Քառակուսի հավասարումները ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանում, ուստի այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա: Դրանք լուծելու կարողությունը էական է:

Քառակուսային հավասարումը ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a , b և c գործակիցները կամայական թվեր են, իսկ a ≠ 0:

Նախքան լուծման կոնկրետ մեթոդները ուսումնասիրելը, մենք նշում ենք, որ բոլոր քառակուսի հավասարումները կարելի է բաժանել երեք դասի.

1. Արմատներ չունենալ;
2. Նրանք ունեն ուղիղ մեկ արմատ;
3. Նրանք ունեն երկու տարբեր արմատներ:

Սա կարևոր տարբերություն է քառակուսի և գծային հավասարումների միջև, որտեղ արմատը միշտ գոյություն ունի և եզակի է: Ինչպե՞ս որոշել, թե քանի արմատ ունի հավասարումը: Դրա համար մի հրաշալի բան կա. խտրական.

Խտրական

Թող տրվի քառակուսային հավասարում ax 2 + bx + c = 0: Այնուհետև տարբերակիչը պարզապես D = b 2 − 4ac թիվն է:

Այս բանաձեւը պետք է անգիր իմանալ։ Թե որտեղից է այն գալիս, այժմ կարևոր չէ։ Կարևոր է ևս մեկ բան. տարբերակիչի նշանով կարելի է որոշել, թե քանի արմատ ունի քառակուսի հավասարումը։ Այսինքն:

1. Եթե ​​Դ< 0, корней нет;
2. Եթե ​​D = 0, կա ուղիղ մեկ արմատ;
3. Եթե ​​D > 0, կլինի երկու արմատ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դիսկրիմինատորը ցույց է տալիս արմատների քանակը, և ոչ բոլորովին նրանց նշանները, ինչպես չգիտես ինչու կարծում են շատերը: Նայեք օրինակներին և ինքներդ ամեն ինչ կհասկանաք.

Առաջադրանք. Քանի՞ արմատ ունեն քառակուսի հավասարումները.

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0:

Մենք գրում ենք առաջին հավասարման գործակիցները և գտնում ենք դիսկրիմինատորը.
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Այսպիսով, դիսկրիմինանտը դրական է, ուստի հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ: Մենք վերլուծում ենք երկրորդ հավասարումը նույն կերպ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131:

Խտրականը բացասական է, արմատներ չկան։ Վերջին հավասարումը մնում է.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0։

Տարբերիչը հավասար է զրոյի - արմատը կլինի մեկ:

Նշենք, որ յուրաքանչյուր հավասարման համար դուրս են գրվել գործակիցներ: Այո, երկար է, այո, դա հոգնեցուցիչ է, բայց դուք չեք խառնի հավանականությունները և մի թույլ չտաք հիմար սխալներ: Ընտրեք ինքներդ՝ արագություն կամ որակ:

Ի դեպ, եթե «ձեռքդ լցնես», որոշ ժամանակ անց այլևս կարիք չի լինի դուրս գրել բոլոր գործակիցները։ Ձեր գլխում նման վիրահատություններ կանեք։ Մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է դա անել ինչ-որ տեղ 50-70 լուծված հավասարումներից հետո, ընդհանուր առմամբ, ոչ այնքան:

Քառակուսային հավասարման արմատները

Հիմա անցնենք լուծմանը։ Եթե ​​տարբերակիչ D > 0, արմատները կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Քառակուսային հավասարման արմատների հիմնական բանաձևը

Երբ D = 0, կարող եք օգտագործել այս բանաձևերից որևէ մեկը, դուք ստանում եք նույն թիվը, որը կլինի պատասխանը: Ի վերջո, եթե Դ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0:

Առաջին հավասարումը.
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16։

D > 0 ⇒ հավասարումն ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք.

Երկրորդ հավասարումը.
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64։

D > 0 ⇒ հավասարումը կրկին ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ձախ (-1 \աջ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \աջ))=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ի վերջո, երրորդ հավասարումը.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0:

D = 0 ⇒ հավասարումն ունի մեկ արմատ: Ցանկացած բանաձև կարող է օգտագործվել. Օրինակ՝ առաջինը.

Ինչպես տեսնում եք օրինակներից, ամեն ինչ շատ պարզ է: Եթե ​​իմանաք բանաձևերը և կարողանաք հաշվել, խնդիրներ չեն լինի։ Ամենից հաճախ սխալները տեղի են ունենում, երբ բացասական գործակիցները փոխարինվում են բանաձևով: Այստեղ, կրկին, կօգնի վերը նկարագրված տեխնիկան. բառացիորեն նայեք բանաձևին, նկարեք յուրաքանչյուր քայլը և շատ շուտով ազատվեք սխալներից:

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Պատահում է, որ քառակուսի հավասարումը որոշ չափով տարբերվում է սահմանման մեջ տրվածից։ Օրինակ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0:

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումների մեջ բացակայում է տերմիններից մեկը: Նման քառակուսի հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել, քան ստանդարտները. նրանք նույնիսկ կարիք չունեն հաշվարկելու դիսկրիմինանտը: Այսպիսով, եկեք ներկայացնենք նոր հայեցակարգ.

ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում, եթե b = 0 կամ c = 0, այսինքն. x փոփոխականի կամ ազատ տարրի գործակիցը հավասար է զրոյի։

Իհարկե, հնարավոր է շատ դժվար դեպք, երբ այս երկու գործակիցներն էլ հավասար են զրոյի. արմատը՝ x \u003d 0.

Դիտարկենք այլ դեպքեր։ Թող b \u003d 0, ապա մենք ստանում ենք ax 2 + c \u003d 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարում: Եկեք մի փոքր փոխակերպենք այն.

Քանի որ թվաբանական քառակուսի արմատը գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից, վերջին հավասարությունն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ (−c / a ) ≥ 0: Եզրակացություն.

1. Եթե ​​ax 2 + c = 0 ձևի անավարտ քառակուսային հավասարումը բավարարում է (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը, կլինի երկու արմատ։ Բանաձևը տրված է վերևում.
2. Եթե ​​(−c/a)< 0, корней нет.

Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինատորը չի պահանջվել. ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարումների մեջ ընդհանրապես բարդ հաշվարկներ չկան: Իրականում նույնիսկ անհրաժեշտ չէ հիշել (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը։ Բավական է արտահայտել x 2-ի արժեքը և տեսնել, թե ինչ կա հավասարության նշանի մյուս կողմում։ Եթե ​​կա դրական թիվ, կլինի երկու արմատ: Եթե ​​բացասական լինի, արմատներ ընդհանրապես չեն լինի։

Այժմ անդրադառնանք ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումների, որոնցում ազատ տարրը հավասար է զրոյի։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ միշտ կլինի երկու արմատ։ Բավական է ֆակտորիզացնել բազմանդամը.

Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Այստեղից են գալիս արմատները: Եզրափակելով, մենք կվերլուծենք այս հավասարումներից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Լուծեք քառակուսի հավասարումներ.

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0:

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7։

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6: Չկան արմատներ, քանի որ քառակուսին չի կարող հավասար լինել բացասական թվի։

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Հավասարությունների հայեցակարգը, մասնավորապես դրանց տեսակներից մեկը՝ թվային հավասարումներ, ուսումնասիրելուց հետո կարող ենք անցնել մյուսին. կարևոր տեսակետ- հավասարումներ. Այս նյութի շրջանակներում մենք կբացատրենք, թե ինչ է հավասարումը և դրա արմատը, կձևակերպենք հիմնական սահմանումները և կտանք. տարբեր օրինակներհավասարումներ և գտնել դրանց արմատները:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հավասարման հայեցակարգը

Սովորաբար հավասարման հասկացությունն ուսումնասիրվում է հենց սկզբում։ դպրոցական դասընթացհանրահաշիվ։ Այնուհետև այն սահմանվում է այսպես.

Սահմանում 1

Հավասարումկոչվում է հավասարություն՝ գտնելու անհայտ թվով:

Ընդունված է անհայտները նշել փոքր լատինատառ տառերով, օրինակ՝ t, r, m և այլն, բայց ամենից հաճախ օգտագործվում են x, y, z։ Այսինքն՝ հավասարումը որոշում է դրա գրանցման ձևը, այսինքն՝ հավասարությունը կլինի հավասարում միայն այն դեպքում, երբ այն հասցվի որոշակի ձևի՝ այն պետք է պարունակի տառ, որի արժեքը պետք է գտնել։

Բերենք ամենապարզ հավասարումների մի քանի օրինակ։ Դրանք կարող են լինել x = 5, y = 6 և այլն ձևի հավասարումներ, ինչպես նաև թվաբանական գործողություններ ներառող, օրինակ՝ x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x։ =3.

Փակագծեր հասկացությունն ուսումնասիրելուց հետո հայտնվում է փակագծերով հավասարումների հասկացությունը։ Դրանք ներառում են 7 (x - 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) = 3 և այլն: Գտնվող տառը կարող է հայտնվել մեկից ավելի անգամ, բայց մի քանիսը, ինչպես, օրինակ, հավասարումը x + 2 + 4 x - 2 - x = 10: Նաև անհայտները կարող են տեղակայվել ոչ միայն ձախ, այլև աջ կողմում, կամ միաժամանակ երկու մասում, օրինակ՝ x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 կամ 8 x - 9 = 2 (x + 17):

Այնուհետև ուսանողները ծանոթանալուց հետո ամբողջական, իրական, ռացիոնալ հասկացությանը. բնական թվեր, ինչպես նաև լոգարիթմները, արմատները և հզորությունները, հայտնվում են նոր հավասարումներ, որոնք ներառում են այս բոլոր օբյեկտները: Նման արտահայտությունների օրինակներին մենք առանձին հոդված ենք նվիրել։

7-րդ դասարանի ծրագրում սկզբում հայտնվում է փոփոխական հասկացությունը։ Սրանք տառեր են, որոնք կարող են ընդունել տարբեր արժեքներ (ավելի մանրամասն տե՛ս հոդվածը թվային, բառացի և փոփոխականներով արտահայտությունների մասին): Այս հայեցակարգի հիման վրա մենք կարող ենք վերասահմանել հավասարումը.

Սահմանում 2

Հավասարումըհավասարություն է, որը ներառում է փոփոխական, որի արժեքը պետք է հաշվարկվի:

Այսինքն, օրինակ, x + 3 \u003d 6 x + 7 արտահայտությունը հավասարում է x փոփոխականով, իսկ 3 y − 1 + y \u003d 0 հավասարում է y փոփոխականով:

Մեկ հավասարման մեջ կարող է լինել ոչ թե մեկ փոփոխական, այլ երկու կամ ավելի: Դրանք կոչվում են, համապատասխանաբար, հավասարումներ երկու, երեք փոփոխականներով և այլն: Գրենք սահմանումը.

Սահմանում 3

Երկու (երեք, չորս կամ ավելի) փոփոխականներով հավասարումները կոչվում են հավասարումներ, որոնք ներառում են համապատասխան թվով անհայտներ։

Օրինակ, 3, 7 x + 0, 6 = 1 ձևի հավասարությունը հավասարություն է x մեկ փոփոխականով, իսկ x − z = 5 հավասարում է x և z երկու փոփոխականներով: Երեք փոփոխականներով հավասարման օրինակ կլինի x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26:

Հավասարման արմատը

Երբ մենք խոսում ենք հավասարման մասին, անմիջապես անհրաժեշտ է դառնում սահմանել դրա արմատ հասկացությունը։ Փորձենք բացատրել, թե դա ինչ է նշանակում։

Օրինակ 1

Մեզ տրվում է հավասարում, որը ներառում է մեկ փոփոխական։ Եթե ​​փոխարենը փոխարինենք անհայտ նամակթիվը, ապա հավասարումը կդառնա թվային հավասարություն՝ ճշմարիտ կամ կեղծ: Այսպիսով, եթե a + 1 \u003d 5 հավասարման մեջ տառը փոխարինենք 2 թվով, ապա հավասարությունը կդառնա սխալ, իսկ եթե 4, ապա մենք կստանանք ճիշտ հավասարություն 4 + 1 \u003d 5:

Մեզ ավելի շատ հետաքրքրում են հենց այն արժեքները, որոնցով փոփոխականը կվերածվի իսկական հավասարության: Դրանք կոչվում են արմատներ կամ լուծումներ: Եկեք գրենք սահմանումը.

Սահմանում 4

Հավասարման արմատըանվանել այն փոփոխականի արժեքը, որը տվյալ հավասարումը վերածում է իսկական հավասարության:

Արմատը կարելի է անվանել նաև որոշում, կամ հակառակը՝ այս երկու հասկացություններն էլ նույն բանն են նշանակում:

Օրինակ 2

Այս սահմանումը պարզաբանելու համար բերենք օրինակ։ Վերևում մենք տվել ենք a + 1 = 5 հավասարումը: Ըստ սահմանման, արմատն այս դեպքում կլինի 4, քանի որ տառը փոխարինելիս այն տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն, և երկուսը լուծում չեն լինի, քանի որ այն համապատասխանում է սխալ հավասարության 2 + 1 \u003d 5:

Քանի՞ արմատ կարող է ունենալ մեկ հավասարումը: Արդյո՞ք յուրաքանչյուր հավասարում ունի արմատ: Եկեք պատասխանենք այս հարցերին.

Կան նաև հավասարումներ, որոնք չունեն մեկ արմատ: Օրինակը կլինի 0 x = 5: Մենք կարող ենք դրան միացնել անսահման շատ տարբեր թվեր, բայց նրանցից ոչ մեկն այն չի վերածի իրական հավասարության, քանի որ 0-ով բազմապատկելը միշտ տալիս է 0:

Կան նաև հավասարումներ, որոնք ունեն բազմաթիվ արմատներ: Նրանք կարող են ունենալ և՛ վերջավոր, և՛ անսահման շատ արմատներ։

Օրինակ 3

Այսպիսով, x - 2 \u003d 4 հավասարման մեջ կա միայն մեկ արմատ - վեց, x 2 \u003d 9-ում երկու արմատ - երեք և մինուս երեք, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 երեք արմատ - զրո, մեկ և երկու, x=x հավասարման մեջ կան անսահման շատ արմատներ:

Այժմ մենք կբացատրենք, թե ինչպես ճիշտ գրել հավասարման արմատները: Եթե ​​չկան, ապա գրում ենք այսպես՝ «հավասարումն արմատներ չունի»։ Հնարավոր է նաև այս դեպքում նշել դատարկ բազմության նշանը ∅: Եթե ​​կան արմատներ, ապա դրանք գրում ենք ստորակետերով առանձնացված կամ նշում ենք որպես բազմության տարրեր՝ փակելով գանգուր փակագծերում։ Այսպիսով, եթե որևէ հավասարում ունի երեք արմատ՝ 2, 1 և 5, ապա մենք գրում ենք՝ 2, 1, 5 կամ (- 2, 1, 5):

Արմատները թույլատրվում է գրել ամենապարզ հավասարումների տեսքով։ Այսպիսով, եթե հավասարման մեջ անհայտը նշանակվում է y տառով, իսկ արմատները 2 և 7 են, ապա մենք գրում ենք y \u003d 2 և y \u003d 7: Երբեմն տառերին ավելացվում են բաժանորդագրություններ, օրինակ՝ x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5: Այսպիսով, մենք նշում ենք արմատների թիվը: Եթե ​​հավասարումն ունի անսահման շատ լուծումներ, ապա պատասխանը գրում ենք որպես թվային միջակայք կամ օգտագործում ենք ընդհանուր ընդունված նշում՝ բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է N, ամբողջ թվերը՝ Z, իսկական թվերը՝ R։ Ենթադրենք, եթե մեզ անհրաժեշտ է գրել, որ ցանկացած ամբողջ թիվ կլինի հավասարման լուծումը, ապա գրում ենք, որ x ∈ Z, իսկ եթե որևէ իրական թիվ մեկից ինը է, ապա y ∈ 1, 9:

Երբ հավասարումն ունի երկու, երեք կամ ավելի արմատ, ապա, որպես կանոն, խոսքը ոչ թե արմատների, այլ հավասարման լուծումների մասին է։ Մենք ձևակերպում ենք մի քանի փոփոխականներով հավասարման լուծման սահմանումը:

Սահմանում 5

Երկու, երեք կամ ավելի փոփոխականներով հավասարման լուծումը այն փոփոխականների երկու, երեք կամ ավելի արժեքներն են, որոնք այս հավասարումը վերածում են իրական թվային հավասարության:

Բացատրենք սահմանումը օրինակներով։

Օրինակ 4

Ենթադրենք, մենք ունենք x + y = 7 արտահայտություն, որը երկու փոփոխականով հավասարություն է: Փոխարինեք մեկը առաջինին, իսկ երկուսը երկրորդին: Մենք ստանում ենք սխալ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ արժեքների այս զույգը այս հավասարման լուծում չի լինի: Եթե ​​վերցնենք 3 և 4 զույգ, ապա հավասարությունը դառնում է ճշմարիտ, ինչը նշանակում է, որ մենք գտել ենք լուծումը։

Նման հավասարումները կարող են նաև արմատներ չունենալ կամ ունենալ անսահման թվով: Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ է գրել երկու, երեք, չորս կամ ավելի արժեքներ, ապա դրանք գրում ենք փակագծերում բաժանված ստորակետերով։ Այսինքն, վերը նշված օրինակում պատասխանը նման կլինի (3, 4):

Գործնականում ամենից հաճախ պետք է գործ ունենալ մեկ փոփոխական պարունակող հավասարումների հետ: Դրանց լուծման ալգորիթմը մանրամասն կդիտարկենք հավասարումների լուծմանը նվիրված հոդվածում։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Հավասարումները օգտագործվել են մարդու կողմից հնագույն ժամանակներից և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Շատ հաճախ արմատային նշանը հայտնաբերվում է հավասարումների մեջ, և շատերը սխալմամբ կարծում են, որ նման հավասարումները դժվար է լուծել: Մաթեմատիկայում նման հավասարումների համար կա հատուկ տերմին, որը կոչվում է արմատով հավասարումներ՝ իռացիոնալ հավասարումներ։

Արմատով հավասարումներ լուծելու հիմնական տարբերությունն այլ հավասարումներից, օրինակ՝ քառակուսի, լոգարիթմական, գծային, այն է, որ դրանք չունեն լուծման ստանդարտ ալգորիթմ։ Ուստի իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է վերլուծել նախնական տվյալները և ընտրել ավելի հարմար լուծում։

Շատ դեպքերում այս կարգի հավասարումները լուծելու համար օգտագործվում է հավասարման երկու մասերը նույն հզորության բարձրացման մեթոդը:

Ենթադրենք տրված է հետևյալ հավասարումը.

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Մենք քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը.

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], որտեղից հաջորդաբար ստանում ենք.

Ստանալով քառակուսի հավասարում, մենք գտնում ենք դրա արմատները.

Պատասխան՝ \

Եթե ​​այս արժեքները փոխարինենք հավասարման մեջ, ապա կստանանք ճիշտ հավասարություն, որը ցույց է տալիս ստացված տվյալների ճիշտությունը:

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել արմատներով հավասարումը առցանց լուծիչով:

Դուք կարող եք լուծել հավասարումը մեր կայքէջում https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն

«Կուդինսկայայի թիվ 2 միջնակարգ դպրոց».

Իռացիոնալ հավասարումների լուծման ուղիներ

Ավարտեց՝ Եգորովա Օլգա,

Վերահսկիչ:

Ուսուցիչ

Մաթեմատիկա,

ավելի բարձր որակավորում

Ներածություն....……………………………………………………………………………………… 3

Բաժին 1. Իռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդներ…………………………………6

1.1 Գ մասի իռացիոնալ հավասարումների լուծում………………………………………………21

Բաժին 2. Անհատական ​​առաջադրանքներ…………………………………………….....………...24

Պատասխանները………………………………………………………………………………………….25

Մատենագիտություն…….…………………………………………………………………….26

Ներածություն

ստացել է մաթեմատիկական կրթություն հանրակրթական դպրոց, ամենակարեւոր բաղադրիչն է հանրակրթականև ընդհանուր մշակույթը ժամանակակից մարդ. Գրեթե այն ամենը, ինչ շրջապատում է ժամանակակից մարդուն, այս կամ այն ​​կերպ կապված է մաթեմատիկայի հետ։ Իսկ ֆիզիկայի, ճարտարագիտության և տեղեկատվական տեխնոլոգիաների վերջին ձեռքբերումները կասկած չեն թողնում, որ ապագայում գործերի վիճակը նույնը կմնա։ Հետեւաբար, շատերի որոշումը գործնական առաջադրանքներհանգում է որոշման տարբեր տեսակներհավասարումներ սովորելու, թե ինչպես լուծել: Այս տեսակներից են իռացիոնալ հավասարումները:

Իռացիոնալ հավասարումներ

Ռադիկալ նշանի տակ անհայտ (կամ անհայտի ռացիոնալ հանրահաշվական արտահայտություն) պարունակող հավասարումը կոչվում է. իռացիոնալ հավասարում. Տարրական մաթեմատիկայի մեջ իռացիոնալ հավասարումների լուծումները որոնվում են իրական թվերի բազմության մեջ։

Ցանկացած իռացիոնալ հավասարում տարրական հանրահաշվական գործողությունների օգնությամբ (բազմապատկում, բաժանում, հավասարման երկու մասերի բարձրացում մինչև ամբողջ թվի հզորություն) կարող է վերածվել ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարման։ Պետք է նկատի ունենալ, որ ստացված ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարումը կարող է համարժեք չլինել սկզբնական իռացիոնալ հավասարմանը, մասնավորապես՝ այն կարող է պարունակել «լրացուցիչ» արմատներ, որոնք չեն լինի սկզբնական իռացիոնալ հավասարման արմատները։ Հետեւաբար, գտնելով ստացված ռացիոնալի արմատները հանրահաշվական հավասարում, անհրաժեշտ է ստուգել՝ արդյոք ռացիոնալ հավասարման բոլոր արմատները իռացիոնալ հավասարման արմատներ են։

Ընդհանրապես, դժվար է որևէ մեկը նշել ունիվերսալ մեթոդցանկացած իռացիոնալ հավասարման լուծում, քանի որ ցանկալի է, որ սկզբնական իռացիոնալ հավասարման փոխակերպումների արդյունքում ստացվի ոչ միայն ինչ-որ բանական հանրահաշվական հավասարում, որի արմատների մեջ կլինեն այս իռացիոնալ հավասարման արմատները, այլ ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարում, որը ձևավորվում է հնարավոր նվազագույն աստիճանի բազմանդամներից: Ամենափոքր աստիճանի բազմանդամներից ձևավորված այդ ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարումը ստանալու ցանկությունը միանգամայն բնական է, քանի որ ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարման բոլոր արմատները գտնելն ինքնին կարող է բավականին բարդ խնդիր լինել, որը մենք կարող ենք ամբողջությամբ լուծել միայն շատ սահմանափակ թվով։ դեպքերի։

Իռացիոնալ հավասարումների տեսակները

Իռացիոնալ հավասարումների լուծում նույնիսկ աստիճանմիշտ զանգում է ավելի շատ խնդիրներքան կենտ աստիճանի իռացիոնալ հավասարումների լուծումը։ Կենտ աստիճանի իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս ODZ-ն չի փոխվում։ Ուստի ստորև կդիտարկենք իռացիոնալ հավասարումներ, որոնց աստիճանը զույգ է։ Գոյություն ունեն երկու տեսակի իռացիոնալ հավասարումներ.

2..

Դիտարկենք դրանցից առաջինը.

odz հավասարում: f(x)≥ 0. ODZ-ում հավասարման ձախ կողմը միշտ ոչ բացասական է, ուստի լուծում կարող է լինել միայն այն դեպքում, երբ. գ (x)≥ 0. Այս դեպքում հավասարման երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են, իսկ աստիճանը 2 nտալիս է համարժեք հավասարում. Մենք դա հասկանում ենք

Ուշադրություն դարձնենք այն փաստին, որ մինչդեռ ODZ-ը կատարվում է ավտոմատ կերպով, և դուք չեք կարող գրել այն, բայց պայմանըգ (x) ≥ 0 պետք է ստուգվի:

Նշում: Սա համարժեքության շատ կարևոր պայման է։ Նախ՝ այն ազատում է աշակերտին ուսումնասիրելու անհրաժեշտությունից, և լուծումներ գտնելուց հետո ստուգեք f(x) ≥ 0 պայմանը՝ արմատային արտահայտության ոչ բացասական լինելը։ Երկրորդ, այն կենտրոնանում է վիճակը ստուգելու վրագ (x) ≥ 0-ն աջ կողմի ոչ բացասականությունն է: Ի վերջո, քառակուսի կազմելուց հետո հավասարումը լուծվում է այսինքն, երկու հավասարումներ լուծվում են միանգամից (բայց թվային առանցքի տարբեր ընդմիջումներով):

1. - որտեղ գ (x)≥ 0 և

2. - որտեղ g(x) ≤ 0:

Մինչդեռ շատերը, ըստ ՕՁ գտնելու դպրոցական սովորության, նման հավասարումներ լուծելիս անում են ճիշտ հակառակը.

ա) լուծումներ գտնելուց հետո ստուգեք f(x) ≥ 0 պայմանը (որը ավտոմատ կերպով բավարարվում է), թվաբանական սխալներ արեք և ստացեք սխալ արդյունք.

բ) անտեսել պայմանըգ (x) ≥ 0 - և կրկին պատասխանը կարող է սխալ լինել:

Նշում: Համարժեքության պայմանը հատկապես օգտակար է եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, որոնցում ODZ գտնելը կապված է եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման հետ, ինչը շատ ավելի դժվար է, քան եռանկյունաչափական հավասարումները: Գրանցվել եռանկյունաչափական հավասարումներնույնիսկ պայմանները գ (x)≥ 0 միշտ չէ, որ հեշտ է անել:

Դիտարկենք իռացիոնալ հավասարումների երկրորդ տեսակը:

. Թող հավասարումը . Նրա ODZ:

ODZ-ում երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են, և քառակուսիացումը տալիս է համարժեք հավասարում զ(x) =գ (x).Ուստի ՕՁ–ում կամ

Լուծման այս մեթոդով բավական է ստուգել գործառույթներից մեկի ոչ բացասական լինելը՝ կարող եք ընտրել ավելի պարզ:

Բաժին 1. Իռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդներ

1 մեթոդ. Ազատագրում արմատականներից՝ հավասարման երկու կողմերը հաջորդաբար բարձրացնելով համապատասխան բնական ուժին

Իռացիոնալ հավասարումների լուծման համար ամենից հաճախ օգտագործվող մեթոդը ռադիկալներից ազատվելու մեթոդն է՝ հավասարման երկու մասերը հաջորդաբար բարձրացնելով համապատասխան բնական աստիճանի։ Այս դեպքում պետք է նկատի ունենալ, որ երբ հավասարման երկու մասերը բարձրացվում են կենտ հզորության, ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնականին, իսկ երբ հավասարման երկու մասերը բարձրացվում են մինչև զույգ ուժի, ստացվում է. հավասարումը, ընդհանուր առմամբ, համարժեք չի լինի սկզբնական հավասարմանը: Սա հեշտությամբ կարելի է ստուգել՝ հավասարման երկու կողմերը բարձրացնելով ցանկացած հավասարաչափ հզորության: Այս գործողությունը հանգեցնում է հավասարման , որի լուծումների բազմությունը լուծումների բազմությունների միավորումն է՝ https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">: Այնուամենայնիվ, չնայած Այս թերությունն այն է, որ հավասարման երկու մասերը որոշ (հաճախ նույնիսկ) հզորության բարձրացնելու ընթացակարգն է իռացիոնալ հավասարումը ռացիոնալ հավասարման վերածելու ամենատարածված ընթացակարգը:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Որտեղ որոշ բազմանդամներ են. Իրական թվերի բազմության մեջ արմատ հանելու գործողության սահմանման ուժով անհայտի թույլատրելի արժեքները https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">:

Քանի որ 1-ին հավասարման երկու մասերն էլ քառակուսի էին, կարող է պարզվել, որ 2-րդ հավասարման ոչ բոլոր արմատները կլինեն սկզբնական հավասարման լուծումները, անհրաժեշտ է ստուգել արմատները:

Լուծե՛ք հավասարումը.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացնելով խորանարդի մեջ՝ ստանում ենք

Հաշվի առնելով, որ https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Վերջին հավասարումը կարող է ունենալ արմատներ, որոնք, ընդհանուր առմամբ, արմատներ չեն. հավասարումը ).

Այս հավասարման երկու կողմերը բարձրացնում ենք խորանարդի. Մենք վերագրում ենք հավասարումը x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 ձևով: Ստուգելով՝ մենք հաստատում ենք, որ x1 = 0 հավասարման կողմնակի արմատն է (-2 ≠ 1), իսկ x2 = 1-ը բավարարում է բնօրինակ հավասարումը.

Պատասխան. x = 1.

2 մեթոդ. Պայմանների հարակից համակարգի փոխարինում

Զույգ կարգի ռադիկալներ պարունակող իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս պատասխաններում կարող են հայտնվել կողմնակի արմատներ, որոնք միշտ չէ, որ հեշտ է բացահայտել։ Կողմնակի արմատների հայտնաբերումն ու հեռացումը հեշտացնելու համար իռացիոնալ հավասարումների լուծման ընթացքում այն ​​անմիջապես փոխարինվում է պայմանների հարակից համակարգով: Համակարգում հավելյալ անհավասարություններն իրականում հաշվի են առնում լուծվող հավասարման ODZ-ը: Դուք կարող եք առանձին գտնել ODZ-ն և այն ավելի ուշ հաշվի առնել, բայց նախընտրելի է օգտագործել պայմանների խառը համակարգեր. ավելի քիչ վտանգ կա մոռանալ ինչ-որ բան, այն հաշվի չառնել հավասարումը լուծելու գործընթացում: Հետեւաբար, որոշ դեպքերում ավելի ռացիոնալ է օգտագործել խառը համակարգերի անցման մեթոդը:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Պատասխան. https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Այս հավասարումը համարժեք է համակարգին

Պատասխան.հավասարումը լուծումներ չունի։

3 մեթոդ. Օգտագործելով n-րդ արմատի հատկությունները

Իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են n-րդ աստիճանի արմատի հատկությունները։ թվաբանական արմատ n-րդաստիճաններ միջից Ազանգահարել ոչ բացասական համարով, n-ես, որի աստիճանը հավասար է Ա. Եթե n-նույնիսկ ( 2n), ապա a ≥ 0, հակառակ դեպքում արմատը գոյություն չունի: Եթե n-տարօրինակ( 2 n+1), ապա a-ն ցանկացած է և = - ..gif" width="45" height="19"> Հետո.

2.

3.

4.

5.

Կիրառելով այս բանաձևերից որևէ մեկը, պաշտոնապես (առանց հաշվի առնելու նշված սահմանափակումները), պետք է հիշել, որ դրանցից յուրաքանչյուրի ձախ և աջ մասերի ODZ-ը կարող է տարբեր լինել: Օրինակ, արտահայտությունը սահմանվում է f ≥ 0Եվ գ ≥ 0, և արտահայտությունն այնպիսին է, ինչպիսին է f ≥ 0Եվ գ ≥ 0, Ինչպես նաեւ f ≤ 0Եվ գ ≤ 0:

1-5 բանաձևերից յուրաքանչյուրի համար (առանց նշված սահմանափակումները հաշվի առնելու) նրա աջ մասի ODZ-ն կարող է ավելի լայն լինել, քան ձախի ODZ-ը։ Հետևում է, որ հավասարման փոխակերպումները «ձախից աջ» 1-5 բանաձևերի պաշտոնական օգտագործմամբ (ինչպես գրված են) հանգեցնում են սկզբնականի հետևանք հավասարման։ Այս դեպքում կարող են առաջանալ սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատներ, ուստի ստուգումը պարտադիր քայլ է սկզբնական հավասարումը լուծելու համար:

Հավասարումների փոխակերպումները «աջից ձախ» 1-5 բանաձևերի պաշտոնական օգտագործմամբ անընդունելի են, քանի որ հնարավոր է դատել սկզբնական հավասարման ODZ-ի և, հետևաբար, արմատների կորստի մասին:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

որը բնագրի հետեւանք է։ Այս հավասարման լուծումը հանգեցնում է հավասարումների բազմության լուծմանը .

Այս բազմության առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> որտեղից մենք գտնում ենք: Այսպիսով, արմատները Այս հավասարումը կարող է լինել միայն (-1) և (-2) թվերը: Ստուգումը ցույց է տալիս, որ երկու հայտնաբերված արմատները բավարարում են այս հավասարումը:

Պատասխան. -1,-2.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում․ ելնելով ինքնություններից՝ առաջին տերմինը փոխարինեք . Նկատի ունեցեք, որ որպես ձախ կողմում գտնվող երկու ոչ բացասական թվերի գումար: «Հեռացրեք» մոդուլը և նման տերմիններ բերելուց հետո լուծեք հավասարումը։ Քանի որ մենք ստանում ենք հավասարումը. Քանի որ և , ապա https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Պատասխան. x = 4,25.

4 մեթոդ. Նոր փոփոխականների ներդրում

Իռացիոնալ հավասարումների լուծման մեկ այլ օրինակ է նոր փոփոխականների ներմուծման եղանակը, որոնց նկատմամբ ստացվում է կա՛մ ավելի պարզ իռացիոնալ, կա՛մ ռացիոնալ հավասարում:

Իռացիոնալ հավասարումների լուծումը՝ հավասարումը փոխարինելով դրա հետևանքով (արմատների հետագա ստուգմամբ) կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ.

1. Գտի՛ր սկզբնական հավասարման ODZ-ը:

2. Հավասարումից անցեք դրա հետևանքին:

3. Գտի՛ր ստացված հավասարման արմատները:

4. Ստուգեք, արդյոք հայտնաբերված արմատները սկզբնական հավասարման արմատներն են:

Ստուգումը հետևյալն է.

Ա) ստուգվում է ODZ-ի յուրաքանչյուր հայտնաբերված արմատի պատկանելիությունը սկզբնական հավասարմանը. Այն արմատները, որոնք չեն պատկանում ODZ-ին, օտար են սկզբնական հավասարման համար:

Բ) սկզբնական հավասարման ODZ-ում ներառված յուրաքանչյուր արմատի համար ստուգվում է, թե արդյոք սկզբնական հավասարման լուծման գործընթացում առաջացած և հավասար հզորության բարձրացված հավասարումների յուրաքանչյուրի ձախ և աջ մասերն ունեն նույն նշանները։ Այն արմատները, որոնց համար հավասարության հավասարման մասերը, որոնք բարձրացված են հավասար հզորության, ունեն տարբեր նշաններ, օտար են սկզբնական հավասարման համար:

Գ) միայն այն արմատները, որոնք պատկանում են սկզբնական հավասարման ODZ-ին և որոնց համար սկզբնական հավասարման լուծման գործընթացում առաջացած և հավասար հզորության բարձրացված հավասարումների երկու մասերն ունեն նույն նշանները, ստուգվում են ուղղակի փոխարինմամբ. սկզբնական հավասարումը.

Նշված ստուգման մեթոդով լուծման նման մեթոդը թույլ է տալիս խուսափել բարդ հաշվարկներից՝ վերջին հավասարման հայտնաբերված արմատներից յուրաքանչյուրն ուղղակիորեն փոխարինելու դեպքում:

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը.

.

Այս հավասարման թույլատրելի արժեքների հավաքածուն.

Սահմանում, փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք հավասարումը

կամ դրա համարժեք հավասարումը

որը կարող է դիտվել որպես քառակուսի հավասարում . Լուծելով այս հավասարումը, մենք ստանում ենք

.

Հետևաբար, սկզբնական իռացիոնալ հավասարման լուծումների բազմությունը հետևյալ երկու հավասարումների լուծումների բազմությունների միավորումն է.

, .

Այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի երկու կողմերն էլ խորանարդացրեք, և մենք ստանում ենք երկու ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարումներ.

, .

Լուծելով այս հավասարումները՝ մենք գտնում ենք, որ այս իռացիոնալ հավասարումն ունի մեկ արմատ x = 2 (ստուգում չի պահանջվում, քանի որ բոլոր փոխակերպումները համարժեք են):

Պատասխան. x = 2.

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը.

Նշել 2x2 + 5x - 2 = t. Այնուհետև սկզբնական հավասարումը կձևավորվի . Ստացված հավասարման երկու մասերը քառակուսի դնելով և համանման տերմիններ բերելով՝ ստանում ենք հավասարումը, որը նախորդի հետևանքն է։ Դրանից մենք գտնում ենք t=16.

Վերադառնալով x անհայտին՝ ստանում ենք 2x2 + 5x - 2 = 16 հավասարումը, որը սկզբնականի հետևանք է։ Ստուգելով՝ մենք համոզվում ենք, որ դրա արմատները x1 \u003d 2 և x2 \u003d - 9/2 սկզբնական հավասարման արմատներն են:

Պատասխան. x1 = 2, x2 = -9/2:

5 մեթոդ. Ինքնության հավասարման փոխակերպում

Իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս չպետք է սկսել հավասարումների լուծումը՝ հավասարումների երկու մասերը հասցնելով բնական հզորության՝ փորձելով իռացիոնալ հավասարման լուծումը նվազեցնել ռացիոնալ հանրահաշվական հավասարման լուծմանը։ Նախ, անհրաժեշտ է տեսնել, թե արդյոք հնարավոր է կատարել հավասարման ինչ-որ նույնական փոխակերպում, որը կարող է զգալիորեն պարզեցնել դրա լուծումը:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Այս հավասարման համար վավեր արժեքների հավաքածու՝ https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Այս հավասարումը բաժանեք .

.

Մենք ստանում ենք.

a = 0-ի դեպքում հավասարումը լուծումներ չի ունենա. համար, հավասարումը կարելի է գրել այսպես

քանի որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, քանի որ որևէ մեկի համար X, որը պատկանում է հավասարման թույլատրելի արժեքների բազմությանը, հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը դրական է.

երբ հավասարումը լուծում ունի

Հաշվի առնելով, որ հավասարման թույլատրելի լուծումների բազմությունը որոշվում է պայմանով, վերջապես ստանում ենք.

Այս իռացիոնալ հավասարումը լուծելիս https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> հավասարման լուծումը կլինի: Մնացած բոլոր արժեքների համար Xհավասարումը լուծումներ չունի։

ՕՐԻՆԱԿ 10:

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը. https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Համակարգի քառակուսային հավասարման լուծումը տալիս է երկու արմատ՝ x1 \u003d 1 և x2 \u003d 4։ Ստացված արմատներից առաջինը չի բավարարում համակարգի անհավասարությանը, հետևաբար x \u003d 4։

Նշումներ.

1) Նույնական փոխակերպումների իրականացումը մեզ թույլ է տալիս անել առանց ստուգման:

2) x - 3 ≥0 անհավասարությունը վերաբերում է նույնական փոխակերպումներին, այլ ոչ թե հավասարման տիրույթին:

3) Հավասարման ձախ կողմում կա նվազող ֆունկցիա, իսկ այս հավասարման աջ կողմում՝ աճող ֆունկցիա: Նվազող և մեծացող ֆունկցիաների գրաֆիկները իրենց սահմանման տիրույթների հատման կետում կարող են ունենալ ոչ ավելի, քան մեկ. ընդհանուր կետ. Ակնհայտ է, որ մեր դեպքում x = 4-ը գրաֆիկների հատման կետի աբսցիսան է:

Պատասխան. x = 4.

6 մեթոդ. Գործառույթների սահմանման տիրույթի օգտագործումը հավասարումներ լուծելիս

Այս մեթոդը ամենաարդյունավետն է, երբ լուծում է հավասարումներ, որոնք ներառում են գործառույթներ https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> և գտնել դրա տարածքի սահմանումները: (զ)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, ապա դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք հավասարումը ճիշտ է միջակայքի ծայրերում, ընդ որում, եթե a.< 0, а b >0, ապա անհրաժեշտ է ստուգել միջակայքերը (a;0)Եվ . E(y)-ի ամենափոքր ամբողջ թիվը 3-ն է:

Պատասխանել x = 3.

8 մեթոդ. Ածանցյալի կիրառումը իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս

Ամենից հաճախ ածանցյալ մեթոդով հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում է գնահատման մեթոդը։

ՕՐԻՆԱԿ 15:

Լուծե՛ք հավասարումը. (1)

Լուծում. Քանի որ https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> կամ (2): Դիտարկենք ֆունկցիան ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> ընդհանրապես և հետևաբար աճում է: Հետեւաբար, հավասարումը համարժեք է հավասարման, որն ունի արմատ, որը սկզբնական հավասարման արմատն է:

Պատասխան.

ՕՐԻՆԱԿ 16:

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը.

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հատված է։ Գտե՛ք ամենամեծը և ամենափոքր արժեքըայս ֆունկցիայի արժեքները միջակայքում: Դա անելու համար մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ածանցյալը զ(x) https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">: Եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքները զ(x)հատվածի ծայրերում և կետում. Այսպիսով, բայց և, հետևաբար, հավասարությունը հնարավոր է միայն https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" պայմանով: height="19 src=" > Ստուգումը ցույց է տալիս, որ 3 թիվը այս հավասարման արմատն է:

Պատասխան. x = 3.

9 մեթոդ. Ֆունկցիոնալ

Քննությունների ժամանակ նրանք երբեմն առաջարկում են լուծել հավասարումներ, որոնք կարելի է գրել ձևով, որտեղ կա որոշակի ֆունկցիա:

Օրինակ, որոշ հավասարումներ. 1) 2) . Իսկապես, առաջին դեպքում , երկրորդ դեպքում . Հետևաբար, լուծեք իռացիոնալ հավասարումներ՝ օգտագործելով հետևյալ պնդումը. եթե ֆունկցիան խիստ մեծանում է բազմության վրա Xև ցանկացածի համար, ապա հավասարումները և այլն, համարժեք են բազմության վրա X .

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը. https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> խստորեն ավելանում է հավաքածուի վրա Ռ,և https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > որն ունի եզակի արմատ Հետևաբար, համարժեք (1) հավասարումը նույնպես ունի եզակի արմատ

Պատասխան. x = 3.

ՕՐԻՆԱԿ 18:

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը. (1)

Ըստ սահմանման քառակուսի արմատստանում ենք, որ եթե (1) հավասարումն ունի արմատներ, ապա դրանք պատկանում են բազմությանը https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">։ 2)

Հաշվի առեք https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> ֆունկցիան այս հավաքածուի վրա խիստ աճող ցանկացած ..gif" width="100" ֆունկցիայի համար: height = "41"> որն ունի մեկ արմատ Ուստի և համարժեք դրան հավաքածուի վրա Xհավասարումը (1) ունի մեկ արմատ

Պատասխան. https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Լուծում. Այս հավասարումը համարժեք է խառը համակարգի

Հանրահաշիվն ուսումնասիրելիս աշակերտները բախվում են բազմատեսակ հավասարումների: Ամենապարզներից կարելի է անվանել գծայիններ, որոնք պարունակում են մեկ անհայտ: Եթե ​​մաթեմատիկական արտահայտության մեջ փոփոխականը բարձրացվում է որոշակի հզորության, ապա հավասարումը կոչվում է քառակուսի, խորանարդ, երկքառակուսի և այլն։ Այս արտահայտությունները կարող են պարունակել ռացիոնալ թվեր: Բայց կան նաև իռացիոնալ հավասարումներ։ Նրանք մյուսներից տարբերվում են ֆունկցիայի առկայությամբ, որտեղ անհայտը գտնվում է ռադիկալի նշանի տակ (այսինքն՝ զուտ արտաքինից, փոփոխականն այստեղ կարելի է տեսնել քառակուսի արմատի տակ գրված)։ Իռացիոնալ հավասարումների լուծումն ունի իր սեփականը բնութագրերը. Ճիշտ պատասխան ստանալու համար փոփոխականի արժեքը հաշվարկելիս պետք է հաշվի առնել դրանք։

