Ar aritmētiku, skaitļu zinātni, sākas mūsu iepazīšanās ar matemātiku. Viena no pirmajām krievu aritmētikas mācību grāmatām, ko 1703. gadā sarakstīja L. F. Magņitskis, sākās ar vārdiem: “Aritmētika jeb skaitītājs ir godīga, neapskaužama un ikvienam ērti saprotama māksla, visnoderīgākā un visslavētākā, sākot no vecākā. un jaunākais, in dažādi laiki dzīvo vislabāko aritmētiku, izgudrotu un izskaidrotu. Ar aritmētiku mēs ieejam, kā teica M. V. Lomonosovs, “mācīšanās vārtos” un sākam savu garo un grūto, bet aizraujošo pasaules izzināšanas ceļojumu.
Vārds "aritmētika" cēlies no grieķu valodas arithmos, kas nozīmē "skaitlis". Šī zinātne pēta darbības ar skaitļiem, dažādi noteikumi apstrādājot tos, māca atrisināt problēmas, kas ir saistītas ar skaitļu saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Aritmētika bieži tiek iztēlota kā kaut kāds pirmais solis matemātikā, uz kura pamata iespējams pētīt tās sarežģītākas sadaļas – algebru, matemātisko analīzi utt. Pat veseli skaitļi - aritmētikas pamatobjekts - tiek ņemti vērā, kad tos aplūko vispārīgas īpašības un modeļiem, augstākai aritmētikai vai skaitļu teorijai. Šādam aritmētikas skatījumam, protams, ir pamats - tas tiešām paliek "skaitīšanas ābece", bet alfabēts ir "visnoderīgākais" un "ērtākais".
Aritmētika un ģeometrija ir seni cilvēka pavadoņi. Šīs zinātnes parādījās, kad radās nepieciešamība skaitīt objektus, izmērīt zemi, dalīt laupījumu, sekot līdzi laikam.
Aritmētika radās Seno Austrumu valstīs: Babilonā, Ķīnā, Indijā, Ēģiptē. Piemēram, Ēģiptes papiruss Rinda (nosaukts tā īpašnieka G. Rindas vārdā) datēts ar 20. gs. BC. Cita starpā tā satur daļskaitļu izvērsumus daļskaitļu summā ar skaitītāju, kas vienāds ar vienu, piemēram:
Seno Austrumu valstīs uzkrātos matemātisko zināšanu dārgumus izstrādāja un turpināja Senās Grieķijas zinātnieki. Vēsture mums ir saglabājusi daudzus zinātnieku vārdus, kas antīkajā pasaulē nodarbojās ar aritmētiku - Anaksagors un Zenons, Eiklīds (skat. Eiklīds un viņa "Sākums"), Arhimēds, Eratostens un Diofants. Pitagora vārds (VI gs. p.m.ē.) šeit mirdz kā spoža zvaigzne. Pitagorieši (Pitagora mācekļi un sekotāji) pielūdza skaitļus, uzskatot, ka tajos ir visa pasaules harmonija. Tika piešķirti atsevišķi numuri un skaitļu pāri īpašas īpašības. Cipari 7 un 36 bija lielā cieņā, tajā pašā laikā tika pievērsta uzmanība tā saucamajiem ideālajiem skaitļiem, draudzīgajiem skaitļiem utt.
Viduslaikos aritmētikas attīstība ir saistīta arī ar Austrumiem: Indiju, arābu pasaules valstīm un Vidusāzija. No indiešiem pie mums nāca skaitļi, kurus mēs lietojam, nulle un pozicionālā skaitļu sistēma; no al-Kashi (XV gs.), kurš strādāja Samarkandas observatorijā Ulugbek, - decimāldaļdaļas.
Pateicoties tirdzniecības un ietekmes attīstībai Austrumu kultūra sākot ar 13.gs. pieaugošā interese par aritmētiku Eiropā. Jāatceras itāļu zinātnieka Leonardo no Pizas (Fibonači) vārds, kura darbs "Abaka grāmata" iepazīstināja eiropiešus ar galvenajiem Austrumu matemātikas sasniegumiem un bija sākums daudziem aritmētikas un algebras pētījumiem.
Kopā ar poligrāfijas izgudrojumu (15. gs. vidus) parādījās pirmās drukātās matemātiskās grāmatas. Pirmā drukātā grāmata par aritmētiku tika izdota Itālijā 1478. gadā. Vācu matemātiķa M. Stīfela (16. gs. sākums) grāmatā Pilnīga aritmētika negatīvi skaitļi un pat logaritma ideja.
Ap 16.gs tīri aritmētisku jautājumu izstrāde ieplūda algebras pamatplūsmā - kā nozīmīgu pavērsienu var atzīmēt franču zinātnieka F. Vietas darbu parādīšanos, kuros skaitļi apzīmēti ar burtiem. Kopš tā laika aritmētikas pamatlikumi ir pilnībā izprasti no algebras viedokļa.
Aritmētikas pamatobjekts ir skaitlis. Naturālie skaitļi, t.i. skaitļi 1, 2, 3, 4, ... utt., radās, skaitot konkrētus priekšmetus. Pagāja daudzas tūkstošgades, līdz cilvēks uzzināja, ka divi fazāni, divas rokas, divi cilvēki utt. var saukt to pašu vārdu "divi". Svarīgs aritmētikas uzdevums ir iemācīties pārvarēt saskaitīto priekšmetu nosaukumu specifisko nozīmi, abstrahēties no to formas, izmēra, krāsas u.c.. Fibonači jau ir uzdevums: “Septiņas vecenes dodas uz Romu. Katrā ir 7 mūļi, katrā mūlī ir 7 maisi, katrā maisā ir 7 klaipi, katrā klaipā ir 7 naži, katram nazim ir 7 apvalki. Cik daudz? Lai atrisinātu problēmu, jums būs jāsaliek vecenes, un mūļi, un somas, un maize.
Skaitļa jēdziena attīstība - nulles un negatīvo skaitļu parādīšanās, parastās un decimāldaļdaļas, skaitļu rakstīšanas veidi (skaitļi, simboli, skaitļu sistēmas) - tam visam ir bagāta un interesanta vēsture.
“Ciparu zinātne nozīmē divas zinātnes: praktisko un teorētisko. Praktiski pēta skaitļus, ciktāl mēs runājam par saskaitāmiem skaitļiem. Šo zinātni izmanto tirgus un civillietās. Teorētiskā skaitļu zinātne pēta skaitļus absolūta jēga prāta abstrahēti no ķermeņiem un visa, ko tajos var saskaitīt. al-Farabi
Aritmētikā skaitļus saskaita, atņem, reizina un dala. Māksla ātri un precīzi veikt šīs darbības ar jebkuriem skaitļiem jau sen tika apsvērta svarīgākais uzdevums aritmētika. Tagad domās vai uz papīra mēs darām tikai lielāko daļu vienkārši aprēķini, arvien biežāk sarežģītāku skaitļošanas darbu uzticot mikrokalkulatoriem, kas pamazām nomaina tādas ierīces kā abacus, pievienošanas mašīna (skat. Datorzinātnes), slide rule. Taču visu datoru darbība – vienkārša un sarežģīta – balstās uz visvienkāršāko darbību – naturālu skaitļu saskaitīšanu. Izrādās, ka vissarežģītākos aprēķinus var reducēt līdz saskaitīšanai, tikai šī darbība ir jāveic daudzus miljonus reižu. Bet šeit mēs ielaužamies citā matemātikas jomā, kuras izcelsme ir aritmētika - skaitļošanas matemātika.
Aritmētiskām darbībām ar skaitļiem ir dažādas īpašības. Šīs īpašības var raksturot ar vārdiem, piemēram: “Summa nemainās no terminu vietu maiņas”, var rakstīt ar burtiem:, var izteikt speciālos terminos.
Piemēram, šo saskaitīšanas īpašību sauc par komutatīvo vai komutācijas likumu. Mēs bieži piemērojam aritmētikas likumus aiz ieraduma, paši to neapzinoties. Bieži skolēni skolā jautā: "Kāpēc mācīties visus šos pārvietošanas un kombinēšanas likumus, jo ir tik skaidrs, kā saskaitīt un reizināt skaitļus?" 19. gadsimtā matemātika spēra nozīmīgu soli – sāka sistemātiski saskaitīt un reizināt ne tikai skaitļus, bet arī vektorus, funkcijas, nobīdes, skaitļu tabulas, matricas un daudz ko citu un pat tikai burtus, simbolus, īsti nerūpējoties par to konkrēto nozīmi. Un šeit izrādījās, ka vissvarīgākais ir tas, kādiem likumiem šīs operācijas pakļaujas. Patvaļīgiem objektiem (ne obligāti skaitļiem) doto darbību izpēte jau ir algebras joma, lai gan šis uzdevums ir balstīts uz aritmētiku un tās likumiem.
Aritmētika satur daudzus noteikumus problēmu risināšanai. Vecajās grāmatās var atrast problēmas "trīskāršajam likumam", "proporcionālam dalījumam", "svaru metodei", "viltus likumam" utt. Lielākā daļa šo noteikumu tagad ir novecojuši, lai gan uzdevumus, kas tika atrisināti ar viņu palīdzību, nekādā gadījumā nevar uzskatīt par novecojušiem. Slavenā problēma par baseinu, kas ir piepildīts ar vairākām caurulēm, ir vismaz divus tūkstošus gadu vecs, un tas joprojām nav viegli skolēniem. Bet, ja agrāk šīs problēmas risināšanai bija jāzina īpašs noteikums, tad šodien tas jau ir jaunākie skolēni iemācieties atrisināt šādu problēmu, ievadot vajadzīgās vērtības burtu apzīmējumu. Tādējādi aritmētiskās problēmas radīja nepieciešamību atrisināt vienādojumus, un tas atkal ir algebras uzdevums.
