Taisnstūris, rombs un kvadrāts. Aksiālā un centrālā simetrija. Kā uzzīmēt simetrisku priekšmetu

Simetrija es Simetrija (no grieķu simetrija — proporcionalitāte)

matemātikā

1) simetrija (in šaurā nozīmē), vai atspulgs (spogulis) attiecībā pret plakni α telpā (attiecībā pret taisni). A plaknē), ir telpas (plaknes) transformācija, kurā katrs punkts M iet uz lietu M" tāds, ka segments MM" perpendikulāri plaknei α (taisni A) un pārgrieziet to uz pusēm. Plakne α (taisna A) sauc par plakni (asi) C.

Atspoguļošana ir ortogonālas transformācijas piemērs (sk. Ortogonālo transformāciju), kas maina orientāciju (sk. Orientācija) (pretēji pareizai kustībai). Jebkuru ortogonālu transformāciju var veikt, secīgi izpildot ierobežotu skaitu atspulgu - šim faktam ir būtiska loma S izpētē. ģeometriskās formas.

2) Simetrija (plašā nozīmē) - ģeometriskas figūras īpašība F, kas raksturo kādu formas likumsakarību F, tās nemainīgums kustību un atspulgu ietekmē. Precīzāk, figūra F ir S. (simetrisks), ja pastāv neidentiska ortogonāla transformācija, kas kartē šo figūru pati par sevi. Visu ortogonālo transformāciju kopa, kas apvieno figūru F ar sevi, ir grupa (Skatīt grupu), ko sauc par šīs figūras simetrijas grupu (dažreiz pašas šīs transformācijas sauc par simetrijām).

Tātad, plakana figūra, kas atstarojot pārvēršas par sevi, ir simetrisks taisnei - C asij. ( rīsi. 1 ); šeit simetrijas grupa sastāv no diviem elementiem. Ja skaitlis F plaknē ir tāda, ka rotācijas ap jebkuru punktu O ar leņķi 360 ° / n, n- vesels skaitlis ≥ 2, pārtulkot to pats par sevi, tad F ir S. n-kārtība attiecībā uz punktu PAR- centrs C. Šādu skaitļu piemērs ir regulāri daudzstūri (rīsi. 2 ); grupa S. šeit - t.s. cikliskā grupa n-tais pasūtījums. Aplim ir bezgalīgas kārtas S. (jo tas tiek apvienots ar sevi, pagriežoties caur jebkuru leņķi).

Vienkāršākie telpisko S. veidi, papildus atspulgu radītajam S., ir pārneses centrālais S., aksiālais S. un S..

a) Centrālās simetrijas (inversijas) gadījumā par punktu O figūra Ф tiek apvienota ar sevi pēc secīgiem atspīdumiem no trim savstarpēji perpendikulārām plaknēm, citiem vārdiem sakot, punkts O ir nogriežņa vidusdaļa, kas savieno simetriskos punktus Ф ( rīsi. 3 ). b) Aksiālās simetrijas gadījumā vai S. attiecībā pret taisni n secībā, figūra tiek uzlikta uz sevi, pagriežot ap kādu taisnu līniju (N-ass) 360 ° / leņķī. n. Piemēram, kubam ir līnija AB ass C. trešās kārtas, un taisna līnija CD- ceturtās kārtas C. ass ( rīsi. 3 ); parasti regulārie un pusregulārie daudzskaldņi ir simetriski attiecībā pret līniju sēriju. Kristalizācijas asu atrašanās vietai, skaitam un secībai ir liela nozīme kristalogrāfijā (sk. Kristālu simetrija), c) figūra, kas uzklāta uz sevi, secīgi griežot 360 leņķī. k ap taisnu līniju AB un atstarojums plaknē, kas ir perpendikulāra tai, ir spoguļaksiāla C. Taisna līnija AB, sauc par spoguļa-griešanās asi C. 2. kārtas k, ir pasūtījuma C ass k (rīsi. 4 ). Spoguļaksiālā līnija, kuras secība ir 2, ir ekvivalenta centrālajai līnijai d) Translācijas simetrijas gadījumā figūra tiek uzlikta uz sevi, pārvēršot pa kādu taisni (pārneses asi) kādā segmentā. Piemēram, figūrai ar vienu translācijas asi ir bezgalīgs skaits S. plakņu (jo jebkuru translāciju var veikt ar diviem secīgiem atstarojumiem no plaknēm, kas ir perpendikulāras translācijas asij) ( rīsi. 5 ). Kristālu režģu izpētē svarīga loma ir figūrām, kurām ir vairākas pārneses asis.

S. mākslā kļuvis plaši izplatīts kā viens no harmoniskas kompozīcijas veidiem (sk. kompozīciju). Tas ir raksturīgs arhitektūras darbiem (kā neatņemama īpašība, ja ne visai struktūrai kopumā, tad tās daļām un detaļām - plānam, fasādei, kolonnām, kapiteļiem utt.) un dekoratīvajai un lietišķajai mākslai. S. izmanto arī kā galveno paņēmienu apmaļu un ornamentu konstruēšanai (attiecīgi plakanas figūras, kurām ir viena vai vairākas S. pārneses kombinācijā ar atspulgiem) ( rīsi. 6 , 7 ).

S. kombinācijas, ko rada atspīdumi un rotācijas (izsmeļ visu veidu S. ģeometriskās figūras), kā arī pārneses, ir interesantas un ir pētījumu priekšmets dažādas jomas dabas zinātnes. Piemēram, spirālveida S., ko veic, pagriežot noteiktā leņķī ap asi, ko papildina pārvietošana pa to pašu asi, tiek novērota lapu izkārtojumā augos ( rīsi. 8 ) (sīkāku informāciju skatiet rakstā Simetrija bioloģijā). C. molekulu konfigurācija, kas ietekmē to fizisko un ķīmiskās īpašības, svarīgi, kad teorētiskā analīze savienojumu struktūras, to īpašības un uzvedība dažādās reakcijās (sk. Simetrija ķīmijā). Visbeidzot, fiziskajās zinātnēs kopumā papildus jau norādītajai kristālu un režģu ģeometriskajai simetrijai lielu nozīmi iegūst simetrijas jēdziens vispārējā nozīmē (skat. zemāk). Tādējādi fiziskās telpas-laika simetrija, kas izteikta tās viendabīgumā un izotropijā (skat. Relativitātes teoriju), ļauj konstatēt t.s. saglabāšanas likumi; vispārinātajam S. izglītībā ir būtiska loma atomu spektri un klasifikācijā elementārdaļiņas(skatiet Simetriju fizikā).

3) Simetrija (vispārīgā nozīmē) nozīmē matemātiska (vai fiziska) objekta struktūras nemainīgumu attiecībā uz tā pārveidojumiem. Piemēram, relativitātes teorijas S. likumus nosaka to nemainīgums attiecībā pret Lorenca transformācijām (sk. Lorenca transformācijas). Transformāciju kopas definīcija, kas atstāj nemainīgas visas objekta strukturālās attiecības, t.i., grupas definīcija G tā automorfismi ir kļuvuši par mūsdienu matemātikas un fizikas vadmotīvu, ļaujot gūt dziļu ieskatu iekšējā struktūra objekts kopumā un tā daļas.

Tā kā šādu objektu var attēlot ar kādas telpas elementiem R, kas apveltīts ar tai atbilstošu raksturīgu struktūru, ciktāl objekta transformācijas ir transformācijas R. Tas. iegūt grupas pārstāvību G transformācijas grupā R(vai vienkārši iekšā R), un objekta S. izpēte tiek reducēta uz darbības izpēti G ieslēgts R un šīs darbības invariantu atrašana. Tāpat S. fiziskie likumi, kas kontrolē pētāmo objektu un parasti tiek aprakstīti ar vienādojumiem, kurus apmierina telpas elementi R, nosaka darbība Gšādiem vienādojumiem.

Tā, piemēram, ja kāds vienādojums ir lineārs lineārā telpā R un paliek nemainīgs kādas grupas transformācijās G, tad katrs elements g no G atbilst lineārai transformācijai Tg lineārā telpā Ršī vienādojuma risinājumi. Sarakste g → Tg ir lineārs attēlojums G un visu šādu tā attēlojumu pārzināšana ļauj noteikt dažādas risinājumu īpašības, kā arī palīdz daudzos gadījumos (no "simetrijas apsvērumiem") atrast pašus risinājumus. Tas jo īpaši izskaidro nepieciešamību pēc matemātikas un fizikas izstrādātas teorijas par grupu lineāro attēlojumu. Konkrēti piemēri skatīt Art. Simetrija fizikā.

