Az x szám négyzetgyöke az a szám, amelyet önmagával megszorozva x számot kapunk: a * a = a^2 = x, √x = a. Mint minden számnál, itt is elvégezheti az összeadás és a kivonás aritmetikai műveleteit négyzetgyökön.

Utasítás

• Először is hozzáadáskor négyzetgyök próbálja meg kitermelni ezeket a gyökereket. Ez akkor lehetséges, ha a gyökjel alatti számok tökéletes négyzetek. Például legyen adott a √4 + √9 kifejezés. Az első 4-es szám a 2-es négyzete. A második 9-es szám a 3-as szám négyzete. Így kiderül, hogy: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ha nincs gyökér a jel alatt teljes négyzetek, majd a gyökjel alól próbáld kivenni a szám szorzóját. Például tegyük fel, hogy √24 + √54 adott. Tényezősítsd a számokat: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. A 24-es szám 4-es tényezője, ami a négyzetgyökjelből kivehető. Az 54-es szám tényezője 9. Így kiderül, hogy: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. Ebben a példában a szorzónak a gyökjelből való kiemelése eredményeként kiderült, hogy leegyszerűsíti az adott kifejezést.
• Legyen két négyzetgyök összege egy tört nevezője, például A / (√a + √b). És legyen a feladatod, hogy "megszabadulj a nevezőben rejlő irracionalitástól". Ezután használhatja a következő módszert. Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a √a - √b kifejezéssel. Így a nevezőben megkapjuk a rövidített szorzás képletét: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Hasonlóan, ha a gyökök különbsége a nevezőben van megadva: √a - √b, akkor a tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a √a + √b kifejezéssel. Például adott egy tört 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√3 -).
• Mutass többet összetett példa megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben. Legyen adott a 12 / (√2 + √3 + √5) tört. A tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a √2 + √3 - √5 kifejezéssel:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• És végül, ha csak hozzávetőleges értékre van szüksége, akkor a számológépen kiszámolhatja a négyzetgyököket. Számítsa ki az értékeket minden számhoz külön, és írja le a kívánt pontossággal (például két tizedesjegy). Ezután hajtsa végre a szükséges aritmetikai műveleteket, mint a közönséges számoknál. Tegyük fel például, hogy tudni szeretné a √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 kifejezés hozzávetőleges értékét.

Egy szám négyzetgyökének kinyerése nem az egyetlen művelet, amelyet ezzel a matematikai jelenséggel lehet végrehajtani. Szintén hétköznapi számok, a négyzetgyököket összeadjuk és kivonjuk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A négyzetgyök összeadás és kivonás szabályai

1. definíció

Az olyan műveletek, mint a négyzetgyök összeadása és kivonása, csak akkor lehetségesek, ha a gyökérkifejezés megegyezik.

1. példa

Összeadhat vagy kivonhat kifejezéseket 2 3 és 6 3, de nem 56 És 9 4 . Ha lehetséges a kifejezés egyszerűsítése, és ugyanazzal a gyökérszámmal a gyökerekhez hozni, akkor egyszerűsítse, majd összeadja vagy kivonja.

Root Actions: Az alapok

2. példa

6 50 - 2 8 + 5 12

Művelet algoritmus:

1. Egyszerűsítse a gyökérkifejezést. Ehhez a gyökkifejezést fel kell bontani 2 tényezőre, amelyek közül az egyik egy négyzetszám (az a szám, amelyből az egész számot kivonjuk Négyzetgyök pl. 25 vagy 9).
2. Ezután ki kell venni a négyzetszám gyökerétés a kapott értéket írd a gyökjel elé. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a második tényező a gyökérjel alatt van megadva.
3. Az egyszerűsítési folyamat után a gyököket ugyanazokkal a radikális kifejezésekkel kell aláhúzni - csak azokat lehet összeadni és kivonni.
4. Azonos gyökkifejezésű gyökök esetén össze kell adni vagy ki kell vonni a gyökjelet megelőző tényezőket. A gyökérkifejezés változatlan marad. Ne adjunk össze vagy vonjunk ki gyökszámokat!

1. tipp

Ha van rá példa nagy mennyiség azonos gyök kifejezéseket, majd húzza alá ezeket a kifejezéseket egy-, dupla- és háromsorral a számítási folyamat megkönnyítése érdekében.

3. példa

Próbáljuk meg ezt a példát:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Először fel kell bontani az 50-et 2 tényezőre, 25-re és 2-re, majd vegyük ki a 25-ös gyökerét, ami 5, és vegyük ki az 5-öt a gyökér alól. Ezt követően meg kell szoroznia 5-öt 6-tal (a szorzó a gyökérben), és 30 2-t kell kapnia.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Először a 8-at 2 faktorra kell bontani: 4-re és 2-re. Ezután a 4-ből húzzuk ki a gyökeret, ami egyenlő 2-vel, és vegyünk ki 2-t a gyökér alól. Ezt követően meg kell szoroznia 2-t 2-vel (a gyökér tényezője), és 4 2-t kell kapnia.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Először is a 12-t 2 faktorra kell bontani: 4-re és 3-ra. Ezután a 4-ből, ami a 2-esből vonjuk ki a gyökeret, és vegyük ki a gyökér alól. Ezt követően meg kell szoroznia 2-t 5-tel (a gyökér tényezője), és 10 3-at kell kapnia.

Egyszerűsítés eredménye: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ennek eredményeként láttuk, hogy ez a példa hány azonos gyök kifejezést tartalmaz. Most gyakoroljunk más példákkal.

4. példa

• Egyszerűsítés (45) . Tényezősítjük a 45-öt: (45) = (9 × 5) ;
• Kiveszünk 3-at a gyökér alól (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• A faktorokat a gyököknél adjuk össze: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

5. példa

6 40 - 3 10 + 5:

• Egyszerűsítés 6 40 . Tényezőként 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Kiveszünk 2-t a gyökér alól (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Megszorozzuk azokat a tényezőket, amelyek a gyökér előtt vannak: 12 10;
• A kifejezést leegyszerűsített formában írjuk: 12 10 - 3 10 + 5;
• Mivel az első két tag gyökszáma azonos, kivonhatjuk őket: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

6. példa

Mint látjuk, a gyökszámokat nem lehet egyszerűsíteni, ezért a példában azonos gyökszámú tagokat keresünk, végrehajtjuk matematikai műveletek(összeadás, kivonás stb.) és írja be az eredményt:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Tanács:

• Összeadás vagy kivonás előtt feltétlenül le kell egyszerűsíteni (ha lehetséges) a gyökös kifejezéseket.
• Szigorúan tilos a gyökerek összeadása és kivonása különböző gyökérkifejezésekkel.
• Ne adjon hozzá vagy vonjon ki egész számot vagy négyzetgyököt: 3 + (2 x) 1/2 .
• Törtekkel végzett műveleteknél meg kell találni egy olyan számot, amely osztható minden nevezővel, majd a törteket közös nevezőre kell hozni, majd hozzáadni a számlálókat, és a nevezőket változatlanul hagyni.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősek "nem nagyon. »
És azoknak, akik „nagyon egyenletes. "")

Az előző leckében rájöttünk, mi az a négyzetgyök. Ideje kitalálni, mik azok képletek a gyökerekhez, mik gyökér tulajdonságaiés mit lehet tenni mindezzel.

Gyökérképletek, gyökértulajdonságok és szabályok a gyökerekkel végzett műveletekhez lényegében ugyanazok. Meglepően kevés képlet létezik négyzetgyökre. Ami persze örömet okoz! Inkább sok mindenféle képletet lehet írni, de a gyakorlati és magabiztos, gyökeres munkához csak három elég. Minden más ebből a háromból fakad. Bár sokan eltévednek a gyökerek három képletében, igen.

