A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása.
Bármilyen bonyolultságú trigonometrikus egyenletek megoldása végső soron a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához vezet. És ebben ismét a trigonometrikus kör bizonyul a legjobb segítőnek.
Emlékezzünk vissza a koszinusz és a szinusz definíciójára.
A szög koszinusza az egységkör egy pontjának abszcisszája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szöggel való elforgatásnak felel meg.
A szög szinusza az egységkör egy pontjának ordinátája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szöggel való elforgatásnak felel meg.
A mozgás pozitív iránya trigonometrikus kör az óramutató járásával ellentétes mozgást veszik figyelembe. A 0 fokos (vagy 0 radiános) elforgatás egy (1; 0) koordinátájú pontnak felel meg.
Ezeket a definíciókat használjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására.
1. Oldja meg az egyenletet!
Ezt az egyenletet kielégíti a forgásszög minden olyan értéke, amely megfelel annak a körnek a pontjainak, amelynek ordinátája egyenlő .
Jelöljünk egy pontot ordinátával az y tengelyen:
Rajzoljon egy vízszintes vonalat párhuzamosan az x tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk egy körön fekve és ordinátával. Ezek a pontok a és a radián elforgatási szögeinek felelnek meg:
Ha a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő pontot elhagyva egy teljes kört megkerülünk, akkor a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő és azonos ordinátájú ponthoz jutunk. Vagyis ez a forgásszög is kielégíti az egyenletünket. Tetszőleges számú "üresjárati" fordulatot tehetünk, visszatérve ugyanabba a pontba, és ezek a szögértékek kielégítik az egyenletünket. Az „üresjárati” fordulatok számát a (vagy) betű jelöli. Mivel ezeket a fordulatokat pozitív és negatív irányba is megtehetjük, (vagy ) bármilyen egész értéket felvehet.
Vagyis az eredeti egyenlet megoldásainak első sorozatának alakja:
, , - egész számok halmaza (1)
Hasonlóképpen, a megoldások második sorozatának formája a következő:
, Ahol , . (2)
Ahogy sejtette, ez a megoldássorozat a kör forgásszögének megfelelő pontján alapul.
Ez a két megoldássorozat egy bejegyzésben kombinálható:
Ha ezt a bejegyzést bevesszük (vagyis párost), akkor megkapjuk az első megoldási sorozatot.
Ha ezt a bejegyzést (azaz páratlant) vesszük, akkor a második megoldássort kapjuk.
2. Most oldjuk meg az egyenletet
Mivel a szög átfordításával kapott egységkör pontjának abszcisszája, jelölünk a tengelyen egy pontot az abszcisszával:
Rajzolj egy függőleges vonalat párhuzamosan a tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk egy körön fekve és egy abszcisszával. Ezek a pontok a és a radián elforgatási szögeinek felelnek meg. Emlékezzünk vissza, hogy az óramutató járásával megegyező irányba mozgatva negatív forgásszöget kapunk:
Két megoldássort írunk le:
,
,
(A fő teljes körből áthaladva jutunk el a megfelelő ponthoz, azaz.
Foglaljuk össze ezt a két sorozatot egy bejegyzésben:
3. Oldja meg az egyenletet!
Az érintők vonala átmegy az egységkör OY tengellyel párhuzamos koordinátáinak (1,0) pontján
Jelölj rajta egy pontot, amelynek ordinátája egyenlő 1-gyel (azt keressük, amelyik szögeinek érintője 1):
Kösse össze ezt a pontot az origóval egy egyenessel, és jelölje meg az egyenes metszéspontjait az egységkörrel. Az egyenes és a kör metszéspontjai megfelelnek a és a forgási szögeknek:
Mivel az egyenletünket kielégítő elforgatási szögeknek megfelelő pontok radiánnyira helyezkednek el egymástól, a megoldást a következőképpen írhatjuk fel:
4. Oldja meg az egyenletet!
A kotangensek vonala átmegy azon a ponton, ahol az egységkör koordinátái a tengellyel párhuzamosak.
A kotangensek vonalán egy pontot jelölünk az abszcisszával -1:
Csatlakoztassa ezt a pontot az egyenes origójához, és folytassa addig, amíg nem metszi a kört. Ez az egyenes metszi a kört azokban a pontokban, amelyek megfelelnek az elforgatási szögeknek és a radiánoknak:
Mivel ezeket a pontokat egymástól egyenlő távolság választja el, így ennek az egyenletnek az általános megoldását a következőképpen írhatjuk fel:
A megadott példákban a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását szemléltetve trigonometrikus függvények táblázatos értékeit használtuk.
Ha azonban az egyenlet jobb oldalán van egy nem táblázatos érték, akkor az egyenlet általános megoldásában az értéket helyettesítjük:
KÜLÖNLEGES MEGOLDÁSOK:
Jelölje meg a kör azon pontjait, amelyek ordinátája 0:
Jelölj egy pontot a körön, amelynek ordinátája egyenlő 1-gyel:
Jelölj egy pontot a körön, amelynek ordinátája egyenlő -1-gyel:
Mivel a nullához legközelebb eső értékeket szokás feltüntetni, a megoldást a következőképpen írjuk:
Jelölje be a pontokat a körön, amelynek abszcissza 0:
5.
Jelöljünk a körön egyetlen pontot, amelynek az abszcisszája egyenlő 1-gyel:
Jelölj egy pontot a körön, amelynek abszcisszán egyenlő -1:
És néhány bonyolultabb példa:
1.
A szinusz egy, ha az argumentum az
A szinuszunk argumentuma , így kapjuk:
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 3-mal:
Válasz:
2.
A koszinusz nulla, ha a koszinusz argumentum az
A koszinuszunk argumentuma , így kapjuk:
Kifejezzük, ehhez először jobbra haladunk ellenkező előjellel:
Egyszerűsítse a jobb oldalt:
Mindkét részt el kell osztani -2-vel:
Figyeljük meg, hogy a tag előtti előjel nem változik, mivel k tetszőleges egész értéket vehet fel.
Válasz:
Végezetül nézze meg a "Gyökerek kiválasztása trigonometrikus egyenletben trigonometrikus kör segítségével" című videót.
Ezzel véget is ért a beszélgetés a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásáról. Legközelebb a megoldásról beszélünk.
Megköveteli a trigonometria alapvető képleteinek ismeretét - a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összegét, a szinuszon és koszinuszon keresztüli érintő kifejezését és mások. Azok számára, akik elfelejtették vagy nem ismerik őket, javasoljuk, hogy olvassák el a "" cikket.
Tehát a fő trigonometrikus képletek tudjuk, hogy itt az ideje a gyakorlatba ültetni őket. Trigonometrikus egyenletek megoldása nál nél helyes megközelítés- elég izgalmas tevékenység, mint például a Rubik-kocka megfejtése.
Maga a név alapján egyértelmű, hogy a trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen egy trigonometrikus függvény előjele alatt áll.
Léteznek úgynevezett egyszerű trigonometrikus egyenletek. Így néznek ki: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Fontolgat, hogyan kell megoldani az ilyen trigonometrikus egyenleteket, az áttekinthetőség kedvéért a már megszokott trigonometrikus kört fogjuk használni.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
kiságy x = a
Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésben történik: az egyenletet a legegyszerűbb formába hozzuk, majd a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletként oldjuk meg.
7 fő módszer létezik a trigonometrikus egyenletek megoldására.
Változóhelyettesítés és helyettesítési módszer
Trigonometrikus egyenletek megoldása faktorizálással
Redukálás homogén egyenletre
Egyenletek megoldása a félszögre való átmeneten keresztül
Segédszög bevezetése
Oldja meg a 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 egyenletet
A redukciós képleteket használva a következőket kapjuk:
2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0
Az egyszerűség kedvéért cseréljük le a cos(x + /6)-t y-ra, és kapjuk a szokásos másodfokú egyenletet:
2 év 2 – 3 év + 1 + 0
Ennek a gyökei y 1 = 1, y 2 = 1/2
Most menjünk visszafelé
Az y talált értékeit behelyettesítjük, és két választ kapunk:
Hogyan oldjuk meg a sin x + cos x = 1 egyenletet?
Mozgassunk mindent balra, hogy a 0 a jobb oldalon maradjon:
sin x + cos x - 1 = 0
A fenti azonosságokat használjuk az egyenlet egyszerűsítésére:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Végezzük el a faktorizálást:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Két egyenletet kapunk
Egy egyenlet akkor homogén a szinusz és a koszinusz tekintetében, ha a szinuszra és koszinuszra vonatkozó összes tagja azonos szögű. Egy homogén egyenlet megoldásához járjon el a következőképpen:
a) helyezze át az összes tagját a bal oldalra;
b) tegyen zárójelbe minden gyakori tényezőt;
c) minden tényezőt és zárójelet 0-val egyenlővé kell tenni;
d) zárójelben kapott homogén egyenlet kisebb mértékben viszont szinuszra vagy magasabb fokon koszinuszra oszlik;
e) oldja meg a kapott egyenletet tg-re!
Oldja meg a 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 egyenletet
Használjuk képlet bűn 2 x + cos 2 x = 1, és szabadulj meg a jobb oldali nyitott kettőtől:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Oszd el cosx-szel:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
A tg x-et y-ra cseréljük, és egy másodfokú egyenletet kapunk:
y 2 + 4y +3 = 0, melynek gyökerei y 1 =1, y 2 = 3
Innen két megoldást találunk az eredeti egyenletre:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Oldja meg a 3sin x - 5cos x = 7 egyenletet
Térjünk át az x/2-re:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Mindent balra tolva:
2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Oszd meg cos(x/2)-vel:
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Megfontolásra vegyünk egy egyenletet a következő alakú: a sin x + b cos x \u003d c,
ahol a, b, c néhány tetszőleges együttható és x egy ismeretlen.
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát:
Most az egyenlet együtthatói a trigonometrikus képletek szerint a sin és a cos tulajdonságaival rendelkeznek, nevezetesen: modulusuk nem nagyobb, mint 1, és a négyzetösszeg = 1. Jelöljük őket cos-nak és sin-nek, ahol az úgynevezett segédszög. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
vagy sin(x + ) = C
Ennek az egyszerű trigonometrikus egyenletnek a megoldása az
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, ahol
Meg kell jegyezni, hogy a cos és a sin megjelölések felcserélhetők.
Oldja meg a sin 3x - cos 3x = 1 egyenletet
Ebben az egyenletben az együtthatók a következők:
a \u003d, b \u003d -1, ezért mindkét részt elosztjuk \u003d 2-vel
Sok megoldásánál matematikai feladatok , különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen feladatok közé tartozik például a lineáris ill másodfokú egyenletek, lineáris és négyzetes egyenlőtlenségek, törtegyenletek és másodfokú egyenletekre redukáló egyenletek. Az egyes említett feladatok sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy a megoldandó probléma milyen típushoz tartozik, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményhez vezet, pl. válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.
Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás valamennyi szakaszának sorrendjét. Természetesen ebben az esetben azonos átalakítások és számítások elvégzéséhez szükséges készségekre van szükség.
Más helyzet fordul elő trigonometrikus egyenletek. Nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.
Által kinézet egyenletek néha nehéz meghatározni a típusát. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.
A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:
1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";
2. hozza az egyenletet "ugyanolyan függvényekre";
3. faktorizálja az egyenlet bal oldalát stb.
Fontolgat trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.
I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre
Megoldási séma
1. lépés. Expressz trigonometrikus függvény ismert komponenseken keresztül.
2. lépés Keresse meg a függvény argumentumát képletekkel:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. lépés Keressen egy ismeretlen változót.
Példa.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Megoldás.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Változó helyettesítés
Megoldási séma
1. lépés. Hozd az egyenletet egy algebrai alakba az egyik trigonometrikus függvényhez képest.
2. lépés Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).
3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!
4. lépés Végezzen fordított cserét.
5. lépés Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!
Példa.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Megoldás.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vagy e = -3/2 nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Egyenletsorredukciós módszer
Megoldási séma
1. lépés. Cserélje le ezt az egyenletet egy lineárisra a teljesítménycsökkentési képletekkel:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!
Példa.
cos2x + cos2x = 5/4.
Megoldás.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogén egyenletek
Megoldási séma
1. lépés. Hozd ezt az egyenletet a formába
a) a sin x + b cos x = 0 (elsőfokú homogén egyenlet)
vagy a kilátáshoz
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).
2. lépés Oszd el az egyenlet mindkét oldalát
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
és kapjuk meg a tg x egyenletet:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Megoldás.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Legyen tg x = t, akkor
t2 + 3t-4 = 0;
t = 1 vagy t = -4, tehát
tg x = 1 vagy tg x = -4.
Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel
Megoldási séma
1. lépés. Mindenféle trigonometrikus képlet segítségével hozza ezt az egyenletet egy I., II., III., IV. módszerrel megoldható egyenletté.
2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Megoldás.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;
Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.
Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ennek eredményeként x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Válasz: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon 
Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel mind a tanuló, mind a tanár részéről.
A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik, ezek megoldásának folyamata mintegy magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során elsajátított ismeretek és készségek nagy részét.
Trigonometrikus egyenletek fontos helyet foglalnak el a matematikatanítás és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.
Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Sok megoldásánál matematikai feladatok, különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen problémák például a lineáris és másodfokú egyenletek, a lineáris és másodfokú egyenlőtlenségek, a törtegyenletek és a másodfokúvá redukáló egyenletek. Az egyes említett feladatok sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy a megoldandó probléma milyen típushoz tartozik, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményhez vezet, pl. válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.
Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás valamennyi szakaszának sorrendjét. Természetesen ebben az esetben azonos átalakítások és számítások elvégzéséhez szükséges készségekre van szükség.
Más helyzet fordul elő trigonometrikus egyenletek. Nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.
Néha nehéz meghatározni a típusát egy egyenlet megjelenése alapján. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.
A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:
1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";
2. hozza az egyenletet "ugyanolyan függvényekre";
3. faktorizálja az egyenlet bal oldalát stb.
Fontolgat trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.
I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre
Megoldási séma
1. lépés. Fejezd ki a trigonometrikus függvényt ismert komponensekkel!
2. lépés Keresse meg a függvény argumentumát képletekkel:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. lépés Keressen egy ismeretlen változót.
Példa.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Megoldás.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Változó helyettesítés
Megoldási séma
1. lépés. Hozd az egyenletet egy algebrai alakba az egyik trigonometrikus függvényhez képest.
2. lépés Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).
3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!
4. lépés Végezzen fordított cserét.
5. lépés Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!
Példa.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Megoldás.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vagy e = -3/2 nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Egyenletsorredukciós módszer
Megoldási séma
1. lépés. Cserélje le ezt az egyenletet egy lineárisra a teljesítménycsökkentési képletekkel:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!
Példa.
cos2x + cos2x = 5/4.
Megoldás.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogén egyenletek
Megoldási séma
1. lépés. Hozd ezt az egyenletet a formába
a) a sin x + b cos x = 0 (elsőfokú homogén egyenlet)
vagy a kilátáshoz
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).
2. lépés Oszd el az egyenlet mindkét oldalát
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
és kapjuk meg a tg x egyenletet:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Megoldás.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Legyen tg x = t, akkor
t2 + 3t-4 = 0;
t = 1 vagy t = -4, tehát
tg x = 1 vagy tg x = -4.
Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel
Megoldási séma
1. lépés. Mindenféle trigonometrikus képlet segítségével hozza ezt az egyenletet egy I., II., III., IV. módszerrel megoldható egyenletté.
2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Megoldás.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;
Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.
Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ennek eredményeként x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Válasz: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel mind a tanuló, mind a tanár részéről.
A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik, ezek megoldásának folyamata mintegy magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során elsajátított ismeretek és készségek nagy részét.
A trigonometrikus egyenletek fontos helyet foglalnak el a matematika és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.
Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A "Get an A" videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amely a sikeres sikerhez szükséges a vizsga letétele matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden feladat 1-13 profilvizsga matematika. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors módok a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, fejlesztés térbeli képzelet. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a megoldáshoz kihívást jelentő feladatokat 2 vizsgarész.