|
PITAGORS
Rakstisku dokumentu par Samosa Pitagoru nav, un saskaņā ar vēlākiem pierādījumiem ir grūti atjaunot patieso priekšstatu par viņa dzīvi un sasniegumiem. Ir zināms, ka Pitagors pameta savu dzimto Samos salu Egejas jūrā pie Mazāzijas krastiem, protestējot pret valdnieka tirāniju un jau nobriedušā vecumā (pēc leģendas 40 gadu vecumā) parādījās Grieķijas pilsētā Krotone Itālijas dienvidos. Pitagors un viņa sekotāji - pitagorieši - izveidoja slepenu aliansi, kurai bija nozīmīga loma grieķu koloniju dzīvē Itālijā. Pitagorieši viens otru atpazina pēc zvaigznes formas piecstūra - pentagrammas. Austrumu filozofijai un reliģijai bija liela ietekme uz Pitagora mācībām. Viņš daudz ceļoja pa Austrumu valstīm: viņš bija Ēģiptē un Babilonā. Tur Pitagors iepazinās ar austrumu matemātiku. Matemātika ir kļuvusi par viņa mācību daļu un vissvarīgāko daļu. Pitagorieši uzskatīja, ka pasaules noslēpums slēpjas skaitļos. Ciparu pasaule pitagoriešiem dzīvoja īpašu dzīvi, skaitļiem bija savs īpašs dzīves jēga. Skaitļi, kas vienādi ar to dalītāju summu, tika uztverti kā perfekti (6, 28, 496, 8128); skaitļu pārus sauca par draudzīgiem, no kuriem katrs bija vienāds ar otra dalītāju summu (piemēram, 220 un 284). Pitagors bija pirmais, kas sadalīja skaitļus pāra un nepāra, pirmskaitļa un saliktā, un ieviesa figurālā skaitļa jēdzienu. Viņa skolā tika detalizēti izskatīti Pitagora trīskārši naturālie skaitļi, kuros viena kvadrāts bija vienāds ar pārējo divu kvadrātu summu (skat. Fermā lielo teorēmu). Pitagors ir teicis: "Viss ir skaitlis." Ar skaitļiem (un viņš domāja tikai naturālos skaitļus) viņš gribēja samazināt visu pasauli un jo īpaši matemātiku. Bet pašā Pitagora skolā tika izdarīts atklājums, kas pārkāpa šo harmoniju. Ir pierādīts, ka tas nav racionāls skaitlis, t.i. nav izteikts naturālos skaitļos. Protams, Pitagora ģeometrija bija pakārtota aritmētikai, tas skaidri izpaudās teorēmā, kas nes viņa vārdu un vēlāk kļuva par pamatu skaitlisko metožu pielietošanai ģeometrijā. (Vēlāk Eiklīds atkal izvirzīja priekšplānā ģeometriju, pakārtojot tai algebru.) Acīmredzot pitagorieši zināja pareizās cietās vielas: tetraedru, kubu un dodekaedru. Pitagors tiek saukts par sistemātisku pierādījumu ieviešanu ģeometrijā, taisnu figūru planimetrijas izveidi un līdzības doktrīnu. Pitagora vārds ir saistīts ar aritmētisko, ģeometrisko un harmonisko proporciju, vidējo vērtību doktrīnu. Jāpiebilst, ka Pitagors Zemi uzskatīja par bumbu, kas kustas ap Sauli. Kad 16.gs baznīca sāka nikni vajāt Kopernika mācību, šo mācību spītīgi sauca par pitagoriešu. |
|
ARHIMEDS
Par Arhimēdu, lielo matemātiķi un mehāniķi, ir zināms vairāk nekā par citiem senatnes zinātniekiem. Pirmkārt, uzticams ir viņa nāves gads - Sirakūzu krišanas gads, kad zinātnieks nomira no romiešu karavīra rokas. Tomēr senie vēsturnieki Polibijs, Līvijs, Plutarhs maz runāja par viņa matemātiskajiem nopelniem, no viņiem informācija par zinātnieka brīnumainajiem izgudrojumiem, kas veikti karaļa Hierona II kalpošanas laikā, nonākuši līdz mūsdienām. Ir slavens stāsts par karaļa zelta kroni. Arhimēds pārbaudīja tā sastāva tīrību ar atrastā peldspējas likuma un viņa izsaukuma “Eureka!” palīdzību, t.i. "Atrasts!". Cita leģenda vēsta, ka Arhimēds uzbūvējis bloku sistēmu, ar kuras palīdzību viens cilvēks spējis nolaist ūdenī milzīgo kuģi "Syracosia". Tad Arhimēda vārdi kļuva spārnoti: "Dodiet man atbalsta punktu, un es pagriezīšu Zemi." Arhimēda inženieru ģēnijs īpaši spēcīgi izpaudās Sirakūzu, bagātās tirdzniecības pilsētas Sicīlijas salā, aplenkuma laikā. Romas konsula Marsela karavīrus pie pilsētas mūriem ilgu laiku aizturēja vēl nebijušas mašīnas: jaudīgas katapultas precīzi šaudīja akmens bluķus, spraugās tika uzstādītas metamās mašīnas, izmetot ārā serdeņu krusu, ārpus sienām pagriezti krasta celtņi. un meta ienaidnieka kuģus ar akmens un svina blokiem, āķi satvēra kuģus un tie meta tos no liela augstuma, ieliektu spoguļu sistēmas (dažos stāstos - vairogi) aizdedzināja kuģus. Marcella vēsturē Plūtarhs apraksta šausmas, kas valdīja romiešu karavīru rindās: “Tiklīdz viņi pamanīja, ka aiz cietokšņa sienas rāda virve vai baļķi, viņi bēga, kliedzot, ka arī Arhimēds ir izdomājis jauna mašīna viņu nāvei”. Milzīgs ir arī Arhimēda ieguldījums matemātikas attīstībā. Arhimēda spirāle (sk. Spirāles), ko apraksta punkts, kas pārvietojas pa rotējošu apli, izcēlās no neskaitāmajām līknēm, kas zināmas viņa laikabiedriem. Nākamā kinemātiski noteiktā līkne, cikloīds, parādījās tikai 17. gadsimtā. Arhimēds iemācījās atrast pieskares savai spirālei (un viņa priekšgājēji ar to varēja zīmēt pieskares tikai konusveida sekcijām), atrada tās spoles laukumu, kā arī elipses laukumu, konusa virsmu un bumba, lodes tilpumi un sfēriskais segments. Viņš īpaši lepojās ar viņa atklātās sfēras un ap to aprakstītā cilindra tilpuma attiecību, kas ir 2:3 (sk. Ierakstītos un ierobežotos attēlus). Arhimēds arī daudz nodarbojās ar apļa kvadrātošanas problēmu (skat. Slavenās senatnes problēmas). Zinātnieks aprēķināja apkārtmēra attiecību pret diametru (skaitli) un atklāja, ka tā ir starp un. Viņa izveidotā metode figūras apkārtmēra un laukuma aprēķināšanai bija būtisks solis ceļā uz diferenciālrēķina un integrālskaitļa izveidi, kas parādījās tikai 2000 gadus vēlāk. Arhimēds arī atrada bezgalīgu summu ģeometriskā progresija ar saucēju. Matemātikā šis bija pirmais bezgalīgas sērijas piemērs. Svarīga loma matemātikas attīstībā bija viņa esejai "Psammits" - "Par smilšu graudu skaitu", kurā viņš parāda, kā, izmantojot esošo skaitļu sistēmu, var patvaļīgi izteikties. lieli cipari. Kā iemeslu savai argumentācijai viņš izmanto uzdevumu skaitīt smilšu graudu skaitu redzamajā visumā. Tādējādi tika atspēkots tolaik pastāvošais viedoklis par noslēpumaino "lielāko skaitļu" klātbūtni. |
Starp svarīgiem jēdzieniem, ko ievieš aritmētika, jāatzīmē proporcijas un procenti. Lielākā daļa aritmētikas jēdzienu un metožu ir balstīti uz dažādu skaitļu attiecību salīdzināšanu. Matemātikas vēsturē aritmētikas un ģeometrijas sapludināšanas process notika daudzu gadsimtu garumā.
Var skaidri izsekot aritmētikas "ģeometrizācijai": sarežģīti noteikumi un modeļiem izteikts ar formulām, kļūst skaidrāki, ja ir iespējams tos attēlot ģeometriski. Svarīga loma pašā matemātikā un tās pielietojumos ir apgrieztajam procesam - vizuālās, ģeometriskās informācijas tulkošanai skaitļu valodā (skat. Grafiskie aprēķini). Šis tulkojums ir balstīts uz franču filozofa un matemātiķa R. Dekarta ideju par plaknes punktu definīciju pēc koordinātām. Protams, šī ideja tika izmantota jau pirms viņa, piemēram, jūrlietās, kad bija jānosaka kuģa atrašanās vieta, kā arī astronomijā un ģeodēzijā. Bet tieši no Dekarta un viņa studentiem nāk konsekventa koordinātu valodas lietošana matemātikā. Un mūsdienās, pārvaldot sarežģītus procesus (piemēram, kosmosa kuģa lidojumu), viņi dod priekšroku tam, lai visa informācija būtu skaitļu veidā, ko apstrādā dators. Ja nepieciešams, iekārta palīdz cilvēkam pārtulkot uzkrāto skaitlisko informāciju zīmējuma valodā.
Jūs redzat, ka, runājot par aritmētiku, mēs vienmēr pārsniedzam tās robežas - algebrā, ģeometrijā un citās matemātikas nozarēs.
Kā iezīmēt pašas aritmētikas robežas?
Kādā nozīmē tiek lietots šis vārds?
Vārdu "aritmētika" var saprast šādi:
akadēmisks priekšmets, kas galvenokārt nodarbojas ar racionāliem skaitļiem (veseliem skaitļiem un daļskaitļiem), operācijām ar tiem un ar šo darbību palīdzību risinātajām problēmām;
matemātikas vēsturiskās ēkas daļa, kurā uzkrājusies dažāda informācija par aprēķiniem;
"teorētiskā aritmētika" - mūsdienu matemātikas daļa, kas nodarbojas ar dažādu skaitlisko sistēmu (dabisko, veselo skaitļu, racionālo, reālo, kompleksie skaitļi un to vispārinājumi);
"formālā aritmētika" - matemātiskās loģikas daļa (sk. Matemātiskā loģika), kas nodarbojas ar aritmētikas aksiomātiskās teorijas analīzi;
"augstākā aritmētika" jeb skaitļu teorija, patstāvīgi attīstoša matemātikas daļa.
Matemātika sākas ar aritmētiku. Ar aritmētiku mēs ieejam, kā teica M. V. Lomonosovs, “mācību vārtos”.
Vārds "aritmētika" cēlies no grieķu valodas arithmos, kas nozīmē "skaitlis". Šī zinātne pēta darbības ar skaitļiem, dažādus noteikumus, kā rīkoties ar tiem, māca jums, kā atrisināt problēmas, kas ir saistītas ar skaitļu saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Aritmētika bieži tiek iztēlota kā kaut kāds pirmais solis matemātikā, uz kura pamata iespējams pētīt tās sarežģītākas sadaļas – algebru, matemātisko analīzi utt.Aritmētika radās Seno Austrumu valstīs: Babilonā, Ķīnā, Indijā, Ēģiptē. Piemēram, Ēģiptes papiruss Rinda (nosaukts tā īpašnieka G. Rindas vārdā) datēts ar 20. gs. BC e.
Seno Austrumu valstīs uzkrātos matemātisko zināšanu dārgumus izstrādāja un turpināja Senās Grieķijas zinātnieki. Vēsture mums ir saglabājusi daudzus zinātnieku vārdus, kas nodarbojās ar aritmētiku antīkajā pasaulē - Anaksagors un Zenons, Eiklīds, Arhimēds, Eratostens un Diofants. Pitagora vārds (VI gs. p.m.ē.) šeit mirdz kā spoža zvaigzne. Pitagorieši pielūdza skaitļus, uzskatot, ka tajos ir visa pasaules harmonija. Atsevišķiem numuriem un skaitļu pāriem tika piešķirtas īpašas īpašības. Cipari 7 un 36 bija lielā cieņā, tajā pašā laikā tika pievērsta uzmanība tā saucamajiem ideālajiem skaitļiem, draudzīgajiem skaitļiem utt.
Viduslaikos aritmētikas attīstība ir saistīta arī ar Austrumiem: Indiju, arābu pasaules valstīm un Vidusāziju. No indiešiem pie mums nāca skaitļi, kurus mēs lietojam, nulle un pozicionālā skaitļu sistēma; no al-Kashi (XV gs.), Ulugbek - decimāldaļas.
Pateicoties tirdzniecības attīstībai un austrumu kultūras ietekmei kopš XIII gs. pieaugošā interese par aritmētiku Eiropā. Jāatceras itāļu zinātnieka Leonardo no Pizas (Fibonači) vārds, kura darbs "Abaka grāmata" iepazīstināja eiropiešus ar galvenajiem Austrumu matemātikas sasniegumiem un bija sākums daudziem aritmētikas un algebras pētījumiem.
