Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou hlavní kategorie trigonometrie - odvětví matematiky a jsou nerozlučně spjaty s definicí úhlu. Vlastnictví této matematické vědy vyžaduje zapamatování a porozumění vzorcům a teorémům, stejně jako rozvinuté prostorové myšlení. Proto často působí trigonometrické výpočty školákům a studentům potíže. Chcete-li je překonat, měli byste se lépe seznámit s goniometrickými funkcemi a vzorci.
Pojmy v trigonometrii
Abyste pochopili základní pojmy trigonometrie, musíte se nejprve rozhodnout, co je pravoúhlý trojúhelník a úhel v kruhu a proč jsou s nimi spojeny všechny základní trigonometrické výpočty. Trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů 90 stupňů, je pravoúhlý trojúhelník. Historicky byla tato postava často používána lidmi v architektuře, navigaci, umění, astronomii. V souladu s tím, při studiu a analýze vlastností tohoto obrázku, lidé dospěli k výpočtu odpovídajících poměrů jeho parametrů.
Hlavní kategorie spojené s pravoúhlými trojúhelníky jsou přepona a nohy. Přepona je strana trojúhelníku, která je opačná pravý úhel. Nohy jsou další dvě strany. Součet úhlů libovolného trojúhelníku je vždy 180 stupňů.
Sférická trigonometrie je úsek trigonometrie, který se ve škole nestuduje, ale v aplikovaných vědách, jako je astronomie a geodézie, ji vědci používají. Rysem trojúhelníku ve sférické trigonometrii je, že má vždy součet úhlů větší než 180 stupňů.
Úhly trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku je sinus úhlu poměr nohy opačné k požadovanému úhlu k přeponě trojúhelníku. V souladu s tím je kosinus poměrem sousední větve a přepony. Obě tyto hodnoty mají vždy hodnotu menší než jedna, protože přepona je vždy delší než noha.
Tangenta úhlu je hodnota, rovný poměru protilehlá větev k přilehlé větvi požadovaného úhlu, nebo sinus na kosinus. Kotangens je zase poměr přilehlé větve požadovaného úhlu k opačnému kaktetu. Kotangens úhlu lze také získat vydělením jednotky hodnotou tečny.
jednotkový kruh
Jednotková kružnice v geometrii je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné. Taková kružnice je sestrojena v kartézském souřadnicovém systému se středem kružnice shodným s výchozím bodem a počáteční poloha vektoru poloměru je určena kladným směrem osy X (osa úsečky). Každý bod kružnice má dvě souřadnice: XX a YY, tedy souřadnice úsečky a pořadnice. Vybereme-li libovolný bod na kružnici v rovině XX a pustíme z něj kolmici na osu úsečky, dostaneme pravoúhlý trojúhelník tvořený poloměrem k vybranému bodu (označme jej písmenem C), kolmici nakreslenou k osou X (průsečík je označen písmenem G) a úsečkou osou úsečky mezi počátkem (bod je označen písmenem A) a průsečíkem G. Výsledný trojúhelník ACG je pravoúhlý trojúhelník vepsaný v kruh, kde AG je přepona a AC a GC jsou nohy. Úhel mezi poloměrem kružnice AC a segmentem osy úsečky s označením AG definujeme jako α (alfa). Takže cos α = AG/AC. Vzhledem k tomu, že AC je poloměr jednotkové kružnice a je roven jedné, ukazuje se, že cos α=AG. Podobně hřích α=CG.
Se znalostí těchto údajů je navíc možné určit souřadnici bodu C na kružnici, protože cos α=AG, a sin α=CG, což znamená, že bod C má dané souřadnice (cos α; sin α). S vědomím, že tečna se rovná poměru sinusu ke kosinu, můžeme určit, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. S ohledem na úhly v negativním souřadnicovém systému lze vypočítat, že hodnoty sinus a kosinus některých úhlů mohou být záporné.
Výpočty a základní vzorce
Hodnoty goniometrických funkcí
Po zvážení podstaty goniometrických funkcí prostřednictvím jednotkového kruhu můžeme odvodit hodnoty těchto funkcí pro některé úhly. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce níže.
