Képviselje a komplex számokat trigonometrikus formában online. Komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakja. Komplex számok xi

2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja

Legyen a vektor adott összetett sík szám .

Jelölje φ-vel az Ox pozitív féltengely és a vektor közötti szöget (a φ szöget pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányba számoljuk, ellenkező esetben negatívnak).

Jelölje a vektor hosszát r-rel. Akkor . Azt is jelöljük

Nullától eltérő komplex szám z felírása mint

a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Az r számot a z komplex szám modulusának, a φ számot pedig ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és Arg z-vel jelöljük.

A komplex szám írásának trigonometrikus formája - (Euler-képlet) - a komplex szám írásának exponenciális formája:

A z komplex számnak végtelen sok argumentuma van: ha φ0 a z szám bármely argumentuma, akkor az összes többi megtalálható a képlettel

Komplex szám esetén az argumentum és a trigonometrikus forma nincs megadva.

Így egy nem nulla komplex szám argumentuma az egyenletrendszer tetszőleges megoldása:

(3)

Egy z komplex szám argumentumának φ értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, főértéknek nevezzük, és arg z-vel jelöljük.

Arg z és arg z érvek egyenlőség alapján állnak összefüggésben

, (4)

Az (5) képlet a (3) rendszer következménye, így a komplex szám minden argumentuma kielégíti az (5) egyenlőséget, de az (5) egyenlet φ megoldása nem mindegyike a z szám argumentuma.

A nullától eltérő komplex szám argumentumának fő értékét a következő képletek határozzák meg:

Szorzási és osztási képletek komplex számokhoz in trigonometrikus forma a következő űrlappal rendelkezik:

. (7)

Amikor egy komplex számot természetes hatványra emelünk, a de Moivre-képletet használjuk:

Ha komplex számból kinyerünk gyököt, a képletet használjuk:

, (9)

ahol k=0, 1, 2, …, n-1.

54. feladat Számítsa ki , ahol .

Ábrázoljuk ennek a kifejezésnek a megoldását egy komplex szám írásának exponenciális alakjában: .

Ha akkor .

Akkor , . Ezért aztán És , Ahol .

Válasz: , nál nél .

55. feladat Írjon fel komplex számokat trigonometrikus formában:

A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ; és) .

Mivel egy komplex szám trigonometrikus alakja , akkor:

a) Komplex számban: .

Ezért

b) , Ahol ,

G) , Ahol ,

e) .

és) , A , Azt .

Ezért

Válasz: ; 4; ; ; ; ; .

56. feladat Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

hagyd, .

Akkor , , .

Mert és , , majd , és

Ezért tehát

Válasz: , Ahol .

57. feladat Egy komplex szám trigonometrikus alakjának felhasználásával hajtsa végre a következő műveleteket: .

Képzeld el a számokat és trigonometrikus formában.

1), hol Akkor

A fő érv értékének meghatározása:

Helyettesítsük be az értékeket és a kifejezésbe, kapjuk

2) ahol aztán

Akkor

3) Keresse meg a hányadost!

Feltéve, hogy k=0, 1, 2, hármat kapunk különböző jelentések kívánt gyökér:

Ha akkor

ha akkor

ha akkor .

Válasz: :

: .

58. feladat Legyenek , , , különböző komplex számok és . Bizonyítsd

egy szám valódi pozitív szám;

b) az egyenlőség megtörténik:

a) ábrázoljuk ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában:

Mert .

Tegyünk úgy, mintha. Akkor

Az utolsó kifejezés egy pozitív szám, mivel a szinuszjelek alatt vannak számok az intervallumból.

mert a szám valódi és pozitív. Valóban, ha a és b komplex számok, és valósak és nagyobbak nullánál, akkor .

Kívül,

tehát a megkívánt egyenlőség bebizonyosodik.

59. feladat Írja le a számot algebrai formában! .

