Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir galvenās trigonometrijas kategorijas - matemātikas nozare, un tās ir nesaraujami saistītas ar leņķa definīciju. Lai apgūtu šo matemātisko zinātni, ir jāiegaumē un jāsaprot formulas un teorēmas, kā arī telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.
Jēdzieni trigonometrijā
Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms jāizlemj, kas ir taisnleņķa trijstūris un leņķis aplī un kāpēc visi pamata trigonometriskie aprēķini ir saistīti ar tiem. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnleņķa trīsstūris. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā, astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nonāca pie atbilstošo tā parametru attiecību aprēķināšanas.
Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas ir pretēja pareizā leņķī. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trīsstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.
Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra iezīme sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.
Trijstūra leņķi
Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir mazāka vērtība par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.
Leņķa tangensa ir vērtība, vienāds ar attiecību pretējā kāja blakus esošajai kājai vēlamajā leņķī vai sinusa pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kaktetu. Leņķa kotangensu var iegūt arī dalot vienību ar pieskares vērtību.
vienības aplis
Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis tiek konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākotnējo stāvokli nosaka X ass pozitīvais virziens (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu uz abscisu asi, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmēsim to ar burtu C), kas ir novilkts uz X ass (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G) un abscisu ass segments starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Rezultātā iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplis, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķi starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG mēs definējam kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.
Turklāt, zinot šos datus, ir iespējams noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG, un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α; sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa attiecību pret kosinusu, mēs varam noteikt, ka tg α \u003d y / x un ctg α \u003d x / y. Ņemot vērā leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, var aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.
Aprēķini un pamatformulas
Trigonometrisko funkciju vērtības
Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.
Vienkāršākās trigonometriskās identitātes
Vienādojumi, kuros atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes nezināma vērtība sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k ir jebkurš vesels skaitlis:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Lietās formulas
Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, konvertēt jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu uz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.
Leņķa sinusa funkciju samazināšanas formulas izskatās šādi:
- sin(900 — α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = grēks α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = grēks α.
Leņķa kosinusam:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:
- no grēka uz cos;
- no cos uz grēku;
- no tg līdz ctg;
- no ctg uz tg.
Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).
Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja tā sākotnēji bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats attiecas uz negatīvajām funkcijām.
Papildināšanas formulas
Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības to trigonometrisko funkciju izteiksmē. Leņķus parasti apzīmē kā α un β.
Formulas izskatās šādi:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- iedegums(α ± β) = (tan α ± iedegums β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.
Divkāršā un trīskāršā leņķa formulas
Divkāršā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Pāreja no summas uz produktu
Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Pāreja no produkta uz summu
Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Samazināšanas formulas
Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universāla aizstāšana
Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), savukārt x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), savukārt x \u003d π + 2πn.
Īpaši gadījumi
Īpaši vienkāršākā gadījumi trigonometriskie vienādojumi ir doti zemāk (k ir jebkurš vesels skaitlis).
Privāts priekš sinusa:
| sin x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk |
Kosinusa koeficienti:
| cos x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privāts pieskarei:
| tg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangentes koeficienti:
| ctg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorēmas
Sinus teorēma
Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkārša teorēma sinusa: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.
Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.
Kosinusa teorēma
Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas atrodas pretējai malai a.
Pieskares teorēma
Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tām pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangentes teorēma
Saista trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir to pretējie leņķi, r ir ierakstītā apļa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, šādas identitātes turēt:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Lietojumprogrammas
Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas cilvēka darbības nozares – astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuriem jūs varat matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī un atrast vajadzīgos lielumus, izmantojot identitātes, teorēmas un noteikumus.
Viena no matemātikas nozarēm, ar kuru skolēni tiek galā ar vislielākajām grūtībām, ir trigonometrija. Nav brīnums: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangentus, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast aprēķinos izmantot skaitli pi. Turklāt, pierādot teorēmas, ir jāprot pielietot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja izsecināt sarežģītas loģiskās ķēdes.