Nejjednodušší goniometrické identity
Rovnice, ve kterých pod znaménkem goniometrické funkce je neznámá hodnota se nazývají trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je libovolné celé číslo:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. hřích x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, žádná řešení.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je libovolné celé číslo:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, žádná řešení.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je libovolné celé číslo:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identity s hodnotou ctg x = a, kde k je libovolné celé číslo:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Odlévat vzorce
Tato kategorie konstantních vzorců označuje metody, kterými můžete přejít od goniometrických funkcí tvaru k funkcím argumentu, to znamená převést sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu libovolné hodnoty na odpovídající ukazatele úhlu úhlu. interval od 0 do 90 stupňů pro větší pohodlí výpočtů.
Vzorce pro redukční funkce pro sinus úhlu vypadají takto:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Pro kosinus úhlu:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + a) = -cos a;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Použití výše uvedených vzorců je možné při dodržení dvou pravidel. Za prvé, pokud lze úhel reprezentovat jako hodnotu (π/2 ± a) nebo (3π/2 ± a), hodnota funkce se změní:
- od hříchu k cos;
- od cos k hříchu;
- od tg do ctg;
- z ctg do tg.
Hodnota funkce zůstane nezměněna, jestliže úhel může být reprezentován jako (π ± a) nebo (2π ± a).
Za druhé, znaménko redukované funkce se nemění: pokud bylo původně kladné, zůstává. Totéž platí pro negativní funkce.
Sčítací vzorce
Tyto vzorce vyjadřují hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens součtu a rozdílu dvou úhlů rotace z hlediska jejich goniometrických funkcí. Úhly se obvykle označují jako α a β.
Vzorce vypadají takto:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Tyto vzorce platí pro libovolné úhly α a β.
Vzorce dvojitého a trojitého úhlu
Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého úhlu jsou vzorce, které vztahují funkce úhlů 2α a 3α k goniometrickým funkcím úhlu α. Odvozeno ze sčítacích vzorců:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Přechod od součtu k produktu
Uvážíme-li, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohoto vzorce získáme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobně sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Přechod od produktu k součtu
Tyto vzorce vyplývají z identit pro přechod součtu na součin:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Redukční vzorce
V těchto identitách lze druhé mocniny a kubické mocniny sinu a kosinus vyjádřit jako sinus a kosinus první mocniny vícenásobného úhlu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Univerzální substituce
Univerzální goniometrické substituční vzorce vyjadřují goniometrické funkce v podmínkách tangens polovičního úhlu.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatímco x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatímco x \u003d π + 2πn.
Speciální případy
Zvláštní případy těch nejjednodušších goniometrické rovnice jsou uvedeny níže (k je libovolné celé číslo).
Soukromé pro sinus:
| hřích x hodnota | hodnota x |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk nebo 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk nebo -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk nebo 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk nebo -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk nebo 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk nebo -2π/3 + 2πk |
Kosinové kvocienty:
| hodnota cos x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Soukromé pro tečnu:
| hodnota tg x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangensové kvocienty:
| hodnota ctg x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Věty
Sinusová věta
Existují dvě verze věty – jednoduchá a rozšířená. Jednoduchá věta sinusy: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto případě jsou a, b, c strany trojúhelníku a α, β, γ jsou opačné úhly.
Rozšířená sinusová věta pro libovolný trojúhelník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V této identitě R označuje poloměr kružnice, do které je daný trojúhelník vepsán.
Kosinová věta
Identita je zobrazena takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Ve vzorci jsou a, b, c strany trojúhelníku a α je úhel protilehlé strany a.
Věta tečny
Vzorec vyjadřuje vztah mezi tečnami dvou úhlů a délkou protilehlých stran. Strany jsou označeny a, b, c a odpovídající opačné úhly jsou α, β, γ. Vzorec teorému tečny: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangensová věta
Přiřadí poloměr kružnice vepsané trojúhelníku k délce jeho stran. Jestliže a, b, c jsou strany trojúhelníku a A, B, C jsou jejich opačné úhly, r je poloměr vepsané kružnice a p je polovina obvodu trojúhelníku, následující identity držet:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Aplikace
Trigonometrie není pouze teoretická věda spojená s matematickými vzorci. Jeho vlastnosti, věty a pravidla využívají v praxi různá odvětví lidské činnosti – astronomie, letecká a námořní navigace, hudební nauka, geodézie, chemie, akustika, optika, elektronika, architektura, ekonomie, strojírenství, měřicí práce, počítačová grafika, kartografie, oceánografie a mnoho dalších.
Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou základními pojmy trigonometrie, pomocí kterých můžete matematicky vyjádřit vztah mezi úhly a délkami stran v trojúhelníku a najít požadované veličiny pomocí identit, vět a pravidel.