A számot trigonometrikus formában ábrázoljuk, majd megtaláljuk az algebrai alakját. Nekünk van . Mert megkapjuk a rendszert:

Ebből következik az egyenlőség: .

De Moivre képletét alkalmazva:

kapunk

Trigonometrikus forma található adott szám.

Ezt a számot most algebrai formában írjuk:

Válasz: .

60. feladat. Keresse meg a , , összeget

Vegye figyelembe az összeget

A De Moivre-képletet alkalmazva azt találjuk

Ez az összeg n tag összege geometriai progresszió nevezővel és első tagja .

Az ilyen progresszió tagjainak összegére vonatkozó képlet alkalmazásával azt kapjuk

Kiemelés képzeletbeli rész az utolsó kifejezésben azt találjuk

A valós részt elválasztva a következő képletet is megkapjuk: , , .

61. feladat Keresse meg az összeget:

A) ; b) .

Newton képlete szerint a hatalomra emelésről megvan

De Moivre képlete szerint a következőket találjuk:

A kapott kifejezések valós és imaginárius részeit egyenlővé téve a következőre:

És .

Ezeket a képleteket tömör formában a következőképpen írhatjuk fel:

, Ahol - egész rész számok a.

62. feladat Keresse meg mindazt, amelyhez .

Mert a , majd a képlet alkalmazásával

, A gyökerek kinyeréséhez kapunk ,

Ennélfogva, , ,

, .

A számoknak megfelelő pontok a (0;0) pont középpontjában lévő 2 sugarú körbe írt négyzet csúcsaiban helyezkednek el (30. ábra).

Válasz: , ,

, .

63. feladat Oldja meg az egyenletet! , .

Feltétel szerint ; ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke, és ezért ekvivalens az egyenlettel.

Ahhoz, hogy a z szám legyen ennek az egyenletnek a gyöke, szükséges, hogy a szám legyen a gyöke n-edik fokozat 1. számtól.

Ebből arra következtetünk, hogy az eredeti egyenletnek az egyenlőségekből meghatározott gyökei vannak

És így,

azaz ,

Válasz: .

64. feladat Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazában!

Mivel a szám nem a gyöke ennek az egyenletnek, ezért ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Vagyis az egyenlet.

Ennek az egyenletnek az összes gyöke a képletből adódik (lásd a 62. feladatot):

; ; ; ; .

65. feladat Rajzoljunk a komplex síkra egy olyan ponthalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket: . (A 45. feladat megoldásának második módja)

Hadd .

Az azonos modulokkal rendelkező komplex számok a sík azon pontjainak felelnek meg, amelyek az origó középpontjában lévő körön helyezkednek el, így az egyenlőtlenség minden pontnak megfelel nyitott gyűrű, amelyet az origóban közös középpontú körök határolnak és a sugarak és (31. ábra). A komplex sík valamely pontja feleljen meg a w0 számnak. Szám , modulusa szerte kisebb, mint a w0 modulus, ami nagyobb, mint a w0 argumentum. Geometriai szempontból a w1-nek megfelelő pontot az origóra és együtthatóra összpontosuló homotétiával, valamint az origóhoz képest az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással kaphatjuk meg. Ha ezt a két transzformációt alkalmazzuk a gyűrű pontjaira (31. ábra), az utóbbi egy gyűrűvé válik, amelyet azonos középpontú, 1 és 2 sugarú körök határolnak (32. ábra).

átalakítás párhuzamos fordítással valósul meg a vektoron. A pontban középpontos gyűrűt átvisszük a jelzett vektorba, egy pontban középpontban lévő azonos méretű gyűrűt kapunk (22. ábra).

A javasolt módszer, amely a sík geometriai transzformációinak ötletét használja, valószínűleg kevésbé kényelmes a leírásban, de nagyon elegáns és hatékony.

66. feladat Keresse meg, ha .

Hagyjuk , majd és . Az eredeti egyenlőség a formáját ölti . Két komplex szám egyenlőségének feltételéből kapjuk a , , ahonnan , . És így, .

Írjuk fel a z számot trigonometrikus alakban:

, Ahol , . De Moivre képlete szerint azt találjuk, hogy .

Válasz: - 64.

67. feladat. Egy komplex számhoz keresse meg az összes olyan komplex számot, amelyre , és .

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában:

. Ennélfogva , . Ha egy számot kapunk, egyenlő lehet bármelyikkel.

Az első esetben , a másodikban

Válasz: , .

68. feladat Keresse meg a számok összegét úgy, hogy . Adja meg az egyik számot.

Vegyük észre, hogy már a probléma megfogalmazásából is érthető, hogy az egyenlet gyökeinek összege megtalálható anélkül, hogy magukat a gyököket számítanák ki. Valóban, az egyenlet gyökeinek összege együtthatója, ellenkező előjellel (az általánosított Vieta-tétel), azaz.

A tanulók, iskolai dokumentációk, következtetéseket vonnak le az asszimiláció mértékéről ezt a koncepciót. Foglalja össze a matematikai gondolkodás sajátosságainak vizsgálatát és a komplex szám fogalmának kialakításának folyamatát! A módszerek leírása. Diagnosztika: I. szakasz. Az interjú egy matematikatanárral készült, aki 10. osztályban algebrát és geometriát tanít. A beszélgetésre némi idő elteltével került sor...

Rezonancia" (!)), amely magában foglalja a saját viselkedés értékelését is. 4. A helyzet megértésének kritikus értékelése (kétségek). 5. Végül az ajánlások alkalmazása jogi pszichológia(ügyvédi könyvelés pszichológiai szempontok végzett szakmai cselekvések – szakmai és pszichológiai felkészültség). Tekintsük most a jogi tények pszichológiai elemzését. ...

A trigonometrikus helyettesítés matematikája és a kidolgozott tanítási módszertan eredményességének igazolása. A munka szakaszai: 1. Fakultatív kurzus kidolgozása a következő témában: "Trigonometrikus helyettesítés alkalmazása algebrai feladatok megoldására" témában tanulókkal elmélyült tanulmányozása matematika. 2. Kidolgozott fakultatív tanfolyam lebonyolítása. 3. Diagnosztikai ellenőrzés elvégzése...

A kognitív feladatok csak a meglévő oktatási segédanyagok kiegészítésére szolgálnak, és minden hagyományos eszközzel és elemmel megfelelő kombinációban kell lenniük. oktatási folyamat. A tanulási célok közötti különbség a tanításban bölcsészettudományok pontosból, től matematikai feladatok csak abban áll, hogy a történelmi problémákban nincsenek képletek, merev algoritmusok stb., ami bonyolítja a megoldásukat. ...

Előadás

Komplex szám trigonometrikus alakja

Terv

1. Komplex számok geometriai ábrázolása.

2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.

3. Műveletek komplex számokra trigonometrikus formában.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

a) A komplex számokat a sík pontjai ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).

1. kép

b) Egy komplex szám a pontból induló vektorként ábrázolhatóRÓL RŐL és egy adott pontban ér véget (2. ábra).

2. ábra

7. példa: A komplex számokat ábrázoló pontok ábrázolása:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).

3. ábra

Komplex számok trigonometrikus jelölése.

Összetett számz = a + kettős a sugár - vektor segítségével állítható be koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).

4. ábra

Meghatározás . Vektor hossza a komplex számot reprezentáljaz , ezt a szám modulusának nevezzük és jelöljük vagyr .

Bármilyen komplex számraz a moduljar = | z | a képlet egyedileg határozza meg .

Meghatározás . A valós tengely pozitív iránya és a vektor közötti szög értéke komplex számot reprezentáló komplex szám argumentumának nevezzük és jelöljükA rg z vagyφ .

Komplex szám argumentumz = 0 meghatározatlan. Komplex szám argumentumzA ≠ 0 egy többértékű mennyiség, és a futamidőig van meghatározva2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Aholarg z - az argumentum fő értéke, az intervallumba zárva(-π; π] , vagyis-π < arg z ≤ π (néha az intervallumhoz tartozó értéket veszik az argumentum fő értékének .

Ez a képlet ar =1 gyakran De Moivre képletének nevezik:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. példa Számítsa ki(1 + én ) 100 .

Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Kivonás négyzetgyök komplex számból.

Komplex szám négyzetgyökének kinyerésekora + kettős két esetünk van:

Hab > kb , Azt ;

3.1. Poláris koordináták

Gyakran használják a repülőn poláris koordináta-rendszer . Meghatározott, ha egy O pont adott, ún pólus, és a pólusból kiinduló sugár (nálunk ez a tengely Ox) a poláris tengely. Az M pont helyzetét két szám rögzíti: sugár (vagy sugárvektor) és a poláris tengely és a vektor közötti φ szög. A φ szöget ún polárszög; radiánban mérve és a poláris tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban számolva.

Egy pont helyzetét a polárkoordináta-rendszerben egy rendezett számpár (r; φ) adja meg. A póznán r = 0és φ nincs definiálva. Az összes többi pontra r > 0és φ 2π többszöröséig van definiálva. Ebben az esetben az (r; φ) és (r 1 ; φ 1) számpárok ugyanazt a pontot kapják, ha .

Téglalap alakú koordinátarendszerhez xOy Derékszögű koordináták pontok könnyen kifejezhetők polárkoordinátáival a következőképpen:

3.2. Komplex szám geometriai értelmezése

Tekintsük a Descartes-i síkon téglalap alakú rendszer koordináták xOy.

Bármely z=(a, b) komplex számhoz hozzá van rendelve a sík egy pontja koordinátákkal ( x, y), Ahol koordináta x = a, azaz. a komplex szám valós része, az y = bi koordináta pedig a képzetes része.

Az a sík, amelynek pontjai komplex számok, összetett sík.

Az ábrán a komplex szám z = (a, b) meccspont M(x, y).

Gyakorlat.Kép be Koordináta sík komplex számok:

3.3. Komplex szám trigonometrikus alakja

A síkban lévő komplex számnak a pont koordinátái vannak M(x; y). Ahol:

Komplex szám felírása - komplex szám trigonometrikus alakja.

Az r számot hívják modul összetett szám zés azt jelöljük. A modul egy nem negatív valós szám. Mert .

A modulus akkor és csak akkor nulla z = 0, azaz a=b=0.

A φ számot hívják érv z és jelöltük. A z argumentum kétértelműen van definiálva, mint a poláris koordináta-rendszerben a poláris szög, mégpedig 2π többszöröséig.

Ekkor elfogadjuk: , ahol φ legkisebb értékérv. Ez nyilvánvaló

A téma mélyebb tanulmányozása során bevezetünk egy φ* segédérvet, úgy, hogy

1. példa. Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

Megoldás. 1) figyelembe vesszük a modult: ;

2) φ keresése: ;

3) trigonometrikus forma:

2. példa Keresse meg egy komplex szám algebrai alakját! .

Itt elegendő az értékeket helyettesíteni trigonometrikus függvényekés átalakítja a kifejezést:

3. példa Keresse meg egy komplex szám modulusát és argumentumát ;

1) ;

2) ; φ - 4 negyedben:

3.4. Műveletek komplex számokkal trigonometrikus formában

· Összeadás és kivonás kényelmesebb komplex számokkal végrehajtani algebrai formában:

· Szorzás– egyszerű trigonometrikus transzformációk segítségével kimutatható, hogy szorzáskor a számok moduljait megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk: ;

KOMPLEX SZÁMOK XI

256. § Komplex számok trigonometrikus alakja

Legyen a komplex szám a + bi vektornak felel meg OA> koordinátákkal ( a, b ) (lásd 332. ábra).

Jelölje ennek a vektornak a hosszát r és a tengellyel bezárt szöget x , keresztül φ . A szinusz és koszinusz meghatározása szerint:

a / r = cos φ , b / r = bűn φ .

Ezért A = r kötözősaláta φ , b = r bűn φ . De ebben az esetben a komplex szám a + bi így írható:

a + bi = r kötözősaláta φ + ir bűn φ = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ).

Mint tudják, bármely vektor hosszának négyzete egyenlő a koordinátáinak négyzetösszegével. Ezért r 2 = a 2 + b 2, honnan r = √a 2 + b 2

Így, bármilyen komplex szám a + bi ként ábrázolható :

a + bi = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ), (1)

ahol r = √a 2 + b 2 , és a szög φ a feltétel alapján meghatározva:

A komplex számok írásának ezt a formáját ún trigonometrikus.

Szám r az (1) képletben ún modul, és a szög φ - érv, összetett szám a + bi .

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor a modulusa pozitív; ha a + bi = 0, akkor a = b = 0, majd r = 0.

Bármely komplex szám modulusa egyedileg meghatározott.

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor argumentumát a (2) képletek határozzák meg egyértelműen 2 szög többszöröséig π . Ha a + bi = 0, akkor a = b = 0. Ebben az esetben r = 0. Az (1) képletből könnyen megérthető, hogy érvként φ ebben az esetben bármilyen szöget választhat: végül is bármelyikhez φ

0 (cos φ + én bűn φ ) = 0.

Ezért a nulla argumentum nincs definiálva.

Komplex számmodulus r néha jelöli | z |, és az arg z . Nézzünk néhány példát a komplex számok trigonometrikus formában való ábrázolására.

Példa. 1. 1 + én .

Keressük meg a modult r és érvelés φ ez a szám.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ezért a bűn φ = 1/√ 2, cos φ = 1 / √ 2, honnan φ = π / 4 + 2nπ .

És így,

1 + én = √ 2 ,

Ahol P - tetszőleges egész szám. Általában egy komplex szám argumentumának végtelen értékkészletéből választanak ki egyet, amely 0 és 2 között van. π . Ebben az esetben ez az érték π / 4. Ezért

1 + én = √ 2 (cos π / 4 + én bűn π / 4)

2. példaÍrj trigonometrikus formában egy komplex számot! √ 3 - én . Nekünk van:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Ezért 2-vel osztható szögig π , φ = 11 / 6 π ; ennélfogva,

√ 3 - én = 2 (cos 11/6 π + én bűn 11/6 π ).

3. példaÍrj trigonometrikus formában egy komplex számot! én .

összetett szám én vektornak felel meg OA> a tengely A pontjában végződik nál nél 1. ordinátával (333. ábra). Egy ilyen vektor hossza 1, és az abszcissza tengellyel bezárt szög egyenlő π / 2. Ezért

én = cos π / 2 + én bűn π / 2 .

4. példaÍrd fel trigonometrikus alakban a 3-as komplex számot!

A 3-as komplex szám a vektornak felel meg OA > x abszcissza 3 (334. ábra).

Egy ilyen vektor hossza 3, és az x tengellyel bezárt szöge 0. Ezért

3 = 3 (cos 0 + én bűn 0),

5. példaÍrd trigonometrikus formában a -5 komplex számot!

A -5 komplex szám a vektornak felel meg OA> a tengelypontban végződik x abszcisszával -5 (335. ábra). Egy ilyen vektor hossza 5, és az x tengellyel bezárt szög π . Ezért

5 = 5 (cos π + én bűn π ).

Feladatok

2047. Írja be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, megadva moduljaikat és argumentumaikat:

1) 2 + 2√3 én , 4) 12én - 5; 7).3én ;

2) √3 + én ; 5) 25; 8) -2én ;

3) 6 - 6én ; 6) - 4; 9) 3én - 4.

2048. Jelölje a síkon azon komplex számokat reprezentáló ponthalmazokat, amelyek r moduljai és φ argumentumai teljesítik a feltételeket:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Lehetnek-e számok egyidejűleg egy komplex szám modulja is? r És - r ?

2050. Lehet-e egy komplex szám argumentuma egyszerre szög φ És - φ ?

Mutassa be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, moduljaik és argumentumaik meghatározásával:

2051*. 1 + cos α + én bűn α . 2054*. 2 (cos 20° - én sin 20°).

2052*. bűn φ + én kötözősaláta φ . 2055*. 3 (- cos 15°- én sin 15°).

Műveletek algebrai formában írt komplex számokon

A z = komplex szám algebrai alakja(a,b) az alak algebrai kifejezésének nevezzük

z = a + kettős.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal z 1 = a 1 +b 1 énÉs z 2 = a 2 +b 2 én, amelyeket algebrai formában írunk, a következőképpen hajtjuk végre.

1. Komplex számok összege (különbsége).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

azok. Az összeadás (kivonás) a polinomok összeadásának szabálya szerint történik, hasonló tagok redukálásával.

2. Komplex számok szorzata

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

azok. a szorzás a polinomok szorzásánál szokásos szabály szerint történik, figyelembe véve azt a tényt, hogy én 2 = 1.

3. Két komplex szám felosztása a következő szabály szerint történik:

, (z 2 ≠ 0),

azok. az osztást úgy hajtjuk végre, hogy az osztót és az osztót megszorozzuk az osztó konjugáltjával.

A komplex számok hatványozását a következőképpen határozzuk meg:

Ezt könnyű megmutatni

Példák.

1. Keresse meg a komplex számok összegét! z 1 = 2 – énÉs z 2 = – 4 + 3én.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3én) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) én = –2+2én.

2. Keresse meg a komplex számok szorzatát! z 1 = 2 – 3énÉs z 2 = –4 + 5én.

= (2 – 3én) ∙ (–4 + 5én) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3én)+ 2∙5én– 3i∙ 5i = 7+22én.

3. Keresse meg a privátot z felosztásból z 1 \u003d 3-2 z 2 = 3 – én.

z= .

4. Oldja meg az egyenletet:, xÉs y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3én.

A komplex számok egyenlősége alapján a következőket kapjuk:

ahol x=–1 , y= 4.

5. Számolja ki: én 2 ,én 3 ,én 4 ,én 5 ,én 6 ,én -1 , i -2 .

6. Számítsa ki, ha .

7. Számítsa ki egy szám reciprokát! z=3-én.

Komplex számok trigonometrikus formában

összetett sík síknak nevezzük derékszögű koordinátákkal ( x, y), ha minden pont koordinátákkal ( a, b) komplex számot kap z = a + bi. Ebben az esetben az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, és az y tengely az képzeletbeli. Aztán minden komplex szám a+bi geometriailag egy síkon pontként ábrázolva A (a, b) vagy vektor .

Ezért a pont helyzete A(és innen a komplex szám z) a | vektor hosszával állítható be | = rés szög j vektor alkotta | | a valós tengely pozitív irányával. Egy vektor hosszát ún komplex szám modulusaés |-vel jelöljük z|=r, és a szög j hívott komplex szám argumentumés jelöltük j = argz.

Egyértelmű, hogy | z| ³ 0 és | z | = 0 Û z= 0.

ábrából. 2 azt mutatja, hogy .

Egy komplex szám argumentuma kétértelműen, legfeljebb 2-ig van definiálva pk, kÎ Z.

ábrából. 2. ábra is mutatja, hogy ha z=a+biÉs j=argz, Hogy

kötözősaláta j =, bűn j =, tg j = .

Ha zОRÉs z > 0 akkor argz = 0 +2pk;

Ha z ОRÉs z< 0 akkor argz = p + 2pk;

Ha z= 0,argz meghatározatlan.

Az argumentum fő értékét a 0 intervallum határozza meg £argz 2 GBP p,

vagy -o£ arg z £ p.

Példák:

1. Határozza meg a komplex számok modulusát! z 1 = 4 – 3énÉs z 2 = –2–2én.