Osová a středová symetrie. Symetrie kolem přímky

Pojem pohybu

Podívejme se nejprve na takový koncept, jako je pohyb.

Definice 1

Rovinné mapování se nazývá rovinný pohyb, pokud mapování zachovává vzdálenosti.

S tímto konceptem souvisí několik vět.

Věta 2

Trojúhelník při pohybu přechází ve stejný trojúhelník.

Věta 3

Jakákoli figura při pohybu přechází v figuru, která se jí rovná.

Osová a středová symetrie jsou příklady pohybu. Zvažme je podrobněji.

Osová symetrie

Definice 2

O bodech $A$ a $A_1$ říkáme, že jsou symetrické vzhledem k přímce $a$, pokud je tato přímka kolmá k úsečce $(AA)_1$ a prochází jejím středem (obr. 1).

Obrázek 1.

Zvažte osovou symetrii na příkladu úlohy.

Příklad 1

Sestrojte symetrický trojúhelník pro daný trojúhelník vzhledem k jakékoli jeho straně.

Řešení.

Dostaneme trojúhelník $ABC$. Sestrojíme jeho symetrii vzhledem ke straně $BC$. Strana $BC$ v případě osové symetrie půjde sama do sebe (vyplývá z definice). Bod $A$ přejde do bodu $A_1$ následovně: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Trojúhelník $ABC$ se změní na trojúhelník $A_1BC$ (obr. 2).

Obrázek 2

Definice 3

Obrazec se nazývá symetrický vzhledem k přímce $a$, pokud je každý symetrický bod tohoto obrazce obsažen na stejném obrazci (obr. 3).

Obrázek 3

Obrázek $3$ ukazuje obdélník. Má osovou souměrnost vzhledem ke každému jeho průměru a také vzhledem ke dvěma přímkám, které procházejí středy protilehlých stran daného obdélníku.

Středová symetrie

Definice 4

O bodech $X$ a $X_1$ se říká, že jsou symetrické vzhledem k bodu $O$, pokud je bod $O$ středem segmentu $(XX)_1$ (obr. 4).

Obrázek 4

Uvažujme středovou symetrii na příkladu problému.

Příklad 2

Sestrojte symetrický trojúhelník pro daný trojúhelník v kterémkoli z jeho vrcholů.

Řešení.

Dostaneme trojúhelník $ABC$. Sestrojíme jeho symetrii vzhledem k vrcholu $A$. Vrchol $A$ pod středovou symetrií půjde do sebe (vyplývá z definice). Bod $B$ půjde do bodu $B_1$ následovně $(BA=AB)_1$ a bod $C$ půjde do bodu $C_1$ následovně: $(CA=AC)_1$. Trojúhelník $ABC$ přechází do trojúhelníku $(AB)_1C_1$ (obr. 5).

Obrázek 5

Definice 5

Obrazec je symetrický vzhledem k bodu $O$, pokud je každý symetrický bod tohoto obrazce obsažen na stejném obrazci (obr. 6).

Obrázek 6

Obrázek $6$ ukazuje rovnoběžník. Má středovou symetrii kolem průsečíku svých úhlopříček.

Příklad úlohy.

Příklad 3

Dostaneme segment $AB$. Sestrojte její symetrii vzhledem k přímce $l$, která se neprotíná tento segment a vzhledem k bodu $C$ ležícímu na přímce $l$.

Řešení.

Pojďme si schematicky znázornit stav problému.

Obrázek 7

Nejprve znázorněme osovou souměrnost vzhledem k přímce $l$. Protože osová symetrie je pohyb, pak podle věty $1$ bude segment $AB$ mapován na segment $A"B"$, který je mu rovný. Abychom ji sestrojili, provedeme následující: body $A\ a\ B$ narýsujeme přímky $m\ a\ n$ kolmé na přímku $l$. Nechť $m\cap l=X,\n\cap l=Y$. Dále nakreslete segmenty $A"X=AX$ a $B"Y=BY$.

Postavení 8

Nyní znázorněme středovou symetrii vzhledem k bodu $C$. Protože centrální symetrie je pohyb, pak podle věty $1$ bude segment $AB$ mapován na segment $A""B""$, který je mu rovný. Abychom jej sestrojili, provedeme následující: nakreslíme čáry $AC\ a\ BC$. Dále nakreslete segmenty $A^("")C=AC$ a $B^("")C=BC$.

Obrázek 9

Symetrie já Symetrie (z řeckého symetria - proporcionalita)

v matematice

1) symetrie (v úzký smysl), nebo odraz (zrcadlení) vzhledem k rovině α v prostoru (vzhledem k přímé A na rovině), je transformací prostoru (roviny), ve kterém je každý bod M jde k věci M" tak, že segment MM" kolmá k rovině α (přímá A) a překrojte na polovinu. Rovina α (přímá A) se nazývá rovina (osa) C.

Odraz je příkladem ortogonální transformace (viz ortogonální transformace), která mění orientaci (viz orientace) (na rozdíl od vlastního pohybu). Jakákoli ortogonální transformace může být provedena sekvenčním prováděním konečného počtu odrazů - tato skutečnost hraje zásadní roli při studiu S. geometrické tvary.

2) Symetrie (v širokém slova smyslu) - vlastnost geometrického útvaru F, který charakterizuje určitou pravidelnost formy F, jeho neměnnost při působení pohybů a odrazů. Přesněji postava F má S. (symetrický), pokud existuje neidentická ortogonální transformace, která mapuje tento obrazec do sebe. Sada všech ortogonálních transformací, které kombinují postavu F sama se sebou je grupa (viz grupa) nazývaná grupa symetrie tohoto obrázku (někdy se tyto transformace samy nazývají symetrie).

Plochý obrazec, který se při odrazu promění v sebe, je tedy symetrický vzhledem k přímce – ose C. ( rýže. 1 ); zde se skupina symetrie skládá ze dvou prvků. Pokud postava F na rovině je taková, že rotuje kolem libovolného bodu O o úhel 360°/ n, n- celé číslo ≥ 2, přeložte jej do sebe, tedy F má S. n-tý řád s ohledem na bod O- střed C. Příkladem takových obrazců jsou pravidelné polygony (rýže. 2 ); skupina S. zde - tzv. cyklická skupina n-tý řád. Kruh má S. nekonečného řádu (protože se sám se sebou kombinuje otočením o libovolný úhel).

Nejjednoduššími typy prostorových S., kromě S. generovaných odrazy, jsou centrální S., axiální S. a S. přenosu.

a) V případě středové souměrnosti (inverze) kolem bodu O se obrazec Ф spojí sám se sebou po postupných odrazech od tří vzájemně kolmých rovin, jinými slovy, bod O je středem úsečky spojující symetrické body Ф ( rýže. 3 ). b) V případě osové souměrnosti nebo S. vzhledem k přímce nřádu je obrazec superponován na sebe rotací kolem nějaké přímky (osa N) pod úhlem 360° / n. Například krychle má čáru AB osa C. třetího řádu a přímka CD- C. osa čtvrtého řádu ( rýže. 3 ); obecně jsou pravidelné a polopravidelné mnohostěny symetrické vzhledem k řadě čar. Umístění, počet a pořadí os S. hry důležitá role v krystalografii (viz. Symetrie krystalů), c) Obrazec superponovaný na sebe postupným otáčením o úhel 360°/2 k kolem přímky AB a odraz v rovině k ní kolmé, má zrcadlově axiální C. Přímka AB, se nazývá zrcadlově rotační osa C. řádu 2 k, je osa C řádu k (rýže. 4 ). Středová přímka je ekvivalentní zrcadlově osové přímce řádu 2. d) V případě translační symetrie je obrazec superponován na sebe posunutím podél nějaké přímky (osy přenosu) na nějakém segmentu. Například obrazec s jedinou osou translace má nekonečný počet rovin S. (protože jakýkoli posun lze provést dvěma po sobě jdoucími odrazy od rovin kolmých k ose posunu) ( rýže. 5 ). Obrazce s několika přenosovými osami hrají důležitou roli ve studiu krystalových mřížek.

S. se v umění rozšířil jako jeden z typů harmonické kompozice (viz kompozice). Je charakteristická pro díla architektury (je nepostradatelnou kvalitou, ne-li celé stavby jako celku, tak jejích částí a detailů – půdorys, fasáda, sloupy, hlavice atd.) a dekorativního a užitého umění. S. se také používá jako hlavní technika pro vytváření okrajů a ozdob ( ploché postavy s jedním nebo více S. přenosem v kombinaci s odrazy) ( rýže. 6 , 7 ).

