatīts par skaitļa reizinātāju, no kura var ņemt kvadrātsakni. Mēs vainojam soļu kvadrātsaknes un saliekam skaitļus pēc kvadrātsakņu koeficientiem.

Šī polinoma vārdiem ir kopīgs reizinātājs √3, ko var vainot rokās. Mēs iesakām līdzīgus papildinājumus.

Divu summas un starpības reizinājums tās pašas bāzes(3 un √5), izmantojot saīsināto reizināšanas formulu, var uzrakstīt kā bāzu kvadrātu starpību.

Kvadrātsakne kvadrātā vienmēr ir vienāda ar radikāļu izteiksmi, tāpēc izteiksmē atbrīvosimies no radikālas (saknes zīmes).

Divu vienādu bāzu (3 і √5) Dobutok summu un starpību no ātrās reizināšanas formulas var uzrakstīt kā kvadrātbāzu starpību.

Kvadrātsakne zavzhd ir vienāda ar apakšsaknes virāzi, tāpēc mēs sauksim virāzes radikāli (saknes zīmi).

Atpakaļ uz skolu. Sakņu pievienošana

Mūsu laikā mūsdienu elektroniskajos datoros skaitļa saknes aprēķins nav attēlots izaicinošs uzdevums. Piemēram, √2704=52, jebkurš kalkulators to aprēķinās jūsu vietā. Par laimi, kalkulators ir ne tikai Windows, bet arī parastā, pat visvienkāršākajā tālrunī. Tiesa, ja pēkšņi (ar nelielu varbūtības pakāpi, kuras aprēķinos, starp citu, ir iekļautas arī sakņu pievienošana) jūs nonāksit bez pieejamiem līdzekļiem, tad, diemžēl, jums būs jāpaļaujas tikai uz savām smadzenēm.

Prāta apmācība nekad neizdodas. Īpaši tiem, kas tik bieži nestrādā ar cipariem un vēl jo vairāk ar saknēm. Sakņu pievienošana un atņemšana ir labs treniņš garlaikotam prātam. Un es jums parādīšu sakņu pievienošanu soli pa solim. Izteicienu piemēri var būt šādi.

Vienkāršojamais vienādojums ir:

Tas ir neracionāls izteiciens. Lai to vienkāršotu, visas radikālas izteiksmes jāsamazina uz vispārējs skats. Mēs to darām pa posmiem:

Pirmo numuru vairs nevar vienkāršot. Pārejam pie otrā termiņa.

3√48 mēs faktorizējam 48: 48=2×24 vai 48=3×16. Kvadrātsakne no 24 nav vesels skaitlis, t.i. ir daļēja atlikums. Tā kā mums ir vajadzīga precīza vērtība, aptuvenās saknes mums nav piemērotas. Kvadrātsakne no 16 ir 4, izņemiet to zem saknes zīmes. Iegūstam: 3×4×√3=12×√3

Mūsu nākamā izteiksme ir negatīva, t.i. rakstīts ar mīnusa zīmi -4×√(27.) Faktorings 27. Mēs iegūstam 27 = 3 × 9. Mēs neizmantojam daļskaitļus, jo kvadrātsakni ir grūtāk aprēķināt no daļām. No zem zīmes izņemam 9, t.i. aprēķināt kvadrātsakni. Iegūstam šādu izteiksmi: -4×3×√3 = -12×√3

Nākamais termins √128 aprēķina daļu, kuru var izņemt no saknes. 128=64×2, kur √64=8. Ja tas jums atvieglo, varat attēlot šo izteiksmi šādi: √128=√(8^2×2)

Mēs pārrakstām izteiksmi ar vienkāršotiem terminiem:

Tagad mēs pievienojam skaitļus ar tādu pašu radikālo izteiksmi. Jūs nevarat pievienot vai atņemt izteiksmes ar dažādām radikālām izteiksmēm. Sakņu pievienošanai ir jāievēro šis noteikums.

Mēs saņemam šādu atbildi:

√2=1×√2 - Ceru, ka algebrā pieņemts šādus elementus izlaist, tev nebūs jaunums.

Izteiksmes var attēlot ne tikai ar kvadrātsaknēm, bet arī ar kubu vai n-to sakni.

Sakņu saskaitīšana un atņemšana ar dažādi rādītāji pakāpe, bet ar līdzvērtīgu radikālu izteiksmi, notiek šādi:

Ja mums ir tāda izteiksme kā √a+∛b+∜b, tad mēs varam vienkāršot šo izteiksmi šādi:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Mēs esam samazinājuši divus līdzīgus vārdus līdz saknes kopējam eksponentam. Šeit tika izmantota sakņu īpašība, kas saka: ja radikālas izteiksmes pakāpes skaitli un saknes eksponenta skaitli reizina ar vienu un to pašu skaitli, tad tā aprēķins paliks nemainīgs.

