» Godātais Vorikas universitātes matemātikas profesors, pazīstamais zinātnes popularizētājs Īans Stjuarts, kas veltīts skaitļu lomai cilvēces vēsturē un to izpētes aktualitātei mūsu laikos.

Pitagora hipotenūza

Pitagora trijstūriem ir taisns leņķis un veselas malas. Vienkāršākajā no tiem garākās malas garums ir 5, pārējās ir 3 un 4. Kopā ir 5 regulāri daudzskaldņi. Piektās pakāpes vienādojumu nevar atrisināt ar piektās pakāpes saknēm vai citām saknēm. Režģiem plaknē un trīsdimensiju telpā nav piecu daivu rotācijas simetrijas, tāpēc šādas simetrijas nav arī kristālos. Tomēr tie var būt režģos četrdimensiju telpā un interesantās struktūrās, kas pazīstamas kā kvazikristāli.

Mazākā Pitagora trīskārša hipotenūza

Pitagora teorēma nosaka, ka taisnleņķa trīsstūra garākā mala (bēdīgi slavenā hipotenūza) korelē ar pārējām divām šī trijstūra malām ļoti vienkārši un skaisti: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar otras malas kvadrātu summu. divas puses.

Tradicionāli mēs šo teorēmu saucam Pitagora vārdā, taču patiesībā tās vēsture ir diezgan neskaidra. Māla plāksnes liek domāt, ka senie babilonieši zināja Pitagora teorēmu ilgi pirms paša Pitagora; atklājēja slavu viņam atnesa pitagoriešu matemātiskais kults, kura atbalstītāji uzskatīja, ka Visums ir balstīts uz skaitliskiem modeļiem. Senie autori pitagoriešiem un līdz ar to arī Pitagoram piedēvēja dažādas matemātikas teorēmas, taču patiesībā mums nav ne jausmas, ar kādu matemātiku Pitagors nodarbojās pats. Mēs pat nezinām, vai pitagorieši varēja pierādīt Pitagora teorēmu, vai arī viņi vienkārši ticēja, ka tā ir patiesība. Vai, visticamāk, viņiem bija pārliecinoši dati par tā patiesumu, kas tomēr nebūtu pietiekami tam, ko mēs šodien uzskatām par pierādījumu.

Pierādījumi par Pitagoru

Pirmais zināmais Pitagora teorēmas pierādījums ir atrodams Eiklida elementos. Šis ir diezgan sarežģīts pierādījums, izmantojot zīmējumu, ko Viktorijas laikmeta skolēni uzreiz atpazītu kā "Pitagora bikses"; zīmējums tiešām atgādina uz virves žūstošās apakšbikses. Burtiski ir zināmi simtiem citu pierādījumu, no kuriem lielākā daļa padara apgalvojumu acīmredzamāku.

// Rīsi. 33.Pitagora bikses

Viens no vienkāršākajiem pierādījumiem ir sava veida matemātiska mīkla. Paņemiet jebkuru taisnleņķa trīsstūri, izveidojiet četras tā kopijas un savāciet tās kvadrātā. Ar vienu klāšanu mēs redzam kvadrātu uz hipotenūzas; ar otru - kvadrāti abās pārējās trīsstūra malās. Skaidrs, ka platības abos gadījumos ir vienādas.

// Rīsi. 34. Pa kreisi: kvadrāts uz hipotenūzas (plus četri trīsstūri). Pa labi: kvadrātu summa abās pārējās malās (plus tie paši četri trīsstūri). Tagad noņemiet trīsstūrus

Perigalas sadalīšana ir vēl viens mīklu pierādījums.

// Rīsi. 35. Perigalas preparēšana

Ir arī teorēmas pierādījums, izmantojot kvadrātu sakraušanu plaknē. Iespējams, tieši tā pitagorieši vai viņu nezināmie priekšteči atklāja šo teorēmu. Ja paskatās, kā slīpais kvadrāts pārklājas ar pārējiem diviem kvadrātiem, varat redzēt, kā lielo kvadrātu sagriezt gabalos un pēc tam salikt divos mazākos kvadrātos. Var arī redzēt taisnie trīsstūri, kuras malas norāda trīs iesaistīto kvadrātu izmērus.

// Rīsi. 36.Pierādīšana bruģējot

Ir interesanti pierādījumi, izmantojot līdzīgus trīsstūrus trigonometrijā. Ir zināmi vismaz piecdesmit dažādi pierādījumi.

Pitagora trīnīši

Skaitļu teorijā Pitagora teorēma kļuva par auglīgas idejas avotu: atrast algebrisko vienādojumu veselus skaitļus. Pitagora trīskāršs ir veselu skaitļu a, b un c kopa, kas

Ģeometriski šāds trīskāršs definē taisnleņķa trīsstūri ar veselām malām.

Pitagora trīskāršā mazākā hipotenūza ir 5.

Pārējās divas šī trīsstūra malas ir 3 un 4. Šeit

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Nākamā lielākā hipotenūza ir 10, jo

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Tomēr tas būtībā ir tas pats trīsstūris ar dubultām malām. Nākamā lielākā un patiesi atšķirīga hipotenūza ir 13, kurai

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Eiklīds zināja, ka ir bezgalīgi daudz dažādu Pitagora trīskāršu variāciju, un viņš deva to, ko varētu saukt par formulu, kā tos visus atrast. Vēlāk Aleksandrijas Diofants piedāvāja vienkāršu recepti, kas būtībā bija tāda pati kā Eiklīda recepte.

Ņem jebkurus divus naturālus skaitļus un aprēķini:

viņu dubultais produkts;

to kvadrātu atšķirība;

to kvadrātu summa.

Trīs iegūtie skaitļi būs Pitagora trīsstūra malas.

Ņemiet, piemēram, skaitļus 2 un 1. Aprēķiniet:

dubultprodukts: 2 × 2 × 1 = 4;

kvadrātu atšķirība: 22 - 12 = 3;

kvadrātu summa: 22 + 12 = 5,

un mēs ieguvām slaveno trijstūri 3-4-5. Ja tā vietā ņemam skaitļus 3 un 2, mēs iegūstam:

dubultprodukts: 2 × 3 × 2 = 12;

kvadrātu atšķirība: 32 - 22 = 5;

kvadrātu summa: 32 + 22 = 13,

un mēs iegūstam nākamo slaveno trīsstūri 5 - 12 - 13. Mēģināsim ņemt skaitļus 42 un 23 un iegūt:

dubultprodukts: 2 × 42 × 23 = 1932;

kvadrātu atšķirība: 422 - 232 = 1235;

kvadrātu summa: 422 + 232 = 2293,

neviens nekad nav dzirdējis par trīsstūri 1235-1932-2293.

Bet šie skaitļi arī darbojas:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Diofantīna noteikumā ir vēl viena iezīme, par kuru jau tika dots mājiens: saņemot trīs skaitļus, mēs varam ņemt vēl vienu patvaļīgu skaitli un tos visus reizināt ar to. Tādējādi trijstūri 3-4-5 var pārvērst par trijstūri 6-8-10, visas malas reizinot ar 2, vai par trijstūri 15-20-25, visu reizinot ar 5.

