Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums.
Jebkura sarežģītības līmeņa trigonometrisko vienādojumu risinājums galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā gadījumā trigonometriskais aplis atkal izrādās labākais palīgs.
Atgādiniet kosinusa un sinusa definīcijas.
Leņķa kosinuss ir vienības apļa punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.
Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.
Pozitīvs kustības virziens trigonometriskais aplis tiek uzskatīta kustība pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)
Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.
1. Atrisiniet vienādojumu
Šo vienādojumu apmierina visas tādas griešanās leņķa vērtības, kas atbilst apļa punktiem, kuru ordināta ir vienāda ar .
Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz y ass:
Novelciet horizontālu līniju paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:
Ja mēs, atstājot punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas ir, šis griešanās leņķis apmierina arī mūsu vienādojumu. Mēs varam veikt tik daudz "tukšgaitas" pagriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. "Tukšgaitas" apgriezienu skaits tiek apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai ) var iegūt jebkuras veselas vērtības.
Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:
, , - veselu skaitļu kopa (1)
Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:
, Kur,. (2)
Kā jūs uzminējāt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir apļa punkts, kas atbilst griešanās leņķim par .
Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:
Ja mēs uzņemsim šo ierakstu (tas ir, pat), tad mēs iegūsim pirmo risinājumu sēriju.
Ja mēs ņemam vērā šo ierakstu (tas ir, nepāra), tad mēs iegūsim otro risinājumu sēriju.
2. Tagad atrisināsim vienādojumu
Tā kā vienības apļa punkta abscisa ir iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam uz ass punktu ar abscisu:
Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem. Atgādiniet, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:
Mēs pierakstām divas risinājumu sērijas:
,
,
(Mēs nokļūstam pareizajā punktā, izejot no galvenā pilna apļa, tas ir.
Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:
3. Atrisiniet vienādojumu
Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības apļa paralēli OY asij
Atzīmējiet uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas ir 1):
Savienojiet šo punktu ar izcelsmi ar taisnu līniju un atzīmējiet līnijas krustošanās punktus ar vienības apli. Līnijas un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un :
Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:
4. Atrisiniet vienādojumu
Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām paralēli asij.
Mēs atzīmējam punktu ar abscisu -1 uz kotangentu līnijas:
Savienojiet šo punktu ar taisnes sākuma punktu un turpiniet to, līdz tas krustojas ar apli. Šī līnija krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:
Tā kā šie punkti ir atdalīti viens no otra ar attālumu, kas vienāds ar , tad šī vienādojuma vispārējo risinājumu varam uzrakstīt šādi:
Dotajos piemēros, ilustrējot vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu, tika izmantotas trigonometrisko funkciju tabulas vērtības.
Tomēr, ja vienādojuma labajā pusē ir vērtība, kas nav tabula, tad mēs aizstājam vērtību vienādojuma vispārējā risinājumā:
ĪPAŠI RISINĀJUMI:
Atzīmējiet punktus uz apļa, kura ordināta ir 0:
Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar 1:
Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar -1:
Tā kā ir ierasts norādīt vērtības, kas ir vistuvākās nullei, mēs rakstām risinājumu šādi:
Atzīmējiet punktus uz apļa, kura abscisa ir 0:
5.
Atzīmēsim uz apļa vienu punktu, kura abscisa ir vienāda ar 1:
Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura abscisa ir vienāda ar -1:
Un daži sarežģītāki piemēri:
1.
Sinuss ir viens, ja arguments ir
Mūsu sinusa arguments ir , tāpēc mēs iegūstam:
Sadaliet abas vienādojuma puses ar 3:
Atbilde:
2.
Kosinuss ir nulle, ja ir kosinuss
Mūsu kosinusa arguments ir , tāpēc mēs iegūstam:
Mēs izsakām , šim nolūkam vispirms virzāmies pa labi ar pretējo zīmi:
Vienkāršojiet labo pusi:
Sadaliet abas daļas ar -2:
Ņemiet vērā, ka zīme pirms vārda nemainās, jo k var iegūt jebkuras veselas vērtības.
Atbilde:
Un noslēgumā noskatieties video pamācību "Sakņu izvēle trigonometriskā vienādojumā, izmantojot trigonometrisko apli"
Ar to noslēdzas saruna par vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanu. Nākamreiz runāsim par to, kā atrisināt.
Nepieciešamas zināšanas par trigonometrijas pamatformulām - sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pieskares izteiksmi caur sinusu un kosinusu un citām. Tiem, kas tos ir aizmirsuši vai nezina, iesakām izlasīt rakstu "".
Tātad galvenais trigonometriskās formulas mēs zinām, ka ir pienācis laiks tās pielietot praksē. Trigonometrisko vienādojumu risināšana plkst pareizā pieeja- diezgan aizraujoša nodarbe, kā, piemēram, Rubika kuba risināšana.
Pamatojoties uz pašu nosaukumu, ir skaidrs, ka trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir tā sauktie vienkāršie trigonometriskie vienādojumi. Lūk, kā tie izskatās: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Apsveriet, kā atrisināt šādus trigonometriskos vienādojumus, skaidrības labad izmantosim jau pazīstamo trigonometrisko apli.
sinx = a
cos x = a
iedegums x = a
gultiņa x = a
Jebkurš trigonometriskais vienādojums tiek atrisināts divos posmos: vienādojumu veido visvienkāršākajā formā un pēc tam atrisinām kā vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Ir 7 galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
Mainīgo aizstāšana un aizstāšanas metode
Trigonometrisko vienādojumu risināšana, izmantojot faktorizēšanu
Reducēšana uz homogēnu vienādojumu
Vienādojumu risināšana, pārejot uz pusleņķi
Palīgleņķa ieviešana
Atrisiniet vienādojumu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0
Izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam:
2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0
Vienkāršības labad aizstāsim cos(x + /6) ar y un iegūsim parasto kvadrātvienādojumu:
2 g 2 – 3 g + 1 + 0
Kuru saknes y 1 = 1, y 2 = 1/2
Tagad iesim atpakaļ
Mēs aizvietojam atrastās y vērtības un iegūstam divas atbildes:
Kā atrisināt vienādojumu sin x + cos x = 1?
Pārvietosim visu pa kreisi, lai 0 paliktu labajā pusē:
sin x + cos x - 1 = 0
Mēs izmantojam iepriekš minētās identitātes, lai vienkāršotu vienādojumu:
sin x — 2 sin 2 (x/2) = 0
Veiksim faktorizēšanu:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Mēs iegūstam divus vienādojumus
Vienādojums ir viendabīgs attiecībā pret sinusu un kosinusu, ja visi tā noteikumi attiecībā uz sinusu un kosinusu ir vienādās vienādības leņķa pakāpēs. Lai atrisinātu homogēnu vienādojumu, rīkojieties šādi:
a) pārnes visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;
b) izlikt visus izplatītos faktorus iekavās;
c) visus faktorus un iekavas pielīdzina 0;
d) saņemti iekavās viendabīgs vienādojums mazākā pakāpē tas savukārt tiek sadalīts sinusā vai kosinusā augstākā pakāpē;
e) atrisiniet iegūto vienādojumu tg.
Atrisiniet vienādojumu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Izmantosim formula grēks 2 x + cos 2 x = 1 un atbrīvojieties no atvērtajiem diviem labajā pusē:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Sadaliet ar cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Mēs aizstājam tg x ar y un iegūstam kvadrātvienādojumu:
y 2 + 4y +3 = 0, kuras saknes ir y 1 = 1, y 2 = 3
Šeit mēs atrodam divus sākotnējā vienādojuma risinājumus:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Atrisiniet vienādojumu 3sin x - 5cos x = 7
Pārejam pie x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Pārbīdot visu pa kreisi:
2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Dalīt ar cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0
Apsvēršanai ņemsim formas vienādojumu: a sin x + b cos x \u003d c,
kur a, b, c ir daži patvaļīgi koeficienti un x ir nezināms.
Sadaliet abas vienādojuma puses ar:
Tagad vienādojuma koeficientiem pēc trigonometriskām formulām ir sin un cos īpašības, proti: to modulis nav lielāks par 1 un kvadrātu summa = 1. Apzīmēsim tos attiecīgi kā cos un sin, kur ir so - sauc par palīgleņķi. Tad vienādojumam būs šāda forma:
cos * sin x + grēks * cos x \u003d C
vai sin(x + ) = C
Šī vienkāršā trigonometriskā vienādojuma risinājums ir
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kur
Jāņem vērā, ka apzīmējumi cos un sin ir savstarpēji aizstājami.
Atrisiniet vienādojumu sin 3x - cos 3x = 1
Šajā vienādojumā koeficienti ir:
a \u003d, b \u003d -1, tāpēc abas daļas sadalām ar \u003d 2
Risinot daudzas matemātikas uzdevumi , īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādi uzdevumi ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumi, lineāra un kvadrātveida nevienādības, daļvienādojumi un vienādojumi, kas reducējas līdz kvadrātvienādojumiem. Katra no minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jānoskaidro, kādam tipam pieder risināmā problēma, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.
Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risinājuma posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.
Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.
Autors izskats vienādojumiem dažreiz ir grūti noteikt tā veidu. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:
1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu pielīdzināt "pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.
Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem
Risinājuma shēma
1. darbība. izteikt trigonometriskā funkcija caur zināmām sastāvdaļām.
2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.
iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.
Piemērs.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Risinājums.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Mainīga aizstāšana
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.
2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).
3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.
4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.
5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Piemērs.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Risinājums.
1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.
4) grēks (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Vienādojuma secības samazināšanas metode
Risinājuma shēma
1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:
grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.
Piemērs.
cos2x + cos2x = 5/4.
Risinājums.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogēni vienādojumi
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā
a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)
vai uz skatu
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).
2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
un iegūstiet tg x vienādojumu:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Risinājums.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Ļaujiet tg x = t, tad
t 2 + 3 t - 4 = 0;
t = 1 vai t = -4, tātad
tg x = 1 vai tg x = -4.
No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas
Risinājuma shēma
1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, izveidojiet šo vienādojumu līdz vienādojumam, ko var atrisināt ar I, II, III, IV metodēm.
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Risinājums.
1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;
No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.
Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti 
svarīgi, ka to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.
Ar trigonometrisko vienādojumu risināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.
Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas procesā un personības veidošanā kopumā.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!
blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Risinot daudzas matemātikas uzdevumi, īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumus, lineārās un kvadrātvienādības, daļvienādojumus un vienādojumus, kas reducējas uz kvadrātvienādojumu. Katra no minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jānoskaidro, kādam tipam pieder risināmā problēma, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.
Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risinājuma posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.
Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.
Dažreiz ir grūti noteikt tā veidu pēc vienādojuma izskata. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:
1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu pielīdzināt "pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.
Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem
Risinājuma shēma
1. darbība. Izsakiet trigonometrisko funkciju zināmo komponentu izteiksmē.
2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.
iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.
Piemērs.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Risinājums.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Mainīga aizstāšana
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.
2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).
3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.
4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.
5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Piemērs.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Risinājums.
1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.
4) grēks (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Vienādojuma secības samazināšanas metode
Risinājuma shēma
1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:
grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.
Piemērs.
cos2x + cos2x = 5/4.
Risinājums.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogēni vienādojumi
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā
a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)
vai uz skatu
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).
2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
un iegūstiet tg x vienādojumu:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Risinājums.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Ļaujiet tg x = t, tad
t 2 + 3 t - 4 = 0;
t = 1 vai t = -4, tātad
tg x = 1 vai tg x = -4.
No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas
Risinājuma shēma
1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, izveidojiet šo vienādojumu līdz vienādojumam, ko var atrisināt ar I, II, III, IV metodēm.
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Risinājums.
1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;
No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.
Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti svarīgi, ka to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.
Ar trigonometrisko vienādojumu risināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.
Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas un personības attīstības procesā kopumā.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja vēlies eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.
Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, izstrāde telpiskā iztēle. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.
