Vaadates nii "Saatuse" teemat kui ka mõnda muud juhuslikkuse või determinismi mõistega ühel või teisel viisil seotud teemat, tekkis mul soov lühidalt selgitada mõningaid vigu või arusaamatusi mõnes asjas, millega paljud inimesed sageli kokku puutuvad. Püüan selle sissekande teha võimalikult lühikeseks ja mitte laskuda detailidesse.

Alustuseks teeme selgeks, et determinismi idee (idee universumist, kus kõik sündmused arenevad ühe stsenaariumi järgi ja sõltuvad täielikult minevikust), kui seda objektiivselt vaadata, ei ole enam. loomulikum kui indeterminismi idee (idee universumist, kus "saatused" ei eksisteeri, tulevikku on põhimõtteliselt võimatu ennustada, sõltumata selle universumi kohta teadmiste hulgast, kuna vältimatu juhuslik tegur koht "saatuse" kujunemisel).

Idee universumist, kus kõik on ette määratud, juurdus inimeste teadvusesse, peamiselt tänu Newtoni füüsikale, mis oli ülitäpne ning andis arvutustes ja nende vastavuses tegelikkusele peaaegu täiuslikud tulemused. Tulemuste võimalikke ebatäpsusi võis seletada algsete mõõtmiste ebatäpsusega ja tegelikult see nii oligi. Tänu neile Newtoni füüsika tõeliselt silmapaistvatele tulemustele tekkis idee "mehaanilisest" universumist, mis areneb kella täpsusega ja milles pole kohta juhusele, on vaid koht meile tundmatutele asjaoludele.

Siiski on paar asja, mis praegu ei lükka ümber Newtoni füüsikat ennast, vaid determinismi ideed. Esimene on tõenäosusteooria – matemaatiline distsipliin, mis arenes välja pärast Newtoni füüsika tulekut ja mille kohta sel ajal, kui see füüsika ilmus ja oma kuldajastu üle elas, ei teatud midagi. Teine on kvantfüüsika tekkimine – füüsika haru, mis tegeleb meie universumi põhiseadustega ja mida on kontseptuaalsel tasandil väga raske mõista.

Kahjuks oli ühest küljest Newtoni füüsika paljude 20. sajandi alguse teadlaste teadvuses nii sügavalt juurdunud, et nad ei mõistnud tõenäosuse rolli universumi seadustes kuni oma elupäevade lõpuni. Sellise teadlase ilmekaim näide on Albert Einstein. Teisest küljest on siiani koolides õpitud ainult Newtoni füüsikat, kuna kvanti ei õpetata seda minu arvates tavaliselt mitte mingil kujul, nii et inimestel on instinktiivne soov seda "pealisehitusena" esitada. või "mudel" üle Newtoni füüsika.

Alustuseks väga lühidalt kvantfüüsikast. See ei ole Newtoni füüsika "matemaatiline mudel", "mudel" ega "pealisehitus". Üldiselt on parem need sõnad peast välja visata. Kuigi tegelikult jah, on kvantfüüsika tõesti matemaatiline mudel. Kuid me ei tea, mis see mudel täpselt on. Teame ainult, et see ei ole Newtoni füüsika tippmudel.

Jämedalt öeldes on tõenäosuste roll kvantfüüsikas kvantobjektide põhiomadus. See EI ole mõõtmiste ebatäpsuste tulemus ega katse tuua need ebatäpsused mingisse raamistikku. Mõõtmiste ebatäpsused on eraldi rida tulemustes, millel pole füüsikaseadustega mingit pistmist.

On inimesi, kes usuvad, et tõenäosustega kvantfüüsika asemel peaks olema mingi teooria, mis võimaldaks teil neist lahti saada ja näiteks ennustada, milline aatom mingil konkreetsel ajahetkel laguneb. grammi uraani. Enamikku neist inimestest peetakse friikideks ja on isegi spetsiaalne Quantum Randi väljakutse: http://www.science20.com/alpha_meme/official_quantum_randi_challenge-80168, mis analoogselt tavalise Randi väljakutsega peaks nad puhta vee äärde tooma. Põhjus, miks enamik teadlasi selle idee pärast nii halvasti tunneb, tuleneb Belli teoreemist, väga keerulisest teoreemist, mis väidab, et sellist teooriat ei saa põhimõtteliselt eksisteerida.

Matemaatiliselt on see teoreem tõestatud ja kõik katsed hetkel kinnitavad seda.

Olles tegelenud kvantfüüsika, liigume edasi meie jaoks tuttavamasse maailma. Meid ümbritsevat maailma juhib peamiselt Newtoni füüsika. Peaaegu kõik inimesed nõustuvad, et Newtoni katse tulemusi saab 100% täpsusega ennustada juba enne selle läbiviimist. Kas see tähendab, et meie "makroskoopiline" füüsiline maailm on deterministlik ja juhuse rollil selles pole mingit võimalust?

Ümbersõnastades küsimust teisest küljest: kas Newtoni füüsika maailmas on võimalik üles seada selline eksperiment, mis demonstreeriks tõenäosuse seadusi ja mille konkreetset tulemust oleks võimatu ennustada? Vastus sellele küsimusele on ühemõtteline – jah. Ja siin on näide sellisest kogemusest:

See video demonstreerib tüüpilise "tõenäosusmasina" tööd. Eeldatakse, et kõik pallid on sama kaaluga ja kõik pulgad on samuti ühesugused. Vaatamata sellele ei ole iga üksiku palli teekonda, aga ka täpset lõpptulemust ette ennustada. Lõpuks aga rivistuvad pallid normaaljaotus, nagu see peaks olema tõenäosusteooria järgi.

Palli konkreetne tee on pidevalt allutatud Newtoni seadustele. Ma eeldan, et keegi arvab kindlasti "see on sellepärast, et me ei tea kõiki tegureid! Kui me teaksime kõiki tegureid 100% täpsusega, saaksime täpselt ennustada."

Vaatame neid tegureid lähemalt. Selliste nähtuste puhul võib iga pisiasi mängida otsustavat rolli selles, kuhu pall täpselt välja jõuab. See ei ole ainult pallide kaal ja pulkade mikroskoopiline kuju – lõppude lõpuks läbib sama pall iga kord erineva tee. Oma osa mängib tohutu hulk tegureid, kuni raskusjõu spetsiifiline arvväärtus selles kohas praegusel ajahetkel ja aatomite spetsiifiline paigutus kuulis ja pulgas. Kõik need tegurid sõltuvad omakorda paljudest muudest teguritest. Teatud kindlusega on võimalik väita, et palli konkreetne teekond sõltub universumi konkreetsest olekust sel hetkel. Ja ometi, kui me teaksime selle riigi kohta kõike, kas saaksime seda teed ennustada?

