Սա պարբերական տատանում է, որի դեպքում շարժումը բնութագրող կոորդինատը, արագությունը, արագացումը փոխվում են ըստ սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի։ Հարմոնիկ տատանումների հավասարումը սահմանում է մարմնի կոորդինատի կախվածությունը ժամանակից

Կոսինուսի գրաֆիկը սկզբնական պահին ունի առավելագույն արժեք, իսկ սինուսի գրաֆիկը սկզբնական պահին զրոյական արժեք ունի։ Եթե ​​մենք սկսենք ուսումնասիրել տատանումները հավասարակշռության դիրքից, ապա տատանումը կկրկնի սինուսոիդը: Եթե ​​մենք սկսենք դիտարկել տատանումը առավելագույն շեղման դիրքից, ապա տատանումը կնկարագրի կոսինուսը: Կամ նման տատանումը կարելի է նկարագրել նախնական փուլով սինուսային բանաձեւով։

Մաթեմատիկական ճոճանակ

տատանումներ մաթեմատիկական ճոճանակ.
Մաթեմատիկական ճոճանակ նյութական կետ է, որը կախված է անկշռելի անքակտելի թելի վրա (ֆիզիկական մոդել)։
Մենք կդիտարկենք ճոճանակի շարժումը այն պայմանով, որ շեղման անկյունը փոքր է, ապա, եթե անկյունը չափենք ռադիաններով, պնդումը ճիշտ է.
Մարմնի վրա գործում են ձգողության ուժը և թելի լարվածությունը։ Այս ուժերի արդյունքն ունի երկու բաղադրիչ՝ շոշափող, որը փոխում է արագացումը մեծությամբ, և նորմալ, որը փոխում է արագացումը ուղղությամբ (կենտրոնաձև արագացում, մարմինը շարժվում է աղեղով)։
Որովհետեւ անկյունը փոքր է, ապա շոշափող բաղադրիչը հավասար է ձգողականության պրոյեկցիայի հետագծին շոշափողին. Անկյուն ռադիաններով հավասար է հարաբերակցությանըաղեղի երկարությունը շառավղին (թելի երկարությունը), իսկ աղեղի երկարությունը մոտավորապես հավասար է շեղմանը ( x ≈ s): .
Ստացված հավասարումը համեմատե՛ք հավասարման հետ տատանողական շարժում. Պարզ է, որ կամ - ցիկլայինհաճախականությունը մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակ։
Տատանումների ժամանակաշրջան կամ (Գալիլեոյի բանաձև):	Գալիլեոյի բանաձևը
Ամենակարևոր եզրակացությունը՝ մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չէ մարմնի զանգվածից։
Նմանատիպ հաշվարկներ կարելի է անել՝ օգտագործելով էներգիայի պահպանման օրենքը։ Մենք հաշվի ենք առնում, որ գրավիտացիոն դաշտում մարմնի պոտենցիալ էներգիան հավասար է , իսկ ընդհանուր մեխանիկական էներգիան հավասար է առավելագույն պոտենցիալին կամ կինետիկին.
Գրենք էներգիայի պահպանման օրենքը և վերցնենք հավասարման ձախ և աջ մասերի ածանցյալը՝ . Որովհետեւ հաստատուն արժեքի ածանցյալը հավասար է զրոյի, ապա . Գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին և.
Հետևաբար՝ , ինչը նշանակում է.

Իդեալական գազի վիճակի հավասարումը (Մենդելեև-Կլապեյրոնի հավասարում):
Վիճակի հավասարումը հավասարում է, որը կապում է ֆիզիկական համակարգի պարամետրերը և եզակիորեն որոշում է դրա վիճակը: 1834 թվականին ֆրանսիացի ֆիզիկոս B. Clapeyron, ով երկար ժամանակ աշխատել է Սանկտ Պետերբուրգում, ստացվել է գազի մշտական ​​զանգվածի համար իդեալական գազի վիճակի հավասարումը։ 1874 թ D. I. Մենդելեևստացվել է կամայական թվով մոլեկուլների հավասարում:
MKT-ում և իդեալական գազի թերմոդինամիկայի մակրոսկոպիկ պարամետրերն են՝ p, V, T, m. Մենք դա գիտենք . Հետևաբար,. Հաշվի առնելով, որ , ստանում ենք.
Մշտական ​​արժեքների արտադրյալը հաստատուն արժեք է, հետևաբար. - ունիվերսալ գազի հաստատուն (ունիվերսալ, քանի որ այն նույնն է բոլոր գազերի համար):
Այսպիսով, մենք ունենք. վիճակի հավասարում (Մենդելեև-Կլապեյրոնի հավասարում).
Իդեալական գազի վիճակի հավասարումը գրելու այլ ձևեր.
1. 1 մոլ նյութի հավասարումը. Եթե ​​n \u003d 1 մոլ, ապա, նշելով մեկ մոլի V m ծավալը, մենք ստանում ենք. Համար նորմալ պայմաններմենք ստանում ենք.
2. Գրի՛ր հավասարումը խտությամբ. - Խտությունը կախված է ջերմաստիճանից և ճնշումից:
3. Կլապեյրոնի հավասարումը. Հաճախ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել իրավիճակը, երբ գազի վիճակը փոխվում է իր հաստատուն քանակով (m=const) և դրա բացակայության դեպքում. քիմիական ռեակցիաներ(M=const): Սա նշանակում է, որ նյութի քանակը n=const. Ապա.
Այս մուտքը նշանակում է, որ տրված գազի տրված զանգվածի համարհավասարությունը ճշմարիտ է.
Իդեալական գազի մշտական ​​զանգվածի համար ճնշման և ծավալի արտադրանքի հարաբերակցությունը բացարձակ ջերմաստիճանայս վիճակում կա հաստատուն արժեք.
գազի օրենքները.
1. Ավոգադրոյի օրենքը. Նույն արտաքին պայմաններում տարբեր գազերի հավասար ծավալները պարունակում են նույն թվով մոլեկուլներ (ատոմներ): Վիճակը՝ V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Ապացույց: Հետեւաբար, նույն պայմաններում (ճնշում, ծավալ, ջերմաստիճան) մոլեկուլների թիվը կախված չէ գազի բնույթից եւ նույնն է։
2. Դալթոնի օրենքը. Գազերի խառնուրդի ճնշումը հավասար է յուրաքանչյուր գազի մասնակի (մասնավոր) ճնշումների գումարին։ Ապացուցել՝ p=p 1 +p 2 +…+p n Ապացույց:
3. Պասկալի օրենքը. Հեղուկի կամ գազի վրա արտադրվող ճնշումը փոխանցվում է բոլոր ուղղություններով առանց փոփոխության:

Իդեալական գազի վիճակի հավասարումը. գազի օրենքները.

Ազատության աստիճանների թվերՍա անկախ փոփոխականների (կոորդինատների) քանակն է, որոնք ամբողջությամբ որոշում են համակարգի դիրքը տարածության մեջ: Որոշ խնդիրներում որպես նյութական կետ դիտվում է միատոմ գազի մոլեկուլը (նկ. 1, ա), որին տրված է թարգմանական շարժման ազատության երեք աստիճան։ Սա հաշվի չի առնում պտտվող շարժման էներգիան։ Մեխանիկայի մեջ երկատոմ գազի մոլեկուլը, առաջին մոտավորմամբ, համարվում է երկուսի համակցություն. նյութական կետեր, որոնք կոշտ միացված են չդեֆորմացվող կապով (նկ. 1, բ)։ Այս համակարգը, բացի թարգմանական շարժման ազատության երեք աստիճանից, ունի պտտվող շարժման ազատության ևս երկու աստիճան։ Երկու ատոմներով անցնող երրորդ առանցքի շուրջ պտույտն անիմաստ է։ Սա նշանակում է, որ երկատոմային գազն ունի հինգ աստիճանի ազատություն ( ես= 5): Եռատոմային (նկ. 1, գ) և բազմատոմային ոչ գծային մոլեկուլն ունի ազատության վեց աստիճան՝ երեք թարգմանական և երեք պտտվող: Բնական է ենթադրել, որ ատոմների միջև չկա կոշտ կապ: Ուստի իրական մոլեկուլների համար անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել թրթռումային շարժման ազատության աստիճանները։

Տվյալ մոլեկուլի ազատության ցանկացած աստիճանի համար ազատության երեք աստիճանները միշտ թարգմանական են: Ազատության թարգմանչական աստիճաններից և ոչ մեկը առավելություն չունի մյուսների նկատմամբ, ինչը նշանակում է, որ դրանցից յուրաքանչյուրն ունի միջինում նույն էներգիան, որը հավասար է արժեքի 1/3-ին։<ε 0 >(մոլեկուլների թարգմանական շարժման էներգիա). Վիճակագրական ֆիզիկայում, Բոլցմանի օրենքը մոլեկուլների ազատության աստիճանների վրա էներգիայի միասնական բաշխման մասինՋերմոդինամիկ հավասարակշռության վիճակում գտնվող վիճակագրական համակարգի համար ազատության յուրաքանչյուր փոխակերպման և պտտման աստիճան ունի միջին կինետիկ էներգիա, որը հավասար է kT / 2-ին, իսկ ազատության յուրաքանչյուր թրթռումային աստիճան ունի kT-ի միջին էներգիա: Վիբրացիոն աստիճանը երկու անգամ ավելի շատ էներգիա ունի, քանի որ այն հաշվի է առնում և՛ կինետիկ էներգիան (ինչպես թարգմանական և պտտվող շարժումների դեպքում), և՛ պոտենցիալ էներգիան, և պոտենցիալ և կինետիկ էներգիայի միջին արժեքները նույնն են: Այսպիսով, մոլեկուլի միջին էներգիան Որտեղ ես- մոլեկուլի ազատության թրթռումային աստիճանների թվի կրկնակի քանակի փոխադրումների քանակի, պտտվողների թիվը. ես=եսգրառում + եսռոտացիա +2 եսթրթռումներ Դասական տեսության մեջ մոլեկուլները դիտարկվում են ատոմների միջև կոշտ կապով. նրանց համար եսհամընկնում է մոլեկուլի ազատության աստիճանների թվի հետ։ Քանի որ իդեալական գազում մոլեկուլների փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան հավասար է զրոյի (մոլեկուլները չեն փոխազդում միմյանց հետ), ապա մեկ մոլ գազի ներքին էներգիան հավասար կլինի մոլեկուլների N A կինետիկ էներգիաների գումարին. (1) Ներքին էներգիա գազի կամայական մ զանգվածի համար: որտեղ M - մոլային զանգված, ν - նյութի քանակությունը.