S. kombinace generované odrazy a rotacemi (vyčerpávající všechny typy S. geometrických obrazců), stejně jako transfery, jsou zajímavé a jsou předmětem výzkumu v různé obory přírodní vědy. Například šroubovitý S., prováděný rotací o určitý úhel kolem osy, doplněný přenosem podél stejné osy, je pozorován v uspořádání listů u rostlin ( rýže. 8 ) (podrobněji viz článek Symetrie v biologii). C. konfigurace molekul, ovlivňující jejich fyzikální a chemické vlastnosti, záleží kdy teoretický rozbor struktury sloučenin, jejich vlastnosti a chování v různých reakcích (viz. Symetrie v chemii). Konečně ve fyzikálních vědách obecně nabývá kromě již naznačené geometrické symetrie krystalů a mřížek velkého významu pojem symetrie v obecném smyslu (viz dále). Tak nám symetrie fyzického časoprostoru, vyjádřená v jeho homogenitě a izotropii (viz teorie relativity), umožňuje stanovit tzv. zákony zachování; generalizovaná S. hraje zásadní roli ve výchově atomová spektra a v klasifikaci elementární částice(viz Symetrie ve fyzice).

3) Symetrie (v obecném smyslu) znamená neměnnost struktury matematického (nebo fyzikálního) objektu s ohledem na jeho transformace. Například S. zákony teorie relativity jsou určeny jejich invariantností s ohledem na Lorentzovy transformace (viz Lorentzovy transformace). Definice množiny transformací, které ponechávají všechny strukturální vztahy objektu nezměněny, tj. definice skupiny G jeho automorfismů, se stal vůdčím principem moderní matematiky a fyziky, který umožňuje hluboce proniknout do vnitřní struktury objektu jako celku a jeho částí.

Protože takový objekt může být reprezentován prvky nějakého prostoru R, obdařený vhodnou charakteristickou strukturou, pokud přeměny předmětu jsou přeměnami R. Že. získat reprezentaci skupiny G v transformační skupině R(nebo jen dovnitř R), a studium S. předmětu se redukuje na studium děje G na R a hledání invariantů této akce. Stejně tak S. fyzikální zákony, které ovládají zkoumaný objekt a jsou obvykle popsány rovnicemi, které jsou splněny prvky prostoru R, je určen akcí G na takové rovnice.

Pokud je tedy například nějaká rovnice lineární na lineárním prostoru R a zůstává invariantní při transformacích nějaké skupiny G, pak každý prvek G z G odpovídá lineární transformaci Tg v lineárním prostoru Rřešení této rovnice. Korespondence G → Tg je lineární reprezentace G a znalost všech takových jeho reprezentací nám umožňuje stanovit různé vlastnosti řešení a také pomáhá najít v mnoha případech (z „úvah o symetrii“) samotná řešení. To zejména vysvětluje nutnost rozvinuté teorie lineárních reprezentací grup pro matematiku a fyziku. Konkrétní příklady viz Čl. Symetrie ve fyzice.

lit.: Shubnikov A.V., Symmetry. (Zákony symetrie a jejich aplikace ve vědě, technice a užitém umění), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Úvod do geometrie, přel. z angličtiny, M., 1966; Weil G., Symmetry, přel. z angličtiny, M., 1968; Wigner E., Etudy o symetrii, přel. z angličtiny, M., 1971.

M. I. Voitsekhovský.

Rýže. 3. Krychle mající přímku AB jako osu symetrie třetího řádu, úsečku CD jako osu symetrie čtvrtého řádu, bod O jako střed symetrie. Body M a M" krychle jsou symetrické jak kolem os AB a CD, tak i kolem středu O.

II Symetrie

ve fyzice. Pokud se zákony, které zakládají vztahy mezi veličinami, které charakterizují fyzikální systém nebo určují změnu těchto veličin v čase, nemění při určitých operacích (transformacích), kterým může být systém podroben, pak se říká, že tyto zákony mají S. ( nebo jsou invariantní) s ohledem na transformace dat. Matematicky tvoří S. transformace skupinu (viz skupina).

Zkušenosti ukazují, že fyzikální zákony jsou symetrické s ohledem na následující nejobecnější transformace.

Průběžné transformace

1) Přenos (posun) systému jako celku v prostoru. Tuto a následné časoprostorové transformace lze chápat ve dvou významech: jako aktivní transformaci - skutečný přenos fyzického systému vůči zvolenému referenčnímu systému, nebo jako pasivní transformaci - paralelní přenos referenčního systému. S. fyzikální zákony s ohledem na posuny v prostoru znamenají ekvivalenci všech bodů v prostoru, tedy absenci jakýchkoliv vybraných bodů v prostoru (homogenita prostoru).

2) Rotace systému jako celku v prostoru. S. fyzikální zákony s ohledem na tuto transformaci znamenají ekvivalenci všech směrů v prostoru (izotropie prostoru).

3) Změna původu času (časový posun). S. ohledně této transformace znamená, že fyzikální zákony se s časem nemění.

4) Přechod do vztažné soustavy pohybující se vzhledem k dané soustavě konstantní rychlostí (ve směru a velikosti). S. s ohledem na tuto transformaci znamená zejména ekvivalenci všech inerciálních vztažných soustav (viz Inerciální vztažná soustava) (viz Teorie relativity).

5) Měřicí transformace. Zákony popisující interakce částic, které mají nějaký druh náboje (elektrický náboj (viz elektrický náboj), baryonový náboj (viz baryonový náboj), leptonový náboj (viz náboj leptonu), hypernáboj ohm) jsou symetrické s ohledem na kalibrační transformace 1. druh. Tyto transformace spočívají v tom, že vlnové funkce (viz vlnová funkce) všech částic lze současně násobit libovolným fázovým faktorem:

kde ψ j- vlnová funkce částic j, z j - náboj odpovídající částici, vyjádřený v jednotkách elementárního náboje (například elementární elektrický náboj E), β je libovolný číselný faktor.

A→A + stupeň f, , (2)

Kde F(X,na z t) je libovolná funkce souřadnic ( X,na,z) a čas ( t), S je rychlost světla. Aby transformace (1) a (2) byly v případě elektromagnetických polí prováděny současně, je nutné zobecnit kalibrační transformace 1. druhu: je nutné požadovat, aby interakční zákony byly symetrické vzhledem k transformacím. (1) s hodnotou β, což je libovolná funkce souřadnic a času: η - Planckova konstanta. Vztah mezi přeměnami měřidel 1. a 2. druhu pro elektromagnetické interakce díky dvojí roli elektrického náboje: na jedné straně je elektrický náboj konzervovaná veličina a na druhé straně působí jako interakční konstanta, která charakterizuje vztah elektromagnetického pole s nabitými částicemi.

Transformace (1) odpovídají zákonům zachování různých nábojů (viz níže), stejně jako některým vnitřním symetrickým interakcím. Jsou-li náboje nejen konzervovanými veličinami, ale také zdroji polí (jako je elektrický náboj), pak jim odpovídající pole musí být rovněž kalibračními poli (obdoba elektromagnetických polí) a transformace (1) se zobecňují na případ, kdy veličiny β jsou libovolné funkce souřadnic a času (a dokonce i operátory transformující stavy vnitřního systému). Takový přístup v teorii interagujících polí vede k různým kalibračním teoriím silných a slabých interakcí (tzv. Yang-Milsova teorie).

Diskrétní transformace

Výše uvedené typy S. se vyznačují parametry, které se mohou plynule měnit v určitém rozsahu hodnot (například posun v prostoru je charakterizován třemi parametry posunutí podél každé ze souřadnicových os, rotace o tři úhly rotace kolem tyto osy atd.). Spolu s nepřetržitým S. velká důležitost ve fyzice mají diskrétní S. Hlavní jsou následující.

Symetrie a zákony zachování

Podle Noetherovy věty (Viz Noetherova věta) každá transformace systému charakterizovaná jedním plynule se měnícím parametrem odpovídá hodnotě, která je zachována (nemění se s časem) pro systém, který má tento systém Ze systému fyzikálních zákonů pokud jde o posun uzavřeného systému v prostoru, jeho otočení jako celek a změnu původu času se řídí zákony zachování hybnosti, momentu hybnosti a energie. Od S. s ohledem na kalibrační transformace prvního druhu - zákony zachování nábojů (elektrických, baryonových atd.), od izotopové invariance - zachování izotopového spinu (viz Isotopický spin) v procesech silné interakce. Pokud jde o diskrétní S., pak v klasická mechanika nevedou k žádným zákonům zachování. Nicméně, v kvantová mechanika, ve kterém je stav systému popsán vlnovou funkcí, nebo pro vlnová pole (například elektromagnetické pole), kde platí princip superpozice, z existence diskrétních S. vyplývají zákony zachování pro některé konkrétní veličiny, které mají v klasické mechanice nemá obdoby. Existenci takových veličin lze demonstrovat na příkladu prostorové parity (viz parita), jejíž zachování vyplývá ze S. s ohledem na prostorovou inverzi. Nechť ψ 1 je vlnová funkce popisující nějaký stav systému a ψ 2 je vlnová funkce systému vyplývající z prostorů. inverze (symbolicky: ψ 2 = Rψ 1 , kde R je vesmírným operátorem. inverze). Pak, pokud existuje S. vzhledem k prostorové inverzi, je ψ 2 jedním z možných stavů systému a podle principu superpozice jsou možnými stavy systému superpozice ψ 1 a ψ 2: symetrická kombinace ψ s = ψ 1 + ψ 2 a antisymetrické ψ a = ψ 1 - ψ 2 . Při inverzních transformacích se stav ψ 2 nemění (protože Pψs = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s) a stav ψ a mění znaménko ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). V prvním případě je prostorová parita systému považována za kladnou (+1), ve druhém je záporná (-1). Pokud je vlnová funkce systému specifikována pomocí veličin, které se během prostorové inverze nemění (jako např. moment hybnosti a energie), pak bude mít parita systému také zcela určitou hodnotu. Systém bude ve stavu s kladnou nebo zápornou paritou (navíc přechody z jednoho stavu do druhého působením sil symetrických vzhledem k prostorové inverzi jsou absolutně zakázány).

