Par uzņēmumu
Rokasgrāmatu saraksts Izofatova Ņina Mitrofanovna - direktore

Kaļiņingradas Tirdzniecības un ekonomikas koledžas vēsture ir lappuse reģiona vēsturē, kas tiek rakstīta kopš 1946. gada. Kopš tā laika koledžu absolvējuši vairāk nekā 25 000 speciālistu.

Kopš 2004. gada koledža ir kļuvusi par Maskavas vidusskolas attīstības institūta eksperimentālu platformu profesionālā izglītība par tēmu "Eiropas pieredzes izplatīšana Pieaugušo izglītības centru un centru izveidē un organizēšanā atvērtā izglītība reģionā”. Desmit gadus viņš ir Krievijas mārketinga asociācijas biedrs, viņam ir sociālās orientācijas koledžas statuss. Pēdējo reģionālā administrācija norīkoja koledžai, lai pastāvīgi atbalstītu sociāli neaizsargātus studentus, skolotājus, pensionārus, militārpersonas un viņu ģimenes, strādājošos skolotājus un darbiniekus.

Kaļiņingradas Tirdzniecības un ekonomikas koledžas studentu apmācības notiek piecās fakultātēs: tehnoloģiju un pakalpojumu, mārketinga vadības, tiesību, ekonomikas un. grāmatvedība, netradicionālās izglītības formas. Koledžas izglītības jomā ietilpst sešpadsmit specialitātes. Tie ietver ēdiena gatavošanas tehnoloģiju, pārtikas tirdzniecību, tirdzniecības tirdzniecību, vadību, mārketingu, juridisko grāmatvedību, banku darbību, viesmīlības vadību, finanses, tūrismu un daudz ko citu.

Centrs koledžā karjeras atbalsts un pretendentu sagatavošana. Netradicionālo izglītības formu fakultātē var ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī darbā apgūt jaunu specialitāti. Pašreizējais Atvērtās izglītības centrs ir orientēts uz palīdzības sniegšanu profesionālajā apmācībā vairāk nekā divdesmit specialitātēs. Šeit jūs varat uzlabot savas prasmes, iziet pārkvalifikāciju. Metodes ir ļoti dažādas: biznesa spēles, apmācības, semināri, vingrinājumi, atklātās sanāksmes, konferences, projekta darbs Tas viss ļauj klausītājiem pēc iespējas vairāk asimilēt piedāvāto materiālu.

Sadarbība ar Kaļiņingradu valsts universitāte, Kaļiņingradas pavalsts tehniskā universitāte, Baltija valsts akadēmijaļauj koledžai sagatavot speciālistus, kuru zināšanas kļūst par kapitālu un galveno resursu ekonomiskā attīstība novads. Šīs mijiedarbības gados augstākā izglītība ieslēgts speciālā fakultāte ar samazinātu mācību laiku saņēma vairāk nekā divi simti absolventu. Visi no tiem ir pieprasīti reģiona ekonomiskajā kompleksā, daudzi ir iekļuvuši reģiona biznesa korpusa elitē.

Kaļiņingradas Tirdzniecības un ekonomikas koledža ir izveidojusi komunikāciju un aktīvi sadarbojas ar Dāniju, Zviedriju, Vāciju, Poliju un Somiju. Komanda piedalās starptautiskās sacensībās izglītības projekti. Viņu tematika ir daudzveidīga, ietver tādas svarīgas tēmas kā "Palīdzība Kaļiņingradas iestādēm mazo un vidējo uzņēmumu attīstībā", "Palīdzība virsniekiem un viņu bezdarbniekiem, lai iegūtu civilās specialitātes turpmākai nodarbinātībai", " Andragoģijas skolotāju sagatavošana un uzņēmējdarbības apmācības programmu izstrāde". aktivitātes Kaļiņingradā" un tamlīdzīgi.

1999. gadā starptautiska projekta ietvaros, pateicoties Lidijas Ivanovnas Motoļanecas, direktora vietnieces darbam akadēmiskais darbs- tika izveidots imitācijas uzņēmums - uzņēmuma modelis, kas atspoguļo reālas tirdzniecības organizācijas darbību, efektīva specializēta padziļinātas apmācības forma visu līmeņu personālam, kas strādā mazā biznesa jomā.

Pilnībā tiek īstenota kolektīva misija - garantēt izglītību, kas apmierinās sabiedrības vajadzības un veicinās vesela cilvēka veidošanos. Kaļiņingradas Tirdzniecības un ekonomikas koledža nozīmē profesionalitāti, atbildību un prestižu.

KTEK
Ekonomikas un grāmatvedības PCC

15 eks., 2006. gads

Ievads. 4

Atvasinājuma jēdziens. 5

Privātie atvasinājumi. vienpadsmit

Līkuma punkti. 16

Risinājumu vingrinājumi. 17

Pārbaude. 20

Atbildes uz vingrinājumiem.. 21

Literatūra. 23

Ievads

f(x x, tad zvanīja marginālais produkts; Ja g(x) g(x) g′(x) sauca robežizmaksas.

Piemēram, Ļaujiet funkcijai u=u(t) u strādājot t. ∆t=t 1 - t 0:

z sal. =

z sal. plkst ∆t → 0: .

ražošanas izmaksas K x, lai mēs varētu rakstīt K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Ierobežot sauca

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums punktā x 0 tiek saukta par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu ar nosacījumu, ka argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli.

Atvasinātās funkcijas apzīmējums:

Tas. a-priory:

Algoritms atvasinājuma atrašanai:

Ļaujiet funkcijai y=f(x) nepārtraukti segmentā , x

1. Atrodiet argumenta pieaugumu:

x ir argumenta jaunā vērtība

x0- sākotnējā vērtība

2. Atrodiet funkcijas pieaugumu:

f(x) ir jaunā funkcijas vērtība

f(x0)- funkcijas sākotnējā vērtība

3. Atrodiet funkcijas pieauguma attiecību pret argumenta pieaugumu:

4. Atrodiet atrastās attiecības robežu

Atrodiet funkcijas atvasinājumu, pamatojoties uz atvasinājuma definīciju.

Risinājums:

Dosim X pieaugums Δx, tad jaunā funkcijas vērtība būs:

Atradīsim funkcijas pieaugumu kā starpību starp funkcijas jaunajām un sākotnējām vērtībām:

Atrodiet funkcijas pieauguma attiecību pret argumenta pieaugumu:

.

Atradīsim šīs attiecības robežu ar nosacījumu, ka:

Tāpēc pēc atvasinājuma definīcijas: .

Funkcijas atvasinājuma atrašanu sauc diferenciācija.

Funkcija y=f(x) sauca diferencējams uz intervālu (a;b), ja tam ir atvasinājums katrā intervāla punktā.

Teorēma Ja funkcija ir diferencējama dotajā punktā x 0, tad tajā brīdī tas ir nepārtraukts.

Pretējais apgalvojums nav patiess, jo ir funkcijas, kas kādā brīdī ir nepārtrauktas, bet tajā brīdī nav diferencējamas. Piemēram, funkcija punktā x 0 =0.

Atrast funkciju atvasinājumus

1) .

2) .

Veiksim identiskas funkcijas transformācijas:

Augstāku pasūtījumu atvasinājumi

Otrās kārtas atvasinājums sauc par pirmā atvasinājuma atvasinājumu. Apzīmēts

n-kārtas atvasinājums sauc par (n-1) kārtas atvasinājuma atvasinājumu.

Piemēram,

Daļēji atvasinājumi

privāts atvasinājums vairāku mainīgo funkciju attiecībā uz vienu no šiem mainīgajiem sauc par atvasinājumu, kas ņemts attiecībā uz šo mainīgo, ar nosacījumu, ka visi pārējie mainīgie paliek nemainīgi.

Piemēram, funkcijai pirmās kārtas daļējie atvasinājumi būs vienādi:

Funkcijas maksimums un minimums

Argumenta vērtība, kuram funkcijai ir augstākā vērtība, zvanīja maksimālais punkts.

Argumenta vērtība, kuram funkcijai ir mazākā vērtība, zvanīja minimālais punkts.

Funkcijas maksimālais punkts ir funkcijas pārejas robežpunkts no pieaugošas uz samazināšanos, funkcijas minimālais punkts ir robežpunkts pārejai no samazināšanās uz pieaugošu..

Funkcija y=f(x) ir (vietējais) maksimums punktā, ja par visiem x

Funkcija y=f(x) ir (vietējais) minimums punktā, ja par visiem X, pietiekami tuvu , nevienlīdzībai

Funkcijas maksimālās un minimālās vērtības ir parastais nosaukums galējības, un tiek izsaukti punkti, kuros tie tiek sasniegti ekstremālie punkti.

