Fibonacci-számok - egy numerikus sorozat, ahol a sorozat minden következő tagja egyenlő az előző két szám összegével, azaz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987 , 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 75025,.. 3478759628 980000,.. 42229701564 9625,.. 19581068021641812000,.. számos hivatásos tudós és amatőr matematika.

Vlagyimir Mihajlov kutató 1997-ben leírta a sorozat számos furcsa vonását, aki meg volt győződve arról, hogy a természet (beleértve az embert is) az ebben a számsorrendben lefektetett törvények szerint fejlődik.

A Fibonacci-számsor figyelemre méltó tulajdonsága, hogy a sorozatok számainak növekedésével a sorozat két szomszédos tagjának aránya aszimptotikusan megközelíti az Aranymetszet pontos arányát (1:1,618), amely a szépség és a harmónia alapja a világban. a minket körülvevő természet, beleértve az emberi kapcsolatokat is.

Figyeljük meg, hogy maga Fibonacci fedezte fel híres sorozatát, amely azon a problémán gondolkodik, hogy hány nyulak kell egy párból egy éven belül megszületniük. Kiderült, hogy a második után minden következő hónapban a nyúlpárok száma pontosan követi a digitális sorozatot, amely immár az ő nevét viseli. Ezért nem véletlen, hogy maga az ember is a Fibonacci-sorozat szerint van elrendezve. Minden szerv belső vagy külső kettősség szerint van elrendezve.

A Fibonacci-számok azért vonzották a matematikusokat, mert képesek a legváratlanabb helyeken is megjelenni. Megfigyelték például, hogy a Fibonacci-számok egyen átvett arányai megfelelnek a növények szárán lévő szomszédos levelek közötti szögnek, pontosabban azt mondják, hogy ez a szög mekkora fordulatszámú: 1/2 - szil és hárs, 1/3 - bükk, 2/5 - tölgy és alma, 3/8 - nyár és rózsa, 5/13 - fűz és mandula stb. a napraforgóspirálokban, a két tükörről visszaverődő sugarak számában, a méhek egyik sejtből a másikba való mászásának lehetőségeinek számában, számos matematikai játékban és trükkben.

Mi a különbség az aranyarány spirál és a Fibonacci spirál között? Az aranymetszés spirál tökéletes. A harmónia elsődleges forrásának felel meg. Ennek a spirálnak nincs se eleje, se vége. Ő végtelen. A Fibonacci spirálnak van kezdete, ahonnan elindul a „letekeredés”. Ez egy nagyon fontos tulajdonság. Lehetővé teszi a Természet számára, hogy a következő lezárt ciklus után egy új spirál felépítését hajtsa végre a „nullából”.

Azt kell mondani, hogy a Fibonacci spirál lehet dupla. Számos példa van ezekre a kettős hélixekre mindenhol. Tehát a napraforgó spirálok mindig korrelálnak a Fibonacci sorozattal. Még egy közönséges fenyőtobozban is látható ez a kettős Fibonacci spirál. Az első spirál az egyik irányba megy, a második - a másikba. Ha megszámoljuk az egyik irányba forgó spirál skáláinak számát és a másik spirálban lévő skálák számát, akkor láthatjuk, hogy ez mindig a Fibonacci sorozat két egymást követő száma. Ezeknek a spiráloknak a száma 8 és 13. A napraforgóban spirálpárok vannak: 13 és 21, 21 és 34, 34 és 55, 55 és 89. És ezektől a pároktól nincs eltérés!..

Az emberben egy szomatikus sejt kromoszómakészletében (23 pár van belőlük) az örökletes betegségek forrása 8, 13 és 21 pár kromoszóma ...

De miért játszik ez a sorozat meghatározó szerepet a Nature-ben? Erre a kérdésre kimerítő választ adhat a triplicitás fogalma, amely meghatározza önfenntartásának feltételeit. Ha a triász „érdekegyensúlyát” az egyik „partnere” megsérti, a másik két „társ” „véleményét” korrigálni kell. A triplicitás fogalma különösen egyértelműen a fizikában nyilvánul meg, ahol „majdnem” minden elemi részecske kvarkokból épült fel. Ha felidézzük, hogy a kvark részecskék törttöltéseinek arányai egy sorozatot alkotnak, és ezek a Fibonacci sorozat első tagjai, amelyek szükségesek más elemi részecskék.

Elképzelhető, hogy a Fibonacci-spirálnak is meghatározó szerepe lehet a hierarchikus terek korlátozottságának és zártságának mintázatának kialakításában. Valóban, képzeljük el, hogy a Fibonacci-spirál az evolúció egy szakaszában elérte a tökéletességet (az aranymetszet-spiráltól megkülönböztethetetlenné vált), és emiatt a részecskét át kell alakítani a következő „kategóriába”.

Ezek a tények ismét megerősítik, hogy a kettősség törvénye nemcsak minőségi, hanem mennyiségi eredményeket is ad. Elhitetik velünk, hogy a körülöttünk lévő makrokozmosz és mikrokozmosz ugyanazon törvények szerint fejlődik – a hierarchia törvényei szerint, és ezek a törvények ugyanazok az élő és az élettelen anyagra.

Mindez azt jelzi, hogy a Fibonacci-számok sorozata egyfajta titkosított természeti törvény.

A civilizáció fejlődésének digitális kódja a numerológiában különféle módszerekkel határozható meg. Például komplex számok egyjegyűvé alakításával (például 15 az 1+5=6 stb.). Hasonló összeadást végezve a Fibonacci-sorozat összes komplex számával, Mihajlov a következő számsorokat kapta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, majd minden megismétlődik: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. és újra és újra megismétlődik... Ez a sorozat is a Fibonacci sorozat tulajdonságaival rendelkezik, minden végtelenül következő tag egyenlő az előzőek összegével. Például a 13. és 14. tag összege 15, azaz. 8 és 8=16, 16=1+6=7. Kiderült, hogy ez a sorozat periodikus, 24 tagú periódussal, amely után a teljes számsor megismétlődik. Miután megkapta ezt az időszakot, Mihajlov érdekes feltevést terjesztett elő - ez nem egy 24 számjegyből álló halmaz egyfajta digitális kód civilizáció fejlődése?megjelent

P.S. És ne feledd, pusztán a tudatod megváltoztatásával - együtt megváltoztatjuk a világot! © econet

Valamikor megígértem, hogy kommentálom Tolkacsov kijelentését, miszerint Szentpétervár az Aranymetszet, Moszkva pedig a szimmetria elve szerint épült, és ezért van e két város megítélésének különbsége. annyira tapinthatóak, és ez az oka annak, hogy egy pétervári, aki Moszkvába érkezik, „megbetegszik a fejében”, a moszkvai pedig „megbetegszik a fejével”, amikor Szentpétervárra érkezik. Időbe telik, amíg megszokja a várost (mint amikor az államokba repül – idővel alkalmazkodnia kell).

A helyzet az, hogy a szemünk néz - bizonyos szemmozgások - szakkádok (fordításban - vitorlakaps) segítségével a teret érezzük. A szem „pattan” és jelet küld az agynak, „megtörtént a felülethez való tapadás. Minden rendben. Ez információ." És élete során a szem hozzászokik ezeknek a szakkádoknak egy bizonyos ritmusához. És amikor ez a ritmus drasztikusan megváltozik (a városi tájtól az erdőig, az aranymetszettől a szimmetriáig), akkor némi agyi munkára van szükség az újrakonfiguráláshoz.

Most a részletek:
A ZS definíciója egy szakasz két részre osztása olyan arányban, hogy a nagyobbik rész a kisebbhez kapcsolódik, mivel az összegük (a teljes szegmens) a nagyobbhoz.

Vagyis ha a teljes c szakaszt 1-nek vesszük, akkor az a szegmens 0,618, a b szegmens pedig 0,382 lesz. Így ha veszünk egy épületet, például egy GS elve szerint épült templomot, akkor mondjuk 10 méter magasságával a kupolával ellátott dob ​​magassága 3,82 cm, az alap magassága pedig az épület 6,18 cm lesz. (Egyértelmű, hogy a számok, amelyeket az egyértelműség kedvéért vettem, egyenlők)

És mi a kapcsolat a GL és a Fibonacci számok között?

A Fibonacci sorszámok a következők:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

A számok mintázata az, hogy minden következő szám egyenlő az előző két szám összegével.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 stb.

a szomszédos számok aránya pedig megközelíti a 3S arányát.
Tehát 21:34 = 0,617 és 34:55 = 0,618.

Vagyis a ZS alapja a Fibonacci sorozat számai.
Ez a videó ismét egyértelműen bemutatja az AP és a Fibonacci-számok közötti kapcsolatot

Hol találkozik még az AP elv és a Fibonacci sorszámok?