Piezīme: eksponenti tiek pievienoti tikai tad, ja tie tiek reizināti.

Apsveriet piemēru, kur izteiksmē ir daļskaitļi.

Atrisināsim soli pa solim:

5√8=5*2√2 - izņemam no saknes apakšas izvilkto daļu.

Ja saknes ķermeni attēlo daļskaitlis, tad bieži vien šī daļa nemainīsies, ja tiek ņemta dividendes un dalītāja kvadrātsakne. Rezultātā mēs esam ieguvuši iepriekš aprakstīto vienlīdzību.

Lūk, atbilde.

Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka sakne ar pāra eksponentu netiek iegūta no negatīviem skaitļiem. Ja pāra pakāpes radikālas izteiksme ir negatīva, tad izteiksme nav atrisināma.

Sakņu pievienošana ir iespējama tikai tad, ja radikālās izteiksmes sakrīt, jo tie ir līdzīgi termini. Tas pats attiecas uz atšķirību.

Sakņu pievienošana ar dažādiem skaitliskiem eksponentiem tiek veikta, samazinot abus terminus līdz kopējai saknes pakāpei. Šis likums darbojas tāpat kā samazināšana līdz kopsaucējam, saskaitot vai atņemot daļskaitļus.

Ja radikālā izteiksme satur skaitli, kas palielināts līdz pakāpei, tad šo izteiksmi var vienkāršot ar nosacījumu, ka starp sakni un eksponentu ir kopsaucējs.

Produkta un daļskaitļa kvadrātsakne

A kvadrātsakne ir skaitlis, kura kvadrāts ir a. Piemēram, skaitļi -5 un 5 ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tas ir, vienādojuma x^2=25 saknes ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tagad jums jāiemācās strādāt ar kvadrātsaknes darbība: izpētiet tās pamatīpašības.

Produkta kvadrātsakne

√(a*b)=√a*√b

Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar šo skaitļu kvadrātsakņu reizinājumu. Piemēram, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Ir svarīgi saprast, ka šī īpašība attiecas arī uz gadījumu, kad radikālā izteiksme ir trīs, četru utt. nenegatīvie reizinātāji.

Dažreiz ir cits šī īpašuma formulējums. Ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad spēkā ir šāda vienādība: √(a*b) =√a*√b. Starp tiem nav absolūti nekādas atšķirības, varat izmantot vai nu vienu, vai otru formulējumu (kuru ērtāk atcerēties).

Daļas kvadrātsakne

Ja a>=0 un b>0, tad ir patiesa šāda vienādība:

√(a/b)=√a/√b.

Piemēram, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Šim īpašumam ir arī cits formulējums, manuprāt, ērtāk atcerēties.
Koeficienta kvadrātsakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Ir vērts atzīmēt, ka šīs formulas darbojas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso. Tas ir, ja nepieciešams, mēs varam pārstāvēt sakņu produktu kā produkta sakni. Tas pats attiecas uz otro īpašumu.

Kā redzat, šie rekvizīti ir ļoti ērti, un es vēlētos, lai saskaitīšanai un atņemšanai būtu tādas pašas īpašības:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Bet diemžēl šādi īpašumi ir kvadrātveida nav sakņu, līdz ar to to nevar izdarīt aprēķinos..

