Nevajadzētu steigties vienā rindā rakstīt kopsaucēju |ūdeņi; skolēni bieži neapzinās, ka dotās daļdaļas pret viņiem tiek apmainītas ar vienādām daļām ar kopsaucēju.

Daļas reizināšana ar veselu skaitli

Nākamais solis ir izpētīt daļas reizināšanu ar veselu skaitli. Daļas reizināšanu ar veselu skaitli nosaka tāpat kā veselu skaitļu reizināšanu.

Pētot daļskaitļa reizināšanu ar veselu skaitli, kopā ar studentiem ir jāizveido darbības definīcija, reizinot daļu ar veselu skaitli kā vienādu vārdu saskaitīšanu, no kuriem katrs ir vienāds ar reizinātāju; parādīt identitāti, reizinot daļu ar veselu skaitli, reizinot daļu ar vairākām reizēm, sniedziet definīciju, kā reizinot daļu ar 1; parādīt racionālu daļskaitļa samazināšanas metodi, kuras skaitītājs apzīmē reizinājumu, ar kuru skolēni satiekas pirmo reizi, reizinot daļu ar veselu skaitli; iemācīt piemērot šo darbību uzdevumiem; apsvērt īpašus reizināšanas gadījumus, piemēram, reizinot daļu ar skaitli, kas vienāds ar saucēju; jaukta skaitļa reizināšana ar veselu skaitli. Iepriekš minētais problēmu saraksts, pētot daļskaitļa reizināšanu ar veselu skaitli, parāda, ka katrs šķietami vienkāršs jautājums prasa rūpīgu izpēti un cik daudz tas rodas. papildu uzdevumi saistībā ar šo jautājumu.

Šeit ir piemērs nodarbību plānam par šo tēmu,

1) Mājas darbu pārbaude.

2) Mutvārdu vingrinājumi daļskaitļu saskaitīšanai un atņemšanai.

3) Mutiski piemēri produkta dalīšanai ar skaitli:

4) Frakciju samazināšana:

5) Reizināšanas ar veselu skaitli definīcijas atkārtošana:

6) Daļas reizināšanas ar veselu skaitli definīcija:

7) Problēmu risināšana vienā darbībā, lai reizinātu daļu ar veselu skaitli »»

numuru. Piemēram: 1 m3 priedes koksnes sver tonnas. Atrodi 2 m3 no tiem svaru

malka (tonnās), 7 m3.

8) Formulējiet noteikumu daļskaitļa reizināšanai ar veselu skaitli:

Lai daļdaļu reizinātu ar veselu skaitli, pietiek ar daļskaitļa skaitītāju reizināt ar šo skaitli, atstājot to pašu saucēju.

9) Piemēru risināšana daļskaitļa reizināšanai ar veselu skaitli:

10) Izdomā uzdevumus, kuru risināšanai būtu nepieciešama reizināšana.

11) Mājas darbs.

Šajā plānā sniegtie mutvārdu vingrinājumi par reizinājuma dalīšanu ar skaitli un daļskaitļu samazināšanu ir paredzēti, lai sagatavotu studentus pamatot to daļskaitļu samazināšanu, kurās reizinājums atrodas skaitītājā. Studenti atceras, kā reizinājumu dalīt ar skaitli un, samazinot daļskaitļus, veic šādu spriešanu: lai samazinātu daļu, skaitītājs un saucējs jādala ar vienu un to pašu skaitli; skaitītājs ir reizinājums; lai reizinājumu dalītu ar skaitli, pietiek ar šo skaitli dalīt vienu no faktoriem. Tāpēc, samazinot daļu, mēs dalām 10 un 25 ar 5.

Ieslēgts nākamā nodarbība Skolēniem jālūdz salīdzināt reizinātāju un reizinājumu pēc lieluma, izmantojot vairākus piemērus, kā reizināt daļu ar veselu skaitli. Noteikt, ka daļskaitļiem, kā arī veseliem skaitļiem, palielināt daļu vairākas reizes, nozīmē to reizināt ar veselu skaitli. Pamatojoties uz veidlapas piemēru apsvēršanu

tiek izdarīts secinājums par daļas vērtības izmaiņām, palielinoties skaitītājam vai samazinoties saucējam par noteiktu reižu skaitu, un tiek dota īpaša metode, kā reizināt daļu ar veselu skaitli, kas piemērota gadījumam, kad daļas saucējs tiek dalīts ar doto veselo skaitli:

Pētot jaukta skaitļa reizināšanu ar veselu skaitli, vispirms tiek aplūkotas divas metodes. Piemēram:

Pēdējie argumenti parāda reizināšanas sadales likuma spēkā esamību attiecībā uz summu, kad viens no vārdiem ir daļskaitlis. Veidlapas piemērs

un secināts, ka, reizinot jauktu skaitli ar veselu skaitli, vairumā gadījumu ir vieglāk atsevišķi reizināt veselo skaitli un daļskaitli ar veselu skaitli.

Daļas dalīšana ar veselu skaitli

Pēc daļskaitļa reizināšanas ar veselu skaitli jādala vesels skaitlis un daļa ar veselu skaitli, jo, lai atrastu skaitļa daļu, pirms reizināšanas ar daļu, ir jādala ar saucēju. Tas ir norādīts lielākajā daļā metodiskā literatūra. Dalīšanas definīcija ir dota kā reizināšanas apgrieztā vērtība.

Apsveriet piemēru: 4:5.

Pirmkārt, tiek veikta argumentācija: lai dalītu 4 ar 5, iedomājieties, ka katra vienība ir dalīta ar pieci vienādās daļās, tad 4 vienības saturēs 20 piektdaļas, dalot 20 piektdaļas ar 5, iegūstam pārbaudāmo:

Esam atraduši daļskaitli, kuru reizinot ar 5, iegūsim 4. Tāpēc dalījums ir pareizs. Rakstīsim:

Secinājums. Ja veselu skaitli dala ar veselu skaitli, tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir vienāds ar dividendi, bet saucējs ir dalītājs. Un otrādi, jebkuru daļskaitli var uzskatīt par koeficientu, dalot tās skaitītāju ar saucēju.

Piemēram, ir vienāds ar koeficientu 3, kas dalīts ar 7, jo ·7=3.

Pētījums par daļskaitļa dalīšanu ar veselu skaitli sākas ar piemēru daļskaitļa reizināšanai ar veselu skaitli, kuram tiek apkopota apgrieztā problēma. Piemēram:

apgrieztais uzdevums:

ir jāatrod tāda daļa, kuru reizinot ar 4, tiks iegūta reizinājums. Šāda daļa būs, mēs rakstām:

Apsverot vairākus līdzīgus piemērus, studenti nonāk pie secinājuma, ka, dalot daļskaitli ar veselu skaitli, pietiek dalīt skaitītāju ar veselu skaitli, atstājot to pašu saucēju. Pēc tam tiek uzdots jautājums, ko darīt gadījumā, ja dotās daļdaļas skaitītājs nedalās ar veselu skaitli. Tiek aplūkota otrā reizināšanas metode: , tātad .

87.§ Daļskaitļu saskaitīšana.

Daļskaitļu pievienošanai ir daudz līdzību ar veselu skaitļu pievienošanu. Daļskaitļu saskaitīšana ir darbība, kas sastāv no tā, ka vairāki dotie skaitļi (vārdi) tiek apvienoti vienā ciparā (summā), kas satur visas terminu vienību vienības un daļas.

Mēs pēc kārtas izskatīsim trīs gadījumus:

1. Daļskaitļu saskaitīšana ar vienādiem saucējiem.
2. Daļskaitļu saskaitīšana ar dažādiem saucējiem.
3. Jauktu skaitļu pievienošana.

1. Daļskaitļu saskaitīšana ar vienādiem saucējiem.

Apsveriet piemēru: 1/5 + 2/5.

Ņem segmentu AB (17. att.), ņem to kā vienību un sadali 5 vienādās daļās, tad šī segmenta daļa AC būs vienāda ar 1/5 no segmenta AB, bet tā paša segmenta CD daļa būs vienāda ar 2/5 AB.

No zīmējuma redzams, ka, ja ņemam segmentu AD, tad tas būs vienāds ar 3/5 AB; bet segments AD ir tieši segmentu AC un CD summa. Tātad, mēs varam rakstīt:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ņemot vērā šos terminus un iegūto summu, redzam, ka summas skaitītājs iegūts, saskaitot terminu skaitītājus, un saucējs palika nemainīgs.

No tā mēs iegūstam šādu noteikumu: Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, ir jāpievieno to skaitītāji un jāatstāj viens un tas pats saucējs.

Apsveriet piemēru:

2. Daļskaitļu saskaitīšana ar dažādiem saucējiem.

Saskaitīsim daļskaitļus: 3/4 + 3/8 Vispirms tie jāsamazina līdz mazākajam kopsaucējam:

Starpsaiti 6/8 + 3/8 nevarēja uzrakstīt; mēs to esam uzrakstījuši šeit lielākas skaidrības labad.

Tādējādi, lai pievienotu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, vispirms tie jāsavieno līdz mazākajam kopsaucējam, jāpievieno to skaitītāji un jāparaksta kopsaucējs.

Apsveriet piemēru (virs attiecīgajām daļdaļām rakstīsim papildu faktorus):

3. Jauktu skaitļu pievienošana.

Saskaitīsim skaitļus: 2 3/8 + 3 5/6.

Vispirms apvienosim mūsu skaitļu daļējās daļas pie kopsaucēja un pārrakstīsim tās vēlreiz:

Tagad secībā pievienojiet veselo skaitļu un daļskaitļu daļas:

88.§ Daļskaitļu atņemšana.

Daļskaitļu atņemšana tiek definēta tāpat kā veselo skaitļu atņemšana. Šī ir darbība, ar kuru, ņemot vērā divu terminu un viena no tiem summu, tiek atrasts cits termins. Apskatīsim trīs gadījumus pēc kārtas:

1. Daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšana.
2. Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšana.
3. Jaukto skaitļu atņemšana.

1. Daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšana.

Apsveriet piemēru:

13 / 15 - 4 / 15

Ņemsim nogriezni AB (18. att.), ņemsim to par vienību un sadalīsim 15 vienādās daļās; tad šī segmenta maiņstrāvas daļa būs 1/15 no AB, un tā paša segmenta AD daļa atbildīs 13/15 AB. Atcelsim vēl vienu segmentu ED, kas vienāds ar 4/15 AB.

Mums ir jāatņem 4/15 no 13/15. Zīmējumā tas nozīmē, ka segments ED ir jāatņem no segmenta AD. Rezultātā paliks segments AE, kas ir 9/15 no segmenta AB. Tātad mēs varam rakstīt:

Mūsu izveidotajā piemērā redzams, ka starpības skaitītājs tika iegūts, atņemot skaitītājus, un saucējs palika nemainīgs.

Tāpēc, lai atņemtu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jums ir jāatņem apakšdaļas skaitītājs no mazā skaitļa skaitītāja un jāatstāj tas pats saucējs.

2. Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšana.

Piemērs. 3/4 - 5/8

Vispirms samazināsim šīs daļas līdz mazākajam kopsaucējam:

Skaidrības labad šeit ir rakstīta starpsaite 6 / 8 - 5 / 8, bet turpmāk to var izlaist.

Tādējādi, lai no daļskaitļa atņemtu daļskaitli, vispirms tie ir jāsaved līdz mazākajam kopsaucējam, pēc tam no mazā skaitītāja jāatņem apakšdaļas skaitītājs un kopsaucējs jāparaksta zem to starpības.

Apsveriet piemēru:

3. Jaukto skaitļu atņemšana.

Piemērs. 10 3/4 - 7 2/3.

Novedīsim daļdaļas no minuend un apakšdaļas līdz mazākajam kopsaucējam:

Mēs atņēmām veselu no veseluma un daļu no daļdaļas. Bet ir gadījumi, kad apakšrindas daļēja daļa ir lielāka par mazā daļa. Šādos gadījumos jums ir jāņem viena vienība no reducētā veselā skaitļa daļas, jāsadala tajās daļās, kurās tiek izteikta daļēja daļa, un jāpievieno reducētā daļēja daļa. Un tad atņemšana tiks veikta tāpat kā iepriekšējā piemērā:

89.§ Daļskaitļu reizināšana.

Pētot daļskaitļu reizināšanu, mēs apsvērsim nākamie jautājumi:

1. Daļas reizināšana ar veselu skaitli.
2. Dotā skaitļa daļas atrašana.
3. Vesela skaitļa reizināšana ar daļskaitli.
4. Daļdaļas reizināšana ar daļskaitli.
5. Jauktu skaitļu reizināšana.
6. Interešu jēdziens.
7. Dotā skaitļa procentuālo attiecību atrašana. Apskatīsim tos secīgi.

1. Daļas reizināšana ar veselu skaitli.

Daļas reizināšanai ar veselu skaitli ir tāda pati nozīme kā vesela skaitļa reizināšanai ar veselu skaitli. Daļas (reizinātāja) reizināšana ar veselu skaitli (reizinātāju) nozīmē identisku terminu summas sastādīšanu, kurā katrs vārds ir vienāds ar reizinātāju un vārdu skaits ir vienāds ar reizinātāju.

Tātad, ja jums ir jāreizina 1/9 ar 7, to var izdarīt šādi:

Mēs viegli ieguvām rezultātu, jo darbība tika samazināta līdz daļskaitļu pievienošanai ar vienādiem saucējiem. Tāpēc

Šīs darbības izskatīšana parāda, ka daļdaļas reizināšana ar veselu skaitli ir līdzvērtīga šīs daļdaļas palielināšanai tik reižu, cik veselā skaitļā ir vienības. Un tā kā frakcijas pieaugums tiek panākts vai nu palielinot tā skaitītāju

vai samazinot tā saucēju , tad varam vai nu reizināt skaitītāju ar veselu skaitli, vai dalīt ar to saucēju, ja šāds dalījums ir iespējams.

No šejienes mēs iegūstam noteikumu:

Lai daļdaļu reizinātu ar veselu skaitli, skaitītājs jāreizina ar šo veselo skaitli un saucējs jāatstāj tāds pats vai, ja iespējams, saucējs jādala ar šo skaitli, skaitītāju atstājot nemainīgu.

Reizinot, ir iespējami saīsinājumi, piemēram:

2. Dotā skaitļa daļas atrašana. Ir daudzas problēmas, kurās jums ir jāatrod vai jāaprēķina daļa no dotā skaitļa. Atšķirība starp šiem uzdevumiem un citiem ir tāda, ka tie dod dažu objektu vai mērvienību skaitu, un jums ir jāatrod šī skaitļa daļa, kas arī šeit ir norādīta ar noteiktu daļskaitli. Lai atvieglotu izpratni, vispirms sniegsim šādu problēmu piemērus un pēc tam iepazīstināsim ar to risināšanas metodi.

1. uzdevums. Man bija 60 rubļi; 1/3 no šīs naudas es iztērēju grāmatu iegādei. Cik maksāja grāmatas?

2. uzdevums. Vilcienam jāveic attālums starp pilsētām A un B, kas vienāds ar 300 km. Viņš jau ir veicis 2/3 no šīs distances. Cik kilometru tas ir?

3. uzdevums. Ciematā ir 400 māju, 3/4 no tām ir ķieģeļu, pārējās koka. Cik ķieģeļu māju ir?

Šeit ir dažas no daudzajām problēmām, kas mums jārisina, lai atrastu daļu no noteiktā skaitļa. Tos parasti sauc par problēmām, lai atrastu dotā skaitļa daļu.

1. uzdevuma risinājums. No 60 rubļiem. 1/3 iztērēju grāmatām; Tātad, lai uzzinātu grāmatu izmaksas, skaitlis 60 jādala ar 3:

2. uzdevuma risinājums. Problēmas nozīme ir tāda, ka jums jāatrod 2/3 no 300 km. Aprēķināt pirmo 1/3 no 300; to panāk, dalot 300 km ar 3:

300: 3 = 100 (tā ir 1/3 no 300).

Lai atrastu divas trešdaļas no 300, iegūtais koeficients ir jādubulto, tas ir, jāreizina ar 2:

100 x 2 = 200 (tas ir 2/3 no 300).

3. uzdevuma risinājums.Šeit jums jānosaka ķieģeļu māju skaits, kas ir 3/4 no 400. Vispirms atradīsim 1/4 no 400,

400: 4 = 100 (tā ir 1/4 no 400).

Lai aprēķinātu trīs ceturtdaļas no 400, iegūtais koeficients ir trīskāršots, tas ir, jāreizina ar 3:

100 x 3 = 300 (tas ir 3/4 no 400).

Pamatojoties uz šo problēmu risinājumu, mēs varam iegūt šādu noteikumu:

Lai atrastu dotā skaitļa daļas vērtību, šis skaitlis jādala ar daļas saucēju un iegūtais koeficients jāreizina ar tā skaitītāju.

3. Vesela skaitļa reizināšana ar daļskaitli.

Iepriekš (26. §) tika noteikts, ka ar veselu skaitļu reizināšanu jāsaprot identisku terminu saskaitīšana (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Šajā punktā (1. punkts) tika noteikts, ka daļskaitļa reizināšana ar veselu skaitli nozīmē atrast identisku vārdu summu, kas ir vienāda ar šo daļu.

Abos gadījumos reizināšana ietvēra identisku terminu summas atrašanu.

Tagad mēs pārejam pie vesela skaitļa reizināšanas ar daļu. Šeit mēs tiksimies ar tādu, piemēram, reizināšanu: 9 2/3. Ir pilnīgi skaidrs, ka iepriekšējā reizināšanas definīcija uz šo gadījumu neattiecas. Tas ir skaidrs no tā, ka mēs nevaram aizstāt šādu reizināšanu ar vienādu skaitļu saskaitīšanu.

Sakarā ar to mums būs jāsniedz jauna reizināšanas definīcija, t.i., citiem vārdiem sakot, jāatbild uz jautājumu, kas jāsaprot ar reizināšanu ar daļskaitli, kā jāsaprot šī darbība.

Vesela skaitļa reizināšanas ar daļskaitli nozīme ir skaidra no šādas definīcijas: reizināt veselu skaitli (reizinātāju) ar daļu (reizinātāju) nozīmē atrast šo reizinātāja daļu.

Proti, reizināt 9 ar 2/3 nozīmē atrast 2/3 no deviņām vienībām. Iepriekšējā rindkopā šādas problēmas tika atrisinātas; tāpēc ir viegli saprast, ka mēs nonākam pie 6.

Bet tagad rodas interesants un svarīgs jautājums: kāpēc tāds no pirmā acu uzmetiena dažādas aktivitātes kā atrast summu vienādi skaitļi un atrast skaitļa daļu, aritmētikā sauc to pašu vārdu "reizināšana"?

Tas notiek tāpēc, ka iepriekšējā darbība (vairākas reizes skaitļa atkārtošana ar vārdiem) un jaunā darbība (skaitļa daļas atrašana) sniedz atbildi uz viendabīgiem jautājumiem. Tas nozīmē, ka šeit mēs izejam no apsvērumiem, ka viendabīgus jautājumus vai uzdevumus risina viena un tā pati darbība.

Lai to saprastu, apsveriet šādu problēmu: “1 m auduma maksā 50 rubļus. Cik maksās 4 m šāda auduma?

Šī problēma tiek atrisināta, reizinot rubļu skaitu (50) ar metru skaitu (4), t.i., 50 x 4 = 200 (rubļi).

Ņemsim to pašu problēmu, bet tajā auduma daudzums tiks izteikts kā daļskaitlis: “1 m auduma maksā 50 rubļus. Cik maksās 3/4 m šāda auduma?

Arī šī problēma ir jāatrisina, reizinot rubļu skaitu (50) ar metru skaitu (3/4).

Varat arī vairākas reizes mainīt tajā esošos skaitļus, nemainot uzdevuma nozīmi, piemēram, ņemt 9/10 m vai 2 3/10 m utt.

Tā kā šīm problēmām ir vienāds saturs un tās atšķiras tikai skaitļos, to risināšanā izmantotās darbības saucam ar vienu un to pašu vārdu - reizināšana.

Kā vesels skaitlis tiek reizināts ar daļskaitli?

Ņemsim skaitļus, kas radušies pēdējā uzdevumā:

Saskaņā ar definīciju mums jāatrod 3/4 no 50. Vispirms atrodam 1/4 no 50, un tad 3/4.

1/4 no 50 ir 50/4;

3/4 no 50 ir .

Līdz ar to.

Apsveriet citu piemēru: 12 5/8 = ?

1/8 no 12 ir 12/8,

5/8 no skaitļa 12 ir .

Tāpēc

No šejienes mēs iegūstam noteikumu:

Lai reizinātu veselu skaitli ar daļskaitli, jums ir jāreizina vesels skaitlis ar daļskaitļa skaitītāju un jāpadara šis reizinājums par skaitītāju un kā saucējs jāparaksta dotās daļas saucējs.

Mēs rakstām šo noteikumu, izmantojot burtus:

Lai šis noteikums būtu pilnīgi skaidrs, jāatceras, ka daļskaitli var uzskatīt par koeficientu. Tāpēc ir lietderīgi atrasto noteikumu salīdzināt ar noteikumu skaitļa reizināšanai ar koeficientu, kas tika noteikts 38. §.

Jāatceras, ka pirms reizināšanas jāveic (ja iespējams) izcirtņi, Piemēram:

4. Daļdaļas reizināšana ar daļskaitli. Daļas reizināšanai ar daļskaitli ir tāda pati nozīme kā vesela skaitļa reizināšanai ar daļskaitli, tas ir, reizinot daļu ar daļskaitli, reizinātājā ir jāatrod daļa no pirmās daļas (reizinātāja).

Proti, reizināt 3/4 ar 1/2 (puse) nozīmē atrast pusi no 3/4.

Kā reizināt daļu ar daļu?

Ņemsim piemēru: 3/4 reizes 5/7. Tas nozīmē, ka jums jāatrod 5/7 no 3/4. Vispirms atrodiet 1/7 no 3/4 un pēc tam 5/7

1/7 no 3/4 būtu izteikti šādi:

5/7 skaitļi 3/4 tiks izteikti šādi:

Tādējādi

Cits piemērs: 5/8 reiz 4/9.

1/9 no 5/8 ir ,

4/9 skaitļi 5/8 ir .

Tādējādi

No šiem piemēriem var izsecināt šādu noteikumu:

Lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju un otrais reizinājums par reizinājuma saucēju.

Šis ir noteikums iekšā vispārējs skats var uzrakstīt šādi:

Reizinot, ir nepieciešams veikt (ja iespējams) samazinājumus. Apsveriet piemērus:

5. Jauktu skaitļu reizināšana. Tā kā jauktos skaitļus var viegli aizstāt ar nepareizām daļskaitļiem, šis apstāklis ​​parasti tiek izmantots, reizinot jauktos skaitļus. Tas nozīmē, ka gadījumos, kad reizinātājs vai reizinātājs, vai abi faktori tiek izteikti kā jaukti skaitļi, tie tiek aizstāti ar nepareizām daļskaitļiem. Reiziniet, piemēram, jauktos skaitļus: 2 1/2 un 3 1/5. Mēs katru no tiem pārvēršam par nepareizu daļskaitli, un pēc tam mēs reizinim iegūtās daļas saskaņā ar likumu, kas reizināts ar daļu:

Noteikums. Lai reizinātu jauktos skaitļus, vispirms tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar likumu, kas reizināts ar daļskaitli.

Piezīme. Ja viens no faktoriem ir vesels skaitlis, tad reizināšanu var veikt, pamatojoties uz sadalījuma likumu:

6. Interešu jēdziens. Risinot uzdevumus un veicot dažādus praktiskus aprēķinus, izmantojam visa veida daļskaitļus. Taču jāpatur prātā, ka daudzi daudzumi pieļauj nevis jebkādus, bet dabiskus iedalījumus. Piemēram, jūs varat paņemt vienu simtdaļu (1/100) no rubļa, tas būs santīms, divas simtdaļas ir 2 kapeikas, trīs simtdaļas ir 3 kapeikas. Var paņemt 1/10 rubļa, tas būs "10 kapeikas, vai dimetānnaftalīns. Var paņemt ceturtdaļu rubļa, tas ir, 25 kapeikas, pusrubli, tas ir, 50 kapeikas (piecdesmit kapeikas). Bet viņi praktiski neņem, piemēram, 2/7 rubļus, jo rublis nav sadalīts septītajā daļā.

Svara mērvienība, t.i., kilograms, vispirms pieļauj decimāldaļas, piemēram, 1/10 kg vai 100 g. Un tādas kilograma daļas kā 1/6, 1/11, 1/13 ir retāk sastopamas.

Parasti mūsu (metriskie) mēri ir decimāldaļas un pieļauj decimāldaļas.

Tomēr jāņem vērā, ka ļoti lietderīgi un ērti visdažādākajos gadījumos ir izmantot vienu un to pašu (vienotu) daudzumu sadalīšanas metodi. Daudzu gadu pieredze liecina, ka šāds labi pamatots dalījums ir "simtdaļu" dalījums. Apskatīsim dažus piemērus, kas saistīti ar visdažādākajām cilvēku prakses jomām.

1. Grāmatu cena ir samazinājusies par 12/100 no iepriekšējās cenas.

Piemērs. Iepriekšējā grāmatas cena ir 10 rubļi. Viņa samazinājās par 1 rubli. 20 kop.

2. Krājbankas gada laikā izmaksā noguldītājiem 2/100 no summas, kas tiek ieguldīta uzkrājumos.

Piemērs. Kasē tiek ielikti 500 rubļi, ienākumi no šīs summas gadā ir 10 rubļi.

3. Vienas skolas absolventu skaits bija 5/100 no kopējā skolēnu skaita.

PIEMĒRS Skolā mācījās tikai 1200 audzēkņu, no kuriem skolu absolvēja 60.

Skaitļa simtdaļu sauc par procentiem..

Vārds "procenti" ir aizgūts no latīņu valoda un tā sakne "cents" nozīmē simts. Kopā ar prievārdu (pro centum) šis vārds nozīmē "par simtu". Šī izteiciena nozīme izriet no tā, ka sākotnēji in senā Roma procenti bija nauda, ​​ko parādnieks samaksāja aizdevējam "par katriem simtiem". Vārds "cents" ir dzirdams tik pazīstamos vārdos: centner (simts kilogrami), centimetrs (viņi saka centimetrs).

Piemēram, tā vietā, lai teiktu, ka rūpnīca saražoja 1/100 no visas pēdējā mēneša laikā saražotās produkcijas, teiksim tā: rūpnīca pēdējā mēneša laikā saražoja vienu procentu no atkritumiem. Tā vietā, lai teiktu: rūpnīca saražoja par 4/100 vairāk produktu nekā noteikts plānā, mēs teiksim: rūpnīca plānu pārsniedza par 4 procentiem.

Iepriekš minētos piemērus var izteikt dažādi:

1. Grāmatu cena ir samazinājusies par 12 procentiem no iepriekšējās cenas.

2. Krājbankas maksā noguldītājiem 2 procentus gadā no uzkrājumos ieguldītās summas.

3. Vienas skolas absolventu skaits bija 5 procenti no visu skolas skolēnu skaita.

Lai burtu saīsinātu, vārda "procenti" vietā ierasts rakstīt % zīmi.

Taču jāatceras, ka % zīmi aprēķinos parasti neraksta, to var ierakstīt uzdevuma formulējumā un gala rezultātā. Veicot aprēķinus, ar šo ikonu vesela skaitļa vietā jāieraksta daļskaitlis ar saucēju 100.

Jums ir jāspēj aizstāt vesels skaitlis ar norādīto ikonu ar daļskaitli ar saucēju 100:

Un otrādi, jums ir jāpierod rakstīt veselu skaitli ar norādīto ikonu, nevis daļskaitli ar saucēju 100:

7. Dotā skaitļa procentuālo attiecību atrašana.

1. uzdevums. Skola saņēma 200 kubikmetru. m malkas, kur bērza malka sastāda 30%. Cik daudz tur bija bērza koksnes?

Šīs problēmas nozīme ir tāda, ka bērza malka bija tikai daļa no malkas, kas tika piegādāta skolai, un šī daļa ir izteikta kā daļa no 30 / 100. Tātad, mēs saskaramies ar uzdevumu atrast skaitļa daļu. Lai to atrisinātu, mums jāreizina 200 ar 30 / 100 (uzdevumi, lai atrastu skaitļa daļu, tiek atrisināti, reizinot skaitli ar daļu.).

Tātad 30% no 200 ir vienādi ar 60.

Šajā problēmā sastapto daļu 30/100 var samazināt par 10. Šo samazināšanu būtu iespējams veikt jau no paša sākuma; problēmas risinājums nemainītos.

2. uzdevums. Nometnē bija 300 bērnu dažādi vecumi. Bērni vecumā no 11 gadiem bija 21%, bērni vecumā no 12 gadiem bija 61% un visbeidzot 13 gadus veci bērni bija 18%. Cik bērnu katrā vecumā bija nometnē?

Šajā uzdevumā jums ir jāveic trīs aprēķini, tas ir, secīgi jāatrod bērnu skaits, kas ir 11 gadus vecs, pēc tam 12 gadus vecs un visbeidzot 13 gadus vecs.

Tātad, šeit būs trīs reizes jāatrod skaitļa daļa. Darīsim to:

1) Cik bērnu bija 11 gadus veci?

2) Cik bērnu bija 12 gadus veci?

3) Cik bērnu bija 13 gadus veci?

Pēc uzdevuma atrisināšanas ir lietderīgi pievienot atrastos skaitļus; to summai jābūt 300:

63 + 183 + 54 = 300

Tāpat jāpievērš uzmanība tam, ka problēmas nosacījumā norādīto procentu summa ir 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tas liecina, ka kopējais bērnu skaits nometnē tika pieņemts 100%.

3 un da cha 3. Strādnieks saņēma 1200 rubļu mēnesī. No tiem viņš iztērēja 65% pārtikai, 6% dzīvoklim un apkurei, 4% gāzei, elektrībai un radio, 10% kultūras vajadzībām un 15% ietaupīja. Cik naudas tika iztērēts uzdevumā norādītajām vajadzībām?

Lai atrisinātu šo uzdevumu, 5 reizes jāatrod daļa no skaitļa 1200. Darīsim to.

1) Cik daudz naudas tiek tērēts pārtikai? Uzdevumā teikts, ka šie izdevumi ir 65% no visiem ienākumiem, t.i., 65/100 no skaitļa 1200. Veiksim aprēķinu:

2) Cik naudas tika samaksāts par dzīvokli ar apkuri? Strīdoties tāpat kā iepriekšējā, mēs nonākam pie šāda aprēķina:

3) Cik naudas jūs maksājāt par gāzi, elektrību un radio?

4) Cik daudz naudas tiek tērēts kultūras vajadzībām?

5) Cik naudas strādnieks ietaupīja?

Lai pārbaudītu, ir lietderīgi pievienot skaitļus, kas atrodami šajos 5 jautājumos. Summai jābūt 1200 rubļiem. Visi ienākumi tiek uzskatīti par 100%, ko ir viegli pārbaudīt, saskaitot problēmas stāvoklī norādītos procentus.

Mēs esam atrisinājuši trīs problēmas. Neskatoties uz to, ka šie uzdevumi bija par dažādām lietām (malkas piegāde skolai, dažāda vecuma bērnu skaits, strādnieka izdevumi), tie tika risināti vienādi. Tas notika tāpēc, ka visos uzdevumos bija jāatrod daži procenti no dotajiem skaitļiem.

90.§ Daļskaitļu dalīšana.

Pētot frakciju dalījumu, mēs apsvērsim šādus jautājumus:

1. Sadaliet veselu skaitli ar veselu skaitli.
2. Daļas dalīšana ar veselu skaitli
3. Vesela skaitļa dalīšana ar daļskaitli.
4. Daļdaļas dalīšana ar daļskaitli.
5. Jaukto skaitļu dalījums.
6. Skaitļa atrašana, ņemot vērā tā daļu.
7. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.

Apskatīsim tos secīgi.

1. Sadaliet veselu skaitli ar veselu skaitli.

Kā norādīts veselo skaitļu sadaļā, dalīšana ir darbība, kas sastāv no tā, ka, reizinot divus faktorus (dividende) un vienu no šiem faktoriem (dalītāju), tiek atrasts cits faktors.

Vesela skaitļa dalīšana ar veselu skaitli, ko mēs aplūkojām veselu skaitļu nodaļā. Mēs tur satikām divus dalīšanas gadījumus: sadalīšanu bez atlikuma vai "pilnībā" (150: 10 = 15) un sadalīšanu ar atlikumu (100: 9 = 11 un 1 atlikumā). Tāpēc mēs varam teikt, ka veselu skaitļu jomā precīza dalīšana ne vienmēr ir iespējama, jo dividende ne vienmēr ir dalītāja un vesela skaitļa reizinājums. Pēc reizināšanas ar daļskaitli ieviešanas mēs varam uzskatīt par iespējamu jebkuru veselu skaitļu dalīšanas gadījumu (tikai dalīšana ar nulli ir izslēgta).

Piemēram, dalot 7 ar 12, tiek atrasts skaitlis, kura reizinājuma reizinājums 12 būtu 7. Šis skaitlis ir daļskaitlis 7/12, jo 7/12 12 = 7. Vēl viens piemērs: 14: 25 = 14/25, jo 14/25 25 = 14.

Tādējādi, lai dalītu veselu skaitli ar veselu skaitli, jums ir jāizveido daļskaitlis, kura skaitītājs ir vienāds ar dividendi, bet saucējs ir dalītājs.

2. Daļas dalīšana ar veselu skaitli.

Daļu 6/7 dala ar 3. Saskaņā ar iepriekš sniegto dalījuma definīciju šeit ir reizinājums (6/7) un viens no faktoriem (3); ir jāatrod tāds otrs koeficients, kas, reizinot ar 3, dotu reizinājumu 6/7. Acīmredzot tam vajadzētu būt trīs reizes mazākam par šo produktu. Tas nozīmē, ka mums izvirzītais uzdevums bija samazināt daļu 6/7 3 reizes.

Mēs jau zinām, ka daļu var samazināt, vai nu samazinot tās skaitītāju, vai palielinot saucēju. Tāpēc jūs varat rakstīt:

Šajā gadījumā skaitītājs 6 dalās ar 3, tāpēc skaitītājs jāsamazina 3 reizes.

Ņemsim vēl vienu piemēru: 5/8 dalīts ar 2. Šeit skaitītājs 5 nedalās ar 2, kas nozīmē, ka saucējs būs jāreizina ar šo skaitli:

Pamatojoties uz to, mēs varam noteikt noteikumu: Lai dalītu daļu ar veselu skaitli, dalījuma skaitītājs ir jādala ar šo veselo skaitli(ja iespējams), atstājot to pašu saucēju, vai reiziniet daļskaitļa saucēju ar šo skaitli, atstājot to pašu skaitītāju.

3. Vesela skaitļa dalīšana ar daļskaitli.

Pieprasiet dalīt 5 ar 1/2, t.i., atrast skaitli, kas pēc reizināšanas ar 1/2 dos reizinājumu 5. Acīmredzot šim skaitlim ir jābūt lielākam par 5, jo 1/2 ir pareiza daļa, un, reizinot skaitli ar pareizu daļskaitli, reizinājumam jābūt mazākam par reizinājumu. Lai padarītu to skaidrāku, rakstīsim savas darbības šādi: 5: 1 / 2 = X , tātad x 1/2 \u003d 5.

Mums ir jāatrod šāds skaitlis X , kas, reizinot ar 1/2, iegūtu 5. Tā kā noteikta skaitļa reizināšana ar 1/2 nozīmē atrast 1/2 no šī skaitļa, tad 1/2 no nezināmā skaitļa X ir 5 un veselais skaitlis X divreiz vairāk, t.i., 5 2 \u003d 10.

Tātad 5: 1/2 = 5 2 = 10

Pārbaudīsim:

Apskatīsim vēl vienu piemēru. Jādala 6 ar 2/3. Vispirms mēģināsim atrast vēlamo rezultātu, izmantojot zīmējumu (19. att.).

19. att

Uzzīmējiet segmentu AB, kas vienāds ar 6 no dažām vienībām, un sadaliet katru vienību 3 vienādās daļās. Katrā vienībā trīs trešdaļas (3/3) visā segmentā AB ir 6 reizes lielākas, t.i. e. 18/3. Mēs savienojam ar mazo kronšteinu palīdzību 18 iegūtos segmentus pa 2; Būs tikai 9 segmenti. Tas nozīmē, ka daļa 2/3 ir ietverta b vienībās 9 reizes vai, citiem vārdiem sakot, daļa 2/3 ir 9 reizes mazāka par 6 veselu skaitļu vienībām. Tāpēc

Kā iegūt šo rezultātu bez zīmējuma, izmantojot tikai aprēķinus? Mēs strīdēsimies šādi: ir nepieciešams dalīt 6 ar 2/3, t.i., ir jāatbild uz jautājumu, cik reizes 2/3 ir ietverts 6. Vispirms noskaidrosim: cik reizes 1/3 ir ietverts 6? Veselā vienībā - 3 trešdaļas, bet 6 vienībās - 6 reizes vairāk, t.i., 18 trešdaļas; lai atrastu šo skaitli, mums jāreizina 6 ar 3. Tādējādi 1/3 ir ietverta b vienībās 18 reizes, bet 2/3 ir ietverta b vienībās nevis 18 reizes, bet uz pusi mazāk, t.i., 18: 2 = 9. Tāpēc, dalot 6 ar 2/3, mēs veicām šādas darbības:

No šejienes mēs iegūstam noteikumu vesela skaitļa dalīšanai ar daļu. Lai veselu skaitli dalītu ar daļskaitli, šis veselais skaitlis jāreizina ar dotās daļdaļas saucēju un, padarot šo reizinājumu par skaitītāju, jādala ar dotās daļas skaitītāju.

Mēs rakstām noteikumu, izmantojot burtus:

Lai šis noteikums būtu pilnīgi skaidrs, jāatceras, ka daļskaitli var uzskatīt par koeficientu. Tāpēc ir lietderīgi atrasto noteikumu salīdzināt ar noteikumu par skaitļa dalīšanu ar koeficientu, kas bija noteikts 38.§. Ņemiet vērā, ka tur tika iegūta tāda pati formula.

Sadalot, ir iespējami saīsinājumi, piemēram:

4. Daļdaļas dalīšana ar daļskaitli.

Lai 3/4 ir jādala ar 3/8. Kas apzīmēs skaitli, kas tiks iegūts dalīšanas rezultātā? Tas atbildēs uz jautājumu, cik reižu daļa 3/8 ir ietverta daļā 3/4. Lai saprastu šo jautājumu, izveidosim zīmējumu (20. att.).

Paņemiet segmentu AB, ņemiet to kā vienību, sadaliet to 4 vienādās daļās un atzīmējiet 3 šādas daļas. Segments AC būs vienāds ar 3/4 segmenta AB. Tagad sadalīsim katru no četriem sākotnējiem segmentiem uz pusēm, tad segments AB tiks sadalīts 8 vienādās daļās un katra šāda daļa būs vienāda ar 1/8 no segmenta AB. Mēs savienojam 3 šādus segmentus ar lokiem, tad katrs no segmentiem AD un DC būs vienāds ar 3/8 no segmenta AB. Zīmējums parāda, ka segments, kas vienāds ar 3/8, ir ietverts segmentā, kas vienāds ar 3/4 tieši 2 reizes; Tātad dalīšanas rezultātu var uzrakstīt šādi:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Apskatīsim vēl vienu piemēru. Lai 15/16 ir jādala ar 3/32:

Mēs varam spriest šādi: mums jāatrod skaitlis, kas pēc reizināšanas ar 3/32 dos reizinājumu, kas vienāds ar 15/16. Rakstīsim aprēķinus šādi:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nezināms numurs X grims 15/16

1/32 nezināms numurs X ir ,

32/32 cipari X meikaps .

Tāpēc

Tādējādi, lai dalītu daļu ar daļu, jums jāreizina pirmās daļas skaitītājs ar otrās daļas saucēju un jāreizina pirmās daļas saucējs ar otrās daļas skaitītāju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju, bet otrais - par saucēju.

Rakstīsim noteikumu, izmantojot burtus:

Sadalot, ir iespējami saīsinājumi, piemēram:

5. Jaukto skaitļu dalījums.

Sadalot jauktos skaitļus, tie vispirms jāpārvērš nepareizās daļās, un pēc tam iegūtās daļas jāsadala saskaņā ar daļskaitļu dalīšanas noteikumiem. Apsveriet piemēru:

Konvertējiet jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos:

Tagad sadalīsim:

Tādējādi, lai sadalītu jauktos skaitļus, tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jādala saskaņā ar daļskaitļu dalīšanas noteikumu.

6. Skaitļa atrašana, ņemot vērā tā daļu.

Starp dažādiem uzdevumiem par daļskaitļiem dažreiz ir tādi, kuros ir norādīta kāda nezināma skaitļa daļa, un tas ir jāatrod. Šāda veida problēma būs apgriezta problēmai atrast dotā skaitļa daļu; tur tika dots skaitlis un vajadzēja atrast kādu daļu no šī skaitļa, šeit ir dota skaitļa daļa un ir jāatrod pats šis skaitlis. Šī doma kļūs vēl skaidrāka, ja pievērsīsimies šāda veida problēmu risinājumam.

1. uzdevums. Pirmajā dienā stiklinieki iestikloja 50 logus, kas ir 1/3 no visiem uzbūvētās mājas logiem. Cik logu ir šai mājai?

Risinājums. Problēma saka, ka 50 stiklotie logi sastāda 1/3 no visiem mājas logiem, kas nozīmē, ka kopumā ir 3 reizes vairāk logu, t.i.

Mājai bija 150 logi.

2. uzdevums. Veikalā tika pārdoti 1500 kg miltu, kas ir 3/8 no kopējiem miltu krājumiem veikalā. Kāds bija veikala sākotnējais miltu piedāvājums?

Risinājums. No problēmas stāvokļa redzams, ka pārdotie 1500 kg miltu veido 3/8 no kopējā krājuma; tas nozīmē, ka 1/8 daļa no šī krājuma būs 3 reizes mazāka, t.i., lai to aprēķinātu, jums ir jāsamazina 1500 3 reizes:

1500: 3 = 500 (tā ir 1/8 no krājuma).

Acīmredzot viss krājums būs 8 reizes lielāks. Tāpēc

500 8 \u003d 4000 (kg).

Sākotnējais miltu krājums veikalā bija 4000 kg.

Apsverot šo problēmu, var secināt šādu noteikumu.

Lai atrastu skaitli ar noteiktu tā daļskaitļa vērtību, pietiek ar to, ka šo vērtību dala ar daļskaitļa skaitītāju un rezultātu reizina ar daļdaļas saucēju.

Mēs atrisinājām divas problēmas, meklējot skaitli, ņemot vērā tā daļu. Šādas problēmas, kā tas īpaši labi redzams no pēdējās, tiek atrisinātas ar divām darbībām: dalīšanu (kad tiek atrasta viena daļa) un reizināšanu (kad tiek atrasts veselais skaitlis).

Tomēr pēc tam, kad esam izpētījuši daļskaitļu dalīšanu, iepriekš minētās problēmas var atrisināt vienā darbībā, proti: dalīšana ar daļskaitli.

Piemēram, pēdējo uzdevumu var atrisināt ar vienu darbību, piemēram:

Nākotnē skaitļa atrašanas problēmu pēc tā daļas atrisināsim vienā darbībā - dalījumā.

7. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.

Šajos uzdevumos jums būs jāatrod skaitlis, zinot dažus procentus no šī skaitļa.

1. uzdevums.Šī gada sākumā no krājkases saņēmu 60 rubļus. ienākumi no summas, ko pirms gada ieliku uzkrājumos. Cik naudas es ieliku krājkasē? (Kases nodrošina noguldītājiem 2% no ienākumiem gadā.)

Problēmas nozīme ir tāda, ka noteiktu naudas summu es ieliku krājkasē un nogulēju tur gadu. Pēc gada es no viņas saņēmu 60 rubļus. ienākumiem, kas ir 2/100 no manas ieliktās naudas. Cik daudz naudas es noguldīju?

Tāpēc, zinot šīs naudas daļu, kas izteikta divos veidos (rubļos un daļās), jāatrod visa, pagaidām nezināmā summa. Šī ir parasta skaitļa atrašanas problēma, ņemot vērā tā daļu. Sadalot tiek atrisināti šādi uzdevumi:

Tātad krājkasē tika ielikti 3000 rubļu.

2. uzdevums. Divu nedēļu laikā makšķernieki mēneša plānu izpildījuši par 64%, sagatavojot 512 tonnas zivju. Kāds bija viņu plāns?

No problēmas stāvokļa zināms, ka makšķernieki pabeidza daļu no plāna. Šī daļa ir vienāda ar 512 tonnām, kas ir 64% no plāna. Cik tonnas zivju jāsavāc pēc plāna, mēs nezinām. Problēmas risinājums būs šī skaitļa atrašana.

Šādi uzdevumi tiek atrisināti, dalot:

Tātad, saskaņā ar plānu, jums ir jāsagatavo 800 tonnas zivju.

3. uzdevums. Vilciens devās no Rīgas uz Maskavu. Kad viņš pabrauca garām 276. kilometram, viens no pasažieriem jautāja garāmbraucošajam konduktors, cik lielu ceļa daļu viņi jau ir nobraukuši. Uz to konduktors atbildēja: "Mēs jau esam veikuši 30% no visa brauciena." Kāds ir attālums no Rīgas līdz Maskavai?

No problēmas stāvokļa var redzēt, ka 30% no Rīgas līdz Maskavai braucienam ir 276 km. Mums jāatrod viss attālums starp šīm pilsētām, t.i., šai daļai jāatrod viss:

§ 91. Savstarpēji skaitļi. Dalīšanas aizstāšana ar reizināšanu.

Ņem daļskaitli 2/3 un pārkārto skaitītāju uz saucēja vietu, iegūstam 3/2. Mēs saņēmām daļskaitli, šīs vērtības apgriezienu.

Lai iegūtu dotā daļskaitļa apgriezto vērtību, saucēja vietā jāievieto tā skaitītājs, bet skaitītāja vietā - saucējs. Tādā veidā mēs varam iegūt daļskaitli, kas ir jebkuras daļskaitļa apgrieztā vērtība. Piemēram:

3/4, reverss 4/3; 5/6, otrādi 6/5

Tiek sauktas divas daļas, kurām ir īpašība, ka pirmās skaitītājs ir otrās saucējs un pirmās saucējs ir otrās skaitītājs. savstarpēji apgriezti.

Tagad padomāsim par to, kāda daļa būs 1/2 apgrieztā vērtība. Acīmredzot tas būs 2/1 vai tikai 2. Meklējot šī apgriezto vērtību, mēs saņēmām veselu skaitli. Un šis gadījums nav izolēts; gluži pretēji, visām daļām, kuru skaitītājs ir 1 (viens), apgrieztās vērtības būs veseli skaitļi, piemēram:

1/3, apgriezts 3; 1/5, reverss 5

Tā kā, atrodot reciprokus, mēs tikāmies arī ar veseliem skaitļiem, turpmāk mēs nerunāsim par reciprokāliem, bet gan par reciprokāliem.

Izdomāsim, kā uzrakstīt vesela skaitļa apgriezto vērtību. Daļskaitļiem tas tiek atrisināts vienkārši: skaitītāja vietā jāievieto saucējs. Tādā pašā veidā jūs varat iegūt vesela skaitļa apgriezto vērtību, jo jebkura vesela skaitļa saucējs var būt 1. Tāpēc apgrieztais skaitlis 7 būs 1/7, jo 7 \u003d 7 / 1; skaitlim 10 apgrieztā vērtība ir 1/10, jo 10 = 10/1

Šo ideju var izteikt citā veidā: dotā skaitļa apgriezto vērtību iegūst, dalot vienu ar doto skaitli. Šis apgalvojums attiecas ne tikai uz veseliem skaitļiem, bet arī uz daļdaļām. Patiešām, ja vēlaties uzrakstīt skaitli, kas ir daļskaitļa 5/9 apgrieztais skaitlis, tad mēs varam ņemt 1 un dalīt to ar 5/9, t.i.

Tagad norādīsim vienu īpašums savstarpēji abpusēji skaitļi, kas mums noderēs: savstarpēji apgrieztu skaitļu reizinājums ir vienāds ar vienu. Patiešām:

Izmantojot šo īpašību, mēs varam atrast reciprokus šādā veidā. Atradīsim 8 apgriezto vērtību.

Apzīmēsim to ar burtu X , tad 8 X = 1, tātad X = 1/8. Atradīsim citu skaitli, apgrieztu 7/12, apzīmēsim to ar burtu X , tad 7/12 X = 1, tātad X = 1:7 / 12 vai X = 12 / 7 .

Šeit mēs ieviesām savstarpējo skaitļu jēdzienu, lai nedaudz papildinātu informāciju par daļskaitļu dalījumu.

Kad mēs dalām skaitli 6 ar 3/5, mēs rīkojamies šādi:

Maksājiet Īpaša uzmanība uz izteiksmi un salīdziniet to ar doto: .

Ja ņemam izteiksmi atsevišķi, bez saiknes ar iepriekšējo, tad nav iespējams atrisināt jautājumu, no kurienes tā radusies: dalot 6 ar 3/5 vai reizinot 6 ar 5/3. Abos gadījumos rezultāts ir vienāds. Tātad mēs varam teikt ka viena skaitļa dalīšanu ar citu var aizstāt, reizinot dividendi ar dalītāja apgriezto skaitli.

Tālāk sniegtie piemēri pilnībā apstiprina šo secinājumu.

Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Šī darbība ir daudz jaukāka nekā saskaitīšana-atņemšana! Jo tā ir vieglāk. Atgādinu: lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jāreizina skaitītāji (tas būs rezultāta skaitītājs) un saucēji (tas būs saucējs). Tas ir:

Piemēram:

Viss ir ārkārtīgi vienkārši. Un lūdzu nemeklēt kopsaucēju! Šeit to nevajag...

Lai dalītu daļu ar daļu, jums ir jāapgriež otrais(tas ir svarīgi!) daļu un reiziniet tos, t.i.:

Piemēram:

Ja tiek noķerta reizināšana vai dalīšana ar veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, tas ir labi. Tāpat kā ar saskaitīšanu, mēs veidojam daļskaitli no vesela skaitļa ar vienību saucējā - un aiziet! Piemēram:

Vidusskolā bieži nākas saskarties ar trīsstāvu (vai pat četrstāvu!) daļskaitļiem. Piemēram:

Kā panākt šo frakciju pienācīgā formā? Jā, ļoti viegli! Izmantojiet sadalījumu pa diviem punktiem:

Bet neaizmirstiet par dalīšanas kārtību! Atšķirībā no reizināšanas, tas šeit ir ļoti svarīgi! Protams, nejauksim ne 4:2, ne 2:4. Bet trīsstāvu daļā ir viegli kļūdīties. Lūdzu, ņemiet vērā, piemēram:

Pirmajā gadījumā (izteiksme kreisajā pusē):

Otrajā (izteiksme labajā pusē):

Vai jūtat atšķirību? 4 un 1/9!

Kāda ir sadalīšanas kārtība? Vai iekavas, vai (kā šeit) horizontālo domuzīmju garums. Attīstiet aci. Un, ja nav iekavu vai domuzīmju, piemēram:

tad dalīt-reizināt secībā, no kreisās uz labo!

Un vēl viens ļoti vienkāršs un svarīgs triks. Darbībās ar grādiem tas tev noderēs! Sadalīsim vienību ar jebkuru daļskaitli, piemēram, ar 13/15:

Šāviens ir apgriezies! Un tā notiek vienmēr. Dalot 1 ar jebkuru daļskaitli, rezultāts ir tā pati daļa, tikai apgriezta.

Tās ir visas darbības ar daļskaitļiem. Lieta ir diezgan vienkārša, bet rada vairāk nekā pietiekami daudz kļūdu. Piezīme praktiski padomi, un to (kļūdu) būs mazāk!

Praktiski padomi:

1. Pats galvenais, strādājot ar daļskaitļiem, ir precizitāte un vērība! Tie nav parasti vārdi, nevis laba vēlējumi! Tā ir nopietna vajadzība! Veiciet visus eksāmena aprēķinus kā pilnvērtīgu uzdevumu, koncentrējoties un skaidri. Labāk uzrakstīt divas papildu rindiņas melnrakstā, nekā jukt galvā rēķinot.

2. Piemēros ar dažādi veidi frakcijas - pārejiet uz parastajām daļām.

3. Mēs samazinām visas frakcijas līdz pieturai.

4. Daudzstāvu daļskaitļu izteiksmes reducējam uz parastajiem, izmantojot dalīšanu pa diviem punktiem (ievērojam dalīšanas secību!).

5. Mēs domās sadalām vienību daļā, vienkārši apgriežot daļu.

Šeit ir norādīti uzdevumi, kas jums jāveic. Atbildes tiek sniegtas pēc visiem uzdevumiem. Izmantojiet šīs tēmas materiālus un praktiskus padomus. Novērtējiet, cik piemēru jūs varētu pareizi atrisināt. Pirmā reize! Bez kalkulatora! Un izdari pareizos secinājumus...

Atcerieties pareizo atbildi iegūts no otrās (it īpaši trešās) reizes - neskaitās! Tāda ir skarbā dzīve.

Tātad, atrisināt eksāmenu režīmā ! Starp citu, šī ir gatavošanās eksāmenam. Atrisinām piemēru, pārbaudām, atrisinām sekojošo. Izlēmām visu – pārbaudījām vēlreiz no pirmās līdz pēdējam. Bet tikai Tad paskaties atbildes.

Aprēķināt:

Vai jūs izlēmāt?

Meklējat atbildes, kas atbilst jums. Es tos speciāli pierakstīju nekārtībā, prom no kārdinājuma, tā teikt... Lūk, tās ir, atbildes, pierakstītas ar semikolu.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Un tagad mēs izdarām secinājumus. Ja viss izdevās - prieks par jums! Elementāri aprēķini ar daļskaitļiem nav jūsu problēma! Jūs varat darīt nopietnākas lietas. Ja nē...

Tātad jums ir viena no divām problēmām. Vai abas uzreiz.) Zināšanu trūkums un (vai) neuzmanība. Bet šis atrisināms Problēmas.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Lai pareizi reizinātu daļu ar daļskaitli vai daļu ar skaitli, jums jāzina vienkārši noteikumi. Tagad mēs detalizēti analizēsim šos noteikumus.

Daļas reizināšana ar daļu.

Lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāaprēķina skaitītāju reizinājums un šo daļu saucēju reizinājums.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Apsveriet piemēru:
Pirmās daļdaļas skaitītāju reizinām ar otrās daļdaļas skaitītāju, kā arī pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju.

'

Daļa \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) ir samazināta par 3.

Daļdaļas reizināšana ar skaitli.

Sāksim ar noteikumu jebkuru skaitli var attēlot kā daļskaitli \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Izmantosim šo noteikumu reizināšanai.

'

Nepareizā daļa \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)(7)= 2\frac(6)(7)\\\) tika pārveidota par jauktu daļu.

Citiem vārdiem sakot, Reizinot skaitli ar daļskaitli, reiziniet skaitli ar skaitītāju un atstājiet saucēju nemainīgu. Piemērs:

'

Jaukto frakciju reizināšana.

Lai reizinātu jauktās daļskaitļus, vispirms katra jauktā daļa ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļi un pēc tam jāizmanto reizināšanas kārtula. Skaitītājs tiek reizināts ar skaitītāju, saucējs tiek reizināts ar saucēju.

Piemērs:
\/ sarkans) (3)) = \frac(69) (8 ) = 8\frac(5) (8)\\\)

Apgriezto daļu un skaitļu reizināšana.

Daļa \(\bf \frac(a)(b)\) ir apgrieztā daļa \(\bf \frac(b)(a)\, ja a≠0,b≠0.
Daļas \(\bf \frac(a)(b)\) un \(\bf \frac(b)(a)\) sauc par reciprokām. Apgriezto daļu reizinājums ir 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Piemērs:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Saistītie jautājumi:
Kā reizināt daļu ar daļu?
Atbilde: parasto daļskaitļu reizinājums ir skaitītāja reizinājums ar skaitītāju, saucēja reizinājums ar saucēju. Lai iegūtu jaukto frakciju reizinājumu, jums tās jāpārvērš nepareizā frakcijā un jāreizina saskaņā ar noteikumiem.

Kā reizināt daļskaitļus ar dažādiem saucējiem?
Atbilde: nav nozīmes, vai daļskaitļu saucēji ir vienādi vai atšķirīgi, reizināšana notiek saskaņā ar noteikumu, lai atrastu skaitītāja reizinājumu ar skaitītāju, saucēja ar saucēju.

Kā reizināt jauktās frakcijas?
Atbilde: vispirms jauktā daļa ir jāpārvērš par nepareizu daļu un pēc tam jāatrod reizinājums saskaņā ar reizināšanas noteikumiem.

Kā reizināt skaitli ar daļskaitli?
Atbilde: Mēs reizinām skaitli ar skaitītāju un atstājam saucēju to pašu.

1. piemērs:
Aprēķiniet reizinājumu: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13)\)

Risinājums:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\\)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10) (13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color(sarkans) (5))(3 \times \color) (sarkans) (\3) (sarkans)

2. piemērs:
Aprēķiniet skaitļa un daļskaitļa reizinājumu: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)

Risinājums:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3) (1) \times \frac(17) (23) = \frac(3 \times 17) (1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(23)\(\\3)\(\\3)\(5)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11) (1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

3. piemērs:
Uzrakstiet \(\frac(1)(3)\) apgriezto vērtību?
Atbilde: \(\frac(3)(1) = 3\)

4. piemērs:
Aprēķiniet divu apgriezto daļu reizinājumu: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Risinājums:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

5. piemērs:
Savstarpēji apgrieztās daļas var būt:
a) abas īstās daļskaitļus;
b) vienlaikus nepareizas frakcijas;
c) naturālie skaitļi vienlaikus?

Risinājums:
a) Izmantosim piemēru, lai atbildētu uz pirmo jautājumu. Daļa \(\frac(2)(3)\) ir pareiza, tās apgrieztā vērtība būs vienāda ar \(\frac(3)(2)\) — nepareizu daļskaitli. Atbilde: nē.

b) gandrīz visos daļskaitļu uzskaitījumos šis nosacījums nav izpildīts, taču ir daži skaitļi, kas vienlaikus izpilda nosacījumu, ka tie ir nepareiza daļdaļa. Piemēram, nepareizā daļa ir \(\frac(3)(3)\) , tās apgrieztā vērtība ir \(\frac(3)(3)\). Mēs iegūstam divas nepareizās daļas. Atbilde: ne vienmēr noteiktos apstākļos, kad skaitītājs un saucējs ir vienādi.

c) naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot, piemēram, 1, 2, 3, .... Ja ņemam skaitli \(3 = \frac(3)(1)\), tad tā apgrieztā vērtība būs \(\frac(1)(3)\). Daļa \(\frac(1)(3)\) nav naturāls skaitlis. Ja mēs ejam cauri visiem skaitļiem, tad apgrieztā vērtība vienmēr ir daļskaitlis, izņemot 1. Ja ņemam skaitli 1, tad tā apgrieztā vērtība būs \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Numurs 1 dabiskais skaitlis. Atbilde: tie var būt vienlaicīgi naturāli skaitļi tikai vienā gadījumā, ja šis skaitlis ir 1.

6. piemērs:
Veiciet jauktu daļskaitļu reizinājumu: a) \(4 \reizes 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \times 3\frac(2) (7)\)

Risinājums:
a) \(4 \times 2\frac(4) (5) = \frac(4) (1) \times \frac(14) (5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1)(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2) (7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)(28) = 4\frac(3)(7)\)

7. piemērs:
Vai divi savstarpējie skaitļi var būt vienlaikus sajaukti skaitļi?

Apskatīsim piemēru. Ņemsim jauktu daļskaitli \(1\frac(1)(2)\), atrodam tās reciproku, lai to izdarītu, mēs to pārvēršam nepareizā daļskaitlī \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Tās apgrieztā vērtība būs vienāda ar \(\frac(2)(3)\) . Daļa \(\frac(2)(3)\) ir pareiza daļa. Atbilde: Divas savstarpēji apgrieztas daļskaitļi nevar būt jaukti skaitļi vienlaikus.

Mēs turpinām pētīt darbības ar parastajām daļām. Tagad uzmanības centrā parasto daļskaitļu reizināšana. Šajā rakstā mēs sniegsim noteikumu parasto daļskaitļu reizināšanai, apsveriet šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus. Mēs arī pievērsīsimies parastas daļdaļas reizināšanai ar naturālu skaitli. Noslēgumā apsveriet, kā reizināt trīs un vairāk frakcijas.

Lapas navigācija.

Parastās daļskaitļa reizināšana ar parasto daļskaitli

Sāksim ar formulējumu parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumi: reizinot daļu ar daļskaitli, tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir vienāds ar reizināto daļu skaitītāju reizinājumu un kuras saucējs ir vienāds ar saucēju reizinājumu.

Tas ir, formula atbilst parasto daļu a / b un c / d reizinājumam.

Sniegsim piemēru, kas ilustrē parasto daļskaitļu reizināšanas likumu. Apsveriet kvadrātu, kura mala ir 1 vienība. , savukārt tā platība ir 1 vienība 2 . Sadaliet šo kvadrātu vienādos taisnstūros, kuru malas ir 1/4 vienības. un 1/8 vienības. , savukārt sākotnējais kvadrāts sastāvēs no 4 8 = 32 taisnstūriem, tāpēc katra taisnstūra laukums ir 1/32 no sākotnējā kvadrāta laukuma, tas ir, tas ir vienāds ar 1/32 vienībām 2. Tagad krāsosim daļu no sākotnējā laukuma. Visas mūsu darbības ir atspoguļotas zemāk esošajā attēlā.

Aizpildītā taisnstūra malas ir 5/8 vienības. un 3/4 vienības. , kas nozīmē, ka tā laukums ir vienāds ar daļu 5/8 un 3/4 reizinājumu, tas ir, mērvienības 2. Bet aizpildītais taisnstūris sastāv no 15 "maziem" taisnstūriem, tāpēc tā laukums ir 15/32 vienības 2 . Līdz ar to,. Tā kā 5 3=15 un 8 4=32 , pēdējo vienādību var pārrakstīt kā , kas apstiprina formu parasto daļskaitļu reizināšanas formulu .

Ņemiet vērā, ka ar balsu reizināšanas kārtulas palīdzību var reizināt gan parastās, gan nepareizās daļskaitļus, gan daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, gan daļskaitļus ar dažādiem saucējiem.

Apsveriet parasto daļskaitļu reizināšanas piemēri.

Reiziniet parasto daļskaitli 7/11 ar kopējā frakcija 9/8 .

Reizināto daļu 7 un 9 skaitītāju reizinājums ir 63, un saucēju 11 un 8 reizinājums ir 88. Tādējādi, reizinot parastās daļas 7/11 un 9/8, tiek iegūta daļa 63/88.

Šeit ir risinājuma kopsavilkums: .

Nedrīkst aizmirst par iegūtās daļas samazināšanu, ja reizināšanas rezultātā tiek iegūta reducējama daļa, un par visas daļas atlasi no nepareizas daļas.

Reiziniet daļas 4/15 un 55/6.

Piemērosim parasto daļskaitļu reizināšanas likumu: .

Acīmredzot iegūtā daļa ir reducējama (dalāmības zīme ar 10 ļauj apgalvot, ka skaitļa 220/90 skaitītājam un saucējam ir kopīgs koeficients 10). Samazināsim daļu 220/90: GCD(220, 90)=10 un . Atliek no iegūtās nepareizās daļas atlasīt veselo skaitļu daļu: .

Ņemiet vērā, ka daļskaitļu samazināšanu var veikt pirms skaitītāju reizinājumu un reizināto daļu saucēju reizinājumu aprēķināšanas, tas ir, ja daļai ir forma . Šim skaitlim a, b, c un d tiek aizstāti ar to primārajiem faktoriem, pēc kuriem tiek atcelti tie paši skaitītāja un saucēja faktori.

Lai precizētu, atgriezīsimies pie iepriekšējā piemēra.

Aprēķiniet formas daļu reizinājumu.

Pēc parasto daļskaitļu reizināšanas formulas mums ir .

Tā kā 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 un 6 = 2 3 , tad . Tagad mēs atceļam kopējos galvenos faktorus: .

Atliek tikai aprēķināt skaitļus skaitītājā un saucējā un pēc tam izvēlēties veselo skaitļa daļu no nepareizās daļas: .

Jāņem vērā, ka daļskaitļu reizināšanu raksturo komutatīva īpašība, tas ir, reizinātās daļas var apmainīt: .

Daļas reizināšana ar naturālu skaitli

Sāksim ar formulējumu noteikumi parastās daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli: reizinot daļu ar naturālu skaitli, tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir vienāds ar reizinātās daļas skaitītāja reizinājumu ar naturālo skaitli, un saucējs ir vienāds ar reizinātās daļas saucēju.

Ar burtu palīdzību noteikumam daļskaitļa a / b reizināšanai ar naturālu skaitli n ir forma .

Formula izriet no formulas divu veidlapas parasto daļu reizināšanai. Patiešām, attēlojot naturālu skaitli kā daļu ar saucēju 1, mēs iegūstam .

Apsveriet piemērus, kā reizināt daļu ar naturālu skaitli.

Reiziniet daļu 2/27 ar 5.

Reizinot skaitītāju 2 ar skaitli 5, tiek iegūts 10, tāpēc, pamatojoties uz likumu, kas reizina daļu ar naturālu skaitli, reizinājums 2/27 ar 5 ir vienāds ar daļskaitli 10/27.

Visu risinājumu var ērti uzrakstīt šādi: .

Reizinot daļskaitli ar naturālu skaitli, iegūtā daļa bieži ir jāsamazina, un, ja arī tā ir nepareiza, tad attēlo to kā jauktu skaitli.

Reiziniet daļu 5/12 ar skaitli 8.

Saskaņā ar formulu daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli mums ir . Acīmredzot iegūtā daļa ir reducējama (dalāmības zīme ar 2 norāda kopīgs dalītājs 2 skaitītājs un saucējs). Samazināsim daļu 40/12: tā kā LCM(40, 12)=4, tad . Atliek atlasīt visu daļu: .

Šeit ir viss risinājums: .

Ņemiet vērā, ka samazināšanu var veikt, aizstājot skaitļus skaitītājā un saucējā ar to izvēršanu pirmfaktoros. Šajā gadījumā risinājums izskatītos šādi:

Noslēdzot šo punktu, mēs atzīmējam, ka daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli ir komutatīva īpašība, tas ir, daļdaļas reizinājums ar naturālu skaitli ir vienāds ar šī naturālā skaitļa reizinājumu ar daļu: .

Reiziniet trīs vai vairāk frakcijas

Veids, kā mēs esam definējuši parastās daļskaitļus un reizināšanas darbību ar tiem, ļauj mums apgalvot, ka visas naturālo skaitļu reizināšanas īpašības attiecas uz daļskaitļu reizināšanu.

Reizināšanas komutatīvās un asociatīvās īpašības ļauj unikāli noteikt reizinot trīs vai vairāk daļskaitļus un naturālus skaitļus. Šajā gadījumā viss notiek pēc analoģijas ar trīs vai vairāku naturālu skaitļu reizināšanu. Jo īpaši daļskaitļus un naturālos skaitļus produktā var pārkārtot aprēķinu ērtībai, un, ja nav iekavas, kas norāda darbību veikšanas secību, mēs varam sakārtot iekavas paši jebkurā no atļautajiem veidiem.

Apsveriet vairāku daļu un naturālo skaitļu reizināšanas piemērus.

Reiziniet trīs parastās frakcijas 1/20, 12/5, 3/7 un 5/8.

Uzrakstīsim reizinājumu, kas mums jāaprēķina . Saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas noteikumu uzrakstītais reizinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir vienāds ar visu daļu skaitītāju reizinājumu, un saucējs ir saucēju reizinājums: .

Pirms reizinājumu aprēķināšanas skaitītājā un saucējā ir ieteicams visus faktorus aizstāt ar to izvērsumiem pirmfaktoros un samazināt (protams, pēc reizināšanas var samazināt daļu, bet daudzos gadījumos tas prasa lielu skaitļošanas piepūli): .

.

Reiziniet piecus skaitļus .

Šajā produktā ir ērti grupēt daļu 7/8 ar skaitli 8 un skaitli 12 ar daļu 5/36, tas vienkāršos aprēķinus, jo ar šādu grupēšanu samazinājums ir acīmredzams. Mums ir
.

.

Daļskaitļu reizināšana

Mēs apsvērsim parasto daļskaitļu reizināšanu vairākos iespējamos veidos.

Daļas reizināšana ar daļu

Šis ir vienkāršākais gadījums, kurā jums ir jāizmanto tālāk norādītais daļskaitļu reizināšanas noteikumi.

Uz reizināt daļu ar daļu, nepieciešams:

• reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļskaitļa skaitītāju un ierakstiet to reizinājumu jaunās daļdaļas skaitītājā;
• reiziniet pirmās daļdaļas saucēju ar otrās daļskaitļa saucēju un ierakstiet to reizinājumu jaunās daļas saucējā;

Pirms skaitītāju un saucēju reizināšanas pārbaudiet, vai daļskaitļus var samazināt. Daļskaitļu samazināšana aprēķinos ievērojami atvieglos jūsu aprēķinus.

Daļas reizināšana ar naturālu skaitli

Uz frakciju reizināt ar naturālu skaitli jums jāreizina daļskaitļa skaitītājs ar šo skaitli un daļdaļas saucējs jāatstāj nemainīgs.

Ja reizināšanas rezultāts ir nepareiza daļa, neaizmirstiet to pārvērst par jauktu skaitli, tas ir, atlasiet visu daļu.

Jauktu skaitļu reizināšana

Lai reizinātu jauktos skaitļus, vispirms tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu.

Vēl viens veids, kā reizināt daļu ar naturālu skaitli

Dažreiz aprēķinos ir ērtāk izmantot citu metodi, kā parasto daļu reizināt ar skaitli.

Lai reizinātu daļskaitli ar naturālu skaitli, daļskaitļa saucējs jādala ar šo skaitli un skaitītājs jāatstāj tāds pats.

Kā redzams no piemēra, ir ērtāk izmantot šo noteikuma versiju, ja daļdaļas saucējs bez atlikuma dalās ar naturālu skaitli.

Jauktu skaitļu reizināšana: noteikumi, piemēri, risinājumi.

Šajā rakstā mēs analizēsim jauktu skaitļu reizināšana. Pirmkārt, mēs izrunāsim jauktu skaitļu reizināšanas noteikumu un apsvērsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus. Tālāk mēs runāsim par jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšanu. Visbeidzot, mēs iemācīsimies reizināt jauktu skaitli un parasto daļskaitli.

Lapas navigācija.

Jauktu skaitļu reizināšana.

Jauktu skaitļu reizināšana var reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai. Lai to izdarītu, jauktos skaitļus ir pietiekami pārvērst nepareizās daļskaitļos.

Pierakstīsim reizināšanas noteikums jauktiem skaitļiem:

• Pirmkārt, jauktie skaitļi, kas jāreizina, jāaizstāj ar nepareizām daļskaitļiem;
• Otrkārt, jums ir jāizmanto noteikums par daļskaitļa reizināšanu ar daļu.

Apsveriet šī noteikuma piemērošanas piemērus, reizinot jauktu skaitli ar jauktu skaitli.

Veiciet jauktu skaitļu reizināšanu un .

Pirmkārt, mēs attēlojam reizinātos jauktos skaitļus kā nepareizas daļskaitļus: Un . Tagad jauktu skaitļu reizināšanu varam aizstāt ar parasto daļskaitļu reizināšanu: . Piemērojot daļskaitļu reizināšanas likumu, iegūstam . Rezultātā iegūtā daļdaļa ir nereducējama (sk. reducējamās un nereducējamās daļskaitļus), taču tā ir nepareiza (sk. parastās un nepareizās daļskaitļus), tāpēc, lai iegūtu galīgo atbildi, atliek no nepareizās daļskaitļa izvilkt veselo skaitļa daļu: .

Rakstīsim visu risinājumu vienā rindā: .

.

Lai nostiprinātu jauktu skaitļu reizināšanas prasmes, apsveriet cita piemēra risinājumu.

Veiciet reizināšanu.

Smieklīgi skaitļi un ir attiecīgi vienādi ar daļskaitļiem 13/5 un 10/9. Tad . Šajā posmā ir pienācis laiks atcerēties par daļskaitļu samazināšanu: mēs aizstāsim visus skaitļus daļskaitlī ar to izvēršanu pirmfaktoros, un mēs veiksim to pašu faktoru samazināšanu.

Jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšana

Pēc jauktā skaitļa aizstāšanas ar nepareizu daļskaitli, jaukta skaitļa reizināšana ar naturālu skaitli tiek reducēts līdz parastās daļskaitļa un naturālā skaitļa reizinājumam.

Reiziniet jaukto skaitli un naturālo skaitli 45 .

Jaukts skaitlis ir daļskaitlis . Aizstāsim iegūtajā daļskaitlī esošos skaitļus ar to izvērsumiem pirmfaktoros, veiksim samazinājumu, pēc kura izvēlamies veselā skaitļa daļu: .

.

Jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšanu dažreiz var ērti izdarīt, izmantojot reizināšanas sadalījuma īpašību attiecībā uz saskaitīšanu. Šajā gadījumā jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizinājums ir vienāds ar veselās skaitļa daļas reizinājumu ar doto naturālo skaitli un daļējās daļas reizinājumu ar doto naturālo skaitli, tas ir, .

Aprēķiniet produktu.

Jaukto skaitli aizstājam ar veselo skaitļu un daļskaitļu daļu, pēc tam piemērojam reizināšanas sadales īpašību: .

Jaukta skaitļa un parastās daļskaitļa reizināšana visērtāk ir reducēt līdz parasto daļskaitļu reizinājumam, reizināto jaukto skaitli attēlojot kā nepareizu daļskaitli.

Reiziniet jaukto skaitli ar parasto daļskaitli 4/15.

Aizstājot jaukto skaitli ar daļskaitli, mēs iegūstam .

Daļskaitļu reizināšana

§ 140. Definīcijas. 1) Daļēja skaitļa reizināšana ar veselu skaitli tiek definēta tāpat kā veselu skaitļu reizināšana, proti: reizināt kādu skaitli (reizinātāju) ar veselu skaitli (koeficientu) nozīmē izveidot identisku vārdu summu, kurā katrs vārds ir vienāds ar reizinātāju, bet vārdu skaits ir vienāds ar reizinātāju.

Tātad reizināšana ar 5 nozīmē summas atrašanu:
2) Reizināt kādu skaitli (reizinātāju) ar daļskaitli (reizinātāju) nozīmē atrast šo reizinātāja daļu.

Tādējādi, atrodot dotā skaitļa daļu, ko mēs iepriekš apsvērām, mēs tagad sauksim reizināšanu ar daļskaitli.

3) Reizināt kādu skaitli (reizinātāju) ar jauktu skaitli (koeficientu) nozīmē reizinātāju vispirms ar faktora veselo skaitli, pēc tam ar faktora daļu un šo divu reizinājumu rezultātus saskaitīt kopā.

Piemēram:

Visos šajos gadījumos sauc skaitli, kas iegūts pēc reizināšanas strādāt, t.i., tāpat kā reizinot veselus skaitļus.

No šīm definīcijām ir skaidrs, ka daļskaitļu reizināšana ir darbība, kas vienmēr ir iespējama un vienmēr ir nepārprotama.

§ 141. Šo definīciju lietderība. Lai saprastu, cik lietderīgi ir aritmētikā ieviest pēdējās divas reizināšanas definīcijas, ņemsim vērā šādu problēmu:

Uzdevums. Vilciens, pārvietojoties vienmērīgi, brauc ar ātrumu 40 km stundā; kā uzzināt, cik kilometru šis vilciens nobrauks noteiktā stundu skaitā?

Ja mēs paliktu pie tās pašas reizināšanas definīcijas, kas norādīta veselo skaitļu aritmētikā (vienādu vārdu saskaitīšana), tad mūsu problēmai būtu trīs dažādi risinājumi, proti:

Ja dotais stundu skaits ir vesels skaitlis (piemēram, 5 stundas), tad, lai atrisinātu uzdevumu, 40 km jāreizina ar šo stundu skaitu.

Ja noteikts stundu skaits ir izteikts kā daļskaitlis (piemēram, stundas), tad šīs daļas vērtība būs jāatrod no 40 km.

Visbeidzot, ja dotais stundu skaits ir sajaukts (piemēram, stundas), tad 40 km būs jāreizina ar veselu skaitli, kas ietverts jauktajā skaitlī, un rezultātam jāpievieno tāda daļa no 40 km, kāda ir jauktajā skaitļā.

Mūsu sniegtās definīcijas ļauj mums sniegt vienu vispārīgu atbildi uz visiem šiem iespējamajiem gadījumiem:

40 km jāreizina ar doto stundu skaitu, lai kāds tas būtu.

Tādējādi, ja problēma vispārīgā veidā tiek parādīta šādi:

Vienmērīgi kustīgs vilciens nobrauc v km stundā. Cik kilometrus vilciens nobrauks t stundās?

tad, lai kādi būtu skaitļi v un t, varam izteikt vienu atbildi: vēlamo skaitli izsaka ar formulu v · t.

Piezīme. Atrast noteikta skaitļa daļu, saskaņā ar mūsu definīciju, nozīmē to pašu, ko reizināt ar šo skaitļu; tāpēc, piemēram, atrast 5% (t.i., piecas simtdaļas) no dotā skaitļa nozīmē to pašu, kas doto skaitli reizināt ar vai ar; atrast 125% no dotā skaitļa ir tas pats, kas šo skaitli reizināt ar vai ar utt.

§ 142. Piezīme par to, kad skaitlis palielinās un kad samazinās no reizināšanas.

Reizinot ar pareizu daļskaitli, skaitlis samazinās, un, reizinot ar nepareizo daļskaitli, skaitlis palielinās, ja šī nepareizā daļa ir lielāka par vienu, un paliek nemainīga, ja tā ir vienāda ar vienu.
komentēt. Reizinot daļskaitļus, kā arī veselus skaitļus, reizinājums tiek pieņemts vienāds ar nulli, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli, tātad,.

143.§ Reizināšanas noteikumu atvasināšana.

1) Daļas reizināšana ar veselu skaitli. Daļa tiek reizināta ar 5. Tas nozīmē palielināt 5 reizes. Lai palielinātu daļu par 5, pietiek palielināt tās skaitītāju vai samazināt saucēju 5 reizes (§ 127).

Tāpēc:
1. noteikums. Lai daļdaļu reizinātu ar veselu skaitli, skaitītājs jāreizina ar šo veselo skaitli un saucējs jāatstāj tāds pats; tā vietā jūs varat arī dalīt daļskaitļa saucēju ar doto veselo skaitli (ja iespējams) un atstāt skaitītāju to pašu.

komentēt. Daļas un tās saucēja reizinājums ir vienāds ar tā skaitītāju.

Tātad:
2. noteikums. Lai reizinātu veselu skaitli ar daļskaitli, jums ir jāreizina vesels skaitlis ar daļskaitļa skaitītāju un jāpadara šis reizinājums par skaitītāju un kā saucējs jāparaksta dotās daļas saucējs.
3. noteikums. Lai reizinātu daļskaitli ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju, bet otrais par reizinājuma saucēju.

komentēt. Šo noteikumu var piemērot arī daļskaitļa reizināšanai ar veselu skaitli un vesela skaitļa reizināšanai ar daļskaitli, ja vien veselo skaitli uzskata par daļskaitli ar saucēju viens. Tātad:

Tādējādi trīs tagad izklāstītie noteikumi ir ietverti vienā, ko vispārīgi var izteikt šādi:
4) Jauktu skaitļu reizināšana.

4. noteikums. Lai reizinātu jauktus skaitļus, tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas noteikumiem. Piemēram:
144.§ Reizināšanas samazināšana. Reizinot frakcijas, ja iespējams, ir jāveic provizorisks samazinājums, kā redzams no šādiem piemēriem:

Šādu samazinājumu var veikt, jo skaitītāju un saucēju samazinot par vienādu reižu skaitu, daļskaitļa vērtība nemainīsies.

§ 145. Produkta maiņa ar faktoru maiņu. Mainoties faktoriem, daļskaitļu reizinājums mainīsies tieši tāpat kā veselu skaitļu reizinājums (§ 53), proti: ja palielināsit (vai samazināsiet) jebkuru koeficientu vairākas reizes, tad reizinājums palielināsies (vai samazināsies) par tādu pašu summu.

Tātad, ja piemērā:
lai reizinātu vairākas daļskaitļus, nepieciešams reizināt to skaitītājus savā starpā un saucējus savā starpā un padarīt pirmo reizinājumu par reizinājuma skaitītāju, bet otro par reizinājuma saucēju.

komentēt. Šo noteikumu var attiecināt arī uz tādiem skaitļiem, kuros daži skaitļa faktori ir veseli vai jaukti, ja tikai veselo skaitli uzskatām par daļskaitli, kuras saucējs ir viens, un jauktos skaitļus pārvēršam nepareizās daļskaitļos. Piemēram:
147.§ Reizināšanas pamatīpašības. Tās reizināšanas īpašības, kuras esam norādījuši veseliem skaitļiem (§ 56, 57, 59), arī pieder pie daļskaitļu reizināšanas. Norādīsim šīs īpašības.

1) Produkts nemainās, mainot faktoru vietas.

Piemēram:

Patiešām, saskaņā ar iepriekšējā punkta noteikumu pirmais produkts ir vienāds ar daļu, bet otrais ir vienāds ar daļu. Bet šīs daļdaļas ir vienādas, jo to locekļi atšķiras tikai veselo skaitļu faktoru secībā, un veselo skaitļu reizinājums nemainās, faktoriem mainoties vietām.

2) Produkts nemainīsies, ja kāda faktoru grupa tiks aizstāta ar to preci.

Piemēram:

Rezultāti ir vienādi.

No šīs reizināšanas īpašības mēs varam izdarīt šādu secinājumu:

lai reizinātu kādu skaitli ar reizinājumu, varat reizināt šo skaitli ar pirmo koeficientu, iegūto skaitli reizināt ar otro un tā tālāk.

Piemēram:
3) Reizināšanas sadales likums (attiecībā uz saskaitīšanu). Lai reizinātu summu ar kādu skaitli, katru terminu var reizināt ar šo skaitli atsevišķi un saskaitīt rezultātus.

Šo likumu mēs esam skaidrojuši (59.§), piemērojot veseliem skaitļiem. Tas paliek patiess bez izmaiņām daļskaitļiem.

Ļaujiet mums parādīt, patiesībā, ka vienlīdzība

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(reizināšanas sadales likums attiecībā uz saskaitīšanu) paliek patiess pat tad, ja burti nozīmē daļskaitļus. Apskatīsim trīs gadījumus.

1) Vispirms pieņemsim, ka faktors m ir vesels skaitlis, piemēram, m = 3 (a, b, c ir jebkuri skaitļi). Saskaņā ar reizināšanas ar veselu skaitli definīciju var rakstīt (vienkāršības labad tikai trīs termini):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Pamatojoties uz saskaitīšanas asociatīvo likumu, mēs varam izlaist visas iekavas labajā pusē; izmantojot komutatīvo saskaitīšanas likumu un pēc tam kombināciju likumu, mēs acīmredzami varam pārrakstīt labo pusi šādi:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Tādējādi sadales likums šajā gadījumā ir apstiprināts.

Daļas dalīšana ar naturālu skaitli

Sadaļas: Matemātika

T klases tips: ONZ (jaunu zināšanu atklāšana - saskaņā ar mācību aktivitātes metodes tehnoloģiju).

1. Izsecināt metodes daļskaitļa dalīšanai ar naturālu skaitli;
2. Veidot spēju veikt daļskaitļa dalīšanu ar naturālu skaitli;
3. Atkārtojiet un konsolidējiet frakciju dalījumu;
4. Apmāciet spēju samazināt daļas, analizēt un risināt problēmas.

Iekārtas demonstrācijas materiāls:

1. Uzdevumi zināšanu atjaunošanai:

2. Izmēģinājuma (individuālais) uzdevums.

1. Veiciet sadalīšanu:

2. Veiciet sadalīšanu, neveicot visu aprēķinu ķēdi: .

• Dalot daļu ar naturālu skaitli, jūs varat reizināt saucēju ar šo skaitli un atstāt skaitītāju tādu pašu.

• Ja skaitītājs dalās ar naturālu skaitli, tad, dalot daļu ar šo skaitli, skaitītāju var dalīt ar skaitli un atstāt saucēju to pašu.

I. Motivācija (pašnoteikšanās) uz mācību aktivitātes.

1. Organizēt prasību aktualizēšanu skolēnam no izglītojošo pasākumu puses (“must”);
2. Organizēt studentu aktivitātes, lai izveidotu tematisko ietvaru (“Es varu”);
3. Radīt apstākļus, lai skolēnam rastos iekšēja vajadzība pēc iekļaušanās izglītības aktivitātēs (“Gribu”).

Organizācija izglītības process I posmā.

Sveiki! Priecājos jūs visus redzēt matemātikas stundā. Ceru, ka tas ir abpusēji.

Puiši, kādas jaunas zināšanas jūs apguvāt pēdējā nodarbībā? (Sadalīt daļskaitļus).

Pa labi. Kas palīdz dalīt daļskaitļus? (Noteikums, īpašības).

Kur mums ir vajadzīgas šīs zināšanas? (Piemēros, vienādojumos, uzdevumos).

Labi padarīts! Pagājušajā nodarbībā jums veicās labi. Vai šodien pats vēlētos atklāt jaunas zināšanas? (Jā).

Tad ej! Un nodarbības moto ir apgalvojums “Matemātiku nevar iemācīties, skatoties, kā to dara tavs kaimiņš!”.

II. Zināšanu aktualizēšana un individuālās grūtības fiksēšana izmēģinājuma darbībā.

1. Organizēt pētīto darbības metožu aktualizāciju, kas ir pietiekama jaunu zināšanu veidošanai. Fiksējiet šīs metodes verbāli (runā) un simboliski (standarta) un vispāriniet tās;
2. Organizēt garīgo operāciju aktualizāciju un kognitīvie procesi, pietiekams, lai veidotu jaunas zināšanas;
3. Motivēt izmēģinājuma darbību un tās patstāvīgu izpildi un pamatojumu;
4. Prezentēt individuālu uzdevumu izmēģinājuma darbībai un analizēt to, lai identificētu jaunu izglītības saturu;
5. Organizēt izglītības mērķa un nodarbības tēmas fiksāciju;
6. Organizēt izmēģinājuma darbības īstenošanu un grūtības novēršanu;
7. Organizēt saņemto atbilžu analīzi un fiksēt individuālās grūtības, veicot izmēģinājuma darbību vai to attaisnojot.

Izglītības procesa organizēšana II posmā.

Frontāli, izmantojot planšetdatorus (atsevišķas plates).

1. Salīdziniet izteiksmes:

(Šīs izteiksmes ir vienādas)

Kādas interesantas lietas pamanījāt? (Dividendes skaitītājs un saucējs, dalītāja skaitītājs un saucējs katrā izteiksmē palielināts par vienādu reižu skaitu. Tādējādi izteiksmēs dividendes un dalītāji tiek attēloti ar daļskaitļiem, kas ir vienādi savā starpā).

Atrodiet izteiciena nozīmi un pierakstiet to planšetdatorā. (2)

Kā uzrakstīt šo skaitli kā daļskaitli?

Kā jūs veicāt sadalīšanas darbību? (Bērni izrunā likumu, skolotājs uzkarina burtus uz tāfeles)

2. Aprēķiniet un pierakstiet tikai rezultātus:

3. Saskaitiet rezultātus un pierakstiet savu atbildi. (2)

Kā sauc 3. uzdevumā iegūto skaitli? (dabisks)

Vai jūs domājat, ka varat dalīt daļskaitli ar naturālu skaitli? (Jā, mēs mēģināsim)

Izmēģiniet šo.

4. Individuāls (izmēģinājuma) uzdevums.

Veiciet sadalīšanu: (tikai a piemērs)

Kādu likumu jūs izmantojāt dalīšanai? (Saskaņā ar likumu dalot daļu ar daļu)

Tagad sadaliet daļu ar naturālu skaitli vienkāršā veidā, neveicot visu aprēķinu ķēdi: (b piemērs). Es jums dodu 3 sekundes šim nolūkam.

Kuram neizdevās izpildīt uzdevumu 3 sekundēs?

Kurš to uztaisīja? (Tādu nav)

Kāpēc? (Mēs nezinām ceļu)

Ko tu dabūji? (Grūtības pakāpe)

Kā jūs domājat, ko mēs darīsim klasē? (Daļdaļas dalīt ar naturāliem skaitļiem)

Tieši tā, atveriet piezīmju grāmatiņas un pierakstiet nodarbības tēmu "Daļdaļas dalīšana ar naturālu skaitli".

Kāpēc šī tēma izklausās jauna, ja jūs jau zināt, kā dalīt daļskaitļus? (Vajag jauns veids)

Pa labi. Šodien mēs izveidosim paņēmienu, kas vienkāršo daļskaitļa dalīšanu ar naturālu skaitli.

III. Grūtības vietas un cēloņa identificēšana.

1. Organizēt pabeigto operāciju atjaunošanu un noteikt (verbālo un simbolisko) vietu - soli, operāciju, kur radās grūtības;
2. Organizēt studentu darbību korelāciju ar izmantoto metodi (algoritmu) un grūtības cēloņa fiksāciju ārējā runā - tām specifiskajām zināšanām, prasmēm vai iemaņām, ar kurām nepietiek, lai atrisinātu šāda veida sākotnējo problēmu.

Izglītības procesa organizēšana III posmā.

Kāds uzdevums tev bija jāizpilda? (Sadaliet daļu ar naturālu skaitli, neveicot visu aprēķinu ķēdi)

Kas jums sagādāja grūtības? (Nevarēja ātri atrisināt īsā laikā)

Kāds ir mūsu nodarbības mērķis? (Atrast ātrs ceļš dalot daļu ar naturālu skaitli)

Kas tev palīdzēs? (Jau zināms noteikums daļskaitļu dalīšanai)

IV. Izejas no grūtībām projekta būvniecība.

1. Projekta mērķa precizēšana;
2. Metodes izvēle (precizējums);
3. Līdzekļu definīcija (algoritms);
4. Izveidojiet plānu mērķa sasniegšanai.

Izglītības procesa organizēšana IV posmā.

Atgriezīsimies pie testa gadījuma. Vai jūs teicāt, ka dalījāt pēc daļskaitļu dalīšanas likuma? (Jā)

Lai to izdarītu, aizstāt naturālu skaitli ar daļskaitli? (Jā)

Kādu(-s) posmu(s), tavuprāt, vari izlaist?

(Risinājuma ķēde ir atvērta uz tāfeles:

Analizējiet un izdariet secinājumus. (1. darbība)

Ja atbildes nav, mēs apkopojam, izmantojot jautājumus:

Kur pazuda dabiskais dalītājs? (līdz saucējam)

Vai skaitītājs ir mainījies? (Nē)

Tātad, kādu soli var "izlaist"? (1. darbība)

• Daļdaļas saucēju reiziniet ar naturālu skaitli.
• Skaitītājs nemainās.
• Mēs iegūstam jaunu frakciju.

V. Izbūvētā projekta realizācija.

1. Organizēt komunikatīvu mijiedarbību, lai īstenotu konstruēto projektu, kura mērķis ir iegūt trūkstošās zināšanas;
2. Organizēt konstruētās darbības metodes fiksāciju runā un zīmēs (ar etalona palīdzību);
3. Organizēt sākotnējās problēmas risinājumu un fiksēt grūtības pārvarēšanu;
4. Sakārtojiet precizēšanu ģenerālis jaunas zināšanas.

Izglītības procesa organizēšana V posmā.

Tagad ātri palaidiet testa gadījumu jaunajā veidā.

Vai tagad varat ātri izpildīt uzdevumu? (Jā)

Paskaidro, kā tu to izdarīji? (Runā bērni)

Tas nozīmē, ka esam saņēmuši jaunas zināšanas: noteikumu par daļskaitļa dalīšanu ar naturālu skaitli.

Labi padarīts! Sakiet to pa pāriem.

Tad viens students runā ar klasi. Noteikumu-algoritmu fiksējam verbāli un standarta veidā uz tāfeles.

Tagad ievadiet burtu apzīmējumus un pierakstiet mūsu noteikuma formulu.

Students raksta uz tāfeles, izrunājot likumu: dalot daļskaitli ar naturālu skaitli, jūs varat reizināt saucēju ar šo skaitli un atstāt skaitītāju tādu pašu.

(Formulu visi raksta kladēs).

Un tagad vēlreiz analizējiet izmēģinājuma uzdevuma risināšanas ķēdi, īpašu uzmanību pievēršot atbildei. Ko viņi izdarīja? (Daļskaitļa 15 skaitītājs tika dalīts (samazināts) ar skaitli 3)

Kāds ir šis numurs? (dabisks, dalītājs)

Tātad, kā citādi jūs varat dalīt daļu ar naturālu skaitli? (Pārbaudiet: ja daļskaitļa skaitītājs dalās ar šo naturālo skaitli, tad varat dalīt skaitītāju ar šo skaitli, ierakstīt rezultātu jaunās daļdaļas skaitītājā un atstāt saucēju to pašu)

Uzrakstiet šo metodi formulas veidā. (Skolēns pieraksta noteikumu uz tāfeles. Formulu visi pieraksta kladēs.)

Atgriezīsimies pie pirmās metodes. Vai to var izmantot, ja a:n? (Jā tas vispārīgs veids)

Un kad ir ērti izmantot otro metodi? (Ja daļskaitļa skaitītājs dalās ar naturālu skaitli bez atlikuma)

VI. Primārā konsolidācija ar izrunu ārējā runā.

1. Organizēt bērniem jaunas darbības metodes asimilāciju, risinot tipiskas problēmas ar viņu izrunu ārējā runā (frontāli, pa pāriem vai grupām).

Izglītības procesa organizēšana VI posmā.

Aprēķiniet jaunā veidā:

• Nr.363 (a; d) - uzstāties pie tāfeles, izrunājot noteikumu.
• Nr.363 (d; f) - pa pāriem ar čeku paraugā.

VII. Patstāvīgs darbs ar pašpārbaudi atbilstoši standartam.

1. Organizēt studentu patstāvīgu uzdevumu izpildi jaunam darbības veidam;
2. Organizēt pašpārbaudi, pamatojoties uz salīdzinājumu ar standartu;
3. Saskaņā ar īstenošanas rezultātiem patstāvīgs darbs organizēt jauna darbības veida asimilācijas atspoguļojumu.

Izglītības procesa organizēšana VII posmā.

Aprēķiniet jaunā veidā:

Studenti pārbauda standartu, atzīmē izpildījuma pareizību. Kļūdu cēloņi tiek analizēti un kļūdas tiek novērstas.

Skolotājs jautā tiem skolēniem, kuri kļūdījās, kāds ir iemesls?

Šajā posmā ir svarīgi, lai katrs students patstāvīgi pārbaudītu savu darbu.

Pirms 8. uzdevuma risināšanas apsveriet piemēru no mācību grāmatas:

IX. Mācību aktivitāšu atspoguļošana klasē.

1. Organizēt nodarbībā apgūtā jaunā satura fiksāciju;
2. Organizēt reflektīvu izglītības pasākumu analīzi studentiem zināmo prasību izpildes ziņā;
3. Organizēt skolēnu vērtējumu par savām aktivitātēm stundā;
4. Organizēt neatrisināto grūtību fiksēšanu stundā kā virzienu turpmākajām mācību aktivitātēm;
5. Organizēt diskusijas un mājasdarbu ierakstīšanu.

Izglītības procesa organizēšana IX posmā.

Puiši, kādas jaunas zināšanas jūs šodien atklājāt? (Mēs iemācījāmies vienkāršā veidā dalīt daļu ar naturālu skaitli)

Formulējiet vispārīgu veidu. (Viņi saka)

Kādā veidā un kādos gadījumos to joprojām varat izmantot? (Viņi saka)

Kādas ir jaunās metodes priekšrocības?

Vai esam sasnieguši stundas mērķi? (Jā)

Kādas zināšanas izmantojāt mērķa sasniegšanai? (Viņi saka)

Vai jums tas ir izdevies?

Kādas bija grūtības?