Teorēma (nepieciešamais nosacījums ekstrēma esamība) Lai funkcija ir definēta intervālā un tai ir lielākā (mazākā) vērtība punktā . Tad, ja punktā eksistē šīs funkcijas atvasinājums, tad tas ir vienāds ar nulli, t.i. .

Pierādījums:

Pieņemsim, ka punktā x 0 funkcijai ir vislielākā vērtība, tad jebkurai ir patiesa šāda nevienādība: .

Par jebkuru punktu

Ja x > x 0 , tad , t.i.

Ja x< x 0 , то , т.е.

Jo pastāv , kas ir iespējams tikai tad, ja tie ir vienādi ar nulli, tāpēc, .

Sekas:

Ja kādā punktā diferencējamā funkcija iegūst vislielāko (mazāko) vērtību, tad punktā šīs funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij.

Tiek izsaukti punkti, kuros pirmais atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritisks - tie ir iespējami galēji punkti.

Ņemiet vērā, ka, tā kā pirmā atvasinājuma vienādība ar nulli ir tikai nepieciešams nosacījums ekstrēmumam, ir nepieciešams papildus izpētīt jautājumu par ekstrēma esamību katrā iespējamā ekstrēma punktā.

Teorēma (pietiekamā stāvoklī ekstrēma esamība)

Ļaujiet funkcijai y = f(x) ir nepārtraukts un diferencējams kādā punkta apkārtnē x0. Ja, ejot cauri punktam x0 no kreisās puses uz labo, pirmais atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu (no mīnusa uz plusu), tad punktā x0 funkciju y = f(x) ir maksimālais (minimums). Ja pirmais atvasinājums nemaina zīmi, tad šai funkcijai punktā nav galējības x 0 .

Algoritms ekstrēma funkcijas izpētei:

1.Atrodiet funkcijas pirmo atvasinājumu.

2. Pielīdziniet pirmo atvasinājumu nullei.

3. Atrisiniet vienādojumu. Atrastās vienādojuma saknes ir kritiskie punkti.

4. Novietojiet atrastos kritiskos punktus uz skaitliskās ass. Mēs iegūstam vairākus intervālus.

5. Nosakiet pirmā atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem un norādiet funkcijas ekstrēmu.

6. Lai izveidotu grafiku:

Ø noteikt funkciju vērtības galējos punktos

Ø atrodiet krustošanās punktus ar koordinātu asīm

Ø atrodiet papildu punktus

Skārda kārbai ir apaļa rādiusa cilindra forma r un augstums h. Pieņemot, ka skārdenes izgatavošanai tiek izmantots skaidri noteikts alvas daudzums, nosakiet, kādā proporcijā starp r Un h bankai būs lielākais apjoms.

Izmantotais alvas daudzums būs vienāds ar laukumu pilna virsma bankas, t.i. . (1)

No šīs vienlīdzības mēs atrodam:

Tad tilpumu var aprēķināt pēc formulas: . Problēma tiks samazināta līdz funkcijas maksimuma atrašanai V(r). Atrodiet šīs funkcijas pirmo atvasinājumu: . Pielīdziniet pirmo atvasinājumu nullei:

. Mēs atradām: . (2)

Šis punkts ir maksimālais punkts, jo pirmais atvasinājums ir pozitīvs pie un negatīvs pie .

Tagad noskaidrosim, kādā proporcijā starp rādiusu un augstumu bankai būs lielākais tilpums. Lai to izdarītu, mēs dalām vienādību (1) ar r2 un lietojiet attiecību (2) priekš S. Mēs iegūstam:. Tādējādi lielākajam tilpumam būs burka, kuras augstums ir vienāds ar diametru.

Dažkārt ir diezgan grūti izpētīt pirmā atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no iespējamā galējības punkta, tad var izmantot otrais pietiekams ekstremitātes stāvoklis:

TeorēmaĻaujiet funkcijai y = f(x) ir punktā x0 iespējamais ekstrēms, pēdējais otrais atvasinājums. Pēc tam funkcija y = f(x) ir punktā x0 maksimums, ja , un minimālais, ja .

Piezīme Šī teorēma neatrisina funkcijas ekstrēma problēmu punktā, ja funkcijas otrais atvasinājums dotajā punktā ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

Līkuma punkti

Tiek saukti tie līknes punkti, kuros izliekums atdalās no ieliekuma locījuma punkti.

Teorēma (obligāts locījuma punkta nosacījums): lai funkcijas grafikā ir locījums punktā un funkcijai ir nepārtraukts otrais atvasinājums punktā x 0, tad

Teorēma (pietiekams nosacījums lēciena punktam): Lai funkcijai ir otrs atvasinājums kādā punkta x 0 tuvumā, kuram ir dažādas zīmes pa kreisi un pa labi no x0. tad funkcijas grafikā ir locījums punktā .

Līkuma punktu atrašanas algoritms:

1. Atrodiet funkcijas otro atvasinājumu.

2. Pielīdziniet otro atvasinājumu nullei un atrisiniet vienādojumu: . Ielieciet iegūtās saknes uz skaitļa līnijas. Mēs iegūstam vairākus intervālus.

3. Atrodiet otrā atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem. Ja otrā atvasinājuma zīmes divos blakus intervālos ir atšķirīgas, tad mums ir lēciena punkts noteiktā saknes vērtībā, ja zīmes ir vienādas, tad lieces punktu nav.

4. Atrodiet lēciena punktu ordinātas.

Pārbaudiet līknes izliekumu un ieliekumu. Atrodiet lēciena punktus.

1) atrodiet otro atvasinājumu:

2) Atrisiniet nevienādību 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Atrisiniet nevienādību 2x>0 x>0, ja x līkne ir ieliekta

4) Atrodiet lēciena punktus, kuriem otro atvasinājumu pielīdzinām nullei: 2x=0 x=0. Jo punktā x=0 otrajam atvasinājumam ir dažādas zīmes pa kreisi un pa labi, tad x=0 ir lēciena punkta abscisa. Atrodiet lēciena punkta ordinātas:

(0;0) lēciena punkts.

Atrisināmie vingrinājumi

Nr. 1 Atrodiet šo funkciju atvasinājumus, aprēķiniet atvasinājumu vērtību noteiktai argumenta vērtībai:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 Atrodiet atvasinājumus sarežģītas funkcijas:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Nr. 3 Atrisiniet problēmas:

1. Atrodiet parabolai novilktās pieskares slīpumu punktā x=3.

2. Parabolai y \u003d 3x 2 -x punktā x \u003d 1 tiek uzvilkta pieskare un norma. Uzrakstiet to vienādojumus.

3. Atrodiet koordinātas punktam, kurā parabolas y=x 2 +3x-10 pieskare veido 135 0 leņķi ar OX asi.

4. Sastādiet funkcijas y \u003d 4x-x 2 grafika pieskares vienādojumu krustpunktā ar OX asi.

5. Pie kādām x vērtībām ir pieskares funkcijas y \u003d x 3 -x grafikam paralēli taisnei y \u003d x.

6. Punkts kustas taisnā līnijā saskaņā ar likumu S=2t 3 -3t 2 +4. atrodiet punkta paātrinājumu un ātrumu 3. sekundes beigās. Kurā brīdī paātrinājums būs nulle?

7. Kad pēc likuma S=t 2 -4t+5 punkta kustības ātrums ir vienāds ar nulli?

#4 Izpētiet funkcijas, izmantojot atvasinājumu:

1. Izpētiet funkciju y \u003d x 2 monotonitātei

2. Atrast funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus .

3. Atrodiet funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus.

4. Izpētiet maksimālās un minimālās funkcijas .

5. Izpētiet ekstrēma funkciju .

6. Izpētiet funkciju y \u003d x 3 ekstrēmumam

7. Izpētiet ekstrēma funkciju .

8. Sadaliet skaitli 24 divos terminos, lai to produkts būtu lielākais.

9. No papīra lapas jāizgriež taisnstūris ar laukumu ​100 cm 2 tā, lai šī taisnstūra perimetrs būtu mazākais. Kādām jābūt šī taisnstūra malām?

10. Izpētiet funkciju y=2x 3 -9x 2 +12x-15 ekstrēmumam un izveidojiet tās grafiku.

11. Pārbaudiet līknes ieliekumu un izliekumu.

12. Atrodiet līknes izliekuma un ieliekuma intervālus .

13. Atrodiet funkciju lēciena punktus: a) ; b) .

14. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

15. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

16. Izpētes funkcija un uzzīmējiet to.

17. Atrodiet segmentā funkcijas y \u003d x 2 -4x + 3 lielāko un mazāko vērtību

Kontroles jautājumi un piemēri

1. Definējiet atvasinājumu.

2. Ko sauc par argumenta pieaugumu? funkcijas pieaugums?

3. Kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme?

4. Ko sauc par diferenciāciju?

5. Uzskaitiet atvasinājuma galvenās īpašības.

6. Kādu funkciju sauc par kompleksu? atpakaļ?

7. Dodiet jēdzienu otrās kārtas atvasinājums.

8. Formulēt noteikumu sarežģītas funkcijas diferencēšanai?

9. Ķermenis kustas taisnā līnijā saskaņā ar likumu S=S(t). Ko var teikt par kustību, ja:

5. Funkcija palielinās noteiktā intervālā. Vai no tā izriet, ka tā atvasinājums ir pozitīvs šajā intervālā?

6. Ko sauc par funkcijas ekstrēmu?

7. Vai funkcijas lielākā vērtība noteiktā intervālā noteikti sakrīt ar funkcijas vērtību maksimālajā punktā?

8. Funkcija ir definēta . Vai punkts x=a var būt šīs funkcijas galējības punkts?

10. Funkcijas atvasinājums punktā x 0 ir nulle. Vai no šejienes izriet, ka x 0 ir šīs funkcijas galējais punkts?

Pārbaude

1. Atrodiet šo funkciju atvasinājumus:

A)	e)
b)	un)
ar)	h)
e)	Un)

2. Uzrakstiet parabolas y=x 2 -2x-15 pieskares vienādojumus: a) punktā ar abscisu x=0; b) parabolas krustpunktā ar abscisu asi.

3. Noteikt funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus

4. Izpētiet funkciju un uzzīmējiet to

5. Atrast momentā t=0 tāda punkta ātrumu un paātrinājumu, kas kustas saskaņā ar likumu s =2e 3 t

Atbildes uz vingrinājumiem

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (rezultātu iegūst, izmantojot koeficienta atvasinājuma formulu). Šo piemēru var atrisināt citā veidā:

5.

8. Produkts būs vislielākais, ja katrs vārds ir vienāds ar 12.

9. Taisnstūra perimetrs būs mazākais, ja taisnstūra malas ir 10 cm katra, t.i. izgriezt kvadrātu.

17. Segmentā funkcijai ir vislielākā vērtība, kas vienāda ar 3, kad x=0 un mazākā vērtība, kas vienāda ar –1 at x=2.

Literatūra

1.	Vlasovs V.G. Augstākās matemātikas lekciju kopsavilkums, Maskava, Irisa, 96
2.	Tarasovs N.P. Augstākās matemātikas kurss tehnikumiem, M., 87
3.	I.I. Valutse, G.D. Diligul Matemātika tehnikumiem, M., Zinātne, 90g
4.	I.P.Matskevičs, G.P.Svirid Augstākā matemātika, Minska, Augstākā matemātika. Skola, 93
5.	V.S.Šipačevs Augstākās matemātikas pamati, M.Vyssh.shkola89
6.	V.S.Šipačova augstākā matemātika, Maskavas Augstskola 85
7.	V.P.Minorskis Augstākās matemātikas uzdevumu krājums, M.Nauka 67g
8.	O.N.Afanasjeva Matemātikas uzdevumu krājums tehnikumiem, M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik Matemātika, M.Vyssh.shkola 91g
10.	N.V. Bogomolovs Praktiskās nodarbības matemātikā, M. Augstskola 90
11.	H.E.Krinskis Matemātika ekonomistiem, M. Statistika 70g
12.	L.G.Korsakova Augstākā matemātika vadītājiem, Kaļiņingrada, KSU, 97.

KALININGRADAS TIRDZNIECĪBAS UN EKONOMIKAS KOLEDŽA

tēmas izpētei

"funkcijas atvasinājums"

specialitātes 080110 "Ekonomika un grāmatvedība", 080106 "Finanses" studentiem,
080108 "Bankas", 230103 "Automatizētās informācijas apstrādes un vadības sistēmas"

Sastādījis Fedorova E.A.

KALININGRADA

Recenzenti: Gorskaja Natālija Vladimirovna, Kaļiņingradas Tirdzniecības un ekonomikas koledžas lektore

Šajā rokasgrāmatā ir aplūkoti diferenciālrēķina pamatjēdzieni: atvasinājuma jēdziens, atvasinājumu īpašības, pielietojums analītiskajā ģeometrijā un mehānikā, sniegtas diferenciācijas pamatformulas, sniegti piemēri, kas ilustrē teorētisko materiālu. Rokasgrāmata ir papildināta ar vingrinājumiem priekš patstāvīgs darbs, sniegtas atbildes uz tiem, jautājumi un parauguzdevumi zināšanu starpkontrolei. Paredzēts studentiem, kuri mācās disciplīnu "Matemātika" vidējā specialitātē izglītības iestādēm studenti, kuri mācās pilna laika, nepilna laika, vakara izglītībā, eksternā vai kuriem ir bezmaksas nodarbību apmeklējums.

KTEK
Ekonomikas un grāmatvedības PCC

15 eks., 2006. gads

Ievads. 4

Prasības zināšanām un prasmēm.. 5

Atvasinājuma jēdziens. 5

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. 7

Atvasinājuma mehāniskā nozīme. 7

Diferencēšanas pamatnoteikumi. 8

Formulas pamatfunkciju diferencēšanai. 9

Atvasinājums apgrieztā funkcija. 9

Sarežģītu funkciju diferenciācija. 10

Augstāku pasūtījumu atvasinājumi. vienpadsmit

Privātie atvasinājumi. vienpadsmit

Funkciju izpēte ar atvasinājumu palīdzību. vienpadsmit

Funkciju palielināšana un samazināšanās. vienpadsmit

Funkcijas maksimums un minimums. 13

Līknes izliekums un ieliekums. 15

Līkuma punkti. 16

Vispārējā shēma izpētes funkcijas un grafiku zīmēšana. 17

Risinājumu vingrinājumi. 17

Testa jautājumi un piemēri.. 20

Pārbaude. 20

Atbildes uz vingrinājumiem.. 21

Literatūra. 23

Ievads

Matemātiskā analīze sniedz vairākus pamatjēdzienus, ar kuriem ekonomists strādā - tā ir funkcija, robeža, atvasinājums, integrālis, diferenciālvienādojums. Ekonomiskajos pētījumos bieži izmanto īpašu terminoloģiju, lai atsauktos uz atvasinājumiem. Piemēram, ja f(x) ir ražošanas funkcija, kas izsaka jebkura produkta izlaides atkarību no faktora izmaksām x, tad zvanīja marginālais produkts; Ja g(x) ir izmaksu funkcija, t.i. funkciju g(x) izsaka kopējo izmaksu atkarību no produkcijas apjoma x, tad g′(x) sauca robežizmaksas.

Marginālā analīze ekonomikā- metožu kopums izmaksu vai rezultātu mainīgo vērtību izpētei, mainoties ražošanas apjomiem, patēriņam utt. pamatojoties uz to robežvērtību analīzi.

Piemēram, atrast produktivitāti.Ļaujiet funkcijai u=u(t), izsakot saražotās produkcijas daudzumu u strādājot t. Aprēķināsim laikā saražoto preču daudzumu ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Vidējā darba ražīgums ir saražotās produkcijas daudzuma attiecība pret pavadīto laiku, t.i. z sal. =

Strādnieku produktivitātešobrīd t 0 sauc par robežu, līdz kurai z sal. plkst ∆t → 0: . Tāpēc darba ražīguma aprēķins tiek samazināts līdz atvasinājuma aprēķināšanai:

ražošanas izmaksas K viendabīgi produkti ir produktu daudzuma funkcija x, lai mēs varētu rakstīt K=K(x). Pieņemsim, ka produkcijas daudzums palielinās par ∆x. Produkcijas daudzums x+∆x atbilst ražošanas izmaksām K(x+∆x). Tāpēc ražošanas apjoma pieaugums ∆x atbilst ražošanas izmaksu pieaugumam ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Vidējais ražošanas izmaksu pieaugums ir ∆K/∆x. Tas ir ražošanas izmaksu pieaugums uz produkcijas daudzuma pieauguma vienību.

Ierobežot sauca ražošanas robežizmaksas.