«Բառերով անասելի»

Գաղտնիք չէ, որ հին մաթեմատիկոսները գործել են հիմնականում ռացիոնալ թվերով։ Դրանք ներառում են, ինչպես գիտեք, ամբողջ թվեր, որոնք արտահայտված են սովորական և տասնորդական պարբերական կոտորակների միջոցով, այս համայնքի ներկայացուցիչները: Այնուամենայնիվ, Մերձավոր և Մերձավոր Արևելքի, ինչպես նաև Հնդկաստանի գիտնականները, որոնք զարգացնում էին եռանկյունաչափությունը, աստղագիտությունը և հանրահաշիվը, նույնպես սովորեցին լուծել իռացիոնալ հավասարումներ: Օրինակ՝ հույները գիտեին այդպիսի քանակություններ, բայց դրանք բառային ձևով դնելով՝ օգտագործում էին «ալոգոս» հասկացությունը, որը նշանակում էր «անարտահայտելի»։ Որոշ ժամանակ անց եվրոպացիները, ընդօրինակելով նրանց, նման թվերն անվանեցին «խուլ»։ Նրանք տարբերվում են բոլոր մյուսներից նրանով, որ դրանք կարող են ներկայացվել միայն անսահման ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով, որի վերջնական թվային արտահայտությունը պարզապես անհնար է ստանալ։ Հետևաբար, ավելի հաճախ թվերի ոլորտի նման ներկայացուցիչները գրվում են թվերի և նշանների տեսքով, որպես ինչ-որ արտահայտություն, որը գտնվում է երկրորդ կամ ավելի մեծ աստիճանի արմատի տակ։

Ելնելով վերոգրյալից՝ մենք կփորձենք սահմանել իռացիոնալ հավասարումը։ Նման արտահայտությունները պարունակում են այսպես կոչված «անարտահայտելի թվեր», որոնք գրված են քառակուսի արմատի նշանով։ Նրանք կարող են լինել բոլոր տեսակի բավականին բարդ տարբերակներ, բայց իրենց ամենապարզ ձևով նրանք նման են ստորև ներկայացված լուսանկարին:

Անցնելով իռացիոնալ հավասարումների լուծմանը, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հաշվարկել փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքը:

Արդյո՞ք արտահայտությունը իմաստ ունի:

Ստացված արժեքները ստուգելու անհրաժեշտությունը բխում է հատկություններից:Ինչպես հայտնի է, նման արտահայտությունն ընդունելի է և որևէ նշանակություն ունի միայն որոշակի պայմաններում: Զույգ արմատի դեպքում բոլոր արմատական ​​արտահայտությունները պետք է լինեն դրական կամ հավասար զրոյի: Եթե այս պայմանըչի բավարարվում, ապա ներկայացված մաթեմատիկական նշումը չի կարող իմաստալից համարվել։

Բերենք կոնկրետ օրինակ, թե ինչպես լուծել իռացիոնալ հավասարումները (ստորև նկարը):

Այս դեպքում ակնհայտ է, որ այս պայմանները չեն կարող բավարարվել ցանկալի արժեքով վերցված որևէ արժեքի համար, քանի որ պարզվում է, որ 11 ≤ x ≤ 4: Սա նշանակում է, որ միայն Ø-ն կարող է լուծում լինել:

Վերլուծության մեթոդ

Վերոնշյալից պարզ է դառնում, թե ինչպես լուծել որոշ տեսակի իռացիոնալ հավասարումներ։ Պարզ վերլուծությունը կարող է արդյունավետ լինել այստեղ:

Մենք տալիս ենք մի շարք օրինակներ, որոնք կրկին հստակորեն ցույց են տալիս դա (ներքևում գտնվող լուսանկարում):

Առաջին դեպքում, արտահայտությունը մանրակրկիտ դիտարկելով, անմիջապես պարզվում է, որ այն չի կարող ճիշտ լինել: Իսկապես, ի վերջո, հավասարության ձախ կողմում պետք է ստացվի դրական թիվ, որը ոչ մի կերպ չի կարող հավասար լինել -1-ի։

Երկրորդ դեպքում երկու դրական արտահայտությունների գումարը կարելի է հավասար համարել զրոյի միայն այն դեպքում, երբ x - 3 = 0 և x + 3 = 0 միաժամանակ: Կրկին, սա անհնար է: Եվ այսպես, պատասխանում պետք է նորից գրել Ø։

Երրորդ օրինակը շատ նման է նախորդին. Իսկապես, այստեղ ODZ պայմանները պահանջում են, որ բավարարվի հետևյալ անհեթեթ անհավասարությունը. 5 ≤ x ≤ 2: Եվ նման հավասարումը չի կարող ունենալ ձայնային լուծումներ:

Անսահմանափակ խոշորացում

Իռացիոնալի բնույթը կարելի է առավել պարզ և լիարժեք բացատրել և ճանաչել միայն թվերի անվերջ շարքի միջոցով: տասնորդական կոտորակ. Իսկ այս ընտանիքի անդամների կոնկրետ, ցայտուն օրինակ է pi. Ոչ առանց պատճառի, ենթադրվում է, որ այս մաթեմատիկական հաստատունը հայտնի է եղել հնագույն ժամանակներից, որն օգտագործվում է շրջանագծի շրջագիծը և տարածքը հաշվարկելիս: Բայց եվրոպացիների շրջանում այն ​​առաջին անգամ կիրառեցին անգլիացի Ուիլյամ Ջոնսը և շվեյցարացի Լեոնարդ Էյլերը։

Այս հաստատունը առաջանում է հետևյալ կերպ. Եթե ​​համեմատենք ամենատարբեր շրջագծերը, ապա դրանց երկարությունների և տրամագծերի հարաբերությունն անպայմանորեն հավասար է նույն թվին։ Սա pi է: Եթե ​​արտահայտված է ընդհանուր կոտորակ, ապա մոտավորապես ստանում ենք 22/7։ Առաջին անգամ դա արեց մեծ Արքիմեդը, որի դիմանկարը ներկայացված է վերևի նկարում: Հենց այդ պատճառով էլ նրա անունը ստացել է նմանատիպ թիվ։ Բայց սա ոչ թե բացահայտ, այլ թերևս ամենազարմանալի թվերի մոտավոր արժեք է: Փայլուն գիտնականը գտել է ցանկալի արժեքը 0,02 ճշտությամբ, բայց, փաստորեն, այս հաստատունը իրական արժեք չունի, այլ արտահայտվում է 3,1415926535... Դա թվերի անվերջ շարք է, որը անորոշ կերպով մոտենում է որոշակի առասպելական արժեքի։

Քառակուսի

Բայց վերադառնանք իռացիոնալ հավասարումների: Անհայտը գտնելու համար այս դեպքում շատ հաճախ դիմում պարզ մեթոդքառակուսի է առկա հավասարության երկու կողմերը: Այս մեթոդը սովորաբար լավ արդյունքներ է տալիս։ Բայց պետք է հաշվի առնել իռացիոնալ արժեքների նենգությունը։ Սրա արդյունքում ստացված բոլոր արմատները պետք է ստուգվեն, քանի որ դրանք կարող են պիտանի չլինել։

Բայց եկեք շարունակենք օրինակների դիտարկումը և փորձենք գտնել փոփոխականները նոր առաջարկված ձևով։

Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ բավականին հեշտ է գտնել մեծությունների ցանկալի արժեքները՝ որոշակի գործողությունների արդյունքում քառակուսի հավասարում կազմելուց հետո: Այստեղ պարզվում է, որ արմատների մեջ կլինեն 2 և -19: Այնուամենայնիվ, ստուգելիս, ստացված արժեքները փոխարինելով բնօրինակ արտահայտությամբ, կարող եք համոզվել, որ այս արմատներից ոչ մեկը հարմար չէ: Սա սովորական երևույթ է իռացիոնալ հավասարումների մեջ: Սա նշանակում է, որ մեր երկընտրանքը կրկին լուծումներ չունի, և պատասխանում պետք է նշել դատարկ հավաքածուն։

Ավելի բարդ օրինակներ

Որոշ դեպքերում պահանջվում է արտահայտության երկու կողմերը քառակուսի դնել ոչ թե մեկ, այլ մի քանի անգամ։ Դիտարկենք օրինակներ, որտեղ վերը նշվածը պահանջվում է: Դրանք կարելի է տեսնել ստորև։

Ստանալով արմատները, մի մոռացեք ստուգել դրանք, քանի որ կարող են առաջանալ լրացուցիչներ: Պետք է բացատրել, թե ինչու է դա հնարավոր։ Նման մեթոդ կիրառելիս ինչ-որ կերպ տեղի է ունենում հավասարման ռացիոնալացում: Բայց ազատվելով մեզ համար անընդունելի արմատներից, որոնք մեզ խանգարում են թվաբանական գործողություններ կատարել, մենք, այսպես ասած, ընդլայնում ենք գոյություն ունեցող արժեքների շրջանակը, որը հղի է (ինչպես հասկանում եք) հետևանքներով։ Սա կանխատեսելով՝ ստուգում ենք անում։ Այս դեպքում հնարավորություն կա համոզվելու, որ արմատներից միայն մեկը տեղավորվում է՝ x = 0:

Համակարգեր

Ի՞նչ անել այն դեպքերում, երբ պահանջվում է լուծել իռացիոնալ հավասարումների համակարգեր, և մենք ունենք ոչ թե մեկ, այլ երկու ամբողջական անհայտ։ Այստեղ մենք գործում ենք այնպես, ինչպես սովորական դեպքերում, բայց հաշվի առնելով տվյալների վերը նշված հատկությունները մաթեմատիկական արտահայտություններ. Եվ յուրաքանչյուր նոր առաջադրանքում, իհարկե, պետք է կիրառես ստեղծագործական մոտեցում։ Բայց, կրկին, ավելի լավ է ամեն ինչ դիտարկել կոնկրետ օրինակստորև. Այստեղ ոչ միայն պահանջվում է գտնել x և y փոփոխականները, այլև պատասխանում նշել դրանց գումարը։ Այսպիսով, գոյություն ունի իռացիոնալ մեծություններ պարունակող համակարգ (տես ստորև նկարը):

Ինչպես տեսնում եք, նման առաջադրանքը գերբնական բարդ չէ։ Պարզապես պետք է խելացի լինել և գուշակել, որ առաջին հավասարման ձախ կողմը գումարի քառակուսին է: Նմանատիպ առաջադրանքներ հայտնաբերվում են քննության ժամանակ:

Իռացիոնալ մաթեմատիկայի մեջ

Ամեն անգամ մարդկության համար նոր տեսակի թվեր ստեղծելու անհրաժեշտություն էր առաջանում, երբ նրան բացակայում էր որոշ հավասարումներ լուծելու «տարածություն»: Իռացիոնալ թվերը բացառություն չեն: Ինչպես վկայում են պատմության փաստերը, մեծ իմաստուններն առաջին անգամ դրա վրա ուշադրություն են հրավիրել դեռևս մեր դարաշրջանից առաջ՝ 7-րդ դարում։ Դա արել է Հնդկաստանից մի մաթեմատիկոս, որը հայտնի է որպես Մանավա: Նա հստակ հասկանում էր, որ որոշ բնական թվերից հնարավոր չէ արմատ հանել։ Օրինակ, դրանք ներառում են 2; 17 կամ 61, ինչպես նաև շատ ուրիշներ:

Նույն եզրակացության է եկել պյութագորացիներից մեկը՝ Հիպպաս անունով մի մտածող՝ փորձելով հաշվարկներ կատարել հնգագրամի կողմերի թվային արտահայտություններով։ Հայտնաբերելով մաթեմատիկական տարրեր, որոնք չեն կարող թվային կերպով արտահայտվել և չունեն հատկություններ սովորական թվեր, նա այնքան զայրացրեց իր գործընկերներին, որ նա ծովը նետվեց ծովը: Փաստն այն է, որ մյուս պյութագորացիները նրա պատճառաբանությունը համարում էին ապստամբություն տիեզերքի օրենքների դեմ։

Արմատական ​​նշան՝ էվոլյուցիա

«Խուլ» թվերի թվային արժեքն արտահայտելու արմատային նշանը սկսեց կիրառվել իռացիոնալ անհավասարությունների և հավասարումների լուծման համար, որոնք անհապաղ չեն: Առաջին անգամ եվրոպացի, մասնավորապես իտալացի մաթեմատիկոսները սկսեցին մտածել արմատականի մասին մոտ 13-րդ դարում։ Միևնույն ժամանակ նրանց մոտ առաջացավ լատիներեն R-ն օգտագործելու գաղափարը, սակայն գերմանացի մաթեմատիկոսներն իրենց աշխատանքներում այլ կերպ էին գործում։ Նրանց ավելի շատ դուր եկավ V տառը, Գերմանիայում շուտով տարածվեց V (2), V (3) նշումը, որը նախատեսված էր արտահայտել 2, 3 և այլն քառակուսի արմատը։ Ավելի ուշ հոլանդացիները միջամտեցին և փոխեցին արմատականի նշանը։ Իսկ Ռենե Դեկարտը ավարտեց էվոլյուցիան՝ քառակուսի արմատի նշանը հասցնելով ժամանակակից կատարելության։

Ազատվել իռացիոնալից

Իռացիոնալ հավասարումները և անհավասարությունները կարող են ներառել փոփոխական ոչ միայն քառակուսի արմատի նշանի տակ: Այն կարող է լինել ցանկացած աստիճանի։ Դրանից ազատվելու ամենատարածված միջոցը հավասարման երկու կողմերն էլ համապատասխան հզորության բարձրացնելն է։ Սա այն հիմնական գործողությունն է, որն օգնում է իռացիոնալ գործողություններին: Նույնիսկ դեպքերում գործողությունները առանձնապես չեն տարբերվում նրանցից, որոնք մենք արդեն վերլուծել ենք ավելի վաղ: Այստեղ պետք է հաշվի առնել արմատական ​​արտահայտության ոչ բացասական լինելու պայմանները, ինչպես նաև լուծման վերջում անհրաժեշտ է դիտարկել փոփոխականների կողմնակի արժեքները այնպես, ինչպես ցույց է տրված. օրինակներ արդեն դիտարկված.

Լրացուցիչ փոխակերպումներից, որոնք օգնում են գտնել ճիշտ պատասխանը, հաճախ օգտագործվում է արտահայտության բազմապատկումը խոնարհմամբ, ինչպես նաև հաճախ անհրաժեշտ է ներմուծել նոր փոփոխական, որը հեշտացնում է լուծումը։ Որոշ դեպքերում անհայտների արժեքը գտնելու համար նպատակահարմար է օգտագործել գրաֆիկները: