Ֆիզիկայի մեջ սպեկտրը ուսումնասիրելու համար հաճախ օգտագործվում է ապակուց պատրաստված եռանկյուն պրիզմա սպիտակ լույս, քանի որ ունակ է այն տարրալուծել առանձին բաղադրիչների։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ծավալի բանաձևը

Ի՞նչ է եռանկյուն պրիզմա:

Նախքան ծավալի բանաձևը տալը, հաշվի առեք այս գործչի հատկությունները:

Դա ստանալու համար հարկավոր է վերցնել կամայական ձևի եռանկյունին և այն տեղափոխել իրեն զուգահեռ որոշակի հեռավորության վրա: Եռանկյան գագաթները սկզբնական և վերջնական դիրքերում պետք է միացված լինեն ուղիղ հատվածներով: Ստացված եռաչափ պատկերը կոչվում է եռանկյուն պրիզմա։ Այն ունի հինգ կողմ: Դրանցից երկուսը կոչվում են հիմքեր՝ զուգահեռ են և հավասար: Դիտարկվող պրիզմայի հիմքերը եռանկյուններ են։ Մնացած երեք կողմերը զուգահեռներ են։

Բացի կողմերից, դիտարկվող պրիզման բնութագրվում է վեց գագաթներով (երեքը յուրաքանչյուր հիմքի համար) և ինը եզրերով (6 եզրերը ընկած են հիմքերի հարթություններում, իսկ 3 եզրերը ձևավորվում են կողմերի խաչմերուկից): Եթե կողային կողիկներհիմքերին ուղղահայաց, ապա այդպիսի պրիզմա կոչվում է ուղղանկյուն պրիզմա։

Եռանկյուն պրիզմայի և այս դասի մյուս բոլոր պատկերների միջև տարբերությունն այն է, որ այն միշտ ուռուցիկ է (չորս, հինգ, ..., n-անկյունային պրիզմաները կարող են նաև գոգավոր լինել):

Սա ուղղանկյուն պատկեր է, որի հիմքում ընկած է հավասարակողմ եռանկյուն:

Ընդհանուր տիպի եռանկյուն պրիզմայի ծավալը

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյուն պրիզմայի ծավալը: բանաձևը ընդհանուր տեսարաննման է ցանկացած տեսակի պրիզմայի համար: Այն ունի հետևյալ մաթեմատիկական նշումը.

Այստեղ h-ն գործչի բարձրությունն է, այսինքն՝ նրա հիմքերի միջև ընկած հեռավորությունը, S o-ն եռանկյունու մակերեսն է:

S o-ի արժեքը կարելի է գտնել, եթե հայտնի են եռանկյան որոշ պարամետրեր, օրինակ՝ մեկ կողմ և երկու անկյուն, կամ երկու կողմ և մեկ անկյուն։ Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա բարձրության արտադրյալի կեսին և այն կողմի երկարությանը, որի վրա այս բարձրությունն իջեցվել է:

Ինչ վերաբերում է նկարի h բարձրությանը, ապա այն ամենահեշտն է գտնել ուղղանկյուն պրիզմայի համար։ Վերջին դեպքում h-ը համընկնում է կողային եզրի երկարության հետ։

Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի ծավալը

Եռանկյուն պրիզմայի ծավալի ընդհանուր բանաձևը, որը տրված է հոդվածի նախորդ բաժնում, կարող է օգտագործվել կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի համապատասխան արժեքը հաշվարկելու համար։ Քանի որ դրա հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, դրա մակերեսը հետևյալն է.

Բոլորը կարող են ստանալ այս բանաձևը, եթե հիշեն, որ հավասարակողմ եռանկյունում բոլոր անկյունները հավասար են միմյանց և կազմում են 60 o: Այստեղ a խորհրդանիշը եռանկյան կողմի երկարությունն է:

h բարձրությունը եզրի երկարությունն է։ Դա հիմքի հետ կապ չունի։ ճիշտ պրիզմաև կարող է ընդունել կամայական արժեքներ: Արդյունքում, ճիշտ ձևի եռանկյուն պրիզմայի ծավալի բանաձևը հետևյալն է.

Արմատը հաշվարկելով՝ մենք կարող ենք այս բանաձևը վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, գտնել կանոնավոր պրիզմայի ծավալը եռանկյուն հիմք, անհրաժեշտ է հիմքի կողմը քառակուսի դնել, այս արժեքը բազմապատկել բարձրությամբ և ստացված արժեքը բազմապատկել 0,433-ով։

Պինդ երկրաչափության դասընթացի դպրոցական ծրագրում եռաչափ պատկերների ուսումնասիրությունը սովորաբար սկսվում է պարզ երկրաչափական մարմնից՝ պրիզմայական պոլիէդրոնից։ Նրա հիմքերի դերը կատարում են զուգահեռ հարթություններում ընկած 2 հավասար բազմանկյուններ։ Հատուկ դեպք է կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա: Նրա հիմքերը 2 միանման կանոնավոր քառանկյուններ են, որոնց կողմերը ուղղահայաց են՝ ունենալով զուգահեռագծի (կամ ուղղանկյունների, եթե պրիզմաը թեքված չէ):

Ինչ տեսք ունի պրիզմա

Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա վեցանկյուն է, որի հիմքերը 2 քառակուսի են, և կողմնակի դեմքերներկայացված է ուղղանկյուններով: Սրա մեկ այլ անուն երկրաչափական պատկեր- ուղիղ զուգահեռական:

Ստորև ներկայացված է քառանկյուն պրիզմա ցուցադրող գծանկար:

Դուք կարող եք տեսնել նաև նկարում ամենակարևոր տարրերը, որոնք կազմում են երկրաչափական մարմինը. Դրանք սովորաբար կոչվում են.

Երբեմն երկրաչափության խնդիրների մեջ կարելի է գտնել հատված հասկացությունը: Սահմանումը կհնչի այսպես. հատվածը ծավալային մարմնի բոլոր կետերն են, որոնք պատկանում են կտրող հարթությանը: Հատվածը ուղղահայաց է (հատում է նկարի եզրերը 90 աստիճանի անկյան տակ): Ուղղանկյուն պրիզմայի համար դիտարկվում է նաև անկյունագծային հատված (հատվածների առավելագույն քանակը, որոնք կարելի է կառուցել 2-ն է)՝ անցնելով 2 եզրերով և հիմքի անկյունագծերով։

Եթե ​​հատվածը գծված է այնպես, որ կտրող հարթությունը զուգահեռ չլինի ոչ հիմքերին, ոչ կողային երեսներին, ապա ստացվում է կտրված պրիզմա:

Կրճատված պրիզմատիկ տարրերը գտնելու համար օգտագործվում են տարբեր գործակիցներ և բանաձևեր: Դրանցից մի քանիսը հայտնի են պլանաչափության ընթացքից (օրինակ, պրիզմայի հիմքի մակերեսը գտնելու համար բավական է հիշել քառակուսու մակերեսի բանաձևը):

Մակերեսի մակերեսը և ծավալը

Բանաձևով պրիզմայի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը.

V = Sprim h

Քանի որ կանոնավոր քառանիստ պրիզմայի հիմքը կողքով քառակուսի է ա,Դուք կարող եք բանաձևը գրել ավելի մանրամասն ձևով.

V = a² ժ

Եթե ​​մենք խոսում ենք խորանարդի մասին, սովորական պրիզմա հետ հավասար երկարություն, լայնությունը և բարձրությունը, ծավալը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Հասկանալու համար, թե ինչպես գտնել պրիզմայի կողային մակերեսը, դուք պետք է պատկերացնեք դրա ավլումը:

Գծագրից երևում է, որ կողային մակերեսը կազմված է 4 հավասար ուղղանկյուններից։ Դրա մակերեսը հաշվարկվում է որպես հիմքի պարագծի և նկարի բարձրության արտադրյալ.

Սայդ = Pos h

Քանի որ քառակուսու պարագիծը P = 4 ա,բանաձևը ստանում է ձև.

Կողք = 4ա ժ

Խորանարդի համար.

Կողք = 4a²

Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հաշվարկելու համար կողային մակերեսին ավելացրեք 2 հիմնական տարածք.

Sfull = Siside + 2Sbase

Ինչպես կիրառվում է քառանկյուն կանոնավոր պրիզմայի նկատմամբ, բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Լիքը = 4ա ժ + 2ա²

Խորանարդի մակերեսի համար.

Լիքը = 6a²

Իմանալով ծավալը կամ մակերեսը, կարող եք հաշվարկել երկրաչափական մարմնի առանձին տարրերը:

Պրիզմայի տարրերի հայտնաբերում

Հաճախ կան խնդիրներ, որոնցում տրվում է ծավալը կամ հայտնի է կողային մակերեսի արժեքը, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմքի կողմի երկարությունը կամ բարձրությունը։ Նման դեպքերում բանաձևերը կարող են ստացվել.

• բազային կողմի երկարությունը. a = կողմ / 4h = √ (V / h);
• բարձրությունը կամ կողքի երկարությունը. h = Կողք / 4a = V / a²;
• բազայի տարածքը: Sprim = V / h;
• կողային դեմքի տարածքը. Կողք gr = Կողք / 4.

Որոշելու համար, թե որքան տարածք ունի անկյունագծային հատվածը, դուք պետք է իմանաք շեղանկյունի երկարությունը և նկարի բարձրությունը: Քառակուսու համար d = a√2.Հետևաբար.

Սդիագ = ah√2

Պրիզմայի անկյունագիծը հաշվարկելու համար օգտագործվում է բանաձևը.

dprize = √(2a² + h²)

Հասկանալու համար, թե ինչպես կիրառել վերը նշված գործակիցները, կարող եք զբաղվել և լուծել մի քանի պարզ առաջադրանքներ:

Լուծումների հետ կապված խնդիրների օրինակներ

Ահա որոշ առաջադրանքներ, որոնք ի հայտ են գալիս մաթեմատիկայի պետական ​​ավարտական ​​քննություններում.

Վարժություն 1.

Ավազը լցվում է սովորական քառանկյուն պրիզմայի ձևով տուփի մեջ։ Նրա մակարդակի բարձրությունը 10 սմ է, ինչքա՞ն կլինի ավազի մակարդակը, եթե այն տեղափոխեք նույն ձևի, բայց հիմքի երկարությամբ 2 անգամ ավելի երկար տարայի մեջ:

Պետք է վիճարկել հետևյալ կերպ. Առաջին և երկրորդ տարաներում ավազի քանակը չի փոխվել, այսինքն՝ դրանց ծավալը նույնն է։ Դուք կարող եք սահմանել բազայի երկարությունը որպես ա. Այս դեպքում առաջին տուփի համար նյութի ծավալը կլինի.

V1 = ha² = 10a²

Երկրորդ տուփի համար հիմքի երկարությունն է 2 ա, բայց ավազի մակարդակի բարձրությունը անհայտ է.

V2 = h(2a)² = 4հա²

Քանի որ V1 = V2, արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել.

10 ա² = 4 հա²

Հավասարման երկու կողմերը a²-ով կրճատելուց հետո մենք ստանում ենք.

Արդյունքում ավազի նոր մակարդակը կլինի h = 10 / 4 = 2,5սմ.

Առաջադրանք 2.

ABCDA1B1C1D1 կանոնավոր պրիզմա է: Հայտնի է, որ BD = AB₁ = 6√2: Գտեք մարմնի ընդհանուր մակերեսը:

Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հասկանալ, թե որ տարրերն են հայտնի, կարող եք նկարել նկար:

Քանի որ խոսքը կանոնավոր պրիզմայի մասին է, կարելի է եզրակացնել, որ հիմքը 6√2 անկյունագծով քառակուսի է։ Կողքի երեսի անկյունագիծը նույն արժեքն ունի, հետևաբար, կողային երեսը նույնպես ունի հիմքին հավասար քառակուսու ձև։ Պարզվում է, որ բոլոր երեք չափերը՝ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը, հավասար են։ Կարող ենք եզրակացնել, որ ABCDA1B1C1D1 խորանարդ է:

Ցանկացած եզրի երկարությունը որոշվում է հայտնի անկյունագծով.