Symetrie kvantově mechanických systémů a stacionárních stavů. degenerace

Zachování veličin odpovídajících různým kvantově mechanickým systémům je důsledkem toho, že jim odpovídající operátory komutují s hamiltoniánem systému, pokud není explicitně závislý na čase (viz Kvantová mechanika, Komutační vztahy). To znamená, že tyto veličiny jsou měřitelné současně s energií systému, tedy mohou nabývat zcela určitých hodnot pro danou hodnotu energie. Proto z nich můžete vyrobit tzv. kompletní soubor veličin, které určují stav systému. Stacionární stavy (stavy s danou energií) soustavy jsou tedy určeny veličinami odpovídajícími S. uvažované soustavy.

Přítomnost S. vede k tomu, že různé stavy pohybu kvantově mechanického systému, které jsou navzájem získány S. transformací, mají stejné hodnoty fyzikální veličiny, které se při těchto transformacích nemění. S. systému tedy zpravidla vede k degeneraci (viz degenerace). Například určité hodnotě energie soustavy může odpovídat více různých stavů, které se při transformacích C vzájemně transformují. Matematicky tyto stavy představují základ neredukovatelné reprezentace skupiny C soustavy (viz Skupina ). To určuje úspěšnost aplikace metod teorie grup v kvantové mechanice.

Kromě degenerace energetických hladin spojených s explicitním S. systému (např. s ohledem na rotace systému jako celku) existuje v řadě problémů další degenerace spojená s tzv. skrytá S. interakce. Takové skryté oscilace existují například pro Coulombovu interakci a pro izotropní oscilátor.

Pokud se systém, který má nějaké S., nachází v poli sil, které toto S. porušují (ale dostatečně slabé, aby mohly být považovány za malou poruchu), degenerované energetické hladiny původního systému jsou rozděleny: různé stavy, které , díky S. systémy měly stejnou energii, působením "asymetrické" poruchy získávají různé energetické posuny. V případech, kdy rušivé pole má určitou S., která je součástí S. původního systému, není degenerace energetických hladin zcela odstraněna: některé hladiny zůstávají degenerované v souladu s S. interakce. která „zapíná“ rušivé pole.

Přítomnost energeticky degenerovaných stavů v systému zase naznačuje existenci interakce S. a umožňuje v zásadě najít tento S., když není předem znám. Posledně jmenovaná okolnost hraje důležitou roli například ve fyzice elementárních částic. Existence skupin částic s blízkou hmotností a podobnými dalšími charakteristikami, ale rozdílným elektrickým nábojem (tzv. izotopové multiplety) umožnila stanovit izotopovou invarianci silných interakcí a možnost spojování částic se stejnými vlastnostmi do širších skupiny vedly k objevu SU(3)-C. silná interakce a interakce, které tuto symetrii narušují (viz Silné interakce). Existují náznaky, že silná interakce má ještě širší skupinu C.

Velmi plodným konceptem je tzv. dynamický S. systém, který vzniká při uvažování transformací včetně přechodů mezi stavy systému s různými energiemi. Neredukovatelnou reprezentací skupiny dynamických S. bude celé spektrum stacionárních stavů soustavy. Pojem dynamického S. lze rozšířit i na případy, kdy Hamiltonián systému závisí výslovně na čase a v tomto případě jsou všechny stavy kvantově mechanického systému, které nejsou stacionární (tedy nemají danou energii), sloučeny do jedné neredukovatelné reprezentace dynamické skupiny S. ).

lit.: Wigner E., Etudy o symetrii, přel. z angličtiny, M., 1971.

S. S. Gershtein.

III Symetrie

v chemii se projevuje geometrickou konfigurací molekul, která ovlivňuje specifika fyzikálních a chemické vlastnosti molekuly v izolovaném stavu, ve vnějším poli a při interakci s jinými atomy a molekulami.

Většina jednoduchých molekul má prvky prostorové symetrie rovnovážné konfigurace: osy symetrie, roviny symetrie atd. (viz Symetrie v matematice). Takže molekula amoniaku NH 3 má symetrii pravidelného trojúhelníkového jehlanu, molekula metanu CH 4 má symetrii čtyřstěnu. U komplexních molekul symetrie rovnovážné konfigurace jako celku zpravidla chybí, symetrie jejích jednotlivých fragmentů je však přibližně zachována (lokální symetrie). Nejúplnějšího popisu symetrie rovnovážných i nerovnovážných konfigurací molekul je dosaženo na základě představ o tzv. dynamické skupiny symetrie - skupiny, které zahrnují nejen operace prostorové symetrie jaderné konfigurace, ale také operace permutace identických jader v různých konfiguracích. Například dynamická skupina symetrie pro molekulu NH 3 zahrnuje také operaci inverze této molekuly: přechod atomu N z jedné strany roviny, tvořené atomy N, na druhé straně.

Symetrie rovnovážné konfigurace jader v molekule s sebou nese určitou symetrii vlnových funkcí (viz vlnová funkce) různých stavů této molekuly, což umožňuje klasifikovat stavy podle typů symetrie. Přechod mezi dvěma stavy spojenými s absorpcí nebo emisí světla, v závislosti na typech symetrie stavů, se může buď objevit v molekulárním spektru (viz molekulární spektra), nebo být zakázán, takže čára nebo pás odpovídající tomuto přechodu ve spektru nebude chybět. Typy symetrie stavů, mezi kterými jsou možné přechody, ovlivňují intenzitu čar a pásem a také jejich polarizaci. Například pro homonukleární dvouatomové molekuly jsou přechody mezi elektronovými stavy stejné parity zakázány a neobjevují se ve spektrech, jejichž elektronické vlnové funkce se chovají při inverzní operaci stejně; pro molekuly benzenu a podobných sloučenin jsou zakázány přechody mezi nedegenerovanými elektronovými stavy stejného typu symetrie apod. Výběrová pravidla pro symetrii jsou pro přechody mezi různými stavy doplněna o selekční pravidla související se Spinem těchto stavů.

U molekul s paramagnetickými centry vede symetrie prostředí těchto center k určitému typu anizotropie G-faktor (Landeův faktor), který ovlivňuje strukturu elektronových paramagnetických rezonančních spekter (viz Elektronová paramagnetická rezonance), zatímco u molekul, jejichž atomová jádra mají nenulový spin, vede symetrie jednotlivých lokálních fragmentů k určitému typu energetického štěpení stavů s různé projekce jaderného spinu, který ovlivňuje strukturu spekter nukleární magnetické rezonance.

V přibližných přístupech kvantové chemie, které využívají koncept molekulových orbitalů, je klasifikace symetrie možná nejen pro vlnovou funkci molekuly jako celku, ale i pro jednotlivé orbitaly. Pokud má rovnovážná konfigurace molekuly rovinu symetrie, ve které leží jádra, pak jsou všechny orbitaly této molekuly rozděleny do dvou tříd: symetrické (σ) a antisymetrické (π) s ohledem na operaci odrazu v této rovině. . Molekuly, ve kterých jsou horní (energeticky) obsazené orbitaly π-orbitaly, tvoří specifické třídy nenasycených a konjugovaných sloučenin s jejich charakteristickými vlastnostmi. Znalost lokální symetrie jednotlivých fragmentů molekul a lokalizovaných na těchto fragmentech molekulární orbitaly umožňuje posoudit, které fragmenty jsou snadněji vystaveny excitaci a silněji se mění v průběhu chemických přeměn, např. při fotochemických reakcích.

Pojmy symetrie mají velký význam v teoretické analýze struktury komplexních sloučenin, jejich vlastností a chování v různých reakcích. Teorie krystalového pole a teorie pole ligandu stanoví relativní polohu obsazených a prázdných orbitalů komplexní sloučenina na základě údajů o jeho symetrii, charakteru a míře štěpení energetických hladin se změnou symetrie pole ligandu. Znalost pouze symetrie komplexu velmi často umožňuje kvalitativně posoudit jeho vlastnosti.

V roce 1965 předložili P. Woodward a R. Hoffman princip zachování orbitální symetrie v chemických reakcích, který byl následně potvrzen rozsáhlým experimentálním materiálem a měl velký vliv na vývoj preparativních organická chemie. Tento princip (Woodward-Hoffmanovo pravidlo) říká, že jednotlivé elementární akty chemické reakce projít při zachování symetrie molekulových orbitalů neboli orbitální symetrie. Čím více je při elementárním aktu narušena symetrie orbitalů, tím je reakce obtížnější.

Zohlednění symetrie molekul je důležité při hledání a výběru látek používaných při tvorbě chemických laserů a molekulárních usměrňovačů, při konstrukci modelů organických supravodičů, při rozborech karcinogenních a farmakologických účinné látky atd.

lit.: Hochstrasser R., Molekulární aspekty symetrie, přel. z angličtiny, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f. Teorie grup a její aplikace v kvantové mechanice molekul, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Zachování orbitální symetrie, přel. z angličtiny, M., 1971.

N. F. Štěpánov.

IV Symetrie

v biologii (biosymetrie). Fenoménu S. v živé přírodě byla věnována pozornost v Starověké Řecko Pythagorejci (5. století př. n. l.) v souvislosti s jejich rozvojem nauky o harmonii. V 19. stol ojedinělé práce se objevily na S. rostlin (francouzští vědci O. P. Decandol a O. Bravo), živočichů (něm. - E. Haeckel), biogenních molekul (franc. - A. Vechan, L. Pasteur aj.). Ve 20. století biologické objekty byly studovány z hlediska obecná teorie S. (sovětští vědci Yu. V. Vulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinshtein, nizozemský fyzikochemik F. M. Eger, angličtí krystalografové vedení J. Bernalem) a nauka o pravičáku a levičáctví (sovětští vědci V. I. Vernadsky, V. V. Alpatov, G. F. Gause a další a německý vědec W. Ludwig). Tyto práce vedly v roce 1961 k identifikaci zvláštního směru v teorii S. - biosymetrie.

Nejintenzivněji byla studována struktura S. biologických objektů. Studium biostruktur S. - molekulárních a supramolekulárních - z hlediska strukturních S. umožňuje předem identifikovat pro ně možné typy S., a tím počet a typ možných modifikací, striktně popsat vnější tvar a vnitřní struktura jakýchkoli prostorových biologických objektů. To vedlo k širokému použití reprezentací strukturálních S. v zoologii, botanice, molekulární biologie. Strukturální S. se projevuje především v podobě toho či onoho pravidelného opakování. V klasická teorie strukturální symetrie vyvinutá německým vědcem J. F. Gesselem, E. S. Fedorovem a dalšími, vzhled symetrie objektu lze popsat souborem prvků jeho struktury, tedy takovými geometrickými prvky (body, čáry, roviny), vzhledem k nimž stejné části objektu jsou uspořádány (viz Symetrie v matematice). Například pohled na květ S. phlox ( rýže. 1 , c) - jedna osa 5. řádu, procházející středem květu; vyrobené jeho provozem - 5 otáček (o 72, 144, 216, 288 a 360 °), z nichž každá se shoduje se sebou samým. Zobrazit postavu C. motýla ( rýže. 2 , b) - jedna rovina rozdělující jej na 2 poloviny - levou a pravou; operace prováděná pomocí letadla je zrcadlovým obrazem, „vytváří“ levou polovinu pravé, pravou polovinu levou a postavu motýla se spojuje sama se sebou. Zobrazit C. radiolarian Lithocubus geometricus ( rýže. 3 , b), obsahuje kromě os rotace a rovin odrazu také střed C. Jakákoli přímka vedená takovým jediným bodem uvnitř radiolaria na obou jeho stranách a ve stejných vzdálenostech se setkává se stejnou (odpovídající) body obrázku. Operace prováděné pomocí středu S. jsou odrazy v bodě, po kterých je postava radiolaria také kombinována sama se sebou.

V živé přírodě (i v neživé přírodě) se v důsledku různých omezení obvykle vyskytuje výrazně menší počet druhů S., než je teoreticky možné. Například v nižších fázích vývoje živé přírody se vyskytují zástupci všech tříd tečkovitých S. - až po organismy charakterizované S. pravidelných mnohostěnů a koule (viz. rýže. 3 ). Rostliny a živočichové se však na vyšších stupních evoluce vyskytují především v tzv. axiální (typ n) a aktinomorfní (typ n(m)S. (v obou případech n může nabývat hodnot od 1 do ∞). Bioobjekty s axiálním S. (viz. rýže. 1 ) jsou charakterizovány pouze C. osou řádu n. Bioobjekty sactinomorfních S. (viz. rýže. 2 ) jsou charakterizovány jednou řádovou osou n a roviny protínající se podél této osy m. Ve volné přírodě se nejčastěji vyskytují druhy S.. n = 1 a 1. m = m, se nazývá, v uvedeném pořadí, asymetrie (viz asymetrie) a bilaterální, nebo bilaterální, S. Asymetrie je charakteristická pro listy většiny rostlinných druhů, bilaterální S. - do určité míry pro vnější tvar lidského těla, obratlovců a mnoho bezobratlých. U pohyblivých organismů je takový pohyb zřejmě spojen s rozdíly v jejich pohybu nahoru a dolů a dopředu a dozadu, zatímco jejich pohyby doprava a doleva jsou stejné. Porušení jejich bilaterálního S. by nevyhnutelně vedlo k inhibici pohybu jedné ze stran a přeměně pohybu vpřed na kruhový. V 50-70 letech. 20. století intenzivním studiem (především v SSSR) byly podrobeny tzv. nesymetrické biologické objekty ( rýže. 4 ). Ten může existovat minimálně ve dvou modifikacích – v podobě originálu a jeho zrcadlového obrazu (antipodu). Navíc jedna z těchto forem (bez ohledu na to, která z nich) se nazývá pravá nebo D (z latinského dextro), druhá - levá nebo L (z latinského laevo). Při studiu tvaru a struktury D- a L-biologických objektů byla vyvinuta teorie disymetrizujících faktorů, dokazující možnost libovolného D- nebo L-objektu dvou nebo více (až nekonečného počtu) modifikací (viz též rýže. 5 ); zároveň obsahoval i vzorce pro určení počtu a druhu těch druhých. Tato teorie vedla k objevu tzv. biologický izomerismus (viz. izomerismus) (různé biologické objekty stejného složení; na rýže. 5 je zobrazeno 16 izomerů lipového listu).

Při studiu výskytu biologických objektů bylo zjištěno, že v některých případech převládají D-formy, jinde L-formy, jinde jsou stejně časté. Bechamp a Pasteur (40. léta 19. stol.), a ve 30. letech. 20. století Sovětští vědci G.F.Gause a další ukázali, že buňky organismů jsou stavěny pouze nebo převážně z L-aminokyselin, L-proteinů, D-deoxyribonukleových kyselin, D-cukrů, L-alkaloidů, D- a L-terpenů atd. základní a charakteristický rys živých buněk, který Pasteur nazývá disymetrie protoplazmy, zajišťuje buňce, jak byla založena ve 20. století, aktivnější metabolismus a je udržována prostřednictvím složitých biologických a fyzikálně-chemických mechanismů, které vznikly v proces evoluce. Sovy. V roce 1952 vědec V. V. Alpatov zjistil na 204 druzích cévnatých rostlin, že 93,2 % rostlinných druhů patří k typu s L-, 1,5 % - s D-průběhem spirálového ztluštění stěn cév, 5,3 % druhů - k racemickému typu (počet D-cév se přibližně rovná počtu L-cév).

Při studiu D- a L-biologických objektů bylo zjištěno, že rovnost mezi Tvary D a L v některých případech je narušena kvůli rozdílu v jejich fyziologických, biochemických a jiných vlastnostech. Tento rys živé přírody byl nazýván nesymetrií života. Excitační účinek L-aminokyselin na pohyb plazmy v rostlinných buňkách je tedy desítky a stokrát větší než stejný účinek jejich D-forem. Mnohá antibiotika (penicilin, gramicidin aj.) obsahující D-aminokyseliny jsou baktericidnější než jejich formy s L-aminokyselinami. Běžnější šroubovitá L-kop řepa je o 8-44 % (v závislosti na odrůdě) těžší a obsahuje o 0,5-1 % více cukru než D-kop řepa.

Definice. Symetrie (znamená "proporcionalita") - vlastnost geometrických objektů, které mají být kombinovány se sebou při určitých transformacích. Pod symetrie pochopit veškerou správnost v vnitřní struktura těla nebo tvary.

Symetrie o bodu je středová symetrie (obr. 23 níže), a symetrie kolem přímky je osová symetrie (obrázek 24 níže).

Symetrie o bodu předpokládá, že se něco nachází na obou stranách bodu ve stejných vzdálenostech, jako jsou jiné body nebo těžiště bodů (přímky, zakřivené čáry, geometrické obrazce).

Pokud spojíte linii symetrických bodů (body geometrického obrazce) bodem symetrie, pak budou symetrické body ležet na koncích přímky a bod symetrie bude jejím středem. Pokud zafixujete bod symetrie a otočíte čáru, pak symetrické body budou popisovat křivky, z nichž každý bod bude také symetrický k bodu jiné zakřivené čáry.

Symetrie kolem přímky(osa symetrie) předpokládá, že podél kolmice protažené každým bodem osy symetrie jsou dva symetrické body umístěny ve stejné vzdálenosti od ní. Stejné geometrické obrazce mohou být umístěny vzhledem k ose symetrie (přímka) jako vzhledem k bodu symetrie.

Příkladem je list sešitu, který je přeložený napůl, pokud je podél čáry ohybu nakreslena přímka (osa symetrie). Každý bod jedné poloviny listu bude mít symetrický bod na druhé polovině listu, pokud jsou umístěny ve stejné vzdálenosti od linie ohybu kolmo k ose.

Čára osové souměrnosti, jako na obrázku 24, je svislá a vodorovné okraje listu jsou k ní kolmé. To znamená, že osa symetrie slouží jako kolmice ke středům vodorovných čar ohraničujících list. Symetrické body (R a F, C a D) jsou umístěny ve stejné vzdálenosti od osové přímky - kolmice k přímkám spojujícím tyto body. V důsledku toho jsou všechny body kolmice (osa symetrie) protažené středem segmentu stejně vzdálené od jeho konců; nebo jakýkoli bod kolmice (osa symetrie) ke středu segmentu je stejně vzdálený od konců tohoto segmentu.

6.7.3. Osová symetrie

body A A A 1 jsou symetrické vzhledem k přímce m, protože přímka m je kolmá k úsečce AA 1 a prochází jeho středem.

m je osa symetrie.

Obdélník abeceda má dvě osy souměrnosti: přímou m A l.

Pokud je výkres složen v přímce m nebo v přímce l, pak se obě části výkresu shodují.

Náměstí abeceda má čtyři osy symetrie: přímou m, l, k A s.

Pokud je čtverec ohnutý podél některé z přímých čar: m, l, k nebo s, pak se obě části čtverce shodují.

Kružnice se středem v bodě O a poloměru OA má nekonečný počet os symetrie. Jedná se o přímé: m, m1, m2, m 3 .

Cvičení. Sestrojte bod A 1 symetrický k bodu A (-4; 2) kolem osy Ox.

Sestrojte bod A 2 symetrický k bodu A (-4; 2) kolem osy Oy.

Bod A 1 (-4; -2) je symetrický k bodu A (-4; 2) kolem osy Ox, protože osa Ox je kolmá na segment AA 1 a prochází jeho středem.

Pro body, které jsou symetrické kolem osy x, jsou úsečky stejné a pořadnice jsou opačná čísla.

Bod A 2 (4; -2) je symetrický k bodu A (-4; 2) kolem osy Oy, protože osa Oy je kolmá na segment AA 2 a prochází jeho středem.

Pro body, které jsou symetrické kolem osy Oy, jsou pořadnice stejné a úsečky jsou opačná čísla.

www.mathematics-repetition.com

wiki.eduVdom.com

Uživatelské nástroje

Nástroje webu

Boční panel

Geometrie:

Kontakty

Středová a osová symetrie

Středová symetrie

Dva body A a A 1 se nazývají symetrické vzhledem k bodu O, pokud O je středem úsečky AA 1 (obr. 1). Bod O je považován za symetrický sám se sebou.

Příklad středové symetrie

Obrazec se nazývá symetrický vzhledem k bodu O, jestliže pro každý bod obrazce náleží tomuto obrazci i bod symetrický k němu vzhledem k bodu O. Bod O se nazývá střed symetrie obrazce. O postavě se také říká, že má středovou symetrii.

Příklady obrazců se středovou symetrií jsou kružnice a rovnoběžník (obr. 2).

Střed symetrie kruhu je středem kruhu a střed symetrie rovnoběžníku je průsečík jeho úhlopříček. Přímka má také středovou souměrnost, nicméně na rozdíl od kružnice a rovnoběžníku, které mají pouze jeden střed souměrnosti (bod O na obr. 2), jich má přímka nekonečně mnoho - libovolný bod na přímce je jeho střed symetrie.

Osová symetrie

Dva body A a A 1 se nazývají symetrické podle přímky a, jestliže tato přímka prochází středem úsečky AA 1 a je k ní kolmá (obr. 3). Každý bod přímky a je považován za symetrický sám se sebou.

Obrazec se nazývá symetrický vzhledem k přímce a, jestliže pro každý bod obrazce náleží tomuto obrazci i bod symetrický k němu vzhledem k přímce a. Přímka a se nazývá osa symetrie obrazce.

Příklady takových obrazců a jejich os symetrie jsou na obrázku 4.

Všimněte si, že pro kruh je jakákoli přímka procházející jeho středem osou symetrie.

Porovnání symetrií

Středová a osová symetrie

Kolik os symetrie má obrazec znázorněný na obrázku?

wiki.eduvdom.com

Lekce "Axiální a centrální symetrie"

Stručný popis dokumentu:

Symetrie stačí zajímavé téma v geometrii, protože právě tento koncept se velmi často vyskytuje nejen v procesu lidského života, ale také v přírodě.

První část video prezentace "Axiální a středová symetrie" definuje symetrii dvou bodů vzhledem k přímce v rovině. Podmínkou jejich symetrie je možnost protáhnout jimi úsečku, jejímž středem bude procházet daná přímka. Předpokladem takové symetrie je kolmost úsečky a úsečky.

Další část videonávodu přináší dobrý příklad definice, která je znázorněna ve formě výkresu, kde několik dvojic bodů je symetrických kolem přímky a kterýkoli bod na této přímce je symetrický sám se sebou.

Po obdržení počátečních pojmů symetrie je studentům nabídnuta složitější definice obrazce, která je symetrická podle přímky. Definice je nabízena ve formě textového pravidla a je také doprovázena projevem mluvčího v zákulisí. Tato část končí ukázkami symetrických a nesymetrických postav, poměrně rovných. Je zajímavé, že existují geometrické tvary, které mají několik os symetrie - všechny jsou jasně prezentovány ve formě výkresů, kde jsou osy zvýrazněny samostatnou barvou. Tímto způsobem je možné usnadnit pochopení navrhovaného materiálu - předmět nebo obrazec je symetrický, pokud přesně odpovídá, když jsou dvě poloviny složeny vzhledem k jeho ose.

Kromě osové souměrnosti existuje symetrie o jednom bodě. Tomuto pojmu je věnována další část videoprezentace. Nejprve je uvedena definice symetrie dvou bodů vzhledem ke třetímu, poté je uveden příklad ve formě obrázku, který ukazuje symetrickou a nesymetrickou dvojici bodů. Tato část lekce končí ukázkami geometrických tvarů, které mají nebo nemají střed souměrnosti.

Na konci lekce jsou studenti vyzváni, aby se seznámili s nejvýraznějšími příklady symetrie, které lze nalézt ve světě kolem nich. Pochopení a schopnost stavět symetrické postavy jsou prostě nezbytné v životě lidí, kteří se věnují nejrůznějším profesím. Ve svém jádru je symetrie základem celé lidské civilizace, protože 9 z 10 objektů obklopujících člověka má ten či onen typ symetrie. Bez symetrie by nebylo možné postavit mnoho velkých architektonických staveb, nebylo by možné dosáhnout působivých kapacit v průmyslu a tak dále. V přírodě je symetrie také velmi častým jevem, a pokud je téměř nemožné se s ní setkat u neživých předmětů, pak se to živý svět doslova hemží - téměř veškerá flóra a fauna má až na vzácné výjimky buď osovou nebo středovou symetrii. .

Běžný školní vzdělávací program je koncipován tak, aby mu porozuměl každý žák přijatý do lekce. Videoprezentace tento proces několikrát usnadňuje, protože současně ovlivňuje několik center rozvoje informací, poskytuje materiál v několika barvách, čímž nutí studenty soustředit pozornost na to nejdůležitější během hodiny. Na rozdíl od běžného způsobu výuky ve školách, kdy ne každý učitel má schopnost nebo chuť odpovídat na objasňující otázky studentům, lze videolekci snadno přetočit na požadovaný prostor znovu naslouchat řečníkovi a znovu si přečíst potřebné informace až do jeho úplného pochopení. Vzhledem k jednoduchosti prezentace materiálu lze videoprezentaci použít nejen během školních hodin, ale také doma jako samostatný způsob učení.

urokimatematiki.ru

Prezentace „Pohyb. Osová symetrie »

Dokumenty v archivu:

Název dokumentu 8.

Popis prezentace na jednotlivých snímcích:

Středová symetrie je jedním z příkladů pohybu

Definice Osová symetrie s osou a - zobrazení prostoru na sebe, ve kterém libovolný bod K jde do bodu K1 symetrického vzhledem k ose a

1) Oxyz - pravoúhlý systém souřadnice Oz - osa symetrie 2) M(x; y; z) a M1(x1; y1; z1), jsou symetrické vzhledem k ose Oz. Vzorce budou pravdivé, i když bod M ⊂ Oz y; z ) Ml(xl; yl; zl) O

Dokažte: Úloha 1 s osovou souměrností, přímku, která svírá s osou souměrnosti úhel φ, zobrazíme na přímku, která zároveň svírá s osou souměrnosti úhel φ úhel φ A F E N m l a φ φ

Dáno: 2) △ABD - obdélníkový, podle Pythagorovy věty: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - obdélníkový, podle Pythagorovy věty: Úloha 2 Najděte: BD2 Řešení:

Stručný popis dokumentu:

Prezentace „Pohyb. Osová symetrie “je obrazový materiál pro vysvětlení hlavních ustanovení tohoto tématu ve školní hodině matematiky. V této prezentaci je osová symetrie považována za jiný druh pohybu. V rámci prezentace je studentům připomenut nastudovaný pojem středová souměrnost, je uvedena definice osové souměrnosti, je dokázána poloha, že osová souměrnost je pohyb, a řešení dvou úloh, ve kterých je nutné s pojmem operovat. je popsána osová symetrie.

Osová symetrie je pohyb, takže její znázornění na tabuli je složité. Jasnější a srozumitelnější konstrukce lze provádět pomocí elektronických prostředků. Díky tomu jsou konstrukce dobře viditelné z jakékoli lavice ve třídě. Na výkresech je možné barevně zvýraznit detaily konstrukce, zaměřit se na vlastnosti provozu. Ke stejnému účelu se používají animační efekty. Pomocí prezentačních nástrojů je pro učitele snazší dosáhnout učebních cílů, proto prezentace slouží ke zvýšení efektivity hodiny.

Ukázka začíná tím, že studentům připomeneme druh pohybu, který se naučili – středovou symetrii. Příkladem aplikace operace je symetrické zobrazení nakreslené hrušky. V rovině je vyznačen bod, vůči kterému se každý bod obrazu stává symetrickým. Zobrazený obraz je tak obrácený. V tomto případě jsou všechny vzdálenosti mezi body objektu zachovány se středovou symetrií.

Druhý snímek představuje koncept osové souměrnosti. Obrázek ukazuje trojúhelník, každý jeho vrchol přechází do symetrického vrcholu trojúhelníku vzhledem k nějaké ose. Rámeček zvýrazní definici osové symetrie. Je třeba poznamenat, že s ním se každý bod objektu stává symetrickým.

Dále se v pravoúhlém souřadnicovém systému uvažuje osová symetrie, vlastnosti souřadnic objektu zobrazené pomocí osové symetrie a také je dokázáno, že toto zobrazení zachovává vzdálenosti, což je znak pohybu. Pravoúhlý souřadnicový systém Oxyz je zobrazen na pravé straně snímku. Osa Oz je brána jako osa symetrie. V prostoru je vyznačen bod M, který pod příslušným mapováním přechází do M 1. Obrázek ukazuje, že při osové symetrii si bod zachovává své uplatnění.

Je třeba poznamenat, že aritmetický průměr úseček a pořadnic tohoto zobrazení s osovou symetrií je roven nule, tj. (x+ x 1)/2=0; (y + yi)/2=0. Jinak to znamená, že x=-x1; y=-yi; z=z1. Pravidlo je také zachováno, pokud je bod M označen na samotné ose Oz.

Aby bylo možné zvážit, zda jsou vzdálenosti mezi body zachovány s osovou symetrií, je popsána operace v bodech A a B. Zobrazené body kolem osy Oz jdou na A1 a B1. Pro určení vzdálenosti mezi body použijeme vzorec, ve kterém se vzdálenost vypočítá ze souřadnic. Je třeba poznamenat, že AB \u003d √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2) a pro zobrazené body A 1 B 1 \u003d √ (- x 2 + x 1) 2 + (-y 2 + y 1) 2 + (z 2-z 1) 2). Vzhledem k vlastnostem kvadratury lze poznamenat, že AB=A1B1. To naznačuje, že vzdálenosti mezi body − jsou zachovány hlavní rys hnutí. Osová symetrie je tedy pohyb.

Snímek 5 pojednává o řešení úlohy 1. V něm je třeba dokázat tvrzení, že přímka procházející pod úhlem φ k ose souměrnosti s ní svírá stejný úhel φ. K úloze je uveden obrázek, na kterém je nakreslena osa souměrnosti a přímka m, která s osou souměrnosti svírá úhel φ a vzhledem k ose je jejím zobrazením přímka l. Důkaz tvrzení začíná konstrukcí dalších bodů. Je třeba poznamenat, že přímka m protíná osu souměrnosti v bodě A. Označíme-li na této přímce bod F≠A a snížíme z něj kolmici k ose souměrnosti, dostaneme průsečík kolmice s osou souměrnosti. v bodě E. Při osové symetrii přechází segment FE do segmentu NE. Výsledkem této konstrukce byly pravoúhlé trojúhelníky ΔAEF a ΔAEN. Tyto trojúhelníky jsou si rovny, protože AE je jejich společná větev a FE = NE jsou stejné v konstrukci. Podle toho úhel ∠EAN=∠EAF. Z toho vyplývá, že mapovaná přímka svírá s osou souměrnosti také úhel φ. Problém je vyřešen.

Poslední snímek uvažuje o řešení úlohy 2, ve které je dána krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 se stranou a. Je známo, že po symetrii kolem osy obsahující hranu B 1 D 1 přechází bod D do D 1 . Úkolem je najít BD 2 . Úkol se staví. Obrázek ukazuje krychli, která ukazuje, že osa symetrie je úhlopříčka plochy krychle B 1 D 1 . Úsek vzniklý při pohybu bodu D je kolmý k rovině plochy, ke které náleží osa symetrie. Protože vzdálenosti mezi body jsou při pohybu zachovány, pak DD 1 = D 1 D 2 =a, tedy vzdálenost DD 2 =2a. Z pravoúhlý trojuhelníkΔABD z Pythagorovy věty vyplývá, že BD=√(AB 2 +AD 2)=а√2. Z pravoúhlého trojúhelníku ΔВDD 2 plyne Pythagorova věta BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2)=а√6. Problém je vyřešen.

Prezentace „Pohyb. Osová symetrie“ se používá ke zlepšení efektivity školní matematické hodiny. Také tato metoda vizualizace pomůže učiteli dálkové studium. Materiál může nabídnout k samostatnému zvážení studentům, kteří dostatečně nezvládli téma hodiny.

Proč manželka odešla a nepožádá o rozvod Praktické fórum o pravé lásce Manželka žádá o rozvod.Pomoc! Manželka žádá o rozvod. Pomoc! Zveřejnil MIRON4IK » 23. října 2009, 16:22 Zveřejnil raz » 23. října 2009, 19:17 Vložil MIRON4IK » 23. října 2009, 22:21 Zveřejněn » […]

Rozsudek nad fašismem – Norimberský proces 8. srpna 1945, tři měsíce po vítězství nad nacistickým Německem, vítězné země: SSSR, USA, Velká Británie a Francie během londýnské konference schválily […]

Durovič A.P. Marketing v cestovním ruchu Tutorial. - Minsk: Nové poznatky, 2003. - 496 s. Je odhalena podstata, principy marketingu, jeho funkce a technologie marketingových aktivit v cestovním ruchu. Koncepčně je struktura studijní příručky […]

Studijní příručka násobilky, Lakeshore Díky samokontrolnímu dělicímu panelu je matematika tak snadná, že se děti mohou učit samy! Děti stačí stisknout stejná tlačítka. A tady jsou odpovědi! 81 […]

Účel lekce:

vytvoření konceptu "symetrických bodů";
naučit děti stavět body, které jsou symetrické k datům;
naučit se vytvářet segmenty symetrické k datům;
upevňování minulosti (utváření výpočetních dovedností, dělení vícemístného čísla na jednociferné).

Na kartách stojanu „do lekce“:

1. Organizační moment

Pozdravy.

Učitel upozorňuje na stojan:

Děti, lekci začínáme plánováním naší práce.

Dnes na hodině matematiky podnikneme výlet do 3 království: království aritmetiky, algebry a geometrie. Začněme lekci tím, co je pro nás dnes nejdůležitější, geometrií. Povím vám pohádku, ale "Pohádka je lež, ale je v ní náznak - poučení pro dobré lidi."

“: Jeden filozof jménem Buridan měl osla. Jednou, když odcházel na dlouhou dobu, položil filozof před osla dvě stejné náruče sena. Postavil lavici a nalevo od lavice a napravo od ní ve stejné vzdálenosti dal přesně stejné náruče sena.

Obrázek 1 na desce:

Osel přecházel z jedné náruče sena do druhé, ale nerozhodl se, se kterou náručí začít. A nakonec zemřel hlady.

Proč se osel nerozhodl, kterou hrstí sena začít?

Co můžete říci o těchto náručích sena?

(Náruče sena jsou úplně stejné, byly ve stejné vzdálenosti od lavice, to znamená, že jsou symetrické).

2. Pojďme si udělat průzkum.

Vezměte list papíru (každé dítě má na stole list barevného papíru), přeložte jej na polovinu. Propíchněte ho nohou kompasu. Rozšířit.

Co jsi dostal? (2 symetrické body).

Jak zajistit, aby byly opravdu symetrické? (přeložte list, body se shodují)

3. Na stole:

Myslíte si, že tyto body jsou symetrické? (Ne). Proč? Jak si tím můžeme být jisti?

Obrázek 3:

Jsou tyto body A a B symetrické?

Jak to můžeme dokázat?

(Změřte vzdálenost od přímky k bodům)

Vrátíme se k našim kouskům barevného papíru.

Změřte vzdálenost od linie ohybu (osy symetrie), nejprve k jednomu a poté k dalšímu bodu (nejdříve je však spojte segmentem).

Co můžete říci o těchto vzdálenostech?

(Stejný)

Najděte střed svého segmentu.

Kde je?

(Je to průsečík úsečky AB s osou symetrie)

4. Dávejte pozor na rohy, vzniklý jako výsledek průsečíku segmentu AB s osou symetrie. (Zjistíme pomocí čtverce, každé dítě pracuje na svém pracovišti, jedno studuje na tabuli).

Závěr dětí: segment AB je v pravém úhlu k ose symetrie.

Aniž bychom to věděli, objevili jsme matematické pravidlo:

Jsou-li body A a B symetrické kolem přímky nebo osy symetrie, pak úsečka spojující tyto body je v pravém úhlu nebo kolmá k této přímce. (Slovo "kolmý" je na stojanu napsáno samostatně). Slovo „kolmý“ se vyslovuje nahlas unisono.

5. Všímejme si, jak je toto pravidlo napsáno v naší učebnici.

Práce s učebnicí.

Najděte symetrické body kolem přímky. Budou body A a B symetrické kolem této přímky?

6. Práce na novém materiálu.

Pojďme se naučit, jak vytvořit body, které jsou symetrické k datům o přímce.

Učitel učí rozumu.

Chcete-li sestrojit bod symetrický k bodu A, musíte tento bod posunout od čáry o stejnou vzdálenost doprava.

7. Naučíme se vytvářet segmenty, které jsou symetrické k datům, relativně k přímce. Práce s učebnicí.

Studenti diskutují u tabule.

8. Ústní vyúčtování.

Tím zakončíme náš pobyt v království "Geometrie" a po návštěvě království "Aritmetiky" provedeme malou matematickou rozcvičku.

Zatímco všichni pracují ústně, dva studenti pracují na jednotlivých tabulích.

A) Proveďte rozdělení s kontrolou:

B) Po vložení potřebných čísel vyřešte příklad a zkontrolujte:

Slovní počítání.

Očekávaná délka života břízy je 250 let a dubu je 4krát delší. Kolik let žije dub?
Papoušek se dožívá v průměru 150 let a slon 3x méně. Kolik let žije slon?
Medvěd na své místo zavolal hosty: ježka, lišku a veverku. A jako dárek mu dali hrnec s hořčicí, vidličku a lžíci. Co dal ježek medvědovi?

Na tuto otázku můžeme odpovědět, pokud tyto programy spustíme.

Hořčice - 7
Vidlička - 8
Lžíce - 6

(Ježek dal lžíci)

4) Vypočítejte. Najděte jiný příklad.

810: 90
360: 60
420: 7
560: 80

5) Najděte vzor a pomozte napsat správné číslo:

3 9 81
2 16

5 10 20
6 24

9. A teď si trochu odpočineme.

Poslechněte si Beethovenovu Sonátu měsíčního svitu. Chvilka klasické hudby. Studenti položí hlavu na stůl, zavřou oči, poslouchají hudbu.

10. Cesta do říše algebry.

Hádejte kořeny rovnice a zkontrolujte:

Studenti rozhodují na tabuli a v sešitech. Vysvětlete, jak jste na to přišel.

11. "bleskový turnaj" .

a) Asya koupila 5 bagelů za rubl a 2 bochníky za rublů. Kolik stojí celý nákup?

Kontrolujeme. Sdílíme názory.

12. Shrnutí.

Takže jsme dokončili naši cestu do říše matematiky.

Co pro vás bylo v lekci nejdůležitější?

Komu se líbila naše lekce?

Rád jsem s vámi spolupracoval

Děkuji za lekci.

já . Symetrie v matematice :

Základní pojmy a definice.

Osová symetrie (definice, stavební plán, příklady)

Středová symetrie (definice, stavební plán, sopatření)

Souhrnná tabulka (všechny vlastnosti, funkce)

II . Aplikace symetrie:

1) v matematice

2) v chemii

3) v biologii, botanice a zoologii

4) v umění, literatuře a architektuře

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Základní pojmy symetrie a její typy.

Pojem symetrie n R prochází celou historií lidstva. Nachází se již u počátků lidského poznání. Vznikl v souvislosti se studiem živého organismu, totiž člověka. A používali ho sochaři už v 5. století před naším letopočtem. E. Slovo „symetrie“ je řecké, znamená „proporcionalita, proporcionalita, stejnost v uspořádání částí“. Je široce používán všemi oblastmi moderní vědy bez výjimky. O tomto vzoru přemýšlelo mnoho skvělých lidí. Například L. N. Tolstoj řekl: „Když jsem stál před černou tabulí a kreslil na ni křídou různé obrazce, náhle mě napadla myšlenka: proč je symetrie oku jasná? Co je symetrie? To je vrozený pocit, odpověděl jsem si. Na čem je to založeno?" Symetrie opravdu lahodí oku. Kdo neobdivoval symetrii výtvorů přírody: listy, květiny, ptáci, zvířata; nebo lidské výtvory: budovy, technologie, - vše, co nás od dětství obklopuje, co usiluje o krásu a harmonii. Hermann Weyl řekl: "Symetrie je myšlenka, jejímž prostřednictvím se člověk po staletí snažil pochopit a vytvořit řád, krásu a dokonalost." Hermann Weyl je německý matematik. Jeho činnost spadá do první poloviny dvacátého století. Byl to on, kdo formuloval definici symetrie, stanovenou jakými znaky vidět přítomnost nebo naopak nepřítomnost symetrie v konkrétním případě. Matematicky rigorózní reprezentace tak vznikla relativně nedávno – na počátku 20. století. Je to poměrně složité. Otočíme a ještě jednou si připomeneme definice, které jsou nám uvedeny v učebnici.

2. Osová souměrnost.

2.1 Základní definice

Definice. Dva body A a A 1 se nazývají symetrické vzhledem k přímce a, pokud tato přímka prochází středem úsečky AA 1 a je k ní kolmá. Každý bod přímky a je považován za symetrický sám se sebou.

Definice. Říká se, že obrazec je symetrický vzhledem k přímce. A, je-li pro každý bod obrázku bod symetrický k němu vzhledem k přímce A k této postavě také patří. Rovný A nazývá se osa symetrie obrazce. Postava má prý také osovou symetrii.

2.2 Stavební plán

A tak, abychom z každého bodu postavili symetrický obrazec vzhledem k přímce, nakreslíme k této přímce kolmici a prodloužíme ji o stejnou vzdálenost, označíme výsledný bod. Uděláme to s každým bodem, dostaneme symetrické vrcholy nového obrazce. Pak je spojíme do série a získáme symetrický obrazec této relativní osy.

2.3 Příklady obrazců s osovou souměrností.

3. Středová symetrie

3.1 Základní definice

Definice. Dva body A a A 1 se nazývají symetrické vzhledem k bodu O, pokud O je středem úsečky AA 1. Bod O je považován za symetrický sám se sebou.

Definice. Obrazec se nazývá symetrický vzhledem k bodu O, jestliže pro každý bod obrazce náleží tomuto obrazci i bod symetrický k němu vzhledem k bodu O.

3.2 Stavební plán

Konstrukce trojúhelníku symetrického k danému vzhledem ke středu O.

Chcete-li sestrojit bod symetrický k bodu A vzhledem k bodu O, stačí nakreslit rovnou čáru OA(obr. 46 ) a na druhé straně věci O vyčlenit segment rovný segmentu OA. Jinými slovy , body A a ; V a ; C a jsou symetrické vzhledem k některému bodu O. Na Obr. 46 postavil trojúhelník symetrický k trojúhelníku ABC vzhledem k bodu O. Tyto trojúhelníky jsou stejné.

Konstrukce symetrických bodů kolem středu.

Na obrázku jsou body M a M 1, N a N 1 symetrické k bodu O a body P a Q nejsou symetrické k tomuto bodu.

Obecně platí, že obrazce, které jsou symetrické k nějakému bodu, se rovnají .

3.3 Příklady

Uveďme příklady obrazců se středovou symetrií. Nejjednodušší obrazce se středovou symetrií jsou kruh a rovnoběžník.

Bod O se nazývá střed symetrie obrazce. V takových případech má postava středovou symetrii. Střed symetrie kruhu je středem kruhu a střed symetrie rovnoběžníku je průsečík jeho úhlopříček.

Přímka má také středovou souměrnost, ale na rozdíl od kružnice a rovnoběžníku, které mají pouze jeden střed souměrnosti (na obrázku bod O), jich má úsečka nekonečně mnoho - jakýkoli bod na úsečce je jejím středem souměrnosti. .

Obrázky ukazují úhel symetrický k vrcholu, segment symetrický k jinému segmentu kolem středu A a čtyřúhelník symetrický kolem jeho vrcholu M.

Příkladem obrazce, který nemá střed symetrie, je trojúhelník.

4. Shrnutí lekce

Shrňme si získané poznatky. Dnes jsme se v lekci seznámili se dvěma hlavními typy symetrie: centrální a axiální. Pojďme se podívat na obrazovku a systematizovat získané znalosti.

Souhrnná tabulka

	Osová symetrie	Středová symetrie
Zvláštnost	Všechny body obrázku musí být symetrické vzhledem k nějaké přímce.	Všechny body obrázku musí být symetrické k bodu zvolenému jako střed symetrie.
Vlastnosti	1. Symetrické body leží na kolmicích k přímce. 3. Přímé čáry se mění v přímky, úhly ve stejné úhly. 4. Velikosti a tvary figurek jsou uloženy.	1. Symetrické body leží na přímce procházející středem a daný bod postavy. 2. Vzdálenost od bodu k přímce se rovná vzdálenosti od přímky k symetrickému bodu. 3. Velikosti a tvary figurek jsou uloženy.

II. Aplikace symetrie

Matematika

V hodinách algebry jsme studovali grafy funkcí y=x a y=x

Na obrázcích jsou různé obrázky znázorněné pomocí větví parabol.

a) osmistěn,

(b) kosočtvercový dvanáctistěn, (c) šestihranný osmistěn.

ruský jazyk

Tištěné dopisy Ruská abeceda má také různé typy symetrií.

V ruštině jsou "symetrická" slova - palindromy, které lze číst stejným způsobem v obou směrech.

A D L M P T V- vertikální osa

B E W K S E Yu - horizontální osa

W N O X- vertikální i horizontální

B G I Y R U C W Y Z- žádná osa

Radarová chata Alla Anna

Literatura

Věty mohou být také palindromické. Bryusov napsal báseň „Voice of the Moon“, ve které je každý řádek palindrom.

Podívejte se na čtyřčata A.S. Puškina "Bronzový jezdec". Pokud nakreslíme čáru za druhou čárou, můžeme vidět prvky osové souměrnosti

A růže spadla na Azorovu tlapu.

Jdu s mečem soudce. (Derzhavin)

"Hledej taxi"

"Argentina láká na černocha",

"Oceňuje argentinského černocha",

"Lesha našla na poličce brouka."

Něva je oděna do žuly;

Nad vodami visely mosty;

Tmavě zelené zahrady

Ostrovy jím byly pokryty...

Biologie

Lidské tělo je postaveno na principu bilaterální symetrie. Většina z nás si mozek představuje jako jednu strukturu, ve skutečnosti je rozdělena na dvě poloviny. Tyto dvě části – dvě polokoule – do sebe těsně zapadají. V plném souladu s obecnou symetrií lidského těla je každá hemisféra téměř přesným zrcadlovým obrazem té druhé.

Řízení základních pohybů lidského těla a jeho smyslových funkcí je rovnoměrně rozloženo mezi obě hemisféry mozku. Levá hemisféra ovládá pravou stranu mozku, zatímco pravá hemisféra ovládá levou stranu.

Botanika

Květina je považována za symetrickou, když se každý periant skládá ze stejného počtu částí. Květiny, které mají párové části, jsou považovány za květiny s dvojitou symetrií atd. Trojitá symetrie je běžná pro jednoděložné, pět - pro dvouděložné. charakteristický rys struktura rostlin a jejich vývoj je helicita.

Věnujte pozornost uspořádání listů výhonků - to je také druh spirály - šroubovice. Dokonce i Goethe, který byl nejen velkým básníkem, ale také přírodovědcem, považoval helicitu za jednu z nich charakteristické vlastnosti všech organismů, projev nejniternější podstaty života. Úponky rostlin se stáčejí do spirály, pletiva rostou spirálovitě v kmenech stromů, semena ve slunečnici jsou uspořádána do spirály, spirálovité pohyby jsou pozorovány při růstu kořenů a výhonků.

Charakteristickým znakem stavby rostlin a jejich vývoje je helicita.

Podívejte se na šišku. Šupiny na jeho povrchu jsou uspořádány přísně pravidelně - podél dvou spirál, které se protínají přibližně v pravém úhlu. Počet takových spirál v šiškách je 8 a 13 nebo 13 a 21.

Zoologie

Symetrie u zvířat je chápána jako korespondence ve velikosti, tvaru a obrysu, stejně jako relativní umístění částí těla umístěných na opačných stranách dělicí čáry. Při radiální nebo radiální symetrii má tělo podobu krátkého nebo dlouhého válce nebo nádoby se středovou osou, z níž části těla odcházejí v radiálním pořadí. Jedná se o coelenteráty, ostnokožce, hvězdice. U bilaterální symetrie existují tři osy symetrie, ale pouze jeden pár symetrických stran. Protože další dvě strany – břišní a hřbetní – si nejsou podobné. Tento druh symetrie je charakteristický pro většinu zvířat, včetně hmyzu, ryb, obojživelníků, plazů, ptáků a savců.

Osová symetrie

Různé druhy symetrie fyzikálních jevů: symetrie elektrických a magnetických polí (obr. 1)

Ve vzájemně kolmých rovinách je šíření elektromagnetických vln symetrické (obr. 2)

obr.1 obr.2

Umění

U uměleckých děl lze často pozorovat zrcadlovou symetrii. Zrcadlová "symetrie se široce vyskytuje v uměleckých dílech primitivních civilizací a ve starověkém malířství. Středověké náboženské malby se také vyznačují tímto druhem symetrie."

Jedno z nejlepších Raphaelových raných děl, Zasnoubení Marie, bylo vytvořeno v roce 1504. Pod slunečně modrou oblohou se rozprostírá údolí zakončené chrámem z bílého kamene. V popředí je zásnubní obřad. Velekněz sbližuje ruce Marie a Josefa. Za Mary je skupina dívek, za Josephem skupina mladých mužů. Obě části symetrické kompozice drží pohromadě nastupující pohyb postav. Pro moderní vkus je kompozice takového obrázku nudná, protože symetrie je příliš zřejmá.

Chemie

Molekula vody má rovinu symetrie (přímá svislá čára) Molekuly DNA (kyselina deoxyribonukleová) hrají ve světě divoké přírody mimořádně důležitou roli. Jedná se o dvouvláknový vysokomolekulární polymer, jehož monomerem jsou nukleotidy. Molekuly DNA mají strukturu dvoušroubovice postavenou na principu komplementarity.

architeSZO

Od pradávna využíval člověk v architektuře symetrii. Starověcí architekti používali symetrii zvláště brilantně v architektonických strukturách. Staří řečtí architekti byli navíc přesvědčeni, že se ve svých dílech řídí zákony, kterými se řídí příroda. Volbou symetrických forem tak umělec vyjádřil své chápání přirozené harmonie jako stability a rovnováhy.

Město Oslo, hlavní město Norska, má výrazný soubor přírody a umění. To je Frogner - park - komplex krajinářských zahradnických plastik, který vznikal více než 40 let.