Jedním z oborů matematiky, se kterým se školáci vyrovnávají s největšími obtížemi, je trigonometrie. Není divu: k tomu, abyste si mohli svobodně osvojit tuto oblast znalostí, potřebujete prostorové myšlení, schopnost najít sinus, kosinus, tangens, kotangens pomocí vzorců, zjednodušit výrazy a umět používat číslo pí ve výpočtech. Navíc při dokazování vět musíte umět použít trigonometrii, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.
Počátky trigonometrie
Seznámení s touto vědou by mělo začít definicí sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte zjistit, co dělá trigonometrie obecně.
Historicky hlavním předmětem studia této sekce matematická věda byly pravoúhlé trojúhelníky. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují určit hodnoty všech parametrů uvažovaného obrázku pomocí dvou stran a jednoho úhlu nebo dvou úhlů a jedné strany. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i umění.
První etapa
Zpočátku se o vztahu úhlů a stran mluvilo výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v Každodenní život tento obor matematiky.
Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, načež získané znalosti využijí studenti ve fyzice a řešení abstraktních goniometrických rovnic, s nimiž se začíná pracovat už na střední škole.
Sférická trigonometrie
Později, když věda dosáhla dalšího stupně vývoje, začaly se vzorce se sinusem, kosinusem, tangentem, kotangensem používat ve sférické geometrii, kde platí jiná pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tento oddíl se na škole nestuduje, ale je potřeba o jeho existenci vědět, minimálně proto povrch Země a povrch jakékoli jiné planety je konvexní, což znamená, že jakékoli označení povrchu bude mít v trojrozměrném prostoru „obloukový tvar“.
Vezměte glóbus a nit. Připojte nit k libovolným dvěma bodům na zeměkouli tak, aby byla napnutá. Věnujte pozornost - získal tvar oblouku. Právě takovými formami se zabývá sférická geometrie, která se používá v geodézii, astronomii a dalších teoretických i aplikovaných oborech.
Pravoúhlý trojuhelník
Poté, co jsme se trochu dozvěděli o způsobech použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále pochopili, co je sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce použít.
Nejprve je nutné porozumět pojmům souvisejícím pravoúhlý trojuhelník. Za prvé, přepona je strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Ta je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je jeho číselná hodnota rovna odmocnině součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.
Pokud jsou například dvě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony bude 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.
Dvě zbývající strany, které tvoří pravý úhel, se nazývají nohy. Kromě toho si musíme pamatovat, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlý systém souřadnice je 180 stupňů.
Definice
Nakonec, když dobře rozumíme geometrické základně, můžeme přejít k definici sinu, kosinu a tangens úhlu.
Sinus úhlu je poměr protilehlé větve (tj. strany protilehlé k požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé větve k přeponě.
Pamatujte, že sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč? Protože přepona je standardně nejdelší, bez ohledu na to, jak je noha dlouhá, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy v odpovědi na problém dostanete sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je zjevně špatná.
Konečně, tangens úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně. Stejný výsledek poskytne dělení sinusu kosinusem. Podívejte se: podle vzorce vydělíme délku strany přeponou, poté vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný poměr jako v definici tečny.
Kotangens, v tomto pořadí, je poměr strany přiléhající k rohu k opačné straně. Stejný výsledek dostaneme vydělením jednotky tečnou.
Takže jsme zvážili definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme se zabývat vzorci.
Nejjednodušší vzorce
V trigonometrii se bez vzorců neobejdete – jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? A to je přesně to, co je potřeba při řešení problémů.
První vzorec, který potřebujete znát, když začínáte studovat trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud chcete znát hodnotu úhlu, ne strany.
Mnoho studentů si nemůže vzpomenout na druhý vzorec, který je také velmi oblíbený při řešení školních úloh: součet jedné a druhé mocniny tečny úhlu je roven jedné dělené druhou mocninou kosinu úhlu. Podívejte se blíže: vždyť jde o stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny druhou mocninou kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace ano trigonometrický vzorec zcela k nepoznání. Pamatujte: s vědomím, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, s pravidly převodu a několika základními vzorci, můžete kdykoli nezávisle odvodit požadované složitější vzorce na listu papíru.
Vzorce dvojitého úhlu a sčítání argumentů
Další dva vzorce, které se musíte naučit, souvisí s hodnotami sinusu a kosinu pro součet a rozdíl úhlů. Jsou znázorněny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém se sčítá párový součin sinu a kosinusu.
Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích – jako nácvik si je zkuste sami získat tím, že vezmete alfa úhel rovný úhlu beta.
Nakonec si všimněte, že vzorce dvojitého úhlu lze převést tak, aby se snížil stupeň sinusu, kosinusu a tečny alfa.
Věty
Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinová věta a kosinová věta. S pomocí těchto teorémů můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tečnu, a tedy plochu obrázku a velikost každé strany atd.
Sinusová věta říká, že v důsledku dělení délky každé ze stran trojúhelníku hodnotou opačného úhlu dostaneme stejné číslo. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům kružnice opsané, tedy kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.
Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že od součtu čtverců dvou stran odečtěte jejich součin vynásobený dvojitým kosinusem úhlu, který k nim přiléhá - výsledná hodnota se bude rovnat druhé mocnině třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako speciální případ kosinové věty.
Chyby způsobené nepozorností
I když víte, co je sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli roztržitosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se vyhnuli takovým chybám, pojďme se seznámit s nejoblíbenějšími z nich.
Za prvé, neměli byste převádět běžné zlomky na desetinná místa, dokud nezískáte konečný výsledek - můžete ponechat odpověď ve tvaru společný zlomek pokud není v podmínkách uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba mít na paměti, že v každé fázi problému se mohou objevit nové kořeny, které by podle autorovy myšlenky měly být redukovány. V takovém případě budete ztrácet čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je odmocnina ze tří nebo dvou, protože se vyskytují v úkolech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování „ošklivých“ čísel.
Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojnásobek součinu stran vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi, dostanete nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než nedbalá chyba.
Zatřetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je smíchat, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.
aplikace
Mnoho studentů se studiem trigonometrie nespěchá, protože nerozumí jejímu aplikovanému významu. Co je sinus, kosinus, tangens pro inženýra nebo astronoma? Jde o koncepty, díky kterým můžete vypočítat vzdálenost ke vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu, poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejviditelnější příklady! Ostatně trigonometrie v té či oné podobě se používá všude, od hudby po medicínu.
Konečně
Takže jste sinus, kosinus, tangens. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.
Celá podstata trigonometrie se scvrkává na skutečnost, že neznámé parametry se musí vypočítat ze známých parametrů trojúhelníku. Parametrů je celkem šest: délky tři strany a rozměry tří úhlů. Celý rozdíl v úlohách spočívá v tom, že jsou dána různá vstupní data.
Jak najít sinus, kosinus, tečnu na základě známých délek nohou nebo přepony, nyní víte. Protože tyto pojmy neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, je hlavním účelem trigonometrický problém stává se hledáním kořenů obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná školní matematika.
V tomto článku budeme hovořit o univerzální trigonometrická substituce. Zahrnuje vyjádření sinu, kosinu, tečny a kotangens libovolného úhlu přes tečnu polovičního úhlu. Navíc se taková výměna provádí racionálně, to znamená bez kořenů.
Nejprve napíšeme vzorce vyjadřující sinus, kosinus, tangens a kotangens pomocí tangens polovičního úhlu. Dále si ukážeme odvození těchto vzorců. A na závěr se podívejme na několik příkladů použití univerzální trigonometrické substituce.
Navigace na stránce.
Sinus, kosinus, tečna a kotangens přes tečnu polovičního úhlu
Nejprve si napišme čtyři vzorce vyjadřující sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu pomocí tangens polovičního úhlu.
Tyto vzorce jsou platné pro všechny úhly, pod kterými jsou definovány tečny a kotangensy v nich zahrnuté:
Odvozování vzorců
Rozeberme si odvození vzorců vyjadřujících sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu přes tangens polovičního úhlu. Začněme vzorci pro sinus a kosinus.
Reprezentujeme sinus a kosinus pomocí vzorců dvojitého úhlu jako 
A 
respektive. Nyní výrazy 
A 
pište jako zlomky se jmenovatelem 1 jako 
A 
. Dále na základě hlavní goniometrické identity nahradíme jednotky ve jmenovateli součtem druhých mocnin sinu a kosinu, načež získáme 
A 
. Nakonec vydělíme čitatele a jmenovatele výsledných zlomků (jeho hodnota se liší od nuly, pokud 
). V důsledku toho celý řetězec akcí vypadá takto: 
A 
Tím je odvození vzorců vyjadřujících sinus a kosinus přes tangens polovičního úhlu.
Zbývá odvodit vzorce pro tečnu a kotangens. Nyní, s ohledem na vzorce získané výše, a vzorce a 
, okamžitě získáme vzorce vyjadřující tečnu a kotangens přes tangens polovičního úhlu: 
Takže jsme odvodili všechny vzorce pro univerzální goniometrickou substituci.
Příklady použití univerzální goniometrické substituce
Nejprve se podívejme na příklad použití univerzální goniometrické substituce při převodu výrazů.
Příklad.
Dejte výraz 
na výraz obsahující pouze jeden goniometrická funkce.
Řešení.
Odpovědět:
.
Bibliografie.
- Algebra: Proč. pro 9 buněk. prům. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvícení, 1990.- 272 s.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a počátek analýzy: Proc. pro 10-11 buněk. prům. škola - 3. vyd. - M.: Osvícení, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začátek rozboru: Proc. pro 10-11 buněk. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osvěta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.
Kosinus součtu a rozdílu dvou úhlů
V této části budou prokázány následující dva vzorce:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Kosinus součtu (rozdílu) dvou úhlů se rovná součinu kosinů těchto úhlů mínus (plus) součinu sinů těchto úhlů.
Pro nás bude pohodlnější začít s důkazem vzorce (2). Pro jednoduchost předpokládejme nejprve, že úhly α A β splnit následující podmínky:
1) každý z těchto úhlů je nezáporný a menší než 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Nechť kladná část osy 0x je společnou počáteční stranou úhlů α A β .
Označme koncové strany těchto úhlů jako 0A a 0B. Pochopitelně úhel α - β lze považovat za úhel, o který je nutné otočit paprskem 0B kolem bodu 0 proti směru hodinových ručiček tak, aby se jeho směr shodoval se směrem paprsku 0A.
Na paprscích 0A a 0B označíme body M a N, které jsou ve vzdálenosti 1 od počátku souřadnic 0, takže 0M = 0N = 1.
V souřadnicovém systému x0y má bod M souřadnice ( cosα, sinα), a bod N - souřadnice ( cos β , sin β). Druhá mocnina vzdálenosti mezi nimi je tedy:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Při výpočtech jsme použili identitu
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Nyní uvažujme další souřadnicový systém B0C, který získáme otočením os 0x a 0y kolem bodu 0 proti směru hodinových ručiček o úhel β .
V tomto souřadnicovém systému má bod M souřadnice (cos ( α - β ), hřích ( α - β )) a bodem jsou N-souřadnice (1,0). Druhá mocnina vzdálenosti mezi nimi je tedy:
d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) \u003d 2.
Ale vzdálenost mezi body M a N nezávisí na tom, v jakém souřadnicovém systému tyto body uvažujeme. Proto
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Zde následuje vzorec (2).
Nyní bychom si měli připomenout tato dvě omezení, která jsme zavedli pro jednoduchost prezentace na rozích α A β .
Požadavek, aby každý z rohů α A β nebyl negativní, nebyl skutečně významný. Ke kterémukoli z těchto úhlů lze totiž přidat úhel, který je násobkem 2n, což nijak neovlivní platnost vzorce (2). Podobně od každého z daných úhlů můžete odečíst úhel, který je násobkem 2π. Proto se to dá považovat 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Kondice α > β . Opravdu, kdyby α < β , Že β >α ; tedy s přihlédnutím k rovnoměrnosti funkce cos X , dostaneme:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
který se v podstatě shoduje se vzorcem (2). Tedy vzorec
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
platí pro všechny úhly α A β . Zejména výměnou β na - β a vzhledem k tomu funkce cosX je sudá a funkce hříchX zvláštní, dostáváme:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
\u003d cos α cos β - sin α sin β,
což dokazuje vzorec (1).
Tak jsou dokázány vzorce (1) a (2).
Příklady.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Cvičení
1 . Počítejte bez použití goniometrických tabulek:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Zjednodušte výrazy:
A). cos( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .
b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) hřích ( α -24°).
PROTI). hřích (π / 4 - α ) hřích (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) co 2 α +tg α hřích 2 α .
3 . Vypočítat :
A) cos (α - β), Pokud
cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), pokud cos α = 0,6;
3π / 2< α < 2π.
4 . Nalézt cos(α + β) a cos (α - β) , je-li známo, že hřích α = 7/25 cos β = - 5 / 13 a oba úhly ( α A β ) končí ve stejném čtvrtletí.
5 .Vypočítat:
A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .
PROTI). cos [arctg 1/2 + arccos (- 2)]