A növények leveleit a Fibonacci-szekvencia írja le. A napraforgómag, a fenyőtoboz, a virágszirmok, az ananászsejtek is a Fibonacci-sorrend szerint vannak elrendezve.

madártojás

Az emberi ujjak ujjainak hossza megközelítőleg megegyezik a Fibonacci-számokkal. Az aranymetszés az arc arányaiban látható.

Emil Rozenov a ZS-t a barokk és a klasszicizmus korának zenéjében tanulmányozta Bach, Mozart, Beethoven műveire példaként.

Ismeretes, hogy Szergej Eisenstein mesterségesen építette a "Potemkin csatahajó" című filmet a törvényhozó gyűlés szabályai szerint. Öt részre törte a szalagot. Az első háromban az akció a hajón fejlődik. Az utolsó kettőben - Odesszában, ahol a felkelés kibontakozik. Ez a városba való átmenet pontosan az aranymetszés pontján megy végbe. Igen, és minden részben van egy fordulópont, ami az aranymetszés törvénye szerint következik be. A keretben, jelenetben, epizódban van egy bizonyos ugrás a téma fejlődésében: a cselekmény, a hangulat. Eisenstein úgy vélte, hogy mivel egy ilyen átmenet közel van az aranymetszet pontjához, ezt tekintik a legtermészetesebbnek és legtermészetesebbnek.

Számos díszítőelem, valamint betűtípus a GS segítségével készül. Például A. Dürer betűtípusa (az „A” betű az ábrán)

Úgy tartják, hogy az "arany arány" kifejezést Leonardo Da Vinci vezette be, aki azt mondta: "Matematikus lévén senki ne merje elolvasni a műveimet", és megmutatta az arányokat. emberi test híres "Vitruvius Man" rajzában. „Ha egy emberi alakot – az Univerzum legtökéletesebb teremtményét – megkötjük övvel, majd megmérjük az öv és a láb közötti távolságot, akkor ez az érték ugyanazon öv és a fejtető közötti távolságra fog vonatkozni. mint az ember teljes magassága az övtől a lábig terjedő hosszig."

Mona Lisa vagy Gioconda híres portréja (1503) az arany háromszögek elvén készült.

Szigorúan véve maga a csillag vagy a pentacle az AP konstrukciója.

Fibonacci-számok sorozatát vizuálisan modellezik (materializálják) spirál formájában

És a természetben a 3S spirál így néz ki:

Ugyanakkor a spirál mindenütt megfigyelhető(a természetben és nem csak):
- A magvak a legtöbb növényben spirálisan vannak elrendezve
- A pók spirálban szövi a hálót
- Egy hurrikán spiráloz
- Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik.
- A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. A DNS-molekula két, függőlegesen összefonódó, 34 angström hosszú és 21 angström széles hélixből áll. A 21 és 34 számok követik egymást a Fibonacci-sorozatban.
- Az embrió spirál formájában fejlődik
- Spirális "cochlea a belső fülben"
- A víz spirálisan folyik le a lefolyóba
- A spiráldinamika spirálisan mutatja meg az ember személyiségének és értékeinek fejlődését.
- És persze maga a Galaxis spirál alakú

Így vitatható, hogy maga a természet az aranymetszet elvén épül fel, ezért ezt az arányt az emberi szem harmonikusabban érzékeli. Nem igényli az így létrejövő világkép "rögzítését", kiegészítését.

Most az építészet aranymetszetéről

A Kheopsz piramis a GS arányait képviseli. (Tetszik a fotó - homokkal teleszórt Szfinxszel).

Le Corbusier szerint I. Seti fáraó abüdoszi templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranymetszésnek. A Parthenon ókori görög templomának homlokzata is arany arányú.

Notredam de Paris katedrális Párizsban, Franciaországban.

Az AP elve alapján készült egyik kiemelkedő épület a szentpétervári Szmolnij-székesegyház. Két ösvény vezet a katedrálishoz a széleken, és ha ezek mentén közelítjük meg a katedrálist, akkor úgy tűnik, hogy a levegőbe emelkedik.

Moszkvában is vannak ZS felhasználásával készült épületek. Például a Szent Bazil-székesegyház

A szimmetria elvét alkalmazó épületek azonban érvényesülnek.
Például a Kreml és a Szpasszkaja-torony.

A Kreml falainak magassága sem tükrözi sehol az AP elvét például a tornyok magasságával kapcsolatban. Vagy vegye be az Russia szállodát vagy a Cosmos szállodát.

Ugyanakkor Szentpéterváron nagyobb százalékot képviselnek az AP elv szerint épült épületek, míg ezek utcai épületek. Liteiny sugárút.

Így az aranyarány 1,68-as arányt használ, a szimmetria pedig 50/50.
Vagyis a szimmetrikus épületek az oldalak egyenlőségének elve alapján épülnek.

A GS másik fontos jellemzője a dinamizmusa és a kibontakozási vágy, a Fibonacci-számok sorrendjének köszönhetően. Ezzel szemben a szimmetria stabilitást, stabilitást és mozdulatlanságot jelent.

Ráadásul a további ZS rengeteg vízteret visz be Péter tervébe, áthatol a városon, és megszabja a város alárendeltségét a kanyarulataiknak. Péter sémája pedig egyszerre hasonlít egy spirálra vagy egy embrióra.

A pápa ugyanakkor más verziót fogalmazott meg arról, hogy a moszkoviták és a szentpéterváriak miért „fájdulnak” a fővárosokba látogatva. A pápa ezt a városok energiáival hozza összefüggésbe:
Szentpétervár - férfi neme és ennek megfelelően férfias energiái vannak,
Nos, Moszkva - ill. nőiés női energiákkal rendelkezik.

Így a fővárosi lakosok, akik testükben ráhangolódtak a női és a férfiasság bizonyos egyensúlyára, a szomszéd városba látogatva nehezen tudnak újjáépülni, és valakinek nehézségei adódhatnak egyik-másik energia érzékelésében, ill. ezért lehet, hogy a szomszéd város egyáltalán nem szerelmes!

E verzió alátámasztására azt is mondja, hogy minden orosz császárnők Szentpéterváron uralkodtak, míg Moszkva csak férfi cárokat látott!

Felhasznált erőforrások.

Kanalieva Dana

Ebben a cikkben tanulmányoztuk és elemeztük a Fibonacci-sorozat számainak megnyilvánulását a minket körülvevő valóságban. Meglepő matematikai összefüggést fedeztünk fel a növényekben lévő spirálok száma, a vízszintes síkban lévő ágak száma és a Fibonacci-sorozat számai között. Az ember szerkezetében is szigorú matematikát láttunk. Az emberi DNS-molekula, amelyben az ember fejlődésének teljes programja titkosítva van, a légzőrendszer, a fül felépítése - minden engedelmeskedik bizonyos számarányoknak.

Láttuk, hogy a természetnek megvannak a maga törvényei, amelyeket a matematika segítségével fejeznek ki.

A matematika pedig nagyon fontos tanulási eszköz a természet titkai.

Letöltés:

Előnézet:

MBOU "Pervomaiskaya középiskola"

Orenburgi kerület az Orenburg régióban

KUTATÁS

"A számok rejtvénye

Fibonacci"

Készítette: Kanalieva Dana

6. osztályos tanuló

Tudományos tanácsadó:

Gazizova Valeria Valerievna

A legmagasabb kategóriájú matematikatanár

n. Kísérleti

2012

Magyarázó megjegyzés………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bevezetés. A Fibonacci-számok története…………………………………………………………… 4.

1. fejezet Fibonacci-számok a vadon élő állatokban.......……. ……………………………………… 5.

2. fejezet Fibonacci spirál................................................ .. .............................................. 9.

3. fejezet Fibonacci-számok az emberi találmányokban .........…………………………….

4. fejezet Kutatásaink……………………………………………………………………………………………….

5. fejezet Következtetések, következtetések…………………………………………………………………

A felhasznált irodalom és internetes oldalak listája…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Tanulmányi tárgy:

Az ember, az ember által létrehozott matematikai absztrakciók, az ember találmányai, a környező növény- és állatvilág.

Tanulmányi tárgy:

a vizsgált tárgyak, jelenségek formája, szerkezete.

A tanulmány célja:

tanulmányozni a Fibonacci-számok megnyilvánulását és a hozzá kapcsolódó aranymetszet törvényét az élő és élettelen tárgyak szerkezetében,

találjon példákat a Fibonacci-számok használatára.

Munkafeladatok:

Ismertesse a Fibonacci-sorozat és a Fibonacci-spirál felépítését.

Lásd a matematikai mintákat az ember szerkezetében, növényvilágés az élettelen természetet az Aranymetszés jelenség szemszögéből.

Kutatási újdonság:

A Fibonacci-számok felfedezése a minket körülvevő valóságban.

Gyakorlati jelentősége:

A megszerzett ismeretek és készségek felhasználása kutatómunka amikor más iskolai tantárgyakat tanul.

Készségek és képességek:

A kísérlet megszervezése és lebonyolítása.

Szakirodalom felhasználása.

Az összegyűjtött anyag áttekintésére való képesség elsajátítása (beszámoló, prezentáció)

A munka nyilvántartása rajzokkal, diagramokkal, fényképekkel.

Aktív részvétel munkájuk megbeszélésében.

Kutatási módszerek:

empirikus (megfigyelés, kísérlet, mérés).

elméleti (logikai tudásszint).

Magyarázó jegyzet.

„A számok uralják a világot! A szám az istenek és halandók felett uralkodó hatalom!” - így mondták az ókori pitagoreusok. A Pythagore-i tanításnak ez az alapja ma is aktuális? Tanulmányozva a számtudományt az iskolában, meg akarunk győződni arról, hogy valóban az egész Univerzum jelenségei bizonyos numerikus arányoknak vannak kitéve, hogy megtaláljuk ezt a láthatatlan kapcsolatot a matematika és az élet között!

Tényleg minden virágban benne van,

Mind a molekulában, mind a galaxisban,

Numerikus minták

Ez a szigorú "száraz" matematika?

Egy modern információforráshoz fordultunk - az internethez, és olvastunk a Fibonacci-számokról, a varázslatos számokról, amelyek tele vannak nagy rejtélyekkel. Kiderült, hogy ezek a számok megtalálhatók a napraforgóban és a fenyőtobozban, a szitakötőszárnyakban és a tengeri csillagokban, az emberi szív ritmusában és a zenei ritmusokban...

Miért olyan gyakori ez a számsorozat a mi világunkban?

Szerettünk volna megismerni a Fibonacci-számok titkait. Ez a kutatómunka munkánk eredménye.

Hipotézis:

a minket körülvevő valóságban minden meglepően harmonikus törvények szerint épül fel matematikai pontossággal.

A világon mindent a legfontosabb tervezőnk, a Természet gondol ki és számít ki!

Bevezetés. A Fibonacci sorozat története.

Elképesztő számokat fedezett fel a középkori olasz matematikus, a pisai Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci. Keleten utazva megismerkedett az arab matematika vívmányaival, és hozzájárult azok Nyugatra való átviteléhez. Egyik művében "A számítások könyve" címmel bemutatta Európának az egyiket legnagyobb felfedezések minden idők és népek - a decimális számrendszer.

Egy nap azon tűnődött, hogy mi a megoldás matematikai probléma. Megpróbált létrehozni egy képletet, amely leírja a nyulak szaporodási sorrendjét.

A megoldás az volt számsorozat, amelynek minden következő száma az előző két szám összege:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Az ezt a sorozatot alkotó számokat "Fibonacci-számoknak", magát a sorozatot pedig Fibonacci-sorozatnak nevezik.

"És akkor mi van?" - azt mondod: - „Kitalálhatunk-e magunk is hasonló számsorokat, amelyek egy adott progresszió szerint növekednek?" Valóban, amikor a Fibonacci-sorozat megjelent, senki, még ő maga sem sejtette, milyen közel sikerült az univerzum egyik legnagyobb titkának megfejtéséhez!

Fibonacci remete életet élt, sok időt töltött a természetben, és az erdőben sétálva észrevette, hogy ezek a számok szó szerint kísérteni kezdték. A természetben mindenhol újra és újra találkozott ezekkel a számokkal. Például a növények szirmai és levelei szigorúan illeszkednek egy adott számsorba.

A Fibonacci-számokban van érdekes tulajdonság: a következő Fibonacci-szám elosztásának hányadosa az előzővel, miközben maguk a számok nőnek, 1,618-ra hajlanak. Ezt az állandó felosztási számot nevezték isteni aránynak a középkorban, ma pedig aranymetszetnek vagy aranyaránynak nevezik.

Az algebrában ezt a számot a görög phi betű (Ф) jelöli.

Tehát φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Akárhányszor osztjuk el egyiket a másikkal, a vele szomszédos számmal, mindig 1,618-at kapunk, és ha fordítva tesszük, vagyis a kisebb számot elosztjuk a nagyobbal, akkor 0,618-at kapunk, ez az 1,618 inverze, amelyet aranymetszésnek is neveznek.

A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem lett volna az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az aranyosztás törvényének számtani kifejezésére. .

A tudósok ennek a számsornak a természeti jelenségekre és folyamatokra való további alkalmazását elemezve azt találták, hogy ezek a számok a vadvilág szó szerint minden tárgyában megtalálhatók, a növényekben, az állatokban és az emberekben is.

Egy csodálatos matematikai játék mindenbe beágyazott egyedi kód lett természeti tárgyak maga az Univerzum Teremtője.

Tekintsünk olyan példákat, ahol a Fibonacci-számok megtalálhatók az élő és az élettelen természetben.

Fibonacci számok a vadon élő állatokban.

Ha megnézi a körülöttünk lévő növényeket és fákat, láthatja, hogy mindegyiknek hány levele van. Messziről úgy tűnik, hogy a növények ágai és levelei véletlenszerűen, tetszőleges sorrendben helyezkednek el. Azonban minden növénynél csodával határos módon, matematikailag pontosan meg van tervezve, hogy melyik ág honnan nő ki, hogyan helyezkednek el az ágak, levelek a szár vagy a törzs közelében. A növény megjelenése első napjától pontosan követi fejlődésében ezeket a törvényszerűségeket, vagyis egyetlen levél, egyetlen virág sem jelenik meg véletlenül. Még a növény megjelenése előtt már pontosan be van programozva. Hány ág lesz a leendő fán, hol nőnek az ágak, hány levél lesz az egyes ágakon, és hogyan, milyen sorrendben helyezkednek el a levelek. Együttműködés botanikusok és matematikusok világítanak rá ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a levelek elrendezésében egy ágon (phylotaxis), a száron lévő fordulatok számában, a ciklus leveleinek számában a Fibonacci-sor nyilvánul meg, tehát az aranymetszés törvénye is. nyilvánul meg.

Ha a vadon élő állatok számszerű mintázatait keresi, észre fogja venni, hogy ezek a számok gyakran különféle spirális formákban fordulnak elő, amelyekben a növényvilág oly gazdag. Például a levéldugványok a szárhoz spirálban csatlakoznak, amely között futkét szomszédos levél:teljes fordulat - a mogyorónál,- a tölgynél - a nyárfánál és a körténél,- a fűznél.

A napraforgó, az Echinacea purpurea és sok más növény magjai spirálban helyezkednek el, a spirálok száma minden irányban a Fibonacci-szám.

Napraforgó, 21 és 34 spirál. Echinacea, 34 és 55 spirálok.

A világos, szimmetrikus virágformára is szigorú törvény vonatkozik.

Sok virágnak megvan a szirmainak száma – pontosan annyi, mint a Fibonacci sorozatból. Például:

írisz, 3 lep. boglárka, 5 lep. aranyvirág, 8 lep. szarkaláb,

13 lep.

cikória, 21 lep. őszirózsa, 34 lep. százszorszép, 55 lep.

A Fibonacci sorozat jellemzi szerkezeti szervezet sok élő rendszer.

Korábban már említettük, hogy a Fibonacci-sorban a szomszédos számok aránya φ = 1,618. Kiderül, hogy maga az ember csak a phi szám tárháza.

Testünk különböző részeinek arányai nagyon közel állnak az aranymetszethez. Ha ezek az arányok egybeesnek az aranymetszés képletével, akkor az ember megjelenése vagy teste ideálisan felépítettnek tekinthető. Az emberi test aranymértékének kiszámításának elve diagram formájában ábrázolható.

M/m = 1,618

Az első példa az aranymetszetre az emberi test felépítésében:

Ha az emberi test középpontjának a köldökpontot vesszük, mértékegységnek pedig az emberi láb és a köldökpont távolságát, akkor az ember magassága 1,618-nak felel meg.

Emberi kéz

Elég, ha most közelebb hozod magadhoz a tenyeredet, és alaposan megnézed a mutatóujjadat, és azonnal megtalálod benne az aranymetszet képletét. A kezünk minden ujja három falangból áll.
Az ujj első két falánkjának összege az ujj teljes hosszához viszonyítva adja az aranymetszetet (a hüvelykujj kivételével).

Ráadásul a középső ujj és a kisujj aránya is egyenlő az aranymetszéssel.

Egy személynek 2 keze van, mindkét kéz ujjai 3 ujjból állnak (a hüvelykujj kivételével). Mindegyik kéznek 5 ujja van, azaz összesen 10, de két két-phalangealis hüvelykujj kivételével csak 8 ujj jön létre az aranymetszés elve szerint. Míg mindezek a 2, 3, 5 és 8 számok a Fibonacci-sorozat számai.