Kopā ar poligrāfijas izgudrojumu (15. gs. vidus) parādījās pirmās drukātās matemātiskās grāmatas. Pirmā drukātā aritmētikas grāmata tika izdota Itālijā 1478. gadā. Vācu matemātiķa M. Stīfela (16. gs. sākums) Pilnajā aritmētikā jau ir negatīvi skaitļi un pat doma par logaritmu.
Ap 16.gs tīri aritmētisku jautājumu izstrāde ieplūda algebras pamatplūsmā, kā nozīmīgu pavērsienu var atzīmēt franču zinātnieka F. Vietas darbu parādīšanos, kuros skaitļi apzīmēti ar burtiem. Kopš tā laika aritmētikas pamatlikumi ir pilnībā izprasti no algebras viedokļa.
Aritmētikas pamatobjekts ir skaitlis. Naturālie skaitļi, t.i. skaitļi 1, 2, 3, 4, ... utt., radās, skaitot konkrētus priekšmetus. Pagāja daudzas tūkstošgades, līdz cilvēks uzzināja, ka divi fazāni, divas rokas, divi cilvēki utt. var saukt to pašu vārdu "divi". Svarīgs aritmētikas uzdevums ir iemācīties pārvarēt saskaitīto objektu nosaukumu specifisko nozīmi, novērst uzmanību no to formas, izmēra, krāsas utt. Aritmētikā skaitļus saskaita, atņem, reizina un dala. Māksla ātri un precīzi veikt šīs darbības ar jebkuriem skaitļiem jau sen tiek uzskatīta par svarīgāko aritmētikas uzdevumu.Aritmētiskām darbībām ar skaitļiem ir dažādas īpašības. Šīs īpašības var raksturot ar vārdiem, piemēram: “Summa nemainās, mainoties terminu vietām”, var rakstīt ar burtiem: a + b \u003d b + a, var izteikt īpašos terminos.
Starp svarīgiem jēdzieniem, ko ievieš aritmētika, jāatzīmē proporcijas un procenti. Lielākā daļa aritmētikas jēdzienu un metožu ir balstīti uz dažādu skaitļu attiecību salīdzināšanu. Matemātikas vēsturē aritmētikas un ģeometrijas sapludināšanas process notika daudzu gadsimtu garumā.
Vārdu "aritmētika" var saprast šādi:
akadēmisks priekšmets, kas galvenokārt nodarbojas ar racionāliem skaitļiem (veseliem skaitļiem un daļskaitļiem), operācijām ar tiem un ar šo darbību palīdzību risinātajām problēmām;
matemātikas vēsturiskās ēkas daļa, kurā uzkrājusies dažāda informācija par aprēķiniem;
"teorētiskā aritmētika" - mūsdienu matemātikas daļa, kas nodarbojas ar dažādu skaitlisko sistēmu (dabisko, veselo skaitļu, racionālo, reālo, komplekso skaitļu un to vispārinājumu) konstruēšanu;
"formālā aritmētika" - matemātiskās loģikas daļa, kas nodarbojas ar aritmētikas aksiomātiskās teorijas analīzi;
"augstākā aritmētika" jeb skaitļu teorija, patstāvīgi attīstoša matemātikas daļa Un
/Jaunā matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca, 1989/
Popova L.A. 1
Koškins I.A. 1
1 Pašvaldības budžeta izglītības iestāde "Izglītības centrs - 1.ģimnāzija"
Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā
Ievads
Atbilstība. Garīgā aritmētika tagad gūst lielu popularitāti. Pateicoties jaunām mācību metodēm, bērni ātri apgūst jaunu informāciju, attīsta savu radošais potenciāls iemācīties risināt sarežģītus matemātikas uzdevumi garīgi, neizmantojot kalkulatoru.
Mentālā aritmētika ir unikāla metode prāta spēju attīstīšanai bērniem vecumā no 4 līdz 16 gadiem, pamatojoties uz prāta skaitīšanas sistēmu. Mācoties ar šo paņēmienu, bērns var dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuru aritmētisku uzdevumu (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, aprēķināšana kvadrātsakne cipari) garīgi ātrāk nekā izmantojot kalkulatoru.
Darba mērķis:
Uzziniet garīgās aritmētikas vēsturi
Parādiet, kā jūs varat izmantot abacus, risinot matemātiskos uzdevumus
Analizēt, kādas ir citas alternatīvas aprēķina metodes, kas vienkāršo aprēķinu un padara to izklaidējošu
Hipotēze:
Pieņemsim, ka aritmētika var būt izklaidējoša un vienkārša, to var aprēķināt daudz ātrāk un produktīvāk, izmantojot prāta aritmētikas metodes un dažādus trikus.
Nodarbības ar ķīniešu kontiem pozitīvi ietekmē atmiņu, kas atspoguļojas asimilācijā izglītojošs materiāls. Tas attiecas uz dzejas un prozas, teorēmu, dažādu matemātisko likumu, svešvārdu, tas ir, liela informācijas apjoma, iegaumēšanu.
Pētījuma metodes: interneta meklēšana, literatūras izpēte, praktiskais darbs par abakusa apgūšanu, piemēru risināšanu ar abaka palīdzību,
Studiju izpildes plāns:
Studēt aritmētikas vēstures literatūru no paša sākuma
Ieskicējiet skaitļošanas principus uz abakusa
Analizēt, kā notiek prāta aritmētikas nodarbības, un izdarīt secinājumus no manām nodarbībām
Uzziniet ieguvumus un analizējiet iespējamās grūtības garīgajā kontā
Parādiet, kādus citus veidus aprēķināt aritmētikā
1. nodaļa. Aritmētikas attīstības vēsture
Aritmētika radās Seno Austrumu valstīs: Babilonā, Ķīnā, Indijā, Ēģiptē. Nosaukums "aritmētika" cēlies no grieķu vārda "aritmoss" - skaitlis.
Aritmētika pēta skaitļus un darbības ar skaitļiem, dažādus noteikumus, kā rīkoties ar tiem, māca atrisināt uzdevumus, kas reducējas uz skaitļu saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu.
Aritmētikas rašanās ir saistīta ar cilvēku darba aktivitāti un sabiedrības attīstību.
Matemātikas nozīme Ikdiena persona. Bez skaitīšanas, bez iespējas pareizi saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt, attīstība nav iedomājama. cilvēku sabiedrība. Četras aritmētiskās darbības, mutvārdu un rakstisku aprēķinu noteikumus, mēs izpētām, sākot ar pamatskola. Visus šos noteikumus nav izdomājusi vai atklājusi neviena persona. Aritmētika radās no cilvēku ikdienas dzīves.
1.1 Pirmās skaitīšanas ierīces
Cilvēki jau sen ir mēģinājuši atvieglot savu kontu, izmantojot dažādus līdzekļus un ierīces. Pirmā, senākā "rēķina mašīna" bija roku un kāju pirksti. Ar šo vienkāršo ierīci pilnīgi pietika – piemēram, lai saskaitītu visas cilts nogalinātos mamutus.
Tad bija tirdzniecība. Un senie tirgotāji (Babilonijas un citas pilsētas) veica aprēķinus, izmantojot graudus, oļus un gliemežvākus, kurus viņi sāka izlikt uz īpašas tāfeles, ko sauca par abaku.
Abakusa analogs senā Ķīna bija skaitīšanas ierīce "su-anpan", Tā ir neliela iegarena kaste, kas sadalīta gareniski nevienādās daļās ar starpsienām. Pāri kastei ir zari, uz kuriem ir savērtas bumbiņas.
Japāņi neatpalika no ķīniešiem un, izmantojot viņu piemēru, 16. gadsimtā radīja paši savu skaitīšanas ierīci - sorobanu. No ķīniešu tas atšķīrās ar to, ka ierīces augšējā nodalījumā atradās pa vienai bumbiņai, savukārt ķīniešu versijā tās bija divas.
Krievu abakuss pirmo reizi parādījās Krievijā 16. gadsimtā. Tie bija dēlis, uz kura bija novilktas paralēlas līnijas. Vēlāk dēļa vietā sāka izmantot rāmi ar stieplēm un kauliem.
1.2 Abacus
Apmēram ceturtajā gadsimtā pirms mūsu ēras tika izgudrota pirmā skaitīšanas ierīce. Tās radītājs ir zinātnieks Abacus, un ierīce tika nosaukta viņa vārdā. Tas izskatījās šādi: māla plāksne ar rievām, kurās tika ievietoti akmeņi, kas apzīmē skaitļus. Viena rieva bija paredzēta vienībām, bet otra desmitiem.
Vārds "abakuss" (abakuss) nozīmē rezultātu tablo.
Apskatīsim mūsdienu abakusu...
Lai uzzinātu, kā lietot kontus, jums jāzina, kas tie ir.
Konti sastāv no:
sadalīšanas līnija;
augšējie kauli;
apakšējie kauli.
Vidū ir centra punkts. Augšējie kauli apzīmē pieciniekus, bet apakšējie - vieniniekus. Katra vertikālā kaulu sloksne, sākot no labās puses uz kreiso pusi, apzīmē vienu no skaitļu cipariem:
desmitiem tūkstošu utt.
Piemēram, lai atliktu piemēru: 9 - 4=5, jums ir jāpārvieto augšējais kauls pirmajā rindā pa labi (tas nozīmē piecus) un jāpaceļ 4 apakšējie kauli. Pēc tam nolaidiet 4 apakšējos kaulus. Tātad mēs iegūstam vajadzīgo skaitli 5.
2. nodaļa. Kas ir garīgā aritmētika?
mentālā aritmētika ir garīgo spēju attīstīšanas metode bērniem vecumā no 4 līdz 14 gadiem. Mentālās aritmētikas pamats ir abacus score. Tā radās senajā Japānā pirms vairāk nekā 2000 gadiem. Bērns ar abām rokām skaita uz abaku, veicot aprēķinus divreiz ātrāk. Kontos ne tikai saskaitiet un atņemiet, bet arī iemācieties reizināt un dalīt.
mentalitāte - tās ir cilvēka garīgās spējas.
Matemātikas stundās attīstās tikai kreisā smadzeņu puslode, kas atbild par loģiskā domāšana, un tiesības attīsta tādi priekšmeti kā literatūra, mūzika, zīmēšana. Ir īpašas apmācības metodes, kuru mērķis ir attīstīt abas puslodes. Zinātnieki saka, ka panākumus gūst tie cilvēki, kuriem ir pilnībā attīstījušās abas smadzeņu puslodes. Daudziem cilvēkiem ir vairāk attīstīta kreisā puslode un mazāk attīstīta labā.
Pastāv pieņēmums, ka garīgā aritmētika ļauj izmantot abas puslodes, veicot dažādas sarežģītības aprēķinus.
Abakusa izmantošana liek kreisajai puslodei strādāt – attīstās smalkās motorikas un ļauj bērnam vizuāli redzēt skaitīšanas procesu.
Prasmes tiek apmācītas pakāpeniski, pārejot no vienkāršas uz sarežģītu. Rezultātā līdz programmas beigām bērns var garīgi saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt trīs un četru ciparu skaitļus.
Papildus piemēru risināšanai, neizmantojot piezīmes un melnrakstus, garīgā aritmētika ļauj:
uzlabot mācību sasniegumus dažādos mācību priekšmetos skolā;
dažādot no matemātikas līdz mūzikai;
ātrāk apgūt svešvalodas;
kļūt aktīvākam un neatkarīgākam;
attīstīt līdera īpašības;
esi pārliecināts.
iztēle: nākotnē saikne ar kontiem tiek vājināta, kas ļauj veikt aprēķinus prātā, strādāt ar iedomātiem kontiem;
skaitļa attēlojums tiek uztverts nevis objektīvi, bet tēlaini, skaitļa tēls veidojas kaulu kombināciju attēla formā;
novērošana;
dzirde, metode aktīva klausīšanās uzlabo klausīšanās prasmes;
uzmanības koncentrācija, kā arī uzmanības sadalījums palielinās: vienlaicīga iesaistīšanās vairāku veidu domāšanas procesos.
Garīgās aritmētikas praktizēšana nav tieša matemātisko prasmju apmācība. Ātrā skaitīšana ir tikai līdzeklis un domāšanas ātruma rādītājs, bet ne pašmērķis. Mentālās aritmētikas mērķis ir intelektuālo un radošo spēju attīstība, un tas noderēs topošajiem matemātiķiem un humanitārajām zinātnēm. Taču jābūt gatavam tam, ka jau pašā treniņu sākumā būs jāpieliek pietiekami daudz pūļu, centības, neatlaidības un vērīguma. Aprēķinos var būt kļūdas - tāpēc nesteidzieties.
3. nodaļa. Nodarbības prāta aritmētikas skolā.
Visa programma mutiskās skaitīšanas attīstībai ir balstīta uz divu posmu secīgu pāreju.
Pirmajā no tām notiek aritmētisko operāciju veikšanas tehnikas iepazīšanās un apgūšana, izmantojot kaulus, kuras laikā vienlaikus tiek iesaistītas divas rokas. Savā darbā bērns izmanto abacus. Šis vienums ļauj viņam absolūti brīvi atņemt un reizināt, pievienot un dalīt, aprēķināt kvadrātveida un kuba saknes.
Otrā posma laikā studentiem tiek mācīta skaitīšana prātā, kas tiek veikta prātā. Bērns pārstāj būt nemitīgi piesaistīts abakam, kas arī rosina viņa iztēli. Bērnu kreisās puslodes uztver skaitļus, bet labās puslodes uztver pirkstu locītavas. Tas ir garīgās skaitīšanas metodes pamatā. Smadzenes sāk strādāt ar iedomātu abaku, vienlaikus uztverot skaitļus attēlu veidā. Matemātiskā aprēķina veikšana ir saistīta ar kaulu kustību.
Galvā aritmētikā tiek izmantotas vairāk nekā 20 formulas aprēķiniem (tuvi radinieki, palīdzība no brāļa, palīdzība no drauga utt.), kas jāatceras.
Piemēram, Brāļi prāta aritmētikā ir divi skaitļi, kuru saskaitīšana dod pieci.
Kopā ir 5 brāļi.
1+4 = 5 brālis 1-4 4+1 = 5 brālis 4-1
2+3 = 5 brālis 2-3 5+0 = 5 brālis 5-0
3+2 = 5 brālis 3–2
Draugi garīgajā aritmētikā ir divi skaitļi, kas summējas desmit.
Tikai 10 draugi.
1+9 = 10 Draugs 1-9 6+4 = 10 Draugs 4-6
2+8 = 10 Draugs 2-8 7+3 = 10 Draugs 7-3
3+7 = 10 Draugs 3-7 8+2 = 10 Draugs 8-2
4+6 = 10 Draugs 4-6 9-1 = 10 Draugs 9-1
5+5 = 10 Draugs 5-5
4. nodaļa. Manas mācības prāta aritmētikā.
Izmēģinājuma nodarbībā skolotāja mums rādīja abacus, īsi pastāstīja kā tos lietot un pašu skaitīšanas principu.
Nodarbībā notika garīgā iesildīšanās. Un vienmēr bija pārtraukumi, kur varējām nedaudz uzkost, iedzert ūdeni vai uzspēlēt spēles. Mājās mums vienmēr iedeva lapas ar piemēriem, priekš patstāvīgs darbs Mājas. Trenējos arī speciālā programmā, kur tika palaisti piemēri - monitorā tie mirgoja dažādos ātrumos.
Pašā apmācības sākumā es:
Iepazīstieties ar kontiem. Iemācījos pareizi lietot rokas skaitot: ar abu roku īkšķi paceļam uz abakusa, ar rādītājpirkstiem nolaižam dūres.
Laika gaitā es:
Iemācījos skaitīt divpakāpju piemērus ar desmitiem. Desmitnieki atrodas uz otrās adatas no malas labās puses. Skaitot ar desmitiem, jau lietojam kreisās rokas īkšķi un rādītājpirkstu. Šeit tehnika ir tāda pati kā ar labo roku: mēs to paceļam ar lielo, nolaižam ar savu indeksu.
3. studiju mēnesī:
Abacus izmantoju, lai atrisinātu atņemšanas un saskaitīšanas piemērus ar vienībām un desmitiem - trīspakāpju.
Atrisiniet atņemšanas un saskaitīšanas piemērus ar tūkstošdaļām - divpakāpju
Tālāk:
Iepazīstieties ar domu karti. Skatoties uz karti, man nācās garīgi kustināt pirkstus un redzēt atbildi.
Es strādāju 2 stundas nedēļā un 5-10 minūtes dienā viena pati 4 mēnešus.
|
Pirmais apmācības mēnesis |
ceturtais mēnesis |
|
1. Es rēķinos ar 1 lapu (30 piemēri no 3 terminiem) |
|
|
2. Es prātā saskaitu 30 piemērus (katrs 5-7 termini) |
|
|
3. Es mācos dzejoli (3. četrrindes) |
|
|
4. Izpilde mājasdarbs(matemātika: viena problēma, 10 piemēri) |
|
|
Skaitļi radās nepieciešamības skaitīt un mērīt, un tie ir izgājuši ilgu vēsturiskās attīstības ceļu. Bija laiks, kad cilvēki nemācēja saskaitīt. Lai salīdzinātu galīgās kopas, tika izveidota atbilstība viens pret vienu starp šīm kopām vai starp vienu no kopām un citas kopas apakškopu, t.i. šajā posmā cilvēks uztvēra objektu skaitu, tos nepārrēķinot. Piemēram, par divu objektu grupas lielumu viņš varētu teikt: “Tāds pats roku skaits ir cilvēkam”, par piecu objektu kopu – “tik daudz, cik pirkstu ir uz rokas”. Izmantojot šo metodi, salīdzinātajām kopām bija jābūt vienlaikus redzamām. Ļoti ilgas attīstības rezultātā cilvēks nonāca nākamajā naturālo skaitļu radīšanas posmā – kopu salīdzināšanai sāka izmantot starpkopas: mazus oļus, gliemežvākus, pirkstus. Šīs starpkopas jau atspoguļoja koncepcijas pamatus dabiskais skaitlis, lai gan šajā posmā skaitlis netika atdalīts no saskaitītajiem objektiem: tas bija, piemēram, apmēram pieci oļi, pieci pirksti, nevis vispār par skaitli "pieci". Lai noteiktu ar tiem salīdzināto kopu skaitu, sāka izmantot starpnieku kopu nosaukumus. Tātad dažu cilšu vidū piecu elementu komplekta numurs tika apzīmēts ar vārdu "roka", bet 20 priekšmetu komplekta numurs - ar vārdiem "viss cilvēks". Tikai pēc tam, kad cilvēks ir iemācījies darboties ar starpnieku komplektiem, viņš ir konstatējis to parasto lietu, kas pastāv, piemēram, starp pieciem pirkstiem un pieciem āboliem, t.i. kad notika abstrakcija no starpkopu elementu būtības, radās ideja par naturālu skaitli. Šajā posmā, skaitot, piemēram, ābolus, netika uzskaitīti “viens ābols”, “divi āboli” utt., bet gan tika izrunāti vārdi “viens”, “divi” utt. Tas bija pagrieziena punkts skaitļa jēdziena izstrādē. Vēsturnieki uzskata, ka tas notika akmens laikmetā, primitīvās komunālās sistēmas laikmetā, aptuveni 10-5 tūkstošgadē pirms mūsu ēras. Laika gaitā cilvēki iemācījās ne tikai nosaukt skaitļus, bet arī tos apzīmēt, kā arī veikt darbības ar tiem. Kopumā dabiskā skaitļu sērija neradās uzreiz, tās veidošanās vēsture ir gara. Skaitļu krājums, kas tika izmantots, saglabājot rezultātu, pakāpeniski palielinājās. Pamazām attīstījās arī naturālo skaitļu kopas bezgalības jēdziens. Tātad darbā “Psammit” - smilšu graudu aprēķins - sengrieķu matemātiķis Arhimēds (III gadsimts pirms mūsu ēras) parādīja, ka skaitļu sēriju var turpināt bezgalīgi, un aprakstīja metodi patvaļīgi lielu lielumu veidošanai un verbālai apzīmēšanai. cipariem. Dabiskā skaitļa jēdziena rašanās bija vissvarīgākais brīdis matemātikas attīstībā. Bija iespējams izpētīt šos skaitļus neatkarīgi no tiem. konkrētus uzdevumus, saistībā ar kuriem tie radās. Teorētiskā zinātne, kas sāka pētīt skaitļus un darbības ar tiem, tika saukta par "aritmētiku". Vārds "aritmētika" nāk no grieķu valodas aritmoss, ko nozīmē “skaitlis”. Tāpēc aritmētika ir skaitļu zinātne. Aritmētika radās Seno Austrumu valstīs: Babilonijā. Ķīna. Indija un Ēģipte. Šajās valstīs uzkrātās matemātikas zināšanas attīstīja un turpināja Senās Grieķijas zinātnieki. Viduslaikos lielu ieguldījumu aritmētikas attīstībā sniedza Indijas, arābu pasaules un Vidusāzijas valstu matemātiķi, bet, sākot ar 13. gadsimtu, arī Eiropas zinātnieki. Termins "dabiskais skaitlis" pirmo reizi tika lietots 5. gadsimtā. romiešu zinātnieks A. Boetijs, kurš pazīstams kā slavenu pagātnes matemātiķu darbu tulkotājs Latīņu valoda un kā autors grāmatai "Par ievadu aritmētikā", kas līdz 16. gadsimtam bija paraugs visai Eiropas matemātikai. 19. gadsimta otrajā pusē naturālie skaitļi kļuva par visa pamatu matemātikas zinātne, no kura stāvokļa bija atkarīgs visas matemātikas ēkas stiprums. Šajā sakarā radās nepieciešamība pēc naturālā skaitļa jēdziena stingra loģiska pamatojuma, ar to saistītā sistematizēšanas. Tā kā 19. gadsimta matemātika pievērsās savu teoriju aksiomātiskajai konstruēšanai, tika izstrādāta naturālā skaitļa aksiomātiskā teorija. Liela ietekme uz naturālā skaitļa būtības izpēti bija arī 19. gadsimtā radītajai kopu teorijai. Protams, radītajās teorijās naturālo skaitļu jēdzieni un darbības ar tiem ir kļuvuši abstraktāki, taču tas vienmēr pavada atsevišķu faktu vispārināšanas un sistematizācijas procesu. § 14. DABISKO SKAITĻU SISTĒMAS AKSIOMĀTISKĀ KONSTRUKCIJA Kā jau minēts, naturālos skaitļus iegūst, skaitot objektus un mērot lielumus. Bet, ja mērījuma laikā parādās skaitļi, kas nav dabiskie, tad aprēķins ved tikai uz naturāliem skaitļiem. Lai turpinātu skaitīt, ir nepieciešama skaitļu virkne, kas sākas ar vienu un ļauj Jūs varētu interesēt | |