• 13. Braukšana pa satiksmes krustojumiem 2018 ar komentāriem tiešsaistē 13.1. Nogriežoties pa labi vai pa kreisi, vadītājam jādod ceļš gājējiem un velosipēdistiem, kas šķērso brauktuvi, uz kuras viņš nogriežas. Šī instrukcija attiecas uz visiem […]
• Vecāku sapulce"Vecāku tiesības, pienākumi un atbildība" Prezentācija nodarbībai Lejupielādēt prezentāciju (536,6 kB) Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu […]
• Reģionālais mātes kapitāls Orelas reģionā Reģionālā maternitātes galvaspilsēta (MK) Orelā un Orilas reģionā tika izveidota 2011. gadā. Tagad tas ir papildu sociālā atbalsta pasākums daudzbērnu ģimenēm vienreizēja […]
• Vienreizēja pabalsta apmērs priekšlaicīgai reģistrācijai 2018. gadā Jūsu pieprasītā lapa netika atrasta. Iespējams, esat ievadījis nepareizu adresi vai lapa ir dzēsta. Izmantojiet […]
• Jurists saimnieciskajās lietās ekonomikas sfērā ir diezgan plašs jēdziens. Šādas darbības ietver krāpšanu, nelegālu uzņēmējdarbību, naudas atmazgāšanu, nelikumīgu banku darbību […]
• Centrālās bankas preses dienests Krievijas Federācija(Krievijas Banka) Preses dienests 107016, Maskava, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Par pagaidu administrācijas iecelšanu Krievijas Bankas Ārējo un sabiedrisko attiecību departaments informē, ka saskaņā ar 2. punktu […]
• vispārīgās īpašības un īss ūdensceļu pārskats Ūdens baseinu klasifikācija Ūdens baseinu klasifikācija izpriecu (mazo) laivu navigācijai, ko uzrauga Krievijas GIMS, tiek veikta atkarībā no […]
• Kučerena = Viktora Coja advokāts Un tas ir izņēmums: Anatolija Kučerenas šodienas vēstule. Tēmas turpinājumā. Šo vēstuli vēl neviens nav publicējis. Un tā vajadzētu, manuprāt. Pagaidām 1.daļa. Drīzumā publicēšu otro daļu, ko parakstījis slavenais jurists. Kāpēc tas ir svarīgi? […]

Sakņu saskaitīšana un atņemšana- viens no izplatītākajiem "klupšanas akmeņiem" tiem, kuri vidusskolā apgūst matemātikas (algebras) kursu. Tomēr ir ļoti svarīgi iemācīties tos pareizi pievienot un atņemt, jo piemēri sakņu summai vai starpībai ir iekļauti pamata Unified programmā. Valsts eksāmens disciplīnā "matemātika".

Lai apgūtu šādu piemēru risinājumu, ir nepieciešamas divas lietas - jāsaprot noteikumi, kā arī jāiegūst prakse. Atrisinot vienu vai divus desmitus tipisku piemēru, students šo prasmi ieviesīs automātismā, un tad eksāmenā viņam nebūs no kā baidīties. Aritmētiskās darbības ieteicams sākt apgūt ar saskaitīšanu, jo to saskaitīšana ir nedaudz vienkāršāka nekā atņemšana.

Vienkāršākais veids, kā to izskaidrot, ir kvadrātsaknes piemērs. Matemātikā ir vispāratzīts termins "kvadrāts". "Kvadrāts" nozīmē vienu reizi reizināt konkrētu skaitli ar sevi.. Piemēram, ja jūs kvadrātā 2, jūs saņemsiet 4. Ja jūs kvadrātā 7, jūs saņemsiet 49. Kvadrāts no 9 ir 81. Tātad kvadrātsakne no 4 ir 2, no 49 ir ​​7 un no 81 ir 9.

Parasti šīs tēmas mācīšana matemātikā sākas ar kvadrātsaknēm. Lai to nekavējoties noteiktu, students vidusskola reizināšanas tabula jāzina no galvas. Tiem, kas labi nezina šo tabulu, jums ir jāizmanto padomi. Parasti saknes kvadrāta iegūšanas process no skaitļa ir norādīts tabulas veidā uz daudzu vākiem skolas burtnīcas matemātika.

Saknes ir šāda veida:

• kvadrāts;
• kubiskais (vai tā sauktā trešā pakāpe);
• ceturtā pakāpe;
• piektā pakāpe.

Papildināšanas noteikumi

Lai veiksmīgi atrisinātu tipisku piemēru, jāpatur prātā, ka ne visi saknes skaitļi var sakraut vienu ar otru. Lai tos varētu salikt kopā, tie jāsavieno vienā paraugā. Ja tas nav iespējams, problēmai nav risinājuma. Šādas problēmas bieži sastopamas arī matemātikas mācību grāmatās kā sava veida lamatas skolēniem.

Papildinājums nav atļauts uzdevumos, ja radikālās izteiksmes atšķiras viena no otras. To var ilustrēt labs piemērs:

• skolēns saskaras ar uzdevumu: saskaitīt kvadrātsakni no 4 un no 9;
• nepieredzējis students, zinot noteikumus, parasti raksta: "kvadrātsakne no 4 + sakne no 9 \u003d sakne no 13."
• ir ļoti viegli pierādīt, ka šāds risināšanas veids ir nepareizs. Lai to izdarītu, jums jāatrod kvadrātsakne no 13 un jāpārbauda, ​​vai piemērs ir pareizi atrisināts;
• izmantojot mikrokalkulatoru, var noteikt, ka tas ir aptuveni 3,6. Tagad atliek pārbaudīt risinājumu;
• sakne no 4=2 un no 9=3;
• Divu un trīs summa ir pieci. Tādējādi šo risinājuma algoritmu var uzskatīt par nepareizu.