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ընդհանուր մակերեսը հայտնաբերվում է խորանարդի բանաձևով.

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Առաջադրանք 3.

Սենյակը վերանորոգվում է։ Հայտնի է, որ դրա հատակն ունի քառակուսիի ձև՝ 9 մ² մակերեսով։ Սենյակի բարձրությունը 2,5 մ է: Ո՞րն է սենյակի պաստառապատման ամենացածր արժեքը, եթե 1 մ²-ն արժե 50 ռուբլի:

Քանի որ հատակը և առաստաղը քառակուսի են, այսինքն՝ կանոնավոր քառանկյուններ, իսկ պատերը ուղղահայաց են հորիզոնական մակերևույթներին, կարող ենք եզրակացնել, որ այն կանոնավոր պրիզմա է։ Անհրաժեշտ է որոշել դրա կողային մակերեսի տարածքը:

Սենյակի երկարությունը կազմում է a = √9 = 3մ.

Հրապարակը ծածկվելու է պաստառով Կողք = 4 3 2,5 = 30 մ².

Այս սենյակի համար պաստառների ամենացածր արժեքը կլինի 50 30 = 1500ռուբլի։

Այսպիսով, ուղղանկյուն պրիզմայի համար խնդիրներ լուծելու համար բավական է կարողանալ հաշվարկել քառակուսու և ուղղանկյունի մակերեսը և պարագիծը, ինչպես նաև իմանալ ծավալը և մակերեսը գտնելու բանաձևերը։

Ինչպես գտնել խորանարդի մակերեսը

Որքա՞ն է պրիզմայի ծավալը և ինչպես գտնել այն

Պրիզմայի ծավալը նրա հիմքի մակերեսի արտադրյալն է և նրա բարձրությունը:

Այնուամենայնիվ, մենք գիտենք, որ պրիզմայի հիմքը կարող է ունենալ եռանկյուն, քառակուսի կամ որևէ այլ բազմանկյուն:

Հետևաբար, պրիզմայի ծավալը գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հաշվարկել պրիզմայի հիմքի մակերեսը, այնուհետև այս տարածքը բազմապատկել իր բարձրությամբ:

Այսինքն, եթե պրիզմայի հիմքում կա եռանկյուն, ապա նախ պետք է գտնել եռանկյունու տարածքը: Եթե ​​պրիզմայի հիմքը քառակուսի է կամ մեկ այլ բազմանկյուն, ապա նախ պետք է գտնել քառակուսու կամ մեկ այլ բազմանկյունի մակերեսը:

Պետք է հիշել, որ պրիզմայի բարձրությունը պրիզմայի հիմքերին գծված ուղղահայաց է։

Ինչ է պրիզմա

Հիմա հիշենք պրիզմայի սահմանումը։

Պրիզմա է այն բազմանկյունը, որի երկու դեմքերը (հիմքերը) գտնվում են զուգահեռ հարթություններում, և այդ դեմքերից դուրս գտնվող բոլոր եզրերը զուգահեռ են:

Պարզ ասած, ուրեմն.

Պրիզմա է ցանկացած երկրաչափական պատկեր, որն ունի երկու հավասար հիմքեր և հարթ երեսներ։

Պրիզմայի անվանումը կախված է նրա հիմքի ձևից։ Երբ պրիզմայի հիմքը եռանկյուն է, ապա այդպիսի պրիզման կոչվում է եռանկյուն: Բազմաթև պրիզմա երկրաչափական պատկեր է, որի հիմքը բազմանկյուն է: Պրիզման նույնպես մի տեսակ գլան է։

Որո՞նք են պրիզմաների տեսակները

Եթե ​​նայենք վերևի նկարին, ապա կարող ենք տեսնել, որ պրիզմաները ուղիղ են, կանոնավոր և թեք:

Զորավարժություններ

1. Ո՞րն է ճիշտ պրիզմա:
2. Ինչու՞ է այդպես կոչվում:
3. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​պրիզման, որի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:
4. Որքա՞ն է այս գործչի բարձրությունը:
5. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​պրիզման, որի եզրերն ուղղահայաց չեն:
6. Սահմանի՛ր եռանկյուն պրիզմա:
7. Կարո՞ղ է պրիզման լինել զուգահեռական:
8. Ո՞ր երկրաչափական պատկերն է կոչվում կիսակազմակերպ բազմանկյուն:

Ի՞նչ տարրերից է բաղկացած պրիզման:

Պրիզման բաղկացած է այնպիսի տարրերից, ինչպիսիք են ստորին և վերին հիմքը, կողային երեսները, եզրերը և գագաթները:

Պրիզմայի երկու հիմքերն էլ գտնվում են հարթություններում և զուգահեռ են միմյանց։
Բուրգի կողային երեսները զուգահեռագիծ են։
Կողքի մակերեսըբուրգը կողային երեսների գումարն է:
Կողային երեսների ընդհանուր կողմերը ոչ այլ ինչ են, քան այս գործչի կողային եզրերը:
Բուրգի բարձրությունը հիմքերի հարթությունները միացնող հատվածն է և ուղղահայաց է դրանց։

Պրիզմայի հատկություններ

Երկրաչափական պատկերը, ինչպես պրիզման, ունի մի շարք հատկություններ. Եկեք ավելի սերտ նայենք այս հատկություններին.

Նախ, պրիզմայի հիմքերը կոչվում են հավասար բազմանկյուններ.
Երկրորդ, պրիզմայի կողային երեսները ներկայացված են զուգահեռագծի տեսքով.
Երրորդ, այս երկրաչափական պատկերն ունի զուգահեռ և հավասար եզրեր.
Չորրորդ, պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հետևյալն է.

Եվ հիմա հաշվի առեք թեորեմը, որը տալիս է բանաձև, որով կարելի է հաշվարկել կողային մակերեսի մակերեսը և ապացույցը:

Մտածե՞լ եք այս մասին հետաքրքիր փաստոր պրիզմա կարող է լինել ոչ միայն երկրաչափական մարմին, այլ նաև մեզ շրջապատող այլ առարկաներ։ Նույնիսկ սովորական ձյան փաթիլը, կախված ջերմաստիճանի ռեժիմից, կարող է վերածվել սառցե պրիզմայի՝ ստանալով վեցանկյուն կերպարի տեսք։

Բայց կալցիտի բյուրեղներն ունեն այնպիսի յուրահատուկ երևույթ, որ տրոհվում են բեկորների և ստանում զուգահեռականի ձև։ Եվ ինչն է ամենազարմանալին, որքան էլ կալցիտի բյուրեղները մանրացված լինեն, արդյունքը միշտ նույնն է՝ դրանք վերածվում են մանրիկ զուգահեռականների։

Պարզվում է, որ պրիզման ժողովրդականություն է ձեռք բերել ոչ միայն մաթեմատիկայի մեջ՝ ցուցադրելով իր երկրաչափական մարմինը, այլև արվեստի բնագավառում, քանի որ այն հիմք է հանդիսանում այնպիսի մեծ նկարիչների ստեղծած նկարների, ինչպիսիք են Պ. Պիկասոն, Բրակը, Գրիսը և այլք։

«Get a A» տեսադասընթացը ներառում է հաջողակ լինելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները քննություն հանձնելըմաթեմատիկայից 60-65 միավոր. Ամբողջությամբ բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի քննությունՄաթեմատիկա. Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներքննության լուծումներ, թակարդներ և գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ: Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, USE-ի բոլոր տեսակի առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, զարգացում տարածական երևակայություն. Եռանկյունաչափություն զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Հիմք լուծման համար դժվար առաջադրանքներՔննության 2 մաս.

Տարբեր պրիզմաները տարբերվում են միմյանցից: Միեւնույն ժամանակ, նրանք շատ ընդհանրություններ ունեն։ Պրիզմայի հիմքի տարածքը գտնելու համար պետք է պարզել, թե ինչպիսի տեսք ունի այն:

Ընդհանուր տեսություն

Պրիզմա է ցանկացած բազմանիստ, որի կողմերն ունեն զուգահեռագծի ձև: Ընդ որում, ցանկացած բազմանիստ կարող է լինել իր հիմքում՝ եռանկյունից մինչև n-անկյուն: Ընդ որում, պրիզմայի հիմքերը միշտ հավասար են միմյանց։ Ինչը չի վերաբերում կողային երեսներին, դրանք կարող են զգալիորեն տարբերվել չափերով:

Խնդիրները լուծելիս հանդիպում է ոչ միայն պրիզմայի հիմքի տարածքը: Հնարավոր է, որ անհրաժեշտ լինի իմանալ կողային մակերեսը, այսինքն, բոլոր դեմքերը, որոնք հիմքեր չեն: ամբողջական մակերեսարդեն կլինի պրիզմա կազմող բոլոր դեմքերի միավորումը։

Երբեմն առաջադրանքներում հայտնվում են բարձրություններ: Այն ուղղահայաց է հիմքերին։ Բազմեյդրոնի անկյունագիծը մի հատված է, որը զույգերով միացնում է նույն դեմքին չպատկանող ցանկացած երկու գագաթ:

Հարկ է նշել, որ ուղիղ կամ թեք պրիզմայի հիմքի տարածքը կախված չէ նրանց և կողային երեսների միջև եղած անկյունից: Եթե ​​նրանք ունեն նույն թվերը վերին և ստորին երեսներում, ապա նրանց տարածքները հավասար կլինեն:

եռանկյուն պրիզմա

Այն հիմքում ունի երեք գագաթներով պատկեր, այսինքն՝ եռանկյուն: Հայտնի է, որ տարբեր է: Եթե, ապա բավական է հիշել, որ դրա տարածքը որոշվում է ոտքերի արտադրանքի կեսով:

Մաթեմատիկական նշումն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = ½ av.

Հիմքի տարածքը ընդհանուր ձևով պարզելու համար բանաձևերը օգտակար են. Հերոն և այն, որի կողքի կեսը վերցված է դեպի այն ձգված բարձրությունը:

Առաջին բանաձևը պետք է գրվի այսպես. S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)): Այս գրառումը պարունակում է կիսաշրջագիծ (p), այսինքն՝ երեք կողմերի գումարը՝ բաժանված երկուսի։

Երկրորդ՝ S = ½ n a * a.

Եթե ​​ցանկանում եք իմանալ եռանկյուն պրիզմայի հիմքի մակերեսը, որը կանոնավոր է, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է: Այն ունի իր բանաձևը՝ S = ¼ a 2 * √3:

քառանկյուն պրիզմա

Նրա հիմքը հայտնի քառանկյուններից որևէ մեկն է։ Այն կարող է լինել ուղղանկյուն կամ քառակուսի, զուգահեռական կամ ռոմբուս: Յուրաքանչյուր դեպքում, պրիզմայի հիմքի տարածքը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է ձեր սեփական բանաձևը:

Եթե ​​հիմքը ուղղանկյուն է, ապա դրա մակերեսը որոշվում է հետևյալ կերպ՝ S = av, որտեղ a, b ուղղանկյան կողմերն են։

Երբ խոսքը վերաբերում է քառանկյուն պրիզմայի, կանոնավոր պրիզմայի բազային տարածքը հաշվարկվում է քառակուսու բանաձևով: Որովհետև հենց նա է ընկած հիմքում։ S \u003d a 2.

Այն դեպքում, երբ հիմքը զուգահեռ է, անհրաժեշտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ S \u003d a * n a. Պատահում է, որ տրված են զուգահեռականի մի կողմ և անկյուններից մեկը։ Այնուհետեւ, բարձրությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել լրացուցիչ բանաձեւ n a \u003d b * sin A: Ավելին, A անկյունը հարում է «b» կողմին, իսկ բարձրությունը n և հակառակ այս անկյունին:

Եթե ​​ռոմբը ընկած է պրիզմայի հիմքում, ապա դրա մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ կլինի նույն բանաձևը, ինչ զուգահեռագծի համար (քանի որ դա դրա հատուկ դեպքն է): Բայց դուք կարող եք նաև օգտագործել սա՝ S = ½ d 1 d 2: Այստեղ d 1 և d 2-ը ռոմբի երկու անկյունագծեր են:

Կանոնավոր հնգանկյուն պրիզմա

Այս դեպքը ներառում է բազմանկյունը եռանկյունների բաժանելը, որոնց տարածքներն ավելի հեշտ է պարզել։ Թեև պատահում է, որ թվերը կարող են լինել տարբեր թվով գագաթներով։

Քանի որ պրիզմայի հիմքն է կանոնավոր հնգանկյուն, ապա այն կարելի է բաժանել հինգ հավասարակողմ եռանկյունների։ Այնուհետև պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասար է մեկ այդպիսի եռանկյունու մակերեսին (բանաձևը կարելի է տեսնել վերևում), բազմապատկված հինգով:

Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա

Հնգանկյուն պրիզմայի համար նկարագրված սկզբունքով կարելի է հիմքի վեցանկյունը բաժանել 6 հավասարակողմ եռանկյունների։ Նման պրիզմայի հիմքի մակերեսի բանաձևը նման է նախորդին: Միայն դրա մեջ պետք է բազմապատկել վեցով։

Բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝ S = 3/2 և 2 * √3:

Առաջադրանքներ

Թիվ 1. Տրված է կանոնավոր ուղիղ գիծ, ​​որի անկյունագիծը 22 սմ է, բազմանկյունի բարձրությունը՝ 14 սմ։ Հաշվե՛ք պրիզմայի հիմքի և ամբողջ մակերեսի մակերեսը։

Լուծում.Պրիզմայի հիմքը քառակուսի է, բայց նրա կողմը հայտնի չէ։ Դրա արժեքը կարող եք գտնել քառակուսու (x) անկյունագծից, որը կապված է պրիզմայի (d) անկյունագծի և բարձրության (n) հետ։ x 2 \u003d d 2 - n 2: Մյուս կողմից, այս «x» հատվածը հիպոթենուսն է եռանկյան մեջ, որի ոտքերը հավասար են քառակուսու կողմին: Այսինքն, x 2 \u003d a 2 + a 2: Այսպիսով, պարզվում է, որ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2:

Փոխարինեք 22 թիվը d-ի փոխարեն և փոխարինեք «n»-ն իր արժեքով՝ 14, ստացվում է, որ քառակուսու կողմը 12 սմ է: Այժմ հեշտ է պարզել բազային տարածքը՝ 12 * 12 \u003d 144 սմ 2: .

Ամբողջ մակերեսի տարածքը պարզելու համար հարկավոր է կրկնակի ավելացնել բազային տարածքի արժեքը և քառապատկել կողմը: Վերջինս հեշտ է գտնել ուղղանկյան բանաձևով՝ բազմապատկել բազմանկյունի բարձրությունը և հիմքի կողմը։ Այսինքն՝ 14 և 12, այս թիվը հավասար կլինի 168 սմ 2-ի։ Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը 960 սմ 2 է:

Պատասխանել.Պրիզմայի հիմքի մակերեսը 144 սմ2 է։ Ամբողջ մակերեսը - 960 սմ 2:

Թիվ 2. Դանա Հիմքում ընկած է 6 սմ կողմ ունեցող եռանկյուն, այս դեպքում կողային երեսի անկյունագիծը 10 սմ է։Հաշվե՛ք մակերեսները՝ հիմքը և կողային մակերեսը։

Լուծում.Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, դրա հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է: Հետևաբար, նրա մակերեսը հավասար է 6-ի քառակուսի ¼-ի և քառակուսի արմատի 3-ի: Պարզ հաշվարկով ստացվում է արդյունք՝ 9√3 սմ 2: Սա պրիզմայի մեկ հիմքի տարածքն է:

Բոլոր կողային երեսները նույնն են և ուղղանկյուն են, որոնց կողմերը 6 և 10 սմ են, դրանց մակերեսները հաշվարկելու համար բավական է բազմապատկել այս թվերը։ Այնուհետև դրանք բազմապատկեք երեքով, քանի որ պրիզման ունի ճիշտ այդքան կողային երեսներ: Այնուհետև կողային մակերեսի մակերեսը փաթաթվում է 180 սմ 2:

Պատասխանել.Տարածքները՝ հիմքը՝ 9√3 սմ 2, պրիզմայի կողային մակերեսը՝ 180 սմ 2։