Kezdjük a legegyszerűbbel. Itt is van:

Emlékeztetlek (az előző leckéből): a és b nem negatív számok! Ellenkező esetben a képletnek nincs értelme.

Ez a gyökerek tulajdonsága , amint látja, egyszerű, rövid és ártalmatlan. De ezzel a gyökérképlettel nagyon sok hasznos dolgot tehetsz! Vessünk egy pillantást példák mindezeket a hasznos dolgokat.

Hasznos dolog először. Ez a képlet lehetővé teszi számunkra szaporodnak a gyökerek.

Hogyan szaporítsuk a gyökereket?

Igen, nagyon egyszerű. Egyenesen a képlethez. Például:

Úgy tűnik, hogy megszaporodtak, akkor mi van? Sok az öröm? Egyetértek, egy kicsit. De hogy tetszik ez példa?

A gyökerek nem pontosan a tényezőkből származnak. És az eredmény nagyszerű! Már jobban, igaz? Minden esetre tájékoztatom, hogy annyi szorzó lehet, amennyit csak akar. A gyökérszorzási képlet továbbra is működik. Például:

Tehát a szorzásnál minden világos, hogy miért van erre szükség a gyökerek tulajdonsága- érthető is.

Hasznos dolog a második. Szám beírása a gyökér jele alá.

Hogyan kell számot beírni a gyökér alá?

Tegyük fel, hogy van ez a kifejezés:

Lehetséges-e elrejteni a kettőt a gyökérben? Könnyen! Ha kettőből gyökeret készítesz, akkor a gyökérszorzás képlete működni fog. És hogyan készítsünk gyökeret egy kettesből? Igen, ez nem is kérdés! A dupla az négyzetgyöke négy!

A gyökér egyébként bármilyen nem negatív számból elkészíthető! Ez lesz ennek a számnak a négyzetgyöke. A 3 a 9 gyöke. 8 a 64 gyöke. A 11 a 121 gyöke. Nos, és így tovább.

Természetesen nem kell ilyen részletesen festeni. Kivéve kezdőknek. Elegendő rájönni, hogy a gyökér alá tetszőleges, nem negatív számot szorozva a gyökérrel be lehet vinni. De ne feledd! - a gyökér alatt ez a szám lesz négyzet saját maga. Ezt a műveletet - szám beírása a gyökér alá - nevezhetjük egy szám gyökérrel való szorzásának is. Általánosságban a következőket írhatjuk:

A folyamat egyszerű, amint láthatja. Miért van szükség rá?

Mint minden átalakítás, ez az eljárás is kiterjeszti lehetőségeinket. Lehetőségek arra, hogy egy kegyetlen és kényelmetlen arckifejezést lágy és bolyhossá alakítsunk). Íme egy egyszerű az Ön számára példa:

Amint látod gyökér tulajdonság, amely lehetővé teszi egy tényező beiktatását a gyökér jele alá, meglehetősen alkalmas az egyszerűsítésre.

Ezenkívül a gyökér alatti szorzó hozzáadása megkönnyíti és egyszerűvé teszi a különböző gyökerek értékeinek összehasonlítását. Minden számítás és számológép nélkül! A harmadik hasznos dolog.

Hogyan hasonlítsuk össze a gyökereket?

Ez a készség nagyon fontos szilárd küldetéseknél, modulok feloldásakor és más klassz dolgokban.

Hasonlítsa össze ezeket a kifejezéseket. Melyik a több? Számológép nélkül! Mindegyikhez számológép tartozik. uh-úú. Egyszóval mindenki meg tudja csinálni!)

Nem mondod azonnal. És ha a gyökér jele alá írsz be számokat?

Ne feledje (hirtelen, nem tudta?): ha a gyökér jele alatti szám nagyobb, akkor maga a gyök nagyobb! Innen az azonnal helyes válasz, minden bonyolult számítások és számítások nélkül:

Ez nagyszerű, igaz? De ez még nem minden! Emlékezzünk vissza, hogy minden képlet balról jobbra és jobbról balra is működik. Eddig a gyökerek balról jobbra történő szorzásának képletét használtuk. Futtassuk ezt a gyökértulajdonságot visszafelé, jobbról balra. Mint ez:

És mi a különbség? Ad valamit!? Biztosan! Most meglátod magad.

Tegyük fel, hogy ki kell húznunk (számítógép nélkül!) a 6561 szám négyzetgyökét. Vannak, akik ebben a szakaszban egyenlőtlen küzdelemben esnek el a feladattal. De makacsok vagyunk, nem adjuk fel! Hasznos dolog negyedik.

Hogyan lehet gyökereket kinyerni nagy számból?

Felidézzük a gyökerek kinyerésének képletét egy termékből. Amit fentebb posztoltam. De hol van a mi munkánk? Van egy hatalmas számunk 6561, és ennyi. Igen, nincs művészet. De ha szükségünk van rá, akkor mi Csináljuk! Tekintsük ezt a számot. Jogunk van hozzá.

Először is nézzük meg, hogy ez a szám pontosan mivel osztható? Mi van, nem tudod!? Elfelejtetted az oszthatóság jeleit!? Hiába. Lépjen az 555. speciális szakaszhoz, a "Törtek" tárgyhoz, ott vannak. Ez a szám osztható 3-mal és 9-cel. Mert a számjegyek összege (6+5+6+1=18) osztható ezekkel a számokkal. Ez az oszthatóság egyik jele. Nem kell hárommal osztanunk (most meg fogod érteni, hogy miért), de osztunk 9-cel. Legalábbis egy sarokban. 729-et kapunk. Tehát két tényezőt találtunk! Az első kilences (mi magunk választottuk), a második pedig 729-es (úgy is lett). Már írhatod:

Érted az ötletet? Tegyük ugyanezt a 729-es számmal is. 3-mal és 9-cel is osztható. Ismétlem, nem 3-mal osztunk, hanem 9-cel. 81-et kapunk. És ezt a számot ismerjük! Leírjuk:

Minden egyszerű és elegáns lett! A gyökeret darabonként kellett eltávolítani, na jó. Ezt bármelyikkel meg lehet tenni nagy számok. Szorozd meg őket, és menj!

Egyébként miért nem kellett 3-mal osztani, gondoltad? Igen, mert a három gyöke nincs pontosan kivonva! Érdemes olyan faktorokra bontani, hogy legalább egy gyökér jól kinyerhető legyen. Ez 4, 9, 16, és így tovább. Oszd el a hatalmas számod ezekkel a számokkal, meglátod, és szerencsés vagy!

De nem feltétlenül. Talán nem szerencsés. Tegyük fel, hogy a 432-es szám a szorzat gyökérképletével együtt a következő eredményt adja:

Hát rendben. Mindenesetre leegyszerűsítettük a kifejezést. A matematikában szokás a legtöbbet elhagyni kisszámú a lehetséges. A megoldás során minden a példán múlik (lehet, hogy minden le van redukálva egyszerűsítés nélkül), de a válaszban olyan eredményt kell adni, amelyet nem lehet tovább egyszerűsíteni.

Egyébként tudod, mit csináltunk most a 432 gyökérrel?

Mi faktorokat vett ki a gyökér jele alól ! Így hívják ezt a műveletet. És akkor esik a feladat - " vedd ki a faktort a gyökér jele alól– De a férfiak nem is tudják.) Itt van még egy hasznod gyökér tulajdonságai. Hasznos dolog ötödik.

Hogyan lehet kivenni a szorzót a gyökér alól?

Könnyen. Faktorizálja a gyökérkifejezést, és vonja ki a kinyert gyökereket. Nézzük:

Semmi természetfeletti. Fontos a megfelelő szorzók kiválasztása. Itt a 72-t 36 2-re bontottuk. És minden jól alakult. Vagy másképp is bonthatták volna: 72 = 6 12. És akkor!? Sem 6-tól, sem 12-től nem nyerik ki a gyökeret. Mit kell tenni?!

Ez rendben van. Vagy keressen más bontási lehetőségeket, vagy folytassa a kirakást a végéig! Mint ez:

Mint látható, minden sikerült. Ez egyébként nem a leggyorsabb, de a legmegbízhatóbb módszer. Bontsa fel a számot a legkisebb faktorokra, majd gyűjtse halomba ugyanazokat. A módszert a kényelmetlen gyökerek szaporításánál is sikeresen alkalmazzák. Például ki kell számolnia:

Szorozza meg mindent - őrült számot kap! És akkor hogyan lehet kivonni belőle a gyökeret ?! Megint szorozni? Nem, nincs szükségünk plusz munkára. Azonnal faktorokra bontjuk, és ezeket halomba gyűjtjük:

Ez minden. Természetesen nem szükséges a megállóig kifeküdni. Mindent a személyes képességeid határoznak meg. Olyan állapotba hozta a példát, ahol minden világos nekedígy már tudsz számolni. A lényeg az, hogy ne hibázz. Nem az ember a matematikához, hanem a matematika az emberhez!)

Alkalmazzuk a tudást a gyakorlatban? Kezdjük egy egyszerűvel:

A négyzetgyökök hozzáadásának szabálya

A négyzetgyökök tulajdonságai

Eddig öt aritmetikai műveletet hajtottunk végre számokkal: összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás, és e műveletek különféle tulajdonságait aktívan használták a számításokban, például a + b = b + a, és n -b n = (ab) n stb.

Ez a fejezet bemutatja új művelet- nemnegatív szám négyzetgyökének kinyerése. Sikeres használatához meg kell ismerkednie ennek a műveletnek a tulajdonságaival, amit ebben a részben fogunk megtenni.

Bizonyíték. Vezessük be a következő jelölést:
Ezt be kell bizonyítanunk negatív számok x, y, z, x = yz.

Tehát x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Ekkor x 2 \u003d y 2 z 2, azaz x 2 \u003d (yz) 2.

Ha négyzetek két nem negatív szám egyenlő, akkor maguk a számok egyenlők, ami azt jelenti, hogy az x 2 \u003d (yz) 2 egyenlőségből az következik, hogy x \u003d yz, és ezt be kellett bizonyítani.

Röviden ismertetjük a tétel bizonyítását:

Megjegyzés 1. A tétel érvényes marad arra az esetre is, ha a gyökkifejezés kettőnél több nemnegatív tényező szorzata.

2. megjegyzés. Tétel 1 az „if. , akkor” (a matematikában a tételeknél szokásos). Megadjuk a megfelelő megfogalmazást: ha a és b nemnegatív számok, akkor az egyenlőség .

Így fogalmazzuk meg a következő tételt.

(Egy rövid, a gyakorlatban kényelmesebb megfogalmazás: egy tört gyöke egyenlő a gyökök törtével, vagy a hányados gyöke egyenlő a gyökök hányadosával.)

Ezúttal csak egy rövid feljegyzést adunk a bizonyításról, és megpróbálhat megfelelő megjegyzéseket tenni, amelyek hasonlóak az 1. Tétel bizonyításának lényegéhez.

Példa 1. Számítsa ki .
Megoldás. Az első tulajdonság használata négyzetgyök(1. tétel), megkapjuk

3. megjegyzés. Természetesen ezt a példát másként is meg lehet oldani, főleg, ha van kéznél számológép: szorozd meg a 36, ​​64, 9 számokat, majd vedd a kapott szorzat négyzetgyökét. Ön azonban egyetért azzal, hogy a fent javasolt megoldás kulturáltabbnak tűnik.

Megjegyzés 4. Az első módszernél homlokzati számításokat végeztünk. A második mód elegánsabb:
jelentkeztünk képlet a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b), és a négyzetgyök tulajdonságot használta.

Megjegyzés 5. Néhány "forró fej" néha a következő "megoldást" kínálja a 3. példában:

Ez persze nem igaz: látod - az eredmény nem ugyanaz, mint a 3. példánkban. A tény az, hogy nincs tulajdonság mint no és tulajdonságok Csak a négyzetgyökök szorzására és osztására vonatkozó tulajdonságok vannak. Legyen óvatos és óvatos, ne vágyakozzon.

4. példa. Számolj: a)
Megoldás. Az algebra bármely képletét nemcsak "jobbról balra", hanem "balról jobbra" is használják. Tehát a négyzetgyök első tulajdonsága azt jelenti, hogy szükség esetén ábrázolható, és fordítva, amit a kifejezés helyettesíthet. Ugyanez vonatkozik a négyzetgyökök második tulajdonságára is. Ezt szem előtt tartva oldjuk meg a javasolt példát.

A bekezdés befejezéseként még egy meglehetősen egyszerű és egyben fontos tulajdonságot jegyzünk meg:
ha a > 0 és n - természetes szám , Azt

5. példa Kiszámítja , számnégyzettáblázat és számológép használata nélkül.

Megoldás. Bontsuk fel a gyökszámot prímtényezőkre:

Megjegyzés 6. Ezt a példát ugyanúgy meg lehetne oldani, mint a 15. §-ban található hasonló példát. Könnyen kitalálható, hogy a válasz „80 farokkal”, hiszen 80 2 2 . Keressük meg a "farkat", vagyis a kívánt szám utolsó számjegyét. Eddig úgy tudjuk, hogy ha a gyökér ki van húzva, akkor a válasz 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 vagy 89 lehet. Csak két számot kell ellenőrizni: a 84-et és a 86-ot, mivel négyzetesítéskor csak ezek adják az eredményt. négyjegyű 6-ra végződő szám, azaz. ugyanaz a számjegy, amely a 7056 számmal végződik. Van 84 2 \u003d 7056 - erre van szükségünk. Eszközök,

Mordkovich A. G., Algebra. 8. évfolyam: Proc. általános műveltségre intézmények - 3. kiadás, véglegesítve. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Könyvek, matematikai tankönyvek letöltése, absztrakt, hogy segítse a tanárt és a diákokat, tanuljon online

Ha van javítása vagy javaslata ehhez a leckéhez, írjon nekünk.

Ha további javításokat és javaslatokat szeretne látni a leckékhez, nézze meg itt - Oktatási Fórum.

Hogyan adjunk hozzá négyzetgyököt

Egy szám négyzetgyöke x hívott egy számot A, amely önmaga szorzása közben ( A*A) adhat számot x.
Azok. A * A = A 2 = X, És √X = A.

Négyzetgyök felett ( √x), más számokhoz hasonlóan számtani műveleteket, például kivonást és összeadást is végezhet. A gyökök kivonásához és hozzáadásához ezeket a műveleteknek megfelelő jelekkel kell összekapcsolni (pl √x - √y ).
Ezután hozza a gyökereket a legegyszerűbb formájukba - ha hasonlóak vannak közöttük, akkor öntvényt kell készítenie. Abból áll, hogy a hasonló tagok együtthatóit a megfelelő tagok előjeleivel vesszük, majd zárójelek közé helyezzük, és a közös gyöket a szorzózáró zárójelen kívül jelenítjük meg. A kapott együtthatót a szokásos szabályok szerint egyszerűsítjük.

1. lépés: Négyzetgyökök kinyerése

Először is, négyzetgyökök hozzáadásához először ki kell vonnia ezeket a gyökereket. Ezt akkor lehet megtenni, ha a gyökjel alatti számok tökéletes négyzetek. Vegyük például a megadott kifejezést √4 + √9 . Első szám 4 a szám négyzete 2 . Második szám 9 a szám négyzete 3 . Így a következő egyenlőség érhető el: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Minden, a példa megoldva. De ez nem mindig történik így.

2. lépés: Kivesszük egy szám szorzóját a gyökér alól

Ha nincs teljes négyzet a gyökjel alatt, akkor megpróbálhatja kivenni a szám szorzóját a gyökjel alól. Vegyük például a kifejezést √24 + √54 .

Tényezőzzük a számokat:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Között 24 van egy szorzónk 4 , a négyzetgyök jel alól kivehető. Között 54 van egy szorzónk 9 .

Az egyenlőséget kapjuk:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ezt a példát tekintve a gyökérjel alól a faktor eltávolítását kapjuk, ezzel egyszerűsítve az adott kifejezést.

3. lépés: A nevező csökkentése

Tekintsük a következő helyzetet: két négyzetgyök összege egy tört nevezője, pl. A / (√a + √b).
Most azzal a feladattal állunk szemben, hogy "megszabaduljunk a nevezőben rejlő irracionalitástól".
Használjuk a következő módszert: szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a kifejezéssel √a - √b.

Most megkapjuk a nevezőben a rövidített szorzási képletet:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Hasonlóképpen, ha a nevező tartalmazza a gyökkülönbséget: √a - √b, a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a kifejezéssel √a + √b.

Példaként vegyünk egy töredéket:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Példa az összetett nevezőcsökkentésre

Most egy meglehetősen bonyolult példát fogunk megvizsgálni a nevező irracionalitásától való megszabadulásra.

Példaként vegyünk egy töredéket: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Ki kell venni a számlálót és a nevezőt, és meg kell szorozni a kifejezéssel √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

4. lépés Számítsa ki a hozzávetőleges értéket a számológépen

Ha csak hozzávetőleges értékre van szüksége, akkor ezt egy számológépen a négyzetgyök értékének kiszámításával megteheti. Minden számhoz külön-külön számítják ki és rögzítik az értéket a szükséges pontossággal, amelyet a tizedesjegyek száma határoz meg. Ezenkívül az összes szükséges műveletet végrehajtják, mint a közönséges számoknál.

Becsült számítási példa

Ki kell számítani ennek a kifejezésnek a hozzávetőleges értékét √7 + √5 .

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Figyelem: semmi esetre se adjunk négyzetgyököt prímszámként, ez teljesen elfogadhatatlan. Azaz, ha összeadja az öt és a három négyzetgyökét, akkor nem kapjuk meg a nyolc négyzetgyökét.

Hasznos tanács: ha úgy döntünk, hogy egy számot faktorizálunk, hogy a gyökjelből négyzetet lehessen levezetni, akkor egy fordított ellenőrzést kell végezni, azaz meg kell szorozni a számítások eredményeként kapott összes tényezőt, és ennek a matematikai számításnak a végeredménye az a szám legyen, amelyet eredetileg kaptunk.

Gyökerekkel végzett cselekvés: összeadás és kivonás

Egy szám négyzetgyökének kinyerése nem az egyetlen művelet, amelyet ezzel a matematikai jelenséggel lehet végrehajtani. A közönséges számokhoz hasonlóan a négyzetgyökök is összeadhatók és kivonhatók.

A négyzetgyök összeadás és kivonás szabályai

Az olyan műveletek, mint a négyzetgyök összeadása és kivonása, csak akkor lehetségesek, ha a gyökérkifejezés megegyezik.

Összeadhat vagy kivonhat kifejezéseket 2 3 és 6 3, de nem 56 És 9 4 . Ha lehetséges a kifejezés egyszerűsítése, és ugyanazzal a gyökérszámmal a gyökerekhez hozni, akkor egyszerűsítse, majd összeadja vagy kivonja.

Root Actions: Az alapok

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Egyszerűsítse a gyökérkifejezést. Ehhez a gyökkifejezést fel kell bontani 2 faktorra, amelyek közül az egyik egy négyzetszám (az a szám, amelyből a teljes négyzetgyököt kivonjuk, például 25 vagy 9).
2. Ezután ki kell venni a négyzetszám gyökerétés a kapott értéket írd a gyökjel elé. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a második tényező a gyökérjel alatt van megadva.
3. Az egyszerűsítési folyamat után a gyököket ugyanazokkal a radikális kifejezésekkel kell aláhúzni - csak azokat lehet összeadni és kivonni.
4. Azonos gyökkifejezésű gyökök esetén össze kell adni vagy ki kell vonni a gyökjelet megelőző tényezőket. A gyökérkifejezés változatlan marad. Ne adjunk össze vagy vonjunk ki gyökszámokat!

Ha van egy példája sok azonos gyökkifejezéssel, akkor a számítási folyamat megkönnyítése érdekében húzza alá az ilyen kifejezéseket egy-, dupla- és háromsoros vonalakkal.

Próbáljuk meg ezt a példát:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Először fel kell bontani az 50-et 2 tényezőre, 25-re és 2-re, majd vegyük ki a 25-ös gyökerét, ami 5, és vegyük ki az 5-öt a gyökér alól. Ezt követően meg kell szoroznia 5-öt 6-tal (a szorzó a gyökérben), és 30 2-t kell kapnia.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Először a 8-at 2 faktorra kell bontani: 4-re és 2-re. Ezután a 4-ből húzzuk ki a gyökeret, ami egyenlő 2-vel, és vegyünk ki 2-t a gyökér alól. Ezt követően meg kell szoroznia 2-t 2-vel (a gyökér tényezője), és 4 2-t kell kapnia.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Először is a 12-t 2 faktorra kell bontani: 4-re és 3-ra. Ezután a 4-ből, ami a 2-esből vonjuk ki a gyökeret, és vegyük ki a gyökér alól. Ezt követően meg kell szoroznia 2-t 5-tel (a gyökér tényezője), és 10 3-at kell kapnia.

Egyszerűsítés eredménye: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ennek eredményeként láttuk, hogy ez a példa hány azonos gyök kifejezést tartalmaz. Most gyakoroljunk más példákkal.

• Egyszerűsítés (45) . Tényezősítjük a 45-öt: (45) = (9 × 5) ;
• Kiveszünk 3-at a gyökér alól (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• A faktorokat a gyököknél adjuk össze: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Egyszerűsítés 6 40 . Tényezőként 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Kiveszünk 2-t a gyökér alól (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Megszorozzuk azokat a tényezőket, amelyek a gyökér előtt vannak: 12 10;
• A kifejezést leegyszerűsített formában írjuk: 12 10 - 3 10 + 5;
• Mivel az első két tag gyökszáma azonos, kivonhatjuk őket: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Mint látjuk, a gyökszámok egyszerűsítése nem lehetséges, ezért a példában azonos gyökszámú tagokat keresünk, matematikai műveleteket hajtunk végre (összeadás, kivonás stb.) és felírjuk az eredményt:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Tanács:

• Összeadás vagy kivonás előtt feltétlenül le kell egyszerűsíteni (ha lehetséges) a gyökös kifejezéseket.
• Szigorúan tilos a gyökerek összeadása és kivonása különböző gyökérkifejezésekkel.
• Ne adjon hozzá vagy vonjon ki egész számot vagy négyzetgyököt: 3 + (2 x) 1/2 .
• Törtekkel végzett műveleteknél meg kell találni egy olyan számot, amely osztható minden nevezővel, majd a törteket közös nevezőre kell hozni, majd hozzáadni a számlálókat, és a nevezőket változatlanul hagyni.

A számtani négyzetgyök tulajdonságai. A számtani négyzetgyök hatványa

Számtani négyzetgyökök konvertálása. Számtani négyzetgyökök átszámítása

Kivonni egy polinom négyzetgyöke, akkor ki kell számítani a polinomot, és ki kell vonni a gyökét a kapott számból.

Figyelem! Lehetetlen minden tagból (redukáltan és kivonva) külön-külön kivonni a gyökért.

Shchob nyerni polinom négyzetgyöke, a követelmény a gazdag tag kiszámítása és a kivont számból a gyökér kiszámítása.

Tisztelet! Lehetetlen kinyerni a gyökeret a bőrkiegészítőből (megváltozott és látható) OKremo.

A szorzat négyzetgyökének kinyerése (hányados), kiszámolhatja az egyes tényezők négyzetgyökét (osztó és osztó), és a kapott értékeket a szorzatból (hányadosból) veheti ki.

A dobutka négyzetgyökének megnyerése (alkatrészek), kiszámolhatja a bőr szorzó négyzetgyökét (osztva és dilnik), és eltávolíthatja az értéket egy kiegészítő (gyakori) felvételével.

Egy tört négyzetgyökét venni, külön kell kivonnia a számláló és a nevező négyzetgyökét, és a kapott értékeket törtként kell meghagynia, vagy hányadosként kell kiszámítania (ha lehetséges feltétel szerint).

A tört négyzetgyökének megnyerése, a számkönyv és az okremo zászlajának négyzetgyökét kell venni, és a tört értékét törttel megvonni, vagy résznek kell számolni (ahogy az elme számára lehetséges).

A gyökjel alól ki lehet venni egy faktort, a gyökérjel alá pedig bevinni egy faktort. Ha egy tényezőt kiveszünk, akkor kivonjuk belőle a gyökeret, majd bevezetve a megfelelő hatványra emeljük.

A 3. gyökjel szorozható, a gyökjel pedig szorozható. A szorzó hibájából a gyökerek csavarodnak, a bevezetéssel pedig a magasabb lábakon épülnek fel.

Példák. Alkalmaz

A négyzetgyökök összegének (különbségének) átszámításához a gyökkifejezéseket a fok egyik bázisára kell hozni, ha lehetséges, ki kell húzni a gyököket a fokokból, és a gyökök előjele elé írni, és hozzáadni a fennmaradó, azonos gyökkifejezésű négyzetgyököket, amelyekhez az együtthatókat a gyökjel előtt hozzáadjuk, és ugyanazt a négyzetgyököt.

A négyzetgyök összegének (költségének) újraszámításához a lépés egyik tövébe részgyökereket kell hozni, mivel lehetséges, hogy a gyöklépéseket a gyökjelek elé írjuk, és megoldható a négyzetgyökök azonos gyökök összeadásával, amelyekhez az együtthatókat a gyökjel elé adjuk, és hozzáadjuk ugyanazt a négyzetgyököt.

Az összes radikális kifejezést a 2-es bázisra visszük.

Tól től páros fokozat a gyökeret teljesen, páratlan foktól kinyerjük, az 1. fokú bázis gyökerét a gyökér jele alatt hagyjuk.

Hasonló egész számokat adunk meg, és összeadjuk az együtthatókat azonos gyökökkel. A binomiálist egy szám és az összeg binomiális szorzataként írjuk fel.

Hozd a virazi összes algyökerét a 2-es alaphoz.

A páros szakaszból sorba húzzuk a gyökereket, a párosítatlan stádiumból az 1. szakaszban lévő bázis gyökereit a gyökér jele alá töltjük.

Javasoljuk, hogy hasonló számokat és együtthatókat adjunk hozzá ugyanazokhoz a gyökerekhez. A binomiálist a sumi binomiális i számának kiegészítéseként írjuk.

A radikális kifejezéseket a legkisebb bázisra vagy a legkisebb bázisú hatványok szorzatára visszük. A gyököt a páros fokozatú gyökkifejezésekből kinyerjük, a maradékokat 1-es mutatójú fokos alap formájában vagy az ilyen alapok szorzatát hagyjuk a gyök jele alatt. Hasonló kifejezéseket adunk (a gyökök együtthatóit összeadjuk).

A virazi gyökerét a legkisebb bázishoz vezetjük, vagy a legkisebb bázisú lépések hozzáadásával. A viráz gyökerei alatti párás lépcsőkből a gyökereket szedjük, a lépcső tövében lévő felesleget az 1-es indikátorral vagy ilyen bázisok hozzáadásával a gyökér jele alá töltjük. Hasonló kifejezéseket javasolunk (azonos gyökök együtthatóit összeadjuk).

Helyettesítsük a törtek osztását szorzással (a második tört reciprokkal való helyettesítésével). Szorozzuk meg külön a számlálókat és a nevezőket. A gyökér minden jele alatt kiemeljük a fokokat. Töröljük ugyanazokat a tényezőket a számlálóban és a nevezőben. Gyökereket vonunk ki a páros erőkből.

A törtek osztását szorzással helyettesítjük (egy másik tört visszatéréssel történő helyettesítésével). Szorozza meg az okremo számokat és a törtszalagokat. Lépések láthatók a gyökér bőrjele alatt. Ugyanezeket a szorzókat gyorsítjuk fel a számkönyvben és a bannerben. Az ikerlépcső gyökerét hibáztasd.

Két négyzetgyök összehasonlítása, gyökkifejezéseiket azonos bázisú fokra kell redukálni, akkor minél több a gyökkifejezés fokszáma, annál nagyobb a négyzetgyök értéke.

Ebben a példában a gyökös kifejezések nem redukálhatók egy bázisra, mivel az alap az elsőben 3, a másodikban pedig 3 és 7.

Az összehasonlítás második módja a gyök együtthatójának megadása a gyökkifejezésben, és a gyökkifejezések számértékeinek összehasonlítása. Négyzetgyök esetén minél nagyobb a gyökkifejezés, annál nagyobb a gyök értéke.

Hogy megfeleljen két négyzetgyöknek, ezek algyökereit azonos alapon kell szintre hozni, míg minél nagyobb a vírus részgyökér fokának mutatója, annál nagyobb a négyzetgyök értéke.

Ebben az esetben nem lehet a virazi gyökérgyökereit az egyik alapra hozni, mivel az elsőben az alap 3, a másikban pedig 3 és 7.

A kiegyenlítés másik módja a gyökéregyüttható hozzáadása a gyökérvirázhoz, és a gyökérviráz számértékeinek kiegyenlítése. A négyzetgyöknek több algyök viraz van, annál nagyobb a gyök értéke.

A szorzás eloszlási törvényét és az azonos kitevőjű gyökök (esetünkben négyzetgyök) szorzási szabályát felhasználva két négyzetgyök összegét kaptuk a gyökjel alatti szorzattal. A 91-et prímtényezőkre bontjuk, és a gyökért kivesszük a zárójelekből a közös gyöktényezőkkel (13 * 5).

Megkaptuk egy gyök és egy binomiális szorzatát, amelyben az egyik monom egy egész szám (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny szorzás törvénye és a gyökerek szorzási szabálya ugyanazokkal a mutatókkal (esetünkben - négyzetgyökök), két négyzetgyök összegét vette a gyökér további jelével. Egyszerűen 91 szorzót rakhatunk ki, és az ívek gyökerét a gyökérszorzókból (13 * 5) vesszük.

Összeadtunk egy gyököt és egy binárist, aminek az egyik mononomja van az egész számban (1).

9. példa:

A gyökkifejezésekben faktorokkal választjuk ki azokat a számokat, amelyekből a teljes négyzetgyököt kivonhatjuk. Kivonjuk a négyzetgyököket a hatványokból, és a számokat a négyzetgyök együtthatóival állítjuk össze.

Ennek a polinomnak a tagjainak van egy közös tényezője √3, amely kivehető a zárójelekből. Mutassunk be hasonló kifejezéseket.

Az al-gyökér-vírusokban ez a szám szorzója, amelyből kivehető a négyzetgyök. A lépések négyzetgyökeit hibáztatjuk, a számokat pedig a négyzetgyök együtthatóival tesszük.

Ennek a polinomnak a tagjainak közös szorzója √3, ami a karoknak tudható be. Hasonló kiegészítéseket javasolunk.

Két azonos alap (3 és √5) összegének és különbségének szorzata a rövidített szorzási képlet segítségével írható fel az alapok négyzeteinek különbségeként.

A négyzetgyök négyzet mindig egyenlő a gyök kifejezéssel, így megszabadulunk a gyöktől (gyökjeltől) a kifejezésben.

Két azonos alap (3 і √5) Dobutok összege és különbsége a gyorsszorzás képletéből négyzetalapok különbségeként írható fel.

A zavzhd négyzetgyöke egyenlő a gyökér alatti virázzal, ezért a viráz gyökjét (gyökjelét) nevezzük.

Vissza az iskolába. Gyökerek hozzáadása

Korunkban a modern elektronikus számítógépekben a szám gyökerének kiszámítása nem szerepel kihívást jelentő feladat. Például √2704=52, ezt bármelyik számológép kiszámolja Önnek. A számológép szerencsére nem csak Windowsban van, hanem egy hétköznapi, még a legegyszerűbb telefonban is. Igaz, ha hirtelen (kis valószínűséggel, amelynek számítása egyébként magában foglalja a gyökerek hozzáadását) úgy találja magát, hogy nincs rendelkezésre álló pénz, akkor sajnos csak az agyára kell hagyatkoznia.

Az elmetréning soha nem vall kudarcot. Főleg azoknak, akik nem dolgoznak olyan gyakran számokkal, és még inkább a gyökerekkel. A gyökerek összeadása és kivonása jó edzés az unatkozó elmének. És lépésről lépésre megmutatom a gyökerek hozzáadását. Példák kifejezésekre a következők lehetnek.

Az egyszerűsítendő egyenlet a következő:

Ez egy irracionális kifejezés. Az egyszerűsítés érdekében minden radikális kifejezést le kell redukálni Általános nézet. Fokozatosan csináljuk:

Az első szám már nem egyszerűsíthető. Térjünk át a második kifejezésre.

3√48 48-at faktorozunk: 48=2×24 vagy 48=3×16. A 24 négyzetgyöke nem egész szám, azaz. töredék maradéka van. Mivel pontos értékre van szükségünk, a közelítő gyökök nem megfelelőek számunkra. 16 négyzetgyöke 4, vedd ki a gyökjel alól. A következőt kapjuk: 3×4×√3=12×√3

Következő kifejezésünk negatív, i.e. mínusz előjellel írva -4×√(27.) Faktorozás 27. 27=3×9-et kapunk. Nem használunk törttényezőket, mert a négyzetgyököt a törtekből nehezebb kiszámítani. 9-et kiveszünk a tábla alól, i.e. számítsa ki a négyzetgyököt. A következő kifejezést kapjuk: -4×3×√3 = -12×√3

A következő √128 tag kiszámítja a gyökér alól kivehető részt. 128=64×2 ahol √64=8. Ha ez megkönnyíti a dolgát, ezt a kifejezést a következőképpen ábrázolhatja: √128=√(8^2×2)

A kifejezést átírjuk egyszerűsített kifejezésekkel:

Most összeadjuk a számokat ugyanazzal a gyök kifejezéssel. Nem adhat hozzá vagy vonhat ki különböző gyök kifejezéseket tartalmazó kifejezéseket. A gyökerek hozzáadása megköveteli ennek a szabálynak a betartását.

A következő választ kapjuk:

√2=1×√2 - Remélem, hogy az algebrában az ilyen elemek elhagyása nem lesz újdonság számodra.

A kifejezések nem csak négyzetgyökökkel, hanem kocka- vagy n-edik gyökekkel is ábrázolhatók.

Gyökök összeadása és kivonása -val különböző mutatók fok, de egyenértékű gyök kifejezéssel, a következőképpen fordul elő:

Ha van egy olyan kifejezésünk, mint √a+∛b+∜b, akkor ezt a kifejezést így egyszerűsíthetjük:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Két hasonló tagot redukáltunk a gyökér közös kitevőjére. Itt a gyökök tulajdonságát használtuk, amely azt mondja, hogy ha a gyökkifejezés fokszámát és a gyökkitevő számát megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor a számítása változatlan marad.

Megjegyzés: a kitevők csak szorzáskor kerülnek hozzáadásra.

Vegyünk egy példát, amikor egy kifejezésben törtek vannak.

Lépésről lépésre oldjuk meg:

5√8=5*2√2 - a gyökér alól kiszedjük a kivont részt.

Ha a gyök testét tört képviseli, akkor ez a tört gyakran nem változik, ha az osztó és az osztó négyzetgyökét vesszük. Ennek eredményeként a fent leírt egyenlőséget kaptuk.

Itt a válasz.

Fontos megjegyezni, hogy a páros kitevővel rendelkező gyök nem kerül kivonásra negatív számokból. Ha egy páros fokú gyök kifejezés negatív, akkor a kifejezés feloldhatatlan.

A gyökök összeadása csak akkor lehetséges, ha a gyök kifejezések egybeesnek, mivel ezek hasonló kifejezések. Ugyanez vonatkozik a különbségre is.

A különböző numerikus kitevőkkel rendelkező gyökök összeadását úgy hajtjuk végre, hogy mindkét tagot közös gyökfokra redukáljuk. Ez a törvény ugyanúgy működik, mint a törtek összeadásakor vagy kivonásakor a közös nevezőre való redukálás.

Ha a gyök kifejezés hatványra emelt számot tartalmaz, akkor ez a kifejezés egyszerűsíthető, feltéve, hogy van közös nevező a gyök és a kitevő között.

A szorzat és a tört négyzetgyöke

A négyzetgyöke egy olyan szám, amelynek négyzete a. Például a -5 és 5 számok a 25-ös szám négyzetgyökei. Vagyis az x^2=25 egyenlet gyökei a 25-ös szám négyzetgyökei. Most meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni a négyzetgyök művelettel: tanulmányozza annak alapvető tulajdonságait.

A termék négyzetgyöke

√(a*b)=√a*√b

Két nem negatív szám szorzatának négyzetgyöke egyenlő e számok négyzetgyökének szorzatával. Például √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Fontos megérteni, hogy ez a tulajdonság arra az esetre is vonatkozik, amikor a gyök kifejezés három, négy stb. szorzata. nem negatív szorzók.

Néha ennek a tulajdonságnak más megfogalmazása is van. Ha a és b nemnegatív számok, akkor a következő egyenlőség teljesül: √(a*b) =√a*√b. Egyáltalán nincs különbség köztük, használhatja az egyik vagy a másik megfogalmazást (melyikre kényelmesebb megjegyezni).

A tört négyzetgyöke

Ha a>=0 és b>0, akkor a következő egyenlőség igaz:

√(a/b)=√a/√b.

Például √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ennek a tulajdonságnak is más a megfogalmazása, véleményem szerint kényelmesebb megjegyezni.
A hányados négyzetgyöke egyenlő a gyökök hányadosával.

Érdemes megjegyezni, hogy ezek a képletek balról jobbra és jobbról balra is működnek. Vagyis szükség esetén a gyökerek szorzatát a termék gyökereként ábrázolhatjuk. Ugyanez vonatkozik a második ingatlanra is.

Amint látja, ezek a tulajdonságok nagyon kényelmesek, és ugyanazokat a tulajdonságokat szeretném az összeadáshoz és kivonáshoz:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

De sajnos az ilyen tulajdonságok négyzet alakúak nincsenek gyökerei, és aztán számításokban nem végezhető el..

• 13. Áthajtás forgalmi kereszteződéseken 2018 online megjegyzésekkel 13.1. Jobbra vagy balra kanyarodáskor a járművezetőnek elsőbbséget kell adnia az azon az úttesten áthaladó gyalogosoknak és kerékpárosoknak, amelyekre ráfordul. Ez az utasítás minden […]
• Szülői értekezlet"A szülők jogai, kötelességei és felelősségei" Prezentáció az órához Letöltés bemutató (536,6 kB) Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül reprezentálja az összes […]
• Regionális anyai tőke az Orel régióban A Regionális szülési fővárost (MK) Orelben és Oryol régióban 2011-ben hozták létre. Most a nagycsaládosok szociális támogatásának kiegészítő intézkedése, egyszeri […]
• A korai regisztráció egyszeri juttatásának összege 2018-ban Az Ön által kért oldal nem található. Lehet, hogy rossz címet adott meg, vagy az oldalt eltávolították. Használja […]
• Ügyvéd gazdasági ügyekben gazdasági szféra elég tág fogalom. Ilyen cselekmények közé tartozik a csalás, az illegális üzlet, a pénzmosás, az illegális banki tevékenység […]
• A Központi Bank Sajtószolgálata Orosz Föderáció(Oroszország Bank) Sajtószolgálat 107016, Moszkva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Az ideiglenes adminisztráció kinevezésével kapcsolatban az Oroszországi Bank Külügyi és Közkapcsolati Főosztálya tájékoztatja, hogy a (2) bekezdéssel összhangban […]
• Általános jellemzőkés a vízi utak rövid áttekintése A vízgyűjtők osztályozása Az oroszországi GIMS által felügyelt sétahajók (kis) hajózására szolgáló vízgyűjtők osztályozása […]
• Kucherena = Viktor Coj ügyvédje És ez kivétel: Anatolij Kucherena mai levele. A téma folytatásaként. Ezt a levelet még senki nem tette közzé. És kellene, szerintem. 1 rész egyelőre. Hamarosan közzéteszem a második részt, a híres ügyvéd aláírásával. Miért fontos? […]

Gyökök összeadása és kivonása- az egyik leggyakoribb "botlásköve" azoknak, akik matematika (algebra) tanfolyamot végeznek középiskolában. Mindazonáltal nagyon fontos megtanulni, hogyan kell helyesen összeadni és kivonni őket, mert a gyökök összegére vagy különbségére példákat tartalmaz az alap Unified program. Államvizsga a „matematika” tudományágban.

Az ilyen példák megoldásának elsajátításához két dologra van szükség - a szabályok megértésére, valamint a gyakorlat megszerzésére. Egy-két tucat tipikus példa megoldása után a hallgató automatizálja ezt a képességét, és akkor nem kell félnie a vizsgán. Az aritmetikai műveletek elsajátítását ajánlatos összeadással kezdeni, mert összeadásuk kicsit egyszerűbb, mint kivonásuk.

Ezt a legegyszerűbben a négyzetgyök példájával lehet megmagyarázni. A matematikában van egy jól bevált „négyzet” kifejezés. A „négyzet” azt jelenti, hogy egy adott számot egyszer meg kell szorozni önmagával.. Például, ha 2-es négyzetet adsz, akkor 4-et kapsz. Ha 7-et, akkor 49-et kapsz. A 9 négyzete 81. Tehát 4 négyzetgyöke 2, 49-é 7, 81-é pedig 9.

Ennek a témának a matematika oktatása általában négyzetgyökökkel kezdődik. Annak érdekében, hogy azonnal meg lehessen határozni, a hallgató Gimnázium fejből ismernie kell a szorzótáblát. Azok számára, akik nem ismerik jól ezt a táblázatot, tippeket kell használniuk. Általában a gyökérnégyzet számból való kinyerésének folyamatát táblázat formájában adják meg sokak borítóján iskolai füzetek matematika.

A gyökerek a következő típusúak:

• négyzet;
• köbös (vagy ún. harmadik fokozat);
• negyedik fokozat;
• ötödik fokozat.

Hozzáadási szabályok

Egy tipikus példa sikeres megoldásához szem előtt kell tartani, hogy nem minden gyökszám egymásra rakhatók. Ahhoz, hogy össze lehessen őket rakni, egyetlen mintára kell őket hozni. Ha ez nem lehetséges, akkor a problémának nincs megoldása. Az ilyen problémák gyakran megtalálhatók a matematika tankönyvekben is, mint egyfajta csapdát a diákok számára.

Az összeadás nem megengedett a hozzárendelésekben, ha a radikális kifejezések eltérnek egymástól. Ezt lehet szemléltetni jó példa:

• a tanuló előtt áll a feladat: össze kell adni 4 és 9 négyzetgyökét;
• tapasztalatlan diák, a szabályok ismeretében, általában ezt írja: "4 négyzetgyöke + 9 gyöke \u003d 13 gyöke."
• nagyon könnyű bebizonyítani, hogy ez a megoldási mód helytelen. Ehhez meg kell találni a 13 négyzetgyökét, és ellenőrizni kell, hogy a példa helyesen van-e megoldva;
• mikrokalkulátor segítségével megállapíthatja, hogy ez körülbelül 3,6. Most már ellenőrizni kell a megoldást;
• a 4=2 és a 9=3 gyöke;
• A kettő és a három összege öt. Így ez a megoldási algoritmus hibásnak tekinthető.

Ha a gyökerek ugyanaz a fokozat, de különböző numerikus kifejezéseket, akkor kikerül a zárójelekből, és zárójeleket ír be két radikális kifejezés összege. Így ebből az összegből már kivonják.

Összeadási algoritmus

A legegyszerűbb probléma helyes megoldásához a következőkre van szükség:

1. Határozza meg, hogy pontosan mihez kell kiegészíteni.
2. Fedezze fel, hogy lehetséges-e értékeket adni egymáshoz a matematikában létező szabályok alapján.
3. Ha nem adhatók hozzá, akkor átalakítani kell őket úgy, hogy hozzáadhatók legyenek.
4. Az összes szükséges átalakítás elvégzése után össze kell adni és le kell írni a kész választ. Az összeadás történhet gondolatban vagy számológéppel, a példa összetettségétől függően.

Mik a hasonló gyökerek

Egy kiegészítési példa helyes megoldásához mindenekelőtt át kell gondolni, hogyan lehet egyszerűsíteni. Ehhez alapvető ismeretekkel kell rendelkeznie arról, hogy mi a hasonlóság.

A hasonlók azonosításának képessége segít az azonos típusú összeadási példák gyors megoldásában, egyszerűsített formába hozva azokat. Egy tipikus kiegészítési példa egyszerűsítéséhez a következőket kell tennie:

1. Keressen hasonlókat, és rendelje hozzá őket egy csoporthoz (vagy több csoporthoz).
2. Írja át a meglévő példát úgy, hogy az azonos jelzővel rendelkező gyökök egyértelműen kövessék egymást (ezt hívják "csoportosításnak").
3. Ezután újra meg kell írni a kifejezést, ezúttal úgy, hogy a hasonlóak (amelyek azonos jelzővel és azonos gyökéralakúak) is kövessék egymást.

Ezt követően egy egyszerűsített példa általában könnyen megoldható.

Bármely összeadási példa helyes megoldásához világosan meg kell értenie az összeadás alapvető szabályait, és tudnia kell, hogy mi a gyökér és hogyan történik.

Néha az ilyen feladatok első pillantásra nagyon bonyolultnak tűnnek, de általában könnyen megoldhatók a hasonlóak csoportosításával. A legfontosabb a gyakorlás, és akkor a tanuló elkezdi "kattintani a feladatokat, mint a dió". A gyökérösszeadás a matematika egyik legfontosabb ága, ezért a tanároknak elegendő időt kell fordítaniuk a tanulásra.

Videó

Ez a videó segít megérteni a négyzetgyökegyenleteket.

A szám gyökerét a legegyszerűbb számológéppel kivonni. De ha nincs számológépe, akkor ismernie kell a négyzetgyök kiszámításának algoritmusát. A helyzet az, hogy a négyzetben lévő szám a gyökér alatt van. Például a 4 négyzet 16. Vagyis 16 négyzetgyöke négy lesz. Továbbá, az 5 négyzet 25. Ezért a 25 gyöke 5 lesz. És így tovább.

Ha a szám kicsi, akkor szóban könnyen kivonható, például a 25 gyöke 5 lesz, a 144-12 gyöke. A számológépen is lehet számolni, van egy speciális gyökér ikon, be kell hajtani egy számot és rá kell kattintani az ikonra.

A négyzetgyök tábla is segít:

Vannak más módszerek is, amelyek bonyolultabbak, de nagyon hatékonyak:

Bármely szám gyökere kivonható egy számológép segítségével, különösen azért, mert ma már minden telefonban megtalálható.

Megpróbálhatja nagyjából kitalálni, hogyan alakulhat ki egy adott szám úgy, hogy egy számot megszoroz önmagával.



Egy szám négyzetgyökének kiszámítása nem nehéz, különösen, ha van egy speciális táblázat. Az algebra leckékből jól ismert táblázat. Az ilyen műveletet az a szám négyzetgyökének felvételének, más szóval az egyenlet megoldásának nevezzük. Szinte minden okostelefon számológép rendelkezik négyzetgyök funkcióval.



Egy ismert szám négyzetgyökének kinyerésének eredménye egy másik szám lesz, amelyet a második hatványra (négyzetre) emelve ugyanazt a számot kapjuk, mint amit ismerünk. Tekintsük a települések egyik leírását, amely rövidnek és érthetőnek tűnik:







Itt egy videó a témában:

Számos módszer létezik egy szám négyzetgyökének kiszámítására.

A legnépszerűbb módszer egy speciális gyökértábla használata (lásd alább).

Szintén minden számológépen van egy funkció, amellyel megkeresheti a gyökeret.

Vagy egy speciális képlet segítségével.



Számos módja van a szám négyzetgyökének kivonására. Az egyik a leggyorsabb, számológép segítségével.

De ha nincs számológép, akkor manuálisan is megteheti.

Az eredmény pontos lesz.

Az elv majdnem ugyanaz, mint az oszloppal való osztás:



















Próbáljuk meg számológép nélkül megkeresni egy szám négyzetgyökének értékét, például 190969.







Így minden rendkívül egyszerű. A számításoknál a lényeg az, hogy bizonyosakat betartsunk egyszerű szabályokés logikusan gondolkodj.

Ehhez szükség van egy négyzettáblázatra



Például 100 gyöke = 10, 20 = 400 43 = 1849

Mostantól szinte minden számológép, beleértve az okostelefonokat is, képes kiszámítani egy szám négyzetgyökét. DE ha nincs számológéped, akkor a szám gyökerét több egyszerű módon is megtalálhatod:

Prímfaktorizálás



Tényezőként a gyökszámot olyan tényezőkké alakítjuk, amelyek négyzetszámok. A gyökérszámtól függően hozzávetőleges vagy pontos választ kap. A négyzetszámok olyan számok, amelyekből a teljes négyzetgyök kivehető. Egy szám tényezői, amelyeket megszorozva az eredeti számot kapjuk. Például a 8-as szám tényezői 2 és 4, mivel 2 x 4 = 8, a 25, 36, 49 számok négyzetszámok, mivel 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. A négyzetes tényezők olyan tényezők, amelyek négyzetszámok. Először próbálja meg a gyökszámot négyzetes tényezőkké alakítani.

Például számítsa ki 400 négyzetgyökét (manuálisan). Először próbálja meg 400-at beszámítani négyzetes tényezőkbe. A 400 a 100 többszöröse, ami 25-tel osztható négyzetszám. Ha 400-at elosztunk 25-tel, akkor 16-ot kapunk, ami szintén négyzetszám. Így 400 beszámítható 25 és 16 négyzettényezőjébe, azaz 25 x 16 = 400.

Írja le a következőképpen: 400 = (25 x 16).



Egyes tagok szorzatának négyzetgyöke egyenlő az egyes tagok négyzetgyökeinek szorzatával, azaz (a x b) = a x b. Ezzel a szabálysal vegye ki az egyes négyzettényezők négyzetgyökét, és szorozza meg az eredményeket a válasz megtalálásához.

Példánkban vegyük 25 és 16 négyzetgyökét.



Ha a gyökszám nem bomlik ketté négyzet szorzó(ami legtöbbször előfordul), nem fogja megtalálni a pontos választ egész számként. De leegyszerűsítheti a feladatot, ha a gyökszámot négyzettényezőre és közönséges tényezőre bontja (olyan számra, amelyből a teljes négyzetgyök nem vehető ki). Ezután vegye a négyzetgyökét a négyzetes tényezőből, és vegye fel a közönséges tényező gyökét.

Például számítsuk ki a 147-es szám négyzetgyökét. A 147-es szám nem számolható be két négyzettényezőbe, de a következő tényezőkbe beszámítható: 49 és 3. Oldja meg a feladatot a következőképpen!



Most kiértékelheti a gyök értékét (közelítő értéket találhat), ha összehasonlítja azokat a négyzetgyökök értékeivel, amelyek a legközelebb vannak (a számegyenes mindkét oldalán) a gyökérszámhoz. A gyökér értékét as tizedes tört, amelyet meg kell szorozni a gyökérjel mögötti számmal.

Térjünk vissza példánkhoz. A gyökérszám 3. A legközelebbi négyzetszámok az 1 (1 \u003d 1) és a 4 (4 \u003d 2) lesznek. Így a 3 értéke 1 és 2 között van. Mivel a 3 értéke valószínűleg közelebb van a 2-hez, mint az 1-hez, a becslésünk a következő: 3 = 1,7. Ezt az értéket megszorozzuk a gyökérjelben lévő számmal: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ha számológépen végzi a számításokat, 12,13-at kap, ami elég közel áll a válaszunkhoz.

Ez a módszer nagy számokkal is működik. Vegyük például a 35-öt. A gyökszám 35. A legközelebbi négyzetszámok a 25 (25 = 5) és a 36 (36 = 6). Tehát a 35-ös érték 5 és 6 között van. Mivel a 35-ös érték sokkal közelebb van a 6-hoz, mint az 5-höz (mert a 35-ös csak 1-gyel kevesebb, mint 36), így azt mondhatjuk, hogy a 35 valamivel kisebb, mint 6. A számológépet ellenőrizve 5,92-es választ kapunk - igazunk volt.



Egy másik módszer a gyökszám prímtényezőkké alakítása. Egy szám prímtényezői, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Írja sorba a prímtényezőket, és keresse meg az azonos tényezők párjait! Az ilyen tényezőket ki lehet venni a gyökér jegyéből.

Például számítsuk ki 45 négyzetgyökét. A gyökszámot prímtényezőkre bontjuk: 45 \u003d 9 x 5 és 9 \u003d 3 x 3. Így 45 \u003d (3 x 3 x 5). A gyökérjelből kivehető a 3: 45 = 35. Most már 5-öt becsülhetünk.

Vegyünk egy másik példát: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Három szorzót kapott; vegyél belőlük párat és vedd ki a gyökér jeléből.

2(2 x 11) = 22 x 11. Most kiértékelheti a 2-t és a 11-et, és találhat hozzávetőleges választ.

Ez az oktatóvideó is hasznos lehet:

A szám gyökérének kinyeréséhez használjon számológépet, vagy ha nincs megfelelő, azt tanácsolom, menjen erre az oldalra, és oldja meg a problémát a online számológép, amely másodpercek alatt megadja a helyes értéket.