Ja saknēm ir vienāda pakāpe, bet atšķirīgas skaitliskās izteiksmes, tas tiek izņemts no iekavām un divu radikālu izteiksmju summa. Tādējādi tas jau ir iegūts no šīs summas.

Papildināšanas algoritms

Lai pareizi atrisinātu visvienkāršāko problēmu, ir nepieciešams:

1. Nosakiet, kam tieši nepieciešams papildinājums.
2. Uzziniet, vai ir iespējams pievienot vērtības viena otrai, vadoties pēc matemātikā esošajiem noteikumiem.
3. Ja tos nevar pievienot, tie ir jāpārveido tā, lai tos varētu pievienot.
4. Pēc visu nepieciešamo pārveidojumu veikšanas ir jāveic saskaitīšana un gatavā atbilde jāpieraksta. Papildināšanu var veikt garīgi vai ar kalkulatoru atkarībā no piemēra sarežģītības.

Kādas ir līdzīgas saknes

Lai pareizi atrisinātu papildinājuma piemēru, vispirms ir jādomā, kā to var vienkāršot. Lai to izdarītu, jums ir jābūt pamatzināšanām par to, kas ir līdzība.

Spēja identificēt līdzīgus palīdz ātri atrisināt viena veida pievienošanas piemērus, apvienojot tos vienkāršotā formā. Lai vienkāršotu tipisku pievienošanas piemēru, jums ir nepieciešams:

1. Atrodiet līdzīgus un sadaliet tos vienai grupai (vai vairākām grupām).
2. Pārrakstiet esošo piemēru tā, lai saknes, kurām ir viens un tas pats rādītājs, skaidri sekotu viena otrai (to sauc par "grupēšanu").
3. Tālāk vēlreiz jāraksta izteiksme, šoreiz tā, lai līdzīgi (kuriem ir vienāds rādītājs un vienāda saknes figūra) sekotu viens otram.

Pēc tam vienkāršotu piemēru parasti ir viegli atrisināt.

Lai pareizi atrisinātu jebkuru pievienošanas piemēru, jums ir skaidri jāsaprot pievienošanas pamatnoteikumi, kā arī jāzina, kas ir sakne un kā tas notiek.

Dažkārt šādi uzdevumi no pirmā acu uzmetiena šķiet ļoti sarežģīti, taču parasti tie ir viegli atrisināmi, sagrupējot līdzīgus. Vissvarīgākais ir prakse, un tad skolēns sāks "klikšķināt uz uzdevumiem kā uz riekstiem". Sakņu pievienošana ir viena no svarīgākajām matemātikas nozarēm, tāpēc skolotājiem vajadzētu atvēlēt pietiekami daudz laika tās apguvei.

Video

Šis video palīdzēs jums saprast vienādojumus ar kvadrātsaknēm.

Skaitļa sakni visvieglāk atņemt, izmantojot kalkulatoru. Bet, ja jums nav kalkulatora, jums jāzina kvadrātsaknes aprēķināšanas algoritms. Fakts ir tāds, ka skaitlis kvadrātā atrodas zem saknes. Piemēram, 4 kvadrātā ir 16. Tas ir, kvadrātsakne no 16 būs vienāda ar četriem. Arī 5 kvadrātā ir 25. Tāpēc 25 sakne būs 5. Un tā tālāk.

Ja skaitlis ir mazs, tad to var viegli atņemt mutiski, piemēram, 25 sakne būs 5, bet sakne no 144-12. Var rēķināt arī uz kalkulatora, tur ir speciāla saknes ikona, jāiebrauc cipars un jānoklikšķina uz ikonas.

Kvadrātsaknes tabula palīdzēs arī:

Ir arī citi veidi, kas ir sarežģītāki, bet ļoti efektīvi:

Jebkura skaitļa sakni var atņemt, izmantojot kalkulatoru, jo īpaši tāpēc, ka mūsdienās tie ir katrā tālrunī.

Varat mēģināt aptuveni izdomāt, kā var izrādīties dotais skaitlis, reizinot vienu skaitli ar sevi.



Aprēķināt skaitļa kvadrātsakni nav grūti, it īpaši, ja ir īpaša tabula. No algebras stundām labi pazīstama tabula. Šādu darbību sauc par skaitļa a kvadrātsaknes ņemšanu, citiem vārdiem sakot, par vienādojuma atrisināšanu. Gandrīz visiem viedtālruņu kalkulatoriem ir kvadrātsaknes funkcija.



Zināma skaitļa kvadrātsaknes iegūšanas rezultāts būs cits skaitlis, kas, paaugstinot līdz otrajai pakāpei (kvadrāts), iegūs to pašu skaitli, ko mēs zinām. Apsveriet vienu no apmetņu aprakstiem, kas šķiet īss un saprotams:







Šeit ir video par šo tēmu:

Ir vairāki veidi, kā aprēķināt skaitļa kvadrātsakni.

Populārākais veids ir izmantot īpašu sakņu tabulu (skatīt zemāk).

Arī katrā kalkulatorā ir funkcija, ar kuru jūs varat atrast sakni.

Vai arī izmantojot īpašu formulu.



Ir vairāki veidi, kā iegūt skaitļa kvadrātsakni. Viens no tiem ir ātrākais, izmantojot kalkulatoru.

Bet, ja nav kalkulatora, tad to var izdarīt manuāli.

Rezultāts būs precīzs.

Princips ir gandrīz tāds pats kā dalīšanas ar kolonnu:



















Mēģināsim bez kalkulatora atrast skaitļa kvadrātsaknes vērtību, piemēram, 190969.







Tādējādi viss ir ārkārtīgi vienkārši. Aprēķinos galvenais ir ievērot noteiktu vienkārši noteikumi un domā loģiski.

Šim nolūkam jums ir nepieciešama kvadrātu tabula



Piemēram, sakne no 100 = 10, no 20 = 400 no 43 = 1849

Tagad gandrīz visi kalkulatori, tostarp viedtālruņos, var aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. BET, ja jums nav kalkulatora, varat atrast skaitļa sakni vairākos vienkāršos veidos:

Galvenā faktorizācija



Saknes skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no saknes numura jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Skaitļa koeficienti, kurus reizinot, iegūst sākotnējo skaitli. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātveida skaitļi. Vispirms mēģiniet faktorizēt saknes skaitli kvadrātveida faktoros.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (manuāli). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātveida koeficientos. 400 ir 100 reizinātājs, kas ir kvadrātveida skaitlis, kas dalās ar 25. Dalot 400 ar 25, iegūstat 16, kas arī ir kvadrāta skaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.

Pierakstiet to šādi: 400 = (25 x 16).



Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, (a x b) = a x b. Izmantojot šo noteikumu, ņemiet kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.

Mūsu piemērā ņem kvadrātsakni no 25 un 16.



Ja radikālais skaitlis nesadalās divos kvadrātveida reizinātājs(kas notiek lielāko daļu laika), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi kā veselu skaitli. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot saknes skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un jūs pieņemsit parastā faktora sakni.

Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var ieskaitīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:



Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātsakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (abās skaitļu līnijas pusēs) saknes skaitlim. Jūs saņemsiet saknes vērtību kā decimāldaļdaļa, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Saknes skaitlis ir 3. Tuvākie kvadrāta skaitļi tam būs skaitļi 1 (1 = 1) un 4 (4 = 2). Tādējādi 3 vērtība ir no 1 līdz 2. Tā kā 3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aprēķins ir: 3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ja veicat aprēķinus, izmantojot kalkulatoru, jūs saņemsiet 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.

Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet 35. Saknes skaitlis ir 35. Tuvākie kvadrātskaitļi tam ir 25 (25 = 5) un 36 (36 = 6). Tādējādi vērtība 35 ir no 5 līdz 6. Tā kā vērtība 35 ir daudz tuvāka 6 nekā 5 (jo 35 ir tikai 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka 35 ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaudot kalkulatorā, tiek iegūts mums atbilde 5,92 - mums bija taisnība.



Vēl viens veids ir faktorizēt saknes skaitli galvenajos faktoros. Skaitļa pirmfaktori, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Uzrakstiet galvenos faktorus pēc kārtas un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Saknes skaitli sadalām galvenajos faktoros: 45 \u003d 9 x 5 un 9 \u003d 3 x 3. Tādējādi 45 \u003d (3 x 3 x 5). No saknes zīmes var izņemt 3: 45 = 35. Tagad mēs varam novērtēt 5.

Apsveriet citu piemēru: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Jums ir trīs reizinātājs 2; paņemiet pāris no tiem un izņemiet tos no saknes zīmes.

2(2 x 11) = 22 x 11. Tagad varat novērtēt 2 un 11 un atrast aptuvenu atbildi.

Noderīgs var būt arī šis mācību video:

Lai no skaitļa iegūtu sakni, izmantojiet kalkulatoru vai, ja tāda nav, iesaku doties uz šo vietni un atrisināt problēmu, izmantojot tiešsaistes kalkulators, kas sniegs pareizo vērtību sekundēs.