Világunk egyáltalán nem háromdimenziós, csak nekünk úgy tűnik. Ez a tény beigazolódik alapkutatás Alekszandr Alekszandrovics Gaifullin, az Orosz Tudományos Akadémia levelező tagja, a Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának professzora, a Matematikai Intézet vezető kutatója. V.A. Steklov RAS. Egy sor összetett matematikai konstrukcióhoz kapcsolódó munkáért megkapta a Fiatal Tudósok Elnöki Díját.

Sándor, még a kereszt- és családneveden is nehéz megszólítani, olyan fiatal vagy. És ugyanakkor - professzor, levelező tag ... Talán Ön a Tudományos Akadémia legfiatalabb tagja?

Amennyire én tudom, nem. de az egyik legfiatalabb. 26 évesen lettem a tudományok doktora, 32 évesen beválasztottak az akadémiára - a legutóbbi őszi választásokon. Azt kell mondanom, hogy a matematika általában a fiatalok tudománya.

- Mert az agy úgy van berendezve: minél fiatalabb, annál jobban működik?

Talán. Bár vannak olyan esetek, amikor az emberek felnőttkorban nagyon jó eredményeket értek el. De általában a matematikában sok példa van arra, amikor az első dolgozatok a legerősebbek. Más tudományokban, mondjuk a kémiában, a fizikában, különösen a kísérleti tudományban, rendkívül fontos az az idő, amikor az embernek fejlesztenie kell bizonyos készségeit, meg kell tanulnia dolgozni.

A kísérletek gyakran tartanak hosszú idő, ezért általában az ilyen területeken az emberek később komoly eredményeket érnek el.

- Ön a Fiatal Tudósok elnöki díjának kitüntetettje lett. Milyen kutatásra?

Már öt éve foglalkozom ezzel a témával. Ez az úgynevezett rugalmas poliéderről szóló munkasorozat. Ez egy nagyon érdekes geometriai objektum. Tudja, hogyan ragasztanak a gyerekek karton poliédereket? Megrajzolják a széleket, kivágják a szkennelést, majd elkezdik hajtogatni és ragasztani. Szóval csinálhatsz mondjuk egy kockát. És akkor felmerül a kérdés: itt egy zárt poliédert ragasztottunk, de merev szerkezet lesz, vagy a lapok közötti szögek változásával valahogy deformálódhat? Ezt hívják hajlításnak.

Ennek jobb elképzeléséhez, ahogy a matematikusok mondják, lemegy a dimenzióba, és ahelyett, hogy a poliédereket háromdimenziós térben nézné, a sokszögeket egy síkon nézheti. Ha veszünk egy háromszöget, és merev oldalakat és csuklópántokat készítünk a csúcsokban, akkor is merev alak marad, és semmilyen módon nem tudjuk deformálni. És ha egy négyszöget, ötszöget vagy sokszöget veszünk egy nagy szám oldalain, akkor mindig nem triviális deformációi lesznek. Például egy négyzet rombuszká alakítható, és így tovább. Ha azonban visszatérünk a poliéderekhez, ott más a helyzet. Hajlítható nagyon kevés van közöttük, megépítésük is nehézkes.

A rugalmas poliéder első példája csak 1977-ben készült el.

A tény az, hogy 1813-ban a híres francia matematikus, Augustin Louis Cauchy (ez volt az egyik első matematikai munkája) bebizonyította, hogy ha egy poliéder konvex, akkor soha nem lesz hajlítása.

Mi van, ha nem konvex? Mint másfél évszázaddal később kiderült, a hajlítás lehetséges. Sőt, amikor az ilyen rugalmas poliédereket elkezdték építeni, kiderült, hogy sok csodálatos tulajdonsággal rendelkeznek.

- Miféle?

Először is kísérleti úton fedezték fel őket. Mondjunk egy ilyen csodálatos dolgot: egy poliéder meghajlik, deformálódik, és a térfogata állandó marad. Eleinte olyan gondolatok merültek fel, hogy ez talán véletlen egybeesés. Elkezdtek más példákat nézni, és ott is állandó a hangerő. És volt egy hipotézis, hogy bármely hajlítható poliéder térfogata állandó a hajlítási folyamat során. Nagyon szépen hívták – a fújtatós hipotézis. A fújtató egy olyan eszköz, amely levegőt pumpál a kovácsműhelybe. Felmerült a kérdés: lehet-e olyan berendezést készíteni, amely levegőt pumpál ki egy rugalmas poliéderből? Ez csak akkor lenne lehetséges, ha lenne egy poliéder, amely megváltoztatja a térfogatát. A fújtatós hipotézis sokáig nyitott maradt, és a 90-es években be is bizonyult. múlt század orosz matematikusŐK. Sabitov.

Munkám a többdimenziós rugalmas poliéderek elméletének megalkotásából állt. A megszokott háromdimenziós terünkben élünk, de valójában a matematikusok is foglalkoznak többdimenziós terekkel, és ez nem csak a matematika, hanem annak különféle alkalmazásai – fizika, mechanika, asztrofizika és egyéb területek – szempontjából is nagyon fontos.

- Mit mutatott ki a kutatásod?

Sokszögeket néztünk a síkon. majd háromdimenziós térben, és akkor felmerült egy másik kérdés: mi lenne, ha hasonló objektumokat, ugyanazokat a rugalmas poliédereket vizsgálnánk tetszőleges dimenziójú többdimenziós terekben? És kiderült, hogy itt szinte semmit sem tudunk. A XX-XXI. század fordulóján. négydimenziós hajlékony poliéderek egyedi példái készültek, de nem lehetett tovább menni. Magasabb dimenziókban egyáltalán nem volt példa.

Először is sikerült példákat konstruálnom rugalmas poliéderekre minden méretű térben. Másodsorban a fújtató hipotézissel kapcsolatos kérdés és az I.Kh. Sabitov szerint a rugalmas poliéder térfogata mindig állandó. Minden okunk megvolt azt hinni, hogy talán ugyanez igaz a "magasabb" dimenziókra is.

Az általa adott bizonyíték háromdimenziós helyzetben nagyon jól működött, de többdimenziós helyzetben egyáltalán nem. Teljesen sikerült kitalálnom új megközelítés, amely lehetővé tette a fújtató hipotézis bizonyítását, vagyis a térfogat állandóságára vonatkozó állítást a poliéderek tetszőleges méretű poliéderekre való hajlítási folyamatában.

A mi terünk, ahogy a matematikusok mondják, nulla görbületű. És vannak íves terek. A legegyszerűbb pozitívan ívelt tereket elképzelni. A legegyszerűbb példa- egy gömb felülete, például a Föld felszíne, amelyen élünk. Vagyis a mi földi geometriánk nem euklideszi, nem lapos, hanem gömb alakú.

És van egy negatív görbületű tér is - ez a Lobacsevszkij-sík és az összes híres geometriája, amely a 19. században keletkezett. Ezek kétdimenziós terek, de ugyanúgy minden dimenzióban vannak pozitív és negatív görbületű terek. És tanulmányozhatják a rugalmas poliédereket is.

És kiderült, hogy az ottani helyzet nagyon furcsa. Ha a görbület pozitív, akkor a fújtató hipotézis hamis. Vannak példák hajlítható poliéderekre, amelyek térfogatot változtatnak a hajlítási folyamat során. Szokásos dimenziónkban egy ilyen példát V.A. S.L. Sobolev SB RAS, és minden magasabb dimenzióban ezek az eredményeim.

És a legérdekesebb dolog ez. Ha negatív görbületű térben vagyunk, akkor kiderül, hogy ha a dimenzió páratlan - 3,5, 7 stb., akkor a fújtatós hipotézis igaz és a térfogat állandó.

- És ha a méret páros, akkor hibás és a hangerő megváltozik?

Nem, ha páros, akkor senki sem tudja. Ez a kérdés ma is nyitott...

Igen, minden a hajlítható poliéderek tanulmányozásával kezdődött, de ez a tudomány különböző irányokba fejlődött. Általánosságban elmondható, hogy ez a csuklós mechanizmusok tudományának része, amelynek számos alkalmazási területe van, amelyek nagyon sok mérnöki szerkezetben előfordulnak. Vagy mondjuk van egy ilyen csodálatos konstrukció - egy sík, sok paralelogrammára osztva, amely nagyon kompaktan összehajtható. Ősidők óta ismert a japán origamiból, és ma miura-ori-nak hívják Kore Miura japán asztrofizikus tiszteletére, aki ezt a kialakítást javasolta napelemek hajtogatására.

Természetesen ilyen építmények is létrehozhatók ideiglenes lakások, mobil kórházak és tudományos laboratóriumok építésére – például északon új földterületek kialakítására.

Fantáziálhatsz, amennyit csak akarsz, de nem vagyok szakértő az alkalmazás területén. Szeretném azonban elmondani, hogy az olyan "naiv" lehetőségek mellett, mint bizonyos hajlítható felületek gyakorlati alkalmazása, nem maguknak a hajlítható poliédereknek a mélyebb és nem nyilvánvaló alkalmazási lehetőségei, hanem matematikai módszerek amelyek tanulmányaik során derültek ki. Általában gyakran előfordul, hogy a matematikai eredményeket valamilyen módon, kezdetben váratlanul használják fel. A történelem azt mutatja, hogy gyakran egy helyen kell alkalmazni, de teljesen más helyen jelenik meg.

Visszatérve a flexibilis poliéderekre, szeretnénk megjegyezni kapcsolatukat az ilyen típusú, a gyakorlatban gyakran előforduló problémákkal. Létezik egy ponthalmaz a térben, és tudjuk, hogy ezeknek a pontoknak néhány párja között mekkora távolság van (például sikerült megmérnünk őket), mások között viszont nem. Lehetséges az összes hiányzó távolságot megtudni, kiszámítani?

Ez a feladat egy bizonyos típusú rendszerek tanulmányozására korlátozódik algebrai egyenletek, és hasonló egyenletrendszerek merülnek fel a rugalmas poliéderek problémáiban. Ezért a rugalmas poliéderek elméletében kidolgozott módszerek itt kétségtelenül hasznosak lehetnek.

Pontosan.

- Hogyan épül fel mindez? Számítógépes programokkal?

Furcsa módon nem. A számítógépes modell általában később jön létre. A papírra rajzolás is problémás - ott minden lapos. És, hogy őszinte legyek, nem nagyon tudok ilyen összetett figurákat kartonból ragasztani.

- Mindezt a fejedben építed?

- Valami matematikai leírás képletek formájában?

Igen. Aztán, ha vannak képletek, be lehet őket tölteni a számítógépbe, és megkaphatnak egy objektumot.

- A kép a számítógépben és mi járt a fejében a meccs előtt?

Nem mindig.

- Folytatja a munkát ezzel a témával? Mit szeretnél elérni ebben az irányban?

Számomra ez a terület nem egészen őshonos. Kezdetben a matematika egy másik területére - az algebrai topológiára - szakosodtam. A topológia a geometriai objektumok olyan tulajdonságokkal való leírásának tudománya, amelyek deformációkor nem változnak. Az algebrai topológia pedig algebrai kifejezésekkel igyekszik ilyen leírást adni. azaz például rendeljünk minden felülethez valamilyen algebrai objektumot, és mutassuk meg, hogy ez az objektum különbözik, mondjuk egy gömb és egy fánkfelület esetében, és így mutatjuk be, hogy nem alakíthatók át egymásba folyamatos alakváltozással. Ez a tudomány kezdett kialakulni késő XIX században, de azóta jelentősen fejlődött és összetettebbé vált.

- Miért kezdett el ezeken a poliédereken dolgozni?

A témavezetőm az egyetemen az Orosz Tudományos Akadémia levelező tagja volt, V.M. Buchstaber, és a témám csak az algebrai topológia volt. És amikor az első évben voltam, nagyon szerencsés voltam, hogy a szemináriumok tovább folytatódtak matematikai elemzés csoportunkban a mekhmat professzora I.Kh. Sabitov, akiről már beszéltem. Így már akkor megismertem a hajlítható poliédereket és az ő eredményeit ezen a területen. És már 2011-ben, amikor éppen megvédtem a doktori disszertációmat, Ijad Khakovich azt mondta nekem, hogy ő azt tanácsolta, hogy foglalkozzam ezzel a problémával, mert úgy tűnt neki, hogy ott lehet alkalmazni a topológiai ismereteimet.

- És igaza volt?

Teljesen. Tehát a probléma egy része megoldódott, a többi, remélem, még hátravan.

Viktor Matvejevics Buchstaber. Az Orosz Tudományos Akadémia levelező tagja, a Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem professzora M.V. Lomonoszov. a Matematikai Intézet főkutatója. V.A. Szteklov:

Úgy gondolom, hogy az alaptudományhoz való hozzájárulás szempontjából ennek a munkának az eredményei abszolút kiemelkedőek. Már eddig is befolyásolták a matematika fejlődését, és továbbra is ezt fogják tenni. Felsorolhatjuk azokat a jelentős matematikusokat, akik évek óta próbálták megoldani ezeket a problémákat, de minden alkalommal zsákutcába jutottak. Alexander természetesen támaszkodott elődei eredményeire, de új módszereket talált, amelyek lehetővé tették számára, hogy előbb áttörjön a négydimenziós világba, majd a világba. több méretek.

Az a helyzet, hogy a rugalmas poliéderek problémája – ahogy a klasszikusok mondják – a mi háromdimenziós világunkon, a mindennapi tapasztalatokon alapult. De ha vesszük Henri Poincaré, tudományunk - a topológia - megalapítójának alapvető munkáját, akkor azzal kezdi, hogy klasszikus mechanika a háromdimenziós világgal foglalkozik. Ha azonban egy objektum dinamikáját és a rendszer egészének tulajdonságait szeretnénk leírni, akkor nem nélkülözhetjük a többdimenziós tereket, ahol nem csak a koordináták, hanem a sebesség, gyorsulás stb. Vagyis a háromdimenziós térből át kell lépni a többdimenziósba. Ennek a ténynek a megértése ösztönzőként szolgált a topológia létrehozásához és fejlesztéséhez.

Alexander alapvető hozzájárulása a köt. hogy először a háromdimenziós világgal kapcsolatos klasszikus problémákat ültette át a négydimenziós világba, majd a magasabb dimenziókra alkalmazható módszereket dolgozott ki. Előtte a rugalmas poliéderek klasszikus problémáinak többdimenziós analógjai elérhetetlennek tűntek. Ezért van az, hogy az elnöki díj megfogalmazása szerint "az alapvető problémák megoldásáért": Alexander új módszereket dolgozott ki, amelyek lehetővé tették a klasszikus problémák többdimenziós analógjainak megoldását.

Első pillantásra úgy tűnik, hogy mindez a képzeletünk szüleménye. Valójában nem egy háromdimenziós világban élünk, hanem egy többdimenziós világban. A háromdimenziós világ nagyon egyszerű és nyilvánvaló.

Például köztudott, hogy most a Matematikai Intézetben vagy ilyen-olyan előadóteremben. Megtalálni egy háromdimenziós feladat.

De ha követni akarlak, információra van szükségem a dinamikájáról, annak megértésére, hogy hol lesz a térben egy idő után. Ez már egy négydimenziós feladat.

A fázistér az a fogalom, amelyen minden modern matematika alapvető eredményei alapulnak. Te és én egy többdimenziós világban élünk, ahol a koordinátáink nemcsak helyadatokat, hanem sok egyéb információt is tartalmaznak állapotunkról.

Most teljesen egyedi lehetőségek merültek fel itt a modernnek köszönhetően Számítástechnikaés új kommunikációs eszközök. Ugyanez a navigációs rendszer többdimenziós tereket használ. Hosszú évek óta nem csak a topológiával foglalkozom, hanem annak fizika és kémia problémáira való alkalmazásait is, és minden alkalommal érzem azt az előnyt, amit a topológia nyújt számomra. Ahhoz képest, aki azt hiszi, hogy egy háromdimenziós világban él, sokkal gazdagabb eszköztáram van.

Sasha a tanítványom, és nincsenek korábbi tanítványai. Büszke vagyok az elért eredményeire, mert ez igazi áttörés a tudományban. Jó, ha megszületik az eredmény, ami azonnal használható. Ugyanakkor az alapvető eredmények különösen értékesek. Kiderült, hogy a mi világunkban minden teljesen más. amilyennek első pillantásra tűnik. Először is, valóban többdimenziós, másodszor, ebben a többdimenziós világban, amikor bizonyos tárgyakkal dolgozol, ismerned kell a tilalmakat, amelyeket ez a világ ír elő. És az a személy, aki felfedezte ezeket a tilalmakat, bekerül a matematika történetébe, mert új megértést adott az egész emberiségnek a világ létezésének feltételeiről. Harmadszor pedig, ha ismerjük ezeket a tilalmakat, csodálatos feladatot tűzhetünk ki magunk elé – hogy építsünk valamit a legjobbakból, hogy azt az emberiség javára fordítsuk. Nincs kétségem afelől, hogy még sok ilyen építkezés, beszerzés lesz.

Valerij Kozlov akadémikus: "Csodákért - a Matematikai Intézetbe"

Valerij Vasziljevics Kozlov, az Orosz Tudományos Akadémia megbízott elnöke, akadémikus, a Matematikai Intézet igazgatója. V.A. Szteklov (2004-2016).

Szeretnék néhány szót ejteni az intézetünkben dolgozó fiatalokról. Mindig arra törekedtünk, hogy a legtehetségesebbeket, legtehetségesebbeket toborozzuk. Intézetünk kicsi, alig több mint száz kutató. Ezért minden új ember megjelenése esemény számunkra. Ilyen esemény volt Sasha Gaifullin megjelenése, aki ma az Orosz Tudományos Akadémia levelező tagja, professzor.

Jól emlékszem, hogyan vettük fel. Nem titkolom, az én ötletem volt. Ezután a Moszkvai Egyetemen dolgozott, szülőföldemen a Mechanikai és Matematikai Karon, a három geometria tanszék egyikén. Intézetünkben nagyon sok diplomás van a Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Tanszékén. Tudván, hogy matematikai égboltunkon egy tehetséges fiatal srác jelent meg, kollégáimmal egyeztetve úgy döntöttem, hogy mindenáron elviszem hozzánk.

- Amennyire én tudom, A.A. Gaifullin továbbra is a Moszkvai Állami Egyetemen tanít.

Igen, de most részmunkaidőben.

- És végül is nem ő az egyetlen elnöki díj nyertese.

Igen, ő a harmadik. Az első az A.G. Kuznyecov figyelemre méltó algebraistánk, akit a Tudományos Akadémia levelező tagjává is választottak. kiemelkedő eredményeket az algebra és az algebrai geometria területén. És ezt a díjat N.N. Andreev a matematika tehetséges népszerűsítője, a matematika népszerűsítésével és propagandájával foglalkozó laboratórium vezetője.

- De vissza az A.A-hoz. Gaifullin.

Ő egy igazán nagyszerű geometria. Funkcióövé tudományos munka- Arra törekszik, hogy mindent a végsőkig, kecsesen és szépen csináljon. Ezzel kapcsolatban a nagy német matematikus Gauss szavaira emlékszem: "Ha valami befejezetlen, az azt jelenti, hogy semmit sem tettek." Szóval, Sasha mindent a végére visz. Vegyük például a fújtató hipotézisről szóló zseniális műsorozatát, amely szerint a hajlékony poliéderek térfogata általában nem változik (mindenesetre, ha a számunkra ismerős euklideszi térről beszélünk). Figyelembe vette a többdimenziós esetet, valamint a pozitív és negatív görbületű terek esetét. Ennek a problémának a görbületi jellel összefüggő sajátosságait emelte ki, ami szintén nagyon fontos. Logikus következtetésre jutott a dolog. És ez a legértékesebb.

Ez a hipotézis és az egész témakör szorosan összefügg többek között a Mechanikai és Matematikai Karral. Mint ismeretes, a háromdimenziós esetben ezt a sejtést a kiváló I.Kh geometria igazolta. Sabitov. Még diák voltam, amikor ő tartotta az óráinkat. És most előadásokat tart. Nagyon örülök, hogy neki volt lehetősége megoldani ezt a problémát, elmozdítani a kiindulópontról. Alekszandr Alekszandrovics a végeredményt többdimenziós esetben, sőt állandó görbületű terekben is megkapta. Ez egy kiváló eredmény.

- Mennyire fontosak a tanárok egy fiatal tudós számára?

Nagyon fontos. De nem csak a tanárok. Sashának van egy csodálatos apja, A.M. Gaifullin, szintén tudós, az Orosz Tudományos Akadémia levelező tagja, Zsukovszkijban dolgozik, aki az ország egyik vezető specialistája a folytonos közeg örvénymozgásának elméletében. Ezért Sándor nevelése kollektív munka.

Valerij Vasziljevics, az ön intézete komoly tudományos intézmény. De azt hallottam, hogy te is tudod, hogyan kell szórakozni.

Nem ez a szó! Van egy régi Újév hagyománya van: mindannyian összeülünk és szellemi feladatokat, versenyeket tartunk. És biztosan megvan a Mikulás és a Snow Maiden. Tehát Sasha tökéletesen játszotta a fő téli varázsló szerepét, nagyon művészinek és meggyőzőnek bizonyult, annak ellenére, hogy külsőleg félénk embernek tűnik. Számomra váratlan volt, de nagyon kellemes. Ezért ha igazi csodákra vágysz, gyere el hozzánk.

Natalia Leskova

Publikációk

1. A. Gaifullin, „A Johnson kernel felső homológiacsoportjáról” [ PDF: angol , arXiv: 1903.03864 ]
2. A. A. Gaifullin, Y. A. Neretin, „Végtelen szimmetrikus csoport, pszeudomanifoldok és kombinatorikus kobordizmus-szerű struktúrák”, J. Topol. Anal., https://doi.org/10.1142/S179352531850022X
3. A. Gaifullin, „A Torelli-csoportok végtelenül generált homológiájáról”, [ PDF: angol , arXiv: 1803.09311 ]
4. A. Gaifullin, L. Ignashchenko, „Dehn invariant offlexibilis poliéder” [ PDF: angol , arXiv: 1710.11247 ]
5. A. A. Gaifullin, „A Birman–Craggs–Johnson homomorfizmus kiterjesztéséről”, Orosz Math. Felmérések, 72:6 (2017), 1171–1173
6. A. A. Gaifullin, „A gráf-asszociaéderek kis borítói és a ciklusok megvalósítása” [ PDF: angol , arXiv: 1611.01816 ]
7. A. A. Gaifullin, „The bellows conjecture for small rugalmas poliéderek nem euklideszi terekben”, 2016, [ PDF: angol , arXiv: 1605.04568 ]
8. A. A. Gaifullin, Flexible Polyhedra and Their Volumes, 2016, [ PDF: angol , arXiv: 1605.09316 ]
9. A. A. Gaifullin, „A ciklusok és a kis lefedések megvalósításának problémája gráf-asszociaéder felett”, Aleksandrov Readings. Absztraktok (Moszkva, 2016. május 22–26.), Mechanikai és Matematikai Kar, Moszkvai Állami Egyetem, Moszkva, 2016
10. A. A. Gaifullin, „Small coverings over gráf-asszociaéderek és ciklusok megvalósítása”, Math. Sb., 207:11 (2016), 53–81 [ „Gráf-asszociaéderek kis borítói és ciklusok megvalósítása”, Sb. Math. 207:11 (2016), 1537–1561
11. A. A. Gaifullin, Yu. A. Neretin, „Infinite symmetric group and bordisms of pseudomanifolds”, [ PDF: angol , arXiv: 1501.04062 ]
12. A. A. Gaifullin, „Beágyazott rugalmas gömb alakú keresztpolitópok nem állandó térfogatokkal”, Geometria, topológia és alkalmazások, Összegyűjtött közlemények. Nyikolaj Petrovics Dolbilin professzor születésének 70. évfordulójára, Tr. MIAN, 288, MAIK, M., 2015, 67–94 [ PDF: angol , arXiv: 1501.06198 ]
13. A. A. Gaifullin, „A térfogat analitikus folytatása és a fújtató hipotézis Lobacsevszkij-terekben”, Mat. Sb., 206:11 (2015), 61–112 [ „A kötet analitikus folytatása és a Fújtatós sejtés Lobacsevszkij-terekben”, Sb. Math., 206:11 (2015), 1564–1609]
14. A. A. Gaifullin, „Current algebras on Riemann felületek: új eredmények és alkalmazások (de Gruyter Expositions in Mathematics 58) Írta: Oleg K. Sheinman”, Könyvismertetés, Bull. London Math. Soc. 47:6 (2015), 1029–1032
15. A. A. Gaifullin, „Sabitov-polinomok négydimenziós poliéderek térfogataihoz”, Adv. Math., 252 (2014), 586–611 [PDF: angol, arXiv: 1108.6014]
16. A. A. Gaifullin, S. A. Gaifullin, „Rugalmas poliéderes felületek periódusrácsainak alakváltozásai”, Discrete Comput. Geom., 51:3 (2014), 650–665 [PDF: angol, arXiv: 1306.0240]
17. A. A. Gaifullin, „Rugalmas keresztpolitópok állandó görbületű terekben”, Algebrai topológia, konvex poliéderek és kapcsolódó témák, Összegyűjtött cikkek. Viktor Matvejevics Buchstaber, az Orosz Tudományos Akadémia levelező tagja születésének 70. évfordulója alkalmából, Tr. MIAN, 286, MAIK, M., 2014, 88–128 [ PDF: angol , arXiv: 1312.7608 ]
18. A. A. Gaifullin, „Sabitov-tétel általánosítása tetszőleges méretű poliéderekre”, Discrete Comput. Geom., 52:2 (2014), 195–220 [PDF: angol, arXiv: 1210.5408]
19. A. A. Gaifullin, „Rugalmas poliéderek kötetei”, Jurij Grigorjevics Reshetnyak akadémikus 85. évfordulója alkalmából rendezett „A geometria napjai Novoszibirszkben – 2014” nemzetközi konferenciájának absztraktjai (Novoszibirszk, 2014. szeptember 24–27.), szerk. I. A. Taimanov, A. Yu. Vesnin, Institute of Mathematics im. S. L. Soboleva SB RAS, Novoszibirszk, 2014, 98–99.
20. A. A. Gaifullin, A. V. Penskoi, S. V. Smirnov, Problems in lineáris algebra and geometry, Moscow Central Centre for Grain Education, Moscow, 2014, 152 pp. http://biblio.mccme.ru/node/5173
21. A. A. Gaifullin, „A szimplex térfogata, mint kétoldali területeinek többértékű algebrai függvénye”, Topológia, geometria, integrálható rendszerek és matematikai fizika: Novikov’s Seminar 2012–2014, Advances in the Mathematical Sciences, Amer. Math. szoc. Ford. Ser. 2, 234, szerk. V. M. Buchstaber, B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 201–221 [PDF: angol, arXiv: 1310.3417]
22. A. A. Gaifullin, „Flexible polyhedra and their volumes”, Geometry, Report No. 29/2014 (Oberwolfach, 2014. június 15–21.), Oberwolfach Reports, 11, szerk. J. Lott, I. Taimanov, B. Wilking, European Math. Szoc., 2014, 1584–1586
23. A. M. Vershik, A. P. Veselov, A. A. Gaifullin, B. A. Dubrovin, A. B. Zhizcsenko, I. M. Krichever, A. A. Maltsev, D. V. Millionschikov, S. P. Novikov, T. E. Panov, A. G. Szergejev, „A. Taimanov, I. Matveevich Buchstaber (hetvenedik születésnapján)”, Uspekhi Mat. Nauk, 68:3(411) (2013), 195–204 [ „Viktor Matveevich Buchstaber (70. születésnapján)”, Russian Math. Surveys, 68:3 (2013), 581–590]
24. A. A. Gaifullin, „Universal realisators for homology classes”, Geometry & Topology, 17:3 (2013), 1745–1772 [ PDF: angol , arXiv: 1201.4823 ]
25. A. A. Gaifullin, „Coxeter csoportok, kis borítók és ciklusok megvalósítása”, Nemzetközi Nyílt Kínai-Orosz Konferencia „Torus Actions: Topology, Geometry and Number Theory”. Absztraktok (Habarovszk, 2013. szeptember 2–7.), Togu Kiadó, Habarovszk, 2013, 35-36
26. A. A. Gaifullin, „Flexible polyhedra and place of fields”, Yaroslavl International Conference „Geometry, Topology, and Applications”, 2013. szeptember 23–27. Abstracts, Yaroslavl State University. P.G. Demidova, Jaroszlavl, 2013
27. A. A. Gaifullin, T. E. Panov, „Buchstaber Viktor Matveevich”, Tr. MMO, 74, No. 2, MTsNMO, M., 2013, 209 [“Victor Matveevich Buchstaber 70. születésnapi évfordulója”, Trans. Moszkva matek. Soc., 2013 (2013), 173]
28. A. A. Gaifullin, „Ciklusok és kis borítók kombinatorikus megvalósítása”, European Congress of Mathematics (Krakkó, 2012. július 2–7.), szerk. R. Latala et al., European Mathematical Society, 2013, 315–330 [ PDF: angol , arXiv: 1204.0208 ]
29. A. A. Gaifullin, „Ciklusok és kis borítók kombinatorikus megvalósítása”, 6. Európai Matematikai Kongresszus. Abstracts & Titles (Krakkó, Lengyelország, 2012. július 2–7.), 6ECM, Krakkó, 2012, 25–26
30. A. A. Gaifullin, „Ciklusok kombinatorikus megvalósítása és egyszerű kötet”, A „Geometria napjai Novoszibirszkben, 2012” nemzetközi konferencia absztraktjai A. D. akadémikus 100. évfordulója alkalmából. Alekszandrova (Novoszibirszk, 2012. augusztus 30. – szeptember 1.), A.I.-ről elnevezett Matematikai Intézet. S. L. Soboleva SB RAS, 2012, 12–13
31. A. A. Gaifullin, „Sabitov Polynomials for Volumes of Four-Dimensional Polyhedra”, A negyedik geometriai találkozó, amelyet A. D. Alexandrov centenáriumának szenteltek. Abstracts (Szentpétervár, 2012. augusztus 20–24.), VVM Kiadó, Szentpétervár, 2012
32. A. A. Gaifullin, „Sabitov polinomok négydimenziós poliéderek térfogataihoz”, Jaroszlavl Nemzetközi Konferencia „Diszkrét geometria” az i.sz. századik évfordulója alkalmából. Alekszandrov. Absztraktok (Jaroszlavl, 2012. augusztus 13–18.), Jaroszlavli Állami Egyetem névadója P.G. Demidova, Jaroszlavl, 2012, 36–37
33. A. A. Gaifullin, „Sabitov-polinomok poliéderekhez négy dimenzióban”, Nemzetközi konferencia „Tórikus topológia és automorf függvények”. Jelentéskivonatok (Moszkva, 2011. szeptember 5–10.), TOGU kiadó, Habarovszk, 2011, 27–35.
34. A. A. Gaifullin: „Konfigurációk terei, bistelláris átalakulások és kombinatorikus képletek az első Pontryagin osztály számára”, Differenciál egyenletekés topológia. I, Cikkgyűjtemény. Lev Semenovich Pontryagin akadémikus születésének 100. évfordulója alkalmából Tr. MIAN, 268, MAIK, M., 2010, 76–93 [ PDF: angol , arXiv: 0912.3933 ]
35. A. A. Gaifullin, „Sets of links of vertices of simplecial and cubic sokaság”, 2010 International Conference on Topology and its Applications. Absztraktok (Nafpaktos, Görögország, 2010. június 26–30.), Messolonghi Technological Educational Institute, Nafpaktos, 2010, 101–103
36. A. A. Gaifullin, „Háromszögelt sokaságok csúcsainak láncszemei ​​és Steenrod-probléma kombinatorikus megközelítése a ciklusok megvalósításával kapcsolatban”, Geometria, topológia, algebra és számelmélet, Alkalmazások. A B.N. 120. évfordulójának szentelt nemzetközi konferencia. Delone. Abstracts (Moszkva, 2010. augusztus 16–20.), Mathematical Institute im. V.A. Steklov RAS, Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem M.V. Lomonoszov, Moszkva, 2010-11
37. A. A. Gaifullin, A racionális Pontryagin-osztályok kombinatorikus számításának problémája, Diss. … dok. Fiz.-Matek. Tudományok, Matematikai Intézet. V.A. Steklov, Orosz Tudományos Akadémia, Moszkva, 2010, 341 p.
38. A. A. Gaifullin: „Az összetett projektív sík minimális háromszögelése, amely lehetővé teszi a négydimenziós egyszerűségek sakktáblás színezését”, Geometria, topológia és matematikai fizika. II, Cikkgyűjtemény. Szergej Petrovics Novikov akadémikus születésének 70. évfordulója alkalmából Tr. MIAN, 266, MAIK, M., 2009, 33–53 [ PDF: angol , arXiv: 0904.4222 ]
39. A. A. Gaifullin, „Kombinatorikus sokaságok építése adott csúcslinkkészletekkel”, Izv. RAN. Ser. Mat., 72:5 (2008), 3–62 [PDF: angol, arXiv: 0801.4741]
40. A. A. Gaifullin, „Ciklusok megvalósítása aszférikus sokaságokkal”, Uspekhi Mat. Nauk, 63:3(381) (2008), 157–158 [ PDF: angol , arXiv: 0806.3580 ]
41. A. A. Gaifullin, „Az izospektrális szimmetrikus háromszögmátrixok sokasága és a ciklusok megvalósítása aszférikus sokaságokkal”, Geometria, topológia és matematikai fizika. I, Cikkgyűjtemény. Szergej Petrovics Novikov akadémikus születésének 70. évfordulója alkalmából Tr. MIAN, 263, MAIK, M., 2008, 44–63 ["The Manifold of Isospectral Symmetric Tridiagonal Matrices and Realization of Cycles by Aspherical Manifolds", Proc. Steklov Inst. Math., 263 (2008), 38–56]
42. A. A. Gaifullin, „Lokális kombinatorikus képletek a háromszögelt sokaságok Pontryagin osztályaihoz”, Differenciálegyenletek és topológia: L.S. születésének 100. évfordulója alkalmából rendezett nemzetközi konferencia. Pontryagin: Jelentéskivonatok (Moszkva, 2008. június 17–22.), Moszkvai Állami Egyetem VMiK Karának Kiadói Osztálya. M.V. Lomonoszov, 2008, 16
43. A. A. Gaifullin, Ciklusok kombinatorikus megvalósítása, Diss. … cand. Fiz.-Matek. Tudományok, Moszkvai Állami Egyetem. M.V. Lomonoszov, Mechanikai és Matematikai Kar, Moszkva, 2008, 121 p.
44. A. A. Gaifullin, „Adott homológiaosztályokat megvalósító sokaságok explicit felépítése”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:6(378) (2007), 167–168. Surveys, 62:6 (2007), 1199–1201]
45. A. A. Gaifullin, P. V. Yagodovskii, „Az m-értékű dinamika integrálhatóságáról egygenerált m-értékű csoportok segítségével”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:1(373) (2007), 201–202 [ „Integrability of m-valued dynamics by through single-generated m-valued groups”, Russian Math. Surveys, 62:1 (2007), 181–183]
46. V. M. Buchstaber, A. A. Gaifullin, „Representations of m-valued groups on triangulations of monias”, Uspekhi Mat. Nauk, 61:3(369) (2006), 171–172 ["Representations of m-valued groups on triangulations of multiansion", Russian Math. Surveys, 61:3 (2006), 560–562]
47. A. A. Gaifullin, „Egy sokaság jellemző osztályainak kiszámítása a háromszögelésből”, Uspekhi Mat. Nauk, 60:4(364) (2005), 37–66 [ „A sokaság jellemző osztályainak kiszámítása annak háromszögeléséből”, Russian Math. Surveys, 60:4 (2005), 615–644]
48. A. A. Gaifullin, „Local formulas for kombinatorical Pontryagin classes”, Izv. RAN. Ser. Mat., 68:5 (2004), 13–66 [ PDF: angol , arXiv: math/0407035 ]
49. A. A. Gaifullin, „A helyi formulákról a pontrjaginok kombinatorikus osztályaihoz”, Uspekhi Mat. Nauk, 59:2(356) (2004), 189–190. Surveys, 59:2 (2004), 379–380]
50. A. A. Gaifullin, „Nerves of Coxeter group”, Uspekhi Mat. Nauk, 58:3(351) (2003), 189–190 [„Coxeter-csoportok idegei”, Russian Math. Surveys, 58:3 (2003), 615–616].
51. A.A. Gaifullin, „On izotop weavings”, Arch. Math. (Basel), 81:5 (2003), 596–600
52. A. A. Gaifullin, V. O. Manturov, „A zsinórok felismeréséről”, J. Knot Theory Ramifications, 11:8 (2002), 1193–1209
53. A. A. Gaifullin, „Csomók vetületei egyetlen ponttal, több keresztirányú önmetszésponttal”, Modern matematikai és mechanikai kutatások, A Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának Fiatal Tudósai Konferenciájának 23. kiadványa, Publishing Ház a CPI pri mekh.-mat. fak. Moszkvai Állami Egyetem, Moszkva, 2001, 88–92