Az aranymetszés az emberi tüdő szerkezetében

B.D. West amerikai fizikus és Dr. A.L. Goldberger fizikai és anatómiai vizsgálatok során megállapította, hogy az aranymetszet az emberi tüdő szerkezetében is létezik.

Az ember tüdejét alkotó hörgők sajátossága az aszimmetriájukban rejlik. A hörgők két fő légútból állnak, az egyik (bal) hosszabb, a másik (jobb) rövidebb.

Megállapították, hogy ez az aszimmetria a hörgők ágaiban, minden kisebb légútban folytatódik. Ezenkívül a rövid és hosszú hörgők hosszának aránya egyben az aranymetszés is, és egyenlő 1:1,618-cal.

Művészek, tudósok, divattervezők, tervezők az aranymetszés aránya alapján készítik számításaikat, rajzaikat vagy vázlataikat. Emberi testből származó méréseket használnak, amelyeket szintén az aranymetszet elve szerint hoztak létre. Leonardo Da Vinci és Le Corbusier remekműveik elkészítése előtt felvették az emberi test paramétereit, amelyeket az aranyarány törvénye szerint hoztak létre.
Van egy másik, prózaibb alkalmazása az emberi test arányainak. Például ezekkel az arányokkal a bűnügyi elemzők és régészek visszaállítják az egész megjelenését az emberi testrészek töredékeiből.

Arany arányok a DNS-molekula szerkezetében.

Minden információ a fiziológiai jellemzők az élőlények, legyen az növény, állat vagy ember, egy mikroszkopikus DNS-molekulában tárolódnak, melynek szerkezete az aranymetszés törvényét is tartalmazza. A DNS-molekula két függőlegesen összefonódó hélixből áll. Ezen spirálok mindegyike 34 angström hosszú és 21 angström széles. (1 angström a centiméter százmilliomod része).

Tehát a 21 és 34 a Fibonacci-számok sorozatában egymás után következő számok, vagyis a DNS-molekula logaritmikus hélixének hosszának és szélességének aránya az aranymetszet 1 képletét hordozza: 1,618.

Nemcsak a függőlegesen sétálók, hanem mindazok, akik úsznak, kúsznak, repülnek és ugrálnak, nem kerülték el a phi számnak engedelmeskedő sorsot. Az emberi szívizom térfogatának 0,618-ára húzódik össze. A csigaház szerkezete megfelel a Fibonacci-arányoknak. És rengeteg ilyen példa van – vágy lenne a természeti objektumok és folyamatok feltárására. A világot annyira áthatják a Fibonacci-számok, hogy néha úgy tűnik, az Univerzum csakis velük magyarázható.

Fibonacci spirál.

Nincs még egy olyan forma a matematikában, amely ugyanolyan egyedi tulajdonságokkal rendelkezik, mint a spirál, mert
A spirál felépítése az Aranymetszet szabályán alapul!

A spirál matematikai felépítésének megértéséhez ismételjük meg, hogy mi az aranyarány.

Az aranymetszés egy szegmens olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szegmens ugyanúgy kapcsolódik a nagyobb részhez, ahogy maga a nagyobb rész kapcsolódik a kisebbhez, vagy más szóval a kisebbhez. szegmens kapcsolódik a nagyobbhoz, mint a nagyobb mindenhez.

Vagyis (a + b) / a = a / b

A pontosan ilyen oldalarányú téglalapot arany téglalapnak nevezték. Hosszú oldalai 1,168:1 arányban kapcsolódnak a rövid oldalakhoz.
Az arany téglalapnak számos szokatlan tulajdonsága van. Vágjunk le az arany téglalapból egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a téglalap kisebbik oldalával,

ismét egy kisebb arany téglalapot kapunk.

Ez a folyamat a végtelenségig folytatható. Ahogy folyamatosan levágjuk a négyzeteket, egyre kisebb arany téglalapokat kapunk. Sőt, logaritmikus spirálban helyezkednek el, ami fontos a természeti objektumok matematikai modelljeiben.

Például a spirális alak a napraforgómag elrendezésében, ananászban, kaktuszokban, a rózsaszirom szerkezetében stb.

Meglep és örömet okoz a kagylók spirális szerkezete.

A legtöbb héjjal rendelkező csigánál a héj spirál alakban nő. Kétségtelen azonban, hogy ezeknek az ésszerűtlen lényeknek nemhogy fogalmuk sincs a spirálról, de még a legegyszerűbb matematikai ismeretekkel sem rendelkeznek ahhoz, hogy spirálhéjat alkossanak maguknak.
De akkor hogyan tudnák ezek az értelmetlen lények meghatározni és kiválasztani maguknak a növekedés és létezés ideális formáját egy spirálhéj formájában? Vajon ezek az élőlények, amelyeket a tudományos világ primitív életformáknak nevez, kiszámolhatták-e, hogy a héj spirális alakja ideális a létezésükhöz?

A legprimitívebb életforma eredetét bizonyos természeti körülmények véletlen egybeesésével próbálni magyarázni, legalábbis abszurd. Nyilvánvaló, hogy ez a projekt tudatos alkotás.

A spirálok az emberben is vannak. A spirálok segítségével ezt halljuk:

Ezenkívül az emberi belső fülben van egy Cochlea ("Csiga") szerv, amely a hangrezgés továbbítását végzi. Ez a csontszerű szerkezet folyadékkal van megtöltve, és arany arányú csiga formájában jön létre.

A spirálok a tenyerünkön és az ujjainkon vannak:

Az állatvilágban a spirálokra is számos példát találhatunk.

Az állatok szarvai és agyarai spirálisan fejlődnek, az oroszlán karmai és a papagájok csőrei logaritmikus formák, és egy spirálra hajlamos tengely alakjára emlékeztetnek.

Érdekes, hogy hurrikán, ciklonfelhők spiráloznak, és ez jól látszik az űrből:

Az óceán és a tenger hullámaiban a spirál matematikailag ábrázolható az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 és 55 pontokkal.

Mindenki felismeri majd az ilyen „hétköznapi” és „prózai” spirált.

Hiszen a víz spirálisan folyik el a fürdőszobából:

Igen, és spirálban élünk, mert a galaxis egy olyan spirál, amely megfelel az Aranymetszet képletének!

Tehát rájöttünk, hogy ha vesszük az Arany Téglalapot, és kisebb téglalapokra bontjukpontosan a Fibonacci-sorrendben, majd újra és újra elosztva mindegyiket ilyen arányban, kapunk egy Fibonacci-spirál nevű rendszert.

Ezt a spirált a legváratlanabb tárgyakban és jelenségekben találtuk meg. Most már világos, hogy miért hívják a spirált az „élet görbéjének”.
A spirál az evolúció szimbólumává vált, mert minden spirálban fejlődik.

Fibonacci számok az emberi találmányokban.

A Fibonacci-számok sorozata által kifejezett törvényt a természetből kikukucskálva a tudósok és a művészet megpróbálják utánozni, megtestesíteni alkotásaikban.

A phi aránya lehetővé teszi a festészet remekeinek létrehozását, az építészeti szerkezetek megfelelő illeszkedését a térbe.

Nemcsak a tudósok, hanem az építészek, a tervezők és a művészek is lenyűgözik ezt a hibátlan spirált a nautilus kagylóján,

a legkisebb helyet foglalják el és a legkisebb hőveszteséget biztosítják. Az amerikai és thaiföldi építészek a „camera nautilus” példája által ihletett, hogy a lehető legkevesebb helyet biztosítsák, ezért a hozzáillő tervek kidolgozásával vannak elfoglalva.

Ősidők óta az Aranymetszés arányát tekintették a tökéletesség, a harmónia, sőt az isteniség legmagasabb arányának. Az aranymetszés a szobrokban, sőt a zenében is megtalálható. Példa erre Mozart zenei művei. Még a részvényárfolyamok és a héber ábécé is aranymetszést tartalmaz.

De szeretnénk egy egyedülálló példán elidőzni a hatékony napelemes rendszer létrehozására. Egy New York-i amerikai iskolás, Aidan Dwyer összegyűjtötte a fákkal kapcsolatos tudását, és felfedezte, hogy a napelemes erőművek hatékonysága matematikával növelhető. Téli séta közben Dwyer azon töprengett, miért van szükségük a fáknak ilyen ágak és levelek „mintájára”. Tudta, hogy a fákon az ágak a Fibonacci-sorrend szerint vannak elrendezve, és a levelek fotoszintézist hajtanak végre.

Valamikor egy okos kisfiú úgy döntött, hogy megnézi, hogy az ágak ilyen helyzete segít-e több napfény begyűjtésében. Aidan kísérleti üzemet épített a hátsó udvarában, ahol levelek helyett kis napelemeket helyeztek el, és működés közben tesztelte. Kiderült, hogy egy hagyományos lapos napelemhez képest a „fája” 20%-kal több energiát gyűjt össze, és 2,5 órával tovább működik hatékonyan.

Dwyer napelemfa-modellje és diákparcellák.

"Ez a telepítés is kevesebb helyet foglal, mint egy sík panel, és 50%-ot gyűjt össze több nap télen ott is, ahol nem látszik délnek, és nem halmoz fel ilyen mennyiségben a hó. Ezenkívül a fa kialakítása sokkal jobban illeszkedik a városi tájhoz" - jegyzi meg a fiatal feltaláló.

Aidan felismerte 2011 egyik legjobb fiatal természettudósa. A 2011-es Young Naturalist versenynek a New York-i Természettudományi Múzeum adott otthont. Aidan ideiglenes szabadalmi kérelmet nyújtott be találmányára.

A tudósok továbbra is aktívan fejlesztik a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletét.

Yu. Matiyasevics Fibonacci számok segítségével megoldja Hilbert 10. feladatát.

Elegáns módszerek léteznek számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására Fibonacci-számok és az aranymetszet segítségével.

Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

Tehát azt látjuk, hogy a Fibonacci-szekvencia hatóköre nagyon sokrétű:

A természetben előforduló jelenségek megfigyelése során a tudósok elképesztő következtetéseket vontak le arra vonatkozóan, hogy az életben előforduló események teljes sorozata, forradalmak, összeomlások, csődök, jóléti időszakok, törvények és fejlődési hullámok a részvény- és devizapiacokon, a családi élet ciklusai, ill. így tovább, időskálán szerveződnek ciklusok, hullámok formájában. Ezek a ciklusok és hullámok is aszerint oszlanak meg numerikus sorozat Fibonacci!

Ezen ismeretek alapján az ember megtanulja megjósolni a különböző eseményeket a jövőben és kezelni azokat.

4. Kutatásunk.

Folytattuk megfigyeléseinket és tanulmányoztuk a szerkezetet

Fenyőtoboz

cickafark

szúnyog

emberi

És megbizonyosodtunk arról, hogy ezekben az első pillantásra annyira különböző objektumokban a Fibonacci-szekvencia számai láthatatlanul jelen vannak.

Tehát 1. lépés.

Vegyünk egy fenyőtobozt:

Nézzük meg közelebbről:

Két Fibonacci-spirál-sorozatot észlelünk: az egyik - az óramutató járásával megegyező, a másik - ellentétes, számuk 8 és 13.

2. lépés

Vegyünk egy cickafarkot:

Nézzük meg közelebbről a szárak és virágok szerkezetét:

Vegye figyelembe, hogy a cickafark minden új ága a sinusból nő, és új ágak nőnek az új ágból. Régi és új ágakat összeadva minden vízszintes síkban megtaláltuk a Fibonacci-számot.

3. lépés

Megjelennek-e a Fibonacci-számok a különféle organizmusok morfológiájában? Tekintsük a jól ismert szúnyogot:

Látjuk: 3 pár láb, fej 5 antennák - antennák, a has fel van osztva 8 szegmens.

Következtetés:

Kutatásunk során azt láttuk, hogy a körülöttünk lévő növényekben, élő szervezetekben, sőt az emberi felépítésben is megnyilvánulnak a Fibonacci-sorozatból származó számok, ami szerkezetük harmóniáját tükrözi.

Fenyőtoboz, cickafark, szúnyog, ember matematikai pontossággal elrendezve.

Arra a kérdésre kerestük a választ: hogyan jelenik meg a Fibonacci-sorozat a minket körülvevő valóságban? De válaszolva újabb és újabb kérdések érkeztek.

Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta tökéletessé tenni? A tekercs csavarodik vagy kicsavarodik?

Milyen elképesztően ismeri az ember ezt a világot!!!

Miután megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Oldd meg, vegyél két újat. Foglalkozz velük, megjelenik még három. Miután megoldotta őket, szerez öt megoldatlant. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...

Felismered?

Következtetés.

Maga az alkotó által minden tárgyban

Egyedi kód van hozzárendelve

És aki barátságos a matematikával,

Ő tudni fogja és megérti!

Tanulmányoztuk és elemeztük a Fibonacci-sorozat számainak megnyilvánulását a minket körülvevő valóságban. Azt is megtudtuk, hogy ennek a számsornak a törvényszerűségei, így az "Arany" szimmetria szabályszerűségei is megnyilvánulnak az elemi részecskék energiaátmeneteiben, a bolygó- ill. űrrendszerek, az élő szervezetek génstruktúráiban.

Meglepő matematikai összefüggést fedeztünk fel a növényekben lévő spirálok száma, a vízszintes síkban lévő ágak száma és a Fibonacci-sorozat számai között. Láttuk, hogy a különféle organizmusok morfológiája is engedelmeskedik ennek a titokzatos törvénynek. Az ember szerkezetében is szigorú matematikát láttunk. Az emberi DNS-molekula, amelyben az ember fejlődésének teljes programja titkosítva van, a légzőrendszer, a fül felépítése - minden bizonyos számarányoknak engedelmeskedik.

Megtanultuk, hogy a fenyőtobozok, a csigaházak, az óceán hullámai, az állati szarvak, a ciklonfelhők és a galaxisok mind logaritmikus spirálokat alkotnak. Még az emberi ujj is, amely egymáshoz viszonyítva aranymetszetben három ujjból áll, összenyomva spirális alakot vesz fel.

Az idő örökkévalósága és a tér fényévei választanak el egymástól egy fenyőtobozt és egy spirálgalaxist, de a szerkezet ugyanaz marad: az együttható 1,618 ! Talán ez a legfőbb törvény, amely a természeti jelenségeket irányítja.

Így a harmóniáért felelős speciális numerikus minták létezésére vonatkozó hipotézisünk beigazolódik.

Valóban, a világon mindent a legfontosabb tervezőnk - a Természet - gondolt és számított ki!

Meggyőződésünk, hogy a természetnek megvannak a maga törvényei, amelyeket a segítségével fejeznek ki matematika. A matematika pedig nagyon fontos eszköz

felfedezni a természet titkait.

Irodalom és internetes oldalak listája:

1. Vorobjov N. N. Fibonacci-számok. - M., Nauka, 1984.
2. Gika M. Arányesztétika a természetben és a művészetben. - M., 1936.

3. Dmitriev A. Káosz, fraktálok és információ. // Tudomány és Élet, 2001. 5. sz.
4. Kashnitsky S. E. Paradoxonokból szőtt harmónia // Kultúra és

Élet. - 1982.- 10. sz.
5. Maláj G. Harmónia - a paradoxonok azonossága // MN. - 1982.- 19. sz.
6. Sokolov A. Az aranymetszet titkai // Az ifjúság technikája. - 1978.- 5. sz.
7. Sztahov A. P. Az aranymetszés kódjai. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu. A. A természet szimmetriája és a szimmetria természete. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. A. Aranymetszet // Priroda. - 1968.- 11. sz.

10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Arany arány/Három

Pillantás a harmónia természetébe.-M., 1990.

11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Szimmetria a tudományban és a művészetben. -M.:

Mesél a Fibonacci sorozat koncepciójáról és annak összefüggéseiről a hullámelmélettel, valamint cáfolja a sorozat természetes folyamatokra való alkalmazhatóságát.
, amelyet a mester a múlt század 30-as éveiben dolgozott ki - ez az egyik legizgalmasabb szakasz. Önmagában elszigetelődött új fejezet a tudomány, amely a grafikonokat tanulmányozza. Az elmélet más szakértőinek fejlesztésein alapul (javaslom, olvassa el - egy könyvet a szerzőség alatt).
Így például tudósnak tartják a nagy olasz matematikust, Leonardo Fibonaccit (amit cikkekben már említettem -,), aki megteremtette Eliot elméletének alapját.

Legjobb bróker

A Fibonacci számok digitális sorozata - az aranymetszés és az együtthatók vagy korrekciós szintek + videó. Fibonacci számok a természetben.

A szakember a XIII. században élt. A tudós megjelentette a "Számítások könyve" című munkát. Ez a könyv az akkori időkben fontos felfedezést mutatott be Európának, és nem csak a felfedezést – a decimális számrendszert. Ez a rendszer a nálunk megszokott számokat nullától kilencig vezette be a forgalomba.

Ez a rendszer volt az első fontos eredményeket Európa Róma bukása óta. Fibonacci mentette meg a numerikus tudományt a középkor számára. Más tudományok, például a felsőfokú matematika, a fizika, a csillagászat és a gépészet fejlődésének mély alapjait is lefektette.

Nézd meg a videót

Hogyan jelentek meg a számok és származékaik?

Egy alkalmazott problémát megoldva Leonardo belebotlott Fibonacci számok furcsa sorozata, amelynek elején két egység van.

Minden következő tag az előző kettő összege. A legkülönösebb, hogy a Fibonacci-számsor egy olyan figyelemre méltó sorozat, hogy ha bármelyik tagot elosztjuk az előzővel, akkor 0,618-hoz közeli számot kapunk. Ezt a számot nevezték el aranymetszés».

Kiderült, hogy ezt a számot nagyon régóta ismeri az emberiség. Például be Az ókori Egyiptom piramisokat építettek felhasználásával, az ókori görögök pedig templomaikat építették rá. Leonardo da Vinci megmutatta, hogy az emberi test szerkezete hogyan engedelmeskedik ennek a számnak.

A természet a Fibonacci-számokat a legintimebb és legfejlettebb területein használja. Az atomi struktúráktól és más kis formáktól, mint például a DNS-molekulák és az agyi mikrokapillárisok, a hatalmasakig, mint a bolygópályák és a galaxisszerkezetek. A példák száma olyan nagy, hogy vitatható, hogy a természetben valóban létezik egy bizonyos alaptörvény az arányoknak.

Ezért nem meglepő, hogy a Fibonacci-sorozat és az aranymetszés felkerült a tőzsdei listákra. És nem csak egy szám 0,618, hanem annak származékai is.

Ha felemeli az aranymetszést az első, második, harmadik és negyedik hatványra, és kivonja az eredményt egyből, akkor új sor amit " Fibonacci retracement arányok". Már csak öt tizedet kell hozzáadni - ez ötven százalék.

Ez azonban nem minden, amit az aranymetszés segítségével meg lehet tenni. Ha az egységet elosztjuk 0,618-cal, akkor 1,618-at kapunk, ha négyzetre emeljük, akkor 2,618-at, ha kockává emeljük, akkor 4,236-ot kapunk. Ezek a Fibonacci-tágulási együtthatók. Itt már csak a 3.236-os szám hiányzik, amelyet John Murphy javasolt.

Mit gondolnak a szakemberek a sorrendről?

Egyesek azt mondják, hogy ezek a számok már ismerősek, mert a programokban használják őket technikai elemzés, a korrekció és a bővítés mértékének meghatározásához. Ezenkívül ugyanazok a sorok játszanak fontos szerep az Elliot hullámelméletben. Ezek képezik a numerikus alapját.

Szakértőnk, Nikolay Proven, a Vostok befektetési társaság portfóliómenedzsere.

• – Nikolai, mit gondolsz, a Fibonacci-számok és származékai véletlenszerű megjelenése a különböző hangszerek listáin? És lehet-e mondani: "A Fibonacci sorozat gyakorlati használat" bekövetkezik?
• - Rossz hozzáállásom van a misztikához. És még inkább a tőzsdei grafikonokon. Mindennek megvan a maga oka. a "Fibonacci Levels" című könyvben szépen elmesélte, hol jelenik meg az aranymetszés, hogy nem lepődött meg, hogy megjelent a tőzsdei grafikonokon. De hiába! Pi gyakran szerepel az általa felhozott példákban. De valamiért nincs az árarányban.
• - Tehát nem hisz az Elliot-hullámelv hatékonyságában?
• - Nem, nem ez a lényeg. A hullám elve egy dolog. A számszerű arány más. Az ártáblázatokon való megjelenésük okai pedig a harmadikak
• - Ön szerint mi az oka annak, hogy az aranymetszet megjelenik a tőzsdei grafikonokon?
• - A helyes válasz erre a kérdésre lehet, hogy megérdemli Nóbel díj a gazdaságról. Amíg sejtjük valódi okok. Egyértelműen nincsenek összhangban a természettel. Számos tőzsdei árképzési modell létezik. Nem magyarázzák a jelzett jelenséget. De a jelenség természetének meg nem értése nem tagadhatja meg a jelenséget mint olyant.
• – És ha ez a törvény valaha is megnyílik, képes lesz-e tönkretenni a cserefolyamatot?
• - Ahogy ugyanez a hullámelmélet mutatja, a részvényárfolyamok változásának törvénye tiszta pszichológia. Számomra úgy tűnik, hogy ennek a törvénynek a megismerése nem változtat semmin, és nem tudja tönkretenni a tőzsdét.

Az anyagot Maxim webmester blogja biztosítja.

A matematika alapelvei alapjainak egybeesése leginkább különböző elméletek hihetetlennek tűnik. Talán fantázia, vagy a végeredmény kiigazítása. Várj és láss. Sok minden, amit korábban szokatlannak vagy lehetetlennek tartottak: az űrkutatás például mindennapossá vált, és senkit sem lep meg. Is hullámelmélet, lehet, hogy érthetetlen, idővel elérhetőbbé és érthetőbbé válik. Ami korábban szükségtelen volt egy tapasztalt elemző kezében, az hatékony eszközzé válik a jövőbeli viselkedés előrejelzésében.

Fibonacci számok a természetben.

Néz

És most beszéljünk arról, hogyan lehet megcáfolni azt a tényt, hogy a Fibonacci digitális sorozat bármilyen természeti mintában részt vesz.

Vegyünk bármely másik két számot, és készítsünk egy sorozatot a Fibonacci-számokkal megegyező logikával. Vagyis a sorozat következő tagja egyenlő az előző két tag összegével. Vegyünk például két számot: 6-ot és 51-et. Most összeállítunk egy sorozatot, amelyet két számmal, 1860-mal és 3009-el fogunk kiegészíteni. Figyeljük meg, hogy ezeknek a számoknak az elosztása során az aranymetszethez közeli számot kapunk.

Ugyanakkor a többi pár elosztásával kapott számok az elsőtől az utolsóig csökkentek, ami lehetővé teszi, hogy kijelenthessük, hogy ha ezt a sorozatot a végtelenségig folytatjuk, akkor az aranymetszésnek megfelelő számot kapunk.

Így magukat a Fibonacci-számokat semmi sem különbözteti meg. Vannak más számsorozatok is, amelyek közül végtelen szám van, amelyek ugyanazon műveletek eredményeként a phi arany számot eredményezik.

Fibonacci nem volt ezoterikus. Nem akart misztikát tenni a számokba, csak egy hétköznapi nyúlproblémát oldott meg. És írt egy számsort, ami a feladatából következett, az első, a második és a többi hónapban, hogy hány nyúl lesz a tenyésztés után. Egy éven belül megkapta ugyanazt a sorozatot. És nem teremtett kapcsolatot. Nem volt aranymetszés, nem volt isteni kapcsolat. Mindezt utána találták ki a reneszánszban.

A matematika előtt Fibonacci erényei óriásiak. A számrendszert az araboktól vette át, és bebizonyította annak érvényességét. Kemény és hosszú küzdelem volt. A római számrendszerből: nehéz és kényelmetlen a számoláshoz. Utána eltűnt francia forradalom. Ennek semmi köze Fibonacci aranymetszetéhez.

Végtelenül sok spirál létezik, a legnépszerűbbek: természetes logaritmus spirál, Arkhimédész spirál, hiperbolikus spirál.

A "" kiadóval közösen adunk ki egy részletet Professzor könyvéből alkalmazott matematika Edward Scheinerman "Útmutató a matematika szerelmeseinek", a nem szabványos kérdéseknek szentelve izgalmas matematika, rejtvények, számok és formák univerzuma. Alexey Ognev fordítása angolból.

Ez a fejezet a híres Fibonacci-számokról szól: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 stb. Ezt a sorozatot Pisai Leonardoról nevezték el, ismertebb nevén Fibonacciról. Pisai Leonardo (1170–1250) – az egyik első jelentős matematikus középkori Európa. A Fibonacci becenév jelentése "Bonacci fia". A tizedes számrendszert felvázoló Abacus könyv szerzője.

Négyzetek és dominók

Kezdjük a négyzetek és dominók lerakásával. Képzeljünk el egy hosszú, vízszintes 1x10-es keretet, amit teljesen ki akarunk tölteni 1x1-es négyzetekkel és 1x2-es dominókkal, hézagok nélkül. Íme a kép:

Kérdés: Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

A kényelem kedvéért az opciók számát F10-el jelöljük. Menj végig mindegyiken, majd számold újra... nehéz munka tele hibákkal. Sokkal jobb a feladat egyszerűsítése. Ne keressük rögtön az F10-et, kezdjük az F1-gyel. Ez könnyebb, mint valaha! Egy 1 × 1-es keretet meg kell töltenünk 1 × 1-es négyzetekkel és 1 × 2-es dominókkal.A dominó nem fér el, az egyetlen megoldás marad: vegyünk egy négyzetet. Más szóval, F1 = 1.

Most foglalkozzunk az F2-vel. A keret mérete 1 × 2. Megtöltheti két négyzettel vagy egy dominóval. Tehát két lehetőség van, és F2 = 2.

Következő: Hányféleképpen lehet kitölteni egy 1 × 3-as keretet? Az első lehetőség: három négyzet. Két másik lehetőség: egy dominó (kettő nem fér bele) és egy négyzet a bal vagy a jobb oldalon. Tehát, F3 = 3. Még egy lépés: vegyünk egy 1 × 4-es keretet Az ábrán az összes kitöltési lehetőség látható:

Öt lehetőséget találtunk, de mi a garancia arra, hogy nem hagytunk ki semmit? Van mód arra, hogy teszteld magad. A keret bal végén lehet négyzet vagy dominó. A képen a felső sorban - opciók, ha a négyzet a bal oldalon van, az alsó sorban - amikor a dominó a bal oldalon.

Tegyük fel, hogy ez egy négyzet a bal oldalon. A többit négyzetekkel és dominókkal kell kitölteni. Más szavakkal, ki kell töltenie a négyzetet 1 × 3-mal. Ez 3 lehetőséget ad, mivel F3 = 3. Ha a bal oldalon dominók vannak, a fennmaradó rész mérete 1 × 2, és két lehetőség van a kitöltésre. ez, mivel F2 = 2.

Tehát 3 + 2 = 5 lehetőségünk van, és megbizonyosodtunk arról, hogy F4 = 5.

Most te. Gondolkodjon egy pár percig, és keresse meg az 1×5-ös keret összes kitöltési lehetőségét.Nem sok van belőlük. A megoldás a fejezet végén található. Pihenhetsz és gondolkodhatsz.

Térjünk vissza a tereinkre. Szeretném hinni, hogy 8 lehetőséget találtál, hiszen 5 fektetési mód van, ahol a négyzet a bal oldalon van, és további 3 lehetőség, ahol a dominó a bal oldalon. Tehát F5 = 8.

Foglaljuk össze. FN-nek neveztük azt a számot, amellyel egy 1 × n-es keretet négyzetekkel és dominókkal lehet kitölteni. Meg kell találnunk az F10-et. Íme, amit már tudunk:

Továbbmegyünk. Mivel egyenlő az F6? Az összes lehetőséget lerajzolhatod, de ez unalmas. Bontsuk két részre a kérdést. Hányféleképpen lehet kitölteni egy 1 × 6-os keretet, ha a bal oldalon (a) négyzet és (b) dominó van? A jó hír az, hogy már tudjuk a választ! Az első esetben öt négyzet marad, és tudjuk, hogy F5 = 8. A második esetben négy négyzetet kell kitöltenünk; tudjuk, hogy F4 = 5. Tehát F5 + F4 = 13.

Mivel egyenlő az F7? Ugyanezen megfontolások alapján F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. Mi a helyzet az F8-cal? Nyilvánvalóan F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. És így tovább. A következő összefüggést találtuk: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Még néhány lépés - és megtaláljuk a kívánt F10 számot. A helyes válasz a fejezet végén található.

Fibonacci számok

A Fibonacci-számok a következő sorrendben:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

A következő szabályok szerint épül fel:

— az első két szám 1 és 1;

— minden következő számot az előző két szám összeadásával kapunk.

Az Fn sorozat n-edik elemét jelöljük, nulláról indulva: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... A következő elemet a következő képlettel számítjuk ki: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Amint látjuk, a négyzetek és dominók egymásra helyezésének problémája elvezetett minket a Fibonacci-számok sorozatához [ 1 ]A négyzet- és dominófeladatban azt találtuk, hogy F1 = 1 és F2 = 2. De a Fibonacci-számok F0 = 1-gyel kezdődnek. Hogyan egyezik ez a feladat feltételeivel? Hányféleképpen lehet kitölteni a 0 × 1-es keretet azonos feltételek mellett? A négyzet és a dominó hossza egyaránt nagyobb, mint nulla, ezért van kísértés azt mondani, hogy a válasz nulla, de nem az. A 0 × 1 téglalap már ki van töltve, nincsenek hézagok; nincs szükségünk négyzetre vagy dominóra. Így csak egy lépés van: ne vegyen négyzetet vagy dominót. Érted? Ez esetben gratulálok. Benned van egy matematikus lelke!

Fibonacci számok összege

Próbáljuk meg összeadni az első néhány Fibonacci-számot. Mit mondhatunk az F0 + F1 +… + Fn összegről bármely n esetén? Végezzünk néhány számítást, és nézzük meg, mi történik. Figyelje meg az alábbi összeadási eredményeket. Látsz mintát? Várj egy kicsit, mielőtt továbblépsz: jobb, ha magad találod meg a választ, nem pedig egy kész megoldást olvasol.

Szeretném hinni, hogy láttad, hogy az összegzés eredményei, ha hozzáadunk egyet hozzájuk, szintén Fibonacci-számsorba sorakoznak. Például az F0 és F5 számok összeadása a következőt kapja: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Az F0 és F6 számok összeadásával 33, amely eggyel kisebb, mint F8 = 34. Felírhatjuk a képletet n nemnegatív egész számokra: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Valószínűleg elég lesz személyesen látnia, hogy a képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. tucatnyi esetben működik, hogy elhiggye, hogy igaz, de a matematikusok éhesek a bizonyításra. Örömmel mutatunk be két lehetséges bizonyítást, hogy ez minden n nemnegatív egészre igaz.

Az elsőt indukciós bizonyításnak, a másodikat kombinatorikus bizonyításnak nevezzük.

Bizonyítás indukcióval

Képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. végtelen számú képlet hajtogatott formában. Bizonyítsd [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n adott értékére, mondjuk n = 6-ra, egyszerű számtani feladat. Elegendő lesz felírni a számokat F0-tól F6-ig, és összeadni őket: F0 + F2 + ... + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.

Könnyen belátható, hogy F8 = 34, tehát a képlet működik. Térjünk át az F7-re. Ne vesztegessük az időt, és adjuk össze az összes számot: már tudjuk az összeget F6-ig. Így (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Mint korábban, minden konvergál: F9 = 55.

Ha most elkezdjük ellenőrizni, hogy működik-e az n = 8 képlete, akkor végre elfogy az erőnk. De mégis lássuk, mit tudunk már, és mit szeretnénk megtudni:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Használjuk az előző eredményt: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Az (F9-1) + F8-at természetesen számtanilag is ki tudjuk számolni. De ettől még jobban elfáradunk. Ugyanakkor tudjuk, hogy F8 + F9 = F10. Így nem kell semmit számolnunk vagy belenéznünk a Fibonacci-számok táblázatába:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Ellenőriztük, hogy a képlet n = 8-ra működik-e az alapján, amit n = 7-ről tudtunk.

n = 9 esetén ugyanúgy az n = 8 eredményre támaszkodunk (lásd magad). Természetesen bizonyítva a helyességét [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n esetén biztosak lehetünk abban, hogy [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n + 1-re is.

Készen állunk a teljes bizonyításra. Mint már említettem, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. végtelen számú képletet jelent n minden értékéhez nullától a végtelenig. Lássuk, hogyan működik a bizonyítás.

Először bebizonyítjuk [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. a legegyszerűbb esetben n = 0 esetén. Egyszerűen ellenőrizzük, hogy F0 = F0+2 - 1. Mivel F0 = 1 és F2 = 2, nyilvánvalóan 1 = 2 - 1 és F0 = F2-1.

Továbbá elég megmutatnunk, hogy a képlet helyessége n egyik értékére (mondjuk n = k) automatikusan az n + 1 helyességét jelenti (példánkban n = k + 1). Csak be kell mutatnunk, hogyan működik „automatikusan”. Mit kell tennünk?

Vegyünk egy k számot. Tegyük fel, hogy már tudjuk, hogy F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Az F0 + F1 +… + Fk + Fk+1 értéket keressük.

A Fibonacci-számok összegét Fk-ig már tudjuk, így kapjuk:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

A jobb oldal egyenlő Fk+2 - 1 + Fk+1, és tudjuk, hogy mennyi az egymást követő Fibonacci-számok összege:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3–1

Helyettesítsük be az egyenletünket:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Most elmagyarázom, mit csináltunk. Ha tudjuk, hogy [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz, ha a számokat Fk-ig összegezzük, akkor [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaznak kell lennie, ha hozzáadjuk az Fk+1-et.

Összefoglalni:

Képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n = 0-ra.

Ha a képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igaz n-re, igaz n + 1-re is.

Bátran kijelenthetjük, hogy [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n bármely értékére igaz. Ez igaz [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n=4987 esetén? Ez akkor igaz, ha a kifejezés igaz n = 4986 esetén, ami azon alapul, hogy a kifejezés igaz n = 4985 esetén, és így tovább n = 0-ig. Ezért a képlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. minden lehetséges értékre igaz. Ezt a bizonyítási módot ún matematikai indukció (vagy bizonyítás indukcióval). Ellenőrizzük az alapesetet, és adunk egy sablont, amellyel minden következő eset igazolható az előző alapján.

Kombinatorikus bizonyítás

És itt van egy teljesen más személyazonossági bizonyíték [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. A fő megközelítés itt az, hogy kihasználjuk azt a tényt, hogy az Fn szám az 1 × n méretű téglalap négyzetekkel és dominókkal való lefedésének a száma.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy bizonyítanunk kell:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2-1. (*)

Az ötlet az, hogy az egyenlet mindkét oldalát a burkolati probléma megoldásaként kezeljük. Ha bebizonyítjuk, hogy a bal és a jobb oldali rész ugyanannak a téglalapnak a megoldása, akkor ezek egybeesnek egymással. Ezt a technikát kombinatorikus bizonyításnak nevezik[ 2 ]A "kombinatorikus" szó a "kombinátor" főnévből származik - a matematika ágának nevéből, amelynek tárgya a téglalap lefedéséhez hasonló feladatok opcióinak kiszámítása. A „kombinatorika” szó pedig a „kombinációk” szóból származik..

Milyen kérdés a kombinatorikában az egyenlet [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. két helyes választ ad? Ez a rejtvény hasonló a Veszély című műsorban találhatókhoz! [ 3 ]Népszerű tévéműsor az Egyesült Államokban. Hasonló a Jeopardy-hoz! gyere ki különböző országok; Oroszországban ez a "saját játék". - kb. szerk., ahol a résztvevőknek egy kérdést kell megfogalmazniuk, előre tudva a helyes választ.

A jobb oldal egyszerűbbnek tűnik, ezért kezdjük vele. Válasz: Fn+2– 1. Mi a kérdés? Ha a válasz egyszerűen Fn+2 lenne, könnyen megfogalmazhatnánk a kérdést: hányféleképpen lehet egy 1 × (n + 2) téglalapot kicsempézni négyzetekkel és dominókkal? Szinte pontosan erre van szüksége, de a válasz kevesebb, mint egy. Próbáljuk meg finoman megváltoztatni a kérdést, és csökkenteni a választ. Távolítsuk el a bélés egyik változatát, és számoljuk újra a többit. A nehézség az, hogy megtaláljunk egy olyan lehetőséget, amely gyökeresen különbözik a többitől. Van ilyen?

Minden burkoló módszer négyzetek vagy dominó használatát foglalja magában. Az egyetlen lehetőségben csak a négyzetek szerepelnek, a többiben legalább egy dominó van. Vegyük ezt egy új kérdés alapjául.

Kérdés: Hány lehetőség van egy 1 × (n + 2) téglalap alakú keret négyzetekkel és dominókkal való lefedésére, beleértve legalább egy dominót?

Erre a kérdésre most két választ találunk. Mivel mindkettő igaz lesz, a számok közé nyugodtan tehetünk egyenlőségjelet.

Az egyik választ már megbeszéltük. Vannak Fn+2 halmozási lehetőségek. Csak az egyikben kizárólag négyzeteket használnak, dominó nélkül. Így kérdésünkre az 1-es válasz: Fn+2–1.

A második válasz – remélem – az egyenlet bal oldala [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Lássuk, hogyan működik.

Újra kell számolni a keret kitöltésének lehetőségeit, beleértve legalább egy dominót. Gondoljuk végig, hol lesz a legelső csont. n + 2 pozíció van, és az első lapka 1-től n + 1-ig lehet.

Tekintsük az n = 4 esetet. Olyan 1 × 6-os keret kitöltésének módjait keressük, amely legalább egy dominót tartalmaz. Tudjuk a választ: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, de más módon kell megkapnunk.

Az első dominó a következő pozíciókat veheti fel:

Az első oszlop azt az esetet mutatja, amikor a csukló az első helyzetben van, a második - amikor a csukló a második helyzetben van, és így tovább.

Hány lehetőség van az egyes oszlopokban?

Az első oszlop öt lehetőséget tartalmaz. Ha eldobjuk a bal oldali dominókat, pontosan F4 = 5 opciót kapunk egy 1 × 4-es téglalapra.A második oszlopban három lehetőség van. Dobjuk el a dominót és a bal oldali négyzetet. Egy 1×3-as téglalapra F3 = 3 opciót kapunk, hasonlóan a többi oszlophoz. Íme, amit találtunk:

Így a négyzetek és dominók (legalább egy csont) csempézési módjai egy 1 × 6-os téglalap alakú kereten F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Kimenet: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Nézzük az általános esetet. Adunk egy n + 2 hosszúságú keretet. Hányféleképpen lehet kitölteni, ahol az első dominó valamilyen k helyzetben van? Ebben az esetben az első k - 1 pozíciókat négyzetek foglalják el. Így összesen k + 1 pozíció van elfoglalva [ 4 ]A k szám 1 és n + 1 közötti értékeket vehet fel, de nem többet, mert különben az utolsó dominó kilóg a keretből.. A maradék (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 bármilyen módon kitölthető. Ez megadja az Fn-k+1 opciókat. Készítsünk diagramot:

Ha k 1-ről n + 1-re változik, akkor n - k + 1 értéke 0-ról n-re változik. Így az Fn + Fn-1 +… + F1 + F0 lehetõségek száma a keretünk legalább egy dominóval való kitöltésére.

Ha fordított sorrendbe tesszük a kifejezéseket, akkor a kifejezés bal oldalát (*) kapjuk. Így megtaláltuk a második választ a feltett kérdésre: F0 +F1 +…+Fn.

Tehát két válaszunk van a kérdésre. Az általunk levezetett két képlet segítségével kapott értékek egybeesnek, és az azonosság [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. igazolt.

Fibonacci-arány és aranymetszés

Két egymást követő Fibonacci-szám összeadásával a következő Fibonacci-számot kapjuk. Ebben a részben egy érdekesebb kérdést érintünk: mi történik, ha a sorozatban elosztjuk a Fibonacci-számot az azt megelőző számmal? Számítsuk ki az Fk1 arányt. A k értékének növeléséhez.

A táblázatban az F1/F0 és az F20/19 közötti arányokat láthatja.

Minél nagyobbak a Fibonacci-számok, annál közelebb van az Fk+1/Fk arány egy körülbelül 1,61803-nak megfelelő állandóhoz. Ez a szám - meg fogsz lepődni - közismert, és ha beírod a keresőbe, akkor nagyon sok oldal esik ki az aranymetszésről. Ami? A szomszédos Fibonacci-számok aránya nem azonos. Ez azonban majdnem ugyanaz, ha a számok elég nagyok. Keressünk egy képletet az 1,61803 számra, és ehhez egy ideig feltételezzük, hogy minden arány azonos. Bevezetjük az x jelölést:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Ez azt jelenti, hogy Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 stb. Újrafogalmazhatjuk:

Fk+2=xFk+1=x2>Fk.

De tudjuk, hogy Fk+2= Fk+1 + Fk. Így x2>FkFk = xFk + Fk.

Ha mindkét oldalt elosztjuk Fk-val, és átrendezzük a feltételeket, akkor azt kapjuk másodfokú egyenlet: x2-x-1=0. Két megoldása van:

Az aránynak pozitívnak kell lennie. És így megkaptuk az általunk ismert számot. Általában a görög φ (phi) betűt használják az aranymetszés jelölésére:

Korábban már megjegyeztük, hogy a szomszédos Fibonacci-számok aránya megközelíti (hajlamos) φ-hez. Ez elképesztő. Ez egy másik módot ad a Fibonacci-számok hozzávetőleges értékének kiszámítására. A Fibonacci-számok sorozata az F0 F1, F2, F3, F4, F5 sorozat... Ha minden Fk+1/Fk arány azonos, akkor a következő képletet kapjuk:

Itt Val vel egy másik állandó. Hasonlítsuk össze az Fn és φn kerekített értékeit különböző n-ekre:

Nagy n érték esetén az Fn/φn≈0,723607 arány. Ez a szám pontosan φ/root5. Más szavakkal,

Figyeljük meg, hogy ha felfelé kerekítjük a legközelebbi egész számra, akkor pontosan Fn-t kapunk.

Ha nem akarsz egész számra kerekítéssel bajlódni, akkor a Jacques Binetről elnevezett képlet [ 5 ]Jacques Binet (1786-1856) – francia matematikus, mechanikus és csillagász A Fibonacci-számok képlete Binet nevéhez fűződik, bár Abraham de Moivre (1667–1754) majdnem száz évvel korábban származtatta. - kb. per., megadja a pontos értéket:

Kitöltés keret 1×5

Keretünket a következő módokon tölthetjük ki négyzetekkel és dominókkal:

F4 = 5 lehetőség van, ha egy négyzet van az elején, és F3 = 3 lehetőség, amikor egy dominó van az elején. Összességében ez F5 = F4 + F3 = 8 opciót ad.

F10 érték(válasz neki következő kérdés a halmozásra vonatkozóan) egyenlő 89.