Ja pārejam uz algebras valodu, noteikums iegūst šādu formu: lai u, v un k ir naturāli skaitļi. Tad taisnleņķa trīsstūris ar malām

2kuv un k (u2 - v2) ir hipotenūza

Ir arī citi veidi, kā izklāstīt galveno ideju, taču tie visi attiecas uz iepriekš aprakstīto. Šī metode ļauj iegūt visus Pitagora trīskāršus.

Regulāri daudzskaldņi

Ir tieši pieci regulāri daudzskaldņi. Parasts daudzskaldnis (vai daudzskaldnis) ir trīsdimensiju figūra ar ierobežotu skaitu plakanu seju. Fasetes saplūst viena ar otru līnijās, ko sauc par malām; malas saskaras punktos, ko sauc par virsotnēm.

Eiklīda "Sākumu" kulminācija ir pierādījums tam, ka var būt tikai pieci regulāri daudzskaldņi, tas ir, daudzskaldņi, kuros atrodas katra seja regulārs daudzstūris (vienādas puses, vienādi leņķi), visas skaldnes ir identiskas un visas virsotnes ir apņemtas vienāds skaitlis vienādi izvietotas malas. Šeit ir pieci regulāri daudzskaldņi:

tetraedrs ar četrām trīsstūrveida skaldnēm, četrām virsotnēm un sešām malām;

kubs jeb heksaedrs ar 6 kvadrātveida skaldnēm, 8 virsotnēm un 12 malām;

oktaedrs ar 8 trīsstūrveida skaldnēm, 6 virsotnēm un 12 malām;

dodekaedrs ar 12 piecstūrveida skaldnēm, 20 virsotnēm un 30 malām;

ikosaedrs ar 20 trīsstūrveida skaldnēm, 12 virsotnēm un 30 malām.

// Rīsi. 37.Pieci regulāri daudzskaldņi

Dabā sastopami arī regulāri daudzskaldņi. 1904. gadā Ernsts Hekels publicēja sīku organismu zīmējumus, kas pazīstami kā radiolarians; daudzi no tiem ir veidoti kā tie paši pieci regulāri daudzskaldņi. Varbūt viņš tomēr nedaudz izlaboja dabu, un zīmējumi pilnībā neatspoguļo konkrētu dzīvo būtņu formu. Pirmās trīs struktūras ir novērojamas arī kristālos. Kristālos neatradīsiet dodekaedru un ikosaedru, lai gan dažkārt tur sastopami neregulāri dodekaedri un ikosaedri. Īstie dodekaedri var parādīties kā kvazikristāli, kas visādā ziņā ir kā kristāli, izņemot to, ka to atomi neveido periodisku režģi.

// Rīsi. 38. Hekela zīmējumi: radiolāri regulāru daudzskaldņu formā

// Rīsi. 39. Regulāro daudzskaldņu attīstība

Var būt interesanti izgatavot parasto daudzskaldņu modeļus no papīra, vispirms izgriežot savstarpēji savienotu virsmu kopu – to sauc par daudzskaldņu slaucīšanu; skenējums ir salocīts gar malām un atbilstošās malas ir salīmētas kopā. Katra šāda pāra vienai no malām ir lietderīgi pievienot papildu laukumu līmei, kā parādīts attēlā. 39. Ja tādas platformas nav, var izmantot līmlenti.

Piektās pakāpes vienādojums

5. pakāpes vienādojumu risināšanai nav algebriskās formulas.

IN vispārējs skats Piektais vienādojums izskatās šādi:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problēma ir atrast formulu šāda vienādojuma atrisināšanai (tam var būt līdz pieciem risinājumiem). Pieredze ar kvadrātvienādojumiem un kubikvienādojumiem, kā arī ar ceturtās pakāpes vienādojumiem liecina, ka šādai formulai vajadzētu pastāvēt arī piektās pakāpes vienādojumiem, un teorētiski piektās, trešās un otrās pakāpes saknēm vajadzētu parādīties to. Atkal var droši pieņemt, ka šāda formula, ja tāda pastāv, izrādīsies ļoti, ļoti sarežģīta.

Šis pieņēmums galu galā izrādījās nepareizs. Patiešām, šādas formulas nepastāv; vismaz nav formulas, kas sastāvētu no koeficientiem a, b, c, d, e un f, kas veidoti, izmantojot saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, kā arī sakņojot. Tādējādi ciparā 5 ir kaut kas ļoti īpašs. Šīs piecu neparastās uzvedības iemesli ir ļoti dziļi, un bija nepieciešams daudz laika, lai tos noskaidrotu.

Pirmā problēmas pazīme bija tāda, ka, lai arī cik smagi matemātiķi centās atrast šādu formulu, lai arī cik gudri viņi būtu, viņiem vienmēr neizdevās. Kādu laiku visi uzskatīja, ka iemesli slēpjas formulas neticamajā sarežģītībā. Tika uzskatīts, ka neviens vienkārši nevar pareizi saprast šo algebru. Tomēr laika gaitā daži matemātiķi sāka šaubīties, ka šāda formula vispār pastāv, un 1823. gadā Nīls Hendriks Abels spēja pierādīt pretējo. Tādas formulas nav. Neilgi pēc tam Evariste Galuā atrada veidu, kā noteikt, vai vienādojums ar vienu vai otru grādu - 5., 6., 7., parasti jebkurš - ir atrisināms, izmantojot šāda veida formulu.

Secinājums no tā visa ir vienkāršs: cipars 5 ir īpašs. Jūs varat izlemt algebriskie vienādojumi(izmantojot saknes n-tā pakāpe Priekš dažādas nozīmes n) 1., 2., 3. un 4. pakāpei, bet ne 5. pakāpei. Šeit acīmredzamais modelis beidzas.

Neviens nav pārsteigts, ka jaudu vienādojumi, kas ir lielāki par 5, darbojas vēl sliktāk; jo īpaši ar tiem ir saistītas tās pašas grūtības: to risināšanai nav vispārīgu formulu. Tas nenozīmē, ka vienādojumiem nav atrisinājumu; tas arī nenozīmē, ka nav iespējams atrast ļoti precīzas šo risinājumu skaitliskās vērtības. Tas viss ir saistīts ar tradicionālo algebras rīku ierobežojumiem. Tas atgādina neiespējamību trīsreiz sadalīt leņķi ar lineālu un kompasu. Atbilde ir, taču uzskaitītās metodes nav pietiekamas un neļauj noteikt, kas tas ir.

Kristalogrāfiskais ierobežojums

Divu un trīs dimensiju kristāliem nav 5 staru rotācijas simetrijas.

Kristāla atomi veido režģi, tas ir, struktūru, kas periodiski atkārtojas vairākos neatkarīgos virzienos. Piemēram, raksts uz tapetes tiek atkārtots visā ruļļa garumā; turklāt tas parasti tiek atkārtots horizontālā virzienā, dažreiz ar pāreju no vienas tapetes uz nākamo. Būtībā tapetes ir divdimensiju kristāls.

Plaknē ir 17 dažādu tapešu raksti (skat. 17. nodaļu). Tie atšķiras pēc simetrijas veidiem, tas ir, ar veidiem, kā stingri pārvietot modeli, lai tas atrastos tieši uz sevi sākotnējā stāvoklī. Simetrijas veidi jo īpaši ietver dažādus rotācijas simetrijas variantus, kur raksts ir jāpagriež noteiktā leņķī ap noteiktu punktu - simetrijas centru.

Rotācijas simetrijas secība nosaka, cik reižu korpusu var pagriezt līdz pilnam aplim, lai visas attēla detaļas atgrieztos sākotnējā stāvoklī. Piemēram, 90° pagriešana ir 4. kārtas rotācijas simetrija*. Iespējamo rotācijas simetrijas veidu saraksts kristāla režģī atkal norāda uz skaitļa 5 neparastumu: tā tur nav. Ir varianti ar 2., 3., 4. un 6. kārtas rotācijas simetriju, taču nevienam tapešu rakstam nav 5. kārtas rotācijas simetrijas. Arī kristālos nav rotācijas simetrijas, kas būtu lielāka par 6, bet pirmais secības pārkāpums joprojām notiek pie skaitļa 5.

Tas pats notiek ar kristalogrāfiskajām sistēmām trīsdimensiju telpā. Šeit režģis atkārtojas trīs neatkarīgos virzienos. Ir 219 dažādi simetrijas veidi jeb 230, ja raksta spoguļatspīdumu uzskatām par atsevišķu tā versiju - turklāt šajā gadījumā nav spoguļsimetrijas. Atkal tiek novērotas 2., 3., 4. un 6. kārtas rotācijas simetrijas, bet ne 5. Šo faktu sauc par kristalogrāfisko ierobežojumu.

Četrdimensiju telpā pastāv režģi ar 5. kārtas simetriju; kopumā pietiekami liela izmēra režģiem ir iespējama jebkura iepriekš noteikta rotācijas simetrijas secība.

// Rīsi. 40.Galda sāls kristāla režģis. Tumšas bumbiņas apzīmē nātrija atomus, gaišās bumbiņas apzīmē hlora atomus.

Kvazikristāli

Lai gan piektās kārtas rotācijas simetrija nav iespējama 2D un 3D režģos, tā var pastāvēt nedaudz mazāk regulārās struktūrās, kas pazīstamas kā kvazikristāli. Izmantojot Keplera skices, Rodžers Penrouzs atklāja plakanas sistēmas ar vispārīgāku pieckāršu simetrijas veidu. Tos sauc par kvazikristāliem.

Kvazikristāli pastāv dabā. 1984. gadā Daniels Šetmens atklāja, ka alumīnija un mangāna sakausējums var veidot kvazikristālus; sākotnēji kristalogrāfi viņa vēstījumu uztvēra ar zināmu skepsi, taču vēlāk atklājums apstiprinājās, un 2011. gadā Šehtmans tika apbalvots. Nobela prēmijaķīmijā. 2009. gadā zinātnieku grupa Luka Bindi vadībā atklāja kvazikristālus minerālā no Krievijas Korjaku augstienes – alumīnija, vara un dzelzs savienojumā. Mūsdienās šo minerālu sauc par ikosaedrītu. Ar masas spektrometru izmērot dažādu skābekļa izotopu saturu minerālā, zinātnieki pierādīja, ka šī minerāla izcelsme nav uz Zemes. Tas veidojās pirms aptuveni 4,5 miljardiem gadu, laikā, kad Saules sistēma bija sākumstadijā un lielāko daļu sava laika pavadīja asteroīdu joslā, riņķojot ap Sauli, līdz kāds traucējums mainīja tās orbītu un galu galā atnesa to uz Zemi.

// Rīsi. 41. Pa kreisi: viens no diviem kvazikristāliskiem režģiem ar precīzu pieckārtīgu simetriju. Pa labi: ikosaedriska alumīnija-palādija-mangāna kvazikristāla atomu modelis

Svarīgs Diofantīna vienādojuma piemērs ir Pitagora teorēma, kas saista taisnleņķa trīsstūra kāju garumus x un y ar tā hipotenūzas garumu z:

Protams, jūs esat saskāries ar vienu no brīnišķīgajiem šī vienādojuma risinājumiem naturālajos skaitļos, proti, Pitagora skaitļu trīskāršu x=3, y=4, z=5. Vai ir vēl kādi trīnīši?

Izrādās, ka Pitagora trīskāršu ir bezgala daudz, un tie visi tika atrasti jau sen. Tos var iegūt pēc labi zināmām formulām, par kurām jūs uzzināsit no šīs rindkopas.

Ja pirmās un otrās pakāpes diofantīna vienādojumi jau ir atrisināti, tad jautājums par vienādojumu atrisināšanu ir vairāk augstas pakāpes joprojām ir atvērts, neskatoties uz lielāko matemātiķu pūlēm. Šobrīd, piemēram, Fermā slavenais minējums, ka jebkurai vesela skaitļa vērtībai n2 vienādojums

nav atrisinājumu veselos skaitļos.

Dažu veidu diofantīna vienādojumu risināšanai, t.s kompleksie skaitļi. Kas tas ir? Lai burts i apzīmē kādu objektu, kas atbilst nosacījumam i 2 \u003d -1(ir skaidrs, ka neviens reāls skaitlis neatbilst šim nosacījumam). Apsveriet formas izteiksmes α+iβ, kur α un β ir reāli skaitļi. Šādas izteiksmes tiks sauktas par kompleksajiem skaitļiem, kas definējušas saskaitīšanas un reizināšanas operācijas pār tiem, kā arī pār binomiem, bet ar vienīgo atšķirību, ka izteiksme es 2 visur mēs aizstāsim skaitli -1:

7.1. Daudzi no trim

Pierādiet, ja x0, y0, z0- Pitagora trīskāršs, tad trīskāršs y 0 , x 0 , z 0 Un x 0 k, y 0 k, z 0 k jebkurai dabiskā parametra k vērtībai ir arī Pitagora.

7.2. Privātās formulas

Pārbaudiet, vai tajā nav dabas vērtību m>n formas trīsvienība

ir pitagorietis. Vai tas ir kāds Pitagora trīskāršs x, y, z var attēlot šādā formā, ja atļaujat pārkārtot skaitļus x un y trīskāršā?

7.3. Nereducējami trīnīši

Pitagora skaitļu trīskārši, kuriem nav kopīgā dalītāja, kas lielāks par 1, tiks saukts par nereducējamu. Pierādiet, ka Pitagora trīskāršs ir nereducējams tikai tad, ja kādi divi no trīskārša skaitļiem ir kopskaitlis.

7.4. Nereducējamu trīskāršu īpašība

Pierādiet, ka jebkurā nereducējamā Pitagora trīskāršā x, y, z skaitlis z un tieši viens no skaitļiem x vai y ir nepāra.

7.5. Visi nesamazināmi trīskārši

Pierādīt, ka skaitļu x, y, z trīskāršs ir nereducējams Pitagora trīskāršs tad un tikai tad, ja tas sakrīt ar trīskāršu līdz pirmajiem diviem skaitļiem 2 min, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Kur m>n- dažādas paritātes naturālie skaitļi.

7.6. Vispārīgās formulas

Pierādīt, ka visi vienādojuma risinājumi

naturālajos skaitļos tiek doti līdz nezināmo x un y secībai ar formulām

kur m>n un k ir naturālie parametri (lai izvairītos no jebkādu trīskāršu dublēšanās, pietiek izvēlēties koprime tipa un turklāt dažādas paritātes skaitļus).

7.7. Pirmie 10 trīnīši

Atrodiet visus Pitagora trīskāršus x, y, z apmierinot nosacījumu x

7.8. Pitagora trīnīšu īpašības

Pierādiet to jebkuram Pitagora trīskāršam x, y, z apgalvojumi ir patiesi:

a) vismaz viens no skaitļiem x vai y ir 3 daudzkārtnis;

b) vismaz viens no skaitļiem x vai y ir skaitļa 4 reizinājums;

c) vismaz viens no skaitļiem x, y vai z ir 5 reizināts.

7.9. Pieteikums kompleksie skaitļi

Kompleksā skaitļa modulis α + iβ sauc par nenegatīvu skaitli

Pārbaudiet, vai tajā nav kompleksu skaitļu α + iβ Un γ + iδīpašums tiek izpildīts

Izmantojot komplekso skaitļu un to moduļu īpašības, pierādiet, ka jebkuri divi veseli skaitļi m un n atbilst vienādībai

i., tie dod vienādojuma atrisinājumu

veseli skaitļi (sal. ar 7.5. uzdevumu).

7.10. Nepitagora trīskārši

Izmantojot komplekso skaitļu un to moduļu īpašības (sk. 7.9. uzdevumu), atrodiet formulas jebkuriem veseliem vienādojuma atrisinājumiem:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Risinājumi

7.1. Ja x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , Tas y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , un par jebkuru dabas vērtību k mums ir

Q.E.D.

7.2. No vienlīdzības

secinām, ka uzdevumā norādītais trīskāršais apmierina vienādojumu x 2 + y 2 = z 2 naturālajos skaitļos. Tomēr ne katrs Pitagora trīskāršs x, y, z var attēlot šādā formā; piemēram, trīskāršs 9, 12, 15 ir Pitagora skaitlis, bet skaitli 15 nevar attēlot kā jebkuru divu naturālu skaitļu m un n kvadrātu summu.

7.3. Ja kādi divi skaitļi no Pitagora trīskārša x, y, z ir kopīgs dalītājs d, tad tas būs trešā skaitļa dalītājs (tātad, gadījumā x = x 1 d, y = y 1 d mums ir z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, kur z 2 dalās ar d 2 un z dalās ar d). Tāpēc, lai Pitagora trīskāršs būtu nesamazināms, ir nepieciešams, lai jebkuri divi no trīskārša skaitļiem būtu pirmskaitļi,

7.4. Ņemiet vērā, ka viens no skaitļiem x vai y, teiksim x, no nereducējama Pitagora trīskārša x, y, z ir nepāra, jo pretējā gadījumā skaitļi x un y nebūtu pirmskaitļi (sk. 7.3. uzdevumu). Ja arī otrs skaitlis y ir nepāra, tad abi skaitļi

dodat atlikumu 1, dalot ar 4, un skaitli z 2 \u003d x 2 + y 2 dalot ar 4, dod atlikumu 2, tas ir, dalās ar 2, bet nedalās ar 4, kas nevar būt. Tādējādi skaitlim y ir jābūt pāra, un tāpēc skaitlim z jābūt nepāra.

7.5. Lai Pitagora trīskāršojas x, y, z ir nereducējams un, lai noteiktu, skaitlis x ir pāra, savukārt skaitļi y, z ir nepāra (sk. 7.4. uzdevumu). Tad

kur ir cipari ir veseli. Pierādīsim, ka skaitļi a un b ir pirmskaitļi. Patiešām, ja tiem būtu kopīgs dalītājs, kas lielāks par 1, tad skaitļiem būtu tāds pats dalītājs z = a + b, y = a - b, i., trīskāršs nebūtu nereducējams (sk. 7.3. uzdevumu). Tagad, paplašinot skaitļus a un b pirmfaktoru reizinājumos, mēs pamanām, ka reizinājumā ir jāiekļauj jebkurš galvenais faktors 4ab = x2 tikai iekšā vienmērīgs grāds, un, ja tas ir iekļauts skaitļa a paplašinājumā, tad tas nav iekļauts skaitļa b paplašinājumā un otrādi. Tāpēc jebkurš pirmfaktors tiek iekļauts skaitļa a vai b izvēršanā atsevišķi tikai līdz pat pakāpei, kas nozīmē, ka šie skaitļi paši ir veselu skaitļu kvadrāti. Liekam tad mēs iegūstam vienādības

turklāt naturālie parametri m>n ir pirmskaitļi (skaitļu a un b kopīguma dēļ) un tiem ir atšķirīga paritāte (pāra skaitļa dēļ z \u003d m 2 + n 2).

Lai tagad dažādas paritātes naturālie skaitļi m>n ir pirmskaitļi. Tad trijotne x \u003d 2 min, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, saskaņā ar 7.2. uzdevumu, ir Pitagora valoda. Pierādīsim, ka tas ir nesamazināms. Lai to izdarītu, pietiek pārbaudīt, vai skaitļiem y un z nav kopīgu dalītāju (sk. 7.3. uzdevumu). Faktiski abi šie skaitļi ir nepāra, jo tipa skaitļiem ir dažādas paritātes. Ja skaitļiem y un z ir kāds vienkāršs kopīgs dalītājs (tad tam jābūt nepāra), tad katram no skaitļiem un un ar tiem katram no skaitļiem m un n ir vienāds dalītājs, kas ir pretrunā ar to savstarpējo vienkāršību.

7.6. Pamatojoties uz 7.1. un 7.2. uzdevumā formulētajiem apgalvojumiem, šīs formulas definē tikai Pitagora trīskāršus. No otras puses, jebkurš Pitagora trīskāršs x, y, z pēc tā reducēšanas ar lielāko kopīgo dalītāju k skaitļu pāris x un y kļūst nereducējams (sk. 7.3. uzdevumu) un līdz ar to var tikt attēlots līdz skaitļu x un y secībai 7.5. uzdevumā aprakstītajā formā. Tāpēc jebkurš Pitagora trīskāršs tiek norādīts ar norādītajām formulām dažām parametru vērtībām.

7.7. No nevienlīdzības z un 7.6. uzdevuma formulas, iegūstam novērtējumu m 2 t.i. m≤5. Pieņemot m = 2, n = 1 Un k = 1, 2, 3, 4, 5, mēs iegūstam trīnīšus 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Pieņemot m = 3, n = 2 Un k = 1, 2, mēs iegūstam trīnīšus 5, 12, 13; 10, 24, 26. Pieņemot m = 4, n = 1, 3 Un k = 1, mēs iegūstam trīnīšus 8, 15, 17; 7, 24, 25. Visbeidzot, pieņemot m = 5, n = 2 Un k = 1, mēs saņemam trīs 20, 21, 29.

Ērta un ļoti precīza metode, ko mērnieki izmanto perpendikulāru līniju vilkšanai uz zemes, ir šāda. Lai caur punktu A ir jānovelk perpendikuls taisnei MN (13. att.). Atkāpieties no A virzienā AM trīs reizes kādu attālumu a. Tad uz auklas tiek sasieti trīs mezgli, kuru attālumi ir 4a un 5a. Piestiprinot galējos mezglus pie punktiem A un B, velciet auklu pāri vidējam mezglam. Vads atradīsies trīsstūrī, kurā leņķis A ir taisns.

Šī senā metode, ko acīmredzot pirms tūkstošiem gadu izmantoja celtnieki Ēģiptes piramīdas, ir balstīts uz faktu, ka katrs trijstūris, kura malas ir saistītas kā 3:4:5, saskaņā ar labi zināmo Pitagora teorēmu ir taisnleņķa, jo

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Papildus skaitļiem 3, 4, 5, kā zināms, ir neskaitāma pozitīvu veselu skaitļu kopa a, b, c, kas apmierina attiecību

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Tos sauc par Pitagora skaitļiem. Saskaņā ar Pitagora teorēmu šādi skaitļi var kalpot kā kāda taisnleņķa trijstūra malu garumi; tāpēc a un b sauc par "kājām", bet c - par "hipotenūzu".

Ir skaidrs, ka, ja a, b, c ir Pitagora skaitļu trīskāršs, tad pa, pb, pc, kur p ir vesels skaitļa koeficients, ir Pitagora skaitļi. Un otrādi, ja Pitagora skaitļiem ir kopīgs faktors, tad ar šo kopējo koeficientu jūs varat tos visus samazināt un atkal iegūt Pitagora skaitļu trīskāršus. Tāpēc vispirms pētīsim tikai Pitagora kopskaitļu trīskāršus (pārējos iegūst no tiem, reizinot ar veselu koeficientu p).

Parādīsim, ka katrā no šādiem trijniekiem a, b, c vienai no "kājām" jābūt pāra, bet otrai nepāra. Strīdēsimies "tieši otrādi". Ja abas "kājas" a un b ir pāra, tad skaitlis a 2 + b 2 būs pāra, un līdz ar to "hipotenūza". Tomēr tas ir pretrunā ar to, ka skaitļiem a, b, c nav kopīgu faktoru, jo trīs pāra skaitļiem ir kopīgs koeficients 2. Tādējādi vismaz viena no "kājām" a, b ir nepāra.

Paliek vēl viena iespēja: abas "kājas" ir nepāra, un "hipotenūza" ir pāra. Ir viegli pierādīt, ka tā nevar būt. Patiešām, ja "kājām" ir forma

2x + 1 un 2g + 1,

tad to kvadrātu summa ir

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

i., tas ir skaitlis, kuru dalot ar 4, paliek atlikums 2. Tikmēr jebkura pāra skaitļa kvadrātam ir jādalās ar 4 bez atlikuma. Tātad divu nepāra skaitļu kvadrātu summa nevar būt pāra skaitļa kvadrāts; citiem vārdiem sakot, mūsu trīs skaitļi nav Pitagora skaitļi.

Tātad, no "kājām" a, b, viena ir pāra, bet otra ir nepāra. Tāpēc skaitlis a 2 + b 2 ir nepāra, kas nozīmē, ka arī "hipotenūza" c ir nepāra.

Pieņemsim, ka nepāra ir "kāja" a un pat b. No vienlīdzības

a 2 + b 2 = c 2

mēs viegli iegūstam:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Labajā pusē esošie faktori c + b un c - b ir kopvērtējami. Patiešām, ja šiem skaitļiem būtu kopīgs galvenais koeficients, kas nav viens, tad arī summa būtu dalāma ar šo koeficientu.

(c + b) + (c - b) = 2c,

un atšķirība

(c + b) - (c - b) = 2b,

un strādāt

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

i., skaitļiem 2c, 2b un a būtu kopīgs koeficients. Tā kā a ir nepāra, šis faktors atšķiras no diviem, un tāpēc skaitļiem a, b, c ir viens un tas pats kopējais faktors, kas tomēr nevar būt. Rezultātā iegūtā pretruna parāda, ka skaitļi c + b un c - b ir pirmskaitļi.

Bet, ja kopskaitļu reizinājums ir precīzs kvadrāts, tad katrs no tiem ir kvadrāts, t.i.

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 un 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Tātad aplūkotajiem Pitagora skaitļiem ir forma

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

kur m un n ir daži nepāra skaitļi. Lasītājs var viegli pārbaudīt pretējo: jebkuram nepāra veidam rakstītās formulas dod trīs Pitagora skaitļus a, b, c.

Šeit ir daži Pitagora skaitļu trīskārši, kas iegūti ar dažādiem veidiem:

Ja m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2, ja m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2, ja m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2, ja m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 pie m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 pie m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 pie m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, ja m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, ja m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, ja m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 pie m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 pie m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 pie m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 pie m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 pie m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 pie m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Visiem pārējiem Pitagora skaitļu trīskāršiem ir vai nu kopīgi faktori, vai arī tajos ir skaitļi, kas lielāki par simtu.)

"Reģionālais izglītības centrs"

Metodiskā izstrāde

Pitagora trīskāršu izmantošana risināšanā

ģeometriskās problēmas un trigonometriskie uzdevumi LIETOŠANA

Kaluga, 2016

I Ievads

Pitagora teorēma ir viena no galvenajām un, varētu pat teikt, vissvarīgākajām ģeometrijas teorēmām. Tās nozīme ir tajā, ka no tā vai ar tās palīdzību var izsecināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu. Pitagora teorēma ir ievērojama arī ar to, ka pati par sevi tā nemaz nav acīmredzama. Piemēram, vienādsānu trīsstūra īpašības var redzēt tieši zīmējumā. Bet neatkarīgi no tā, kā skatāties uz taisnleņķa trīsstūri, jūs nekad neredzēsit, ka starp tā malām ir tik vienkārša attiecība: a2+b2=c2. Tomēr teorēmu, kas nes viņa vārdu, atklāja nevis Pitagors. Tas bija zināms pat agrāk, bet varbūt tikai kā fakts, kas iegūts no mērījumiem. Jādomā, ka Pitagors to zināja, bet atrada pierādījumus.

Ir bezgalīgi daudz naturālu skaitļu a, b, c, apmierinot attiecības a2+b2=c2.. Tos sauc par Pitagora skaitļiem. Saskaņā ar Pitagora teorēmu šādi skaitļi var kalpot kā kāda taisnleņķa trijstūra malu garumi - mēs tos sauksim par Pitagora trijstūriem.

Darba mērķis: izpētīt Pitagora trīskāršu izmantošanas iespēju un efektivitāti problēmu risināšanā skolas kurss matemātika, LIETOŠANAS uzdevumi.

Pamatojoties uz darba mērķi, tālāk uzdevumus:

Izpētīt Pitagora trīskāršu vēsturi un klasifikāciju. Analizējiet uzdevumus, izmantojot Pitagora trīskāršus, kas ir pieejami skolas mācību grāmatās un atrodami eksāmena kontroles un mērīšanas materiālos. Novērtējiet Pitagora trīskāršu un to īpašību izmantošanas efektivitāti problēmu risināšanā.

Pētījuma objekts: Pitagora skaitļu trīskārši.

Studiju priekšmets: trigonometrijas un ģeometrijas skolas kursa uzdevumi, kuros izmantoti Pitagora trīskārši.

Pētījuma atbilstība. Pitagora trīnīši Tos bieži izmanto ģeometrijā un trigonometrijā, to pārzināšana novērsīs kļūdas aprēķinos un ietaupīs laiku.

II. Galvenā daļa. Problēmu risināšana, izmantojot Pitagora trīskāršus.

2.1. Pitagora skaitļu trīskāršu tabula (saskaņā ar Perelmanu)

Pitagora skaitļiem ir forma a= m n, , kur m un n ir daži nepāra skaitļi.

Pitagora skaitļiem ir vairākas interesantas iezīmes:

Vienai no "kājām" jābūt trīs reizes.

Vienai no "kājām" jābūt četrkārtai.

Vienam no Pitagora skaitļiem ir jābūt reizinātam ar pieci.

Grāmatā "Izklaidējošā algebra" ir Pitagora trīskāršu tabula, kurā ir skaitļi līdz simtam, kuriem nav kopīgu faktoru.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Šustrova Pitagora trīskāršu klasifikācija.

Šustrovs atklāja šādu modeli: ja visi Pitagora trijstūri ir sadalīti grupās, tad nepāra kājai x, pāra y un hipotenūzai z ir derīgas šādas formulas:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, kur N ir saimes skaitlis un n ir saimes trijstūra kārtas numurs.

Formulā N un n vietā aizstājot jebkurus pozitīvus veselus skaitļus, sākot no viena, jūs varat iegūt visus galvenos Pitagora skaitļu trīskāršus, kā arī noteikta veida daudzkārtņus. Katrai ģimenei varat izveidot tabulu ar visiem Pitagora trīskāršiem.

2.3. Planimetrijas uzdevumi

Apskatīsim problēmas no dažādām ģeometrijas mācību grāmatām un uzzināsim, cik bieži šajos uzdevumos ir atrodami Pitagora trīskārši. Triviālas problēmas, kas saistītas ar trešā elementa atrašanu Pitagora trīskāršu tabulā, netiks aplūkotas, lai gan tās ir atrodamas arī mācību grāmatās. Parādīsim, kā samazināt problēmas risinājumu, kura dati nav izteikti naturālie skaitļi, uz Pitagora trīskāršiem.

Apsveriet uzdevumus no ģeometrijas mācību grāmatas 7.-9. klasei.

№ 000. Atrodiet taisnleņķa trijstūra hipotenūzu A=, b=.

Risinājums. Kāju garumus reiziniet ar 7, iegūstam divus elementus no Pitagora trīskārša 3 un 4. Trūkst elements ir 5, ko dalām ar 7. Atbilde.

№ 000. Taisnstūrī ABCD atrodiet BC, ja CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Risinājums. Atrisināsim taisnleņķa trīsstūri ACD. Garumus reizinām ar 2, iegūstam divus elementus no Pitagora trīskārša 3 un 5, trūkstošais elements ir 4, ko dalām ar 2. Atbilde: 2.

Risinot nākamo skaitli, pārbaudiet attiecību a2+b2=c2 tas ir pilnīgi neobligāts, pietiek ar Pitagora skaitļu un to īpašību izmantošanu.

№ 000. Uzziniet, vai trijstūris ir taisnleņķa, ja tā malas ir izteiktas ar skaitļiem:

a) 6,8,10 (Pitagora trīskāršs 3,4,5) - jā;

Vienai no taisnleņķa trijstūra kājiņām jādalās ar 4. Atbilde: nē.

c) 9,12,15 (Pitagora trīskāršs 3,4,5) - jā;

d) 10,24,26 (Pitagora trīskāršs 5,12,13) ​​- jā;

Vienam no Pitagora skaitļiem ir jābūt reizinātam ar pieci. Atbilde: nē.

g) 15, 20, 25 (Pitagora trīskāršs 3,4,5) - jā.

No trīsdesmit deviņiem šīs sadaļas uzdevumiem (Pitagora teorēma) divdesmit divi tiek atrisināti mutiski, izmantojot Pitagora skaitļus un zināšanas par to īpašībām.

Apsveriet problēmu #000 (no sadaļas "Papildu uzdevumi"):

Atrodiet četrstūra ABCD laukumu, kur AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Uzdevums ir pārbaudīt attiecību a2+b2=c2 un pierādīt, ka dotais četrstūris sastāv no diviem taisnleņķa trijstūriem (apgrieztā teorēma). Un zināšanas par Pitagora trīskāršiem: 3, 4, 5 un 5, 12, 13 novērš vajadzību pēc aprēķiniem.

Sniegsim risinājumus vairākiem uzdevumiem no ģeometrijas mācību grāmatas 7.-9.klasei.

156. uzdevums (h). Taisnstūra trīsstūra kājas ir 9 un 40. Atrodiet hipotenūzai novilkto mediānu.

Risinājums . Hipotenūzai piesaistītā mediāna ir vienāda ar pusi no tās. Pitagora trīskāršs ir 9,40 un 41. Tāpēc mediāna ir 20,5.

156. uzdevums (i). Trijstūra malas ir: A= 13 cm, b= 20 cm un augstums hс = 12 cm Atrodiet pamatni Ar.

Uzdevums ( KIMS vienotais valsts eksāmens). Atrodiet akūtā trijstūrī ABC ierakstīta riņķa rādiusu, ja augstums BH ir 12 un ir zināms, ka grēks A=,sin C \u003d pa kreisi "\u003e

Risinājums. Atrisinām taisnstūrveida ∆ ASC: sin A=, BH=12, tātad AB=13,AK=5 (Pitagora trīskāršs 5,12,13). Atrisiniet taisnstūra ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (pitagora valoda trīskāršs 3,4,5).Rādiusu atrod pēc formulas r === 4. Atbilde.4.

2.4. Pitagora trīskāršojas trigonometrijā

Galvenā trigonometriskā identitāte– Pitagora teorēmas īpašs gadījums: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c) 2 =1. Tāpēc daži trigonometriskie uzdevumi ir viegli atrisināmi mutiski, izmantojot Pitagora trīskāršus.

Uzdevumi, kuros pēc norādītās funkcijas vērtības jāatrod pārējo vērtības trigonometriskās funkcijas, var atrisināt bez kvadrātošanas un ekstrakcijas kvadrātsakne. Visus šāda veida uzdevumus skolas algebras mācību grāmatā (10-11) Mordkovičs (Nr. 000-Nr. 000) var atrisināt mutiski, zinot tikai dažus Pitagora trīskāršus: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Apskatīsim divu problēmu risinājumus.

Nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Risinājums. Pitagora trīskāršs: 3, 4, 5. Tāpēc cos t = -3/5; tg t = -4/3,

Nr. 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Risinājums. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pitagora trīskāršais 5,12,13. Ņemot vērā zīmes, mēs iegūstam sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Eksāmena kontroles un mērīšanas materiāli

a) cos (arcsin 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

b) grēks (arccos 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)

c) tg (loka 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5)) = 4/3 tg (π+arcsin 3/5) = 4/3 tg arcsin 3/5 = 4/3 3/4 = 1

e) pārbaudiet vienādības derīgumu:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Risinājums. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

grēks (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = grēks (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Secinājums

Ģeometriskos uzdevumos bieži ir jāatrisina taisnleņķa trīsstūri, dažreiz vairākas reizes. Pēc skolas mācību grāmatu uzdevumu analīzes un LIETOT materiālus, varam secināt, ka galvenokārt tiek izmantoti trīskārši: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; kuras ir viegli atcerēties. Risinot dažus trigonometriskos uzdevumus, klasiskais risinājums, izmantojot trigonometriskās formulas Un liela summa aprēķini prasa laiku, un Pitagora trīskāršu zināšanas novērsīs kļūdas aprēķinos un ietaupīs laiku grūtāku eksāmena uzdevumu risināšanai.

Bibliogrāfiskais saraksts

1. Algebra un analīzes sākums. 10-11 klases. Pulksten 2. 2. daļa. Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm / [un citiem]; ed. . - 8. izd., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 lpp. : slim.

2. Perelmana algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 lpp.

3. Roganovskis: Proc. 7-9 šūnām. ar dziļu matemātikas vispārējās izglītības mācība. skola no krievu valodas lang. mācīšanās, - 3. izd. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 lpp.: ill.

4. Matemātika: Vēstures, metodoloģijas, didaktikas lasītājs. / Sast. . - M.: URAO izdevniecība, 2001. - 384 lpp.

5. Žurnāls "Matemātika skolā" 1965.g.1.nr.

6. Eksāmena kontroles un mērīšanas materiāli.

7. Ģeometrija, 7-9: Proc. izglītības iestādēm / utt - 13. izdevums - M .: Izglītība, 2003. – 384 lpp. : slim.

8. Ģeometrija: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola / utt - 2. izd. - M .: Izglītība, 1993, - 207 lpp.: ill.

Perelmana algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 lpp.

Žurnāls "Matemātika skolā" 1965.g.1.nr.

Ģeometrija, 7-9: Proc. izglītības iestādēm / utt - 13. izdevums - M .: Izglītība, 2003. – 384 lpp. : slim.

Roganovskis: Proc. 7-9 šūnām. ar dziļu matemātikas vispārējās izglītības mācība. skola no krievu valodas lang. mācīšanās, - 3. izd. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 lpp.: ill.

Algebra un analīzes sākums. 10-11 klases. Pulksten 2. 2. daļa. Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm / [un citiem]; ed. . - 8. izdevums, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 lpp. : ill., 18.lpp.

Belotelovs V.A. Pitagora trīskārši un to skaits // Nesterovu enciklopēdija

Šis raksts ir atbilde vienam profesoram – pinčam. Paskatieties, profesor, kā viņi to dara mūsu ciemā.

Ņižņijnovgorodas apgabals, Zavolžije.

Nepieciešamas zināšanas par Diofantīna vienādojumu (ADDE) risināšanas algoritmu un zināšanas par polinomu progresēšanu.

IF ir pirmskaitlis.

MF ir salikts skaitlis.

Lai ir nepāra skaitlis N. Jebkuram nepāra skaitlim, izņemot vienu, varat uzrakstīt vienādojumu.

p 2 + N \u003d q 2,

kur р + q = N, q – р = 1.

Piemēram, skaitļiem 21 un 23 vienādojumi būtu šādi:

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Ja N ir galvenais, šis vienādojums ir unikāls. Ja skaitlis N ir salikts, tad ir iespējams sastādīt līdzīgus vienādojumus faktoru pāru skaitam, kas attēlo šo skaitli, ieskaitot 1 x N.

Ņemsim skaitli N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Es sapņoju, bet vai, pieķeroties šai atšķirībai starp IF un MF, ir iespējams atrast metodi to identificēšanai.

Ieviesīsim apzīmējumu;

Mainīsim zemāko vienādojumu, -

N \u003d 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Sagrupēsim N vērtības pēc kritērija - a, t.i. taisīsim galdu.

Skaitļi N tika apkopoti matricā, -

Tieši šim uzdevumam man bija jātiek galā ar polinomu un to matricu progresēšanu. Viss izrādījās velti - PCh aizsardzības tiek turētas jaudīgi. Ievadīsim kolonnu 1. tabulā, kur - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Vēlreiz. 2. tabula tika iegūta, mēģinot atrisināt IF un MF identificēšanas problēmu. No tabulas izriet, ka jebkuram skaitlim N ir tik daudz vienādojumu, kuru forma ir a 2 + N \u003d in 2, cik daudzos faktoru pāros var sadalīt skaitli N, ieskaitot koeficientu 1 x N. Turklāt uz skaitļiem N \u003d ℓ 2, kur

ℓ - FC. Ja N = ℓ 2 , kur ℓ ir IF, pastāv unikāls vienādojums p 2 + N = q 2 . Par kādu papildu pierādījumu var runāt, ja tabulā ir uzskaitīti mazāki faktori no faktoru pāriem, kas veido N, no viena līdz ∞. Mēs ievietosim 2. tabulu lādē, bet lādi paslēpsim skapī.

Atgriezīsimies pie raksta virsrakstā minētās tēmas.

Šis raksts ir atbilde vienam profesoram – pinčam.

Es lūdzu palīdzību - man vajadzēja ciparu sēriju, ko nevarēju atrast internetā. Es saskāros ar tādiem jautājumiem kā: "Kāpēc?", "Bet parādiet man metodi." Jo īpaši bija jautājums par to, vai Pitagora trīskāršu sērija ir bezgalīga, "kā to pierādīt?". Viņš man nepalīdzēja. Paskatieties, profesor, kā viņi to dara mūsu ciemā.

Ņemsim Pitagora trīskāršu formulu, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Ejam cauri ARDU.

Iespējamas trīs situācijas:

I. x ir nepāra skaitlis,

y ir pāra skaitlis

z ir pāra skaitlis.

Un ir nosacījums x > y > z.

II. x ir nepāra skaitlis

y ir pāra skaitlis

z ir nepāra skaitlis.

x > z > y.

III.x — pāra skaitlis,

y ir nepāra skaitlis

z ir nepāra skaitlis.

x > y > z.

Sāksim ar I.

Ieviesīsim jaunus mainīgos

Aizstāt vienādojumu (1).

Atcelsim ar mazāko mainīgo 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Samazināsim mainīgo 2β – 2γ par mazāku, vienlaikus ieviešot jaunu parametru ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Tad 2α - 2β = x - y - 1.

(2) vienādojums būs šāds:

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Izšķirsim to kvadrātā -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU caur parametriem dod attiecības starp vienādojuma vecākajiem terminiem, tāpēc mēs ieguvām vienādojumu (3).

Nav stabili nodarboties ar risinājumu izvēli. Bet, pirmkārt, nav kur iet, otrkārt, ir vajadzīgi vairāki no šiem risinājumiem, un mēs varam atjaunot bezgala daudz risinājumu.

Ja ƒ = 1, k = 1, mums ir x – y = 1.

Ja ƒ = 12, k = 16, mums ir x - y = 9.

Ja ƒ = 4, k = 32, mums ir x - y = 25.

Jūs varat to uzņemt ilgu laiku, bet beigās sērija iegūs formu -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Apsveriet II variantu.

Ieviesīsim vienādojumā (1) jaunus mainīgos

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Mēs samazinām par mazāku mainīgo 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Samazināsim par mazāko mainīgo 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z un aizstājiet vienādojumu (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Ja ƒ = 3, k = 4, mums ir x - z = 2.

Ja ƒ = 8, k = 14, mums ir x - z = 8.

Ja ƒ = 3, k = 24, mums ir x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Uzzīmēsim trapecveida formu -

Uzrakstīsim formulu.

kur n=1, 2,...∞.

III gadījums netiks aprakstīts - tur nav risinājumu.

II nosacījumam trīskāršu komplekts būs šāds:

Skaidrības labad vienādojums (1) ir attēlots kā x 2 = z 2 + y 2.

I nosacījumam trīskāršu komplekts būs šāds:

Kopumā ir nokrāsotas 9 trīskāršu kolonnas, katrā piecas trīskāršas. Un katru no parādītajām kolonnām var ierakstīt līdz ∞.

Kā piemēru ņemiet vērā pēdējās kolonnas trīskāršus, kur x - y \u003d 81.

X vērtībām mēs rakstām trapecveida formu, -

Uzrakstīsim formulu

Vērtībām, kuras mēs rakstām trapeci, -

Uzrakstīsim formulu

Z vērtībām mēs rakstām trapecveida formu, -

Uzrakstīsim formulu

Kur n = 1 ÷ ∞.

Kā solīts, trīskāršu sērija ar x - y = 81 lido uz ∞.

Bija mēģinājums I un II gadījumam konstruēt matricas x, y, z.

Izrakstiet pēdējās piecas x kolonnas no augšējām rindām un izveidojiet trapecveida formu.

Tas nedarbojās, un modelim jābūt kvadrātveida. Lai visu izgatavotu ažūra veidā, izrādījās, ka bija nepieciešams apvienot I un II kolonnu.

II gadījumā lielumus y, z atkal apmaina.

Sapludināt izdevās viena iemesla dēļ - kārtis labi iederas šajā uzdevumā - mums paveicās.

Tagad jūs varat rakstīt matricas x, y, z.

Ņemsim no pēdējām piecām x vērtības kolonnām no augšējām rindām un izveidosim trapeci.

Viss ir kārtībā, jūs varat izveidot matricas, un sāksim ar z matricu.

Es skrienu uz skapi pēc lādes.

Kopā: Papildus vienam, katrs skaitliskās ass nepāra skaitlis piedalās Pitagora trīskāršu veidošanā ar vienādu skaitu faktoru pāru, kas veido šo skaitli N, ieskaitot koeficientu 1 x N.

Skaitlis N \u003d ℓ 2, kur ℓ - IF, veido vienu Pitagora trīskāršu, ja ℓ ir MF, tad uz faktoriem ℓхℓ trīskārša nav.

Izveidosim matricas x, y.

Sāksim ar matricu x. Lai to izdarītu, mēs to pievilksim koordinātu režģis no uzdevuma identificēt IF un MF.

Vertikālo rindu numerācija tiek normalizēta ar izteiksmi

Noņemsim pirmo kolonnu, jo

Matricai būs šāda forma -

Aprakstīsim vertikālās rindas, -

Aprakstīsim koeficientus pie "a", -

Aprakstīsim bezmaksas dalībniekus, -

Izveidosim vispārīgu formulu "x", -

Ja mēs darām līdzīgu darbu ar "y", mēs iegūstam -

Šim rezultātam var pieiet no otras puses.

Ņemsim vienādojumu,

un 2 + N = 2.

Mazliet pamainīsim -

N = 2–2.

Izšķirsim to kvadrātā -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojiet lielumu 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Un visbeidzot -

(in 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pitagora trīskārši sastāv šādi:

Apsveriet piemēru ar skaitli N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Tabulas 2 vertikālās kolonnas ir numurētas ar vērtībām in - a, savukārt 3. tabulas vertikālās kolonnas ir numurētas ar vērtībām x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Izveidosim trīs vienādojumus.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktori 3 un 39 nav salīdzinoši pirmskaitļi, tāpēc viens trīskāršs izrādījās ar koeficientu 9.

Attēlosim iepriekš rakstīto ar vispārīgiem simboliem, -

Šajā darbā viss, ieskaitot piemēru Pitagora trīskāršu aprēķināšanai ar skaitli

N = 117, piesaistīts mazākajam koeficientam - a. Skaidra diskriminācija saistībā ar faktoru + a. Izlabosim šo netaisnību – sastādīsim trīs vienādojumus ar koeficientu + a.

Atgriezīsimies pie jautājuma par IF un MF identifikāciju.

Šajā virzienā ir izdarīts daudz kas, un šodien rokās ir nākusi šāda doma - nav identifikācijas vienādojuma, un nav tādas lietas, kas nosaka faktorus.

Pieņemsim, ka esam atraduši sakarību F = a, b (N).

Ir formula

Jūs varat atbrīvoties no formulā F no iekšpuses un jūs saņemsiet viendabīgs vienādojums n - th pakāpe attiecībā pret a, t.i. F = a(N).

Jebkurai šī vienādojuma n pakāpei ir skaitlis N ar m faktoru pāriem, ja m > n.

Un tā rezultātā homogēnam n pakāpes vienādojumam ir jābūt m saknēm.

Jā, tā nevar būt.

Šajā rakstā skaitļi N tika ņemti vērā vienādojumam x 2 = y 2 + z 2, kad tie atrodas vienādojumā vietā z. Ja N ir x vietā, tas ir vēl viens uzdevums.

Ar cieņu Belotelovs V.A.