Առավելագույն արագության և արագացման արժեքները

Կախվածության v(t) և a(t) հավասարումները վերլուծելուց հետո կարելի է կռահել, որ արագության և արագացման առավելագույն արժեքները վերցվում են, երբ եռանկյունաչափական գործակիցը հավասար է 1 կամ -1: Որոշվում է բանաձևով

Ինչպես ստանալ կախվածություններ v(t) և a(t)

7. Ազատ թրթռումներ. Տատանողական շարժման արագությունը, արագացումը և էներգիան: Թրթռումների ավելացում

Անվճար թրթռումներ(կամ բնական թրթռումներ) տատանողական համակարգի թրթռումներ են, որոնք կատարվում են միայն սկզբնական հաղորդված էներգիայի (պոտենցիալ կամ կինետիկ) շնորհիվ արտաքին ազդեցության բացակայության դեպքում։

Պոտենցիալ կամ կինետիկ էներգիան կարող է փոխանցվել, օրինակ, մեխանիկական համակարգերում սկզբնական տեղաշարժի կամ սկզբնական արագության միջոցով:

Ազատ տատանվող մարմինները միշտ փոխազդում են այլ մարմինների հետ և նրանց հետ միասին կազմում են մարմինների համակարգ, որը կոչվում է տատանողական համակարգ.

Օրինակ՝ զսպանակը, գնդիկը և ուղղահայաց սյունը, որին ամրացված է զսպանակի վերին ծայրը (տես ստորև նկարը), ներառված են տատանողական համակարգում։ Այստեղ գնդակը ազատորեն սահում է պարանի երկայնքով (շփման ուժերը աննշան են): Եթե ​​գնդակը տանեք դեպի աջ և թողնեք այն ինքն իրեն, այն ազատորեն կտատանվի հավասարակշռության դիրքի շուրջ (կետ. ՄԱՍԻՆ) հավասարակշռության դիրքին ուղղված զսպանակի առաձգական ուժի ազդեցությամբ։

Մեխանիկական տատանողական համակարգի մեկ այլ դասական օրինակ մաթեմատիկական ճոճանակն է (տես ստորև նկարը): Այս դեպքում գնդակը ազատ տատանումներ է կատարում երկու ուժերի՝ ձգողականության և թելի առաձգական ուժի ազդեցությամբ (Երկիրը նույնպես մտնում է տատանողական համակարգ)։ Դրանց արդյունքն ուղղված է հավասարակշռության դիրքին:

Տատանողական համակարգի մարմինների միջև գործող ուժերը կոչվում են ներքին ուժեր. Արտաքին ուժեր կոչվում են համակարգի վրա գործող ուժեր այն մարմիններից, որոնք ներառված չեն դրա մեջ։ Այս տեսանկյունից ազատ տատանումները կարող են սահմանվել որպես համակարգում տատանումներ ներքին ուժերի գործողության ներքո՝ համակարգը հավասարակշռությունից դուրս բերելուց հետո։

Ազատ տատանումների առաջացման պայմաններն են.

1) նրանց մեջ ուժի առաջացումը, որը համակարգը վերադարձնում է կայուն հավասարակշռության դիրքի այն վիճակից դուրս բերելուց հետո.

2) համակարգում շփում չկա.

Ազատ տատանումների դինամիկան.

Մարմնի թրթռումները առաձգական ուժերի ազդեցության տակ. Առաձգական ուժի ազդեցությամբ մարմնի տատանողական շարժման հավասարումը Ֆ(տես Նկ.) կարելի է ձեռք բերել՝ հաշվի առնելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքը ( F = ma) և Հուկի օրենքը ( F հսկողություն= -kx), որտեղ մգնդակի զանգվածն է, և այն արագացումն է, որը ձեռք է բերում գնդակը առաձգական ուժի ազդեցության տակ, կ- զսպանակի կոշտության գործակիցը, X- մարմնի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից (երկու հավասարումները գրված են պրոյեկցիայի վրա հորիզոնական առանցքի վրա Օ՜) Հավասարեցնելով այս հավասարումների աջ կողմերը և հաշվի առնելով, որ արագացումը Ակոորդինատի երկրորդ ածանցյալն է X(օֆսեթ), մենք ստանում ենք.

.

Սա դիֆերենցիալ հավասարումառաձգական ուժի ազդեցությամբ տատանվող մարմնի շարժում. կոորդինատի երկրորդ ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ (մարմնի արագացումը) ուղիղ համեմատական ​​է նրա կոորդինատին՝ վերցված հակառակ նշանով։

Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումներ.Մաթեմատիկական ճոճանակի (նկար) տատանման հավասարումը ստանալու համար անհրաժեշտ է ընդլայնել ձգողության ուժը. Ֆ Տ= մգդեպի նորմալ F n(ուղղված է թելի երկայնքով) և շոշափող Ֆ տ(գնդակի հետագծին շոշափող՝ շրջան) բաղադրիչներ. Ձգողության նորմալ բաղադրիչ F nև թելի առաձգական ուժը Fynpընդհանուր առմամբ նրանք ճոճանակին տալիս են կենտրոնաձիգ արագացում, որը չի ազդում արագության մեծության վրա, այլ միայն փոխում է դրա ուղղությունը և շոշափող բաղադրիչը. Ֆ տայն ուժն է, որը գնդակը վերադարձնում է իր հավասարակշռության դիրքին և ստիպում է նրա տատանումը: Օգտագործելով, ինչպես նախորդ դեպքում, Նյուտոնի օրենքը շոշափող արագացման համար ma τ = F τև հաշվի առնելով դա Ֆ տ= -mg sinα, ստանում ենք.

ա տ= -g sinα,

Մինուս նշանը հայտնվել է, քանի որ ուժը և հավասարակշռության դիրքից շեղման անկյունը α ունեն հակառակ նշաններ. Փոքր շեղման անկյունների համար sinα ≈ α. Իր հերթին, α = s/l, Որտեղ ս- աղեղ ՕԱ, Ի- թելի երկարությունը. Հաշվի առնելով, որ եւ թ= s", վերջապես ստանում ենք.

Հավասարման ձևը նման է հավասարմանը . Միայն այստեղ համակարգի պարամետրերն են թելի երկարությունը և ազատ անկման արագացումը, և ոչ թե զսպանակի կոշտությունը և գնդակի զանգվածը. կոորդինատի դերը խաղում է աղեղի երկարությամբ (այսինքն՝ անցած ճանապարհը, ինչպես առաջին դեպքում):

Այսպիսով, ազատ թրթռումները նկարագրվում են նույն տիպի հավասարումներով (ենթարկվում են նույն օրենքներին) անկախ նրանից. ֆիզիկական բնույթուժեր, որոնք առաջացնում են այս թրթռումները:

Հավասարումների լուծում և ձևի ֆունկցիա է.

x = xmcos ω 0տ(կամ x = xmմեղք ω 0տ).

Այսինքն՝ ազատ տատանումներ կատարող մարմնի կոորդինատը ժամանակի ընթացքում փոխվում է ըստ կոսինուսի կամ սինուսի օրենքի, և, հետևաբար, այս տատանումները ներդաշնակ են.

Հավասարման մեջ x = xmcos ω 0տ(կամ x = xmմեղք ω 0տ), x մ- տատանումների ամպլիտուդ, ω 0 - սեփական ցիկլային (շրջանաձև) տատանումների հաճախականությունը.

Ցիկլային հաճախականությունը և ազատ ներդաշնակ տատանումների ժամանակաշրջանը որոշվում են համակարգի հատկություններով։ Այսպիսով, զսպանակին կցված մարմնի թրթռումների համար ճշմարիտ են հետևյալ հարաբերությունները.

.

Բնական հաճախականությունը որքան մեծ է, այնքան մեծ է զսպանակի կոշտությունը կամ բեռի փոքր զանգվածը, ինչը լիովին հաստատված է փորձով:

Մաթեմատիկական ճոճանակի համար գործում են հետևյալ հավասարումները.

.

Այս բանաձևը առաջին անգամ ստացել և փորձարկվել է հոլանդացիների կողմից գիտնական Հյուգենս(Նյուտոնի ժամանակակիցը):

Ճոճանակի երկարությամբ տատանման ժամանակահատվածը մեծանում է և կախված չէ դրա զանգվածից։

Հատկապես պետք է նշել, որ ներդաշնակ տատանումները խիստ պարբերական են (քանի որ դրանք ենթարկվում են սինուսի կամ կոսինուսի օրենքին) և նույնիսկ մաթեմատիկական ճոճանակի համար, որը իրական (ֆիզիկական) ճոճանակի իդեալականացում է, դրանք հնարավոր են միայն տատանումների փոքր անկյուններում։ Եթե ​​շեղման անկյունները մեծ են, ապա բեռի տեղաշարժը համաչափ չի լինի շեղման անկյան հետ (անկյան սինուս), իսկ արագացումը համաչափ չի լինի տեղաշարժին:

Ազատ տատանումներ կատարող մարմնի արագությունն ու արագացումը կկատարի նաև հարմոնիկ տատանումներ։ Հաշվի առնելով ֆունկցիայի ժամանակի ածանցյալը ( x = xmcos ω 0տ(կամ x = xmմեղք ω 0տ)), մենք ստանում ենք արագության արտահայտությունը.

v = -v մմեղք ω 0t = -v մx մcos (ω 0t + π/2),

Որտեղ v մ= ω 0 x մ- արագության ամպլիտուդ.

Նմանապես, արագացման արտահայտությունը Ամենք ստանում ենք տարբերակելով ( v = -v մմեղք ω 0t = -v մx մcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0տ,

Որտեղ մի մ= ω 2 0x մ- արագացման ամպլիտուդ. Այսպիսով, ներդաշնակ տատանումների արագության ամպլիտուդը համաչափ է հաճախականությանը, իսկ արագացման ամպլիտուդան՝ տատանումների հաճախականության քառակուսուն։

ներդաշնակ տատանումներ
Տատանումները, որոնցում ֆիզիկական մեծությունների փոփոխությունները տեղի են ունենում ըստ կոսինուսի կամ սինուսի օրենքի (ներդաշնակ օրենք), որը կոչվում է. ներդաշնակ թրթռումներ.Օրինակ, մեխանիկական ներդաշնակ թրթռումների դեպքում. Այս բանաձևերում ω-ն տատանումների հաճախականությունն է, x m-ը՝ տատանման ամպլիտուդան, φ 0 և φ 0’-ը տատանման սկզբնական փուլերն են: Վերոնշյալ բանաձևերը տարբերվում են սկզբնական փուլի սահմանման մեջ և φ 0' = φ 0 + π/2 լիովին համընկնում են:
Սա պարբերական տատանումների ամենապարզ ձևն է։ Ֆունկցիայի հատուկ ձևը (սինուս կամ կոսինուս) կախված է այն բանից, թե ինչպես է համակարգը դուրս բերվում հավասարակշռությունից։ Եթե ​​դուրսբերումը տեղի է ունենում հրումով (հաղորդվում է կինետիկ էներգիա), ապա t \u003d 0-ում տեղաշարժը x \u003d 0, հետևաբար, ավելի հարմար է օգտագործել մեղքի ֆունկցիան, սահմանելով φ 0 ’=0; հավասարակշռության դիրքից շեղվելիս (հաղորդվում է պոտենցիալ էներգիա) t \u003d 0-ում, տեղաշարժը x \u003d x m, հետևաբար, ավելի հարմար է օգտագործել cos ֆունկցիանև φ 0 =0:
Արտահայտություն cos կամ sin նշանի տակ, որը կոչվում է. տատանումների փուլ.. Տատանման փուլը չափվում է ռադիաններով և որոշում է տեղաշարժի արժեքը (տատանվող արժեք) տվյալ պահին։
Տատանումների ամպլիտուդը կախված է միայն սկզբնական շեղումից (տատանվող համակարգին տրվող սկզբնական էներգիան)։
Արագություն և արագացում ժամը ներդաշնակ թրթռումներ.
Ըստ արագության սահմանման՝ արագությունը կոորդինատի ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ
Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ ներդաշնակ տատանողական շարժման ժամանակ արագությունը նույնպես փոխվում է ներդաշնակության օրենքի համաձայն, սակայն արագության տատանումները առաջ են փուլային տեղաշարժի տատանումներից π/2-ով։
Արժեքը տատանողական շարժման առավելագույն արագությունն է (արագության տատանումների ամպլիտուդը)։
Հետևաբար, հարմոնիկ տատանումների ժամանակ արագության համար ունենք. , և զրոյական սկզբնական փուլի դեպքում (տես գրաֆիկը):
Ըստ արագացման սահմանման՝ արագացումը ժամանակի նկատմամբ արագության ածանցյալն է. ժամանակի նկատմամբ կոորդինատի երկրորդ ածանցյալն է։ Հետո. Հարմոնիկ տատանողական շարժման ընթացքում արագացումը նույնպես փոխվում է ներդաշնակության օրենքի համաձայն, բայց արագացման տատանումները առաջ են արագության տատանումներից π/2-ով և տեղաշարժման տատանումներից π (ասում են, որ տատանումներ են տեղի ունենում. փուլից դուրս).
Արժեք - առավելագույն արագացում (արագացման տատանումների ամպլիտուդ): Հետևաբար, արագացման համար մենք ունենք. , իսկ զրոյական սկզբնական փուլի դեպքում. (տես գրաֆիկը):
Տատանողական շարժման գործընթացի վերլուծությունից, գրաֆիկները և համապատասխան մաթեմատիկական արտահայտություններերևում է, որ երբ տատանվող մարմինն անցնում է հավասարակշռության դիրքը (տեղաշարժը զրոյական է), արագացումը զրո է, իսկ մարմնի արագությունը՝ առավելագույնը (մարմինը հավասարակշռության դիրքն անցնում է իներցիայով), և երբ ամպլիտուդի արժեքը տեղաշարժը հասել է, արագությունը զրոյական է, իսկ արագացումը՝ առավելագույնը բացարձակ արժեքով (մարմինը փոխում է շարժման ուղղությունը)։
Եկեք համեմատենք ներդաշնակ տատանումների տեղաշարժի և արագացման արտահայտությունները. և .
Դուք կարող եք գրել. - այսինքն. տեղաշարժի երկրորդ ածանցյալն ուղիղ համեմատական ​​է (հակառակ նշանով) տեղաշարժին։ Նման հավասարումը կոչվում է ներդաշնակ տատանումների հավասարումը. Այս կախվածությունը բավարարվում է ցանկացած ներդաշնակ տատանման համար՝ անկախ դրա բնույթից։ Քանի որ մենք ոչ մի տեղ չենք օգտագործել որոշակի տատանողական համակարգի պարամետրեր, դրանցից կարող է կախված լինել միայն ցիկլային հաճախականությունը։
Հաճախ հարմար է տատանումների հավասարումները գրել հետևյալ ձևով. , որտեղ T-ը տատանումների ժամանակաշրջանն է։ Այնուհետև, եթե ժամանակը արտահայտվի ժամանակաշրջանի կոտորակներով, ապա հաշվարկները կպարզեցվեն: Օրինակ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել օֆսեթը ժամանակաշրջանի 1/8-ից հետո, մենք ստանում ենք. Նմանապես արագության և արագացման համար:

Հազվադեպ չէ, երբ համակարգը միաժամանակ մասնակցում է երկու կամ ավելի անկախ տատանումների: Այս դեպքերում ձևավորվում է տատանողական բարդ շարժում, որն առաջանում է թրթիռները միմյանց վրա դնելով (ավելացնելով): Ակնհայտ է, որ տատանումների գումարման դեպքերը կարող են լինել շատ բազմազան։ Դրանք կախված են ոչ միայն ավելացված տատանումների քանակից, այլ նաև տատանումների պարամետրերից, դրանց հաճախականություններից, փուլերից, ամպլիտուդներից, ուղղություններից։ Հնարավոր չէ վերանայել տատանումների գումարման դեպքերի բոլոր հնարավոր բազմազանությունը, հետևաբար մենք կսահմանափակվենք միայն առանձին օրինակներ դիտարկելով:
1. Թրթռումների ավելացում մեկ ուղղությամբ. Եկեք ավելացնենք նույն հաճախականության երկու տատանումներ, բայց տարբեր փուլեր և ամպլիտուդներ:

(4.40)
Երբ տատանումները դրվում են միմյանց վրա


Մենք ներկայացնում ենք նոր պարամետրեր A և j ըստ հավասարումների.

(4.42)
Հավասարումների համակարգը (4.42) հեշտությամբ լուծվում է։

(4.43)

(4.44)
Այսպիսով, x-ի համար մենք վերջապես ստանում ենք հավասարումը

(4.45)
Այսպիսով, նույն հաճախականության միակողմանի տատանումներ ավելացնելու արդյունքում ստանում ենք ներդաշնակ (սինուսոիդային) տատանում, որի ամպլիտուդը և փուլը որոշվում է (4.43) և (4.44) բանաձևերով։
Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ երկու գումարված տատանումների փուլերի միջև հարաբերությունները տարբեր են.


(4.46)
Այժմ ավելացնենք նույն ամպլիտուդով, նույն փուլերով, բայց տարբեր հաճախականությամբ միակողմանի տատանումները:


(4.47)
Դիտարկենք այն դեպքը, երբ հաճախականությունները մոտ են միմյանց, այսինքն՝ w1~w2=w
Այնուհետև մոտավորապես կենթադրենք, որ (w1+w2)/2= w, և (w2-w1)/2 փոքր է։ Ստացված տատանումների հավասարումը նման կլինի.

(4.48)
Դրա գրաֆիկը ներկայացված է նկ. 4.5 Այս տատանումը կոչվում է բիթ: Այն իրականացվում է w հաճախականությամբ, բայց դրա ամպլիտուդը տատանվում է մեծ պարբերությամբ։

2. Երկու փոխադարձ ուղղահայաց տատանումների գումարում. Ենթադրենք, որ մի տատանումն իրականացվում է x առանցքի երկայնքով, մյուսը՝ y առանցքի երկայնքով։ Ստացված շարժումն ակնհայտորեն գտնվում է xy հարթությունում։
1. Ենթադրենք, որ տատանումների հաճախականությունները և փուլերը նույնն են, բայց ամպլիտուդները՝ տարբեր։

(4.49)
Ստացված շարժման հետագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է բացառել ժամանակը (4.49) հավասարումներից։ Դա անելու համար բավական է տերմինով բաժանել մեկ հավասարումը մյուսի վրա, ինչի արդյունքում ստանում ենք.

(4.50)
Բանաձևը (4.50) ցույց է տալիս, որ այս դեպքում տատանումների ավելացումը հանգեցնում է ուղիղ գծի երկայնքով տատանումների, որի թեքության անկյան շոշափողը որոշվում է ամպլիտուդների հարաբերակցությամբ։
2. Թող ավելացված տատանումների փուլերը միմյանցից տարբերվեն /2-ով և հավասարումներն ունենան ձև.

(4.51)
Ստացված շարժման հետագիծը, բացառելով ժամանակը, գտնելու համար անհրաժեշտ է քառակուսի դնել հավասարումները (4.51)՝ նախ բաժանելով դրանք համապատասխանաբար A1-ի և A2-ի, ապա գումարելով: Հետագծի հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

(4.52)
Սա էլիպսի հավասարումն է։ Կարելի է ապացուցել, որ ցանկացած սկզբնական փուլերի և նույն հաճախականության երկու փոխադարձ ուղղահայաց տատանումների ավելացված ցանկացած ամպլիտուդների դեպքում ստացված տատանումը կիրականացվի էլիպսի երկայնքով: Դրա կողմնորոշումը կախված կլինի ավելացված տատանումների փուլերից և ամպլիտուդներից:
Եթե ​​ավելացված տատանումները ունեն տարբեր հաճախականություններ, ապա ստացված շարժումների հետագծերը շատ բազմազան են։ Միայն այն դեպքում, երբ x-ում և y-ում տատանումների հաճախականությունները միմյանց բազմապատիկ են, ստացվում են փակ հետագծեր: Նման շարժումները կարելի է վերագրել պարբերականների քանակին։ Այս դեպքում շարժումների հետագծերը կոչվում են Lissajous ֆիգուրներ: Դիտարկենք Lissajous-ի թվերից մեկը, որը ստացվում է 1:2 հաճախականության հարաբերակցությամբ տատանումներ ավելացնելով, շարժման սկզբում նույն ամպլիտուդներով և փուլերով։

(4.53)
y առանցքի երկայնքով տատանումները տեղի են ունենում երկու անգամ ավելի հաճախ, քան x առանցքի երկայնքով: Նման տատանումների ավելացումը կհանգեցնի շարժման հետագծի՝ ութերորդի տեսքով (նկ. 4.7):

8. Խոնավացված տատանումները և դրանց պարամետրերը՝ նվազման և տատանումների գործակիցը, թուլացման ժամանակը.

)Խոնավ տատանումների ժամանակաշրջան:

Տ = (58)

ժամը δ << ω o թրթռումները չեն տարբերվում ներդաշնակներից. T = 2π/ o.

2) Խոնավացված տատանումների ամպլիտուդըարտահայտվում է (119) բանաձևով։

3) խոնավացման նվազում,հավասար է երկու հաջորդական տատանումների ամպլիտուդների հարաբերությանը Ա(տ) Եվ Ա(t+T), բնութագրում է ամպլիտուդի նվազման արագությունը տվյալ ժամանակահատվածում.

= ե դ Տ (59)

4) Լոգարիթմական մարման նվազում- երկու հաջորդական տատանումների ամպլիտուդների հարաբերակցության բնական լոգարիթմ, որոնք համապատասխանում են ժամանակային կետերին, որոնք տարբերվում են պարբերությամբ

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Լոգարիթմական մարման նվազումը հաստատուն արժեք է տվյալ տատանողական համակարգի համար:

5) Հանգստի ժամանակկոչվում է ժամանակաշրջան ( տ) որի ընթացքում խոնավացած տատանումների ամպլիտուդը նվազում է e-ի գործակցով.

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/դ, (61)

(60) և (61) արտահայտությունների համեմատությունից ստանում ենք.

ք= = , (62)

Որտեղ N e -հանգստի ժամանակ կատարված տատանումների քանակը.

Եթե ​​ժամանակի ընթացքում տհամակարգը կազմում է Ν տատանումներ, ապա տ = Ν . Τ իսկ խոնավացած տատանումների հավասարումը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Տատանողական համակարգի որակի գործոն(Ք) ընդունված է տատանումների ժամանակաշրջանում համակարգում էներգիայի կորուստը բնութագրող մեծությունն անվանել.

Q= 2էջ , (63)

Որտեղ Վհամակարգի ընդհանուր էներգիան է, ∆Wժամանակահատվածի ընթացքում ցրված էներգիան է: Որքան քիչ էներգիա է սպառվում, այնքան ավելի մեծ է համակարգի որակի գործոնը: Հաշվարկները դա ցույց են տալիս

Q = = pNe = = . (64)

ᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, որակի գործակիցը հակադարձ համեմատական ​​է լոգարիթմական մարման նվազմանը: Բանաձևից (64) հետևում է, որ որակի գործակիցը համաչափ է տատանումների քանակին Ն եիրականացվում է համակարգի կողմից հանգստի ժամանակ:

7) Պոտենցիալ էներգիա t ժամանակի համակարգը կարող է արտահայտվել պոտենցիալ էներգիայով Վ 0 ամենամեծ շեղման դեպքում.

Վ = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN. (65)

Սովորաբար պայմանականորեն համարվում է, որ տատանումները գործնականում դադարել են, եթե դրանց էներգիան նվազել է 100 գործակցով (ամպլիտուդան նվազել է 10-ով)։ Այստեղից կարող եք ստանալ համակարգի կողմից կատարված տատանումների քանակի հաշվարկման արտահայտություն.

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

Ն = = . (66)

9. Հարկադիր թրթռումներ. Ռեզոնանս. պարբերական տատանումներ. Ինքնա-տատանումներ.

Որպեսզի համակարգը կատարի չխոնավ տատանումներ, անհրաժեշտ է լրացնել տատանումների էներգիայի կորուստները դրսից շփման պատճառով։ Ապահովելու համար, որ համակարգի տատանումների էներգիան չի նվազում, սովորաբար ներմուծվում է ուժ, որը պարբերաբար գործում է համակարգի վրա (այդպիսի ուժ կանվանենք. համոզիչ, և հարկադիր տատանումներ):

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ: հարկադրվածկոչվում են այնպիսի թրթռումներ, որոնք տեղի են ունենում տատանողական համակարգում արտաքին պարբերաբար փոփոխվող ուժի ազդեցության տակ։

Այս ուժը, որպես կանոն, կատարում է երկակի դեր.

նախ, այն ցնցում է համակարգը և տալիս է որոշակի քանակությամբ էներգիա.

երկրորդ, այն պարբերաբար լրացնում է էներգիայի կորուստները (էներգիայի սպառումը) դիմադրության և շփման ուժերը հաղթահարելու համար:

Թող շարժիչ ուժը փոխվի ժամանակի հետ՝ ըստ օրենքի.

.

Կազմենք շարժման հավասարում այնպիսի համակարգի համար, որը տատանվում է նման ուժի ազդեցության տակ։ Ենթադրում ենք, որ համակարգի վրա ազդում են նաև միջավայրի քվազի-առաձգական ուժը և դիմադրության ուժը (որը վավեր է փոքր տատանումների ենթադրության դեպքում)։ Այնուհետև համակարգի շարժման հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Կամ .

Փոխարինելով , , – համակարգի տատանումների բնական հաճախականությունը՝ ստանում ենք ոչ միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարում 2. րդպատվեր:

Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունից հայտնի է, որ անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը հավասար է միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման և անհամասեռ հավասարման առանձին լուծման գումարին։

Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը հայտնի է.

,

Որտեղ ; ա 0 և ա- կամայական կոնստ.

.

Օգտագործելով վեկտորային դիագրամ, կարող եք համոզվել, որ նման ենթադրությունը ճիշտ է, ինչպես նաև որոշել « ա«Եվ» ժ”.

Տատանումների ամպլիտուդը որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ.

.

Իմաստը" ժ», որը հարկադիր տատանման փուլային ուշացման մեծությունն է այն առաջացրած շարժիչ ուժից որոշվում է նաև վեկտորային դիագրամից և հետևյալն է.

.

Վերջապես, անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

(8.18)

Այս գործառույթը հետ միասին

(8.19)

ընդհանուր լուծում է տալիս անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարմանը, որը նկարագրում է համակարգի վարքը հարկադիր թրթռումների ներքո: Տերմինը (8.19) էական դեր է խաղում գործընթացի սկզբնական փուլում, այսպես կոչված, տատանումների հաստատման ժամանակ (նկ. 8.10): Ժամանակի ընթացքում էքսպոնենցիալ գործոնի պատճառով երկրորդ անդամի (8.19) դերն ավելի ու ավելի է նվազում, և բավական ժամանակ անց այն կարելի է անտեսել՝ լուծման մեջ պահպանելով միայն (8.18) տերմինը։

Այսպիսով, ֆունկցիան (8.18) նկարագրում է կայուն հարկադիր տատանումները: Դրանք ներդաշնակ տատանումներ են՝ շարժիչ ուժի հաճախականությանը հավասար հաճախականությամբ։ Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը համաչափ է շարժիչ ուժի ամպլիտուդիային։ Տրված տատանողական համակարգի համար (սահմանված է w 0 և b) ամպլիտուդը կախված է շարժիչ ուժի հաճախականությունից։ Հարկադիր տատանումները փուլային փուլում հետ են մնում շարժիչ ուժից, իսկ «j» ուշացման չափը կախված է նաև շարժիչ ուժի հաճախականությունից։

Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը շարժիչ ուժի հաճախականությունից հանգեցնում է նրան, որ տվյալ համակարգի համար որոշված ​​որոշակի հաճախականության դեպքում տատանումների ամպլիտուդը հասնում է իր առավելագույն արժեքին։ Տատանողական համակարգը հատկապես արձագանքում է այս հաճախականության շարժիչ ուժի գործողությանը: Այս երեւույթը կոչվում է ռեզոնանս, իսկ համապատասխան հաճախականությունն է ռեզոնանսային հաճախականություն.

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Երևույթը, որում նկատվում է հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճ, կոչվում է. ռեզոնանս.

Ռեզոնանսային հաճախականությունը որոշվում է հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի առավելագույն պայմանից.

. (8.20)

Այնուհետև, այս արժեքը փոխարինելով ամպլիտուդի արտահայտությամբ, մենք ստանում ենք.

. (8.21)

Միջին դիմադրության բացակայության դեպքում ռեզոնանսում տատանումների ամպլիտուդը կվերածվի անսահմանության. ռեզոնանսային հաճախականությունը նույն պայմաններում (b=0) համընկնում է բնական տատանումների հաճախականության հետ։

Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը շարժիչ ուժի հաճախականությունից (կամ նույնն է՝ տատանումների հաճախականությունից) կարելի է պատկերել գրաֆիկորեն (նկ. 8.11): Առանձին կորեր համապատասխանում են «b»-ի տարբեր արժեքներին: Որքան փոքր է «b»-ը, այնքան բարձր և աջ կողմում է գտնվում այս կորի առավելագույնը (տե՛ս w res. արտահայտությունը): Շատ մեծ մարման դեպքում ռեզոնանսը չի նկատվում. հաճախականության աճի դեպքում հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը միապաղաղ նվազում է (ստորին կորը Նկար 8.11-ում):

Բ-ի տարբեր արժեքներին համապատասխանող ներկայացված գրաֆիկների բազմությունը կոչվում է ռեզոնանսային կորեր.

Դիտողություններռեզոնանսային կորերի մասին.

քանի որ w®0 հակված է, բոլոր կորերը գալիս են նույն ոչ զրոյական արժեքին, որը հավասար է . Այս արժեքը ներկայացնում է հավասարակշռության դիրքից այն տեղաշարժը, որը համակարգը ստանում է հաստատուն ուժի ազդեցությամբ Ֆ 0 .

քանի որ w®¥ բոլոր կորերը ասիմպտոտիկ կերպով հակված են զրոյի, քանի որ բարձր հաճախականության դեպքում ուժն այնքան արագ է փոխում իր ուղղությունը, որ համակարգը ժամանակ չունի նկատելիորեն շեղվելու հավասարակշռության դիրքից:

որքան փոքր է b, այնքան ուժեղ է ռեզոնանսի մոտ ամպլիտուդը փոխվում է հաճախականությամբ, այնքան «սուր» է առավելագույնը:

Ռեզոնանսի ֆենոմենը հաճախ օգտակար է հատկապես ակուստիկայի և ռադիոտեխնիկայի մեջ:

Ինքնա-տատանումներ- անխափան տատանումներ դիսիպացիոն դինամիկ համակարգում ոչ գծային հետադարձ կապով, որն ապահովված է հաստատունի էներգիայով, այսինքն. ոչ պարբերականարտաքին ազդեցություն.

Ինքնա-տատանումները տարբերվում են հարկադիր թրթռումներքանի որ վերջիններս առաջանում են պարբերականարտաքին ազդեցությունը և տեղի են ունենում այս ազդեցության հաճախականությամբ, մինչդեռ ինքնա-տատանումների առաջացումը և դրանց հաճախականությունը որոշվում են հենց ինքնահոսքալցման համակարգի ներքին հատկություններով:

Ժամկետ ինքնուրույն տատանումներՌուսական տերմինաբանության մեջ ներմուծվել է Ա.Ա. Անդրոնովը 1928 թ.

Օրինակներ[

Ինքնատատանումների օրինակներ են.

· Ժամացույցի ճոճանակի չխամրված տատանումները ժամացույցի մեխանիզմի ծանրության մշտական ​​գործողության պատճառով.

ջութակի լարերի թրթռումները միատեսակ շարժվող աղեղի ազդեցությամբ

փոփոխական հոսանքի առաջացումը մուլտիվիբրատորների սխեմաներում և այլ էլեկտրոնային գեներատորներում մշտական ​​մատակարարման լարման դեպքում.

օրգանի խողովակում օդային սյունակի տատանումը՝ դրա մեջ օդի միատեսակ մատակարարմամբ։ (տես նաև Կանգնած ալիք)

մագնիսից կախված և ոլորված պողպատե առանցքով փողային ժամացույցի պտտվող տատանումները (Գամազկովի փորձը) (անիվի կինետիկ էներգիան, ինչպես միաբևեռ գեներատորում, վերածվում է էլեկտրական դաշտի պոտենցիալ էներգիայի, պոտենցիալ էներգիայի. էլեկտրական դաշտը, ինչպես միաբևեռ շարժիչում, վերածվում է անիվի կինետիկ էներգիայի և այլն):

Մակլակովի մուրճը

Մուրճ, որը հարվածում է փոփոխական հոսանքի էներգիայի շնորհիվ էլեկտրական շղթայում հոսանքի հաճախականությունից շատ անգամ ցածր հաճախականությամբ։

Տատանողական շղթայի կծիկը L դրված է սեղանի (կամ հարվածելու կարիք ունեցող այլ առարկայի) վերևում։ Ներքևից դրա մեջ մտնում է երկաթե խողովակ, որի ստորին ծայրը մուրճի հարվածային հատվածն է։ Խողովակն ունի ուղղահայաց բնիկ՝ Ֆուկոյի հոսանքները նվազեցնելու համար: Տատանողական շղթայի պարամետրերն այնպիսին են, որ նրա տատանումների բնական հաճախականությունը համընկնում է շղթայում հոսանքի հաճախականության հետ (օրինակ՝ փոփոխական քաղաքային հոսանք, 50 հերց)։

Հոսանքի միացումից և տատանումները հաստատվելուց հետո նկատվում է շղթայի և արտաքին շղթայի հոսանքների ռեզոնանս, և երկաթե խողովակը քաշվում է կծիկի մեջ: Կծիկի ինդուկտիվությունը մեծանում է, տատանողական շղթան դուրս է գալիս ռեզոնանսից, իսկ կծիկի մեջ հոսանքի տատանումների ամպլիտուդը նվազում է։ Հետեւաբար, խողովակը վերադառնում է իր սկզբնական դիրքին՝ կծիկից դուրս՝ ձգողականության ազդեցության տակ: Այնուհետև շղթայի ներսում ընթացիկ տատանումները սկսում են աճել, և նորից ռեզոնանս է առաջանում. խողովակը կրկին քաշվում է կծիկի մեջ:

խողովակը պարտավորվում է ինքնուրույն տատանումներ, այսինքն՝ պարբերական շարժումներ վեր ու վար, և միևնույն ժամանակ այն ուժեղ թակում է սեղանին, ինչպես մուրճը։ Այս մեխանիկական ինքնաթրթռումների ժամանակաշրջանը տասնյակ անգամ ավելի մեծ է, քան դրանք սատարող փոփոխական հոսանքի ժամանակաշրջանը։

Մուրճը անվանվել է Մոսկվայի ֆիզիկատեխնիկական ինստիտուտի դասախոսական ասիստենտ Մ.Ի.Մակլակովի պատվին, ով առաջարկել և իրականացրել է նման փորձ՝ ինքնատատանումները ցուցադրելու համար։

Ինքնատատանումների մեխանիզմ

Նկ 1.Ինքնատատանումների մեխանիզմ

Ինքնատատանումները կարող են ունենալ տարբեր բնույթ՝ մեխանիկական, ջերմային, էլեկտրամագնիսական, քիմիական։ Տարբեր համակարգերում ինքնատատանումների առաջացման և պահպանման մեխանիզմը կարող է հիմնված լինել ֆիզիկայի կամ քիմիայի տարբեր օրենքների վրա։ Տարբեր համակարգերի ինքնատատանումների ճշգրիտ քանակական նկարագրության համար կարող են պահանջվել տարբեր մաթեմատիկական ապարատներ։ Այդուհանդերձ, կարելի է պատկերացնել մի սխեմա, որը ընդհանուր է բոլոր ինքնահոսքերային համակարգերի համար և որակապես նկարագրում է այս մեխանիզմը (նկ. 1):

Դիագրամի վրա. Ս- մշտական ​​(ոչ պարբերական) ազդեցության աղբյուր. Ռ- ոչ գծային կարգավորիչ, որը հաստատուն էֆեկտը վերածում է փոփոխականի (օրինակ՝ ժամանակի ընդհատումներով), որը «ճոճվում է» oscilator Վ- համակարգի տատանվող տարրը (տարրերը) և տատանվող տատանումները հետադարձ կապի միջոցով Բվերահսկել կարգավորիչի աշխատանքը Ռ, կարգավորում փուլԵվ հաճախականությունընրա գործողությունները. Դիսիպացիան (էներգիայի ցրումը) ինքնաթրթռիչ համակարգում փոխհատուցվում է մշտական ​​ազդեցության աղբյուրից այնտեղ ներթափանցող էներգիայով, որի պատճառով ինքնաթրթռումները չեն քայքայվում։

Բրինձ. 2Ճոճանակաձև ժամացույցի ճարմանդային մեխանիզմի սխեման

Եթե ​​համակարգի տատանվող տարրը ունակ է ինքնուրույն խոնավացած տատանումներ(այսպես կոչված. ներդաշնակ ցրող տատանվող), ինքնուրույն տատանումները (ժամանակահատվածի ընթացքում համակարգում հավասար ցրումներով և էներգիայի ներդրմամբ) հաստատվում են մոտ հաճախականությամբ. ռեզոնանսայինայս օսլիլատորի համար նրանց ձևը դառնում է մոտ ներդաշնակ, իսկ ամպլիտուդը, արժեքների որոշակի տիրույթում, որքան մեծ է, այնքան մեծ է մշտական ​​արտաքին ազդեցության մեծությունը:

Այդպիսի համակարգի օրինակ է ճոճանակով ժամացույցի կապանքների մեխանիզմը, որի դիագրամը ներկայացված է Նկ. 2. Անիվային անիվի առանցքի վրա Ա(որն այս համակարգում կատարում է ոչ գծային կարգավորիչի ֆունկցիա) կա ուժի մշտական ​​պահ Մփոխանցվում է փոխանցման միջոցով հիմնական աղբյուրից կամ քաշից: Երբ անիվը պտտվում է Անրա ատամները ուժի կարճաժամկետ ազդակներ են հաղորդում ճոճանակին Պ(oscillator), որի շնորհիվ նրա տատանումները չեն մարում։ Մեխանիզմի կինեմատիկան խաղում է հետադարձ կապի դերը համակարգում՝ անիվի պտույտը սինխրոնիզացնելով ճոճանակի տատանումների հետ այնպես, որ տատանման ամբողջ ժամանակահատվածում անիվը պտտվում է մեկ ատամի համապատասխան անկյան միջով։

Ինքնատատանվող համակարգերը, որոնք չեն պարունակում ներդաշնակ տատանվողներ, կոչվում են թուլացում. Դրանցում տատանումները կարող են շատ տարբեր լինել ներդաշնակներից և ունենալ ուղղանկյուն, եռանկյուն կամ trapezoidal ձև: Ռելաքսացիոն ինքնաթրթռումների ամպլիտուդը և շրջանը որոշվում են հաստատուն գործողության մեծության և համակարգի իներցիայի ու ցրման բնութագրերի հարաբերակցությամբ։

Բրինձ. 3Էլեկտրական զանգ

Ռելաքսացիոն ինքնաթրթռումների ամենապարզ օրինակը էլեկտրական զանգի գործարկումն է, որը ցույց է տրված Նկ. 3. Այստեղ մշտական ​​(ոչ պարբերական) ազդեցության աղբյուրը էլեկտրական մարտկոցն է U; ոչ գծային կարգավորիչի դերը կատարում է chopper-ը Տ, փակելով և բացելով էլեկտրական շղթան, որի արդյունքում դրա մեջ ընդհատվող հոսանք է առաջանում. տատանվող տարրերը մագնիսական դաշտ են, որոնք պարբերաբար առաջանում են էլեկտրամագնիսների միջուկում Ե, և խարիսխ Աշարժվում է փոփոխական մագնիսական դաշտի ազդեցության տակ։ Արմատուրայի տատանումները գործարկում են կոտորակիչը, որը կազմում է հետադարձ կապը:

Այս համակարգի իներցիան որոշվում է երկու տարբեր ֆիզիկական մեծություններով՝ խարիսխի իներցիայի պահով Աև էլեկտրամագնիսական ոլորման ինդուկտիվությունը Ե. Նշված պարամետրերից որևէ մեկի աճը հանգեցնում է ինքնահոսքերի ժամանակաշրջանի ավելացմանը:

Եթե ​​համակարգում կան մի քանի տարրեր, որոնք տատանվում են միմյանցից անկախ և միաժամանակ գործում են ոչ գծային կարգավորիչի կամ կարգավորիչների վրա (որոնցից կարող են լինել նաև մի քանիսը), ինքնա-տատանումները կարող են ավելի բարդ բնույթ ստանալ, օրինակ. պարբերական, կամ դինամիկ քաոս.

Բնության և տեխնիկայի մեջ

Ինքնա-տատանումները ընկած են բազմաթիվ բնական երևույթների հիմքում.

բույսերի տերևների տատանումները օդի միասնական հոսքի ազդեցության տակ.

· գետերի հրացանների և գետերի արագությունների վրա տուրբուլենտ հոսքերի ձևավորում.

Կանոնավոր գեյզերների գործողությունը և այլն:

Մեծ թվով տարբեր տեխնիկական սարքերի և սարքերի շահագործման սկզբունքը հիմնված է ինքնահոսքերի վրա, ներառյալ.

բոլոր տեսակի ժամացույցների աշխատանք՝ և՛ մեխանիկական, և՛ էլեկտրական;

· Բոլոր փողային և լարային աղեղնավոր երաժշտական ​​գործիքների հնչյունավորում;

©2015-2019 կայք
Բոլոր իրավունքները պատկանում են դրանց հեղինակներին: Այս կայքը չի հավակնում հեղինակության, բայց տրամադրում է անվճար օգտագործում:
Էջի ստեղծման ամսաթիվը՝ 2017-04-04

Հարմոնիկ տատանումը որոշակի մեծության պարբերական փոփոխության երևույթ է, որի դեպքում փաստարկից կախվածությունն ունի սինուսի կամ կոսինուսի ֆունկցիա։ Օրինակ՝ մի մեծություն, որը ժամանակի ընթացքում տատանվում է հետևյալ կերպ, ներդաշնակորեն տատանվում է.

որտեղ x-ը փոփոխվող մեծության արժեքն է, t-ը ժամանակն է, մնացած պարամետրերը հաստատուն են. A-ն տատանումների ամպլիտուդն է, ω-ն տատանումների ցիկլային հաճախականությունն է, տատանումների լրիվ փուլն է, սկզբնական փուլն է: տատանումները.

Ընդհանրացված ներդաշնակ տատանում դիֆերենցիալ ձևով

(Այս դիֆերենցիալ հավասարման ցանկացած ոչ տրիվիալ լուծում ցիկլային հաճախականությամբ ներդաշնակ տատանում է)

Թրթռումների տեսակները

Ազատ տատանումները կատարվում են համակարգի ներքին ուժերի ազդեցությամբ՝ համակարգը հավասարակշռությունից դուրս բերելուց հետո։ Որպեսզի ազատ տատանումները ներդաշնակ լինեն, անհրաժեշտ է, որ տատանողական համակարգը լինի գծային (նկարագրված է շարժման գծային հավասարումներով), և դրանում էներգիայի ցրում չլինի (վերջինս կառաջացներ ամորտիզացիա)։

Հարկադիր տատանումները կատարվում են արտաքին պարբերական ուժի ազդեցությամբ։ Որպեսզի դրանք ներդաշնակ լինեն, բավական է, որ տատանողական համակարգը լինի գծային (նկարագրված է շարժման գծային հավասարումներով), իսկ արտաքին ուժն ինքնին ժամանակի ընթացքում փոխվում է որպես ներդաշնակ տատանում (այսինքն՝ այս ուժի ժամանակային կախվածությունը սինուսոիդային է) .

Հարմոնիկ թրթիռային հավասարում

Հավասարում (1)

տալիս է S տատանվող արժեքի կախվածությունը t ժամանակից. սա բացահայտ ձևով ազատ ներդաշնակ տատանումների հավասարումն է: Այնուամենայնիվ, տատանումների հավասարումը սովորաբար ընկալվում է որպես այս հավասարման այլ գրառում՝ դիֆերենցիալ ձևով: Որոշակիության համար մենք վերցնում ենք (1) հավասարումը ձևով

Ժամանակի համեմատ երկու անգամ տարբերակեք.

Կարելի է տեսնել, որ գործում է հետևյալ կապը.

որը կոչվում է ազատ ներդաշնակ տատանումների հավասարում (դիֆերենցիալ տեսքով)։ Հավասարումը (1) դիֆերենցիալ (2) հավասարման լուծումն է: Քանի որ (2) հավասարումը երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է, ամբողջական լուծում ստանալու համար անհրաժեշտ է երկու նախնական պայման (այսինքն՝ որոշելու համար (1) հավասարման մեջ ներառված A և   հաստատունները. օրինակ, տատանողական համակարգի դիրքը և արագությունը t = 0-ում:

Մաթեմատիկական ճոճանակը տատանվող է, որը մեխանիկական համակարգ է, որը բաղկացած է նյութական կետից, որը գտնվում է անկշռելի, ձգողականության ուժի միատեսակ դաշտում գտնվող անկշռելի, անառողջ թելի կամ անկշիռ ձողի վրա: l երկարությամբ մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր սեփական տատանումների ժամանակաշրջանը, որը անշարժ կախված է միատեսակ գրավիտացիոն դաշտում՝ ազատ անկման արագացումով g, հավասար է.

և կախված չէ ճոճանակի ամպլիտուդից և զանգվածից։

Ֆիզիկական ճոճանակը տատանվող է, որը կոշտ մարմին է, որը ցանկացած ուժերի դաշտում տատանվում է մի կետի շուրջ, որը այս մարմնի զանգվածի կենտրոնը չէ, կամ ուժի ուղղությանը ուղղահայաց ֆիքսված առանցք և չի անցնում այս մարմնի զանգվածի կենտրոնը:

Արտաքին, պարբերաբար փոփոխվող ուժերի ազդեցության տակ առաջացող տատանումներ (արտաքինից դեպի տատանողական համակարգ էներգիայի պարբերական մատակարարմամբ)

Էներգիայի վերափոխում

Գարնանային ճոճանակ

Ցիկլային հաճախականությունը և տատանումների ժամանակաշրջանը համապատասխանաբար հետևյալն են.

Կատարյալ առաձգական զսպանակին ամրացված նյութական կետ

Ø Զսպանակային ճոճանակի պոտենցիալ և կինետիկ էներգիայի սյուժեն x կոորդինատի վրա:

Ø Կինետիկ և պոտենցիալ էներգիայի կախվածության որակական գրաֆիկները ժամանակից:

Ø Ստիպված

Ø Հարկադիր տատանումների հաճախականությունը հավասար է արտաքին ուժի փոփոխությունների հաճախականությանը

Ø Եթե ​​Fbc-ն փոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն, ապա հարկադիր տատանումները ներդաշնակ կլինեն

Ø Ինքնատատանումներով անհրաժեշտ է էներգիայի պարբերական մատակարարում սեփական աղբյուրից տատանողական համակարգի ներսում։

Հարմոնիկ տատանումները տատանումներ են, որոնցում տատանվող արժեքը ժամանակի ընթացքում փոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն

Հարմոնիկ տատանումների հավասարումները (կետերի շարժման օրենքները) ունեն ձև

Հարմոնիկ թրթռումներ կոչվում են այնպիսի տատանումներ, որոնցում տատանման արժեքը տատանվում է ժամանակի հետ՝ ըստ օրենքիսինուս կամկոսինուս .
Հարմոնիկ թրթիռային հավասարում նման է:

,
որտեղ Ա - տատանումների ամպլիտուդ (համակարգի ամենամեծ շեղման արժեքը հավասարակշռության դիրքից); -շրջանաձև (ցիկլային) հաճախականություն: Պարբերաբար փոփոխվող կոսինուսի փաստարկ - կոչվում է տատանումների փուլ . Տատանման փուլը որոշում է տատանվող մեծության տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից տվյալ ժամանակում t. Ֆ հաստատունը t = 0 ժամանակի փուլի արժեքն է և կոչվում է տատանումների սկզբնական փուլը . Սկզբնական փուլի արժեքը որոշվում է հղման կետի ընտրությամբ: X արժեքը կարող է ընդունել արժեքներ՝ սկսած -A-ից մինչև +A:
T ժամանակային միջակայքը, որից հետո տատանողական համակարգի որոշակի վիճակներ կրկնվում են, կոչվում է տատանումների ժամանակաշրջան . Կոսինուսը 2π պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է, հետևաբար, T ժամանակի ընթացքում, որից հետո տատանման փուլը կստանա 2π-ի հավասար աճ, ներդաշնակ տատանումներ կատարող համակարգի վիճակը կկրկնվի։ T ժամանակի այս հատվածը կոչվում է ներդաշնակ տատանումների ժամանակաշրջան։
Հարմոնիկ տատանումների ժամանակաշրջանն է T = 2π/.
Տատանումների թիվը միավոր ժամանակում կոչվում է տատանումների հաճախականությունը ν.
Հարմոնիկ թրթռումների հաճախականությունը հավասար է՝ ν = 1/Տ։ Հաճախականության միավոր հերց(Հց) - մեկ տատանում մեկ վայրկյանում:
Շրջանաձև հաճախականությունը = 2π/T = 2πν տալիս է տատանումների քանակը 2π վայրկյանում։

Ընդհանրացված ներդաշնակ տատանում դիֆերենցիալ ձևով

Գրաֆիկորեն ներդաշնակ տատանումները կարելի է պատկերել որպես x-ի կախվածություն t-ից (նկ. 1.1.Ա), և պտտվող ամպլիտուդի մեթոդ (վեկտորային դիագրամի մեթոդ)(նկ.1.1.Բ) .

Պտտվող ամպլիտուդի մեթոդը թույլ է տալիս պատկերացնել ներդաշնակ տատանումների հավասարման մեջ ներառված բոլոր պարամետրերը: Իսկապես, եթե ամպլիտուդի վեկտորը Ագտնվում է x-ի առանցքի φ անկյան տակ (տես նկար 1.1. B), ապա դրա պրոյեկցիան x առանցքի վրա հավասար կլինի՝ x = Acos(φ): φ անկյունը սկզբնական փուլն է: Եթե ​​վեկտորը Առոտացիայի մեջ դնել տատանումների շրջանաձև հաճախականությանը հավասար անկյունային արագությամբ, այնուհետև վեկտորի վերջի պրոյեկցիան կշարժվի x առանցքի երկայնքով և կվերցնի -A-ից +A արժեքներ և այս պրոեկցիայի կոորդինատը: Ժամանակի ընթացքում կփոխվի ըստ օրենքի.
.
Այսպիսով, վեկտորի երկարությունը հավասար է ներդաշնակ տատանման ամպլիտուդին, վեկտորի ուղղությունը սկզբնական պահին կազմում է անկյուն x առանցքի հետ, որը հավասար է φ տատանման սկզբնական փուլին, իսկ ուղղության փոփոխությունը. ժամանակի հետ անկյունը հավասար է ներդաշնակ տատանումների փուլին: Ժամանակը, որի ընթացքում ամպլիտուդային վեկտորը կատարում է մեկ ամբողջական պտույտ, հավասար է ներդաշնակ տատանումների T պարբերությանը։ Վեկտորի պտույտների թիվը վայրկյանում հավասար է տատանումների հաճախականությանը ν։

>> Հարմոնիկ թրթռումներ

§ 22 ներդաշնակ տատանումներ

Իմանալով, թե ինչպես են կապված տատանվող մարմնի արագացումը և կոորդինատը, մաթեմատիկական վերլուծության հիման վրա կարելի է գտնել կոորդինատի կախվածությունը ժամանակից։

Արագացումը կոորդինատի երկրորդ ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ։ Ակնթարթային արագությունկետը, ինչպես գիտեք մաթեմատիկայի դասընթացից, կետի կոորդինատի ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ: Կետի արագացումը նրա արագության ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ կամ կոորդինատի երկրորդ ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ։ Այսպիսով, հավասարումը (3.4) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

որտեղ x " ժամանակի նկատմամբ կոորդինատի երկրորդ ածանցյալն է։ Համաձայն (3.11) հավասարման՝ ազատ տատանումների ժամանակ x կոորդինատը փոխվում է ժամանակի հետ այնպես, որ կոորդինատի երկրորդ ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ ուղիղ համեմատական ​​է բուն կոորդինատին և հակառակ նշանով է դրան։

Մաթեմատիկայի դասընթացից հայտնի է, որ սինուսի և կոսինուսի երկրորդ ածանցյալները իրենց արգումենտի նկատմամբ համաչափ են բուն ֆունկցիաներին՝ վերցված հակառակ նշանով։ IN մաթեմատիկական վերլուծությունապացուցված է, որ ոչ մի այլ գործառույթ չունի այս հատկությունը: Այս ամենը թույլ է տալիս հիմնավոր պատճառաբանությամբ պնդել, որ ազատ տատանումներ կատարող մարմնի կոորդինատը ժամանակի ընթացքում փոխվում է սինուսի կամ պասինի օրենքի համաձայն։ Նկար 3.6-ը ցույց է տալիս ժամանակի ընթացքում կետի կոորդինատների փոփոխությունը՝ համաձայն կոսինուսի օրենքի:

Պարբերական փոփոխություններ ֆիզիկական քանակությունկախված ժամանակից, որոնք տեղի են ունենում սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն, կոչվում են ներդաշնակ տատանումներ:

Տատանումների ամպլիտուդ.Հարմոնիկ տատանումների ամպլիտուդը հավասարակշռության դիրքից մարմնի ամենամեծ տեղաշարժի մոդուլն է։

Ամպլիտուդը կարող է լինել տարբեր իմաստներկախված նրանից, թե որքանով ենք մենք մարմինը տեղափոխում հավասարակշռության դիրքից ժամանակի սկզբնական պահին, կամ ինչ արագությամբ ենք հաղորդում մարմնին: Ամպլիտուդը որոշվում է սկզբնական պայմաններով, ավելի ճիշտ՝ մարմնին տրվող էներգիայով։ Բայց սինուսի մոդուլի և կոսինուսի մոդուլի առավելագույն արժեքները հավասար են մեկի: Հետևաբար, (3.11) հավասարման լուծումը չի կարող արտահայտվել պարզապես սինուսով կամ կոսինուսով: Այն պետք է ունենա սինուսով կամ կոսինուսով տատանումների ամպլիտուդի արտադրյալի ձև x m:

Ազատ տատանումները նկարագրող հավասարման լուծում.(3.11) հավասարման լուծումը գրում ենք հետևյալ ձևով.

իսկ երկրորդ ածանցյալը կլինի.

Մենք ստացել ենք հավասարումը (3.11). Հետևաբար, ֆունկցիան (3.12) սկզբնական (3.11) հավասարման լուծումն է: Այս հավասարման լուծումը կլինի նաև ֆունկցիան

Համաձայն (3.14) մարմնի կոորդինատի ժամանակից կախվածության գրաֆիկը կոսինուսային ալիք է (տե՛ս նկ. 3.6):

Հարմոնիկ տատանումների ժամանակաշրջան և հաճախականություն. Թրթռումների ժամանակ մարմնի շարժումները պարբերաբար կրկնվում են։ T ժամանակաշրջանը, որի ընթացքում համակարգն ավարտում է տատանումների մեկ ամբողջական ցիկլը, կոչվում է տատանումների ժամանակաշրջան։

Իմանալով ժամանակաշրջանը՝ կարող եք որոշել տատանումների հաճախականությունը, այսինքն՝ տատանումների քանակը ժամանակի միավորի վրա, օրինակ՝ վայրկյանում։ Եթե ​​մեկ տատանում տեղի է ունենում T ժամանակում, ապա տատանումների թիվը վայրկյանում

Միավորների միջազգային համակարգում (SI) տատանումների հաճախականությունը հավասար է մեկի, եթե վայրկյանում մեկ տատանում է տեղի ունենում։ Հաճախականության միավորը կոչվում է հերց (կրճատ՝ Հց)՝ ի պատիվ գերմանացի ֆիզիկոս Գ.Հերցի։

2 վրկ-ում տատանումների թիվը հետևյալն է.

Արժեք - ցիկլային կամ շրջանաձև տատանումների հաճախականություն: Եթե ​​(3.14) հավասարման մեջ t ժամանակը հավասար է մեկ ժամանակաշրջանի, ապա T \u003d 2: Այսպիսով, եթե t \u003d 0 x \u003d x m, ապա t \u003d T x \u003d x m, այսինքն՝ միջով մեկ պարբերության հավասար ժամանակահատված, տատանումները կրկնվում են:

Ազատ տատանումների հաճախականությունը հայտնաբերվում է տատանողական համակարգի բնական հաճախականությամբ 1։

Ազատ տատանումների հաճախականության և ժամանակաշրջանի կախվածությունը համակարգի հատկություններից:Զսպանակին կցված մարմնի թրթռումների բնական հաճախականությունը, համաձայն (3.13) հավասարման, հավասար է.

Այն որքան մեծ է, այնքան մեծ է զսպանակի խստությունը, և որքան փոքր է, այնքան մեծ է մարմնի զանգվածը m։ Սա հեշտ է հասկանալ՝ թունդ զսպանակը մարմնին ավելի շատ արագացում է հաղորդում, ավելի արագ փոխում մարմնի արագությունը: Եվ որքան զանգված է մարմինը, այնքան դանդաղ է փոխում արագությունը ուժի ազդեցությամբ։ Տատանումների ժամանակաշրջանը հետևյալն է.

Ունենալով տարբեր կոշտության աղբյուրների մի շարք և տարբեր զանգվածների մարմիններ, փորձից հեշտ է ստուգել, ​​որ (3.13) և (3.18) բանաձևերը ճիշտ են նկարագրում u T-ի կախվածության բնույթը k և m-ից:

Հատկանշական է, որ զսպանակի վրա մարմնի տատանման շրջանը և փոքր շեղման անկյուններում ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չեն տատանման ամպլիտուդայից։

t արագացման և x տեղաշարժի միջև համաչափության մոդուլը (3.10) հավասարման մեջ, որը նկարագրում է ճոճանակի տատանումները, ինչպես (3.11) հավասարման մեջ, ցիկլային հաճախականության քառակուսին է։ Հետևաբար, մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների բնական հաճախականությունը թելի ուղղաձիգից շեղման փոքր անկյուններում կախված է ճոճանակի երկարությունից և ազատ անկման արագացումից.

Այս բանաձևը առաջին անգամ ստացել և փորձարկվել է Ի.Նյուտոնի ժամանակակից հոլանդացի գիտնական Գ.Հյուգենսի կողմից։ Այն վավեր է միայն թելի շեղման փոքր անկյունների համար։

1 Հաճախ հաջորդում, հակիրճ լինելու համար, մենք ցիկլային հաճախականությունը կվերաբերենք պարզապես որպես հաճախականություն: Դուք կարող եք տարբերել ցիկլային հաճախականությունը սովորական հաճախականությունից ըստ նշումների:

Ճոճանակի երկարությամբ աճում է տատանումների ժամանակաշրջանը։ Դա կախված չէ ճոճանակի զանգվածից։ Սա հեշտությամբ կարելի է ստուգել տարբեր ճոճանակներով փորձի միջոցով: Կարելի է գտնել նաև տատանումների ժամանակաշրջանի կախվածությունը ազատ անկման արագացումից։ Որքան փոքր է g, այնքան երկար է ճոճանակի տատանման ժամանակահատվածը և, հետևաբար, ճոճանակով ժամացույցը դանդաղ է աշխատում։ Այսպիսով, ձողի վրա ծանրության տեսքով ճոճանակ ունեցող ժամացույցը մեկ օրում ետ կմնա գրեթե 3 վրկ-ով, եթե այն բարձրացնեն նկուղից մինչև Մոսկվայի համալսարանի վերին հարկ (բարձրությունը 200 մ): Եվ դա պայմանավորված է միայն բարձրության հետ ազատ անկման արագացման նվազմամբ։

Գործնականում կիրառվում է ճոճանակի տատանման ժամանակաշրջանի կախվածությունը g արժեքից։ Տատանումների ժամանակաշրջանը չափելով՝ g-ն կարելի է շատ ճշգրիտ որոշել։ Ձգողականության պատճառով արագացումը տարբերվում է աշխարհագրական լայնությունից: Բայց նույնիսկ տվյալ լայնության վրա ամենուր նույնը չէ։ Ի վերջո, խտությունը երկրի ընդերքըամենուր նույնը չէ. Այն տարածքներում, որտեղ առաջանում են խիտ ապարներ, g արագացումը որոշ չափով ավելի մեծ է։ Սա հաշվի է առնվում օգտակար հանածոների որոնման ժամանակ:

Այսպիսով, երկաթի հանքաքարը սովորական ապարների համեմատ ավելի մեծ խտություն ունի: Կուրսկի մերձակայքում ծանրության արագացման չափումները, որոնք իրականացվել են ակադեմիկոս Ա.Ա.Միխայլովի ղեկավարությամբ, հնարավորություն են տվել հստակեցնել երկաթի հանքաքարի գտնվելու վայրը։ Դրանք առաջին անգամ հայտնաբերվել են մագնիսական չափումների միջոցով:

Մեխանիկական թրթռումների հատկությունները օգտագործվում են էլեկտրոնային կշեռքների մեծ մասի սարքերում: Կշռվող մարմինը տեղադրվում է հարթակի վրա, որի տակ տեղադրված է կոշտ զսպանակ։ Արդյունքում կան մեխանիկական թրթռումներ, որի հաճախականությունը չափվում է համապատասխան սենսորով։ Այս սենսորին միացված միկրոպրոցեսորը տատանումների հաճախականությունը վերածում է կշռված մարմնի զանգվածի, քանի որ այս հաճախականությունը կախված է զանգվածից։

Ստացված բանաձևերը (3.18) և (3.20) տատանումների ժամանակաշրջանի համար ցույց են տալիս, որ ներդաշնակ տատանումների ժամանակաշրջանը կախված է համակարգի պարամետրերից (աղբյուրի կոշտություն, թելի երկարություն և այլն):

Myakishev G. Ya., Physics. Դասարան 11: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; խմբ. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17-րդ հրտ., վերանայված։ և լրացուցիչ - Մ.: Կրթություն, 2008. - 399 էջ: հիվանդ.

Թեմաների ամբողջական ցանկը ըստ դասարանների, օրացուցային պլանըստ ֆիզիկայի դպրոցական ուսումնական պլանի առցանց, ներբեռնեք վիդեո նյութ ֆիզիկայից 11-րդ դասարանի համար

Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր խաբեբա թերթիկների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասերտարվա օրացուցային պլան ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր