Մեխանիկական համակարգը, որը բաղկացած է նյութական կետից (մարմնից), որը կախված է միատեսակ ծանրության դաշտում անառողջ անկշռելի թելից (նրա զանգվածը աննշան է մարմնի քաշի համեմատ), կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակ (մյուս անունը՝ տատանվող): . Այս սարքի այլ տեսակներ կան. Թելի փոխարեն կարելի է օգտագործել անկշիռ ձող։ Մաթեմատիկական ճոճանակը կարող է հստակ բացահայտել շատերի էությունը հետաքրքիր երևույթներ. Տատանումների փոքր ամպլիտուդով նրա շարժումը կոչվում է ներդաշնակ։

Ընդհանուր տեղեկություններ մեխանիկական համակարգի մասին

Այս ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի բանաձեւը ստացվել է հոլանդացիների կողմից գիտնական Հյուգենս(1629-1695): Ի.Նյուտոնի այս ժամանակակիցը շատ էր սիրում այս մեխանիկական համակարգը։ 1656 թվականին նա ստեղծել է առաջին ճոճանակով ժամացույցը։ Նրանք այդ ժամանակների համար բացառիկ ճշգրտությամբ չափեցին ժամանակը։ Այս գյուտը դարձավ նշաձողզարգացման մեջ ֆիզիկական փորձերև գործնական գործունեություն:

Եթե ​​ճոճանակը գտնվում է հավասարակշռության դիրքում (կախված ուղղահայաց), ապա այն կհավասարակշռվի թելի ձգման ուժով։ Տափակ ճոճանակը անտարբեր թելի վրա երկու աստիճանի ազատության համակարգ է միացումով: Երբ դուք փոխում եք ընդամենը մեկ բաղադրիչ, փոխվում են դրա բոլոր մասերի բնութագրերը: Այսպիսով, եթե թելը փոխարինվի ձողով, ապա այս մեխանիկական համակարգը կունենա ընդամենը 1 աստիճան ազատություն։ Որո՞նք են մաթեմատիկական ճոճանակի հատկությունները: Սրանում ամենապարզ համակարգըպարբերական խառնաշփոթի ազդեցության տակ քաոս է առաջանում։ Այն դեպքում, երբ կախման կետը չի շարժվում, այլ տատանվում է, ճոճանակն ունի նոր հավասարակշռության դիրք։ Արագ վեր ու վար տատանումներով այս մեխանիկական համակարգը ձեռք է բերում կայուն գլխիվայր դիրք: Նա նաև ունի իր անունը. Այն կոչվում է Կապիցայի ճոճանակ։

ճոճանակի հատկությունները

Մաթեմատիկական ճոճանակը շատ հետաքրքիր հատկություններ ունի։ Դրանք բոլորը հաստատված են հայտնիներով ֆիզիկական օրենքներ. Ցանկացած այլ ճոճանակի տատանումների ժամանակահատվածը կախված է տարբեր հանգամանքներից, ինչպիսիք են մարմնի չափը և ձևը, կախվածության կետի և ծանրության կենտրոնի միջև եղած հեռավորությունը, զանգվածի բաշխումը այս կետի նկատմամբ: Այդ իսկ պատճառով կախված մարմնի ժամանակաշրջանի որոշումը բավականին է դժվար առաջադրանք. Շատ ավելի հեշտ է հաշվարկել ժամանակահատվածը մաթեմատիկական ճոճանակ, որի բանաձեւը կտրվի ստորեւ։ Նմանատիպ մեխանիկական համակարգերի դիտարկումների արդյունքում կարելի է հաստատել հետևյալ օրինաչափությունները.

Եթե ​​ճոճանակի նույն երկարությունը պահպանելով, տարբեր կշիռներ կասեցվեն, ապա դրանց տատանումների ժամանակաշրջանը կստացվի նույնը, թեև դրանց զանգվածները մեծապես կտարբերվեն: Հետեւաբար, նման ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ բեռի զանգվածից:

Եթե ​​համակարգը գործարկելիս ճոճանակը շեղվում է ոչ շատ մեծ, բայց տարբեր անկյուններ, ապա այն տատանվելու է նույն պարբերությամբ, բայց տարբեր ամպլիտուդներով։ Քանի դեռ հավասարակշռության կենտրոնից շեղումները չափազանց մեծ չեն, դրանց տեսքով տատանումները բավականին մոտ կլինեն ներդաշնակներին։ Նման ճոճանակի պարբերությունը ոչ մի կերպ կախված չէ տատանման ամպլիտուդից։ Այս մեխանիկական համակարգի այս հատկությունը կոչվում է իզոխրոնիզմ (թարգմանաբար հունարեն «chronos» - ժամանակ, «isos» - հավասար):

Մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակաշրջանը

Այս ցուցանիշը ներկայացնում է ժամանակաշրջանը Չնայած բարդ ձևակերպմանը, գործընթացն ինքնին շատ պարզ է: Եթե ​​մաթեմատիկական ճոճանակի թելի երկարությունը L է, իսկ ազատ անկման արագացումը՝ g, ապա այս արժեքը հավասար է.

Փոքր բնական տատանումների ժամանակաշրջանը ոչ մի կերպ կախված չէ ճոճանակի զանգվածից և տատանումների ամպլիտուդից։ Այս դեպքում ճոճանակը շարժվում է մաթեմատիկական ճոճանակի նման՝ կրճատված երկարությամբ։

Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումներ

Մաթեմատիկական ճոճանակը տատանվում է, որը կարելի է նկարագրել պարզ դիֆերենցիալ հավասարմամբ.

x + ω2 sin x = 0,

որտեղ x (t) անհայտ ֆունկցիա է (սա t ժամանակի ստորին հավասարակշռության դիրքից շեղման անկյունն է՝ արտահայտված ռադիաններով); ω-ն դրական հաստատուն է, որը որոշվում է ճոճանակի պարամետրերից (ω = √g/L, որտեղ g-ը գրավիտացիոն արագացումն է, իսկ L-ն՝ մաթեմատիկական ճոճանակի երկարությունը (կախոց):

Հավասարակշռության դիրքի մոտ փոքր տատանումների հավասարումը ( ներդաշնակ հավասարում) այսպիսի տեսք ունի.

x + ω2 sin x = 0

Ճոճանակի տատանողական շարժումները

Փոքր տատանումներ կատարող մաթեմատիկական ճոճանակը շարժվում է սինուսոիդի երկայնքով: Դիֆերենցիալ հավասարումերկրորդ կարգի համապատասխանում է նման շարժման բոլոր պահանջներին և պարամետրերին: Հետագիծը որոշելու համար դուք պետք է նշեք արագությունը և կոորդինատը, որից հետո որոշվում են անկախ հաստատունները.

x \u003d Մեղք (θ 0 + ωt),

որտեղ θ 0-ը սկզբնական փուլն է, A-ն՝ տատանման ամպլիտուդան, ω-ն՝ շարժման հավասարումից որոշված ​​ցիկլային հաճախականությունը:

Մաթեմատիկական ճոճանակ (բանաձևեր մեծ ամպլիտուդների համար)

Այս մեխանիկական համակարգը, որն իր տատանումները կատարում է զգալի ամպլիտուդով, ենթակա է շարժման ավելի բարդ օրենքների։ Նման ճոճանակի համար դրանք հաշվարկվում են բանաձևով.

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

որտեղ sn-ը Յակոբյան սինուսն է, որը u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым եռանկյունաչափական սինուս. u-ի արժեքը որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ.

u = (ε + ω2)/2ω2,

որտեղ ε = E/mL2 (mL2-ը ճոճանակի էներգիան է):

Ոչ գծային ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը որոշվում է բանաձևով.

որտեղ Ω = π/2 * ω/2K(u), K-ն էլիպսային ինտեգրալն է, π - 3,14.

Ճոճանակի շարժումը տարանջատման երկայնքով

Տարանջատումը դինամիկ համակարգի հետագիծ է, որն ունի երկչափ փուլային տարածություն: Մաթեմատիկական ճոճանակը շարժվում է նրա երկայնքով ոչ պարբերական։ Ժամանակի անսահման հեռավոր պահին այն զրոյական արագությամբ ընկնում է ծայրահեղ վերին դիրքից դեպի կողմը, ապա աստիճանաբար վերցնում է այն: Այն ի վերջո դադարում է՝ վերադառնալով իր սկզբնական դիրքին:

Եթե ​​ճոճանակի տատանման ամպլիտուդը մոտենում է թվին π , սա ցույց է տալիս, որ փուլային հարթության վրա շարժումը մոտենում է տարանջատմանը: Այս դեպքում, փոքր շարժիչ ուժի գործողության ներքո, մեխանիկական համակարգը դրսևորում է քաոսային վարքագիծ:

Երբ մաթեմատիկական ճոճանակը շեղվում է հավասարակշռության դիրքից որոշակի φ անկյան հետ, առաջանում է ձգողականության շոշափող ուժ Fτ = -mg sin φ։ Մինուս նշանը նշանակում է, որ այս շոշափող բաղադրիչն ուղղված է ճոճանակի շեղումից հակառակ ուղղությամբ: Երբ ճոճանակի տեղաշարժը L շառավղով շրջանագծի աղեղի երկայնքով նշանակվում է x-ով, նրա անկյունային տեղաշարժը հավասար է φ = x/L: Երկրորդ օրենքը, որը նախատեսված է կանխատեսումների և ուժի համար, կտա ցանկալի արժեքը.

մգ τ = Fτ = -mg sinx/L

Ելնելով այս հարաբերությունից՝ կարելի է տեսնել, որ այս ճոճանակը ոչ գծային համակարգ է, քանի որ այն ուժը, որը ձգտում է վերադարձնել այն իր հավասարակշռության դիրքին, միշտ համաչափ է ոչ թե x-ի տեղաշարժին, այլ՝ x/L-ին:

Միայն այն ժամանակ, երբ մաթեմատիկական ճոճանակը կատարում է փոքր տատանումներ, այն ներդաշնակ տատանվող է: Այսինքն՝ այն դառնում է ներդաշնակ թրթռումներ կատարելու ունակ մեխանիկական համակարգ։ Այս մոտարկումը գործնականում վավեր է 15-20° անկյունների համար: Մեծ ամպլիտուդներով ճոճանակի տատանումները ներդաշնակ չեն։

Նյուտոնի օրենքը ճոճանակի փոքր տատանումների համար

Եթե ​​տվյալ մեխանիկական համակարգը կատարում է փոքր թրթռումներ, Նյուտոնի 2-րդ օրենքը կունենա հետևյալ տեսքը.

մգ τ = Fτ = -m* g/L* x.

Ելնելով դրանից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ մաթեմատիկական ճոճանակը համամասնական է իր տեղաշարժին մինուս նշանով։ Սա այն պայմանն է, որի պատճառով համակարգը դառնում է ներդաշնակ տատանվող: Տեղաշարժի և արագացման միջև համաչափության գործոնի մոդուլը հավասար է շրջանաձև հաճախականության քառակուսուն.

ω02 = գ/լ; ω0 = √g/L:

Այս բանաձևը արտացոլում է այս տեսակի ճոճանակի փոքր տատանումների բնական հաճախականությունը։ Ելնելով դրանից՝

T = 2π/ ω0 = 2π√ գ/լ.

Հաշվարկներ՝ հիմնված էներգիայի պահպանման օրենքի վրա

Ճոճանակի հատկությունները կարելի է նկարագրել նաև էներգիայի պահպանման օրենքի միջոցով։ Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ ձգողականության դաշտում ճոճանակը հավասար է.

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Ընդհանուրը հավասար է կինետիկ կամ առավելագույն պոտենցիալին՝ Epmax = Ekmsx = E

Էներգիայի պահպանման օրենքը գրելուց հետո վերցվում է հավասարման աջ և ձախ կողմերի ածանցյալը.

Քանի որ հաստատունների ածանցյալը 0 է, ապա (Ep + Ek)" = 0: Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին.

Ep" = (mg/L*x2/2)" = մգ/2L*2x*x" ​​= մգ/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v» = mv*α,

հետևաբար.

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0:

Վերջին բանաձեւի հիման վրա մենք գտնում ենք՝ α = - g/L*x:

Մաթեմատիկական ճոճանակի գործնական կիրառում

Արագացումը տատանվում է՝ կախված լայնությունից՝ որպես խտություն երկրի ընդերքըամբողջ մոլորակի վրա նույնը չէ: Այնտեղ, որտեղ ավելի մեծ խտությամբ ժայռեր են առաջանում, այն որոշ չափով ավելի բարձր կլինի: Մաթեմատիկական ճոճանակի արագացումը հաճախ օգտագործվում է երկրաբանական հետախուզման համար։ Այն օգտագործվում է տարբեր օգտակար հանածոների որոնման համար: Պարզապես հաշվելով ճոճանակի ճոճանակների քանակը, դուք կարող եք գտնել Երկրի աղիքներում. ածուխկամ հանքաքար։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման բրածոների խտությունն ու զանգվածն ավելի մեծ է, քան դրանց հիմքում ընկած չամրացված ապարները:

Մաթեմատիկական ճոճանակն օգտագործել են այնպիսի ականավոր գիտնականներ, ինչպիսիք են Սոկրատեսը, Արիստոտելը, Պլատոնը, Պլուտարքոսը, Արքիմեդը: Նրանցից շատերը կարծում էին, որ այս մեխանիկական համակարգը կարող է ազդել մարդու ճակատագրի և կյանքի վրա։ Արքիմեդն իր հաշվարկներում օգտագործել է մաթեմատիկական ճոճանակ։ Մեր օրերում շատ օկուլտիստներ և էքստրասենսներ օգտագործում են այս մեխանիկական համակարգը իրենց մարգարեությունները կատարելու կամ անհայտ կորած մարդկանց որոնելու համար։

Ֆրանսիացի հայտնի աստղագետ և բնագետ Ք.Ֆլամարիոնը նույնպես իր հետազոտությունների համար օգտագործել է մաթեմատիկական ճոճանակ։ Նա պնդում էր, որ իր օգնությամբ կարողացել է գուշակել հայտնագործությունը նոր մոլորակ, արտաքին տեսք Տունգուսկա երկնաքարեւ ուրիշներ կարևոր իրադարձություններ. Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի տարիներին Գերմանիայում (Բեռլին) աշխատել է ճոճանակի մասնագիտացված ինստիտուտ։ Այսօր նմանատիպ հետազոտություններով զբաղվում է Մյունխենի պարահոգեբանության ինստիտուտը։ Այս հաստատության աշխատակիցները ճոճանակով իրենց աշխատանքը անվանում են «ռադիեսթեզիա»։

Մաթեմատիկական ճոճանակ- սա նյութական կետ է, որը կախված է անկշռելի և անքակտելի թելի վրա, որը գտնվում է Երկրի ձգողության դաշտում: Մաթեմատիկական ճոճանակը իդեալականացված մոդել է, որը ճիշտ նկարագրում է իրական ճոճանակը միայն որոշակի պայմաններում: Իրական ճոճանակը կարելի է մաթեմատիկական համարել, եթե թելի երկարությունը շատ ավելի մեծ է, քան դրա վրա կախված մարմնի չափսերը, թելի զանգվածը մարմնի զանգվածի համեմատ աննշան է, իսկ թելի դեֆորմացիաներն այնքան փոքր են։ որ դրանք կարող են ընդհանրապես անտեսվել։

Տատանվող համակարգը այս դեպքում ձևավորվում է թելով, դրան կցված մարմնի և Երկրի միջոցով, առանց որի այս համակարգը չէր կարող ծառայել որպես ճոճանակ։

Որտեղ Ա X – արագացում, է - ձգողության արագացում, X- օֆսեթ, լճոճանակի պարանի երկարությունն է։

Այս հավասարումը կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների հավասարումը.Այն ճիշտ է նկարագրում դիտարկվող տատանումները միայն այն դեպքում, երբ կատարվում են հետևյալ ենթադրությունները.

2) դիտարկվում են ճոճանակի միայն փոքր տատանումները փոքր ճոճվող անկյունով:

Ցանկացած համակարգերի ազատ թրթռումները բոլոր դեպքերում նկարագրվում են նմանատիպ հավասարումներով:

Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների պատճառներն են.

1. Լարվածության ուժի և ձգողականության ուժի ճոճանակի վրա գործողությունը՝ կանխելով դրա տեղափոխումը հավասարակշռության դիրքից և ստիպելով նորից ընկնել։

2. Ճոճանակի իներցիան, որի շնորհիվ այն, պահպանելով իր արագությունը, հավասարակշռության դիրքում կանգ չի առնում, այլ անցնում է դրա միջով ավելի:

Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների ժամանակաշրջանը

Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չէ նրա զանգվածից, այլ որոշվում է միայն թելի երկարությամբ և ազատ անկման արագացումով այն վայրում, որտեղ գտնվում է ճոճանակը։

Էներգիայի փոխակերպում ներդաշնակ թրթռումների ժամանակ

Զսպանակային ճոճանակի ներդաշնակ տատանումներով առաձգականորեն դեֆորմացված մարմնի պոտենցիալ էներգիան վերածվում է նրա կինետիկ էներգիայի, որտեղ կ – առաձգականության գործակից, X -ճոճանակի տեղաշարժման մոդուլը հավասարակշռության դիրքից, մ- ճոճանակի զանգվածը, v- նրա արագությունը: Հարմոնիկ տատանումների հավասարման համաձայն.

, .

Զսպանակային ճոճանակի ընդհանուր էներգիան.

.

Ընդհանուր էներգիան մաթեմատիկական ճոճանակի համար.

Մաթեմատիկական ճոճանակի դեպքում

Էներգիայի փոխակերպումները զսպանակային ճոճանակի տատանումների ժամանակ տեղի են ունենում մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն ( ) Երբ ճոճանակը շարժվում է վերև կամ վար հավասարակշռության դիրքից, նրա պոտենցիալ էներգիան մեծանում է, իսկ կինետիկ էներգիան նվազում է։ Երբ ճոճանակն անցնում է հավասարակշռության դիրքը ( X= 0), նրա պոտենցիալ էներգիան հավասար է զրոյի, իսկ ճոճանակի կինետիկ էներգիան ունի ամենամեծ արժեքը՝ հավասար նրա ընդհանուր էներգիային։

Այսպիսով, ճոճանակի ազատ տատանումների գործընթացում նրա պոտենցիալ էներգիան վերածվում է կինետիկի, կինետիկ՝ պոտենցիալի, պոտենցիալը, այնուհետև նորից կինետիկի և այլն։ Բայց ընդհանուր մեխանիկական էներգիան մնում է անփոփոխ։

Հարկադիր թրթռումներ. Ռեզոնանս.

Արտաքին պարբերական ուժի ազդեցությամբ տեղի ունեցող տատանումները կոչվում են հարկադիր թրթռումներ. Արտաքին պարբերական ուժը, որը կոչվում է շարժիչ ուժ, լրացուցիչ էներգիա է հաղորդում տատանողական համակարգին, որն օգտագործվում է շփման պատճառով էներգիայի կորուստները լրացնելու համար։ Եթե ​​շարժիչ ուժը ժամանակի ընթացքում փոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն, ապա հարկադիր տատանումները կլինեն ներդաշնակ և անխոնջ:

Ի տարբերություն ազատ տատանումների, երբ համակարգը էներգիա է ստանում միայն մեկ անգամ (երբ համակարգը դուրս է բերվում հավասարակշռությունից), հարկադիր տատանումների դեպքում համակարգը շարունակաբար կլանում է այդ էներգիան արտաքին պարբերական ուժի աղբյուրից։ Այս էներգիան փոխհատուցում է շփման հաղթահարման վրա ծախսված կորուստները, և հետևաբար ոչ տատանողական համակարգի ընդհանուր էներգիան մնում է անփոփոխ:

Հարկադիր տատանումների հաճախականությունը հավասար է շարժիչ ուժի հաճախականությանը. Երբ շարժիչ ուժի հաճախականությունը υ համընկնում է տատանողական համակարգի բնական հաճախականության հետ υ 0 , կա հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճ. ռեզոնանս. Ռեզոնանսը տեղի է ունենում, քանի որ υ = υ 0 Արտաքին ուժը, ժամանակին գործելով ազատ թրթռումներով, միշտ ուղղորդվում է տատանվող մարմնի արագության հետ և դրական աշխատանք է կատարում. տատանվող մարմնի էներգիան մեծանում է, իսկ տատանումների ամպլիտուդը մեծանում է։ Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածության գրաֆիկ Ա Տ շարժիչ ուժի հաճախականության վրա υ Նկարում ներկայացված այս գրաֆիկը կոչվում է ռեզոնանսային կոր.

Ռեզոնանսային ֆենոմենը կարևոր դեր է խաղում մի շարք բնական, գիտական ​​և արդյունաբերական գործընթացներում։ Օրինակ, բեռի տակ թրթռում ապրող կամուրջներ, շենքեր և այլ կառույցներ նախագծելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել ռեզոնանսի երևույթը, հակառակ դեպքում, որոշակի պայմաններում, այդ կառույցները կարող են ոչնչացվել:

Մաթեմատիկական ճոճանակկանչեց նյութական կետկախվել է կախոցին ամրացված և ծանրության (կամ այլ ուժի) դաշտում գտնվող անկշիռ և անառողջ թելերի վրա։

Մենք ուսումնասիրում ենք մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները իներցիոն հղման համակարգում, որի նկատմամբ նրա կախման կետը գտնվում է հանգստի վիճակում կամ միատեսակ շարժվում է ուղիղ գծով։ Մենք անտեսելու ենք օդի դիմադրության ուժը (իդեալական մաթեմատիկական ճոճանակ): Սկզբում ճոճանակը գտնվում է հանգստի վիճակում C հավասարակշռության դիրքում: Այս դեպքում ձգողականության ուժը \(\vec F\) և դրա վրա ազդող թելի առաձգական ուժը փոխադարձ են: փոխհատուցվել է.

Եկեք ճոճանակը դուրս բերենք հավասարակշռության դիրքից (այն շեղելով, օրինակ, դեպի A դիրք) և թողնենք, որ գնա առանց նախնական արագության (նկ. 13.11): Այս դեպքում \(\vec F\) և \(\vec F_(ynp)\) ուժերը միմյանց չեն հավասարակշռում։ Ճոճանակի վրա գործող ձգողականության \(\vec F_\tau\) շոշափող բաղադրիչը նրան տալիս է շոշափելի արագացում \(\vec a_\tau\) (մաթեմատիկականի հետագծի շոշափողի երկայնքով ուղղված ընդհանուր արագացման բաղադրիչը. ճոճանակ), և ճոճանակը սկսում է շարժվել դեպի հավասարակշռության դիրք արագության մոդուլի աճով: Այսպիսով, ձգողականության տանգենցիալ բաղադրիչը \(\vec F_\tau\) վերականգնող ուժն է: Ձգողության նորմալ բաղադրիչը \(\vec F_n\) ուղղված է թելի երկայնքով առաձգական ուժի դեմ \(\vec F_(ynp)\): \(\vec F_n\) և \(\vec F_(ynp)\) ուժերի արդյունքը ճոճանակին տալիս է նորմալ արագացում \(~a_n\), որը փոխում է արագության վեկտորի ուղղությունը, և ճոճանակը շարժվում է երկայնքով: մի աղեղ Ա Բ Գ Դ.

Որքան մոտենում է ճոճանակը C հավասարակշռության դիրքին, այնքան փոքր է դառնում \(~F_\tau = F \sin \alpha\) շոշափող բաղադրիչի արժեքը: Հավասարակշռության դիրքում այն ​​հավասար է զրոյի, և արագությունը հասնում է իր առավելագույն արժեքին, իսկ ճոճանակը իներցիայով առաջ է շարժվում՝ դեպի վեր բարձրանալով աղեղի երկայնքով: Այս դեպքում \(\vec F_\tau\) բաղադրիչն ուղղված է արագության դեմ։ Շեղման a անկյան մեծացմամբ \(\vec F_\tau\) ուժի մոդուլը մեծանում է, իսկ արագության մոդուլը նվազում է, իսկ D կետում ճոճանակի արագությունը հավասարվում է զրոյի։ Ճոճանակը մի պահ կանգ է առնում, այնուհետև սկսում է շարժվել հավասարակշռության դիրքի հակառակ ուղղությամբ: Կրկին անցնելով այն իներցիայով, ճոճանակը, դանդաղելով, կհասնի A կետին (առանց շփման), այսինքն. ամբողջ թափ է տալիս. Դրանից հետո ճոճանակի շարժումը կկրկնվի արդեն նկարագրված հաջորդականությամբ։

Մենք ստանում ենք մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումները նկարագրող հավասարում:

Թող ճոճանակը տվյալ պահին լինի B կետում: Նրա S տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից այս պահին հավասար է CB աղեղի երկարությանը (այսինքն՝ S = |CB|): Նշեք կախովի թելի երկարությունը լև ճոճանակի զանգվածը - մ.

Նկար 13.11-ը ցույց է տալիս, որ \(~F_\tau = F \sin \alpha\), որտեղ \(\alpha =\frac(S)(l).\) Փոքր անկյուններում \(~(\alpha):<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Այս բանաձևում մինուս նշանը դրվում է այն պատճառով, որ ծանրության շոշափող բաղադրիչն ուղղված է դեպի հավասարակշռության դիրքը, իսկ տեղաշարժը հաշվվում է հավասարակշռության դիրքից:

Համաձայն Նյուտոնի երկրորդ օրենքի \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Մենք նախագծում ենք այս հավասարման վեկտորային մեծությունները մաթեմատիկական ճոճանակի հետագծի շոշափողի ուղղությամբ։

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Այս հավասարումներից մենք ստանում ենք

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - մաթեմատիկական ճոճանակի շարժման դինամիկ հավասարում: Մաթեմատիկական ճոճանակի շոշափելի արագացումը համաչափ է նրա տեղաշարժին և ուղղված է դեպի հավասարակշռության դիրքը։ Այս հավասարումը կարելի է գրել \ ձևով: Համեմատելով այն ներդաշնակ տատանումների \(~a_x + \omega^2x = 0\) հավասարման հետ (տես § 13.3), կարող ենք եզրակացնել, որ մաթեմատիկական ճոճանակը կատարում է ներդաշնակ տատանումներ։ Եվ քանի որ ճոճանակի դիտարկվող տատանումները տեղի են ունեցել միայն ներքին ուժերի ազդեցությամբ, դրանք ճոճանակի ազատ տատանումներ էին։ Հետևաբար, Փոքր շեղումներով մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումները ներդաշնակ են։

Նշում ենք \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) որտեղից \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) ճոճանակի ցիկլային հաճախականությունն է:

Ճոճանակի տատանման ժամանակաշրջանը \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Հետևաբար.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g))\)

Այս արտահայտությունը կոչվում է Հյուգենսի բանաձևը.Այն որոշում է մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների ժամանակաշրջանը։ Բանաձևից հետևում է, որ հավասարակշռության դիրքից շեղման փոքր անկյուններում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը. 1) կախված չէ նրա զանգվածից և տատանման ամպլիտուդից. 2) համեմատական ​​է ճոճանակի երկարության քառակուսի արմատին և հակադարձ համեմատական ​​է գրավիտացիոն արագացման քառակուսի արմատին: Սա համահունչ է մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումների փորձարարական օրենքներին, որոնք հայտնաբերել է Գ.Գալիլեոն։

Մենք շեշտում ենք, որ այս բանաձևը կարող է օգտագործվել ժամանակաշրջանը հաշվարկելու համար, եթե միաժամանակ բավարարվեն երկու պայմաններ. 1) ճոճանակի տատանումները պետք է լինեն փոքր. 2) ճոճանակի կախովի կետը պետք է լինի հանգստի վիճակում կամ շարժվի միատեսակ ուղղագիծ՝ համեմատած այն իներցիոն հղման համակարգի հետ, որում այն ​​գտնվում է։

Եթե ​​մաթեմատիկական ճոճանակի կախման կետը շարժվում է \(\vec a\) արագացմամբ, ապա փոխվում է թելի լարման ուժը, ինչը հանգեցնում է վերականգնող ուժի փոփոխության, հետևաբար՝ տատանումների հաճախականության և ժամանակաշրջանի։ Ինչպես ցույց են տալիս հաշվարկները, ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը այս դեպքում կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

որտեղ \(~g"\) ճոճանակի «արդյունավետ» արագացումն է ոչ իներցիոն հղման համակարգում: Այն հավասար է ազատ անկման արագացման երկրաչափական գումարին \(\vec g\) և վեկտորի հակառակ վեկտորին: վեկտոր \(\vec a\), այսինքն, այն կարելի է հաշվարկել բանաձևով

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

գրականություն

Ակսենովիչ Լ.Ա. Ֆիզիկա ավագ դպրոցում. Տեսություն. Առաջադրանքներ. Թեստեր՝ Պրոց. նպաստ տրամադրող հաստատությունների համար ընդհանուր. միջավայրեր, կրթություն / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Էդ. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 374-376.

Մաթեմատիկական ճոճանակ.

Մաթեմատիկական ճոճանակը նյութական կետ է, որը կախված է անքաշ անկշիռ թելի վրա, որը տատանվում է մեկ ուղղահայաց հարթության վրա՝ ձգողականության ազդեցության տակ։

Նման ճոճանակ կարելի է համարել m զանգվածի ծանր գնդիկ՝ կախված բարակ թելի վրա, որի l երկարությունը շատ ավելի մեծ է, քան գնդակի չափը։ Եթե ​​ուղղահայաց գծից α անկյան տակ (նկ. 7.3.) շեղվում է, ապա F ուժի ազդեցությամբ՝ P քաշի բաղադրիչներից մեկը, այն կտատանվի։ Մյուս բաղադրիչը, որն ուղղված է թելի երկայնքով, հաշվի չի առնվում, քանի որ հավասարակշռված լարային լարվածությամբ: Փոքր տեղաշարժման անկյուններում, իսկ հետո x-կոորդինատը կարելի է հաշվել հորիզոնական ուղղությամբ: Նկար 7.3-ից երևում է, որ թելին ուղղահայաց քաշային բաղադրիչը հավասար է.

Ուժի պահը O: կետի նկատմամբ, և իներցիայի պահը.
M=FL .
Իներցիայի պահ Ջայս դեպքում
Անկյունային արագացում.

Հաշվի առնելով այս արժեքները՝ մենք ունենք.

(7.8)

Նրա որոշումը
,

որտեղ և

(7.9)

Ինչպես տեսնում եք, մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված է դրա երկարությունից և ձգողության արագացումից և կախված չէ տատանումների ամպլիտուդից։

ֆիզիկական ճոճանակ.

Ֆիզիկական ճոճանակը կոշտ մարմին է, որը ամրացված է ֆիքսված հորիզոնական առանցքի (կախովի առանցքի) վրա, որը չի անցնում ծանրության կենտրոնով և ծանրության ազդեցությամբ տատանվում է այս առանցքի շուրջ։ Ի տարբերություն մաթեմատիկական ճոճանակի՝ նման մարմնի զանգվածը չի կարող դիտարկվել որպես կետային զանգված։

Փոքր շեղման α անկյուններում (նկ. 7.4) ֆիզիկական ճոճանակը կատարում է նաև ներդաշնակ տատանումներ։ Մենք կենթադրենք, որ ֆիզիկական ճոճանակի կշիռը կիրառվում է նրա ծանրության կենտրոնի վրա C կետում: Այն ուժը, որը վերադարձնում է ճոճանակը հավասարակշռության դիրքի, այս դեպքում կլինի ծանրության բաղադրիչը՝ F ուժը:

Աջ կողմի մինուս նշանը նշանակում է, որ F ուժն ուղղված է α անկյան նվազմանը: Հաշվի առնելով α անկյան փոքրությունը

Մաթեմատիկական և ֆիզիկական ճոճանակների շարժման օրենքը հանելու համար մենք օգտագործում ենք պտտվող շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումը.

Ուժի պահը. չի կարելի հստակ որոշել: Հաշվի առնելով ֆիզիկական ճոճանակի տատանումների սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման մեջ ներառված բոլոր մեծությունները, այն ունի ձև.

մի հավատա քո գործ.Ուշադիր կարդացեք այս բոլոր հոդվածները: Այդ ժամանակ այն պարզ կդառնա, ինչպես փայլող Արեգակը:

Ինչպես ձեռքն ու ուղեղը խորհրդավոր ուժ չունեն բոլոր մարդկանց մեջ, այնպես էլ ճոճանակը՝ ոչ բոլոր մարդկանց ձեռքում, կարող է խորհրդավոր դառնալ։ Այս ուժը ձեռք չի բերվում, այլ ծնվում է մարդու հետ միասին։ Մի ընտանիքում մեկը հարուստ է ծնվում, մյուսը՝ աղքատ։ Ոչ ոք ի վիճակի չէ բնական հարուստներին աղքատացնել կամ հակառակը։ Հիմա սրանով հասկացաք, թե ինչ էի ուզում ձեզ ասել։ Եթե ​​չես հասկանում, մեղադրիր ինքդ քեզ, դու այդպես ծնվել ես։

Ի՞նչ է ճոճանակը: Ինչից է այն պատրաստված: Ճոճանակը ցանկացած ազատ շարժվող մարմին է, որը կապված է թելերին: Վարպետի ձեռքում նույնիսկ հասարակ եղեգն է երգում բլբուլի պես։ Նաև տաղանդավոր կենսավարպետի ձեռքում ճոճանակն անհավատալի ազդեցություն է թողնում կեցության և մարդու գոյության ոլորտում։

Միշտ չէ, որ պատահում է, որ ձեզ հետ ճոճանակ եք տանում։ Այսպիսով, ես ստիպված էի գտնել մի ընտանիքի կորած մատանին, բայց ես ինձ հետ ճոճանակ չունեի: Նայեցի շուրջս և աչքս գրավեց գինու խցանը։ Խցանափայտի կեսից մոտավորապես դանակով մի փոքր կտրվածք արեցի ու թելը ամրացրեցի։ Ճոճանակը պատրաստ է։
Ես նրան հարցրի. «Ինձ հետ ազնվորեն կաշխատե՞ս»։ Նա հաստատապես ուժեղ պտտվեց ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ կարծես ուրախ արձագանքելով։ Մտավոր տեղեկացրեք նրան. «Այդ դեպքում եկեք գտնենք կորած մատանին»: Ճոճանակը կրկին օրորվեց՝ ի նշան համաձայնության։ Ես սկսեցի շրջել բակով։

Որովհետեւ հարսը ասաց, որ դեռ չի հասցրել տուն մտնել, երբ նկատել է, որ իր մատին մատանի չկա։ Նա նաև ասաց, որ վաղուց էր ուզում գնալ ոսկերչի մոտ, քանի որ մատները բարակել էին, և մատանին սկսեց ընկնել։ Հանկարծ ձեռքերիս վրա ճոճանակը մի փոքր շարժվեց, մի փոքր ետ շրջվեց, ճոճանակը լռեց։ Ես առաջ գնացի, բայց ճոճանակը նորից շարժվեց։ Շարունակեցի, նորից լռեցի, ապշեցի։ Ձախ կողմում ճոճանակը լուռ է, առաջ՝ լուռ։ Ճիշտ է, ոչ մի տեղ գնա: Այնտեղ մի փոքրիկ խրամատ կա։ Հանկարծ ես լուսավորվեցի և ճոճանակը պահեցի անմիջապես ջրի վերևում։ Ճոճանակը սկսեց ինտենսիվ պտտվել ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ Զանգեցի հարսիս ու ցույց տվեցի մատանու տեղը։
Աչքերում ուրախությամբ նա սկսեց ման գալ ջրանցքի երկայնքով և արագ մատանի գտավ։ Պարզվում է, որ նա ձեռքերը լվանում էր խրամատում, և այդ ժամանակ մատանին ընկավ, բայց նա չէր նկատել։ Բոլոր ներկաները հիացած էին գինու խցանի աշխատանքով։

Ոչ բոլոր մարդիկ են ծնվում գուշակ կամ գուշակ: Ոչ բոլոր գուշակները կամ գուշակները հաջողությամբ են աշխատում: Միայնակ գուշակները աշխատում են ավելի փոքր սխալներով, և շատերը խաբում են գնչուների պես: Այդպես է ճոճանակը: Անպիտան մարդու համար դա անպիտան բան է, թեև ոսկուց է, բայց արժեք չունի։ Իսկական վարպետի ձեռքում սովորական քարի կամ ընկույզի կտորը հրաշքներ է գործում։
Երեկվա պես հիշում եմ. Մի հանդիպման ժամանակ ես հանեցի բաճկոնս ու մի քիչ դուրս եկա։ Երբ նա վերադարձավ, նա զգաց, որ ինչ-որ բան այն չէ իր սրտում: Մեխանիկորեն նա սկսեց քրքրել գրպանը։ Պարզվեց, որ ինչ-որ մեկը վերցրեց իմ արծաթե ճոճանակը։ Ես լռեցի ու ոչ մեկին չասացի կատարվածի մասին։
Շատ օրեր անցան, և մի օր այն մարդկանցից մեկը, ով մեզ հետ նստել էր այն հավաքույթին, որտեղ կորել էր իմ ճոճանակը, եկավ իմ տուն։ Նա խորապես ներողություն խնդրեց և ինձ մեկնեց ճոճանակը։ Ստացվում է, որ նա կարծում էր, որ ամբողջ ուժը իմ ճոճանակի վրա է, և կարծում էր, որ այս ճոճանակը կաշխատի իր և ինձ համար։
Երբ նա հասկացավ իր սխալը, խիղճը երկար տանջեց նրան և վերջապես որոշեց ճոճանակը վերադարձնել տիրոջը։ Ես ընդունեցի նրա ներողությունը և նույնիսկ թեյ հյուրասիրեցի և նույնիսկ ախտորոշեցի: Ես նրա մոտ ճոճանակով բազմաթիվ հիվանդություններ գտա ու համապատասխան դեղամիջոցներ պատրաստեցի։
Որոշ մարդիկ բուժման և գուշակության բնական շնորհ ունեն: Այս տաղանդը տարիներ շարունակ ի հայտ չի եկել։ Երբեմն պատահում է, որ նրանք հանդիպում են գիտակին, և նա ցույց է տալիս իր ճակատագրի կյանքի ուղին:
Վերջերս միջին տարիքի մի կին էր եկել ախտորոշման. Նրա արտաքինից չես կարող ասել, որ նա հիվանդ է։ Նա դժգոհում էր վերջույթների բարձր ջերմությունից, և՛ ափերը, և՛ ոտքերի ներբանները անընդհատ տաք էին, և հաճախ թագի շրջանում գլխի վայրի կամարային ցավեր էր զգում։ Նախ զարկերակով ախտորոշելով՝ նկատելով անոթային տոնուսի բարձրացում՝ սկսեցի արյան ճնշումը չափել կիսաավտոմատ սարքով։ Արժեքներն ի վերջո դուրս եկան ինչպես սիստոլային, այնպես էլ դիաստոլիկ սանդղակից: Նրանք նշել են 135-ից 241-ը, իսկ սրտի զարկերը նորմայից ցածր են եղել նման հիպերտոնիայի դեպքում՝ րոպեում 62 զարկ: Դիմացս նման բարձր ճնշում ունեցող մի կին հանգիստ նստել էր։ Ասես անհարմարություն չի զգում՝ անոթների վիճակից։ Էական (անհասկանալի) հիպերտոնիան նրան չճնշեց։

Ըստ նրա զարկերակի՝ զարկերակային դիագնոստիկայի ժամանակ էլ վատ բան չեմ նկատել։ Ես նրա մոտ ախտորոշեցի հազվադեպ էական (անբացատրելի պատճառ) հիպերտոնիա: Եթե ​​սովորական բժիշկը չափեր նրա ճնշումը, նա անմիջապես շտապօգնություն կանչեց և դրեց պատգարակի վրա։ Նրան նույնիսկ թույլ չէր տա շարժվել: Բանն այն է, որ ճնշման նման աճ ունեցող մարդը համարվում է հիպերտոնիկ ճգնաժամ: Դրան կարող է հաջորդել ինսուլտը կամ սրտի կաթվածը։
Նրա խոսքով, սովորական հակահիպերտոնիկ դեղամիջոցներից նա այնքան վատ է զգում, որ դրանցից հետո նույնիսկ հիվանդ է զգում։ Որդու հորդորով նա սովորել է ճոճանակ օգտագործել, երբ գլուխը սաստիկ ցավում է, ճոճանակին հարցնում է՝ ասպիրին կամ պենտալգին խմե՞լ, թե՞ ոչ։ Ավելի հազվադեպ, ճոճանակի համաձայնությամբ նա ընդունում է ուռենու տերևների թուրմ կամ սերկևիլի տերևների թուրմ, որոնք նրան խորհուրդ է տվել բուժող Մուխիդինը չորս տարի առաջ։ Եթե ​​գլուխը շատ է ցավում, ուրեմն ասպիրին է խմում, ծայրահեղ ծանր դեպքերում՝ պենտալգին։ Բժիշկներն ու հիպերտոնիայի հարեւանները ծիծաղում են նրա ինքնաբուժության վրա։
Ես իմ ճոճանակով ստուգեցի բոլոր այն դեղամիջոցները, որոնք նա ընդունում է գլխացավի և արյան բարձր ճնշման դեմ: Դրանք բոլորն ապացուցեցին իրենց արդյունավետությունը։Ես էլ ճոճանակին հարցրի. «Արդյո՞ք նրա առողջությունը կբարելավվի, եթե նա սկսի բուժել մարդկանց իր ջերմությամբ»: Ճոճանակն անմիջապես պտտվեց ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, դրականորեն: Ուստի ես նրան բուժում եմ նշանակել իրենից, էական հիպերտոնիայից ազատվելու համար նա պետք է զբաղվի այլ մարդկանց հիվանդությունների բուժումով՝ ձեռքերը կամ ոտքերը դնելով նրանց վրա։ Հիմա ես ինքս հաճախ եմ հիվանդներին դիմում նրա մոտ, և նա հաջողությամբ բուժում է նրանց։ հոգեկան անցումներ. Մինչև գոտկատեղ հիվանդությունների դեպքում նա ուղղորդում է ձեռքի ջերմությունը, գոտկատեղից ցածր հիվանդությունների դեպքում հիվանդից վեր պառկած դիրքում խնդրահարույց հատվածում պահում է համապատասխանաբար աջ կամ ձախ ոտքը։
Ե՛վ նա, և՛ հիվանդները գոհ են արդյունքներից։ Արդեն երկու տարի նա ասպիրին կամ պենտալգին չի ընդունում, իսկ ճոճանակը երբեմն թույլ է տալիս նրան խմել ուռենու կամ սերկևիլի տերևների թուրմը՝ փոքր գլխացավերով։
Ով իր օգնության կարիքն ունի, գրեք ինձ, նա ձեզ կօգնի չնչին գումարով։ Ես նույնիսկ սովորեցրել եմ նրան ոչ կոնտակտային կերպով վարվել մեծ հեռավորության վրա գտնվող մարդկանց հետ:
Մարդը, ով իսկապես աշխատում է ճոճանակի հետ ճոճանակի գործարկման ընթացքում, պետք է համաժամանակյա հաղորդակցության մեջ լինի դրա հետ և պետք է նախապես իմանա և զգա, թե տվյալ պահին որ ալիքին են ուղղված ճոճանակի գործողությունները: Իր ուղեղի էներգետիկ պոտենցիալով ճոճանակի թելը բռնած մարդը պետք է ենթագիտակցորեն, և ոչ թե սպեկուլյատիվորեն օգնի նրան այս օբյեկտի վրա հետագա գործողություններում, բայց անտարբերորեն չնայի ճոճանակի գործողությանը որպես հանդիսատես:
Միջագետքի, Ասորեստանի, Ուրարտուի, Հնդկաստանի, Չինաստանի, Ճապոնիայի, Հին Հռոմի, Եգիպտոսի, Հունաստանի, Ասիայի, Աֆրիկայի, Ամերիկայի, Եվրոպայի, Արևելքի և ամբողջ աշխարհի գրեթե բոլոր հայտնի մարդիկ շատ երկրներում օգտագործել են ճոճանակը և դեռ օգտագործում են այն։ .
Շնորհիվ այն բանի, որ բազմաթիվ ականավոր միջազգային հաստատություններ, գիտության տարբեր ոլորտների նշանավոր գործիչներ դեռևս բավարար չափով չեն գնահատել ճոճանակի գործողությունն ու նպատակը ի նպաստ մարդկության համակեցությանը շրջակա բնության հետ սիմբիոտիկ և ներդաշնակ կերպով: Համընդհանուր նորմալի տիեզերքի մասին կեղծ գիտական ​​հայացքները ժամանակակից բնական գիտության մակարդակով դեռ ամբողջությամբ չեն լքել մարդկությունը։ Կրոնի, էզոթերիկայի և բնագիտության միջև գիտելիքի եզրը ջնջելու փուլ կա։ Բնականաբար, բնական գիտությունը պետք է դառնա բոլոր հիմնարար գիտությունների հիմքը՝ առանց կողմնակի հայացքների։
Հույս կա, որ տեղեկատվական գիտությանը զուգահեռ մարդկանց կյանքում արժանի տեղ կգրավի նաեւ ճոճանակի գիտությունը։ Ի վերջո, կար ժամանակ, երբ մեր բազմազգ երկրի ղեկավարները կիբեռնետիկան հայտարարեցին կեղծ գիտություն և թույլ չէին տալիս ոչ միայն սովորել, նույնիսկ ուսումնական հաստատություններում սովորել։
Այսպիսով, այժմ, ժամանակակից գիտության ամենաբարձր էշելոնի մակարդակով, նրանք նայում են ճոճանակի գաղափարին, կարծես հետամնաց արդյունաբերության մեջ: Անհրաժեշտ է համակարգել ճոճանակը, դոզինգը, շրջանակը համակարգչային գիտության մեկ բաժնի ներքո, և անհրաժեշտ է ստեղծել համակարգչային ծրագրի մոդուլ:
Այս մոդուլի օգնությամբ ցանկացած մարդ կարող է գտնել անհետացած իրերը, տեղորոշել առարկաները և վերջապես ախտորոշել մարդկանց, կենդանիներին, թռչուններին, միջատներին, ընդհանրապես ողջ բնությունը։
Դա անելու համար դուք պետք է ուսումնասիրեք Լ. ճոճանակ։