Trigonometrijas izcelsme
Iepazīšanās ar šo zinātni jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāizdomā, ko trigonometrija dara kopumā.
Vēsturiski šīs sadaļas galvenais izpētes objekts matemātikas zinātne bija taisnleņķa trīsstūri. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj noteikt visu aplūkojamās figūras parametru vērtības, izmantojot divas puses un vienu leņķi vai divus leņķus un vienu pusi. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.
Pirmais posms
Sākotnēji cilvēki runāja par leņķu un malu attiecībām tikai taisnleņķa trīsstūru piemērā. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt izmantošanas robežas Ikdienašī matemātikas nozare.
Trigonometrijas apguve skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem iegūtās zināšanas skolēni izmanto fizikā un abstraktu trigonometrisko vienādojumu risināšanā, ar kuriem darbs sākas vidusskolā.
Sfēriskā trigonometrija
Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu sāka izmantot sfēriskajā ģeometrijā, kur ir spēkā citi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Šo sadaļu skolā nemācās, bet par tās esamību ir jāzina kaut vai tāpēc zemes virsma, un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs "loka formas" trīsdimensiju telpā.
Paņemiet globusu un diegu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Pievērsiet uzmanību - tas ir ieguvis loka formu. Tieši ar šādām formām nodarbojas sfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.
Taisns trīsstūris
Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.
Pirmkārt, ir jāsaprot jēdzieni, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūris. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Viņa ir garākā. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.
Piemēram, ja divas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.
Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt mums jāatceras, ka trijstūra leņķu summa collā taisnstūra sistēma koordinātas ir 180 grādi.
Definīcija
Visbeidzot, labi izprotot ģeometrisko pamatu, mēs varam pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīcijai.
Leņķa sinuss ir pretējās kājas (t.i., vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc? Jo hipotenūza pēc noklusējuma ir visgarākā.Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāka par vienu. Tādējādi, ja uzdevuma atbildē iegūstat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.
Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi. Tas pats rezultāts dos sinusa dalījumu ar kosinusu. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam dalām ar otrās malas garumu un reizinim ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādu pašu attiecību kā pieskares definīcijā.
Kotangenss attiecīgi ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, dalot vienību ar tangensu.
Tātad, mēs esam apsvēruši definīcijas, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam tikt galā ar formulām.
Vienkāršākās formulas
Trigonometrijā nevar iztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Un tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.
Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, bet ietaupa laiku, ja vēlaties uzzināt leņķa, nevis sānu vērtību.
Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, kas ir ļoti populāra arī skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīta ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: galu galā tas ir tāds pats apgalvojums kā pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka to dara vienkārša matemātiska darbība trigonometriskā formula pilnīgi neatpazīstams. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, konvertēšanas noteikumus un dažas pamatformulas, jūs jebkurā laikā varat patstāvīgi iegūt vajadzīgās sarežģītākas formulas uz papīra lapas.
Dubultā leņķa formulas un argumentu pievienošana
Vēl divas formulas, kas jums jāapgūst, ir saistītas ar sinusa un kosinusa vērtībām leņķu summai un starpībai. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinuss un kosinuss tiek reizināti abas reizes, bet otrajā tiek pievienots sinusa un kosinusa pāra reizinājums.
Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā prakse, mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi vienāds ar leņķi beta.
Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārvērst, lai pazeminātu sinusa, kosinusa, pieskares alfa pakāpi.
Teorēmas
Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu, katras malas izmēru utt.
Sinus teorēma nosaka, ka, dalot katras trijstūra malas garumu ar pretējā leņķa vērtību, mēs iegūstam vienādu skaitli. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, tas ir, apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.
Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.
Kļūdas neuzmanības dēļ
Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, iepazīsimies ar populārākajām no tām.
Pirmkārt, jums nevajadzētu pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās, kamēr nav iegūts gala rezultāts - atbildi varat atstāt formā kopējā frakcija ja vien nosacījumā nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā problēmas stadijā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit laiku nevajadzīgām matemātiskām darbībām. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs vai divu sakne, jo tās rodas uzdevumos ik uz soļa. Tas pats attiecas uz "neglīto" skaitļu noapaļošanu.
Turklāt ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta neizpratni. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.
Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, tangensiem, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, kā rezultātā jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.
Pieteikums
Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās lietišķo nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, pateicoties kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu, nosūtīt izpētes zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.
Beidzot
Tātad jūs esat sinuss, kosinuss, tangenss. Jūs varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas problēmas.
Visa trigonometrijas būtība ir saistīta ar to, ka nezināmie parametri jāaprēķina no zināmajiem trijstūra parametriem. Kopumā ir seši parametri: garumi trīs partijas un trīs leņķu izmēri. Visa uzdevumu atšķirība ir tajā, ka tiek doti dažādi ievades dati.
Tagad jūs zināt, kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju garumiem vai hipotenūzu. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, galvenais mērķis trigonometriskā problēma tas kļūst par parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas sakņu atrašanu. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.
Šajā rakstā mēs runāsim par universāla trigonometriskā aizstāšana. Tas ietver jebkura leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences izteiksmi caur pusleņķa pieskares palīdzību. Turklāt šāda nomaiņa tiek veikta racionāli, tas ir, bez saknēm.
Pirmkārt, mēs rakstām formulas, kas izsaka sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu pusleņķa pieskares izteiksmē. Tālāk mēs parādām šo formulu atvasināšanu. Un noslēgumā apskatīsim vairākus universālās trigonometriskās aizstāšanas izmantošanas piemērus.
Lapas navigācija.
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss caur pusleņķa tangensu
Vispirms pierakstīsim četras formulas, kas izsaka leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu pusleņķa pieskares izteiksmē.
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem, pie kuriem ir definētas tajās iekļautās pieskares un kotangences:
Formulu atvasināšana
Analizēsim formulu atvasināšanu, kas izsaka leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu caur pusleņķa tangensu. Sāksim ar sinusa un kosinusa formulām.
Mēs attēlojam sinusu un kosinusu, izmantojot dubultā leņķa formulas kā 
Un 
attiecīgi. Tagad izteicieni 
Un 
rakstīt kā daļskaitļus ar saucēju 1 kā 
Un 
. Tālāk, pamatojoties uz galveno trigonometrisko identitāti, saucēja vienības aizstājam ar sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pēc kuras iegūstam 
Un 
. Visbeidzot, mēs sadalām iegūto daļu skaitītāju un saucēju ar (tā vērtība atšķiras no nulles, ja 
). Rezultātā visa darbību ķēde izskatās šādi: 
Un 
Tas pabeidz formulu atvasināšanu, kas izsaka sinusu un kosinusu caur pusleņķa tangensu.
Atliek atvasināt pieskares un kotangensa formulas. Tagad, ņemot vērā iepriekš iegūtās formulas un formulas un 
, mēs nekavējoties iegūstam formulas, kas izsaka tangensu un kotangensu caur pusleņķa tangensu: 
Tātad, mēs esam atvasinājuši visas universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas.
Universālās trigonometriskās aizstāšanas piemēri
Vispirms apskatīsim piemēru, kā izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, pārveidojot izteiksmes.
Piemērs.
Dodiet izteiksmi 
izteiksmei, kas satur tikai vienu trigonometriskā funkcija.
Risinājums.
Atbilde:
.
Bibliogrāfija.
- Algebra: Proc. 9 šūnām. vid. skola / Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis.- M.: Apgaismība, 1990.- 272 lpp.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusevs V. A., Mordkovičs A. G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Divu leņķu summas un starpības kosinuss
Šajā sadaļā tiks pierādītas šādas divas formulas:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Divu leņķu summas (starpības) kosinuss ir vienāds ar šo leņķu kosinusu reizinājumu mīnus (plus) šo leņķu sinusu reizinājumu.
Mums būs ērtāk sākt ar formulas (2) pierādījumu. Vienkāršības labad vispirms pieņemsim, ka leņķi α Un β atbilst šādiem nosacījumiem:
1) katrs no šiem leņķiem nav negatīvs un mazāks par 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Lai 0x ass pozitīvā daļa ir leņķu kopējā sākotnējā puse α Un β .
Apzīmēsim šo leņķu gala malas attiecīgi kā 0A un 0B. Acīmredzot leņķis α - β var uzskatīt par leņķi, par kādu nepieciešams pagriezt staru 0B ap punktu 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam, lai tā virziens sakristu ar stara virzienu 0A.
Uz stariem 0A un 0B atzīmējam punktus M un N, kas atrodas 1 attālumā no koordinātu 0 sākuma, lai 0M = 0N = 1.
x0y koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes ( cosα, sinα), un punkts N — koordinātas ( cos β , sin β). Tātad attāluma kvadrāts starp tiem ir:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Aprēķinos mēs izmantojām identitāti
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Tagad apsveriet citu koordinātu sistēmu B0C, ko iegūst, pagriežot asis 0x un 0y ap punktu 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi. β .
Šajā koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes (cos ( α - β ), grēks ( α - β )), un punkts ir N-koordinātas (1,0). Tātad attāluma kvadrāts starp tiem ir:
d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ grēks 2 (α - β) \u003d 2.
Bet attālums starp punktiem M un N nav atkarīgs no tā, kuru koordinātu sistēmu mēs uzskatām par šiem punktiem. Tāpēc
d 1 2 = d 2 2
2 (1 — cos α cos β — sin α sin β) = 2 .
Šeit seko formula (2).
Tagad mums vajadzētu atgādināt šos divus ierobežojumus, ko esam noteikuši, lai vienkāršotu prezentāciju uz stūriem α Un β .
Prasība, ka katrs no stūriem α Un β nebija negatīvs, nav īsti nozīmīgs. Galu galā leņķi, kas ir reizināts ar 2n, var pievienot jebkuram no šiem leņķiem, kas nekādā veidā neietekmēs formulas (2) derīgumu. Tāpat no katra norādītā leņķa var atņemt leņķi, kas ir reizināts 2π. Tāpēc var uzskatīt, ka 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Nosacījums α > β . Patiešām, ja α < β , Tas β >α ; tāpēc, ņemot vērā funkcijas vienmērīgumu cos X , mēs iegūstam:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
kas būtībā sakrīt ar formulu (2). Tādējādi formula
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
attiecas uz visiem leņķiem α Un β . Jo īpaši, nomainot β ieslēgts - β un ņemot vērā šo funkciju cosX ir pat, un funkcija grēksX dīvaini, mēs iegūstam:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
\u003d cos α cos β - sin α sin β,
kas pierāda formulu (1).
Tādējādi tiek pierādītas formulas (1) un (2).
Piemēri.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Vingrinājumi
1 . Aprēķiniet, neizmantojot trigonometriskās tabulas:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Vienkāršojiet izteiksmes:
a). cos( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .
b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + grēks (36° + α ) grēks ( α -24°).
V). grēks (π / 4 - α ) grēks (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos 2 α +tg α grēks 2 α .
3 . Aprēķināt :
a) cos (α–β), Ja
cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), ja cos α = 0,6;
3π / 2< α < 2π.
4 . Atrast cos(α + β) un cos (α - β) , ja zināms, ka grēks α = 7/25 cos β = - 5/13 un abi leņķi ( α Un β ) beidzas tajā pašā ceturksnī.
5 .Aprēķināt:
A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .
V). cos [arctg 1/2 + arccos (-2)]