Lit.:Šubņikovs A.V., Simetrija. (Simetrijas likumi un to pielietojums zinātnē, tehnoloģijā un lietišķajā mākslā), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Ievads ģeometrijā, tulk. no angļu val., M., 1966; Veils G., Simetrija, tulk. no angļu val., M., 1968; Vīgners E., Etīdes par simetriju, tulk. no angļu valodas, M., 1971.

M. I. Voitsekhovskis.

Rīsi. 3. Kubs ar taisne AB kā trešās kārtas simetrijas ass, taisne CD kā ceturtās kārtas simetrijas ass, punkts O kā simetrijas centrs. Kuba punkti M un M" ir simetriski gan pret asīm AB un CD, gan pret centru O.

II Simetrija

fizikā. Ja likumi, kas nosaka attiecības starp lielumiem, kas raksturo fizisko sistēmu vai nosaka šo lielumu izmaiņas laika gaitā, nemainās noteiktās operācijās (pārveidojumos), kurām sistēma var tikt pakļauta, tad tiek uzskatīts, ka šiem likumiem ir S. ( vai ir nemainīgi) attiecībā uz datu transformācijām. Matemātiski S. transformācijas veido grupu (skat. grupu).

Pieredze rāda, ka fiziskie likumi ir simetriski attiecībā uz šādām vispārīgākajām transformācijām.

Nepārtrauktas pārvērtības

1) Sistēmas kopumā pārvietošana (nobīde) telpā. Šo un turpmākās telpas-laika transformācijas var saprast divās nozīmēs: kā aktīva transformācija - fiziskas sistēmas reāla pārnešana attiecībā pret izvēlēto atskaites sistēmu, vai arī kā pasīva transformācija - paralēla atskaites sistēmas pārnešana. S. fiziskie likumi attiecībā uz nobīdēm telpā nozīmē visu telpas punktu līdzvērtību, tas ir, neviena izvēlēta punkta neesamību telpā (telpas homogenitāte).

2) Sistēmas kā veseluma rotācija telpā. S. fizikālie likumi attiecībā uz šo transformāciju nozīmē visu kosmosa virzienu līdzvērtību (telpas izotropiju).

3) Laika izcelsmes maiņa (laika nobīde). S. attiecībā uz šo transformāciju nozīmē, ka fiziskie likumi ar laiku nemainās.

4) Pāreja uz atskaites sistēmu, kas pārvietojas attiecībā pret doto kadru ar nemainīgu (virzienā un lieluma) ātrumu. S. attiecībā uz šo transformāciju jo īpaši nozīmē visu inerciālo atskaites sistēmu ekvivalenci (sk. Inerciālo atskaites sistēmu) (sk. Relativitātes teoriju).

5) Gabarīta transformācijas. Likumi, kas apraksta to daļiņu mijiedarbību, kurām ir kāda veida lādiņš (elektriskais lādiņš (skatīt elektrisko lādiņu), bariona lādiņš (skatīt bariona lādiņu), leptona lādiņš (skatīt leptona lādiņu), hiperlādiņš omi), ir simetriski attiecībā uz lādiņa mērierīcēm. 1. veids. Šīs transformācijas sastāv no tā, ka visu daļiņu viļņu funkcijas (skatīt viļņu funkciju) var vienlaikus reizināt ar patvaļīgu fāzes koeficientu:

kur ψ j- daļiņu viļņu funkcija j, z j - daļiņai atbilstošs lādiņš, izteikts elementārā lādiņa vienībās (piemēram, elementārais elektriskais lādiņš e), β ir patvaļīgs skaitlisks faktors.

A→A + f, , (2)

Kur f(x,plkst z t) ir patvaļīga koordinātu funkcija ( X,plkst,z) un laiks ( t), Ar ir gaismas ātrums. Lai elektromagnētisko lauku gadījumā transformācijas (1) un (2) tiktu veiktas vienlaicīgi, ir nepieciešams vispārināt 1. veida gabarītu transformācijas: nepieciešams, lai mijiedarbības likumi būtu simetriski attiecībā pret transformācijām. (1) ar vērtību β, kas ir patvaļīga koordinātu un laika funkcija: η — Planka konstante. Saistība starp 1. un 2. veida gabarītu transformācijām for elektromagnētiskā mijiedarbība elektriskā lādiņa dubultās lomas dēļ: no vienas puses, elektriskais lādiņš ir saglabājies lielums, no otras puses, tas darbojas kā mijiedarbības konstante, kas raksturo elektromagnētiskā lauka attiecības ar lādētām daļiņām.

Transformācijas (1) atbilst dažādu lādiņu saglabāšanās likumiem (skat. zemāk), kā arī dažām iekšējām simetriskām mijiedarbībām. Ja lādiņi ir ne tikai saglabājami lielumi, bet arī lauku avoti (piemēram, elektriskais lādiņš), tad tiem atbilstošajiem laukiem jābūt arī mērlaukiem (līdzīgiem elektromagnētiskajiem laukiem), un transformācijas (1) tiek vispārinātas gadījumam, kad lielumi β ir patvaļīgas koordinātu un laika funkcijas (un pat operatori, kas pārveido iekšējās sistēmas stāvokļus). Šāda pieeja mijiedarbības lauku teorijā noved pie dažādām spēcīgas un vājas mijiedarbības teorijām (tā sauktā Yang-Mils teorija).

Diskrētie pārveidojumi

Iepriekš uzskaitītajiem S. tipiem ir raksturīgi parametri, kas var nepārtraukti mainīties noteiktā vērtību diapazonā (piemēram, telpas nobīdi raksturo trīs pārvietošanās parametri pa katru koordinātu asi, rotācija par trim rotācijas leņķiem ap šīs asis utt.). Kopā ar nepārtrauktu S. liela nozīme fizikā ir diskrētie S. Galvenie ir šādi.

Simetrijas un saglabāšanas likumi

Saskaņā ar Noetera teorēmu (sk. Noether teorēmu) katra sistēmas transformācija, ko raksturo viens nepārtraukti mainīgs parametrs, atbilst vērtībai, kas saglabājas (laika gaitā nemainās) sistēmai, kurai ir šī sistēma. No fizikālo likumu sistēmas attiecībā uz slēgtas sistēmas nobīdi telpā, pagriežot to kopumā un mainot laika izcelsmi, ievēro attiecīgi impulsa, leņķiskā impulsa un enerģijas nezūdamības likumus. No S. attiecībā uz pirmā veida mērierīču transformācijām - lādiņu saglabāšanas likumiem (elektrisko, barionu utt.), no izotopu invariances - izotopu spina saglabāšanos (sk. Izotopu spin) spēcīgas mijiedarbības procesos. Kas attiecas uz diskrēto S., tad iekšā klasiskā mehānika tie nerada nekādus saglabāšanas likumus. Tomēr iekšā kvantu mehānika, kurā sistēmas stāvokli apraksta ar viļņu funkciju, vai viļņu laukiem (piemēram, elektromagnētiskajam laukam), kur ir spēkā Superpozīcijas princips, diskrēta S. esamība nozīmē saglabāšanas likumus dažiem konkrētiem lielumiem, kuriem ir nav analogu klasiskajā mehānikā. Šādu lielumu esamību var pierādīt ar telpiskās paritātes piemēru (sk. paritāti), kuras saglabāšana izriet no S. attiecībā uz telpisko inversiju. Patiešām, lai ψ 1 ir viļņa funkcija, kas apraksta kādu sistēmas stāvokli, un ψ 2 ir sistēmas viļņa funkcija, kas izriet no telpām. inversija (simboliski: ψ 2 = Rψ 1 , kur R ir kosmosa operators. inversijas). Tad, ja ir S. attiecībā uz telpisko inversiju, ψ 2 ir viens no iespējamiem sistēmas stāvokļiem un saskaņā ar superpozīcijas principu sistēmas iespējamie stāvokļi ir superpozīcijas ψ 1 un ψ 2: simetriska kombinācija ψ s = ψ 1 + ψ 2 un antisimetrisks ψ a = ψ 1 - ψ 2 . Veicot inversijas transformācijas, stāvoklis ψ 2 nemainās (jo Pψs = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), un stāvoklis ψ a maina zīmi ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Pirmajā gadījumā sistēmas telpiskā paritāte tiek uzskatīta par pozitīvu (+1), otrajā gadījumā tā ir negatīva (-1). Ja sistēmas viļņu funkciju nosaka, izmantojot lielumus, kas telpiskās inversijas laikā nemainās (piemēram, leņķiskais impulss un enerģija), tad arī sistēmas paritātei būs diezgan noteikta vērtība. Sistēma būs stāvoklī ar pozitīvu vai negatīvu paritāti (turklāt pārejas no viena stāvokļa uz otru spēku, kas ir simetriskas attiecībā uz telpisko inversiju, iedarbībā ir absolūti aizliegtas).

Kvantu mehānisko sistēmu un stacionāro stāvokļu simetrija. deģenerācija

Dažādām kvantu mehāniskajām sistēmām atbilstošo lielumu saglabāšanās ir sekas tam, ka tiem atbilstošie operatori komutē ar sistēmas Hamiltonu, ja tas nav tieši atkarīgs no laika (sk. Kvantu mehānika, Komutācijas attiecības). Tas nozīmē, ka šie lielumi ir izmērāmi vienlaikus ar sistēmas enerģiju, t.i., tie var iegūt diezgan noteiktas vērtības noteiktai enerģijas vērtībai. Tāpēc no tiem var izgatavot t.s. pilns daudzumu kopums, kas nosaka sistēmas stāvokli. Tātad sistēmas stacionāros stāvokļus (stāvokļus ar dotu enerģiju) nosaka lielumi, kas atbilst aplūkojamās sistēmas S..

S. klātbūtne noved pie tā, ka dažādiem kvantu mehāniskās sistēmas kustības stāvokļiem, kas iegūti viens no otra ar S. transformāciju, ir vienādas vērtības. fizikālie lielumi, kas šo transformāciju rezultātā nemainās. Tādējādi sistēmas S., kā likums, noved pie deģenerācijas (sk. deģenerāciju). Piemēram, noteiktai sistēmas enerģijas vērtībai var atbilst vairāki dažādi stāvokļi, kas pārveidojas viens caur otru C transformāciju laikā. Matemātiski šie stāvokļi veido sistēmas C grupas nereducējamas reprezentācijas pamatu (sk. Grupu ). Tas nosaka grupu teorijas metožu pielietošanas auglīgumu kvantu mehānikā.

Papildus enerģijas līmeņu deģenerācijai, kas saistīta ar sistēmas izteikto S. (piemēram, attiecībā uz sistēmas rotācijām kopumā), vairākās problēmās ir papildu deģenerācija, kas saistīta ar t.s. slēptā S. mijiedarbība. Šādas slēptās svārstības pastāv, piemēram, Kulona mijiedarbībai un izotropiskajam oscilatoram.

Ja sistēma, kurai ir daži S., atrodas spēku laukā, kas pārkāpj šo S. (bet pietiekami vāja, lai tos varētu uzskatīt par nelielu traucējumu), sākotnējās sistēmas deģenerētie enerģijas līmeņi tiek sadalīti: dažādi stāvokļi, kas , jo S. sistēmām bija vienāda enerģija, "asimetriskas" perturbācijas iedarbībā tās iegūst dažādus enerģijas pārvietojumus. Gadījumos, kad traucējošajam laukam ir noteikta S., kas ir daļa no sākotnējās sistēmas S., enerģijas līmeņu deģenerācija netiek pilnībā novērsta: daži līmeņi paliek deģenerēti atbilstoši mijiedarbības S. “ieslēdz” traucējošo lauku.

Enerģijas deģenerētu stāvokļu klātbūtne sistēmā savukārt norāda uz S. mijiedarbības esamību un principā ļauj atrast šo S., kad tas nav iepriekš zināms. Pēdējais apstāklis ​​spēlē būtiska loma, piemēram, elementārdaļiņu fizikā. Daļiņu grupu ar tuvu masu un līdzīgiem citiem raksturlielumiem, bet atšķirīgiem elektriskajiem lādiņiem (tā sauktie izotopu multipleti) esamība ļāva noteikt spēcīgas mijiedarbības izotopu invarianci un iespēju apvienot daļiņas ar vienādām īpašībām plašākā veidā. grupas noveda pie atklājuma SU(3)-C. spēcīga mijiedarbība un mijiedarbības, kas pārkāpj šo simetriju (sk. Spēcīga mijiedarbība). Ir pazīmes, ka spēcīgajai mijiedarbībai ir vēl plašāka C grupa.

Ļoti auglīga koncepcija ir t.s. dinamiska S. sistēma, kas rodas, aplūkojot transformācijas, tai skaitā pārejas starp sistēmas stāvokļiem ar dažādām enerģijām. Dinamiskās S. grupas nereducējamais attēlojums būs viss sistēmas stacionāro stāvokļu spektrs. Dinamiskās S. jēdzienu var attiecināt arī uz gadījumiem, kad sistēmas Hamiltonians ir tieši atkarīgs no laika, un šajā gadījumā visi kvantu mehāniskās sistēmas stāvokļi, kas nav stacionāri (tas ir, kuriem nav noteiktas enerģijas), ir apvienoti vienā nereducējamā S dinamiskās grupas attēlojumā.).

Lit.: Vīgners E., Etīdes par simetriju, tulk. no angļu valodas, M., 1971.

S. S. Geršteins.

III Simetrija

ķīmijā izpaužas molekulu ģeometriskā konfigurācijā, kas ietekmē fizikālās un ķīmiskās īpašības molekulas izolētā stāvoklī, ārējā laukā un mijiedarbojoties ar citiem atomiem un molekulām.

Lielākajai daļai vienkāršu molekulu ir līdzsvara konfigurācijas telpiskās simetrijas elementi: simetrijas asis, simetrijas plaknes utt. (skat. Simetrija matemātikā). Tātad amonjaka molekulai NH 3 ir regulāras trīsstūrveida piramīdas simetrija, metāna molekulai CH 4 ir tetraedra simetrija. Sarežģītās molekulās līdzsvara konfigurācijas simetrijas kopumā, kā likums, nav, tomēr tās atsevišķo fragmentu simetrija ir aptuveni saglabāta (lokālā simetrija). Vispilnīgākais gan līdzsvara, gan nelīdzsvara molekulu konfigurāciju simetrijas apraksts tiek panākts, balstoties uz priekšstatiem par t.s. dinamiskās simetrijas grupas - grupas, kas ietver ne tikai kodola konfigurācijas telpiskās simetrijas operācijas, bet arī identisku kodolu permutācijas operācijas dažādās konfigurācijās. Piemēram, NH 3 molekulas dinamiskās simetrijas grupa ietver arī šīs molekulas inversijas darbību: N atoma pāreju no vienas plaknes puses, ko veido atomi N, otrā pusē.

Kodolu līdzsvara konfigurācijas simetrija molekulā ietver noteiktu šīs molekulas dažādu stāvokļu viļņu funkciju simetriju (sk. viļņu funkciju), kas ļauj klasificēt stāvokļus pēc simetrijas veidiem. Pāreja starp diviem stāvokļiem, kas saistīti ar gaismas absorbciju vai emisiju, atkarībā no stāvokļu simetrijas veidiem var parādīties molekulārajā spektrā (skatīt molekulāros spektrus), vai arī būt aizliegta, lai līnija vai josla atbilstu šai pārejai. spektrā nebūs. Stāvokļu simetrijas veidi, starp kuriem iespējamas pārejas, ietekmē līniju un joslu intensitāti, kā arī to polarizāciju. Piemēram, homonukleārām divatomu molekulām pārejas starp vienādas paritātes elektroniskajiem stāvokļiem ir aizliegtas un neparādās spektros, kuru elektronisko viļņu funkcijas inversijas darbības laikā uzvedas vienādi; benzola un līdzīgu savienojumu molekulām ir aizliegtas pārejas starp viena veida simetrijas nedeģenerētiem elektroniskajiem stāvokļiem utt. Simetrijas atlases noteikumi pārejām starp dažādiem stāvokļiem tiek papildināti ar atlases noteikumiem, kas saistīti ar šo stāvokļu Spin.

Molekulām ar paramagnētiskiem centriem šo centru vides simetrija izraisa noteikta veida anizotropiju g-faktors (Lande faktors), kas ietekmē elektronu paramagnētiskās rezonanses spektru struktūru (skat. Elektronu paramagnētiskā rezonanse), savukārt molekulām, kuru atomu kodoliem ir spinings, kas nav nulle, atsevišķu lokālo fragmentu simetrija noved pie noteikta veida enerģijas sadalīšanas stāvokļiem ar dažādas projekcijas kodola spins, kas ietekmē kodolmagnētiskās rezonanses spektru struktūru.

Aptuvenajās kvantu ķīmijas pieejās, kurās tiek izmantots molekulāro orbitāļu jēdziens, simetrijas klasifikācija ir iespējama ne tikai molekulas viļņu funkcijai kopumā, bet arī atsevišķām orbitālēm. Ja molekulas līdzsvara konfigurācijai ir simetrijas plakne, kurā atrodas kodoli, tad visas šīs molekulas orbitāles tiek iedalītas divās klasēs: simetriskā (σ) un antisimetriskā (π) attiecībā uz atstarošanas darbību šajā plaknē. . Molekulas, kurās augšējās (enerģētiski) aizņemtās orbitāles ir π-orbitāles, veido īpašas nepiesātināto un konjugētu savienojumu klases ar tām raksturīgajām īpašībām. Zināšanas par atsevišķu molekulu fragmentu lokālo simetriju un lokalizāciju uz šiem fragmentiem molekulārās orbitālesļauj spriest, kuri fragmenti ir vieglāk pakļauti ierosmei un spēcīgāk mainās ķīmisko pārvērtību gaitā, piemēram, fotoķīmiskās reakcijās.

Simetrijas jēdzieniem ir liela nozīme sarežģītu savienojumu struktūras, to īpašību un uzvedības dažādās reakcijās teorētiskajā analīzē. Kristāla lauka teorija un ligandu lauka teorija nosaka aizņemto un brīvo orbitāļu relatīvo stāvokli komplekss savienojums pamatojoties uz datiem par tās simetriju, enerģijas līmeņu sadalīšanās raksturu un pakāpi, mainoties ligandu lauka simetrijai. Zinot tikai kompleksa simetriju, ļoti bieži ir iespējams kvalitatīvi spriest par tā īpašībām.

1965. gadā P. Vudvards un R. Hofmans izvirzīja orbitālās simetrijas saglabāšanas principu ķīmiskajās reakcijās, ko pēc tam apstiprināja plaši eksperimentālie materiāli un kam bija liela ietekme uz preparātu attīstību. organiskā ķīmija. Šis princips (Vudvarda-Hofmana noteikums) nosaka, ka atsevišķi elementāri darbojas ķīmiskās reakcijas iziet, saglabājot molekulāro orbitāļu simetriju jeb orbitālo simetriju. Jo vairāk elementāras darbības laikā tiek izjaukta orbitāļu simetrija, jo grūtāka ir reakcija.

Molekulu simetrijas ņemšana vērā ir svarīga ķīmisko lāzeru un molekulāro taisngriežu izveidē izmantojamo vielu meklēšanā un atlasē, organisko supravadītāju modeļu konstruēšanā, kancerogēno un farmakoloģisko analīzē. aktīvās vielas utt.

Lit.: Hochstrasser R., Simetrijas molekulārie aspekti, trans. no angļu val., M., 1968; Bolotins A. B., Stepanovs N. f. Grupu teorija un tās pielietojums molekulu kvantu mehānikā, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Orbitālās simetrijas saglabāšana, trans. no angļu valodas, M., 1971.

N. F. Stepanovs.

 IV Simetrija

bioloģijā (biosimetrija). gadā S. fenomenam dzīvajā dabā tika pievērsta uzmanība Senā Grieķija Pitagorieši (5. gs. p.m.ē.) saistībā ar viņu harmonijas doktrīnas attīstību. 19. gadsimtā ir parādījušies izolēti darbi par S. no augiem (franču zinātnieki O. P. Decandol un O. Bravo), dzīvniekiem (vāciski - E. Haeckel), biogēnām molekulām (franču - A. Vehan, L. Pasteur u.c.). 20. gadsimtā bioloģiskie objekti tika pētīti no viedokļa vispārējā teorija S. (padomju zinātnieki Ju. V. Vulfs, V. N. Beklemiševs, B. K. Vainšteins, holandiešu fizikoķīmiķis F. M. Egers, angļu kristalogrāfi J. Bernāla vadībā) un labējā un kreisā doktrīna (padomju zinātnieki V. I. Vernadskis, V. V. F. Alpatovs, G. Gauze un citi, un vācu zinātnieks V. Ludvigs). Šo darbu rezultātā 1961. gadā S. teorijā tika identificēts īpašs virziens - biosimetrija.

Visintensīvāk pētīta bioloģisko objektu strukturālā S.. Biostruktūru - molekulāro un supramolekulāro - S. izpēte no strukturālās S. viedokļa ļauj iepriekš noteikt tiem iespējamos S. veidus un līdz ar to iespējamo modifikāciju skaitu un veidus, precīzi aprakstīt ārējos. jebkuru telpisko bioloģisko objektu forma un iekšējā struktūra. Tas izraisīja strukturālo S. attēlojumu plašu izmantošanu zooloģijā, botānikā, molekulārā bioloģija. Strukturālā S. izpaužas galvenokārt viena vai otra regulāra atkārtojuma veidā. IN klasiskā teorija Vācu zinātnieku J. F. Gesela, E. S. Fedorova un citu izstrādāto strukturālo simetriju objekta simetrijas parādīšanos var raksturot ar tā struktūras elementu kopumu, t.i., tādiem ģeometriskiem elementiem (punktiem, līnijām, plaknēm), attiecībā pret kuriem ir sakārtotas tās pašas objekta daļas (skat. Simetrija matemātikā). Piemēram, skats uz S. floksu ziedu ( rīsi. 1 , c) - viena 5. kārtas ass, kas iet caur zieda centru; ražots tās darbības laikā - 5 apgriezieni (par 72, 144, 216, 288 un 360 °), katrā no kuriem zieds sakrīt ar sevi. Skatīt C. ​​tauriņa figūru ( rīsi. 2 , b) - viena plakne, kas sadala to 2 daļās - pa kreisi un pa labi; ar plaknes palīdzību veiktā operācija ir spoguļattēls, “izveidojot” labās puses kreiso pusi, kreisās labo pusi un tauriņa figūru savienojoties ar sevi. Skatīt C. ​​radiolarian Lithocubus geometricus ( rīsi. 3 , b), papildus rotācijas asīm un atstarošanas plaknēm tajā ir arī centrs C. Jebkura taisne, kas novilkta caur šādu vienu punktu radiolārijas iekšpusē abās tā pusēs un vienādos attālumos sastopas ar to pašu (atbilstoši) figūras punkti. Operācijas, kas tiek veiktas ar S. centra palīdzību, ir atspulgi kādā punktā, pēc kuriem radiolāra figūra tiek apvienota arī ar sevi.

Dzīvajā dabā (kā arī nedzīvajā dabā) dažādu ierobežojumu dēļ parasti sastopams ievērojami mazāks S. sugu skaits, nekā tas ir teorētiski iespējams. Piemēram, dzīvās dabas attīstības zemākajos posmos ir visu punktveida S. klašu pārstāvji - līdz organismiem, kuriem raksturīgs regulāru daudzskaldņu S. un lode (sk. rīsi. 3 ). Tomēr augstākās evolūcijas stadijās augi un dzīvnieki galvenokārt sastopami t.s. aksiāls (tips n) un aktinomorfs (tips n(m)AR. (abos gadījumos n var ņemt vērtības no 1 līdz ∞). Bioobjekti ar aksiālu S. (sk. rīsi. 1 ) raksturo tikai kārtas C. ass n. Saktinomorfā S. bioobjekti (sk. rīsi. 2 ) raksturo viena secības ass n un plaknes, kas krustojas pa šo asi m. Savvaļā visbiežāk sastopamas S. sugas. n = 1 un 1. m = m, sauc attiecīgi par asimetriju (Skatīt asimetriju) un divpusēju, jeb divpusēju, S. Asimetrija ir raksturīga lielākajai daļai augu sugu lapām, divpusējā S. - zināmā mērā cilvēka ķermeņa ārējai formai, mugurkaulniekiem un daudzi bezmugurkaulnieki. Mobilajos organismos šāda kustība acīmredzot ir saistīta ar atšķirībām to kustībā uz augšu un uz leju, kā arī uz priekšu un atpakaļ, savukārt to kustības pa labi un pa kreisi ir vienādas. Viņu divpusējās S. pārkāpums neizbēgami novestu pie vienas puses kustības kavēšanas un virzības uz priekšu pārvēršanas apļveida kustībā. 50-70 gados. 20. gadsimts intensīvas studijas (galvenokārt PSRS) tika pakļautas t.s. dissimetriski bioobjekti ( rīsi. 4 ). Pēdējais var pastāvēt vismaz divās modifikācijās - oriģināla un tā spoguļattēla (antipoda) formā. Turklāt vienu no šīm formām (neatkarīgi no tā, kura) sauc par labo vai D (no latīņu valodas dextro), otru - par kreiso vai L (no latīņu valodas laevo). Pētot D- un L-bioloģisko objektu formu un uzbūvi, tika izstrādāta disimetrizējošu faktoru teorija, pierādot jebkuram D- vai L-objektam divu vai vairāku (līdz bezgalīgam skaitam) modifikāciju iespējamību (sk. arī rīsi. 5 ); tajā pašā laikā tajā bija arī formulas pēdējo skaita un veida noteikšanai. Šī teorija lika atklāt tā saukto. bioloģiskā izomērija (sk. Izomērija) (dažādi viena sastāva bioloģiskie objekti; uz rīsi. 5 Parādīti 16 liepu lapu izomēri).

Pētot bioloģisko objektu sastopamību, tika konstatēts, ka dažos gadījumos dominē D-formas, citos L-formas, citos tās ir tikpat izplatītas. Bešāns un Pastērs (19. gadsimta 40. gadi), un 30. gados. 20. gadsimts Padomju zinātnieki G.F.Gause un citi pierādīja, ka organismu šūnas ir veidotas tikai vai galvenokārt no L-aminoskābēm, L-proteīniem, D-dezoksiribonukleīnskābēm, D-cukuriem, L-alkaloīdiem, D- un L-terpēniem utt. Tik fundamentāla un raksturīgs dzīvo šūnu daļa, ko Pastērs sauca par protoplazmas disimetriju, nodrošina šūnai, kā tas tika noteikts 20. gadsimtā, aktīvāku vielmaiņu un tiek uzturēta, izmantojot sarežģītus bioloģiskos un fizikāli ķīmiskos mehānismus, kas radušies evolūcijas procesā. Pūces. 1952. gadā zinātnieks V. V. Alpatovs uz 204 vaskulāro augu sugām konstatēja, ka 93,2% augu sugu pieder tipam ar L-, 1,5% - ar D-kursu asinsvadu sieniņu spirālveida sabiezējumiem, 5,3% sugu. - uz racēmisko tipu (D asinsvadu skaits ir aptuveni vienāds ar L asinsvadu skaitu).

Pētot D- un L-bioloģiskos objektus, tika konstatēts, ka vienlīdzība starp D un L formas dažos gadījumos tas tiek traucēts to fizioloģisko, bioķīmisko un citu īpašību atšķirību dēļ. Šo dzīvās dabas iezīmi sauca par dzīves disimetriju. Tādējādi L-aminoskābju ierosinošā ietekme uz plazmas kustību augu šūnās ir desmitiem un simtiem reižu lielāka nekā to pašu D-formu iedarbība. Daudzas antibiotikas (penicilīns, gramicidīns u.c.), kas satur D-aminoskābes, ir baktericīdākas nekā to formas ar L-aminoskābēm. Biežāk sastopamās spirālveida L-kop bietes ir par 8-44% (atkarībā no šķirnes) smagākas un satur par 0,5-1% vairāk cukura nekā D-kop bietes.

Šajā nodarbībā aplūkosim vēl vienu dažu figūru īpašību – aksiālo un centrālo simetriju. Mēs katru dienu sastopamies ar aksiālo simetriju, kad skatāmies spogulī. Centrālā simetrija savvaļas dzīvniekiem ir ļoti izplatīta. Tomēr simetriskiem skaitļiem ir visa rindaīpašības. Turklāt vēlāk uzzinām, ka aksiālais un centrālā simetrija ir kustību veidi, ar kuru palīdzību tiek atrisināta vesela problēmu klase.

Šī nodarbība ir par aksiālo un centrālo simetriju.

Definīcija

Divus punktus un sauc simetrisks attiecībā pret taisnu līniju, ja:

Uz att. 1 parāda punktu piemērus, kas ir simetriski attiecībā pret taisnu līniju un , un .

Rīsi. 1

Mēs arī atzīmējam faktu, ka jebkurš līnijas punkts ir simetrisks pats pret šo līniju.

Skaitļi var būt arī simetriski attiecībā pret taisnu līniju.

Formulēsim stingru definīciju.

Definīcija

Figūru sauc simetrisks taisnai līnijai, ja katram figūras punktam pieskaita arī tai simetriskais punkts attiecībā pret šo taisni. Šajā gadījumā līnija tiek izsaukta simetrijas ass. Skaitlim ir aksiālā simetrija.

Apsveriet vairākus piemērus figūrām ar aksiālo simetriju un to simetrijas asīm.

1. piemērs

Leņķis ir aksiāli simetrisks. Leņķa simetrijas ass ir bisektrise. Patiešām: nometīsim perpendikulu bisektrisei no jebkura leņķa punkta un pagarināsim, līdz tas krustojas ar leņķa otru malu (skat. 2. att.).

Rīsi. 2

(jo - kopējā puse, (bisektora īpašība), un trijstūri ir taisnleņķi). Nozīmē,. Tāpēc punkti un ir simetriski attiecībā pret leņķa bisektrisi.

No tā izriet, ka vienādsānu trijstūrim ir arī aksiālā simetrija attiecībā pret bisektri (augstumu, mediānu), kas novilkta uz pamatni.

2. piemērs

Vienādmalu trijstūrim ir trīs simetrijas asis (bisektrise / mediānas / augstums katram no trim leņķiem (skat. 3. att.).

Rīsi. 3

3. piemērs

Taisnstūrim ir divas simetrijas asis, no kurām katra iet cauri tā divu pretējo malu viduspunktiem (skat. 4. att.).

Rīsi. 4

4. piemērs

Rombam ir arī divas simetrijas asis: taisnas līnijas, kas satur tā diagonāles (sk. 5. att.).

Rīsi. 5

5. piemērs

Kvadrātam, kas ir gan rombs, gan taisnstūris, ir 4 simetrijas asis (skat. 6. att.).

Rīsi. 6

6. piemērs

Apļa simetrijas ass ir jebkura taisne, kas iet caur tā centru (tas ir, kas satur apļa diametru). Tāpēc aplim ir bezgalīgi daudz simetrijas asu (skat. 7. att.).

Rīsi. 7

Tagad apsveriet koncepciju centrālā simetrija.

Definīcija

Punkti un tiek saukti simetrisks attiecībā pret punktu , ja: - segmenta vidusdaļa .

Apskatīsim dažus piemērus: attēlā. 8. attēlā ir parādīti punkti un , kā arī un , kas ir simetriski attiecībā pret punktu , savukārt punkti un nav simetriski attiecībā pret šo punktu.

Rīsi. 8

Daži skaitļi ir simetriski attiecībā uz kādu punktu. Formulēsim stingru definīciju.

Definīcija

Figūru sauc simetrisks attiecībā pret punktu, ja kādam figūras punktam, tai simetriskais punkts arī pieder šai figūrai. Punktu sauc simetrijas centrs, un skaitlim ir centrālā simetrija.

Apsveriet figūru piemērus ar centrālo simetriju.

7. piemērs

Aplim simetrijas centrs ir apļa centrs (to ir viegli pierādīt, atceroties apļa diametra un rādiusa īpašības) (sk. 9. att.).

Rīsi. 9

8. piemērs

Paralelogramam simetrijas centrs ir diagonāļu krustpunkts (sk. 10. att.).

Rīsi. 10

Atrisināsim vairākas aksiālās un centrālās simetrijas problēmas.

1. uzdevums.

Cik simetrijas asu ir līnijas segmentam?

Segmentam ir divas simetrijas asis. Pirmais no tiem ir līnija, kas satur segmentu (jo jebkurš līnijas punkts ir simetrisks pats pret šo līniju). Otrais - vidusperpendikuls uz nogriezni, tas ir, taisne, kas ir perpendikulāra nogrieznim un iet caur tā viduspunktu.

Atbilde: 2 simetrijas asis.

2. uzdevums.

Cik simetrijas asu ir līnijai?

Taisnei ir bezgalīgi daudz simetrijas asu. Viens no tiem ir pati līnija (jo jebkurš līnijas punkts ir simetrisks sev attiecībā pret šo līniju). Un arī simetrijas asis ir jebkuras līnijas, kas ir perpendikulāras noteiktai līnijai.

Atbilde: ir bezgalīgi daudz simetrijas asu.

3. uzdevums.

Cik simetrijas asu ir staram?

Staram ir viena simetrijas ass, kas sakrīt ar līniju, kurā atrodas stars (jo jebkurš līnijas punkts ir simetrisks pret sevi attiecībā pret šo līniju).

Atbilde: viena simetrijas ass.

4. uzdevums.

Pierādīt, ka taisnes, kurās ir romba diagonāles, ir tā simetrijas asis.

Pierādījums:

Apsveriet rombu. Pierādīsim, piemēram, ka taisne ir tās simetrijas ass. Acīmredzot punkti un ir simetriski paši pret sevi, jo tie atrodas uz šīs līnijas. Turklāt punkti un ir simetriski attiecībā pret šo līniju, kopš . Tagad izvēlēsimies patvaļīgu punktu un pierādīsim, ka attiecībā pret to simetrisks punkts arī pieder rombam (sk. 11. att.).

Rīsi. vienpadsmit

Uzzīmējiet perpendikulu līnijai caur punktu un pagariniet to līdz krustojumam ar . Apsveriet trīsstūrus un . Šie trīsstūri ir taisnstūrveida (pēc konstrukcijas), turklāt tajos: - kopēja kāja, un (jo romba diagonāles ir tā bisektrise). Tātad šie trīsstūri ir vienādi: . Tas nozīmē, ka arī visi tiem atbilstošie elementi ir vienādi, tāpēc: . No šo segmentu vienādības izriet, ka punkti un ir simetriski attiecībā pret taisni. Tas nozīmē, ka tā ir romba simetrijas ass. Līdzīgi šo faktu var pierādīt arī otrajai diagonālei.

Pierādīts.

5. uzdevums.

Pierādīt, ka paralelograma diagonāļu krustpunkts ir tā simetrijas centrs.

Pierādījums:

Apsveriet paralelogramu. Pierādīsim, ka punkts ir tā simetrijas centrs. Ir skaidrs, ka punkti un , Un ir pāri simetriski attiecībā pret punktu , Jo paralelograma diagonāles tiek dalītas ar krustošanās punktu uz pusēm. Tagad izvēlēsimies patvaļīgu punktu un pierādīsim, ka attiecībā pret to simetrisks punkts arī pieder paralelogramam (skat. 12. att.).

Mērķi:

  • izglītojošs:
    • sniegt priekšstatu par simetriju;
    • iepazīstināt ar galvenajiem simetrijas veidiem plaknē un telpā;
    • attīstīt spēcīgas prasmes simetrisku figūru konstruēšanā;
    • paplašināt idejas par slavenām figūrām, iepazīstinot tās ar īpašībām, kas saistītas ar simetriju;
    • parādīt simetrijas izmantošanas iespējas dažādu problēmu risināšanā;
    • nostiprināt iegūtās zināšanas;
  • vispārējā izglītība:
    • iemācīties sagatavoties darbam;
    • iemācīt savaldīt sevi un kaimiņu uz rakstāmgalda;
    • iemācīt novērtēt sevi un kaimiņu uz sava galda;
  • izstrādājot:
    • aktivizēt neatkarīgu darbību;
    • attīstīt kognitīvo darbību;
    • iemācīties apkopot un sistematizēt saņemto informāciju;
  • izglītojošs:
    • izglītot skolēnus "pleca sajūtu";
    • attīstīt komunikāciju;
    • ieaudzināt komunikācijas kultūru.

NODARBĪBU LAIKĀ

Katram priekšā ir šķēres un papīra lapa.

1. vingrinājums(3 min).

- Paņemiet papīra lapu, salokiet to uz pusēm un izgrieziet kādu figūru. Tagad atlociet lapu un apskatiet locīšanas līniju.

Jautājums: Kāda ir šīs līnijas funkcija?

Ieteiktā atbilde:Šī līnija dala skaitli uz pusēm.

Jautājums: Kā visi figūras punkti atrodas abās iegūtajās pusēs?

Ieteiktā atbilde: Visi pušu punkti atrodas vienādā attālumā no salocīšanas līnijas un vienā līmenī.

- Tātad locījuma līnija dala figūru uz pusēm, lai 1 puse būtu 2 pusīšu kopija, t.i. šī līnija nav vienkārša, tai ir ievērojama īpašība (visi punkti attiecībā pret to atrodas vienādā attālumā), šī līnija ir simetrijas ass.

2. uzdevums (2 minūtes).

- Izgrieziet sniegpārsliņu, atrodiet simetrijas asi, raksturojiet to.

3. uzdevums (5 minūtes).

- Uzzīmējiet apli savā piezīmju grāmatiņā.

Jautājums: Noteikt, kā iet simetrijas ass?

Ieteiktā atbilde: Savādāk.

Jautājums: Tātad, cik simetrijas asu ir aplim?

Ieteiktā atbilde: Daudz.

- Tieši tā, aplim ir daudz simetrijas asu. Tā pati brīnišķīgā figūra ir bumba (telpiskā figūra)

Jautājums: Kurām vēl figūrām ir vairāk nekā viena simetrijas ass?

Ieteiktā atbilde: Kvadrāts, taisnstūris, vienādsānu un vienādmalu trīsstūri.

– Apsveriet trīsdimensiju figūras: kubu, piramīdu, konusu, cilindru utt. Šīm figūrām ir arī simetrijas ass Nosakiet, cik simetrijas asu ir kvadrātam, taisnstūrim, vienādmalu trīsstūrim un piedāvātajām trīsdimensiju figūrām?

Izdalu skolēniem plastilīna figūriņu pusītes.

4. uzdevums (3 min).

- Izmantojot saņemto informāciju, pabeidziet trūkstošo figūras daļu.

Piezīme: figūriņa var būt gan plakana, gan trīsdimensiju. Ir svarīgi, lai studenti noteiktu, kā iet simetrijas ass, un aizpilda trūkstošo elementu. Izpildes pareizību nosaka kaimiņš uz rakstāmgalda, novērtē, cik labi paveikts darbs.

No tādas pašas krāsas mežģīnes uz darbvirsmas tiek izlikta līnija (slēgta, atvērta, ar paššķērsošanu, bez paššķērsošanas).

5. uzdevums (grupu darbs 5 min).

- Vizuāli nosakiet simetrijas asi un attiecībā pret to pabeidziet otro daļu no citas krāsas mežģīnēm.

Veiktā darba pareizību nosaka paši skolēni.

Skolēniem tiek prezentēti zīmējumu elementi

6. uzdevums (2 minūtes).

Atrodiet šo zīmējumu simetriskas daļas.

Lai apkopotu aplūkoto materiālu, piedāvāju šādus uzdevumus, kas paredzēti 15 minūtēm:

Nosauciet visus vienādos trijstūra KOR un KOM elementus. Kādi ir šo trīsstūru veidi?

2. Uzzīmējiet piezīmju grāmatiņā vairākus vienādsānu trijstūrus ar kopīgs pamats vienāds ar 6 cm.

3. Uzzīmējiet nogriezni AB. Izveidojiet taisni, kas ir perpendikulāra segmentam AB un iet caur tā viduspunktu. Atzīmējiet uz tā punktus C un D, ​​lai četrstūris ACBD būtu simetrisks attiecībā pret taisni AB.

- Mūsu sākotnējie priekšstati par formu pieder pie ļoti tālā senā akmens laikmeta laikmeta – paleolīta. Simtiem tūkstošu šī perioda gadu cilvēki dzīvoja alās, apstākļos, kas maz atšķīrās no dzīvnieku dzīves. Cilvēki izgatavoja rīkus medībām un makšķerēšanai, attīstīja valodu, lai sazinātos savā starpā, un vēlajā paleolīta laikmetā izdaiļoja savu eksistenci, radot mākslas darbus, figūriņas un zīmējumus, kas atklāj brīnišķīgu formas izjūtu.
Kad notika pāreja no vienkāršas pārtikas vākšanas uz tās aktīvu ražošanu, no medībām un zvejas uz lauksaimniecību, cilvēce ieiet jaunā akmens laikmetā – neolītā.
Neolīta cilvēkam bija dedzīga ģeometriskās formas izjūta. Māla trauku apdedzināšana un krāsošana, niedru paklājiņu, grozu, audumu izgatavošana, vēlāk arī metālapstrāde radīja priekšstatus par plakanām un telpiskām figūrām. Neolīta ornamenti bija acij tīkami, atklājot vienlīdzību un simetriju.
Kur dabā ir atrodama simetrija?

Ieteiktā atbilde: tauriņu spārni, vaboles, koku lapas...

“Simetriju var redzēt arī arhitektūrā. Būvējot ēkas, celtnieki skaidri ievēro simetriju.

Tāpēc ēkas ir tik skaistas. Arī simetrijas piemērs ir cilvēks, dzīvnieki.

Mājasdarbs:

1. Izdomā savu ornamentu, attēlo to uz A4 lapas (var uzzīmēt paklāja formā).
2. Uzzīmējiet tauriņus, atzīmējiet, kur ir simetrijas elementi.

Lai g ir fiksēta taisne (191. att.). Paņemiet patvaļīgu punktu X un nometiet perpendikulāru AX taisnei g. Turpinot perpendikulu aiz punkta A, mēs noliekam malā nogriezni AX ", kas ir vienāda ar nogriezni AX. Punktu X" sauc par simetrisku punktam X attiecībā pret taisni g.

Ja punkts X atrodas uz taisnes g, tad tam simetriskais punkts ir pats punkts X. Acīmredzot punkts X" ir simetrisks punkts X.

Figūras F pārveidošanu par figūru F”, kurā katrs tās punkts X pāriet uz punktu X”, kas ir simetrisks attiecībā pret doto taisni g, sauc par simetrijas transformāciju attiecībā pret taisni g. Šajā gadījumā skaitļus F un F "sauc par simetriskiem attiecībā pret taisni g (192. att.).

Ja simetrijas transformācija attiecībā pret taisni g ņem figūru F sevī, tad šo skaitli sauc par simetrisku attiecībā pret taisni g, bet taisni g sauc par figūras simetrijas asi.

Piemēram, taisnstūra taisnstūra, kas iet caur taisnstūra diagonāļu krustpunktu, kas ir paralēla tā malām, ir taisnstūra simetrijas asis (193. att.). Taisnes līnijas, uz kurām atrodas romba diagonāles, ir tā simetrijas asis (194. att.).

Teorēma 9.3. Simetrijas transformācija par līniju ir kustība.


Pierādījums. Ņemsim šo taisni par Dekarta koordinātu sistēmas y asi (195. att.). Ļaujiet patvaļīgam skaitļa F punktam A (x; y) iet uz figūras F punktu A "(x"; y"). No simetrijas definīcijas attiecībā pret taisnu līniju izriet, ka punktiem A un A "ir vienādas ordinātas, un abscises atšķiras tikai pēc zīmes:

x"= -x.
Ņemsim divus patvaļīgus punktus A (x 1; y 1) un B (x 2; y 2) — tie dosies uz punktiem A "(- x 1, y 1) un B" (-x 2; y 2).

AB 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 .

Tas parāda, ka AB=A"B". Un tas nozīmē, ka simetrijas transformācija attiecībā pret taisnu līniju ir kustība. Teorēma ir pierādīta.

Zinātniskā un praktiskā konference

SM "Vidējs vispārizglītojošā skola Nr. 23"

Vologdas pilsēta

sadaļa: dabas - zinātniskā

projektēšanas un izpētes darbi

SIMETRIJU VEIDI

Darbu veica 8. "a" klases skolēns

Kreņeva Margarita

Vadītājs: augstākās matemātikas skolotājs

2014. gads

Projekta struktūra:

1. Ievads.

2. Projekta mērķi un uzdevumi.

3. Simetrijas veidi:

3.1. Centrālā simetrija;

3.2. Aksiālā simetrija;

3.3. Spoguļa simetrija (simetrija attiecībā pret plakni);

3.4. Rotācijas simetrija;

3.5. Pārnēsājama simetrija.

4. Secinājumi.

Simetrija ir ideja, ar kuras palīdzību cilvēks gadsimtiem ilgi ir mēģinājis izprast un radīt kārtību, skaistumu un pilnību.

G. Veils

Ievads.

Mana darba tēma tika izvēlēta pēc sadaļas "Aksiālā un centrālā simetrija" apguves kursā "Ģeometrija 8.klase". Mani šī tēma ļoti ieinteresēja. Vēlējos uzzināt: kādi simetrijas veidi pastāv, kā tie atšķiras viens no otra, kādi ir simetrisku figūru konstruēšanas principi katrā no veidiem.

Darba mērķis : Ievads dažādos simetrijas veidos.

Uzdevumi:

    Izpētiet literatūru par šo tēmu.

    Apkopot un sistematizēt pētīto materiālu.

    Sagatavojiet prezentāciju.

Senos laikos vārdu "SIMĒTRIJA" lietoja "harmonija", "skaistuma" nozīmē. Tulkojumā no grieķu valodas šis vārds nozīmē “proporcionalitāte, proporcionalitāte, viendabīgums kaut kā daļu izkārtojumā. pretējās puses no punkta, taisnes vai plaknes.

Ir divas simetriju grupas.

Pirmajā grupā ietilpst pozīciju, formu, struktūru simetrija. Šī ir simetrija, ko var tieši redzēt. To var saukt par ģeometrisko simetriju.

Otrā grupa raksturo fizisko parādību simetriju un dabas likumus. Šī simetrija ir dabaszinātnes pasaules attēla pamatā: to var saukt par fizisko simetriju.

Es apstājos mācītiesģeometriskā simetrija .

Savukārt ir arī vairāki ģeometriskās simetrijas veidi: centrālā, aksiālā, spoguļa (simetrija attiecībā pret plakni), radiālā (vai rotējošā), pārnēsājamā un citi. Šodien es apsvēršu 5 simetrijas veidus.

    Centrālā simetrija

Divi punkti A un A 1 sauc par simetriskām attiecībā pret punktu O, ja tie atrodas uz taisnes, kas iet caur m O, un atrodas tās pretējās malās vienādā attālumā. Punktu O sauc par simetrijas centru.

Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret punktuPAR , ja katram figūras punktam punkts ir simetrisks tam attiecībā pret punktuPAR arī pieder šim skaitlim. PunktsPAR ko sauc par figūras simetrijas centru, tiek uzskatīts, ka figūrai ir centrālā simetrija.

Centrālās simetrijas figūru piemēri ir aplis un paralelograms.

Slaidā redzamie skaitļi ir simetriski attiecībā pret kādu punktu

2. Aksiālā simetrija

Divi punktiX Un Y sauc par simetrisku attiecībā pret līnijut , ja šī taisne iet caur segmenta XY viduspunktu un ir tai perpendikulāra. Jāsaka arī, ka katrs līnijas punktst uzskatīts par simetrisku sev.

Taisnit ir simetrijas ass.

Tiek uzskatīts, ka figūra ir simetriska attiecībā pret taisnu līniju.t, ja katram figūras punktam tai attiecībā pret taisni simetrisks punktst arī pieder šim skaitlim.

Taisnitko sauc par figūras simetrijas asi, tiek uzskatīts, ka figūrai ir aksiālā simetrija.

Aksiālajai simetrijai piemīt neattīstīts leņķis, vienādsānu un vienādmalu trīsstūri, taisnstūris un rombs,vēstules (skat. prezentāciju).

    Spoguļa simetrija (simetrija attiecībā pret plakni)

Divi P punkti 1 Un P sauc par simetriskiem attiecībā pret plakni a, ja tie atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra plaknei a un atrodas vienādā attālumā no tās

Spoguļa simetrija visiem labi zināms. Tas savieno jebkuru objektu un tā atspulgu plakanā spogulī. Tiek uzskatīts, ka viena figūra ir spoguļsimetriska otrai.

Plaknē figūra ar bezgalīgu skaitu simetrijas asu bija aplis. Telpā bezgalīgi daudzām simetrijas plaknēm ir bumba.

Bet, ja aplis ir vienīgais šāda veida aplis, tad trīsdimensiju pasaulē ir vairāki ķermeņi, kuriem ir bezgalīgi daudz simetrijas plakņu: taisns cilindrs ar apli pie pamatnes, konuss ar apli. bāze, bumba.

Ir viegli konstatēt, ka katru simetriskas plaknes figūru var apvienot ar sevi ar spoguļa palīdzību. Pārsteidzoši, ka simetriskas ir arī tādas sarežģītas figūras kā piecstaru zvaigzne vai vienādmalu piecstūris. Kā izriet no asu skaita, tās izceļas ar augstu simetriju. Un otrādi: nav tik viegli saprast, kāpēc tik šķietami regulāra figūra, tāpat kā slīps paralelograms, nav simetrisks.

4. P rotācijas simetrija (vai radiālā simetrija)

Rotācijas simetrija ir simetrija, kas saglabā objekta formukad griežas ap kādu asi leņķī, kas vienāds ar 360 ° /n(vai šīs vērtības reizinājums), kurn= 2, 3, 4, … Norādīto asi sauc par rotācijas asin-tais pasūtījums.

Plkstn=2 visi figūras punkti ir pagriezti par 180 leņķi 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) ap asi, kamēr tiek saglabāta figūras forma, t.i. katrs figūras punkts iet uz tās pašas figūras punktu (figūra tiek pārveidota par sevi). Asi sauc par otrās kārtas asi.

2. attēlā redzama trešās kārtas ass, 3. attēlā - 4. secība, 4. attēlā - 5. secība.

Objektam var būt vairāk nekā viena rotācijas asis: 1. att. - 3 rotācijas asis, 2. att. - 4 asis, 3. att. - 5 asis, att. 4 - tikai 1 ass

Labi zināmajiem burtiem "I" un "F" ir rotācijas simetrija. Ja pagriežat burtu "I" par 180 ° ap asi, kas ir perpendikulāra burta plaknei un iet caur tā centru, tad burts tiks izlīdzināts ar pati par sevi. Citiem vārdiem sakot, burts "I" ir simetrisks attiecībā pret rotāciju par 180°, 180°= 360°: 2,n=2, tāpēc tai ir otrās kārtas simetrija.

Ņemiet vērā, ka burtam "F" ir arī otrās kārtas rotācijas simetrija.

Turklāt burtam un ir simetrijas centrs, bet burtam Ф ir simetrijas ass

Atgriezīsimies pie piemēriem no dzīves: glāze, konusveida mārciņa saldējuma, stieples gabals, pīpe.

Ja aplūkosim šos ķermeņus tuvāk, mēs pamanīsim, ka tie visi tā vai citādi sastāv no apļa, caur kurām iet bezgalīgs skaits simetrijas asu. Lielākajai daļai šo ķermeņu (tos sauc par apgriezienu ķermeņiem), protams, ir arī simetrijas centrs (apļa centrs), caur kuru iet vismaz viena rotācijas simetrijas ass.

Piemēram, ir skaidri redzama saldējuma konusa ass. Tas iet no apļa vidus (izceļas no saldējuma!) līdz bailīgā konusa asajam galam. Ķermeņa simetrijas elementu kopu mēs uztveram kā sava veida simetrijas mēru. Bumba, bez šaubām, simetrijas ziņā ir nepārspējams pilnības iemiesojums, ideāls. Senie grieķi to uztvēra kā vispilnīgāko ķermeni, bet apli, protams, kā vispilnīgāko plakano figūru.

Lai aprakstītu konkrēta objekta simetriju, ir jānorāda visas rotācijas asis un to secība, kā arī visas simetrijas plaknes.

Apsveriet, piemēram, ģeometrisku ķermeni, kas sastāv no divām identiskām regulārām četrstūra piramīdām.

Tam ir viena 4. kārtas rotācijas ass (ass AB), četras otrās kārtas rotācijas asis (asis CE,D.F., MP, NQ), piecas simetrijas plaknes (plaknesCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Pārnēsājama simetrija

Cits simetrijas veids irpārnēsājams Ar simetrija.

Viņi runā par šādu simetriju, kad, kad figūra tiek pārvietota pa taisnu līniju uz noteiktu attālumu “a” vai attālumu, kas ir šīs vērtības daudzkārtnis, tā tiek apvienota ar sevi Taisni, pa kuru tiek veikta pārsūtīšana, sauc par pārneses asi, un attālumu "a" sauc par elementāro pārnesi, periodu vai simetrijas soli.

A

Periodiski atkārtojas raksts uz garas lentes tiek saukts par apmali. Praksē apmales sastopamas dažādos veidos (sienu krāsošana, čuguns, ģipša bareljefi vai keramika). Apmales izmanto gleznotāji un mākslinieki, dekorējot telpu. Lai veiktu šos rotājumus, tiek izgatavots trafarets. Pārvietojam trafaretu, apgriežot vai neapgriežot, uzzīmējam kontūru, atkārtojot rakstu, un iegūstam ornamentu (vizuāls demonstrējums).

Apmali ir viegli izveidot, izmantojot trafaretu (oriģinālo elementu), mainot vai apgriežot to un atkārtojot rakstu. Attēlā parādīti piecu veidu trafareti:A ) asimetrisks;b, c ) kam ir viena simetrijas ass: horizontāla vai vertikāla;G ) centrāli simetrisks;d ), kam ir divas simetrijas asis: vertikālā un horizontālā.

Lai izveidotu robežas, tiek izmantotas šādas transformācijas:

A ) paralēlā pārsūtīšana;b ) simetrija pret vertikālo asi;V ) centrālā simetrija;G ) simetrija pret horizontālo asi.

Līdzīgi jūs varat izveidot kontaktligzdas. Šim nolūkam aplis ir sadalītsn vienādos sektoros, vienā no tiem tiek veikts paraugraksts un pēc tam pēdējais tiek secīgi atkārtots pārējās apļa daļās, katru reizi pagriežot modeli par 360 ° / leņķi.n .

labs piemērs aksiālās un figurālās simetrijas pielietojums var kalpot kā fotoattēlā redzamais žogs.

Secinājums: Tātad tādi ir Dažādi simetrijas, simetriski punkti katrā no šiem simetrijas veidiem tiek veidoti saskaņā ar noteiktiem likumiem. Dzīvē mēs visur sastopamies ar vienu vai otru simetrijas veidu, un bieži vien objektos, kas mūs ieskauj, vienlaikus var atzīmēt vairākus simetrijas veidus. Tas rada kārtību, skaistumu un pilnību apkārtējā pasaulē.

LITERATŪRA:

    Elementārās matemātikas rokasgrāmata. M.Ya. Vigodskis. - Izdevniecība "Zinātne". - Maskava 1971. – 416 lpp.

    Mūsdienu svešvārdu vārdnīca. - M.: Krievu valoda, 1993.

    Matemātikas vēsture skolāIX - Xklases. G.I. Glāzers. - Izdevniecība "Apgaismība". - Maskava 1983 – 351 lpp.

    Vizuālā ģeometrija 5 - 6 klases. I.F. Šarigins, L.N. Erganžijevs. - Izdevniecība "Drofa", Maskava, 2005. - 189 lpp.

    Enciklopēdija bērniem. Bioloģija. S. Ismailova. – Izdevniecība “Avanta+”. - Maskava 1997 – 704 lpp.

    Urmancevs Yu.A. Dabas simetrija un simetrijas būtība - M.: Doma arhitektūra / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

Jūs varētu interesēt