Lubage mul teha üks segane ja šokeeriv mõte - mis siis, kui konkreetne "otsus" selle kohta, kuhu pall kukub, "tehakse" palli otsese kokkupuute hetkel pulgaga, mitte varem? Lõppude lõpuks muutuvad ka kõigi sel hetkel otsustavate tegurite väärtused ja kokkupuute hetk ei toimu mingil kindlal ajahetkel, nii et ajavahemikku on võimalik üheselt jagada "enne ja pärast". kuid see võtab teatud aja. Ei maksa unustada, et Newtoni füüsikas ei ole aeg ja ruum diskreetsed, vaid on laiendatud, neid saab lõpmatult jagada väikesteks osadeks. Kvantfüüsika on diskreetne, kuid just selles toimivad tõenäosusseadused.

Sellele küsimusele pole kindlat vastust. Aga ma olen isiklikult kindel, et tegelikult tehakse see otsus kontakti hetkel. Sel juhul kehtivad siin ka tõenäosusseadused ja "mittekvantsel" tasandil on universum samuti indeterministlik.

Lõppkokkuvõttes omamise tõsiasi tõenäosusteooria viib meid mõttele, et see on ka üks universumi põhiseadusi ja ka sellest tulenev indeterminism.

Kuigi igaüks võib sellele küsimusele anda oma vastuse, pole siiani midagi tõestatud. Igaüks saab ise otsustada, mis tundub talle isiklikult tõenäolisem ja loomulikum.

"Paljude maailmade" kvanttõlgenduses (täpsemalt on neid palju, need tõlgendused, mis on selle nime all ühendatud), on enamasti esitatud tõenäosus väga jämedalt, kuni selleni, et tavalise kuue- poolne stants on juhuslik protsess. Muidugi võib teatud tulemusega täringu viskamise õppida, aga kui visatakse juhuslikult, siis teatud tingimustel võib eeldada, et kummagi poole väljakukkumise tõenäosus on 1/6. Seda seetõttu, et üldiselt ei ole tegemist kontrollitud protsessiga, millele lähenedes saab taandada samad kokkupuutepunktid nagu ülaltoodud etapiviisilises katses. Reaalsetes tingimustes on muidugi väga raske leida neid punkte või tõmmata piire, mis panevad paika, millist infot protsessi kohta põhimõtteliselt saab ja mida sellest infost õppida.

Selle tõlgenduse kohaselt on universum jagatud mitmeks universumiks, millest igaühes realiseerub üks tõenäosus. Sama kehtib ka kõigi teiste tõenäosuslike protsesside kohta (st ülaltoodud katses kaks universumit pärast iga palli teekonna "otsust"). Jagamise hetk ei toimu hetkel, kui täring näitab teatud numbrit, vaid hetkel, kui saab kindlaks, et täring näitab just seda numbrit. Seda punkti on raske täpselt määratleda.

"Paljude maailmade" tõlgendus võimaldab lahendada teatud paradokse, mis tekivad tõlgendamise katsel kvantfüüsika, näiteks objektide olemasolu, mis võivad olla samaaegselt kahes teineteist välistavas olekus (see on sama "elus ja surnud korraga" Schrödingeri kass, kuigi jutt käib kvantobjektidest). Kuigi, ütleme, igapäevakogemuse seisukohalt, tundub see tõlgendus täiesti fantastiline.

Lisaks objektide tõenäosuslikule liikumisele on veel mitmeid nähtusi, mida peetakse indeterministlikuks, eelkõige inimeste käitumist, kuigi neid nähtusi kirjeldab tõenäosusteooria. Inimeste käitumise ennustamine on aga suure tõenäosusega põhimõtteliselt võimatu. Kuigi nüüdseks on kindlaks tehtud, et käitumise määravad suuresti alateadlikud tegurid, ei tähenda see vaba tahte puudumist, mis võib palju määrata. Lisaks võib neid alateadlikke tegureid ise määrata ka mingi juhuslikkus, mida on kohati isegi raskem ennustada kui enam-vähem teadlikku valikut.

Kõigi nende tegurite põhjal otsustasin isiklikult, et universum tervikuna on indeterministlik. See on koht, kus teaduslikud tõendid näivad meid juhtivat. Mulle tundub, et see on palju loomulikum kui "deterministlik" universum, kus kõik sõltub sõna otseses mõttes selle esinemise hetkest, kuid samal ajal on teil vaja millegi ennustamiseks teadmisi kogu universumist. tervikuna. Mis iseenesest tähendab vajadust omada tegelikult selle universumi koopiat, aga samas teame, et see koopia ei saa olema identne (peab ju sisaldama ka kvantprotsesse). Minu arvates on see absurd.

Veelgi enam, meie maailm tundub mulle tüüpiliselt kaootilise süsteemina. Oleme lihtsalt harjunud mitte märkama kogu seda kaost, mis ümberringi toimub.

Võib-olla on see parim. Elamine vabas maailmas, mille tulevikku ei meie ega "tema" ei tea, on ikka palju huvitavam.

Teema: Tõenäosused meie ümber

Probleem: Kuidas tõenäosusteooria meid elus aitab?

Asjakohasus: Tõenäosus on üks põhimõisteid mitte ainult matemaatilises statistikas, vaid ka iga inimese elus, seega tuleb igaühel meist iga päev teha palju otsuseid ebakindluse tingimustes. Seda ebakindlust saab aga "muundada" mingiks kindluseks. Ja siis võivad need teadmised olla suureks abiks otsuse langetamisel.Kummalisel kombel kasutab inimene igapäevaelus sageli tõenäosusteooriat, kuigi ta ei pruugi teada tõenäosuskõvera matemaatilisi valemeid ja jaotusi ning see pole vajalik. Elukogemus, loogika ja intuitsioon ütlevad alati inimesele tema eduvõimalused, olgu selleks siis tööle saamine, karjäär, isiklik elu, probleemide lahendamine, võiduvõimalus vms. Mõnikord on aga väga kasulik kontrollida, kas "empiiriline analüüs" ühtib matemaatilisega, sest igal "juhuslikul" sündmusel on selle toimumise tõenäosus selge.

Uuringu eesmärk: Uurige, kas tänu tõenäosusteooriale suudame tõesti sündmusi ennustada.

Hüpotees: Tõenäosusteooria aitab meid alati, kui me midagi tahame või ei tea, mida antud olukorras teha.

Uuringu eesmärgid:

• Koguge teavet tõenäosusteooria kohta
• Teadma Huvitavaid fakte
• Mõelge hasartmängude tõenäosusteooriale
• Viige läbi õpilaste küsitlus

Uurimismeetodid:

• Valik kirjandust
• Teemakohaste teabeallikate analüüs
• Küsitlus
• Tulemuste analüüs

Uurimise etapid: Olen kogunud infot tõenäosusteooria tekkeloo kohta Esitletud kronoloogilisel lindil on võimalik jälgida selle kujunemise protsessi. Ja ka tutvuda teadlaste nimedega, kes selles küsimuses ideedele kaasa aitasid.

Täpsemat kirjeldust tõenäosusteooriast, huvitavaid fakte ja tõenäosusteooria rakendamist elus näete minu ettekandes

Viisin läbi ka õpilaste seas küsitluse, kuhu võttis osa 30 inimest. Selguse huvides on küsitluse tulemused esitatud diagrammi kujul.

1) Valige õige tõenäosusteooria definitsioon

1. Matemaatika osa, mis uurib: juhuslikke sündmusi, juhuslikke muutujaid, nende omadusi ja tehteid nendega.

2. Mul on raske vastata.

3. Matemaatika haru, mis uurib kõiki tõenäolisi sündmusi

(1-15, 2-5, 3-10)

Järeldus: Enamik inimesi teab endiselt tõenäosusteooria õiget definitsiooni.

2) Kas sa arvad, et tõenäosusteooria aitab sind elus?

Järeldus: Arvamused jagunevad, täpselt pooled inimesed arvavad, et tõenäosusteooria ei saa neid elus aidata.

3) Kas sa arvad, et tõenäosusteooria valemite abil saad täpselt välja arvutada oma võidu tõenäosuse (loterii, täringud, kaardid)?

1. Ma arvan, et jah

2. Mitte alati täpne

3. Ei, see on õnne küsimus ja tõenäosusteooria ei saa seda kindlaks teha.

(1-9, 2-6, 3-15)

Järeldus: üldiselt loodavad inimesed pigem õnnele kui objektiivsetele arvutustele.

4) Kus rakendati esmakordselt tõenäosusteooriat?

1. Tööstuses

2. Poliitikas

3. Hasartmängudes

Järeldus: vähesed inimesed mõistavad, et just hasartmängudest sai tõenäosusteooria väljatöötamise mootor.

5) Kas teie arvates tasub selle teema õppimisele koolis rohkem tähelepanu pöörata?

1. Jah, see aitab lastel määrata sündmuse toimumise tõenäosust

2. Ei, see pole vajalik

Järeldus: valdav enamus inimesi usub, et koolid peavad sellele teemale rohkem tähelepanu pöörama.

Järeldused: Uuringu käigus osutus minu hüpotees vaid osaliselt õigeks, kuna tõenäosusteooria ei suuda ennustada absoluutselt kõigi sündmuste, vaid ainult osade sündmuste tulemust. Kuid tõenäosusteooria võib meid tõesti aidata, sest valemi abil oma šansse arvutades saame aru, kas tasub midagi ette võtta või mitte. Ja ilma tõenäosusteooriata me eksiksime sagedamini, proovides kõike järjest.Seega, teades tõenäosusteooriat, saame seletada mõningaid oma elu sündmusi. Tänu tõenäosusteooriale vähendame oma eksimise võimalust. Ja alati on parem enne selle tegemist kõigepealt välja selgitada, milline on edu tõenäosus.

Kasutatud allikad:

A. Manit "Tõenäosusteooria ja matemaatiline staatika"

Matemaatika on kõigi teaduste kuninganna, mille noored panevad sageli proovile. Esitasime lõputöö “Matemaatika on kasutu”. Ja me kummutame näitel ühe kõige huvitavama salapärase ja huvitavaid teooriaid. Kuidas Tõenäosusteooria aitab elus, päästab maailma, millised tehnoloogiad ja saavutused põhinevad neil pealtnäha hoomamatutel ja elukaugetel valemitel ning keerulistel arvutustel.

Tõenäosusteooria ajalugu

Tõenäosusteooria- matemaatika haru, mis uurib juhuslikke sündmusi ja loomulikult nende tõenäosust. Selline matemaatika ei sündinud sugugi mitte igavates hallides kontorites, vaid ... mängusaalides. Esimesed lähenemised sündmuse tõenäosuse hindamiseks olid populaarsed juba keskajal tolleaegsete “hamlerite” seas. Kuid siis oli neil ainult empiiriline uuring (see tähendab praktikas, katsemeetodil hindamine). Tõenäosusteooria autorsust on võimatu omistada kindlale isikule, kuna selle kallal töötasid paljud kuulsad inimesed, kellest igaüks investeeris oma osa.

Esimesed neist inimestest olid Pascal ja Fermat. Nad õppisid täringustatistika tõenäosusteooriat. Ta avastas esimesed seaduspärasused. H. Huygens tegi sarnase töö 20 aastat varem, kuid teoreemid polnud täpselt sõnastatud. Olulise panuse tõenäosusteooriasse andsid Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson ja paljud teised.

Pierre Fermat

Tõenäosusteooria elus

Ma üllatan teid: me kõik kasutame ühel või teisel määral tõenäosusteooriat, mis põhineb meie elus aset leidnud sündmuste analüüsil. Teame, et surm autoõnnetuses on tõenäolisem kui pikselöögis, sest esimest juhtub kahjuks väga sageli. Ühel või teisel viisil pöörame tähelepanu asjade tõenäosusele, et oma käitumist ennustada. Kuid siin on solvang, kahjuks ei saa inimene alati teatud sündmuste tõenäosust täpselt kindlaks teha.

Näiteks statistikat teadmata kipub enamik inimesi arvama, et tõenäosus hukkuda lennuõnnetuses on suurem kui autoõnnetuses. Nüüd teame, olles uurinud fakte (millest on minu arvates paljud kuulnud), et see pole sugugi nii. Fakt on see, et meie elutähtis "silm" ütleb mõnikord üles, sest õhutransport tundub inimestele, kes on harjunud kindlalt maas kõndima, palju kohutavam. Ja enamik inimesi ei kasuta seda transpordiviisi sageli. Isegi kui suudame sündmuse tõenäosust õigesti hinnata, on see suure tõenäosusega äärmiselt ebatäpne, millel poleks mõtet näiteks kosmosetehnikas, kus miljondikud otsustavad palju. Ja kui vajame täpsust, siis kelle poole me pöördume? Muidugi matemaatikasse.

Näiteid tõenäosusteooria tegelikust kasutamisest elus on palju. Peaaegu kogu kaasaegne majandus põhineb sellel. Kindla toote turule toomisel võtab pädev ettevõtja kindlasti arvesse riske, samuti ostu tõenäosust konkreetsel turul, riigis vms. Praktiliselt ei kujuta oma elu ette ilma tõenäosusmaaklerite teooriata maailmaturgudel. Rahakursi (mille puhul tõenäosusteooria on kindlasti hädavajalik) ennustamine rahaoptsioonidel või kuulsal Forexi turul võimaldab selle teooriaga tõsiselt raha teenida.

Tõenäosusteooria on oluline peaaegu iga tegevuse alguses, samuti selle reguleerimine. Hinnates konkreetse probleemi tõenäosust (näiteks kosmoselaev), teame, milliseid jõupingutusi peame tegema, mida täpselt kontrollida, mida oodata üldiselt tuhandete kilomeetrite kaugusel Maast. Terrorirünnaku võimalus metroos, majanduskriis või tuumasõda Seda kõike saab väljendada protsentides. Ja mis kõige tähtsam, võtke saadud andmete põhjal asjakohaseid vastumeetmeid.

Mul vedas, et sain matemaatikasse teaduskonverents minu linn, kus üks võidutöö rääkis praktilisest tähendusest tõenäosusteooria elus. Tõenäoliselt, nagu kõigile inimestele, ei meeldi teile pikka aega järjekorras seista. see töö ta tõestas, kuidas saab ostuprotsessi kiirendada, kui kasutada reas olevate inimeste loendamise tõenäosuse teooriat ja reguleerida tegevusi (kassade avamine, müüjate suurendamine jne). Kahjuks ignoreerib enamik isegi suuri võrke seda asjaolu ja tugineb ainult oma visuaalsetele arvutustele.

Mis tahes tegevust mis tahes valdkonnas saab statistika abil analüüsida, tõenäosusteooria abil arvutada ja oluliselt parandada.

Artiklis käsitletakse peamisi ülesandeid, milles erinevaid tõenäosusteooria meetodeid rakendatakse.

• Aegridade analüüs (mesindustööstuse näitel)
• Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika rakendamine kindlustustegevuses
• Eneseanalüüs kui enesejuhtimistehnoloogiate arendamise algetapp
• Infotehnoloogial põhinevad õpilaste stohhastilise koolituse vahendid

Tõenäosusteooria on teadus, mis uurib konkreetsete meetodite kasutamist kaalumisel tekkivate probleemide lahendamiseks juhuslikud muutujad. See paljastab mustrid, mis on seotud massinähtustega. Need meetodid ei suuda ennustada juhusliku sündmuse tulemust, kuid nad võivad ennustada üldist tulemust. Seega, kui uurime juhuslikke sündmusi reguleerivaid seadusi, saame vajadusel nende sündmuste kulgu muuta. Omakorda matemaatika statistika - See on matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja kasutamise meetodeid, et saada teaduslikult põhjendatud järeldusi ja teha nende põhjal otsuseid.

Miks on vaja töödelda lihtsaid andmekogumeid? kogu teadus? Kuna need andmed, ükskõik kui palju me ka ei püüaks, pole kunagi täpsed, sisaldavad juhuslikke vigu. Need võivad olla mõõtevahendite vead ja inimlikud vead, aga ka andmete heterogeensus või loomulikult nende ebapiisav.

Tavaliselt kordab teadlane oma kogemust mitu korda, saades suure hulga sama tüüpi andmeid, mida tuleb töödelda ja teha olulisi järeldusi, mis võimaldavad mitte ainult teema uurimisel sügavamale liikuda, vaid ka järeldusi teha, prognoose, langetada olulisi majandusotsuseid jne.

Just matemaatiline statistika annab andmetöötluse meetodid, statistiliste hüpoteeside kontrollimise algoritmid, valitud mudeli või seaduse adekvaatsuse ja olulisuse kriteeriumid, jaotusparameetrite mõistlikud täpsuspiirid, mida saame oma andmete põhjal saada jne.

Olemas huvitav lugu, mis viitab sellele, et tõenäosusteooria võlgneb oma välimuse hasartmängudele. Tõenäosusteooria rajaja on prantsuse teadlane Blaise Pascal, kes töötas sellistes valdkondades nagu füüsika, matemaatika ja filosoofia. Kuid tegelikult võttis Pascal oma töödes kokku oma sõbra Chevalier de Mere kogemuse, kes oli omal ajal kuulus. De Mere oli mängur, talle meeldis arvutada, mitu korda oleks vaja täringut veeretada, et ihaldatud kaks kuut enam kui poole ajast välja kukuks. Need pealtnäha mitte liiga tõsised arvutused sundisid Chevalier’d tõenäosuse küsimust põhjalikumalt uurima ja äratasid hiljem ka Pascali huvi.

Venemaal tekkis suurim huvi tõenäosusteooria vastu 19. sajandi esimesel poolel. Märkimisväärse panuse tõenäosusteooria teaduse arengusse andsid Venemaa teadlased: P.L. Tšebõšev, A.A. Markov, A.M. Ljapunov. Moodne välimus tõenäosusteooria sai tänu Andrei Nikolajevitš Kolmogorovi pakutud aksiomatiseerimisele. Selle tulemusena omandas tõenäosusteooria range matemaatilise vormi ja lõpuks hakati seda tajuma ühe matemaatika haruna.

Praktiline kasutamine tõenäosusteooria on suurepärane. Paljudes eluvaldkondades ja -valdkondades kasutatakse tõenäosusteooria meetodeid. Vaatame mõnda neist konkreetsete näidetega.

1. Juhusliku katse käigus viskavad lapsed sümmeetrilist münti kolm korda. Leidke tõenäosus, et pead kerkivad täpselt kaks korda.

Esimene samm - kirjuta kõik võimalikud kombinatsioonid välja juba 3 viske jaoks! Need on: OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR. On jäänud vaid üks vise ja võimalikke kombinatsioone on juba n=8.

Nüüd on sellest loendist vaja jätta ainult need kombinatsioonid, kus O esineb 2 korda, see tähendab: OOP, ORO, ROO, neid on m = 3. Siis on sündmuse tõenäosus P=m/n=3/8=0,375P=m/n=3/8=0,375.

2. Ketramiseks segas vanaema võrdselt musta ja värvitud puuvilla. Kui suur on tõenäosus, et 1200 ühiku hulgas on üle poole musta puuvilla.

Lahendus. Sündmuse variantide koguarv on 1200. Nüüd defineerime koguarv soodsad valikud. Soodsad variandid on juhul, kui mustade arv on üle poole ehk 601, 602 ja nii edasi kuni 1200. See tähendab 599 soodsat varianti. Seega on soodsa tulemuse tõenäosus
599 / 1200 = 0,499 .

3. Lapsel on käes 5 tähtedega kuubikut: A, K, K, L, U. Kui suur on tõenäosus, et laps kogub kuubikutest sõna "nukk"?

Lahendus: Kasutame klassikalist tõenäosuse valemit: P=m/n, kus n on kõigi võrdselt võimalike elementaartulemuste arv, m on sündmust soodustavate elementaartulemuste arv. Tähtede A, K, K, L, U erinevate permutatsioonide arv on n=5!1!2!1!1!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=60, millest vastab vaid üks sõnale "nukk" (m=1), seetõttu on tõenäosuse klassikalise definitsiooni järgi tõenäosus, et laps kogub klotsidest sõna "nukk" kokku P=1/60.

4. Mees pani juhuslikult malelauale kaks vankrit. Kui suur on tõenäosus, et nad üksteist ei löö?

Lahendus: kasutage klassikaline määratlus tõenäosused: P=m/n, kus m on sündmust soodustavate tulemuste arv ja n on kõigi võrdselt võimalike elementaartulemuste arv. Kõigi vankide paigutamise võimaluste arv on n=64⋅63=4032 (esimese vanni asetame ükskõik millisele 64 ruudust ja teise - ükskõik millisele ülejäänud 63 ruudust). Vankrite paigutamise võimaluste arv nii, et nad üksteist ei ründaks on m=64⋅(64−15)=64⋅49=3136 (esimese vanni paneme ükskõik millisele 64-st lahtrist, kriipsutage läbi need lahtrid on antud vanriga samas veerus ja reas , siis paneme teise vanni mis tahes 49-st lahtrist, mis on alles pärast läbikriipsutamist).

Siis on soovitud tõenäosus P=3136/4032=49/63=7/9=0,778.

Vastus: 7/9.

5. Õpilane tuli testile teades vaid 40 küsimust 60-st. Kui suur on tõenäosus testi läbimiseks, kui õpetaja pärast küsimusele vastamisest keeldumist küsib veel ühe?

Lahendus: tõenäosus, et õpetaja esitas õpilasele küsimuse, millele ta vastust ei teadnud (sündmus A), on P(A) = . Leiame tõenäosuse, et õpilane teab vastust õpetaja teisele küsimusele (sündmus B), eeldusel, et õpilane ei teadnud vastust esimesele küsimusele. See on tingimuslik tõenäosus, kuna sündmus A on juba toimunud. Seega PA (B) = 40/59. Soovitud tõenäosus määratakse sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemiga. P (A ja B) \u003d P (A) * P A (B) = 40/59 * 20/60 \u003d 0,23.

Seega on meie elu ilma tõenäosusteooria rakendamiseta võimatu.

Bibliograafia

1. Anasova, T.A., Tõenäosusteooria [ Elektrooniline ressurss] : loengukursus kõrghariduse bakalaureuse- ja magistriõppekava raames üliõpilastele. institutsioonid / T. A. Anasova, E. F. Sagadejeva; Külade arv Vene Föderatsiooni leibkonnad, Baškiiri Riiklik Põllumajandusülikool. - Ufa: [BashGAU], 2014. - 68 lk.
2. Gizetdinova, A. I., Aktuaarsete arvutuste rakendamine kindlustuses [Tekst] / A. I. Gizetdinova, E. F. Sagadeeva // Statistikateaduse ja statistika arengu suundumused ja väljavaated infotehnoloogiad: teaduslike artiklite kogumik, mis on pühendatud majandusstatistika ja infosüsteemide osakonna professori Rafikova NT / Baškiiri Riikliku Põllumajandusülikooli aastapäevale. - Ufa, 2013. - S. 192-194.
3. Kabašova, E.V. Matemaatiline majandusteadus. Moodul 1. Majanduse üldistatud mudelid [Elektrooniline ressurss]: õpik. toetus / E.V. Kabašova, E.F. Sagadeeva. - Ufa: Baškiiri Riiklik Põllumajandusülikool, 2013. - 68 lk.
4. Kabašova, E.V. Matemaatiline majandusteadus. Moodul 2. Majanduse globaalsed mudelid [Elektrooniline ressurss]: õpik. toetus / E.V. Kabašova, E.F. Sagadeeva. - Ufa: Baškiiri Riiklik Põllumajandusülikool, 2013. - 64 lk.
5. Arengu teaduslikud alused Põllumajandus Baškortostani Vabariik [Tekst] / K. B. Magafurov; Baškiiri Riiklik Põllumajandusülikool. - Ufa: BSAU kirjastus, 2003. - 112 lk.
6. Sagadeeva, E. F., Kuraatoritöö kogemus Baškiiri osariigis põllumajandusülikool[Tekst] / E. F. Sagadeeva // Õppe- ja metoodilise töö kvaliteedi tõstmise probleemid ülikoolis: kogemused ja uuendused: kogumik teaduslikud tööd / Vene ülikool koostöö, Baškiiri Kooperatiivinstituut (filiaal). - Ufa, 2009. - Väljaanne. 11. - S. 128-131.
7. Sagadeeva, E. F., Aktuaarsete arvutuste tegemine numbrite vahetamise abil arvuti abil [Tekst] / E. F. Sagadeeva, R. R. Bakirova // Tarbijate koostöö ja Baškortostani majandusharud: arengu uuenduslikud aspektid: teaduslike tööde kogu / Venemaa Koostööülikool, Baškiiri Kooperatiivinstituut (filiaal). - Ufa, 2008. - [10. väljaanne]. - S. 132-138.

Sissejuhatus……………………………………………………………………………..… 2

Teoreetiline osa

I peatükk. Tõenäosusteooria – mis see on?…………………………………………………………… ......................3

1. Tõenäosusteooria tekkimise ja arengu ajalugu ………………………………..…..3

   Tõenäosusteooria põhimõisted………………………………………………….…….3

   Tõenäosusteooria elus …………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………..6 Praktiline osa

II peatükk. KASUTAGE elu tõenäosusteooria kasutamise näitena……………………… 7

2.1. Vallaline Riigieksam ………………. 7

Eksperimentaalne osa………………………………………………………………………..………..9

Küsitlemine ……………………………………………………………………………….. 9

Katse…………………………………………………………………………………………………9

Järeldus……………………………………………………………………………………………… 10

Kirjandus……………………………………………………………………………………

Lisa……………………………………………………………………..………………… 12

Matemaatika kõrgeim eesmärk ... on

leida varjatud kord meid ümbritsevas kaoses.

N. Viiner

Sissejuhatus

Oleme ise korduvalt kuulnud või öelnud “see on võimalik”, “ei ole võimalik”, see kindlasti juhtub”, “see on ebatõenäoline”. Selliseid väljendeid kasutatakse tavaliselt siis, kui räägitakse sündmuse toimumise võimalusest, mis samadel tingimustel võib toimuda, aga ei pruugi toimuda.

Sihtmärk minu uurimistöö: teha kindlaks 11. klassi õpilaste eksami sooritamise tõenäosusarvates ära õige vastuse tõenäosusteooria abil.

Eesmärkide saavutamiseks seadsin end paikaülesandeid :

1) koguda, uurida ja süstematiseerida tõenäosusteooria alast materjali,Verinevate teabeallikate kasutamine;

2) lkKaaluge tõenäosusteooria kasutamist erinevaid valdkondi elu;

3) lkviia läbi uuring positiivse hinnangu saamise tõenäosuse määramiseks, kui eksami sooritamineõige vastuse äraarvamisega.

panin ettehüpotees: Tõenäosusteooria abil on võimalik suure kindlusega ennustada meie elus toimuvaid sündmusi.

Õppeobjekt - tõenäosusteooria.

Õppeaine: tõenäosusteooria praktiline rakendamine.

Uurimismeetodid : 1) analüüs, 2) süntees, 3) teabe kogumine, 4) töö trükimaterjalidega, 5) küsitlemine, 6) eksperiment.

Usun, et minu töös uuritud probleem onasjakohanemitmel põhjusel:

Juhus, juhus – me kohtume nendega iga päev.Tundub, et saate juhusliku sündmuse algust "ennata"? Lõppude lõpuks võib see juhtuda või mitte!Kuid matemaatika on leidnud viise, kuidas hinnata juhuslike sündmuste toimumise tõenäosust. Need võimaldavad inimesel tunda end juhuslike sündmustega kohtudes enesekindlalt.

Tõsine samm iga lõpetaja elus on ühtne riigieksam. Järgmisel aastal pean ka eksamid tegema. Edukas tarne – kas see on juhuse küsimus või mitte?

Peatükk 1. Tõenäosusteooria.

1. Lugu

Tõenäosusteooria juured ulatuvad kaugele sajandite sügavustesse. On teada, et aastal iidsed osariigid Hiina, India, Egiptus, Kreeka on juba kasutanud mõningaid tõenäosusliku arutluskäigu elemente rahvaloendusel ja isegi vaenlase vägede suuruse määramisel.

Arvutamisega seoses ilmusid esimesed tõenäosusteooria tööd, mis kuulusid prantsuse teadlastele B. Pascalile ja P. Fermat’le, Hollandi teadlasele X. Huygensile.erinevad tõenäosused hasartmängudes. Suurnimega seostub tõenäosusteooria eduŠveitsi matemaatik J. Bernoulli(1654-1705). Ta avastas kuulsa seaduse suured numbrid: võimaldas luua seose mis tahes juhusliku sündmuse tõenäosuse ja selle toimumise sageduse vahel, mida vaadeldi otse kogemusest. KOOSjärgmine periood tõenäosusteooria ajaloos (XVIIIV. ja alustaXIXc.) on seotud A. Moivre'i, P. Laplace'i, C. Gaussi ja S. Poissoni nimedega. Sel perioodil leiab tõenäosusteooria loodusteadustes ja -tehnoloogias mitmeid rakendusi..

Tõenäosusteooria ajaloo kolmas periood, ( teisekspoolXIXc.) seostatakse peamiselt vene matemaatikute P. L. Tšebõševi, A. M. Ljapunovi nimedega.Praegu levinuima loogilise skeemi tõenäosusteooria aluste konstrueerimiseks töötas 1933. aastal välja matemaatik A. N. Kolmogorov.

1. Definitsioon ja põhivalemid

Niisiis, kui kasulik on see teooria prognoosimisel ja kui täpne see on? Millised on selle peamised teesid? Milliseid kasulikke tähelepanekuid saab praegusest tõenäosusteooriast teha?

Tõenäosusteooria põhikontseptsioon ontõenäosus . Seda sõna kasutatakse sageli Igapäevane elu. Ma arvan, et kõik on tuttavad lausega: "Homme sajab ilmselt lund" või "tõenäoliselt sel nädalavahetusel lähen ma loodusesse."S. I. Ožegovi sõnastikus tõlgendatakse sõna tõenäosus kui "võimalust midagi teha". Ja siin on tõenäosusteooria mõiste definitsioon antud kui "matemaatika haru, mis uurib mustreid, mis põhinevad suure hulga juhuslike nähtuste koosmõjul".

Sh.A.Alimovi toimetatud 10.-11.klasside õpikus "Algebra ja analüüsi algus" on antud järgmine määratlus: ttõenäosusteooria - matemaatika haru, mis "tegeleb massinähtuste mustrite uurimisega".

Nähtuste uurimisel viime läbi eksperimente, mille käigus toimuvad erinevad sündmused, mille hulgas on: usaldusväärsed, juhuslikud, võimatud, võrdselt tõenäolised.

Sündmus U nimetatakse usaldusväärseks Ukindlasti juhtub. Näiteks on ühe täringuviskega ühe kuuest numbrist 1,2,3,4,5,6 ilmumine usaldusväärne.Sündmust nimetatakse juhuslikuks. mõne testiga seoses, kui selle testi ajal võib see toimuda või mitte. Näiteks ühe täringuheitega võib number 1 välja kukkuda või mitte välja kukkuda, s.t. sündmus on juhuslik, kuna see võib toimuda või mitte. Sündmus V nimetatakse võimatuks mõne testi suhtes, kui selle testi ajal sündmusVei juhtu. Näiteks täringut visates on võimatu saada numbrit 7.Sama tõenäolised sündmused Need on sündmused, millel on teatud tingimustel samasugune tõenäosus.

Kuidas arvutate juhusliku sündmuse tõenäosust? Lõppude lõpuks, kui see on juhuslik, siis see ei allu seadustele, algoritmidele. Selgub, et juhuslikkuse maailmas toimivad teatud seadused, mis võimaldavad arvutada tõenäosusi.

Aktsepteeritud sündmuse tõenäosusA määramatäht P (A), siis kirjutatakse tõenäosuse arvutamise valem järgmiselt:

P(A)=, kusm ≤ n(1)

Sündmuse A tõenäosus P(A). sama tõenäoliste elementaarsete tulemustega testis nimetatakse tulemuste arvu suhetmsoodsad sündmusele A, tulemuste arvulenkõik testi tulemused. Valemist (1) järeldub, et

0≤ P(A)≤ 1.

See määratlus helistasklassikaline tõenäosuse määratlus . Seda kasutatakse juhul, kui teoreetiliselt on võimalik tuvastada katse kõik võrdselt võimalikud tulemused ja määrata uuritava testi jaoks soodsad tulemused. Praktikas on aga sageli katsed, mille võimalike tulemuste hulk on väga suur. Näiteks ilma korduvat nuppu viskamata on raske kindlaks teha, kas see on võrdselt võimalik “lennukile” või “punktile” kukkuda. Seetõttu kasutatakse ka tõenäosuse statistilist määratlust.Statistiline tõenäosus nimeta number, mille ümber sündmuse suhteline sagedus kõigub (W ( A ) on testide arvu M suhe, milles see sündmus toimus, kõigi tehtud testide arvuN) kell suured numbrid testid.

Tutvusin ka Bernoulli valemigaon valem sees , mis võimaldab sõltumatutes katsetes leida sündmuse A toimumise tõenäosust. Nimetatud ühe silmapaistva Šveitsi matemaatiku järgi , kes tuli välja valemiga:

P(m)=

Et teada saada, millised on sündmuse A esinemise võimalused antud olukorras, on vaja:

leida selle olukorra tagajärgede koguarv;

leida võimalike tulemuste arv, mille korral sündmus A toimub;

leida, milline osa võimalikest tulemustest tulemuste koguarvust.

1. 1. Tõenäosusteooria elus.

Tõenäosusteooria väljatöötamisel mängisid väga suurt rolli hasartmängudega, eelkõige täringutega seotud probleemid.

Täringumängud

Mängu vahendiks on kuubikud (luud) koguses ühest viieni, olenevalt mängu tüübist. Mängu sisuks on täringut veeretada ja seejärel punkte lugeda, mille arv määrab võitja. Täringu põhiprintsiip on see, et iga mängija viskab kordamööda teatud arvu täringuid (ühest viieni), mille järel saadakse viske tulemus (langenud punktide summa; mõnes versioonis iga täringu punktid eraldi). kasutatakse võitja või kaotaja väljaselgitamiseks.

Loterii

Loterii – organiseeritud mäng, milles kasu ja kahju jaotus sõltub ühe või teise pileti või numbri (lot, lot) juhuslikust väljavõtmisest.

Kaardimängud

Kaardimäng on mäng, milles kasutatakse mängukaarte, mida iseloomustab juhuslik algseisund, et määrata, millist komplekti (pakki) kasutatakse.

Peaaegu kõigi kaardimängude oluline põhimõte on kaardipakis olevate kaartide järjestuse juhuslikkus.

Mänguautomaadid

Teatavasti sõltub mänguautomaatides rullide pöörlemiskiirus mikroprotsessori tööst, mida ei saa mõjutada. Kuid võite arvutada mänguautomaadi võidu tõenäosuse, olenevalt sellel olevate sümbolite arvust, rullide arvust ja muudest tingimustest. Tõenäoliselt ei aita see teadmine aga võita. Meie ajal on juhuseteadus väga oluline. Seda kasutatakse aretuses väärtuslike taimesortide aretamisel, tööstustoodete vastuvõtmisel, vagunite mahalaadimise ajakava arvutamisel jne.

II peatükk. Ühtne riigieksam kui näide elu tõenäosusteooria kasutamisest

2.1. Ühtne riigieksam

Õpin 10. klassis ja järgmisel aastal tuleb eksamid teha.

Hooletute õpilaste seas tekkis küsimus: "Kas on võimalik valida juhuslikult vastus ja saada samal ajal eksamile positiivne hinne?" Viisin õpilaste seas läbi küsitluse: kas on võimalik praktiliselt ära arvata 7 ülesannet, s.o. sooritada matemaatika eksam ilma ettevalmistuseta. Tulemused on järgmised: 50% õpilastest usub, et suudavad ülaltoodud viisil eksami sooritada.

Otsustasin kontrollida, kas need on õiged? Sellele küsimusele saab vastata tõenäosusteooria elementide abil. Tahan seda testida eksamite sooritamiseks vajalike ainete näitel: matemaatika ja vene keel ning 11. klassi eelistatumate ainete näitel. 2016. aasta andmetel valis 75% MBOU "Kružilinskaja keskkooli" lõpetajatest ühiskonnaõpetuse.

A) vene keel. Selles aines on testis 24 ülesannet, millest 19 ülesannet on vastuste valikuga pakutud hulgast. 2016. aasta eksami lävendi ületamiseks piisab 16 ülesande korrektsest täitmisest. Igal ülesandel on mitu vastust, millest üks on õige. Bernoulli valemi abil saate määrata eksami positiivse hinde saamise tõenäosuse:

Bernoulli skeem kirjeldab juhusliku tulemusega katseid, mis on järgmised. Tehakse n järjestikust sõltumatut identset katset, millest igaühes tuuakse välja sama sündmus A, mis võib katse ajal toimuda, aga ei pruugi. Kuna katsed on samad, siis ükskõik millises neist toimub sündmus A sama tõenäosusega. Tähistame seda p = P(A). Tähistage lisasündmuse tõenäosust q-ga. Siis q = P(Ā) = 1-p

Olgu sündmus A õigesti valitud vastuseks esimese osa ühes ülesandes pakutud nelja hulgast. Sündmuse A tõenäosust defineeritakse kui seda sündmust soodustavate juhtumite arvu (st õigesti äraarvatud vastus ja selliseid juhtumeid on 1) suhet kõigi juhtumite arvusse (sellisi juhtumeid on 4). Siisp=P(A)= ja q=P(Ā)=1-p=.

