Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums ir jāizdomā, kāda veida tā izskatās.

Vispārējā teorija

Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt jebkurš daudzskaldnis var atrasties tā pamatnē - no trīsstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viens otru. Kas neattiecas uz sānu virsmām - tās var ievērojami atšķirties pēc izmēra.

Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Var būt nepieciešams zināt sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.

Dažreiz uzdevumos parādās augstumi. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.

Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.

trīsstūrveida prizma

Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir savādāk. Ja tad pietiek atgādināt, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.

Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.

Lai atrastu pamatnes laukumu vispārējs skats, noder formulas: Gārnis un tas, kurā puse sānu ņemta līdz tai pievilktajā augstumā.

Pirmā formula jāraksta šādi: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Šajā ierakstā ir pusperimetrs (p), tas ir, trīs malu summa, kas dalīta ar divi.

Otrkārt: S = ½ n a * a.

Ja vēlaties uzzināt bāzes platību trīsstūrveida prizma, kas ir pareizi, tad trīsstūris ir vienādmalu. Tam ir sava formula: S = ¼ a 2 * √3.

četrstūra prizma

Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.

Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = av, kur a, b ir taisnstūra malas.

Ja runa ir par četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatlaukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo tas ir viņš, kurš atrodas bāzē. S \u003d a 2.

Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienlīdzība: S \u003d a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Pēc tam, lai aprēķinātu augstumu, jums jāizmanto papildu formula: n a \u003d b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums n ir pretējs šim stūrim.

Ja rombs atrodas prizmas pamatnē, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.

Regulāra piecstūra prizma

Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūras var būt ar dažādu virsotņu skaitu.

Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, tad to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.

Regulāra sešstūra prizma

Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatnes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.

Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.

Uzdevumi

Nr.1. Norādīta regulāra taisne, kuras diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķina prizmas pamatnes laukumu un visas virsmas laukumu.

Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad ir viegli noskaidrot pamatnes laukumu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatlaukuma vērtība un četrkāršots mala. Pēdējo ir viegli atrast pēc taisnstūra formulas: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Konstatēts, ka prizmas kopējais virsmas laukums ir 960 cm2.

Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma - 960 cm 2 .

Nr. 2. Dana Pie pamatnes atrodas trīsstūris ar malu 6 cm. Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.

Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu reiz ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir viena prizmas pamatnes laukums.

Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad sānu virsmas laukums tiek uztīts 180 cm 2 .

Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.

Prizmas tilpums. Problēmu risināšana

Ģeometrija ir visspēcīgākais rīks mūsu garīgo spēju pilnveidošanai un ļauj mums pareizi domāt un spriest.

G. Galileo

Nodarbības mērķis:

• iemācīt risināt uzdevumus prizmu tilpuma aprēķināšanai, vispārināt un sistematizēt studentu rīcībā esošo informāciju par prizmu un tās elementiem, veidot spēju risināt paaugstinātas sarežģītības problēmas;
• attīstīties loģiskā domāšana, prasme strādāt patstāvīgi, savstarpējas kontroles un paškontroles prasmes, prasme runāt un klausīties;
• attīstīt ieradumu pastāvīgi strādāt, kādu noderīgu darbu, izglītot atsaucību, centību, precizitāti.

Nodarbības veids: nodarbība zināšanu, prasmju un iemaņu pielietošanā.

Aprīkojums: kontrolkartes, mediju projektors, prezentācija “Nodarbība. Prizmas tilpums”, datori.

Nodarbību laikā

• Prizmas sānu ribas (2. att.).
• Prizmas sānu virsma (2. attēls, 5. attēls).
• Prizmas augstums (3. attēls, 4. attēls).
• Tiešā prizma (2.,3.,4. att.).
• Slīpa prizma (5. attēls).
• Pareiza prizma (2. att., 3. att.).
• Prizmas diagonālais griezums (2. att.).
• Prizmas diagonāle (2. attēls).
• Perpendikulārs prizmas griezums (pi3, 4. att.).
• Prismas sānu virsmas laukums.
• Kvadrāts pilna virsma prizmas.
• Prizmas tilpums.

1. PĀRBAUDIET MĀJAS DARBU (8 min)

Apmainieties ar piezīmju grāmatiņām, pārbaudiet risinājumu slaidos un atzīmējiet atzīmi (atzīmējiet ar 10, ja uzdevums ir sastādīts)

Uzzīmējiet problēmu un atrisiniet to. Sastādīto uzdevumu skolēns aizstāv pie tāfeles. 6. un 7. attēls.





2. nodaļas 3. §
Uzdevums.2. Regulāras trīsstūra prizmas visu malu garumi ir vienādi. Aprēķināt prizmas tilpumu, ja tās virsmas laukums ir cm 2 (8. att.)



2. nodaļas 3. §
5. uzdevums. Tiešās prizmas ABCA 1B 1C1 bāze ir taisnleņķa trīsstūris ABC (leņķis ABC=90°), AB=4cm. Aprēķināt prizmas tilpumu, ja ierobežotā trijstūra ABC rādiuss ir 2,5 cm un prizmas augstums ir 10 cm. (9. attēls).



2. nodaļas 3. punkts
29. uzdevums. Regulāras četrstūra prizmas pamatnes malas garums ir 3cm. Prizmas diagonāle ar sānu virsmas plakni veido 30° leņķi. Aprēķiniet prizmas tilpumu (10. attēls).



2. Sadarbība skolotāji ar klasi (2-3 min.).

Mērķis: teorētiskās iesildīšanās rezultātu apkopošana (skolēni viens otram atzīmē atzīmes), mācīšanās risināt problēmas par tēmu.

3. FIZISKĀ MINŪTE (3 min)
4. PROBLĒMU RISINĀŠANA (10 min)

Ieslēgts šis posms skolotājs organizē frontālo darbu pie planimetrisko uzdevumu risināšanas metožu atkārtošanas, planimetrijas formulām. Klase ir sadalīta divās grupās, vieni risina uzdevumus, citi strādā pie datora. Tad viņi mainās. Studenti aicināti risināt visus Nr.8 (mutiski), Nr.9 (mutiski). Pēc tam, kad viņi tiek sadalīti grupās un pārkāpj, lai atrisinātu uzdevumus Nr.14, Nr.30, Nr.32.

2.nodaļa, 3.§, 66.-67.lpp

8. uzdevums. Regulāras trīsstūra prizmas visas malas ir vienādas viena ar otru. Atrodiet prizmas tilpumu, ja plaknes, kas iet caur apakšējās pamatnes malu un augšējās pamatnes malas vidu, šķērsgriezuma laukums ir cm (11. att.).



2.nodaļa, 3.§, 66.-67.lpp
9. uzdevums. Taisnas prizmas pamatne ir kvadrāts, un tās sānu malas ir divreiz lielākas par pamatnes malu. Aprēķināt prizmas tilpumu, ja apļa rādiusu ap prizmas griezumu ierobežo plakne, kas iet caur pamatnes malu un pretējās viduspunktu sānu riba, vienāds ar cm (12. att.)



2.nodaļa, 3.§, 66.-67.lpp
14. uzdevums.Taisnas prizmas pamats ir rombs, kura viena no diagonālēm ir vienāda ar tās malu. Aprēķiniet griezuma perimetru ar plakni, kas iet caur apakšējās pamatnes lielo diagonāli, ja prizmas tilpums ir vienāds un visas sānu virsmas ir kvadrātveida (13. att.).



2.nodaļa, 3.§, 66.-67.lpp
30. problēma.ABCA 1 B 1 C 1 ir regulāra trīsstūra prizma, kuras visas malas ir vienādas viena ar otru, punkts ap malas BB 1 vidu. Aprēķināt AOS plaknes prizmas griezumā ierakstītā riņķa rādiusu, ja prizmas tilpums ir vienāds (14. att.).



2.nodaļa, 3.§, 66.-67.lpp
32. problēma.Parastā četrstūra prizmā pamatu laukumu summa ir vienāda ar sānu virsmas laukumu. Aprēķināt prizmas tilpumu, ja apļa diametrs, ko prizmas griezuma tuvumā ierobežo plakne, kas iet caur divām apakšējās pamatnes virsotnēm un pretējo augšējās pamatnes virsotni, ir 6 cm (15. att.).



Risinot uzdevumus, skolēni salīdzina savas atbildes ar skolotāja parādītajām. Šis ir problēmas risinājuma paraugs ar detalizētiem komentāriem ... Individuālais darbs skolotāji ar “spēcīgiem” skolēniem (10 min.).

5. Patstāvīgs darbs skolēni kontroldarbā pie datora

1. Regulāras trīsstūrveida prizmas pamatnes mala ir , un augstums ir 5. Atrodiet prizmas tilpumu.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Izvēlieties pareizo apgalvojumu.

1) Taisnas prizmas, kuras pamatne ir taisnleņķa trīsstūris, tilpums ir vienāds ar pamatlaukuma un augstuma reizinājumu.

2) Regulāras trīsstūrveida prizmas tilpumu aprēķina pēc formulas V \u003d 0,25a 2 h - kur a ir pamatnes mala, h ir prizmas augstums.

3) Taisnas prizmas tilpums ir vienāds ar pusi no pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma.

4) Regulāras četrstūra prizmas tilpumu aprēķina pēc formulas V \u003d a 2 h-kur a ir pamatnes mala, h ir prizmas augstums.

5) Regulāras sešstūra prizmas tilpumu aprēķina pēc formulas V \u003d 1,5a 2 h, kur a ir pamatnes mala, h ir prizmas augstums.

3. Regulāras trīsstūra prizmas pamatnes mala ir vienāda ar. Caur apakšējās pamatnes malu un augšējās pamatnes pretējo augšpusi tiek izvilkta plakne, kas iet 45° leņķī pret pamatni. Atrodiet prizmas tilpumu.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Taisnas prizmas pamats ir rombs, kura mala ir 13, bet viena no diagonālēm ir 24. Atrodiet prizmas tilpumu, ja sānu virsmas diagonāle ir 14.

Fizikā spektra pētīšanai bieži izmanto trīsstūrveida prizmu, kas izgatavota no stikla balta gaisma, jo tas spēj to sadalīt atsevišķos komponentos. Šajā rakstā mēs apsvērsim apjoma formulu

Kas ir trīsstūrveida prizma?

Pirms apjoma formulas norādīšanas apsveriet šī attēla īpašības.

Lai to iegūtu, jums ir jāņem patvaļīgas formas trīsstūris un jāpārvieto tas paralēli sev noteiktā attālumā. Trijstūra virsotnes sākuma un beigu pozīcijās jāsavieno ar taisniem segmentiem. Iegūto trīsdimensiju figūru sauc par trīsstūrveida prizmu. Tam ir piecas puses. Divas no tām sauc par bāzēm: tās ir paralēlas un vienādas viena ar otru. Aplūkojamās prizmas pamati ir trīsstūri. Trīs atlikušās malas ir paralelogrami.

Papildus malām aplūkojamo prizmu raksturo sešas virsotnes (trīs katrai pamatnei) un deviņas malas (6 malas atrodas pamatu plaknēs un 3 malas veido malu krustojums). Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, tad šādu prizmu sauc par taisnstūrveida.

Atšķirība starp trīsstūrveida prizmu un visām pārējām šīs klases figūrām ir tāda, ka tā vienmēr ir izliekta (četru, piecu, ..., n-stūra prizmu var būt arī ieliektas).

Šī ir taisnstūrveida figūra, kuras pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris.

Vispārēja tipa trīsstūrveida prizmas tilpums

Kā atrast trīsstūrveida prizmas tilpumu? Formula vispārīgi ir līdzīga jebkura veida prizmai. Tam ir šāds matemātiskais apzīmējums:

Šeit h ir figūras augstums, tas ir, attālums starp tās pamatiem, S o ir trijstūra laukums.

S o vērtību var atrast, ja ir zināmi daži trīsstūra parametri, piemēram, viena mala un divi leņķi vai divas malas un viens leņķis. Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā augstuma un tās malas garuma reizinājuma, uz kuras šis augstums ir nolaists.

Kas attiecas uz figūras augstumu h, tad to visvieglāk atrast taisnstūra prizmai. Pēdējā gadījumā h sakrīt ar sānu malas garumu.

Regulāras trīsstūra prizmas tilpums

Lai aprēķinātu atbilstošo vērtību regulārai trīsstūra prizmai, var izmantot vispārīgo trīsstūra prizmas tilpuma formulu, kas dota raksta iepriekšējā sadaļā. Tā kā tā pamatne ir vienādmalu trīsstūris, tā laukums ir:

Ikviens var iegūt šo formulu, ja atceras, ka vienādmalu trijstūrī visi leņķi ir vienādi viens ar otru un veido 60 o. Šeit simbols a ir trijstūra malas garums.

Augstums h ir malas garums. Tam nav nekāda sakara ar parastās prizmas pamatni, un tam var būt patvaļīgas vērtības. Rezultātā pareizās formas trīsstūrveida prizmas tilpuma formula izskatās šādi:

Pēc saknes aprēķināšanas mēs varam pārrakstīt šo formulu šādi:

Tādējādi, lai atrastu regulāras prizmas tilpumu ar trīsstūrveida pamatne, nepieciešams kvadrātveida pamatnes malu, reizināt šo vērtību ar augstumu un iegūto vērtību reizināt ar 0,433.

Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, izstrāde telpiskā iztēle. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.

Skolas mācību programmā cietās ģeometrijas kursam trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 vienādi regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu (vai taisnstūru, ja prizma nav slīpa) forma.

Kā izskatās prizma

Parasta četrstūra prizma ir sešstūris, kura pamatnēs ir 2 kvadrāti, un sānu malas attēlo taisnstūri. Vēl viens nosaukums šim ģeometriskā figūra- taisns paralēlskaldnis.

Zemāk ir parādīts zīmējums, kurā parādīta četrstūra prizma.

Bildē arī var redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisku ķermeni. Tos parasti sauc par:

Dažreiz ģeometrijas problēmās var atrast sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija ir perpendikulāra (šķērso figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonāle (maksimālais izbūvējamo sekciju skaits ir 2), kas iet cauri 2 malām un pamatnes diagonālēm.

Ja griezums ir novilkts tā, ka griešanas plakne nav paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.

Reducēto prizmatisko elementu atrašanai tiek izmantotas dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).

Virsmas laukums un tilpums

Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:

V = Sprim h

Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu detalizētākā formā:

V = a² h

Ja mēs runājam par kubu - parasto prizmu ar vienāds garums, platums un augstums, tilpumu aprēķina šādi:

Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās slaucīšana.

No zīmējuma var redzēt, ka sānu virsma sastāv no 4 vienādiem taisnstūriem. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:

Sside = poz. h

Tā kā kvadrāta perimetrs ir P = 4a, formula iegūst šādu formu:

Sside = 4a h

Par kubu:

Side = 4a²

Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam pievieno 2 pamatlaukumus:

Pilns = Sside + 2Sbase

Piemērojot četrstūrveida regulārai prizmai, formulai ir šāda forma:

Pilns = 4a h + 2a²

Par kuba virsmas laukumu:

Pilns = 6a²

Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.

Prizmu elementu atrašana

Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos var iegūt formulas:

• pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
• augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
• bāzes laukums: Sprim = V / h;
• sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.

Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonālei, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. Tāpēc:

Sdiag = ah√2

Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, tiek izmantota formula:

dbalva = √(2a² + h²)

Lai saprastu, kā piemērot iepriekš minētās attiecības, varat praktizēt un atrisināt dažus vienkāršus uzdevumus.

Problēmu piemēri ar risinājumiem

Lūk, daži no uzdevumiem, kas parādās valsts gala eksāmenos matemātikā.

1. vingrinājums.

Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja tās pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar 2 reizes garāku pamatnes garumu?

To vajadzētu argumentēt šādi. Smilšu daudzums pirmajā un otrajā traukā nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var noteikt kā a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:

V₁ = ha² = 10a²

Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Tāpēc ka V₁ = V₂, izteicienus var pielīdzināt:

10a² = 4ha²

Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:

Rezultātā jaunais smilšu līmenis būs h = 10/4 = 2,5 cm.

2. uzdevums.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ir regulāra prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.

Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.

Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka bāze ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu virsmas diagonālei ir tāda pati vērtība, tāpēc sānu seja ir arī kvadrāta forma, kas ir vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.

Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmo diagonāli:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kopējo virsmas laukumu nosaka pēc formulas kubam:

Pilns = 6a² = 6 6² = 216

3. uzdevums.

Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Telpas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpu tapsēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?

Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, tas ir, regulāri četrstūri, un tās sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.

Istabas garums ir a = √9 = 3 m.

Laukums tiks noklāts ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Šīs telpas tapešu izmaksas būs viszemākās 50 30 = 1500 rubļi.

Tātad taisnstūra prizmas uzdevumu risināšanai pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.

Kā atrast kuba laukumu