Թվաբանությամբ՝ թվերի գիտությամբ, սկսվում է մեր ծանոթությունը մաթեմատիկայի հետ։ Թվաբանության ռուսերեն առաջին դասագրքերից մեկը, որը գրվել է Լ.Ֆ. Մագնիտսկու կողմից 1703 թվականին, սկսվում էր հետևյալ բառերով. և ամենաթարմը՝ ներս տարբեր ժամանակներով ապրել է լավագույն թվաբանությունը, հորինել և բացատրել: Թվաբանությամբ մենք մտնում ենք, ինչպես ասաց Մ.Վ.
«Թվաբանություն» բառը գալիս է հունարեն arithmos-ից, որը նշանակում է «թիվ»: Այս գիտությունը ուսումնասիրում է թվերի վրա գործողություններ, տարբեր կանոններդրանց հետ վարվելով՝ սովորեցնում է լուծել խնդիրներ, որոնք հանգում են թվերի գումարմանը, հանմանը, բազմապատկմանը և բաժանմանը: Թվաբանությունը հաճախ պատկերացվում է որպես մաթեմատիկայի ինչ-որ առաջին քայլ, որի հիման վրա հնարավոր է ուսումնասիրել դրա ավելի բարդ բաժինները՝ հանրահաշիվ, մաթեմատիկական վերլուծություն և այլն։ Նույնիսկ ամբողջ թվերը՝ թվաբանության հիմնական առարկան, նշվում են, երբ դրանք դիտարկվում են ընդհանուր հատկություններև օրինաչափություններ՝ դեպի ավելի բարձր թվաբանություն կամ թվերի տեսություն։ Թվաբանության նման տեսակետը, իհարկե, հիմքեր ունի՝ այն իսկապես մնում է «հաշվելու այբուբեն», բայց այբուբենը «ամենաօգտակար» է ու «հարմարավետ»։
Թվաբանությունն ու երկրաչափությունը մարդու հին ուղեկիցներն են։ Այս գիտությունները ի հայտ եկան այն ժամանակ, երբ անհրաժեշտություն առաջացավ հաշվել առարկաները, չափել հողը, բաժանել ավարը, հետևել ժամանակին։
Թվաբանությունը ծագել է Հին Արևելքի երկրներում՝ Բաբելոն, Չինաստան, Հնդկաստան, Եգիպտոս։ Օրինակ՝ Ռինդա եգիպտական պապիրուսը (իր տիրոջ՝ Գ. Ռինդայի անունը) թվագրվում է 20-րդ դարով։ մ.թ.ա. Ի թիվս այլ տեղեկությունների, այն պարունակում է կոտորակի ընդլայնումներ մեկին հավասար համարիչ ունեցող կոտորակների գումարի մեջ, օրինակ.
Հին Արեւելքի երկրներում կուտակված մաթեմատիկական գիտելիքների գանձերը մշակել եւ շարունակել են Հին Հունաստանի գիտնականները։ Հին աշխարհում թվաբանությամբ զբաղվող գիտնականների բազմաթիվ անուններ են պահպանվել մեզ պատմության մեջ՝ Անաքսագորաս և Զենոն, Էվկլիդես (տես Էվկլիդես և նրա «Սկիզբները»), Արքիմեդ, Էրատոստենես և Դիոֆանտոս։ Պյութագորասի անունը (մ.թ.ա. VI դար) այստեղ փայլում է որպես պայծառ աստղ։ Պյութագորացիները (Պյութագորասի աշակերտներն ու հետևորդները) պաշտում էին թվերը՝ հավատալով, որ դրանք պարունակում են աշխարհի ողջ ներդաշնակությունը։ Նշանակվեցին անհատական թվեր և զույգ թվեր հատուկ հատկություններ. 7 և 36 համարները մեծ հարգանք էին վայելում, միաժամանակ ուշադրություն էր դարձվում այսպես կոչված կատարյալ թվերին, ընկերական թվերին և այլն։
Միջնադարում թվաբանության զարգացումը կապված է նաև Արևելքի՝ Հնդկաստանի, արաբական աշխարհի երկրների և. Կենտրոնական Ասիա. Հնդիկներից մեզ եկան այն թվերը, որոնք մենք օգտագործում ենք, զրո և դիրքային թվային համակարգը. ալ-Քաշիից (XV դ.), ով աշխատել է Սամարղանդի Ուլուգբեկ աստղադիտարանում, - տասնորդական կոտորակներ։
Առևտրի և ազդեցության զարգացման շնորհիվ Արևելյան մշակույթսկսած 13-րդ դարից։ Եվրոպայում մեծանում է թվաբանության նկատմամբ հետաքրքրությունը։ Պետք է հիշել իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզայի (Ֆիբոնաչիի) անունը, ում «Աբակուսի գիրքը» աշխատությունը եվրոպացիներին ծանոթացրեց Արևելքի մաթեմատիկայի հիմնական նվաճումներին և սկիզբ հանդիսացավ թվաբանության և հանրահաշվի բազմաթիվ ուսումնասիրությունների:
Տպագրության գյուտի հետ մեկտեղ (15-րդ դարի կեսեր) հայտնվեցին առաջին տպագիր մաթեմատիկական գրքերը։ Թվաբանության մասին առաջին տպագիր գիրքը լույս է տեսել Իտալիայում 1478 թվականին: Գերմանացի մաթեմատիկոս Մ. Շտիֆելի ամբողջական թվաբանությունը (16-րդ դարի սկիզբ) արդեն պարունակում է. բացասական թվերև նույնիսկ լոգարիթմի գաղափարը:
Մոտ 16-րդ դարում զուտ թվաբանական հարցերի զարգացումը հոսեց հանրահաշվի հիմնական հոսանք - որպես նշանակալի նշաձող կարելի է նշել ֆրանսիացի գիտնական Ֆ. Վիետայի աշխատությունների տեսքը, որում թվերը նշվում են տառերով: Այդ ժամանակվանից ի վեր թվաբանական հիմնական կանոնները լիովին հասկացվել են հանրահաշվի տեսանկյունից:
Թվաբանության հիմնական առարկան թիվն է։ Բնական թվեր, այսինքն. 1, 2, 3, 4, ... և այլն թվերը առաջացել են կոնկրետ իրեր հաշվելուց: Շատ հազարամյակներ են անցել, մինչև մարդն իմացավ, որ երկու փասիան, երկու ձեռք, երկու մարդ և այլն: կարելի է նույն բառը անվանել «երկու». Թվաբանության կարևոր խնդիրն է սովորել հաղթահարել հաշվված առարկաների անունների հատուկ նշանակությունը, վերացվել դրանց ձևից, չափից, գույնից և այլն։ Ֆիբոնաչի արդեն առաջադրանք ունի. «Յոթ պառավներ գնում են Հռոմ։ Յուրաքանչյուրն ունի 7 ջորի, յուրաքանչյուր ջորի կրում է 7 պարկ, յուրաքանչյուր տոպրակ ունի 7 հաց, յուրաքանչյուր բոքոն ունի 7 դանակ, յուրաքանչյուր դանակ ունի 7 պատյան։ Որքան? Խնդիրը լուծելու համար դուք պետք է հավաքեք պառավներ, ջորիներ, պայուսակներ և հաց:
Թվի հայեցակարգի զարգացումը` զրո և բացասական թվերի, սովորական և տասնորդական կոտորակների, թվերի գրման եղանակներ (թվեր, նշաններ, թվային համակարգեր) - այս ամենն ունի հարուստ և հետաքրքիր պատմություն:
«Թվերի գիտություն նշանակում է երկու գիտություն՝ գործնական և տեսական։ Գործնական ուսումնասիրում է թվերը այնքանով, որքանով մենք խոսում ենք հաշվելի թվերի մասին։ Այս գիտությունն օգտագործվում է շուկայական և քաղաքացիական գործերում։ Թվերի տեսական գիտությունն ուսումնասիրում է թվերը բացարձակ իմաստմտքի կողմից վերացված մարմիններից և այն ամենից, ինչ կարելի է հաշվել դրանցում: ալ-Ֆարաբի
Թվաբանության մեջ թվերը գումարվում, հանվում, բազմապատկվում և բաժանվում են: Այս գործողությունները ցանկացած թվի վրա արագ և ճշգրիտ կատարելու արվեստը վաղուց համարվում էր ամենակարեւոր խնդիրըթվաբանություն. Այժմ, մեր մտքում կամ թղթի վրա, մենք անում ենք միայն առավելագույնը պարզ հաշվարկներ, ավելի ու ավելի հաճախ վստահելով ավելի բարդ հաշվողական աշխատանք միկրոհաշվիչներին, որոնք աստիճանաբար փոխարինում են այնպիսի սարքեր, ինչպիսիք են աբակուսը, ավելացնելով մեքենա (տես Համակարգչային գիտություն), սլայդ կանոն։ Այնուամենայնիվ, բոլոր համակարգիչների աշխատանքը՝ պարզ և բարդ, հիմնված է ամենապարզ գործողության՝ բնական թվերի գումարման վրա։ Ստացվում է, որ ամենաբարդ հաշվարկները կարող են կրճատվել գումարման, միայն թե այս գործողությունը պետք է կատարվի շատ միլիոնավոր անգամներ։ Բայց այստեղ մենք ներխուժում ենք մաթեմատիկայի մեկ այլ տարածք, որը ծագում է թվաբանությունից՝ հաշվողական մաթեմատիկա:
Թվերի վրա թվաբանական գործողություններն ունեն տարբեր հատկություններ: Այս հատկությունները կարելի է նկարագրել բառերով, օրինակ՝ «Գումարը չի փոխվում տերմինների տեղերի փոփոխությունից», կարելի է գրել տառերով., կարող է արտահայտվել հատուկ տերմիններով։
Օրինակ՝ գումարման այս հատկությունը կոչվում է կոմուտատիվ կամ փոխադարձ օրենք։ Մենք հաճախ սովորությունից դրդված, առանց գիտակցելու, կիրառում ենք թվաբանության օրենքները։ Հաճախ դպրոցականները հարցնում են. «Ինչու՞ սովորել տեղաշարժի և համակցման այս բոլոր օրենքները, քանի որ այնքան պարզ է, թե ինչպես կարելի է թվեր ավելացնել և բազմապատկել»: 19-րդ դարում մաթեմատիկան մի կարևոր քայլ կատարեց. այն սկսեց համակարգված կերպով ավելացնել և բազմապատկել ոչ միայն թվերը, այլև վեկտորները, ֆունկցիաները, տեղաշարժերը, թվերի աղյուսակները, մատրիցները և շատ ավելին, և նույնիսկ պարզապես տառեր, խորհրդանիշներ, առանց իրականում հոգալու դրանց կոնկրետ նշանակության մասին: Եվ այստեղ պարզվեց, որ ամենակարեւորն այն է, թե ինչ օրենքների են ենթարկվում այդ գործողությունները։ Կամայական օբյեկտների (պարտադիր չէ, որ թվերի վրա) տրված գործողությունների ուսումնասիրությունն արդեն հանրահաշվի տիրույթն է, թեև այս առաջադրանքը հիմնված է թվաբանության և դրա օրենքների վրա։
Թվաբանությունը խնդիրներ լուծելու բազմաթիվ կանոններ է պարունակում։ Հին գրքերում կարող եք խնդիրներ գտնել «եռակի կանոնի», «համաչափ բաժանման», «կշիռների մեթոդի», «կեղծ կանոնի» և այլնի համար։ Այս կանոնների մեծ մասն այժմ հնացած է, թեև նրանց օգնությամբ լուծված խնդիրները ոչ մի կերպ չեն կարող հնացած համարվել: Մի քանի խողովակներով լցված լողավազանի մասին հայտնի խնդիրը առնվազն երկու հազար տարվա վաղեմություն ունի, և դեռևս հեշտ չէ դպրոցականների համար։ Բայց եթե ավելի վաղ անհրաժեշտ էր իմանալ այս խնդիրը լուծելու հատուկ կանոն, ապա այսօր դա արդեն կա կրտսեր դպրոցականներսովորեք լուծել նման խնդիր՝ մուտքագրելով ցանկալի արժեքի տառային նշանակումը: Այսպիսով, թվաբանական խնդիրները հանգեցրին հավասարումների լուծման անհրաժեշտությանը, և դա կրկին հանրահաշվի խնդիրն է:
|
ՊԻԹԱԳՈՐԱՍ
Պյութագորաս Սամոսացու մասին գրավոր փաստաթղթեր չկան, և ըստ հետագա վկայությունների՝ դժվար է վերականգնել նրա կյանքի ու ձեռքբերումների իրական պատկերը։ Հայտնի է, որ Պյութագորասը լքել է իր հայրենի Սամոս կղզին Էգեյան ծովում՝ Փոքր Ասիայի ափերի մոտ՝ ի նշան բողոքի տիրակալի բռնակալության դեմ և արդեն հասուն տարիքում (ըստ լեգենդի՝ 40 տարեկանում) հայտնվել է հունական քաղաքում։ Crotone հարավային Իտալիայում. Պյութագորասը և նրա հետևորդները՝ պյութագորացիները, ստեղծեցին գաղտնի դաշինք, որը նշանակալի դեր խաղաց Իտալիայի հունական գաղութների կյանքում: Պյութագորացիները միմյանց ճանաչում էին աստղաձեւ հնգանկյունով՝ հնգագրամով։ Արևելքի փիլիսոփայությունը և կրոնը մեծ ազդեցություն են ունեցել Պյութագորասի ուսմունքների վրա։ Նա շատ է ճանապարհորդել Արևելքի երկրներում՝ եղել է Եգիպտոսում և Բաբելոնում։ Այնտեղ Պյութագորասը ծանոթացավ արևելյան մաթեմատիկայի հետ։ Մաթեմատիկան դարձել է նրա ուսմունքի մի մասը, և ամենակարևորը։ Պյութագորացիները կարծում էին, որ աշխարհի գաղտնիքը թաքնված է թվային օրինաչափությունների մեջ: Թվերի աշխարհը Պյութագորասի համար հատուկ կյանք էր ապրում, թվերն ունեին իրենց առանձնահատուկությունը կյանքի իմաստը. Նրանց բաժանարարների գումարին հավասար թվերն ընկալվել են որպես կատարյալ (6, 28, 496, 8128); թվերի զույգերը կոչվում էին ընկերական, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար էր մյուսի բաժանարարների գումարին (օրինակ՝ 220 և 284)։ Պյութագորասն առաջինն էր, ով թվերը բաժանեց զույգի և կենտի, պարզի և բաղադրյալի և ներկայացրեց փոխաբերական թվի հասկացությունը։ Նրա դպրոցում մանրամասնորեն դիտարկվել են Պյութագորասյան եռյակներբնական թվեր, որոնցում մեկի քառակուսին հավասար էր մյուս երկուսի քառակուսիների գումարին (տե՛ս Ֆերմայի մեծ թեորեմը)։ Պյութագորասին վերագրվում է ասելով. «Ամեն ինչ թիվ է»։ Թվեր ասելով (իսկ նա նկատի ուներ միայն բնական թվերը) նա ցանկանում էր կրճատել ամբողջ աշխարհը և հատկապես մաթեմատիկան։ Բայց հենց Պյութագորասի դպրոցում հայտնագործություն արվեց, որը խախտում էր այս ներդաշնակությունը։ Ապացուցված է, որ ռացիոնալ թիվ չէ, այսինքն. չի արտահայտվում բնական թվերով։ Բնականաբար, Պյութագորասի երկրաչափությունը ստորադասվում էր թվաբանությանը, դա ակնհայտորեն դրսևորվում էր նրա անունը կրող թեորեմում և հետագայում հիմք դարձավ երկրաչափության մեջ թվային մեթոդների կիրառման համար։ (Հետագայում Էվկլիդեսը դարձյալ առաջին պլան բերեց երկրաչափությունը՝ ստորադասելով հանրահաշիվը): Ըստ երևույթին, պյութագորացիները գիտեին ճիշտ պինդ մարմինները՝ քառաեդրոնը, խորանարդը և տասներկուանիստը: Պյութագորասին վերագրվում է երկրաչափության մեջ ապացույցների համակարգված ներմուծումը, ուղղագիծ պատկերների հարթաչափության ստեղծումը և նմանության ուսմունքը։ Պյութագորասի անունը կապված է թվաբանական, երկրաչափական և ներդաշնակ համամասնությունների, միջինների ուսմունքի հետ։ Նշենք, որ Պյութագորասը Երկիրը համարում էր Արեգակի շուրջը պտտվող գնդակ։ Երբ 16-րդ դ եկեղեցին սկսեց կատաղի հալածել Կոպեռնիկոսի ուսմունքը, այս ուսմունքը համառորեն կոչվեց Պյութագորաս: |
|
ԱՐՔԻՄԵԴ
Մեծ մաթեմատիկոս և մեխանիկ Արքիմեդի մասին ավելին է հայտնի, քան հնության մյուս գիտնականների մասին։ Նախ վստահելի է նրա մահվան տարին` Սիրակուզայի անկման տարին, երբ գիտնականը մահացավ հռոմեացի զինվորի ձեռքով: Այնուամենայնիվ, հին պատմաբաններ Պոլիբիուսը, Լիվին, Պլուտարքոսը քիչ էին խոսում նրա մաթեմատիկական արժանիքների մասին, նրանցից տեղեկատվությունը գիտնականի հրաշագործ գյուտերի մասին, որոնք արվել են Հիերոն II թագավորի ծառայության ժամանակ, հասել են մեր ժամանակներին: Հայտնի պատմություն կա թագավորի ոսկե թագի մասին. Արքիմեդը ստուգեց նրա կազմի մաքրությունը իր գտած լողացողության օրենքի օգնությամբ և իր «Էվրիկա» բացականչությամբ, այսինքն. «Գտնվել է»: Մեկ այլ լեգենդ պատմում է, որ Արքիմեդը կառուցել է բլոկների համակարգ, որի օգնությամբ մեկ մարդ կարողացել է արձակել «Սիրակոզիա» հսկայական նավը։ Այնուհետև Արքիմեդի արտասանած խոսքերը դարձան թեւավոր. «Ինձ հենարան տուր, և ես կշրջեմ երկիրը»: Արքիմեդի ինժեներական հանճարը առանձնահատուկ ուժով դրսևորվեց Սիրակուզայի՝ Սիցիլիա կղզու առևտրային հարուստ քաղաքի պաշարման ժամանակ։ Հռոմեական հյուպատոս Մարցելուսի զինվորները երկար ժամանակ աննախադեպ մեքենաներով ձերբակալվել են քաղաքի պարիսպների մոտ. հզոր քարաձիգները ճշգրիտ արձակել են քարե բլոկներ, սողանցքներում տեղադրվել են շպրտող մեքենաներ, միջուկների կարկուտ նետել, պատերից դուրս շրջվել առափնյա կռունկներ։ և թշնամու նավերը նետել են քարերով և կապարի բլոկներով, կեռիկները վերցրել են նավերը և դրանք ցած են նետել մեծ բարձրությունից, գոգավոր հայելիների համակարգերը (որոշ պատմություններում՝ վահաններ) հրկիզել են նավերը։ Մարցելոսի պատմության մեջ Պլուտարքոսը նկարագրում է հռոմեացի զինվորների շարքերում տիրող սարսափը. «Հենց որ նրանք նկատեցին, որ բերդի պարսպի հետևից պարան կամ գերան է երևում, նրանք փախան՝ բղավելով, որ Արքիմեդը նույնպես հորինել է նոր մեքենա նրանց մահվան համար»: Հսկայական է նաև Արքիմեդի ներդրումը մաթեմատիկայի զարգացման գործում։ Արքիմեդի պարույրը (տես Պարույրներ), որը նկարագրված է պտտվող շրջանով շարժվող կետով, առանձնանում էր իր ժամանակակիցներին հայտնի բազմաթիվ կորերից։ Հաջորդ կինեմատիկորեն սահմանված կորը՝ ցիկլոիդը, հայտնվեց միայն 17-րդ դարում։ Արքիմեդը սովորեց գտնել իր պարույրի շոշափողը (իսկ նրա նախորդները դրանով կարող էին շոշափել միայն կոնաձև հատվածներին), գտավ նրա կծիկի տարածքը, ինչպես նաև էլիպսի մակերեսը, կոնի մակերեսը և գնդակը, գնդակի ծավալները և գնդաձև հատվածը: Հատկապես նա հպարտանում էր իր հայտնաբերած գնդիկի ծավալի և դրա շուրջ նկարագրված գլան հարաբերակցությամբ, որը 2։3 է (տես Արձանագրված և շրջագծված պատկերներ)։ Արքիմեդը նույնպես շատ է զբաղվել շրջանագծի քառակուսի կազմելու խնդրով (տես Հնության հայտնի խնդիրներ)։ Գիտնականը հաշվարկել է շրջագծի և տրամագծի (թվի) հարաբերությունը և պարզել, որ այն գտնվում է և. Նկարի շրջագիծը և մակերեսը հաշվարկելու համար նրա ստեղծած մեթոդը էական քայլ էր դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի ստեղծման ուղղությամբ, որը հայտնվեց միայն 2000 տարի անց: Արքիմեդը նույնպես անսահման գումար գտավ երկրաչափական առաջընթացհայտարարով։ Մաթեմատիկայի մեջ սա անսահման շարքի առաջին օրինակն էր։ Մաթեմատիկայի զարգացման մեջ կարևոր դեր է խաղացել նրա «Psammit» էսսեն՝ «Ավազի հատիկների քանակի մասին», որտեղ նա ցույց է տալիս, թե ինչպես, օգտագործելով գոյություն ունեցող թվային համակարգը, կարելի է կամայականորեն արտահայտվել. մեծ թվեր. Որպես իր պատճառաբանության պատճառ՝ նա օգտագործում է տեսանելի տիեզերքի ներսում ավազահատիկների թիվը հաշվելու խնդիրը։ Այսպիսով, այն ժամանակ գոյություն ունեցող կարծիքը առեղծվածային «ամենամեծ թվերի» առկայության մասին հերքվեց։ |
Թվաբանությամբ ներմուծված կարևոր հասկացություններից պետք է նշել համամասնությունները և տոկոսները։ Թվաբանության հասկացությունների և մեթոդների մեծ մասը հիմնված է թվերի միջև տարբեր հարաբերությունների համեմատության վրա: Մաթեմատիկայի պատմության մեջ թվաբանության և երկրաչափության միաձուլման գործընթացը տեղի է ունեցել շատ դարերի ընթացքում։
Կարելի է հստակ հետևել թվաբանության «երկրաչափականացմանը». բարդ կանոններև նախշերով արտահայտված բանաձևերով, ավելի պարզ կդառնան, եթե հնարավոր է դրանք երկրաչափորեն ներկայացնել։ Բուն մաթեմատիկայի և դրա կիրառման մեջ կարևոր դեր է խաղում հակառակ գործընթացը՝ տեսողական, երկրաչափական տեղեկատվության թարգմանությունը թվերի լեզվով (տես Գրաֆիկական հաշվարկներ): Այս թարգմանությունը հիմնված է ֆրանսիացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Ռ. Դեկարտի գաղափարի վրա՝ հարթության վրա կետերը կոորդինատներով սահմանելու վերաբերյալ: Իհարկե, այս գաղափարը նրանից առաջ արդեն օգտագործվել էր, օրինակ՝ ծովային գործերում, երբ անհրաժեշտ էր որոշել նավի գտնվելու վայրը, ինչպես նաև աստղագիտության և գեոդեզիայի մեջ։ Բայց հենց Դեկարտից և նրա աշակերտներից է գալիս կոորդինատների լեզվի հետևողական օգտագործումը մաթեմատիկայի մեջ: Իսկ մեր ժամանակներում բարդ գործընթացները (օրինակ՝ տիեզերանավի թռիչքը) կառավարելիս նախընտրում են ամբողջ ինֆորմացիան ունենալ թվերի տեսքով, որոնք մշակվում են համակարգչի կողմից։ Անհրաժեշտության դեպքում մեքենան օգնում է մարդուն թարգմանել կուտակված թվային տեղեկատվությունը գծագրի լեզվով։
Դուք տեսնում եք, որ, խոսելով թվաբանությունից, մենք միշտ դուրս ենք գալիս դրա սահմաններից՝ դեպի հանրահաշիվ, երկրաչափություն և մաթեմատիկայի այլ ճյուղեր:
Ինչպե՞ս գծել թվաբանության սահմանները:
Ի՞նչ իմաստով է օգտագործվում այս բառը։
«Թվաբանություն» բառը կարելի է հասկանալ այսպես.
ակադեմիական առարկա, որն առնչվում է հիմնականում ռացիոնալ թվերին (ամբողջ թվերին և կոտորակներին), դրանց վրա կատարվող գործողություններին և այդ գործողությունների օգնությամբ լուծված խնդիրներին.
մաթեմատիկայի պատմական շենքի մի մասը, որը կուտակել է տարբեր տեղեկություններ հաշվարկների մասին.
«տեսական թվաբանություն»՝ ժամանակակից մաթեմատիկայի մի մաս, որը զբաղվում է տարբեր թվային համակարգերի (բնական, ամբողջ, ռացիոնալ, իրական, բարդ թվերև դրանց ընդհանրացումները);
«ֆորմալ թվաբանություն» - մաթեմատիկական տրամաբանության մի մաս (տես Մաթեմատիկական տրամաբանություն), որը զբաղվում է թվաբանության աքսիոմատիկ տեսության վերլուծությամբ.
«բարձրագույն թվաբանություն», կամ թվերի տեսություն՝ մաթեմատիկայի ինքնուրույն զարգացող մաս։
Մաթեմատիկան սկսվում է թվաբանությունից։ Թվաբանությամբ մենք մտնում ենք, ինչպես ասաց Մ.Վ.Լոմոնոսովը, «ուսուցման դարպասներ»։
«Թվաբանություն» բառը գալիս է հունարեն arithmos-ից, որը նշանակում է «թիվ»: Այս գիտությունը ուսումնասիրում է թվերի վրա գործողություններ, դրանց հետ աշխատելու տարբեր կանոններ, սովորեցնում է լուծել խնդիրները, որոնք հանգում են թվերի գումարմանը, հանմանը, բազմապատկմանը և բաժանմանը: Թվաբանությունը հաճախ պատկերացվում է որպես մաթեմատիկայի ինչ-որ առաջին քայլ, որի հիման վրա հնարավոր է ուսումնասիրել դրա ավելի բարդ բաժինները՝ հանրահաշիվ, մաթեմատիկական վերլուծություն և այլն։Թվաբանությունը ծագել է Հին Արևելքի երկրներում՝ Բաբելոն, Չինաստան, Հնդկաստան, Եգիպտոս։ Օրինակ՝ Ռինդա եգիպտական պապիրուսը (իր տիրոջ՝ Գ. Ռինդայի անունը) թվագրվում է 20-րդ դարով։ մ.թ.ա ե.
Հին Արեւելքի երկրներում կուտակված մաթեմատիկական գիտելիքների գանձերը մշակել եւ շարունակել են Հին Հունաստանի գիտնականները։ Հին աշխարհում թվաբանությամբ զբաղվող գիտնականների բազմաթիվ անուններ մեզ համար պահպանվել են պատմության մեջ՝ Անաքսագորաս և Զենոն, Էվկլիդես, Արքիմեդ, Էրատոստենես և Դիոֆանտոս: Պյութագորասի անունը (մ.թ.ա. VI դար) այստեղ փայլում է որպես պայծառ աստղ։ Պյութագորացիները պաշտում էին թվերը՝ հավատալով, որ դրանք պարունակում են աշխարհի ողջ ներդաշնակությունը։ Առանձին թվերի և թվերի զույգերին հատկացվել են հատուկ հատկություններ: 7 և 36 համարները մեծ հարգանք էին վայելում, միաժամանակ ուշադրություն էր դարձվում այսպես կոչված կատարյալ թվերին, ընկերական թվերին և այլն։
Միջնադարում թվաբանության զարգացումը կապված է նաև Արևելքի՝ Հնդկաստանի, արաբական աշխարհի երկրների և Կենտրոնական Ասիայի հետ։ Հնդիկներից մեզ եկան այն թվերը, որոնք մենք օգտագործում ենք, զրո և դիրքային թվային համակարգը. ալ-Կաշիից (XV դ.), Ուլուգբեկ՝ տասնորդական կոտորակներ։
Առևտրի զարգացման և արևելյան մշակույթի ազդեցության շնորհիվ XIII դ. Եվրոպայում մեծանում է թվաբանության նկատմամբ հետաքրքրությունը։ Պետք է հիշել իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզայի (Ֆիբոնաչիի) անունը, ում «Աբակուսի գիրքը» աշխատությունը եվրոպացիներին ծանոթացրեց Արևելքի մաթեմատիկայի հիմնական նվաճումներին և սկիզբ հանդիսացավ թվաբանության և հանրահաշվի բազմաթիվ ուսումնասիրությունների:
Տպագրության գյուտի հետ մեկտեղ (15-րդ դարի կեսեր) հայտնվեցին առաջին տպագիր մաթեմատիկական գրքերը։ Թվաբանության մասին առաջին տպագիր գիրքը լույս է տեսել Իտալիայում 1478 թվականին: Գերմանացի մաթեմատիկոս Մ. Շտիֆելի ամբողջական թվաբանությունը (16-րդ դարի սկիզբ) արդեն պարունակում է բացասական թվեր և նույնիսկ լոգարիթմ վերցնելու գաղափար:
Մոտ 16-րդ դարում Զուտ թվաբանական հարցերի զարգացումը հոսեց հանրահաշվի հիմնական հոսքը, որպես նշանակալի հանգրվան, կարելի է նշել ֆրանսիացի գիտնական Ֆ. Վիետայի աշխատությունների տեսքը, որում թվերը նշվում են տառերով: Այդ ժամանակվանից ի վեր թվաբանական հիմնական կանոնները լիովին հասկացվել են հանրահաշվի տեսանկյունից:
Թվաբանության հիմնական առարկան թիվն է։ Բնական թվեր, այսինքն. 1, 2, 3, 4, ... և այլն թվերը առաջացել են կոնկրետ իրեր հաշվելուց: Շատ հազարամյակներ են անցել, մինչև մարդն իմացավ, որ երկու փասիան, երկու ձեռք, երկու մարդ և այլն: կարելի է նույն բառը անվանել «երկու». Թվաբանության կարևոր խնդիրն է՝ սովորել հաղթահարել հաշվված առարկաների անունների հատուկ նշանակությունը, շեղվել դրանց ձևից, չափից, գույնից և այլն։ Թվաբանության մեջ թվերը գումարվում, հանվում, բազմապատկվում և բաժանվում են: Ցանկացած թվի վրա այս գործողությունները արագ և ճշգրիտ կատարելու արվեստը վաղուց համարվում էր թվաբանության կարևորագույն խնդիրը:Թվերի վրա թվաբանական գործողություններն ունեն տարբեր հատկություններ: Այս հատկությունները կարելի է նկարագրել բառերով, օրինակ՝ «Գումարը չի փոխվում տերմինների տեղերի փոփոխությունից», կարելի է գրել տառերով՝ a + b \u003d b + a, կարող է արտահայտվել հատուկ տերմիններով:
Թվաբանությամբ ներմուծված կարևոր հասկացություններից պետք է նշել համամասնությունները և տոկոսները։ Թվաբանության հասկացությունների և մեթոդների մեծ մասը հիմնված է թվերի միջև տարբեր հարաբերությունների համեմատության վրա: Մաթեմատիկայի պատմության մեջ թվաբանության և երկրաչափության միաձուլման գործընթացը տեղի է ունեցել շատ դարերի ընթացքում։
«Թվաբանություն» բառը կարելի է հասկանալ այսպես.
ակադեմիական առարկա, որն առնչվում է հիմնականում ռացիոնալ թվերին (ամբողջ թվերին և կոտորակներին), դրանց վրա կատարվող գործողություններին և այդ գործողությունների օգնությամբ լուծված խնդիրներին.
մաթեմատիկայի պատմական շենքի մի մասը, որը կուտակել է տարբեր տեղեկություններ հաշվարկների մասին.
«տեսական թվաբանություն» - ժամանակակից մաթեմատիկայի մի մաս, որը զբաղվում է տարբեր թվային համակարգերի կառուցմամբ (բնական, ամբողջ թվեր, ռացիոնալ, իրական, բարդ թվեր և դրանց ընդհանրացումները).
«ֆորմալ թվաբանություն» - մաթեմատիկական տրամաբանության մի մաս, որը զբաղվում է թվաբանության աքսիոմատիկ տեսության վերլուծությամբ.
«բարձրագույն թվաբանություն», կամ թվերի տեսություն՝ մաթեմատիկայի ինքնուրույն զարգացող մասԵվ
/Երիտասարդ մաթեմատիկոսի հանրագիտարանային բառարան, 1989թ./
Պոպովա Լ.Ա. 1
Կոշկին Ի.Ա. 1
1 քաղաքային բյուջետային ուսումնական հաստատություն «Ուսումնական կենտրոն - թիվ 1 գիմնազիա»
Աշխատանքի տեքստը տեղադրված է առանց պատկերների և բանաձևերի։
Ամբողջական տարբերակըաշխատանքը հասանելի է «Աշխատանքի ֆայլեր» ներդիրում՝ PDF ձևաչափով
Ներածություն
Համապատասխանություն.Մտավոր թվաբանությունն այժմ մեծ ժողովրդականություն է ձեռք բերում։ Ուսուցման նոր մեթոդների շնորհիվ երեխաները արագորեն սովորում են նոր տեղեկություններ, զարգացնում իրենց ստեղծագործական ներուժսովորել լուծել բարդույթները մաթեմատիկական խնդիրներմտավոր, առանց հաշվիչ օգտագործելու:
Մտավոր թվաբանությունը եզակի մեթոդ է 4-ից 16 տարեկան երեխաների մտավոր կարողությունները զարգացնելու համար՝ հիմնված մտավոր հաշվման համակարգի վրա։ Սովորելով այս տեխնիկայով՝ երեխան կարող է մի քանի վայրկյանում լուծել ցանկացած թվաբանական խնդիր (գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հաշվարկ քառակուսի արմատթվեր) մտավոր ավելի արագ, քան հաշվիչ օգտագործելը:
Աշխատանքի նպատակը.
Իմացեք մտավոր թվաբանության պատմությունը
Ցույց տվեք, թե ինչպես կարող եք օգտագործել աբակը մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելիս
Վերլուծել, թե հաշվարկի ինչ այլ այլընտրանքային մեթոդներ կան, որոնք պարզեցնում են հաշվարկը և դարձնում այն զվարճալի
Վարկած.
Ենթադրենք, որ թվաբանությունը կարող է լինել զվարճալի և հեշտ, կարելի է հաշվարկել շատ ավելի արագ և արդյունավետ՝ օգտագործելով մտավոր թվաբանական մեթոդները և տարբեր հնարքներ։
Չինական հաշիվներով դասերը դրական են ազդում հիշողության վրա, որն արտահայտվում է ձուլման մեջ ուսումնական նյութ. Սա վերաբերում է պոեզիայի ու արձակի, թեորեմների, տարբեր մաթեմատիկական կանոնների, օտար բառերի, այսինքն՝ մեծ քանակությամբ տեղեկատվության անգիր սովորելուն։
Հետազոտության մեթոդներԻնտերնետում որոնում, գրականության ուսումնասիրություն, գործնական աշխատանքԱբակուսին տիրապետելու, աբակուսի օգնությամբ օրինակներ լուծելու մասին,
Ուսումնասիրության կատարման պլան.
Սկզբից ուսումնասիրել թվաբանության պատմության գրականությունը
Ուրվագծեք աբակուսի վրա հաշվարկելու սկզբունքները
Վերլուծել, թե ինչպես են անցնում մտավոր թվաբանության դասերը և եզրակացություններ անել իմ դասերից
Պարզեք օգուտները և վերլուծեք մտավոր հաշվի մեջ հնարավոր դժվարությունները
Ցույց տվեք թվաբանությամբ հաշվարկելու այլ եղանակներ
Գլուխ 1. Թվաբանության զարգացման պատմությունը
Թվաբանությունը ծագել է Հին Արևելքի երկրներում՝ Բաբելոն, Չինաստան, Հնդկաստան, Եգիպտոս։ «Թվաբանություն» անվանումը ծագել է հունարեն «arithmos» - թիվ բառից:
Թվաբանությունը ուսումնասիրում է թվերը և թվերի վրա կատարված գործողությունները, դրանց հետ աշխատելու տարբեր կանոններ, սովորեցնում է լուծել խնդիրները, որոնք վերածվում են թվերի գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման:
Թվաբանության առաջացումը կապված է մարդկանց աշխատանքային գործունեության և հասարակության զարգացման հետ։
Մաթեմատիկայի կարևորությունը Առօրյա կյանքմարդ. Առանց հաշվելու, առանց թվերը ճիշտ գումարելու, հանելու, բազմապատկելու և բաժանելու ունակության զարգացումն անհնար է պատկերացնել։ մարդկային հասարակություն. Չորս թվաբանական գործողություններ՝ բանավոր և գրավոր հաշվարկների կանոնները, ուսումնասիրում ենք՝ սկսած տարրական դպրոց. Այս բոլոր կանոնները չեն հորինել կամ հայտնաբերել մեկ անձի կողմից: Թվաբանությունը ծագել է մարդկանց առօրյայից։
1.1 Առաջին հաշվիչ սարքեր
Մարդիկ վաղուց փորձում են թուլացնել իրենց հաշիվը տարբեր միջոցների ու սարքերի օգնությամբ։ Առաջին, ամենահին «հաշվողական մեքենան» եղել են մատների և ոտքերի մատները։ Այս պարզ սարքը միանգամայն բավական էր, օրինակ՝ ամբողջ ցեղի կողմից սպանված մամոնտներին հաշվելու համար:
Հետո կար առևտուր. Իսկ հին վաճառականները (բաբելոնյան և այլ քաղաքներ) հաշվարկներ էին անում՝ օգտագործելով հատիկներ, խճաքարեր և խեցի, որոնք նրանք սկսեցին դնել հատուկ տախտակի վրա, որը կոչվում էր աբակ։
Աբակուսի անալոգը հին Չինաստանկար «սու-անպան» հաշվող սարք, այն փոքրիկ երկարավուն տուփ է, որը երկարությամբ բաժանված է անհավասար մասերի միջնորմներով։ Տուփի միջով ճյուղեր են, որոնց վրա գնդիկներ են կապում:
Ճապոնացիները հետ չմնացին չինացիներից և, օգտագործելով նրանց օրինակը, 16-րդ դարում ստեղծեցին սեփական հաշվիչ սարքը՝ Սորոբանը։ Այն չինականից տարբերվում էր նրանով, որ սարքի վերին հատվածում մեկական գնդակ կար, իսկ չինական տարբերակում՝ երկու։
Ռուսական աբակուսը Ռուսաստանում առաջին անգամ հայտնվել է 16-րդ դարում։ Դրանք մի տախտակ էին, որի վրա գծված էին զուգահեռ գծեր: Հետագայում տախտակի փոխարեն սկսեցին օգտագործել մետաղալարերով ու ոսկորներով շրջանակ։
1.2 Աբակուս
Մոտ մ.թ.ա չորրորդ դարում հայտնագործվեց առաջին հաշվիչ սարքը։ Դրա ստեղծողը գիտնական Աբակուսն է, և սարքն անվանվել է նրա անունով։ Այն այսպիսի տեսք ուներ՝ կավե ափսե՝ ակոսներով, որոնց մեջ դրված էին թվեր նշանակող քարեր։ Մի ակոսը միավորների համար էր, իսկ մյուսը՝ տասնյակների։
Խոսք «աբակուս» (աբակուս)նշանակում է ցուցատախտակ:
Եկեք նայենք ժամանակակից աբակուսին...
Որպեսզի սովորեք, թե ինչպես օգտագործել հաշիվները, դուք պետք է իմանաք, թե որոնք են դրանք:
Հաշիվները բաղկացած են.
բաժանարար գիծ;
վերին ոսկորներ;
ստորին ոսկորներ.
Մեջտեղում կա կենտրոնական կետ։ Վերևի ոսկորները ներկայացնում են հինգ, իսկ ներքևի ոսկորները՝ մեկ: Ոսկորների յուրաքանչյուր ուղղահայաց շերտ՝ սկսած աջից ձախ, նշանակում է թվերի թվանշաններից մեկը.
տասնյակ հազարավոր և այլն:
Օրինակ՝ օրինակը հետաձգելու համար՝ 9 - 4=5, պետք է աջ կողմի առաջին տողի վերին ոսկորը տեղափոխել (նշանակում է հինգ) և բարձրացնել 4 ստորին ոսկորները։ Այնուհետև իջեցրեք 4 ստորին ոսկորները: Այսպիսով, մենք ստանում ենք անհրաժեշտ 5 թիվը:
Գլուխ 2. Ի՞նչ է մտավոր թվաբանությունը:
մտավոր թվաբանություն 4-ից 14 տարեկան երեխաների մտավոր կարողությունների զարգացման մեթոդ է։ Մտավոր թվաբանության հիմքը աբակուսային միավորն է։ Այն առաջացել է հին Ճապոնիայում ավելի քան 2000 տարի առաջ: Երեխան երկու ձեռքով հաշվում է աբակոսի վրա՝ երկու անգամ ավելի արագ հաշվարկներ կատարելով։ Հաշիվների վրա ոչ միայն գումարել ու հանել, այլև սովորել բազմապատկել և բաժանել։
մտածելակերպ -դա մարդու մտավոր կարողությունն է:
Մաթեմատիկայի դասերին զարգանում է միայն ուղեղի ձախ կիսագունդը, որը պատասխանատու է տրամաբանական մտածողություն, իսկ իրավունքը զարգացնում են այնպիսի առարկաներ, ինչպիսիք են գրականությունը, երաժշտությունը, նկարչությունը։ Կան հատուկ մարզումների տեխնիկա, որոնք ուղղված են երկու կիսագնդերի զարգացմանը: Գիտնականներն ասում են, որ հաջողության են հասնում այն մարդիկ, ովքեր ունեն ուղեղի երկու կիսագնդերն էլ լիարժեք զարգացած։ Շատ մարդիկ ունեն ավելի զարգացած ձախ կիսագունդ և ավելի քիչ զարգացած աջ:
Ենթադրություն կա, որ մտավոր թվաբանությունը թույլ է տալիս օգտագործել երկու կիսագնդերը՝ կատարելով տարբեր բարդության հաշվարկներ։
Աբակուսի օգտագործումը ստիպում է ձախ կիսագնդին աշխատել – զարգանում է նուրբ շարժիչ հմտություններև թույլ է տալիս երեխային տեսողականորեն տեսնել հաշվման գործընթացը:
Հմտությունները վերապատրաստվում են աստիճանաբար՝ անցնելով պարզից բարդին: Արդյունքում, ծրագրի ավարտին երեխան կարող է մտովի գումարել, հանել, բազմապատկել և բաժանել եռանիշ և քառանիշ թվեր։
Բացի օրինակներ լուծելուց՝ առանց նշումների և գծագրերի օգտագործման, մտավոր թվաբանություն կատարելը թույլ է տալիս.
բարելավել դպրոցում տարբեր առարկաների ակադեմիական կատարումը.
դիվերսիֆիկացնել մաթեմատիկայից երաժշտություն;
սովորել օտար լեզուներ ավելի արագ;
դառնալ ավելի նախաձեռնող և անկախ;
զարգացնել առաջնորդական հատկություններ;
վստահ լինել.
երևակայություն. ապագայում հաշիվների կապը թուլանում է, ինչը թույլ է տալիս ձեր մտքում հաշվարկներ կատարել, աշխատել երևակայական հաշիվներով.
թվի ներկայացումն ընկալվում է ոչ թե օբյեկտիվ, այլ փոխաբերական իմաստով, թվի պատկերը ձևավորվում է ոսկորների համակցությունների պատկերի տեսքով.
դիտարկում;
լսողություն, մեթոդ ակտիվ լսումբարելավում է լսելու հմտությունները;
մեծանում է ուշադրության կենտրոնացումը, ինչպես նաև ուշադրության բաշխումը. միաժամանակ ներգրավվածություն մի քանի տեսակի մտքի գործընթացներում:
Մտավոր թվաբանությամբ զբաղվելը մաթեմատիկական հմտությունների ուղղակի ուսուցում չէ: Արագ հաշվումը միայն մտածողության արագության միջոց ու ցուցիչ է, բայց ոչ ինքնանպատակ։ Մտավոր թվաբանության նպատակը ինտելեկտուալ և ստեղծագործական կարողությունների զարգացումն է, և դա օգտակար կլինի ապագա մաթեմատիկոսների և հումանիտար գիտությունների համար: Այնուամենայնիվ, պետք է պատրաստ լինել այն փաստին, որ մարզումների հենց սկզբում անհրաժեշտ կլինի բավական ջանք գործադրել, ջանասիրություն, հաստատակամություն և ուշադրություն: Հնարավոր է, որ սխալներ լինեն հաշվարկներում, այնպես որ մի շտապեք:
Գլուխ 3. Դասընթացներ մտավոր թվաբանության դպրոցում.
Բանավոր հաշվարկի զարգացման ամբողջ ծրագիրը կառուցված է երկու փուլերի հաջորդական անցման վրա:
Դրանցից առաջինում տեղի է ունենում ոսկորների միջոցով թվաբանական գործողությունների կատարման տեխնիկայի ծանոթացում և տիրապետում, որի ընթացքում միաժամանակ ներգրավված են երկու ձեռքեր։ Իր աշխատանքում երեխան օգտագործում է աբակուս. Այս տարրը նրան թույլ է տալիս բացարձակապես ազատորեն հանել և բազմապատկել, գումարել և բաժանել, հաշվարկել քառակուսի և խորանարդ արմատները։
Երկրորդ փուլն անցնելիս ուսանողներին սովորեցնում են մտավոր հաշվարկ, որը կատարվում է մտքում։ Երեխան դադարում է անընդհատ կապված լինել աբակուսին, ինչը նույնպես խթանում է նրա երևակայությունը։ Երեխաների ձախ կիսագնդերն ընկալում են թվերը, իսկ աջ կիսագնդերն ընկալում են մատների պատկերը։ Սա մտավոր հաշվարկի մեթոդի հիմքն է։ Ուղեղը սկսում է աշխատել երևակայական աբակուսի հետ՝ միաժամանակ թվերն ընկալելով նկարների տեսքով։ Մաթեմատիկական հաշվարկի կատարումը կապված է ոսկորների շարժման հետ։
Մտավոր թվաբանության մեջ 20-ից ավելի բանաձևեր են օգտագործվում հաշվարկների համար (մոտ ազգականներ, օգնություն եղբորից, օգնություն ընկերոջից և այլն), որոնք պետք է հիշել։
Օրինակ՝ մտավոր թվաբանության մեջ Եղբայրները երկու թվեր են, որոնց գումարումը տալիս է հինգ.
Ընդհանուր առմամբ 5 եղբայր կա։
1+4 = 5 Եղբայր 1 - 4 4+1 = 5 Եղբայր 4 - 1
2+3 = 5 Եղբայր 2 - 3 5+0 = 5 Եղբայր 5 - 0
3+2 = 5 Եղբայր 3 - 2
Մտավոր թվաբանության մեջ ընկերները երկու թվեր են, որոնք գումարվում են տասը.
Ընդամենը 10 ընկեր։
1+9 = 10 ընկեր 1 - 9 6+4 = 10 ընկեր 4 - 6
2+8 = 10 ընկեր 2 - 8 7+3 = 10 ընկեր 7 - 3
3+7 = 10 ընկեր 3 - 7 8+2 = 10 ընկեր 8 - 2
4+6 = 10 ընկեր 4 - 6 9-1 = 10 ընկեր 9 -1
5+5 = 10 Ընկեր 5 - 5
Գլուխ 4. Իմ ուսումնասիրությունները մտավոր թվաբանության մեջ.
Փորձնական դասին ուսուցիչը մեզ ցույց տվեց աբակուսի աբակուսը, հակիրճ պատմեց, թե ինչպես օգտագործել դրանք և հաշվելու բուն սկզբունքը:
Դասին մտավոր ջերմացում է եղել։ Եվ միշտ ընդմիջումներ էին լինում, որտեղ մենք կարող էինք մի փոքր խորտիկ ուտել, ջուր խմել կամ խաղեր խաղալ: Տանը մեզ միշտ թերթիկներ էին տալիս օրինակներով, համար ինքնուրույն աշխատանքՏներ. Ես նաև մարզվել եմ հատուկ ծրագրում, որտեղ օրինակներ են գործարկվել՝ դրանք մոնիտորի վրա տարբեր արագություններով թարթվել են։
Իմ մարզումների հենց սկզբում ես.
Ծանոթացեք հաշիվներին: Ես սովորեցի, թե ինչպես ճիշտ օգտագործել ձեռքերս հաշվելիս՝ երկու ձեռքերի բթամատով բարձրացնում ենք մատների մատները աբակուսի վրա, ցուցամատներով իջեցնում ենք մատները։
Ժամանակի ընթացքում ես.
Սովորեցի հաշվել երկաստիճան օրինակները տասնյակներով։ Տասնյակները գտնվում են երկրորդ ասեղի վրա աջ ծայրից: Տասնյակներով հաշվելիս մենք արդեն օգտագործում ենք ձախ ձեռքի բթամատն ու ցուցամատը։ Այստեղ տեխնիկան նույնն է, ինչ աջ ձեռքի դեպքում՝ մեծով բարձրացնում ենք, ինդեքսով իջեցնում։
Ուսման 3-րդ ամսում.
Ես աբակուսով լուծել եմ հանման և գումարման օրինակներ միավորներով և տասնյակներով՝ եռաստիճան:
Հազարերորդականներով լուծել հանման և գումարման օրինակներ՝ երկաստիճան
Հետագա:
Ծանոթացեք մտքի քարտեզին: Նայելով բացիկին՝ ստիպված էի մտովի շարժել մատները և տեսնել պատասխանը։
4 ամիս ինքնուրույն մարզվել եմ շաբաթական 2 ժամ և օրական 5-10 րոպե։
|
Վերապատրաստման առաջին ամիսը |
չորրորդ ամիս |
|
1. Ես հաշվում եմ աբակուսի վրա 1 թերթիկ (3 տերմինի 30 օրինակ) |
|
|
2. Մտովի հաշվում եմ 30 օրինակ (յուրաքանչյուրը 5-7 տերմին) |
|
|
3. Սովորում եմ բանաստեղծություն (3-րդ քառատող) |
|
|
4. Կատարում Տնային աշխատանք(մաթեմատիկա՝ մեկ խնդիր, 10 օրինակ) |
|
|
Թվերն առաջացել են հաշվելու և չափելու անհրաժեշտությունից և անցել են պատմական զարգացման երկար ճանապարհ: Կար ժամանակ, երբ մարդիկ չէին կարողանում հաշվել։ Վերջավոր բազմությունները համեմատելու համար հաստատվեց մեկ առ մեկ համապատասխանություն այս բազմությունների միջև կամ բազմություններից մեկի և մեկ այլ բազմության ենթաբազմության միջև, այսինքն. այս փուլում մարդն առանց վերահաշվարկի ընկալել է օբյեկտների քանակը։ Օրինակ, երկու առարկաներից բաղկացած խմբի չափով նա կարող է ասել. «Մարդը նույնքան ձեռքեր ունի», հինգ առարկաներից բաղկացած հավաքածուի մասին՝ «այնքան, որքան ձեռքի մատները»: Այս մեթոդով համեմատվող հավաքածուները պետք է միաժամանակ տեսանելի լինեին: Զարգացման շատ երկար ժամանակաշրջանի արդյունքում մարդը հասավ բնական թվերի ստեղծման հաջորդ փուլին` բազմությունները համեմատելու համար նրանք սկսեցին օգտագործել միջանկյալ հավաքածուներ` մանր խիճեր, խեցիներ, մատներ: Այս միջանկյալ հավաքածուները արդեն ներկայացնում էին հայեցակարգի հիմքերը բնական թիվ, թեև այս փուլում թիվը չի առանձնացվել հաշված առարկաներից՝ խոսքը, օրինակ, հինգ խիճի, հինգ մատի մասին էր, և ընդհանրապես ոչ թե «հինգ» թվի մասին։ Միջանկյալ հավաքածուների անվանումները սկսեցին օգտագործվել դրանց հետ համեմատվող հավաքածուների թիվը որոշելու համար: Այսպիսով, որոշ ցեղերի մեջ հինգ տարրից բաղկացած հավաքածուի թիվը նշանակվում էր «ձեռք» բառով, իսկ 20 միավորի թիվը՝ «ամբողջ մարդ» բառերով։ Միայն այն բանից հետո, երբ մարդը սովորում է գործել միջանկյալ հավաքածուներով, նա հաստատել է այն ընդհանուր բանը, որը գոյություն ունի, օրինակ, հինգ մատների և հինգ խնձորի միջև, այսինքն. երբ միջանկյալ բազմությունների տարրերի բնույթից աբստրակցիա կար, ծագեց բնական թվի գաղափարը: Այս փուլում, օրինակ, խնձորները հաշվելիս չեն թվարկվել «մեկ խնձոր», «երկու խնձոր» և այլն, այլ արտասանվել են «մեկ», «երկու» և այլն բառերը։ Դա եղել է նշաձողթվի հայեցակարգի մշակման մեջ։ Պատմաբանները կարծում են, որ դա տեղի է ունեցել քարի դարում, պարզունակ համայնքային համակարգի դարաշրջանում, մոտ 10-5 հազարամյակ մ.թ.ա. Ժամանակի ընթացքում մարդիկ սովորեցին ոչ միայն թվեր անվանել, այլև դրանք նշանակել, ինչպես նաև գործողություններ կատարել դրանց վրա: Ընդհանուր առմամբ, թվերի բնական շարքը անմիջապես չի առաջացել, դրա ձևավորման պատմությունը երկար է։ Միավորների պահպանման ժամանակ օգտագործված թվերի պաշարը աստիճանաբար ավելացավ: Աստիճանաբար զարգացավ նաև բնական թվերի բազմության անվերջության գաղափարը։ Այսպիսով, «Psammit» աշխատության մեջ՝ ավազահատիկների հաշվարկը, հին հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդը (մ. թվեր։ Բնական թվի հայեցակարգի առաջացումը մաթեմատիկայի զարգացման ամենակարեւոր պահն էր։ Անկախ դրանցից հնարավոր դարձավ ուսումնասիրել այս թվերը։ կոնկրետ առաջադրանքներ, որոնց հետ կապված դրանք առաջացել են: Տեսական գիտությունը, որը սկսեց ուսումնասիրել թվերն ու դրանց վրա կատարվող գործողությունները, կոչվում էր «թվաբանություն»։ «Թվաբանություն» բառը գալիս է հունարենից թվաբանություն,ի՞նչ է նշանակում «թիվ» Հետևաբար, թվաբանությունը թվերի գիտություն է։ Թվաբանությունը ծագել է Հին Արևելքի երկրներում՝ Բաբելոնում։ Չինաստան. Հնդկաստան և Եգիպտոս. Այս երկրներում կուտակված մաթեմատիկական գիտելիքները մշակել և շարունակել են Հին Հունաստանի գիտնականները։ Միջնադարում թվաբանության զարգացման գործում մեծ ներդրում են ունեցել Հնդկաստանի, արաբական աշխարհի երկրների և Կենտրոնական Ասիայի մաթեմատիկոսները, իսկ 13-րդ դարից սկսած՝ եվրոպացի գիտնականները։ «Բնական թիվ» տերմինն առաջին անգամ օգտագործվել է 5-րդ դարում։ Հռոմեացի գիտնական Ա. Բոեթիուսը, որը հայտնի է որպես անցյալի հայտնի մաթեմատիկոսների աշխատությունների թարգմանիչ. Լատինական լեզուև որպես «Թվաբանության ներածություն» գրքի հեղինակ, որը մինչև 16-րդ դարը մոդել էր բոլոր եվրոպական մաթեմատիկայի համար։ 19-րդ դարի երկրորդ կեսին բնական թվերը դարձան բոլորի հիմքը մաթեմատիկական գիտ, որից կախված էր մաթեմատիկայի ողջ շենքի ուժը։ Այս առումով կարիք կար բնական թվ հասկացության խիստ տրամաբանական հիմնավորման, դրա հետ կապվածի համակարգման։ Քանի որ 19-րդ դարի մաթեմատիկան դիմեց իր տեսությունների աքսիոմատիկ կառուցմանը, մշակվեց բնական թվի աքսիոմատիկ տեսություն։ Բնական թվի բնույթի ուսումնասիրության վրա մեծ ազդեցություն է ունեցել նաև 19-րդ դարում ստեղծված բազմությունների տեսությունը։ Իհարկե, ստեղծված տեսություններում բնական թվերի և դրանց վրա գործողությունների հասկացություններն ավելի վերացական են դարձել, բայց դա միշտ ուղեկցում է առանձին փաստերի ընդհանրացման և համակարգման գործընթացին։ § 14. ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԱՔՍԻՈՄԱՏԻԿ ԿԱՌՈՒՑՈՒՄ. Ինչպես արդեն նշվեց, բնական թվերը ստացվում են առարկաները հաշվելով և մեծությունները չափելով։ Բայց եթե չափման ժամանակ ի հայտ են գալիս ոչ բնական թվեր, ապա հաշվարկը տանում է միայն բնական թվերի։ Հաշվարկը պահելու համար ձեզ հարկավոր է թվերի հաջորդականություն, որը սկսվում է մեկով և թույլ է տալիս Ձեզ կարող է հետաքրքրել | |