119759850

0,00163*100%0,163%

Seega on eduka tulemuse tõenäosus ligikaudu 0,163%!

Demo näitel KASUTAMINE test 2016. aastal kutsusin 11. klassi õpilasi vastuseid nuputamise teel valima. Ja siin on see, mida ma sain. Klassi keskmine punktisumma oli 7. Kõrgeima punktisumma - 15 - saavutas Sofin Yana, madalaima - Danil Zykov (3 punkti). 1 õpilane kogus 16 punkti, mis on 12,5%.(Lisa I)

Sotsioloogia

Demo esimene osa eksami versioon 2016. aasta ühiskonnaõpetuses sisaldab 20 vastustevalikuga ülesannet, millest ainult üks on õige. Määrame positiivse hinnangu saamise tõenäosuse. Rosobrnadzor on seadnud miinimumi esmane skoorühiskonnaõpetuses - 19.

Positiivse hinnangu saamise tõenäosus:

15504

0,000003*100%=0,0003%

Seega on eduka tulemuse tõenäosus ligikaudu 0,0003%!

Palusin 11. klassi õpilastel ühiskonnaõpetuse vastuseid ära arvata. Keskmine punktisumma oli 4,2 punkti. Enamik kõrgeim punktisumma-7, madalaim - 1. Seega ei suutnud ükski õpilane koguda ühiskonnaõpetuses vajalikku arvu punkte. (I lisa)

Matemaatika

2016. aastal sisaldab KIM USE MATEMAATIKAS näidisversioon 20 ülesannet. Eksami edukaks sooritamiseks oli vaja lahendada vähemalt 7 ülesannet. Rakendame Bernoulli valemit.

(8)=* *; ==9; (8)=9**=0,000102996;

0,0001*100%=0,01%

Järeldus: positiivse hinnangu saamise tõenäosus on 0,01%.

Minu klassikaaslaste seas läbi viidud katse näitas, et kõige rohkem vasteid on 3, GPA oli 1,7 punkti.

eksperimentaalne osa

Küsimustik

Küsitlus viidi läbi 9.-11.klassi õpilaste seas. Neil paluti vastata järgmine küsimus:

1. Kas on võimalik sooritada eksameid ilma ettevalmistuseta, aimates ülesannetes vastust?

Küsitluse tulemused kajastuvad diagrammidel. (II lisa)

Katse

1. 11. klassi õpilaste seas viidi USE-2016 kontroll- ja mõõtmismaterjalide näidisversiooni näitel läbi katse vastuse äraarvamisega vene keeles ja ühiskonnaõpetuses. Tulemused on näidatud tabelis 1 (I lisa).

2. Ta soovitas oma klassi- ja klassikaaslastel vastus ära arvata demo versioon 2016. aasta matemaatikas on tulemused samuti I lisas.

Katse tulemusel ja Bernoulli valemi rakendamisel tõestasin, et vastuse äraarvamisega on võimatu eksameid sooritada. Ainult süstemaatiline, läbimõeldud ja kohusetundlik õppimine koolis võimaldab lõpetajal olla ühtsel riigieksamil osalemiseks hästi ette valmistatud ning lahendada ülikoolis kõrgemale haridustasemele üleminekul ülioluline probleem.

Järeldus

Oma töö tulemusena olen saavutanud järgmised eesmärgid:

Esiteks , mõistis, et tõenäosusteooria on matemaatikateaduse tohutu haru ja seda on võimatu ühe hooga uurida;

Teiseks , pärast paljude elust pärit faktide sorteerimist ja katsete läbiviimist mõistsin, et tõenäosusteooria abil on tõesti võimalik ennustada erinevates eluvaldkondades toimuvaid sündmusi.;

Kolmandaks , olles uurinud matemaatika ühtse riigieksami 11. klassi õpilaste eduka sooritamise tõenäosust,jõudis järeldusele, mida tvaid süsteemne, läbimõeldud ja kohusetundlik õpe koolis võimaldab lõpetajal olla eksamil osalemiseks hästi ette valmistatud. Seega sai minu püstitatud hüpotees kinnitust, tõenäosusteooria abil tõestasin, et eksamiteks tuleb valmistuda, mitte loota juhusele.

Minu töö näitel võib teha üldisemad järeldused: hoidke eemale igasugustest loteriidest, kasiinodest, kaartidest, üldiselt hasartmängudest. Alati tuleb mõelda, hinnata riskiastet, valida parim võimalik variant – ma arvan, et see tuleb mulle hilisemas elus kasuks.

Kirjandus

1. Alimov Sh.A. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus 10-11 klassid: õpik õppeasutustele: algtase. M.: Haridus, 2010.

2. Brodski Ya.S. "Statistika. Tõenäosus. Kombinatoorika"-Moskva: Oonüks; Rahu ja haridus,2008

3. Bunimovitš E.A., Suvorova S.B. Teema "Statistiline uurimustöö" juhend//Matemaatika koolis.-2003.-№3.

4. Gusev V.A. Klassiväline töö matemaatikas 6.-8.-M. klassis: Haridus, 1984.a.

Lüütikas V.S. Matemaatika valikkursus: Tõenäosusteooria.-M.: Haridus 1990. a.

Makarychev Yu.N. Algebra: statistika ja tõenäosusteooria elemendid: õpik. toetus 7.-9.klassi õpilastele. Üldharidus asutused-M.: Haridus, 2007.

Ožegov S.I. Vene keele sõnaraamat: .M.: Rus.yaz., 1989.

Fedosejev VN Tõenäosusteooria elemendid keskkooli VII-IX klassile.//Matemaatika koolis.-2002.-№4,5.

Mis on juhtunud. Kes on: 3 köites T. 1 - 4th ed. muudetud ja täiendav - M .: Pedagoogika-Press, 1997.

Vahendid: