Պետք չէ շտապել ընդհանուր հայտարարը |ջրերը մեկ տողով գրել. սովորողները հաճախ չեն գիտակցում, որ տրված կոտորակներն իրենց հետ փոխանակվում են ընդհանուր հայտարարով հավասար կոտորակներով:

Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով

Հաջորդ քայլը կոտորակի բազմապատկումն ամբողջ թվով ուսումնասիրելն է: Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով սահմանվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի բազմապատկումը։

Կոտորակի ամբողջ թվով բազմապատկումն ուսումնասիրելիս անհրաժեշտ է ուսանողների հետ հաստատել կոտորակի ամբողջ թվով բազմապատկելու գործողության սահմանումը որպես հավասար անդամների գումարում, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է բազմապատկվողին. ցույց տալ կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու նույնականությունը, կոտորակը մի քանի անգամ բազմապատկելը, տալ կոտորակը 1-ով բազմապատկելու սահմանումը. ցույց տալ կոտորակի կրճատման ռացիոնալ մեթոդ, որի համարիչը ներկայացնում է այն արտադրյալը, որին ուսանողներն առաջին անգամ հանդիպում են կոտորակն ամբողջ թվով բազմապատկելիս. սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել այս գործողությունը առաջադրանքների վրա. դիտարկել բազմապատկման հատուկ դեպքեր, օրինակ՝ կոտորակը բազմապատկել հայտարարին հավասար թվով. խառը թիվը բազմապատկելով ամբողջ թվով. Կոտորակի ամբողջ թվով բազմապատկման ուսումնասիրության խնդիրների վերը նշված ցանկը ցույց է տալիս, որ ամեն մի պարզ թվացող հարց մանրակրկիտ ուսումնասիրություն է պահանջում և որքան է առաջանում: լրացուցիչ առաջադրանքներայս հարցի հետ կապված։

Ահա այս թեմայի վերաբերյալ դասի պլանի օրինակ,

1) տնային աշխատանքների ստուգում.

2) Կոտորակների գումարման և հանման բանավոր վարժություններ.

3) Արտադրանքը թվի բաժանելու բանավոր օրինակներ.

4) կոտորակների կրճատում.

5) ամբողջ թվով բազմապատկման սահմանման կրկնությունը.

6) Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու սահմանում.

7) Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու մեկ գործողությամբ խնդիրների լուծումը »»

թիվ. Օրինակ՝ 1 մ3 սոճու փայտը կշռում է տոննա։ Գտե՛ք դրանցից 2 մ3 քաշը։

վառելափայտ (տոննայով), 7 մ3.

8) Ձևակերպե՛ք կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու կանոնը.

Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու համար բավական է կոտորակի համարիչը բազմապատկել այս թվով՝ թողնելով նույն հայտարարը։

9) Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու օրինակների լուծում.

10) Կազմի՛ր խնդիրներ, որոնց լուծումը կպահանջի բազմապատկում:

11) Տնային աշխատանք.

Այս պլանում տրված բանավոր վարժությունները՝ արտադրյալը թվի վրա բաժանելու և կոտորակների կրճատման վերաբերյալ, նպատակ ունեն նախապատրաստելու ուսանողներին արդարացնել այն կոտորակների կրճատումը, որոնցում արտադրյալը գտնվում է համարիչում: Աշակերտները հիշում են, թե ինչպես կարելի է արտադրյալը բաժանել թվի և կոտորակները փոքրացնելիս վարում են հետևյալ պատճառաբանությունը. կոտորակը փոքրացնելու համար պետք է համարիչն ու հայտարարը բաժանել նույն թվի. համարիչը արտադրանքն է. Արտադրյալը թվի վրա բաժանելու համար բավական է այս թվի վրա բաժանել գործոններից մեկը։ Ուստի կոտորակը փոքրացնելիս 10-ը և 25-ը բաժանում ենք 5-ի։

Վրա հաջորդ դասՈւսանողներին պետք է խնդրել համեմատել բազմապատկիչը և արտադրյալը մեծությամբ՝ օգտագործելով կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու մի քանի օրինակ: Սահմանել, որ կոտորակների, ինչպես նաև ամբողջ թվերի դեպքում կոտորակը մի քանի անգամ մեծացնելը նշանակում է այն բազմապատկել ամբողջ թվով։ Ձևի օրինակների դիտարկման հիման վրա

եզրակացություն է արվում կոտորակի արժեքի փոփոխության մասին՝ համարիչի մեծացումով կամ հայտարարի նվազմամբ տվյալ քանակով, և տրված է կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու որոշակի մեթոդ՝ հարմար դեպքի համար. երբ կոտորակի հայտարարը բաժանվում է տրված ամբողջ թվով.

Խառը թվի բազմապատկումն ամբողջ թվով ուսումնասիրելիս նախ դիտարկվում է երկու մեթոդ. Օրինակ:

Վերջին փաստարկները ցույց են տալիս բազմապատկման բաշխիչ օրենքի վավերությունը գումարի նկատմամբ, երբ անդամներից մեկը կոտորակ է: Ձևի օրինակ

և եզրակացնում են, որ խառը թիվը ամբողջ թվով բազմապատկելիս շատ դեպքերում ավելի հեշտ է ամբողջ թիվն ու կոտորակն առանձին-առանձին բազմապատկել ամբողջ թվով։

Կոտորակի բաժանումը ամբողջ թվի վրա

Կոտորակն ամբողջ թվով բազմապատկելուց հետո պետք է անցնել ամբողջ և կոտորակ ամբողջ թվով բաժանելուն, քանի որ թվի կոտորակը գտնելը, որը նախորդում է կոտորակի վրա բազմապատկմանը, պահանջում է բաժանել հայտարարի վրա։ Սա նշվում է մեծ մասում մեթոդական գրականություն. Բաժանման սահմանումը տրված է որպես բազմապատկման հակադարձ:

Քննենք մի օրինակ՝ 4։5։

Նախ՝ իրականացվում է դատողություն՝ 4-ը 5-ի բաժանելու համար պատկերացրեք յուրաքանչյուր միավորը, որը բաժանված է հինգի։ հավասար մասեր, ապա 4 միավորը կպարունակի 20 հինգերորդ, 20 հինգերորդը բաժանելով 5-ի, ստանում ենք այն, ինչ ստուգվում է.

Մենք գտել ենք մի կոտորակ, որը 5-ով բազմապատկելիս կստացվի 4։ Այսպիսով, բաժանումը ճիշտ է։ Եկեք գրենք.

Եզրակացություն. Երբ ամբողջ թիվը բաժանվում է ամբողջ թվի, ստացվում է կոտորակ, որի համարիչը հավասար է դիվիդենտին, իսկ հայտարարը բաժանարարն է։ Ընդհակառակը, ցանկացած կոտորակ կարելի է համարել որպես քանորդ՝ իր համարիչը հայտարարի վրա բաժանելուց։

Օրինակ, հավասար է 3-ի գործակիցը բաժանված 7-ի, քանի որ ·7=3:

Կոտորակն ամբողջ թվի վրա բաժանելու ուսումնասիրությունը սկսվում է կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու օրինակով, որի համար կազմվում է հակադարձ խնդիր։ Օրինակ:

հակադարձ առաջադրանք.

պահանջվում է գտնել այնպիսի կոտորակ, որը 4-ով բազմապատկելիս կտա արտադրյալը։ Նման կոտորակ կլինի, մենք գրում ենք.

Մի շարք նմանատիպ օրինակների դիտարկման արդյունքում ուսանողները գալիս են այն եզրակացության, որ կոտորակն ամբողջ թվի վրա բաժանելիս բավական է համարիչը բաժանել ամբողջ թվի՝ թողնելով նույն հայտարարը։ Դրանից հետո հարց է բարձրացվում՝ ի՞նչ անել այն դեպքում, երբ տրված կոտորակի համարիչը չի բաժանվում ամբողջ թվի։ Բազմապատկման երկրորդ եղանակը համարվում է. , հետևաբար.

§ 87. Կոտորակների գումարում.

Կոտորակներ ավելացնելը շատ նմանություններ ունի ամբողջ թվերի գումարման հետ: Կոտորակների գումարումը գործողություն է, որը բաղկացած է նրանից, որ մի քանի թվեր (տերմիններ) միավորվում են մեկ թվի մեջ (գումար), որը պարունակում է բոլոր միավորները և տերմինների միավորների կոտորակները:

Մենք հերթով կքննարկենք երեք դեպք.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների գումարում.
2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում.
3. Խառը թվերի գումարում.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների գումարում.

Դիտարկենք օրինակ՝ 1/5 + 2/5:

Վերցրեք AB հատվածը (նկ. 17), վերցրեք այն որպես միավոր և բաժանեք 5 հավասար մասերի, ապա այս հատվածի AC մասը հավասար կլինի AB հատվածի 1/5-ին, իսկ նույն հատվածի CD մասը։ հավասար կլինի 2/5 AB-ի:

Գծագրից երևում է, որ եթե վերցնենք AD հատվածը, ապա այն հավասար կլինի 3/5 AB; բայց AD հատվածը հենց AC և CD հատվածների գումարն է: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել.

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Հաշվի առնելով այս անդամները և ստացված գումարը, տեսնում ենք, որ գումարի համարիչը ստացվել է անդամների համարիչները գումարելով, իսկ հայտարարը մնացել է անփոփոխ։

Դրանից մենք ստանում ենք հետևյալ կանոնը. Նույն հայտարարով կոտորակները ավելացնելու համար պետք է գումարել նրանց համարիչները և թողնել նույն հայտարարը:

Դիտարկենք մի օրինակ.

2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում.

Ավելացնենք կոտորակները՝ 3/4 + 3/8 Նախ անհրաժեշտ է դրանք կրճատել մինչև ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը.

6/8 + 3/8 միջանկյալ հղումը չէր կարող գրվել; մենք այն գրել ենք այստեղ ավելի պարզության համար:

Այսպիսով, տարբեր հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելու համար նախ պետք է դրանք հասցնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարի, ավելացնել նրանց համարիչները և ստորագրել ընդհանուր հայտարարի վրա։

Դիտարկենք օրինակ (մենք կգրենք լրացուցիչ գործակիցներ համապատասխան կոտորակների վրա).

3. Խառը թվերի գումարում.

Ավելացնենք թվերը՝ 2 3 / 8 + 3 5 / 6:

Եկեք նախ մեր թվերի կոտորակային մասերը բերենք ընդհանուր հայտարարի և նորից գրենք.

Այժմ հաջորդականությամբ ավելացրեք ամբողջ և կոտորակային մասերը.

§ 88. Կոտորակների հանում.

Կոտորակների հանումը սահմանվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի հանումը։ Սա գործողություն է, որով, հաշվի առնելով երկու անդամի և դրանցից մեկի գումարը, գտնվում է մեկ այլ անդամ: Հերթով դիտարկենք երեք դեպք.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների հանում.
2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում:
3. Խառը թվերի հանում.

1. Նույն հայտարարներով կոտորակների հանում.

Դիտարկենք մի օրինակ.

13 / 15 - 4 / 15

Վերցնենք AB հատվածը (նկ. 18), վերցնենք որպես միավոր և բաժանենք 15 հավասար մասերի; ապա այս հատվածի AC մասը կլինի AB-ի 1/15-ը, իսկ նույն հատվածի AD մասը կհամապատասխանի 13/15 AB-ին: Եկեք մի կողմ դնենք մեկ այլ հատված ED, որը հավասար է 4/15 AB-ի:

Մենք պետք է 13/15-ից հանենք 4/15: Գծագրում դա նշանակում է, որ ED հատվածը պետք է հանվի AD հատվածից: Արդյունքում կմնա AE հատվածը, որը կազմում է AB հատվածի 9/15-ը։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել.

Մեր բերած օրինակը ցույց է տալիս, որ տարբերության համարիչը ստացվել է համարիչները հանելով, իսկ հայտարարը մնացել է նույնը։

Հետևաբար, նույն հայտարարներով կոտորակները հանելու համար պետք է հանել ենթահամարը մինուենդի համարիչից և թողնել նույն հայտարարը:

2. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանում:

Օրինակ. 3/4 - 5/8

Նախ, եկեք կրճատենք այս կոտորակները մինչև ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը.

Միջանկյալ հղումը 6 / 8 - 5 / 8 գրված է այստեղ պարզության համար, բայց հետագայում այն ​​կարելի է բաց թողնել:

Այսպիսով, կոտորակը կոտորակից հանելու համար նախ պետք է դրանք հասցնել ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի, ապա հանել ենթահամարը մինուենդի համարիչից և ստորագրել ընդհանուր հայտարարի տակ նրանց տարբերության տակ։

Դիտարկենք մի օրինակ.

3. Խառը թվերի հանում.

Օրինակ. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Եկեք հասցնենք մինուենդի կոտորակային մասերը և ենթակետը ամենացածր ընդհանուր հայտարարին.

Ամբողջից հանեցինք ամբողջ, իսկ կոտորակից՝ կոտորակ: Բայց լինում են դեպքեր, երբ սուբտրենդի կոտորակային մասը մեծ է մինուենդի կոտորակայինից։ Նման դեպքերում պետք է կրճատվածի ամբողջ թվից վերցնել մեկ միավոր, բաժանել այն մասերի, որոնցում արտահայտված է կոտորակային մասը և ավելացնել կրճատվածի կոտորակայինին։ Եվ այնուհետև հանումը կկատարվի նույն կերպ, ինչպես նախորդ օրինակում.

§ 89. Կոտորակների բազմապատկում.

Կոտորակների բազմապատկումն ուսումնասիրելիս կդիտարկենք հաջորդ հարցերը:

1. Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով:
2. Տրված թվի կոտորակի գտնելը.
3. Ամբողջ թվի բազմապատկումը կոտորակի վրա:
4. Կոտորակի բազմապատկումը կոտորակի վրա:
5. Խառը թվերի բազմապատկում.
6. Տոկոս հասկացությունը.
7. Տրված թվի տոկոսների հայտնաբերում. Դիտարկենք դրանք հաջորդաբար։

1. Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով:

Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելը նույն նշանակությունն ունի, ինչ ամբողջ թիվը ամբողջ թվով բազմապատկելը: Կոտորակը (բազմապատկիչ) բազմապատկելն ամբողջ թվով (բազմապատկիչ) նշանակում է կազմել միանման անդամների գումար, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ հավասար է բազմապատկիչին, իսկ անդամների թիվը՝ բազմապատկիչին։

Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է 1/9-ը բազմապատկել 7-ով, ապա դա կարելի է անել այսպես.

Մենք հեշտությամբ ստացանք արդյունքը, քանի որ գործողությունը կրճատվել էր նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման վրա: Հետևաբար,

Այս գործողության դիտարկումը ցույց է տալիս, որ կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելը համարժեք է այս կոտորակի մեծացմանն այնքան անգամ, որքան միավորներ կան ամբողջ թվի մեջ: Եվ քանի որ կոտորակի աճը ձեռք է բերվում կա՛մ նրա համարիչը մեծացնելով

կամ նվազեցնելով դրա հայտարարը , ապա մենք կարող ենք կա՛մ համարիչը բազմապատկել ամբողջ թվով, կա՛մ բաժանել հայտարարը նրա վրա, եթե այդպիսի բաժանում հնարավոր է։

Այստեղից մենք ստանում ենք կանոնը.

Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել այս ամբողջ թվով, իսկ հայտարարը թողնել նույնը, կամ, հնարավորության դեպքում, բաժանել հայտարարը այս թվի վրա՝ համարիչը թողնելով անփոփոխ։

Բազմապատկելիս հնարավոր են հապավումներ, օրինակ.

2. Տրված թվի կոտորակի գտնելը.Շատ խնդիրներ կան, որոնցում պետք է գտնել կամ հաշվարկել տրված թվի մի մասը: Այս առաջադրանքների և մյուսների միջև տարբերությունն այն է, որ դրանք տալիս են որոշ առարկաների կամ չափման միավորների թիվը, և դուք պետք է գտնեք այս թվի մի մասը, որը նույնպես նշված է այստեղ որոշակի կոտորակով: Ըմբռնումը հեշտացնելու համար նախ կբերենք նման խնդիրների օրինակներ, ապա կներկայացնենք դրանց լուծման եղանակը։

Առաջադրանք 1.Ես ունեի 60 ռուբլի; Այս գումարի 1/3-ը ես ծախսել եմ գրքեր գնելու վրա։ Որքա՞ն արժեն գրքերը:

Առաջադրանք 2.Գնացքը պետք է անցնի A և B քաղաքների միջև հեռավորությունը, որը հավասար է 300 կմ: Նա արդեն անցել է այդ տարածության 2/3-ը։ Քանի՞ կիլոմետր է սա:

Առաջադրանք 3.Գյուղում կա 400 տուն, 3/4-ը աղյուսե, մնացածը՝ փայտե։ Քանի՞ աղյուսե տուն կա:

Ահա այն բազմաթիվ խնդիրներից մի քանիսը, որոնց հետ մենք պետք է գործ ունենանք՝ տրված թվի կոտորակը գտնելու համար: Դրանք սովորաբար կոչվում են խնդիրներ՝ տրված թվի կոտորակը գտնելու համար։

Խնդրի լուծում 1. 60 ռուբլուց: Ես ծախսել եմ գրքերի 1/3-ը; Այսպիսով, գրքերի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է 60 թիվը բաժանել 3-ի.

Խնդիր 2 լուծում.Խնդրի իմաստն այն է, որ դուք պետք է գտնեք 300 կմ-ի 2/3-ը: Հաշվիր 300-ի առաջին 1/3-ը; դա ձեռք է բերվում 300 կմ 3-ի բաժանելով.

300: 3 = 100 (դա 300-ի 1/3-ն է):

300-ի երկու երրորդը գտնելու համար անհրաժեշտ է կրկնապատկել ստացված գործակիցը, այսինքն՝ բազմապատկել 2-ով.

100 x 2 = 200 (դա 300-ի 2/3-ն է):

Խնդրի լուծում 3.Այստեղ դուք պետք է որոշեք աղյուսե տների թիվը, որոնք կազմում են 400-ի 3/4-ը: Եկեք նախ գտնենք 400-ի 1/4-ը,

400: 4 = 100 (դա 400-ի 1/4-ն է):

400-ի երեք քառորդը հաշվարկելու համար ստացված գործակիցը պետք է եռապատկվի, այսինքն՝ բազմապատկվի 3-ով.

100 x 3 = 300 (դա 400-ի 3/4-ն է):

Ելնելով այս խնդիրների լուծումից՝ կարող ենք բխեցնել հետևյալ կանոնը.

Տրված թվի կոտորակի արժեքը գտնելու համար հարկավոր է այս թիվը բաժանել կոտորակի հայտարարի վրա և ստացված գործակիցը բազմապատկել նրա համարիչով։

3. Ամբողջ թվի բազմապատկումը կոտորակի վրա:

Ավելի վաղ (§ 26) հաստատվել էր, որ ամբողջ թվերի բազմապատկումը պետք է հասկանալ որպես նույնական տերմինների ավելացում (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20): Այս պարբերությունում (1-ին պարբերություն) սահմանվեց, որ կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելը նշանակում է գտնել այս կոտորակին հավասար միանման անդամների գումարը:

Երկու դեպքում էլ բազմապատկումը բաղկացած էր միանման անդամների գումարը գտնելուց:

Այժմ մենք անցնում ենք ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելուն: Այստեղ մենք կհանդիպենք այնպիսի, օրինակ, բազմապատկման՝ 9 2 / 3: Միանգամայն ակնհայտ է, որ բազմապատկման նախկին սահմանումը չի տարածվում այս դեպքի վրա։ Սա ակնհայտ է այն փաստից, որ մենք չենք կարող փոխարինել նման բազմապատկումը՝ գումարելով հավասար թվեր։

Սրա պատճառով մենք ստիպված կլինենք տալ բազմապատկման նոր սահմանում, այսինքն՝ այլ կերպ ասած՝ պատասխանել այն հարցին, թե ինչ պետք է հասկանալ կոտորակով բազմապատկելով, ինչպես պետք է հասկանալ այս գործողությունը։

Ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելու իմաստը պարզ է դառնում հետևյալ սահմանումից. բազմապատկել ամբողջ թիվը (բազմապատկիչը) կոտորակով (բազմապատկիչ) նշանակում է գտնել բազմապատկիչի այս կոտորակը:

Մասնավորապես, 9-ը 2/3-ով բազմապատկելը նշանակում է գտնել ինը միավորի 2/3-ը: Նախորդ պարբերությունում նման խնդիրները լուծվեցին. այնպես որ հեշտ է պարզել, որ մենք վերջում ենք 6-ով:

Բայց հիմա մի հետաքրքիր և կարևոր հարց է առաջանում՝ ինչու՞ առաջին հայացքից տարբեր գործունեությունինչպես գտնել գումարը հավասար թվերիսկ գտնելով թվի կոտորակը, թվաբանության մեջ նույն բառը կոչվում է «բազմապատկում».

Դա տեղի է ունենում, քանի որ նախորդ գործողությունը (թիվը մի քանի անգամ տերմիններով կրկնելը) և նոր գործողությունը (թվի կոտորակը գտնելը) պատասխան են տալիս միատարր հարցերի։ Սա նշանակում է, որ մենք այստեղ ելնում ենք այն նկատառումներից, որ միատարր հարցերը կամ առաջադրանքները լուծվում են միևնույն գործողությամբ։

Դա հասկանալու համար հաշվի առեք հետևյալ խնդիրը՝ «1 մ կտորի արժեքը 50 ռուբլի է։ Որքա՞ն կարժենա 4 մ նման կտորը։

Այս խնդիրը լուծվում է՝ բազմապատկելով ռուբլու քանակը (50) մետրերի թվով (4), այսինքն՝ 50 x 4 = 200 (ռուբլի):

Վերցնենք նույն խնդիրը, բայց դրա մեջ կտորի քանակը կարտացոլվի կոտորակային թվով. «1 մ կտորի արժեքը 50 ռուբլի է։ Որքա՞ն կարժենա նման կտորի 3/4 մ-ը:

Այս խնդիրը նույնպես պետք է լուծվի՝ բազմապատկելով ռուբլու քանակը (50) մետրերի քանակով (3/4):

Կարող եք նաև մի քանի անգամ փոխել դրա մեջ եղած թվերը՝ չփոխելով խնդրի իմաստը, օրինակ՝ վերցնել 9/10 մ կամ 2 3/10 մ և այլն։

Քանի որ այս խնդիրներն ունեն նույն բովանդակությունը և տարբերվում են միայն թվերով, դրանց լուծման ժամանակ օգտագործվող գործողություններն անվանում ենք նույն բառը՝ բազմապատկում։

Ինչպե՞ս է ամբողջ թիվը բազմապատկվում կոտորակի վրա:

Վերցնենք վերջին խնդրի մեջ հանդիպող թվերը.

Ըստ սահմանման՝ մենք պետք է գտնենք 50-ի 3/4-ը: Նախ գտնում ենք 50-ի 1/4-ը, իսկ հետո՝ 3/4-ը:

50-ի 1/4-ը 50/4 է;

50-ի 3/4-ը կազմում է.

Ուստի.

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ՝ 12 5 / 8 = ?

12-ի ​​1/8-ը 12/8 է,

12 թվի 5/8-ն է.

Հետևաբար,

Այստեղից մենք ստանում ենք կանոնը.

Ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է ամբողջ թիվը բազմապատկել կոտորակի համարիչով և այս արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ տվյալ կոտորակի հայտարարը ստորագրել որպես հայտարար։

Մենք գրում ենք այս կանոնը տառերով.

Այս կանոնը կատարելապես պարզ դարձնելու համար պետք է հիշել, որ կոտորակը կարելի է համարել որպես գործակից։ Հետևաբար, օգտակար է գտնված կանոնը համեմատել թիվը քանորդով բազմապատկելու կանոնի հետ, որը սահմանված է § 38-ում:

Պետք է հիշել, որ բազմապատկում կատարելուց առաջ պետք է անել (հնարավորության դեպքում) կրճատումներ, Օրինակ:

4. Կոտորակի բազմապատկումը կոտորակի վրա:Կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելն ունի նույն իմաստը, ինչ ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելը, այսինքն՝ կոտորակը կոտորակով բազմապատկելիս պետք է առաջին կոտորակի (բազմապատկիչ) կոտորակը գտնել բազմապատկիչում։

Այսինքն՝ 3/4-ը 1/2-ով (կեսով) բազմապատկելը նշանակում է գտնել 3/4-ի կեսը։

Ինչպե՞ս բազմապատկել կոտորակը կոտորակի վրա:

Օրինակ բերենք՝ 3/4 անգամ 5/7։ Սա նշանակում է, որ դուք պետք է գտնեք 5/7-ը 3/4-ից: Գտեք սկզբում 3/4-ի 1/7-ը, իսկ հետո՝ 5/7-ը

3/4-ի 1/7-ը կարտահայտվի այսպես.

5/7 համարները 3/4-ը կարտահայտվեն հետևյալ կերպ.

Այսպիսով,

Մեկ այլ օրինակ՝ 5/8 անգամ 4/9:

5/8-ի 1/9-ը,

4/9 թվեր 5/8 են.

Այսպիսով,

Այս օրինակներից կարելի է եզրակացնել հետևյալ կանոնը.

Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով և առաջին արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ երկրորդ արտադրյալը՝ արտադրյալի հայտարար։

Սա կանոն է ընդհանուր տեսարանկարելի է գրել այսպես.

Բազմապատկելիս անհրաժեշտ է (հնարավորության դեպքում) կրճատումներ անել։ Դիտարկենք օրինակներ.

5. Խառը թվերի բազմապատկում.Քանի որ խառը թվերը հեշտությամբ կարող են փոխարինվել ոչ պատշաճ կոտորակներով, այս հանգամանքը սովորաբար օգտագործվում է խառը թվերը բազմապատկելիս։ Սա նշանակում է, որ այն դեպքերում, երբ բազմապատկիչը կամ բազմապատկիչը կամ երկու գործակիցները արտահայտվում են խառը թվերով, ապա դրանք փոխարինվում են ոչ պատշաճ կոտորակներով։ Բազմապատկեք, օրինակ, խառը թվերը՝ 2 1/2 և 3 1/5: Դրանցից յուրաքանչյուրը վերածում ենք ոչ պատշաճ կոտորակի, ապա ստացված կոտորակները կբազմապատկենք կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու կանոնի համաձայն.

Կանոն.Խառը թվերը բազմապատկելու համար նախ պետք է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների, ապա բազմապատկել կոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելու կանոնի համաձայն։

Նշում.Եթե ​​գործոններից մեկն ամբողջ թիվ է, ապա բազմապատկումը կարող է իրականացվել բաշխման օրենքի հիման վրա հետևյալ կերպ.

6. Տոկոս հասկացությունը.Խնդիրներ լուծելիս և տարբեր գործնական հաշվարկներ կատարելիս մենք օգտագործում ենք բոլոր տեսակի կոտորակներ։ Բայց պետք է նկատի ունենալ, որ շատ քանակություններ իրենց համար ընդունում են ոչ թե որևէ, այլ բնական ստորաբաժանումներ։ Օրինակ՝ կարելի է վերցնել ռուբլու հարյուրերորդը (1/100), դա կլինի կոպեկ, երկու հարյուրերորդը՝ 2 կոպեկ, երեք հարյուրերորդը՝ 3 կոպեկ։ Դուք կարող եք վերցնել ռուբլու 1/10-ը, դա կլինի «10 կոպեկ, կամ մի լումա: Դուք կարող եք վերցնել ռուբլու քառորդը, այսինքն՝ 25 կոպեկ, կես ռուբլի, այսինքն՝ 50 կոպեկ (հիսուն կոպեկ): Բայց նրանք գործնականում չեն անում: Վերցրեք, օրինակ, 2/7 ռուբլի, քանի որ ռուբլին բաժանված չէ յոթերորդների:

Քաշի չափման միավորը, այսինքն՝ կիլոգրամը, թույլ է տալիս առաջին հերթին տասնորդական ստորաբաժանումներ, օրինակ՝ 1/10 կգ կամ 100 գ։ Եվ կիլոգրամի այնպիսի կոտորակներ, ինչպիսիք են 1/6, 1/11, 1/։ 13-ը հազվադեպ են:

Ընդհանուր առմամբ, մեր (մետրային) չափումները տասնորդական են և թույլ են տալիս տասնորդական ստորաբաժանումներ:

Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ չափազանց օգտակար և հարմար է բազմաթիվ դեպքերում օգտագործել նույն (միատեսակ) չափաքանակների բաժանման մեթոդը: Երկար տարիների փորձը ցույց է տվել, որ նման հիմնավորված բաժանումը «հարյուրավորների» բաժանումն է։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ կապված մարդկային պրակտիկայի ամենատարբեր ոլորտների հետ:

1. Գրքերի գինը նախորդ գնի 12/100-ով նվազել է.

Օրինակ. Գրքի նախկին գինը 10 ռուբլի է։ Նա իջավ 1 ռուբլով։ 20 կոպ.

2. Խնայբանկերը տարվա ընթացքում ավանդատուներին վճարում են խնայողությունների մեջ դրված գումարի 2/100-ը:

Օրինակ. Դրամարկղ է դրվում 500 ռուբլի, այս գումարից տարեկան եկամուտը կազմում է 10 ռուբլի:

3. Մեկ դպրոցի շրջանավարտների թիվը կազմել է սովորողների ընդհանուր թվի 5/100-ը։

ՕՐԻՆԱԿ Դպրոցում սովորել է ընդամենը 1200 աշակերտ, որոնցից 60-ն ավարտել է դպրոցը։

Թվի հարյուրերորդը կոչվում է տոկոս:.

«Տոկոս» բառը փոխառված է լատիներենիսկ նրա «ցենտ» արմատը նշանակում է հարյուր։ Նախադրյալի հետ միասին (pro centum) այս բառը նշանակում է «հարյուրի համար»: Այս արտահայտության իմաստը բխում է նրանից, որ սկզբում ի հին Հռոմտոկոսը այն գումարն էր, որը պարտապանը վճարում էր փոխատուին «յուրաքանչյուր հարյուրի համար»։ «Ցենտ» բառը հնչում է այսպիսի ծանոթ բառերով՝ ցենտներ (հարյուր կիլոգրամ), սանտիմետր (ասում են՝ սանտիմետր):

Օրինակ, փոխանակ ասենք, որ գործարանն արտադրել է իր արտադրած ամբողջ արտադրանքի 1/100-ը անցած մեկ ամսվա ընթացքում, կասենք այսպես՝ գործարանն անցյալ ամսվա ընթացքում տվել է մերժվածների մեկ տոկոսը։ Փոխանակ ասենք՝ գործարանն արտադրել է սահմանված պլանից 4/100-ով ավելի արտադրանք, մենք կասենք՝ գործարանը պլանը գերազանցել է 4 տոկոսով։

Վերոնշյալ օրինակները կարող են տարբեր կերպ արտահայտվել.

1. Գրքերի գինը նախորդ գնի համեմատ նվազել է 12 տոկոսով.

2. Խնայբանկերը ավանդատուներին վճարում են խնայողությունների մեջ ներդրված գումարի տարեկան 2 տոկոսը:

3. Մեկ դպրոցի շրջանավարտների թիվը դպրոցի բոլոր աշակերտների թվի 5 տոկոսն էր։

Տառը կրճատելու համար ընդունված է «տոկոս» բառի փոխարեն գրել % նշանը։

Այնուամենայնիվ, պետք է հիշել, որ % նշանը սովորաբար չի գրվում հաշվարկներում, այն կարելի է գրել խնդրի հայտարարության մեջ և վերջնական արդյունքում։ Հաշվարկներ կատարելիս պետք է այս պատկերակով ամբողջ թվի փոխարեն գրել 100 հայտարարով կոտորակ։

Դուք պետք է կարողանաք փոխարինել ամբողջ թիվը նշված պատկերակով 100 հայտարարով կոտորակով.

Ընդհակառակը, դուք պետք է սովորեք 100 հայտարար ունեցող կոտորակի փոխարեն ամբողջ թիվ գրել նշված պատկերակով.

7. Տրված թվի տոկոսների հայտնաբերում.

Առաջադրանք 1.Դպրոցը ստացել է 200 խմ. մ վառելափայտ, կեչու վառելափայտը կազմում է 30%: Որքա՞ն կեչու փայտ կար:

Այս խնդրի իմաստն այն է, որ կեչու վառելափայտը դպրոցին հասցված վառելափայտի միայն մի մասն էր, և այս մասն արտահայտվում է 30/100 կոտորակի տեսքով: Այսպիսով, մեր առջեւ խնդիր է դրված գտնել թվի կոտորակը։ Այն լուծելու համար մենք պետք է 200-ը բազմապատկենք 30/100-ով (թվի կոտորակը գտնելու առաջադրանքները լուծվում են թիվը բազմապատկելով կոտորակի վրա):

Այսպիսով, 200-ի 30%-ը հավասար է 60-ի:

Այս խնդրի մեջ հանդիպող 30/100 կոտորակը կարող է կրճատվել 10-ով: Այս կրճատումը հնարավոր կլիներ իրականացնել հենց սկզբից. խնդրի լուծումը չէր փոխվի.

Առաջադրանք 2.Ճամբարում 300 երեխա կար տարբեր տարիքի. 11 տարեկան երեխաները կազմել են 21%, 12 տարեկան երեխաները՝ 61%, վերջապես 13 տարեկանները՝ 18%։ Յուրաքանչյուր տարիքի քանի՞ երեխա կար ճամբարում:

Այս խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է կատարել երեք հաշվարկ, այսինքն՝ հաջորդաբար գտնել 11 տարեկան, ապա 12 տարեկան և վերջապես 13 տարեկան երեխաների թիվը։

Այսպիսով, այստեղ անհրաժեշտ կլինի երեք անգամ գտնել թվի կոտորակը։ Եկեք անենք դա:

1) Քանի՞ երեխա է եղել 11 տարեկան:

2) Քանի՞ երեխա է եղել 12 տարեկան:

3) Քանի՞ երեխա է եղել 13 տարեկան:

Խնդիրը լուծելուց հետո օգտակար է գումարել գտնված թվերը. դրանց գումարը պետք է լինի 300:

63 + 183 + 54 = 300

Պետք է ուշադրություն դարձնել նաև այն փաստին, որ խնդրի պայմանում տրված տոկոսների գումարը 100 է.

21% + 61% + 18% = 100%

Սա խոսում է այն մասին, որ ճամբարում երեխաների ընդհանուր թիվը ընդունվել է 100%:

3 ա դա չա 3.Աշխատողն ամսական ստանում էր 1200 ռուբլի։ Դրանցից 65%-ը նա ծախսել է սննդի վրա, 6%-ը՝ բնակարանի և ջեռուցման, 4%-ը՝ գազի, լույսի և ռադիոյի վրա, 10%-ը՝ մշակութային կարիքների համար, իսկ 15%-ը՝ խնայել է։ Որքա՞ն գումար է ծախսվել առաջադրանքում նշված կարիքների համար:

Այս խնդիրը լուծելու համար պետք է 5 անգամ գտնել 1200 թվի կոտորակը, եկեք դա անենք։

1) Որքա՞ն գումար է ծախսվում սննդի վրա: Առաջադրանքում ասվում է, որ այս ծախսը կազմում է ամբողջ վաստակի 65%-ը, այսինքն՝ 1200 թվի 65/100-ը։ Եկեք հաշվարկը կատարենք.

2) Որքա՞ն գումար է վճարվել ջեռուցմամբ բնակարանի համար. Վիճելով նախորդի նման՝ հանգում ենք հետևյալ հաշվարկին.

3) Որքա՞ն գումար եք վճարել գազի, էլեկտրաէներգիայի և ռադիոյի համար:

4) Որքա՞ն գումար է ծախսվում մշակութային կարիքների համար:

5) Որքա՞ն գումար է խնայել աշխատողը:

Ստուգման համար օգտակար է ավելացնել այս 5 հարցերում հայտնաբերված թվերը: Գումարը պետք է լինի 1200 ռուբլի: Բոլոր եկամուտները վերցվում են որպես 100%, ինչը հեշտ է ստուգել՝ գումարելով խնդրի հայտարարագրում նշված տոկոսները:

Մենք երեք խնդիր ենք լուծել. Չնայած այն հանգամանքին, որ այդ խնդիրները տարբեր բաների մասին էին (դպրոցի համար վառելափայտի առաքում, տարբեր տարիքի երեխաների թիվը, աշխատողի ծախսերը), դրանք լուծվում էին նույն ձևով։ Դա տեղի ունեցավ, քանի որ բոլոր առաջադրանքներում անհրաժեշտ էր գտնել տրված թվերի մի քանի տոկոսը։

§ 90. Կոտորակների բաժանում.

Կոտորակների բաժանումն ուսումնասիրելիս կքննարկենք հետևյալ հարցերը.

1. Ամբողջ թիվը բաժանիր ամբողջ թվի։
2. Կոտորակի բաժանումը ամբողջ թվի վրա
3. Ամբողջ թվի բաժանումը կոտորակի վրա.
4. Կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա:
5. Խառը թվերի բաժանում.
6. Գտնել թիվ՝ հաշվի առնելով նրա կոտորակը:
7. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Դիտարկենք դրանք հաջորդաբար։

1. Ամբողջ թիվը բաժանիր ամբողջ թվի։

Ինչպես նշվեց ամբողջ թվերի բաժնում, բաժանումը այն գործողությունն է, որը բաղկացած է նրանից, որ հաշվի առնելով երկու գործոնի (շահաբաժնի) և այս գործոններից մեկի (բաժանարարի) արտադրյալը, հայտնաբերվում է մեկ այլ գործոն:

Ամբողջ թվի բաժանումը ամբողջ թվի վրա մենք դիտարկել ենք ամբողջ թվերի բաժնում։ Այնտեղ հանդիպեցինք բաժանման երկու դեպք՝ բաժանում առանց մնացորդի, կամ «ամբողջությամբ» (150: 10 = 15) և բաժանում մնացորդով (100: 9 = 11 և 1 մնացորդում): Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել, որ ամբողջ թվերի ոլորտում ճշգրիտ բաժանումը միշտ չէ, որ հնարավոր է, քանի որ դիվիդենտը միշտ չէ, որ բաժանարարի և ամբողջ թվի արտադրյալն է։ Կոտորակի վրա բազմապատկման ներդրումից հետո կարելի է համարել ամբողջ թվերի բաժանման ցանկացած դեպք (բացառվում է միայն զրոյի բաժանումը)։

Օրինակ, 7-ը 12-ի բաժանելը նշանակում է գտնել մի թիվ, որի արտադրյալի 12-ի բազմապատիկը կլինի 7: Այս թիվը 7/12 կոտորակն է, քանի որ 7/12 12 = 7: Մեկ այլ օրինակ՝ 14: 25 = 14/25, քանի որ 14/25 25 = 14:

Այսպիսով, ամբողջ թիվն ամբողջ թվի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է կազմել կոտորակ, որի համարիչը հավասար է դիվիդենտին, իսկ հայտարարը բաժանարարն է։

2. Կոտորակի բաժանումը ամբողջ թվի վրա.

6/7 կոտորակը բաժանեք 3-ի: Համաձայն վերևում տրված բաժանման սահմանման՝ այստեղ ունենք արտադրյալը (6/7) և գործակիցներից մեկը (3); պահանջվում է գտնել այնպիսի երկրորդ գործակից, որը 3-ով բազմապատկելու դեպքում տվյալ արտադրյալին կտա 6/7: Ակնհայտ է, որ այն պետք է լինի երեք անգամ փոքր, քան այս ապրանքը: Սա նշանակում է, որ մեր առջեւ դրված խնդիրն էր 6/7 կոտորակը կրճատել 3 անգամ։

Մենք արդեն գիտենք, որ կոտորակի կրճատումը կարող է իրականացվել կա՛մ նրա համարիչը նվազեցնելու, կա՛մ նրա հայտարարի մեծացման միջոցով։ Հետևաբար, կարող եք գրել.

Այս դեպքում 6 համարիչը բաժանվում է 3-ի, ուստի համարիչը պետք է կրճատել 3 անգամ։

Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 5/8 բաժանված 2-ի: Այստեղ 5 համարիչը չի բաժանվում 2-ի, ինչը նշանակում է, որ հայտարարը պետք է բազմապատկվի այս թվով.

Ելնելով դրանից՝ կարող ենք սահմանել կանոնը. Կոտորակը ամբողջ թվի վրա բաժանելու համար պետք է կոտորակի համարիչը բաժանել այդ ամբողջ թվի վրա.(Եթե հնարավոր է), թողնելով նույն հայտարարը, կամ կոտորակի հայտարարը բազմապատկել այս թվով՝ թողնելով նույն համարիչը։

3. Ամբողջ թվի բաժանումը կոտորակի վրա.

Թող պահանջվի 5-ը բաժանել 1/2-ի, այսինքն՝ գտնել մի թիվ, որը 1/2-ով բազմապատկելուց հետո կտա արտադրյալը 5: Ակնհայտ է, որ այս թիվը պետք է լինի 5-ից մեծ, քանի որ 1/2-ը ճիշտ կոտորակ է, իսկ երբ թիվը բազմապատկվում է պատշաճ կոտորակի վրա, արտադրյալը պետք է փոքր լինի բազմապատկիչից: Որպեսզի ավելի պարզ լինի, եկեք գրենք մեր գործողությունները հետևյալ կերպ. 5: 1 / 2 = X , ուրեմն x 1/2 \u003d 5.

Պետք է գտնել այդպիսի թիվ X , որը 1/2-ով բազմապատկելու դեպքում կտա 5։ Քանի որ որոշակի թվի 1/2-ով բազմապատկելը նշանակում է գտնել այս թվի 1/2-ը, ուրեմն՝ անհայտ թվի 1/2-ը։ X 5 է, իսկ ամբողջ թիվը X երկու անգամ ավելի, այսինքն՝ 5 2 \u003d 10:

Այսպիսով, 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Եկեք ստուգենք.

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Թող պահանջվի 6-ը բաժանել 2/3-ի: Նախ փորձենք գտնել ցանկալի արդյունքը՝ օգտագործելով գծագիրը (նկ. 19):

Նկ.19

Գծի՛ր AB հատված, որը հավասար է որոշ միավորների 6-ին և յուրաքանչյուր միավոր բաժանի՛ր 3 հավասար մասերի: Յուրաքանչյուր միավորում AB ամբողջ հատվածի երեք երրորդը (3/3) 6 անգամ ավելի մեծ է, այսինքն. ե.18/3. Փոքր փակագծերի օգնությամբ միացնում ենք 2-ի ստացված 18 հատված; Կլինի ընդամենը 9 հատված։ Սա նշանակում է, որ 2/3 կոտորակը պարունակվում է b միավորներում 9 անգամ, կամ, այլ կերպ ասած, 2/3 կոտորակը 9 անգամ փոքր է 6 ամբողջ միավորից։ Հետևաբար,

Ինչպե՞ս ստանալ այս արդյունքը առանց գծագրի՝ օգտագործելով միայն հաշվարկները: Պահանջվում է 6-ը բաժանել 2/3-ի, այսինքն՝ պետք է պատասխանել այն հարցին, թե քանի անգամ է 2/3-ը պարունակում 6-ում։ Նախ պարզենք՝ քանի՞ անգամ է 1/3-ը։ պարունակվում է 6-ում Ամբողջ միավորում` 3 երրորդ, իսկ 6 միավորում` 6 անգամ ավելի, այսինքն` 18 երրորդ; Այս թիվը գտնելու համար մենք պետք է 6-ը բազմապատկենք 3-ով: Այսպիսով, 1/3-ը պարունակվում է b միավորներում 18 անգամ, իսկ 2/3-ը պարունակում է b միավորներում ոչ թե 18 անգամ, այլ կիսով չափ, այսինքն՝ 18:2 = 9: Հետևաբար, 6-ը 2/3-ի բաժանելիս մենք արեցինք հետևյալը.

Այստեղից ստանում ենք ամբողջ թիվը կոտորակի վրա բաժանելու կանոնը։ Ամբողջ թիվը կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է այս ամբողջ թիվը բազմապատկել տվյալ կոտորակի հայտարարով և այս արտադրյալը դարձնելով համարիչ՝ բաժանել այն տվյալ կոտորակի համարիչի վրա։

Մենք գրում ենք կանոնը տառերով.

Այս կանոնը կատարելապես պարզ դարձնելու համար պետք է հիշել, որ կոտորակը կարելի է համարել որպես գործակից։ Հետևաբար, օգտակար է գտնված կանոնը համեմատել թվի քանորդով բաժանելու կանոնի հետ, որը սահմանված էր § 38-ում: Նկատենք, որ այնտեղ նույն բանաձևն է ստացվել.

Բաժանելիս հնարավոր են հապավումներ, օրինակ.

4. Կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա:

Թող պահանջվի 3/4-ը բաժանել 3/8-ի։ Ի՞նչ կնշանակի այն թիվը, որը կստացվի բաժանման արդյունքում. Այն կպատասխանի այն հարցին, թե քանի անգամ է 3/8 կոտորակը պարունակվում 3/4 կոտորակի մեջ: Այս հարցը հասկանալու համար կատարենք գծանկար (նկ. 20):

Վերցրեք AB հատվածը, վերցրեք այն որպես միավոր, բաժանեք 4 հավասար մասերի և նշեք այդպիսի 3 մասեր։ AC հատվածը հավասար կլինի AB հատվածի 3/4-ին: Այժմ չորս սկզբնական հատվածներից յուրաքանչյուրը կիսենք կիսով չափ, այնուհետև AB հատվածը կբաժանվի 8 հավասար մասերի և յուրաքանչյուր այդպիսի մաս հավասար կլինի AB հատվածի 1/8-ին։ Նման 3 հատված միացնում ենք աղեղներով, ապա AD և DC հատվածներից յուրաքանչյուրը հավասար կլինի AB հատվածի 3/8-ին։ Գծանկարը ցույց է տալիս, որ 3/8-ին հավասար հատվածը պարունակվում է 3/4-ին հավասար հատվածում ուղիղ 2 անգամ; Այսպիսով, բաժանման արդյունքը կարելի է գրել այսպես.

3 / 4: 3 / 8 = 2

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ. Թող պահանջվի 15/16-ը բաժանել 3/32-ի.

Մենք կարող ենք այսպես հիմնավորել՝ պետք է գտնել մի թիվ, որը 3/32-ով բազմապատկելուց հետո կտա 15/16-ի հավասար արտադրյալ։ Հաշվարկները գրենք այսպես.

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 անհայտ համար X կազմել 15/16

1/32 անհայտ համար X է,

32 / 32 համարներ X դիմահարդարում .

Հետևաբար,

Այսպիսով, կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկել երկրորդի հայտարարով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկել երկրորդի համարիչով և առաջին արտադրյալը դարձնել համարիչ և երկրորդը հայտարարը.

Տառերով գրենք կանոնը.

Բաժանելիս հնարավոր են հապավումներ, օրինակ.

5. Խառը թվերի բաժանում.

Խառը թվերը բաժանելիս նախ պետք է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների, ապա ստացված կոտորակները բաժանել կոտորակային թվերի բաժանման կանոնների համաձայն։ Դիտարկենք մի օրինակ.

Խառը թվերը փոխարկեք անպատշաճ կոտորակների.

Հիմա եկեք բաժանենք.

Այսպիսով, խառը թվերը բաժանելու համար անհրաժեշտ է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների և այնուհետև բաժանել ըստ կոտորակների բաժանման կանոնի։

6. Գտնել թիվ՝ հաշվի առնելով նրա կոտորակը:

Կոտորակների վերաբերյալ տարբեր առաջադրանքների շարքում երբեմն կան այնպիսիք, որոնցում տրվում է անհայտ թվի ինչ-որ կոտորակի արժեքը և պահանջվում է գտնել այդ թիվը: Խնդիրների այս տեսակը հակադարձ կլինի տվյալ թվի կոտորակ գտնելու խնդրին. այնտեղ տրվել է մի թիվ և պահանջվել է գտնել այս թվի ինչ-որ կոտորակ, այստեղ տրված է թվի կոտորակը և պահանջվում է գտնել այս թիվը: Այս միտքն էլ ավելի պարզ կդառնա, եթե դիմենք այս տեսակի խնդրի լուծմանը։

Առաջադրանք 1.Առաջին օրը ապակեպատները ապակեպատել են 50 պատուհան, որը կազմում է կառուցված տան բոլոր պատուհանների 1/3-ը։ Քանի՞ պատուհան կա այս տանը:

Լուծում.Խնդիրն ասում է, որ 50 ապակեպատ պատուհանները կազմում են տան բոլոր պատուհանների 1/3-ը, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ 3 անգամ ավելի շատ պատուհաններ կան, այսինքն.

Տունն ուներ 150 պատուհան։

Առաջադրանք 2.Խանութում վաճառվել է 1500 կգ ալյուր, որը կազմում է խանութի ալյուրի ընդհանուր պաշարի 3/8-ը։ Որքա՞ն է եղել խանութի ալյուրի սկզբնական պաշարը:

Լուծում.Խնդրի վիճակից երևում է, որ վաճառված 1500 կգ ալյուրը կազմում է ընդհանուր պաշարի 3/8-ը. սա նշանակում է, որ այս պաշարի 1/8-ը կլինի 3 անգամ պակաս, այսինքն՝ այն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է 1500-ը կրճատել 3 անգամ.

1500: 3 = 500 (դա բաժնետոմսի 1/8-ն է):

Ակնհայտ է, որ ամբողջ պաշարը 8 անգամ ավելի մեծ կլինի: Հետևաբար,

500 8 \u003d 4000 (կգ):

Խանութում ալյուրի նախնական պաշարը կազմել է 4000 կգ։

Այս խնդրի դիտարկումից կարելի է եզրակացնել հետևյալ կանոնը.

Թիվն իր կոտորակի տրված արժեքով գտնելու համար բավական է այդ արժեքը բաժանել կոտորակի համարիչի վրա և արդյունքը բազմապատկել կոտորակի հայտարարով։

Մենք լուծեցինք երկու խնդիր՝ հաշվի առնելով թվի կոտորակը: Նման խնդիրները, ինչպես հատկապես լավ երևում է վերջինից, լուծվում են երկու գործողությամբ՝ բաժանում (երբ մի մասը գտնվում է) և բազմապատկում (երբ գտնվում է ամբողջ թիվը)։

Սակայն կոտորակների բաժանումն ուսումնասիրելուց հետո վերը նշված խնդիրները կարող են լուծվել մեկ գործողությամբ, այն է՝ բաժանումը կոտորակի վրա:

Օրինակ, վերջին խնդիրը կարող է լուծվել մեկ գործողությամբ այսպես.

Հետագայում մեկ գործողության՝ բաժանման մեջ թիվն իր կոտորակով գտնելու խնդիրը կլուծենք։

7. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Այս առաջադրանքներում ձեզ անհրաժեշտ կլինի գտնել թիվ՝ իմանալով այս թվի մի քանի տոկոսը:

Առաջադրանք 1.Այս տարվա սկզբին խնայբանկից ստացել եմ 60 ռուբլի։ եկամուտ այն գումարից, որը ես ներդրել եմ մեկ տարի առաջ խնայողությունների մեջ: Որքա՞ն գումար եմ դրել խնայբանկում: (Դրամարկղերը ավանդատուներին տալիս են տարեկան եկամտի 2%-ը):

Խնդրի իմաստն այն է, որ որոշակի գումար իմ կողմից դրվել է խնայբանկում և մեկ տարի պառկել։ Մեկ տարի անց ես նրանից 60 ռուբլի ստացա։ եկամուտ, որը կազմում է իմ ներդրած գումարի 2/100-ը։ Որքա՞ն գումար եմ ներդրել:

Հետևաբար, իմանալով այս փողի երկու ձևով (ռուբլով և կոտորակներով) հատվածը, մենք պետք է գտնենք ամբողջ, դեռևս անհայտ գումարը։ Սա սովորական խնդիր է՝ գտնելու թիվ՝ հաշվի առնելով նրա կոտորակը: Բաժանմամբ լուծվում են հետևյալ խնդիրները.

Այսպիսով, խնայբանկում 3000 ռուբլի է դրվել։

Առաջադրանք 2.Երկու շաբաթվա ընթացքում ձկնորսները ամսական պլանը կատարել են 64%-ով՝ պատրաստելով 512 տոննա ձուկ։ Ո՞րն էր նրանց ծրագիրը:

Խնդրի վիճակից հայտնի է դառնում, որ ձկնորսներն ավարտել են հատակագծի մի մասը։ Այս մասը հավասար է 512 տոննայի, ինչը կազմում է պլանի 64%-ը։ Քանի տոննա ձուկ պետք է հավաքել ըստ պլանի, մենք չգիտենք։ Խնդրի լուծումը կայանալու է այս թիվը գտնելու մեջ։

Նման խնդիրները լուծվում են բաժանելով.

Այսպիսով, ըստ ծրագրի, պետք է պատրաստել 800 տոննա ձուկ։

Առաջադրանք 3.Գնացքը Ռիգայից գնացել է Մոսկվա։ Երբ նա անցավ 276-րդ կիլոմետրը, ուղևորներից մեկը հարցրեց անցնող դիրիժորին, թե որքա՞նն են անցել ճանապարհորդությունից։ Դրան դիրիժորը պատասխանեց. «Մենք արդեն ծածկել ենք ամբողջ ճանապարհի 30%-ը»: Որքա՞ն է Ռիգա և Մոսկվա միջև հեռավորությունը:

Խնդրի վիճակից երեւում է, որ Ռիգա-Մոսկվա ճանապարհի 30%-ը 276 կմ է։ Մենք պետք է գտնենք այս քաղաքների միջև եղած ողջ հեռավորությունը, այսինքն՝ այս մասի համար գտնենք ամբողջը.

§ 91. Փոխադարձ թվեր. Բաժանման փոխարինում բազմապատկմամբ:

Վերցրեք 2/3 կոտորակը և համարիչը վերադասավորեք հայտարարի տեղը, ստանում ենք 3/2։ Մենք ստացանք կոտորակ, այս մեկի փոխադարձը:

Տրվածի փոխադարձ կոտորակ ստանալու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը դնել հայտարարի տեղում, իսկ հայտարարը` համարիչի տեղում: Այսպիսով, մենք կարող ենք ստանալ կոտորակ, որը փոխադարձ է ցանկացած կոտորակի: Օրինակ:

3/4, հակադարձ 4/3; 5/6, հակադարձ 6/5

Այն երկու կոտորակները, որոնք ունեն այն հատկությունը, որ առաջինի համարիչը երկրորդի հայտարարն է, իսկ առաջինի հայտարարը երկրորդի համարիչը, կոչվում են. փոխադարձ հակադարձ.

Հիմա եկեք մտածենք, թե որ կոտորակը կլինի 1/2-ի փոխադարձը։ Ակնհայտ է, որ դա կլինի 2/1, կամ պարզապես 2: Փնտրելով սրա փոխադարձը, մենք ստացանք ամբողջ թիվ: Եվ այս դեպքը մեկուսացված չէ. ընդհակառակը, 1 (մեկ) համարիչ ունեցող բոլոր կոտորակների համար փոխադարձները կլինեն ամբողջ թվեր, օրինակ.

1/3, հակադարձ 3; 1/5, հակադարձ 5

Քանի որ փոխադարձներ գտնելիս հանդիպել ենք նաև ամբողջ թվերի հետ, ապագայում չենք խոսելու փոխադարձների, այլ փոխադարձների մասին։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես գրել ամբողջ թվի փոխադարձը: Կոտորակների համար դա լուծվում է պարզապես. անհրաժեշտ է համարիչի տեղում դնել հայտարարը: Նույն կերպ, դուք կարող եք ստանալ ամբողջ թվի փոխադարձը, քանի որ ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ունենալ 1 հայտարար: Հետևաբար, 7-ի փոխադարձությունը կլինի 1/7, քանի որ 7 \u003d 7/1; 10 թվի համար հակառակը 1/10 է, քանի որ 10 = 10/1

Այս միտքը կարելի է այլ կերպ արտահայտել. Տրված թվի փոխադարձությունը ստացվում է մեկը տրված թվի վրա բաժանելով. Այս պնդումը ճշմարիտ է ոչ միայն ամբողջ թվերի, այլև կոտորակների համար։ Իսկապես, եթե ուզում եք գրել մի թիվ, որը 5/9 կոտորակի փոխադարձ է, ապա մենք կարող ենք վերցնել 1-ը և այն բաժանել 5/9-ի, այսինքն.

Հիմա մատնանշենք մեկը սեփականությունփոխադարձ փոխադարձ թվեր, որոնք օգտակար կլինեն մեզ համար. փոխադարձ փոխադարձ թվերի արտադրյալը հավասար է մեկի։Իսկապես:

Օգտագործելով այս հատկությունը՝ մենք կարող ենք փոխադարձներ գտնել հետևյալ կերպ. Գտնենք 8-ի փոխադարձությունը։

Նշենք տառով X , ապա 8 X = 1, հետևաբար X = 1/8. Գտնենք մեկ այլ թիվ՝ 7/12-ի հակադարձ թիվը, նշանակենք տառով X , ապա 7/12 X = 1, հետևաբար X = 1:7 / 12 կամ X = 12 / 7 .

Մենք այստեղ ներկայացրեցինք փոխադարձ թվերի հայեցակարգը, որպեսզի մի փոքր լրացնենք կոտորակների բաժանման մասին տեղեկատվությունը:

Երբ 6 թիվը բաժանում ենք 3/5-ի, ապա անում ենք հետևյալը.

Վճարել Հատուկ ուշադրությունարտահայտությանը և համեմատի՛ր տրվածի հետ.

Եթե ​​արտահայտությունը վերցնենք առանձին-առանձին, առանց նախորդի հետ կապի, ապա հնարավոր չէ լուծել այն հարցը, թե որտեղից է այն առաջացել՝ 6-ը 3/5-ի բաժանելուց, թե՞ 6-ը 5/3-ով բազմապատկելուց։ Երկու դեպքում էլ արդյունքը նույնն է. Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել որ մի թիվը մյուսի վրա բաժանելը կարելի է փոխարինել շահաբաժինը բաժանարարի փոխադարձով բազմապատկելով։

Ստորև բերված օրինակները լիովին հաստատում են այս եզրակացությունը։

Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Այս գործողությունը շատ ավելի գեղեցիկ է, քան գումարում-հանումը: Քանի որ դա ավելի հեշտ է: Հիշեցնում եմ ձեզ՝ կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է բազմապատկել համարիչները (սա կլինի արդյունքի համարիչը) և հայտարարները (սա կլինի հայտարարը): Այն է:

Օրինակ:

Ամեն ինչ չափազանց պարզ է. Եվ խնդրում եմ ընդհանուր հայտարար մի փնտրեք։ Այստեղ դա պետք չէ...

Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար հարկավոր է շրջել երկրորդ(սա կարևոր է) կոտորակ և բազմապատկեք դրանք, այսինքն.

Օրինակ:

Եթե ​​ամբողջ թվերով և կոտորակներով բազմապատկելը կամ բաժանելը բռնվում է, լավ է: Ինչպես գումարման դեպքում, մենք ամբողջ թվից կոտորակ ենք կազմում, որի միավորը հայտարարի մեջ է, և գնացեք: Օրինակ:

Ավագ դպրոցում հաճախ պետք է գործ ունենալ եռահարկ (կամ նույնիսկ չորսհարկանի) կոտորակների հետ: Օրինակ:

Ինչպե՞ս այս կոտորակը բերել պատշաճ ձևի: Այո, շատ հեշտ! Օգտագործեք բաժանումը երկու կետով.

Բայց մի մոռացեք բաժանման կարգի մասին: Ի տարբերություն բազմապատկման, սա շատ կարևոր է այստեղ: Իհարկե, մենք չենք շփոթի 4:2 կամ 2:4: Բայց եռահարկ ֆրակցիայում հեշտ է սխալվել։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, օրինակ.

Առաջին դեպքում (արտահայտությունը ձախ կողմում).

Երկրորդում (արտահայտությունը աջ կողմում).

Զգո՞ւմ եք տարբերությունը: 4 և 1/9

Ո՞րն է բաժանման կարգը: Կամ փակագծեր, կամ (ինչպես այստեղ) հորիզոնական գծիկների երկարությունը: Զարգացնել աչքը. Իսկ եթե փակագծեր կամ գծիկներ չկան, օրինակ՝

ապա բաժանել-բազմապատկել հերթականությամբ, ձախից աջ!

Եվ ևս մեկ շատ պարզ և կարևոր հնարք. Դիպլոմներով գործողություններում դա ձեզ հարմար կլինի: Բաժանենք միավորը ցանկացած կոտորակի վրա, օրինակ՝ 13/15-ի.

Կրակոցը շրջվել է։ Եվ դա միշտ էլ լինում է։ 1-ը որևէ կոտորակի վրա բաժանելիս ստացվում է նույն կոտորակը, միայն շրջված:

Դա բոլոր գործողություններն են կոտորակների հետ: Բանը բավականին պարզ է, բայց տալիս է ավելի քան բավարար սխալներ: Նշում գործնական խորհուրդներ, և դրանք (սխալները) ավելի քիչ կլինեն:

Գործնական խորհուրդներ.

1. Կոտորակային արտահայտությունների հետ աշխատելիս ամենակարևորը ճշգրտությունն ու ուշադիր լինելն է: Սրանք սովորական բառեր չեն, բարի ցանկություններ չեն: Սա խիստ անհրաժեշտություն է։ Կատարեք բոլոր հաշվարկները քննության վրա որպես լիարժեք առաջադրանք, կենտրոնացվածությամբ և հստակությամբ: Ավելի լավ է սևագրում երկու հավելյալ տող գրել, քան գլխի մեջ հաշվելիս խառնաշփոթ անել։

2. Հետ օրինակներում տարբեր տեսակներկոտորակներ - գնալ սովորական կոտորակների:

3. Մենք կրճատում ենք բոլոր կոտորակները մինչև կանգառը:

4. Բազմահարկ կոտորակային արտահայտություններմենք կրճատում ենք սովորականների՝ օգտագործելով բաժանումը երկու կետով (մենք հետևում ենք բաժանման կարգին):

5. Մենք մեր մտքում միավորը բաժանում ենք կոտորակի՝ պարզապես կոտորակը շուռ տալով։

Ահա այն առաջադրանքները, որոնք դուք պետք է կատարեք: Պատասխանները տրվում են բոլոր առաջադրանքներից հետո: Օգտագործեք այս թեմայի նյութերը և գործնական խորհուրդները: Գնահատեք, թե քանի օրինակ կարող եք ճիշտ լուծել: Առաջին անգամ! Առանց հաշվիչի! Եվ ճիշտ եզրակացություններ արեք...

Հիշեք ճիշտ պատասխանը ստացված երկրորդ (հատկապես երրորդ) անգամից - չի հաշվում:Այդպիսին է դաժան կյանքը։

Այսպիսով, լուծել քննական ռեժիմով ! Սա, ի դեպ, քննության նախապատրաստություն է։ Մենք լուծում ենք օրինակ, ստուգում ենք, լուծում ենք հետևյալը. Մենք ամեն ինչ որոշեցինք՝ նորից ստուգեցինք առաջինից մինչև վերջինը։ Բայց միայն Հետոնայեք պատասխաններին.

Հաշվարկել.

Դուք որոշեցի՞ք։

Փնտրում եք ձեր պատասխաններին համապատասխանող պատասխաններ: Կոնկրետ ես դրանք գրել եմ խառնաշփոթ, այսպես ասած, գայթակղությունից հեռու... Ահա դրանք, պատասխանները՝ գրված ստորակետով։

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Եվ հիմա մենք եզրակացություններ ենք անում. Եթե ​​ամեն ինչ ստացվեց, ուրախ եմ ձեզ համար: Կոտորակներով տարրական հաշվարկները ձեր խնդիրը չեն: Դուք կարող եք ավելի լուրջ բաներ անել։ Եթե ​​ոչ...

Այսպիսով, դուք ունեք երկու խնդիրներից մեկը: Կամ երկուսն էլ միանգամից։) Գիտելիքի պակաս և (կամ) անուշադրություն։ Բայց սա լուծելի Խնդիրներ.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Կոտորակը կոտորակի կամ կոտորակը թվով ճիշտ բազմապատկելու համար պետք է իմանալ. պարզ կանոններ. Այժմ մենք մանրամասն կվերլուծենք այս կանոնները:

Կոտորակի բազմապատկումը կոտորակի վրա:

Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է հաշվարկել համարիչների արտադրյալը և այս կոտորակների հայտարարների արտադրյալը:

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Դիտարկենք մի օրինակ.
Առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչի հետ, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարի հետ։

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \անգամ 2)(7 \անգամ 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ անգամ 3) (7 \ անգամ 3) = \frac (4) (7) \\\)

\(\frac(12)(21) = \frac(4 \ անգամ 3)(7 \անգամ 3) = \frac(4)(7)\\\) կոտորակը կրճատվել է 3-ով:

Կոտորակը թվով բազմապատկելը.

Սկսենք կանոնից ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես կոտորակ \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Բազմապատկելու համար օգտագործենք այս կանոնը.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \ անգամ 4)(1 \ անգամ 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Անպատշաճ կոտորակ \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) վերածվել է խառը կոտորակի:

Այլ կերպ ասած, Թիվը կոտորակի վրա բազմապատկելիս թիվը բազմապատկեք համարիչով և թողեք հայտարարը անփոփոխ։Օրինակ:

\(\frac(2)(5) \անգամ 3 = \frac(2 \անգամ 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Խառը կոտորակների բազմապատկում.

Խառը կոտորակները բազմապատկելու համար նախ պետք է յուրաքանչյուր խառը կոտորակ ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ, այնուհետև օգտագործել բազմապատկման կանոնը: Համարիչը բազմապատկվում է համարիչով, հայտարարը բազմապատկվում է հայտարարի հետ։

Օրինակ:
\(2\frac(1)(4) \անգամ 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \անգամ 23) (4 \ անգամ 6) = \frac (3 \ անգամ \ գույն (կարմիր) (3) \ անգամ 23) (4 \ անգամ 2 \ անգամ \ գույն (կարմիր) (3)) = \frac (69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Փոխադարձ կոտորակների և թվերի բազմապատկում.

\(\bf \frac(a)(b)\) կոտորակը \(\bf \frac(b)(a)\ կոտորակի հակադարձն է, եթե a≠0,b≠0:
\(\bf \frac(a)(b)\) և \(\bf \frac(b)(a)\) կոտորակները կոչվում են փոխադարձներ։ Փոխադարձ կոտորակների արտադրյալը 1 է։
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Օրինակ:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1 \\\)

Առնչվող հարցեր.
Ինչպե՞ս բազմապատկել կոտորակը կոտորակի վրա:
Պատասխան՝ սովորական կոտորակների արտադրյալը համարիչի բազմապատկումն է համարիչի հետ, հայտարարը հայտարարի հետ։ Խառը կոտորակների արտադրյալը ստանալու համար անհրաժեշտ է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի և բազմապատկել ըստ կանոնների։

Ինչպե՞ս բազմապատկել տարբեր հայտարարներով կոտորակները:
Պատասխան. Կարևոր չէ, թե կոտորակների հայտարարները նույնն են, թե տարբեր, բազմապատկումը տեղի է ունենում համարիչի արտադրյալը համարիչով, հայտարարը հայտարարի հետ գտնելու կանոնի համաձայն:

Ինչպե՞ս բազմապատկել խառը կոտորակները:
Պատասխան՝ նախ պետք է խառը կոտորակը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի և հետո գտնել արտադրյալը՝ ըստ բազմապատկման կանոնների։

Ինչպե՞ս թիվը բազմապատկել կոտորակի վրա:
Պատասխան՝ թիվը բազմապատկում ենք համարիչով, իսկ հայտարարը թողնում ենք նույնը։

Օրինակ #1:
Հաշվիր արտադրյալը՝ ա) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) բ) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Լուծում:
ա) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \անգամ 7)(9 \անգամ 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
բ) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( կարմիր) (5) (3 \ անգամ \ գույն (կարմիր) (5) \ անգամ 13) = \frac (4) (39) \)

Օրինակ #2:
Հաշվե՛ք թվի և կոտորակի արտադրյալը՝ ա) \(3 \ անգամ \frac(17)(23)\) բ) \(\frac(2)(3) \անգամ 11\)

Լուծում:
ա) \(3 \ անգամ \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \ անգամ 17) (1 \ անգամ 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
բ) \(\frac(2)(3) \անգամ 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \ անգամ 11)(3 \անգամ 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Օրինակ #3:
Գրե՞լ \(\frac(1)(3)\)-ի փոխադարձությունը:
Պատասխան՝ \(\frac(3)(1) = 3\)

Օրինակ #4:
Հաշվե՛ք երկու փոխադարձ կոտորակների արտադրյալը՝ ա) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Լուծում:
ա) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Օրինակ #5:
Փոխադարձ հակադարձ կոտորակները կարող են լինել.
ա) երկու ճիշտ կոտորակները.
բ) միաժամանակ ոչ պատշաճ կոտորակներ.
գ) բնական թվեր միաժամանակ.

Լուծում:
ա) Առաջին հարցին պատասխանելու համար օգտագործենք օրինակ. \(\frac(2)(3)\) կոտորակը պատշաճ է, դրա փոխադարձը հավասար կլինի \(\frac(3)(2)\) - ոչ պատշաճ կոտորակ: Պատասխան՝ ոչ։

բ) կոտորակների գրեթե բոլոր թվարկումներում այս պայմանը բավարարված չէ, բայց կան որոշ թվեր, որոնք միաժամանակ կատարում են ոչ պատշաճ կոտորակ լինելու պայմանը։ Օրինակ՝ ոչ պատշաճ կոտորակը \(\frac(3)(3)\) է, նրա փոխադարձը՝ \(\frac(3)(3)\): Մենք ստանում ենք երկու ոչ պատշաճ կոտորակ: Պատասխան. ոչ միշտ է որոշակի պայմաններում, երբ համարիչն ու հայտարարը հավասար են:

գ) բնական թվերն այն թվերն են, որոնք մենք օգտագործում ենք հաշվելիս, օրինակ՝ 1, 2, 3, .... Եթե ​​վերցնենք \(3 = \frac(3)(1)\ թիվը, ապա դրա փոխադարձը կլինի \(\frac(1)(3)\): \(\frac(1)(3)\) կոտորակը բնական թիվ չէ։ Եթե ​​անցնենք բոլոր թվերի միջով, ապա փոխադարձը միշտ կոտորակ է, բացառությամբ 1-ի: Եթե վերցնենք 1 թիվը, ապա դրա փոխադարձը կլինի \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1 \): Համար 1 բնական թիվ. Պատասխան՝ դրանք կարող են միաժամանակ բնական թվեր լինել միայն մեկ դեպքում, եթե այդ թիվը 1 է։

Օրինակ #6:
Կատարե՛ք խառը կոտորակների արտադրյալը՝ ա) \(4 \ անգամ 2\ֆրակ(4)(5)\) բ) \(1\ֆրակ(1)(4) \ժամանակ 3\ֆրակ(2)(7)\ )

Լուծում:
ա) \(4 \անգամ 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) ) (5) \\\\ \)
բ) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Օրինակ #7:
Կարո՞ղ են երկու փոխադարձ թվեր միաժամանակ խառնված թվեր լինել:

Դիտարկենք մի օրինակ։ Վերցնենք խառը կոտորակը \(1\frac(1)(2)\), գտենք դրա փոխադարձը, դրա համար այն թարգմանում ենք ոչ պատշաճ կոտորակի \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Դրա փոխադարձությունը հավասար կլինի \(\frac(2)(3)\)-ի: \(\frac(2)(3)\) կոտորակը պատշաճ կոտորակ է: Պատասխան. Երկու հակադարձ կոտորակները չեն կարող միաժամանակ թվեր խառնվել:

Մենք շարունակում ենք սովորել սովորական կոտորակներով գործողությունները։ Այժմ ուշադրության կենտրոնում ընդհանուր կոտորակների բազմապատկում. Այս հոդվածում մենք կտանք սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոն, օրինակներ լուծելիս հաշվի առեք այս կանոնի կիրառումը: Կկենտրոնանանք նաև սովորական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու վրա։ Եզրափակելով, հաշվի առեք, թե ինչպես է բազմապատկվում երեքը և ավելինկոտորակները.

Էջի նավարկություն.

Ընդհանուր կոտորակի բազմապատկումը ընդհանուր կոտորակի վրա

Սկսենք ձեւակերպումից Ընդհանուր կոտորակների բազմապատկման կանոններԿոտորակը կոտորակի վրա բազմապատկելով՝ ստացվում է կոտորակ, որի համարիչը հավասար է բազմապատկած կոտորակների համարիչների արտադրյալին, իսկ հայտարարը հավասար է հայտարարների արտադրյալին։

Այսինքն՝ բանաձևը համապատասխանում է a/b և c/d սովորական կոտորակների բազմապատկմանը։

Բերենք սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնը ցույց տվող օրինակ: Դիտարկենք քառակուսի, որի կողմը 1 միավոր է: , մինչդեռ նրա մակերեսը 1 միավոր 2 է։ Այս քառակուսին բաժանեք հավասար ուղղանկյունների, որոնց կողմերը 1/4 միավոր են: և 1/8 միավոր: , մինչդեռ սկզբնական քառակուսին բաղկացած կլինի 4 8 = 32 ուղղանկյուններից, հետևաբար, յուրաքանչյուր ուղղանկյունի մակերեսը կազմում է սկզբնական քառակուսու տարածքի 1/32-ը, այսինքն՝ այն հավասար է 1/32 միավոր 2-ի: Հիմա եկեք նկարենք բնօրինակ քառակուսու մի մասը: Մեր բոլոր գործողությունները արտացոլված են ստորև բերված նկարում:

Լցված ուղղանկյան կողմերը 5/8 միավոր են։ և 3/4 միավոր: , ինչը նշանակում է, որ նրա մակերեսը հավասար է 5/8 և 3/4 կոտորակների արտադրյալին, այսինքն՝ 2 միավորի։ Բայց լցված ուղղանկյունը բաղկացած է 15 «փոքր» ուղղանկյուններից, ուստի նրա մակերեսը 15/32 միավոր է 2: Հետևաբար, . Քանի որ 5 3=15 և 8 4=32, վերջին հավասարությունը կարող է վերագրվել որպես , որը հաստատում է ձեւի սովորական կոտորակների բազմապատկման բանաձեւը .

Նկատի ունեցեք, որ հնչյունավորված բազմապատկման կանոնի օգնությամբ կարելի է բազմապատկել ինչպես կանոնավոր, այնպես էլ անպատշաճ կոտորակներ, և նույն հայտարարներով կոտորակները և տարբեր հայտարարներով կոտորակները:

Հաշվի առեք Ընդհանուր կոտորակների բազմապատկման օրինակներ.

7/11 ընդհանուր կոտորակը բազմապատկեք ընդհանուր կոտորակ 9/8 .

7-ի և 9-ի բազմապատկված կոտորակների համարիչների արտադրյալը 63 է, իսկ 11-ի և 8-ի հայտարարների արտադրյալը՝ 88։ Այսպիսով, 7/11 և 9/8 ընդհանուր կոտորակները բազմապատկելով կստացվի 63/88 կոտորակը:

Ահա լուծման ամփոփագիրը. .

Չպետք է մոռանալ ստացված կոտորակի կրճատման մասին, եթե բազմապատկման արդյունքում ստացվում է կրճատվող կոտորակ, և ոչ պատշաճ կոտորակից ամբողջ մասի ընտրության մասին։

Բազմապատկել 4/15 և 55/6 կոտորակները:

Կիրառենք սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնը. .

Ակնհայտ է, որ ստացված կոտորակը կրճատելի է (10-ի բաժանելիության նշանը թույլ է տալիս պնդել, որ 220/90 կոտորակի համարիչն ու հայտարարն ունեն 10 ընդհանուր գործակից)։ Կրճատենք 220/90 կոտորակը` GCD(220, 90)=10 և. . Մնում է ստացված ոչ պատշաճ կոտորակից ընտրել ամբողջական մասը.

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակի կրճատումը կարող է իրականացվել նախքան համարիչների արտադրյալները և բազմապատկած կոտորակների հայտարարների արտադրյալները հաշվարկելը, այսինքն՝ երբ կոտորակն ունի . Այս թվի համար a, b, c և d-ն փոխարինվում են իրենց պարզ գործակցումներով, որից հետո չեղյալ են հայտարարվում համարիչի և հայտարարի նույն գործակիցները:

Պարզաբանելու համար վերադառնանք նախորդ օրինակին։

Հաշվի՛ր ձևի կոտորակների արտադրյալը:

Սովորական կոտորակները բազմապատկելու բանաձևով ունենք .

Քանի որ 4=2 2, 55=5 11, 15=3 5 և 6=2 3, ապա . Այժմ մենք չեղարկում ենք ընդհանուր պարզ գործոնները. .

Մնում է միայն հաշվարկել արտադրյալները համարիչի և հայտարարի մեջ, այնուհետև ընտրել ամբողջական մասը ոչ պատշաճ կոտորակից. .

Հարկ է նշել, որ կոտորակների բազմապատկումը բնութագրվում է փոխադարձ հատկությամբ, այսինքն՝ բազմապատկված կոտորակները կարող են փոխանակվել. .

Կոտորակի բազմապատկում բնական թվով

Սկսենք ձեւակերպումից Ընդհանուր կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու կանոններԿոտորակը բնական թվով բազմապատկելուց ստացվում է կոտորակ, որի համարիչը հավասար է բազմապատկած կոտորակի համարիչի արտադրյալին բնական թվով, իսկ հայտարարը հավասար է բազմապատկված կոտորակի հայտարարին։

Տառերի օգնությամբ a/b կոտորակը n բնական թվով բազմապատկելու կանոնն ունի .

Բանաձևը բխում է ձևի երկու սովորական կոտորակների բազմապատկման բանաձևից: Իրոք, բնական թիվը ներկայացնելով որպես 1 հայտարար ունեցող կոտորակ, մենք ստանում ենք .

Դիտարկենք կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու օրինակներ:

2/27 կոտորակը բազմապատկեք 5-ով:

2 համարիչը 5 թվով բազմապատկելուց ստացվում է 10, հետևաբար, կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու կանոնի ուժով 2/27-ի արտադրյալը 5-ով հավասար է 10/27 կոտորակի։

Ամբողջ լուծումը կարելի է հարմար գրել հետևյալ կերպ. .

Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս ստացված կոտորակը հաճախ պետք է կրճատել, իսկ եթե այն նույնպես սխալ է, ապա ներկայացրու որպես խառը թիվ։

5/12 կոտորակը բազմապատկեք 8 թվով։

Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու բանաձևով ունենք . Ակնհայտ է, որ ստացված կոտորակը կրճատելի է (2-ի վրա բաժանելիության նշանը ցույց է տալիս ընդհանուր բաժանարար 2 համարիչ և հայտարար): Կրճատենք 40/12 կոտորակը, քանի որ LCM(40, 12)=4, ուրեմն . Մնում է ընտրել ամբողջ մասը.

Ահա ամբողջ լուծումը. .

Նկատի ունեցեք, որ կրճատումը կարող է կատարվել համարիչի և հայտարարի թվերը փոխարինելով դրանց ընդլայնումներով պարզ գործակիցների: Այս դեպքում լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ մենք նշում ենք, որ կոտորակի բնական թվով բազմապատկելը ունի փոխադարձ հատկություն, այսինքն՝ կոտորակի արտադրյալը բնական թվով հավասար է այս բնական թվի արտադրյալին կոտորակի կողմից. .

Բազմապատկել երեք կամ ավելի կոտորակներ

Սովորական կոտորակների սահմանած ձևը և դրանց հետ բազմապատկման գործողությունը թույլ է տալիս պնդել, որ բնական թվերի բազմապատկման բոլոր հատկությունները վերաբերում են կոտորակների բազմապատկմանը։

Բազմապատկման կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկությունները հնարավորություն են տալիս եզակիորեն որոշել երեք և ավելի կոտորակների և բնական թվերի բազմապատկում. Այս դեպքում ամեն ինչ տեղի է ունենում անալոգիայով երեք կամ ավելի բնական թվերի բազմապատկման հետ։ Մասնավորապես, կոտորակները և բնական թվերը արտադրյալում կարող են վերադասավորվել հաշվարկի հարմարության համար, իսկ գործողությունների կատարման հերթականությունը նշող փակագծերի բացակայության դեպքում մենք կարող ենք ինքներս դասավորել փակագծերը թույլատրված ձևերից որևէ մեկով:

Դիտարկենք մի քանի կոտորակի և բնական թվերի բազմապատկման օրինակներ:

Բազմապատկեք երեք ընդհանուր կոտորակներ 1/20, 12/5, 3/7 և 5/8:

Գրենք այն արտադրյալը, որը պետք է հաշվարկենք . Կոտորակների բազմապատկման կանոնի ուժով գրավոր արտադրյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է բոլոր կոտորակների համարիչների արտադրյալին, իսկ հայտարարը հայտարարների արտադրյալն է. .

Նախքան համարիչի և հայտարարի արտադրյալները հաշվարկելը, խորհուրդ է տրվում բոլոր գործոնները փոխարինել դրանց ընդլայնմամբ պարզ գործակիցների և կրճատել (իհարկե, դուք կարող եք կրճատել կոտորակը բազմապատկելուց հետո, բայց շատ դեպքերում դա պահանջում է մեծ հաշվողական ջանք). .

.

Բազմապատկեք հինգ թվեր .

Այս արտադրյալում հարմար է 7/8 կոտորակը խմբավորել 8 թվի հետ, իսկ 12 թիվը՝ 5/36 կոտորակի հետ, դա կհեշտացնի հաշվարկները, քանի որ նման խմբավորման դեպքում կրճատումն ակնհայտ է։ Մենք ունենք
.

.

Կոտորակների բազմապատկում

Մենք կդիտարկենք սովորական կոտորակների բազմապատկումը մի քանի հնարավոր եղանակներով:

Կոտորակի բազմապատկումը կոտորակի վրա

Սա ամենապարզ դեպքն է, որի դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալը Կոտորակի բազմապատկման կանոններ.

Դեպի բազմապատկել կոտորակը կոտորակի վրա, անհրաժեշտ:

• բազմապատկել առաջին կոտորակի համարիչը երկրորդ կոտորակի համարիչով և գրել դրանց արտադրյալը նոր կոտորակի համարիչի մեջ.
• բազմապատկել առաջին կոտորակի հայտարարը երկրորդ կոտորակի հայտարարով և գրել դրանց արտադրյալը նոր կոտորակի հայտարարի մեջ.

Նախքան համարիչները և հայտարարները բազմապատկելը, ստուգեք, արդյոք կոտորակները կարող են կրճատվել: Հաշվարկներում կոտորակների կրճատումը մեծապես կհեշտացնի ձեր հաշվարկները:

Կոտորակի բազմապատկում բնական թվով

Կոտորակի նկատմամբ բազմապատկել բնական թվովպետք է կոտորակի համարիչը բազմապատկել այս թվով, իսկ կոտորակի հայտարարը թողնել անփոփոխ:

Եթե ​​բազմապատկման արդյունքը ոչ պատշաճ կոտորակ է, մի մոռացեք այն վերածել խառը թվի, այսինքն՝ ընտրել ամբողջ մասը։

Խառը թվերի բազմապատկում

Խառը թվերը բազմապատկելու համար նախ պետք է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների, ապա բազմապատկել սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն։

Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու ևս մեկ եղանակ

Երբեմն հաշվարկներում ավելի հարմար է սովորական կոտորակը թվով բազմապատկելու այլ եղանակ։

Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու համար պետք է կոտորակի հայտարարը բաժանել այս թվի վրա, իսկ համարիչը թողնել նույնը:

Ինչպես երևում է օրինակից, ավելի հարմար է օգտագործել կանոնի այս տարբերակը, եթե կոտորակի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է բնական թվի վրա։

Խառը թվերի բազմապատկում՝ կանոններ, օրինակներ, լուծումներ։

Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք խառը թվերի բազմապատկում. Նախ կհնչեցնենք խառը թվերի բազմապատկման կանոնը և օրինակներ լուծելիս կքննարկենք այս կանոնի կիրառումը։ Հաջորդիվ կխոսենք խառը թվի և բնական թվի բազմապատկման մասին։ Ի վերջո, մենք կսովորենք, թե ինչպես բազմապատկել խառը թիվը և սովորական կոտորակը:

Էջի նավարկություն.

Խառը թվերի բազմապատկում.

Խառը թվերի բազմապատկումկարելի է կրճատել սովորական կոտորակների բազմապատկման։ Դա անելու համար բավական է խառը թվերը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների։

Եկեք գրենք Խառը թվերի բազմապատկման կանոն:

• Նախ, բազմապատկվող խառը թվերը պետք է փոխարինվեն ոչ պատշաճ կոտորակներով.
• Երկրորդ, դուք պետք է օգտագործեք կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու կանոնը:

Դիտարկենք այս կանոնի կիրառման օրինակները, երբ խառնված թիվը բազմապատկվում է խառը թվով:

Կատարել խառը թվերի բազմապատկում և.

Նախ, մենք բազմապատկված խառը թվերը ներկայացնում ենք որպես ոչ պատշաճ կոտորակներ. Եվ . Այժմ մենք կարող ենք խառը թվերի բազմապատկումը փոխարինել սովորական կոտորակների բազմապատկմամբ. . Կիրառելով կոտորակների բազմապատկման կանոնը՝ ստանում ենք . Ստացված կոտորակն անկրճատելի է (տե՛ս Կրճատվող և անկրճատելի կոտորակներ), բայց սխալ է (տես կանոնավոր և անպատշաճ կոտորակներ), հետևաբար վերջնական պատասխանը ստանալու համար մնում է անպատշաճ կոտորակից հանել ամբողջ թիվը.

Ամբողջ լուծումը գրենք մեկ տողով՝ .

.

Խառը թվերի բազմապատկման հմտությունները համախմբելու համար դիտարկենք մեկ այլ օրինակի լուծումը:

Կատարեք բազմապատկումը:

Զվարճալի թվեր և հավասար են համապատասխանաբար 13/5 և 10/9 կոտորակներին։ Հետո . Այս փուլում ժամանակն է հիշել կոտորակի կրճատման մասին. կոտորակի բոլոր թվերը կփոխարինենք դրանց ընդլայնումներով պարզ գործակիցների, և կկատարենք նույն գործակիցների կրճատումը։

Խառը թվի և բնական թվի բազմապատկում

Խառը թիվը ոչ պատշաճ կոտորակով փոխարինելուց հետո, բազմապատկելով խառը և բնական թիվըկրճատվում է սովորական կոտորակի և բնական թվի բազմապատկմանը։

Բազմապատկել խառը թիվը և բնական թիվը 45:

Խառը թիվը կոտորակ է, ուրեմն . Ստացված կոտորակի թվերը փոխարինենք դրանց ընդլայնումներով պարզ գործակիցների, կատարենք կրճատում, որից հետո ընտրենք ամբողջ մասը՝ .

.

Խառը թվի և բնական թվի բազմապատկումը երբեմն հարմար է կատարվում՝ օգտագործելով գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը: Այս դեպքում խառը թվի և բնական թվի արտադրյալը հավասար է տվյալ բնական թվով ամբողջ մասի արտադրյալների գումարին, իսկ տրված բնական թվով կոտորակայինը, այսինքն. .

Հաշվեք արտադրանքը:

Խառը թիվը փոխարինում ենք ամբողջ թվերի և կոտորակային մասերի գումարով, որից հետո կիրառում ենք բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը՝ .

Խառը թվի և ընդհանուր կոտորակի բազմապատկումըԱռավել հարմար է կրճատել սովորական կոտորակների բազմապատկմանը՝ բազմապատկված խառը թիվը ներկայացնելով որպես ոչ պատշաճ կոտորակ։

Խառը թիվը բազմապատկեք 4/15 ընդհանուր կոտորակի վրա:

Խառը թիվը կոտորակով փոխարինելով՝ ստանում ենք .

Կոտորակային թվերի բազմապատկում

§ 140. Սահմանումներ. 1) Կոտորակային թվի բազմապատկումը ամբողջ թվով սահմանվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի բազմապատկումը, այն է՝. Բազմապատկել որոշ թվեր (բազմապատկիչ) ամբողջ թվով (գործոնով) նշանակում է կազմել միանման անդամների գումար, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ հավասար է բազմապատկվողին, իսկ անդամների թիվը՝ բազմապատկիչին։

Այսպիսով, 5-ով բազմապատկելը նշանակում է գտնել գումարը.
2) Բազմապատկել որոշ թվեր (բազմապատկիչ) կոտորակի վրա (բազմապատկիչ) նշանակում է գտնել բազմապատիկի այս կոտորակը:

Այսպիսով, գտնելով տրված թվի կոտորակը, որը նախկինում դիտարկել էինք, այժմ կկոչենք բազմապատկում կոտորակով։

3) Բազմապատկել ինչ-որ թիվ (բազմապատկիչ) խառը թվով (գործոնով) նշանակում է բազմապատկել սկզբում գործոնի ամբողջ թվով, այնուհետև գործակցի կոտորակով և գումարել այս երկու բազմապատկման արդյունքները։

Օրինակ:

Բազմապատկելուց հետո ստացված թիվը այս բոլոր դեպքերում կոչվում է աշխատանքը, այսինքն՝ նույն կերպ, ինչպես ամբողջ թվերը բազմապատկելիս։

Այս սահմանումներից պարզ է դառնում, որ կոտորակային թվերի բազմապատկումը մի գործողություն է, որը միշտ հնարավոր է և միշտ միանշանակ։

§ 141. Այս սահմանումների նպատակահարմարությունը.Բազմապատկման վերջին երկու սահմանումները թվաբանության մեջ ներմուծելու նպատակահարմարությունը հասկանալու համար վերցնենք հետևյալ խնդիրը.

Առաջադրանք. Գնացքը, շարժվելով հավասարաչափ, անցնում է ժամում 40 կմ; ինչպե՞ս պարզել, թե քանի կիլոմետր այս գնացքը կանցնի տվյալ ժամերի ընթացքում:

Եթե ​​մենք մնայինք բազմապատկման նույն սահմանմանը, որը նշված է ամբողջ թվերի թվաբանության մեջ (հավասար թվերի գումարում), ապա մեր խնդիրը կունենար երեք տարբեր լուծումներ, այն է.

Եթե ​​ժամերի տրված թիվը ամբողջ թիվ է (օրինակ՝ 5 ժամ), ապա խնդիրը լուծելու համար 40 կմ-ը պետք է բազմապատկել ժամերի այս թվով։

Եթե ​​ժամերի տրված թիվը արտահայտվում է որպես կոտորակ (օրինակ՝ ժամ), ապա դուք պետք է գտնեք այս կոտորակի արժեքը 40 կմ-ից։

Ի վերջո, եթե ժամերի տրված թիվը խառնվում է (օրինակ՝ ժամ), ապա անհրաժեշտ կլինի 40 կմ-ը բազմապատկել խառը թվի մեջ պարունակվող ամբողջ թվով և արդյունքին ավելացնել 40 կմ-ից այնպիսի կոտորակ, ինչպիսին կա խառը թիվ.

Մեր տված սահմանումները թույլ են տալիս տալ մեկ ընդհանուր պատասխան այս բոլոր հնարավոր դեպքերին.

40 կմ-ը պետք է բազմապատկել տրված ժամերի քանակով, ինչ էլ որ լինի:

Այսպիսով, եթե խնդիրը ընդհանուր ձևով ներկայացվում է հետևյալ կերպ.

Միատեսակ շարժվող գնացքը ժամում անցնում է v կմ: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի գնացքը t ժամում:

ապա, ինչ էլ որ լինեն v և t թվերը, մենք կարող ենք արտահայտել մեկ պատասխան. ցանկալի թիվը արտահայտվում է v · t բանաձևով:

Նշում. Տրված թվի ինչ-որ կոտորակ գտնելը, մեր սահմանմամբ, նշանակում է նույն բանը, ինչ տրված թիվը բազմապատկելն այս կոտորակի վրա. հետևաբար, օրինակ, գտնել տրված թվի 5%-ը (այսինքն՝ հինգ հարյուրերորդականը) նշանակում է նույնը, ինչ տրված թիվը բազմապատկել կամ բազմապատկել. Տրված թվի 125%-ը գտնելը նույնն է, ինչ այդ թիվը բազմապատկենք կամով և այլն:

§ 142. Ծանոթագրություն այն մասին, թե երբ է մեծանում թիվը և երբ է նվազում բազմապատկվելուց:

Պատշաճ կոտորակով բազմապատկվելուց թիվը նվազում է, իսկ անպատշաճ կոտորակով բազմապատկելուց թիվը մեծանում է, եթե այս ոչ պատշաճ կոտորակը մեկից մեծ է, և մնում է անփոփոխ, եթե այն հավասար է մեկին:
Մեկնաբանություն. Կոտորակային թվերը, ինչպես նաև ամբողջ թվերը բազմապատկելիս արտադրյալը վերցվում է հավասար զրոյի, եթե գործակիցներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ուրեմն,.

§ 143. Բազմապատկման կանոնների ածանցում.

1) Կոտորակի բազմապատկումը ամբողջ թվով. Թող կոտորակը բազմապատկվի 5-ով: Սա նշանակում է մեծացնել 5 անգամ: Կոտորակը 5-ով մեծացնելու համար բավական է մեծացնել նրա համարիչը կամ կրճատել հայտարարը 5 անգամ (§ 127)։

Ահա թե ինչու:
Կանոն 1. Կոտորակը ամբողջ թվով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել այս ամբողջ թվով, իսկ հայտարարը թողնել նույնը. փոխարենը կարող եք նաև կոտորակի հայտարարը բաժանել տրված ամբողջ թվի վրա (եթե հնարավոր է), իսկ համարիչը թողնել նույնը։

Մեկնաբանություն. Կոտորակի և նրա հայտարարի արտադրյալը հավասար է նրա համարիչին։

Այսպիսով.
Կանոն 2. Ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է ամբողջ թիվը բազմապատկել կոտորակի համարիչով և այս արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ տվյալ կոտորակի հայտարարը ստորագրել որպես հայտարար։
Կանոն 3. Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով և առաջին արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ երկրորդը՝ արտադրյալի հայտարար։

Մեկնաբանություն. Այս կանոնը կարող է կիրառվել նաև կոտորակի ամբողջ թվով և ամբողջ թիվը կոտորակով բազմապատկելու դեպքում, եթե միայն ամբողջ թիվը դիտարկենք որպես մեկի հայտարար ունեցող կոտորակ։ Այսպիսով.

Այսպիսով, այժմ նշված երեք կանոնները պարունակվում են մեկում, որը ընդհանուր ձևով կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.
4) Խառը թվերի բազմապատկում.

Կանոն 4. Խառը թվերը բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է դրանք վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների, ապա բազմապատկել կոտորակների բազմապատկման կանոնների համաձայն: Օրինակ:
§ 144. Բազմապատկման կրճատում. Կոտորակները բազմապատկելիս, հնարավորության դեպքում, պետք է նախնական կրճատում կատարվի, ինչպես երևում է հետևյալ օրինակներից.

Նման կրճատում կարելի է անել, քանի որ կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե համարիչն ու հայտարարը կրճատվեն նույն թվով անգամներով։

§ 145. Արտադրանքի փոփոխություն գործոնների փոփոխությամբ.Երբ գործոնները փոխվում են, կոտորակային թվերի արտադրյալը կփոխվի ճիշտ այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի արտադրյալը (§ 53), այն է՝ եթե որևէ գործոն մի քանի անգամ մեծացնեք (կամ նվազեցնեք), ապա արտադրյալը կաճի (կամ կնվազի) նույն չափով։

Այսպիսով, եթե օրինակում.
մի քանի կոտորակներ բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է նրանց համարիչները բազմապատկել իրենց մեջ, իսկ հայտարարները՝ իրենց մեջ և առաջին արտադրյալը դարձնել համարիչ, իսկ երկրորդը՝ արտադրյալի հայտարար։

Մեկնաբանություն. Այս կանոնը կարող է կիրառվել նաև այն արտադրյալների վրա, որոնցում թվի որոշ գործակիցներ ամբողջ կամ խառն են, եթե միայն ամբողջ թիվը դիտարկենք որպես կոտոր, որի հայտարարը մեկն է, իսկ խառը թվերը վերածենք անպատշաճ կոտորակների։ Օրինակ:
§ 147. Բազմապատկման հիմնական հատկությունները.Բազմապատկման այն հատկությունները, որոնք մենք նշել ենք ամբողջ թվերի համար (§ 56, 57, 59), նույնպես պատկանում են կոտորակային թվերի բազմապատկմանը։ Եկեք ճշտենք այս հատկությունները:

1) Արտադրանքը չի փոխվում գործոնների տեղերը փոխելուց.

Օրինակ:

Իսկապես, ըստ նախորդ պարբերության կանոնի՝ առաջին արտադրյալը հավասար է կոտորակի, իսկ երկրորդը՝ կոտորակի։ Բայց այս կոտորակները նույնն են, քանի որ դրանց անդամները տարբերվում են միայն ամբողջ թվային գործակիցների հերթականությամբ, իսկ ամբողջ թվերի արտադրյալը չի ​​փոխվում, երբ գործոնները փոխում են տեղերը։

2) Ապրանքը չի փոխվի, եթե գործոնների որևէ խումբ փոխարինվի իրենց արտադրանքով:

Օրինակ:

Արդյունքները նույնն են.

Բազմապատկման այս հատկությունից կարելի է եզրակացնել հետևյալը.

որոշ թվեր արտադրյալով բազմապատկելու համար կարող եք այս թիվը բազմապատկել առաջին գործակցով, ստացված թիվը բազմապատկել երկրորդով և այլն:

Օրինակ:
3) Բազմապատկման բաշխիչ օրենքը (գումարման մասով). Գումարը ինչ-որ թվով բազմապատկելու համար յուրաքանչյուր անդամ կարող եք բազմապատկել այս թվով առանձին և ավելացնել արդյունքները:

Այս օրենքը մեր կողմից բացատրվել է (§ 59), ինչպես կիրառվում է ամբողջ թվերի նկատմամբ: Այն մնում է ճշմարիտ առանց կոտորակային թվերի փոփոխության:

Փաստորեն ցույց տանք, որ հավասարությունը

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխման օրենքը) ճիշտ է մնում նույնիսկ այն դեպքում, երբ տառերը նշանակում են կոտորակային թվեր: Դիտարկենք երեք դեպք.

1) Նախ ենթադրենք, որ m գործոնը ամբողջ թիվ է, օրինակ m = 3 (a, b, c ցանկացած թվեր են): Ըստ ամբողջ թվով բազմապատկման սահմանման՝ կարելի է գրել (պարզության համար սահմանափակվում է երեք տերմինով).

(ա + բ + գ) * 3 = (ա + բ + գ) + (ա + բ + գ) + (ա + բ + գ):

Ավելացման ասոցիատիվ օրենքի հիման վրա մենք կարող ենք բաց թողնել աջ կողմի բոլոր փակագծերը. կիրառելով գումարման կոմուտատիվ օրենքը և այնուհետև կրկին համակցման օրենքը, մենք ակնհայտորեն կարող ենք վերաշարադրել աջ կողմը հետևյալ կերպ.

(ա + ա + ա) + (բ + բ + բ) + (գ + գ + գ):

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Այսպիսով, այս դեպքում բաշխիչ օրենքը հաստատվում է։

Կոտորակի բաժանումը բնական թվի վրա

Բաժիններ:Մաթեմատիկա

Տ դասի տեսակը: ONZ (նոր գիտելիքների բացահայտում - ըստ դասավանդման գործունեության մեթոդի տեխնոլոգիայի):

1. Բացահայտեք կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելու մեթոդները.
2. Կոտորակի բնական թվով բաժանումը կատարելու կարողություն ձևավորել.
3. Կրկնել և համախմբել կոտորակների բաժանումը.
4. Սովորեցրեք կոտորակները կրճատելու, վերլուծելու և խնդիրները լուծելու կարողությունը:

Սարքավորման ցուցադրական նյութ.

1. Գիտելիքների թարմացման առաջադրանքներ.

2. Փորձնական (անհատական) առաջադրանք.

1. Կատարել բաժանում.

2. Կատարե՛ք բաժանումը առանց հաշվարկների ամբողջ շղթան կատարելու՝ .

• Կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելիս կարելի է հայտարարը բազմապատկել այս թվով, իսկ համարիչը թողնել նույնը։

• Եթե ​​համարիչը բաժանվում է բնական թվի, ապա կոտորակն այս թվի վրա բաժանելիս կարելի է համարիչը բաժանել թվի, իսկ հայտարարը թողնել նույնը։

I. Մոտիվացիա (ինքնորոշում) դեպի ուսումնական գործունեություն.

1. Կազմակերպել ուսումնական գործունեության մասով ուսանողին ներկայացվող պահանջների արդիականացումը («պարտադիր»).
2. Կազմակերպել ուսանողների գործունեությունը թեմատիկ շրջանակ ստեղծելու համար («Ես կարող եմ»);
3. Ստեղծել պայմաններ, որպեսզի ուսանողը ունենա կրթական գործունեության մեջ ընդգրկվելու ներքին կարիք («Ես ուզում եմ»):

Կազմակերպություն ուսումնական գործընթաց I փուլում.

Բարեւ Ձեզ! Ուրախ եմ բոլորիդ տեսնել մաթեմատիկայի դասին: Հուսով եմ, որ դա փոխադարձ է:

Տղերք, ի՞նչ նոր գիտելիքներ ձեռք բերեցիք վերջին դասին։ (Կոտորակները բաժանել):

Ճիշտ. Ի՞նչն է օգնում ձեզ բաժանել կոտորակները: (Կանոն, հատկություններ):

Որտե՞ղ է մեզ պետք այս գիտելիքը: (Օրինակներում, հավասարումներում, առաջադրանքներում):

Լավ արեցիր։ Դուք լավ եք վարվել վերջին դասում: Կցանկանայի՞ք այսօր ինքներդ նոր գիտելիքներ բացահայտել: (Այո):

Հետո - գնա! Իսկ դասի կարգախոսն է՝ «Մաթեմատիկան չի կարելի սովորել՝ հետևելով, թե ինչպես է դա անում քո հարևանը»:

II. Գիտելիքների ակտուալացում և անհատական ​​դժվարության ամրագրում փորձնական գործողության մեջ:

1. Կազմակերպել գործողության ուսումնասիրված մեթոդների ակտուալացումը, որը բավարար է նոր գիտելիքներ ձեռք բերելու համար: Ուղղել այս մեթոդները բանավոր (խոսքի մեջ) և խորհրդանշական (ստանդարտ) և ընդհանրացնել դրանք.
2. Կազմակերպել հոգեկան գործողությունների ակտուալացումը և ճանաչողական գործընթացներ, բավարար նոր գիտելիքներ ձեռք բերելու համար.
3. Դատավարական գործողության և դրա անկախ իրականացման և հիմնավորման դրդապատճառը.
4. Ներկայացնել անհատական ​​առաջադրանք փորձնական գործողության համար և վերլուծել այն՝ նոր ուսումնական բովանդակություն բացահայտելու համար.
5. Կազմակերպել ուսումնական նպատակի և դասի թեմայի ամրագրումը.
6. Կազմակերպել փորձնական գործողության իրականացում և դժվարության ֆիքսում.
7. Կազմակերպել ստացված պատասխանների վերլուծություն և արձանագրել փորձնական գործողություն կատարելիս կամ հիմնավորելիս առկա անհատական ​​դժվարությունները:

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպում II փուլում.

Ճակատորեն, օգտագործելով պլանշետներ (անհատական ​​տախտակներ):

1. Համեմատեք արտահայտությունները.

(Այս արտահայտությունները հավասար են)

Ի՞նչ հետաքրքիր բաներ եք նկատել: (Շահաբաժնի համարիչն ու հայտարարը, յուրաքանչյուր արտահայտության մեջ բաժանարարի համարիչն ու հայտարարն ավելացել են նույնքան անգամ: Այսպիսով, արտահայտություններում դիվիդենտներն ու բաժանարարները ներկայացված են միմյանց հավասար կոտորակներով):

Գտեք արտահայտության իմաստը և գրեք այն գրասալիկի վրա: (2)

Ինչպե՞ս գրել այս թիվը որպես կոտորակ:

Ինչպե՞ս կատարեցիք բաժանման գործողությունը: (Երեխաները արտասանում են կանոնը, ուսուցիչը տառերը կախում է գրատախտակին)

2. Հաշվեք և գրանցեք միայն արդյունքները.

3. Ավելացրեք ձեր արդյունքները և գրեք ձեր պատասխանը: (2)

Ինչպե՞ս է կոչվում 3-րդ առաջադրանքում ստացված թիվը: (Բնական)

Ի՞նչ եք կարծում, կարո՞ղ եք կոտորակը բաժանել բնական թվի։ (Այո, մենք կփորձենք)

Փորձեք այս.

4. Անհատական ​​(փորձնական) առաջադրանք.

Կատարեք բաժանումը. (միայն օրինակ)

Ի՞նչ կանոն եք օգտագործել բաժանելու համար: (Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու կանոնի համաձայն)

Այժմ կոտորակը բաժանիր բնական թվի պարզ ձևով, առանց հաշվարկների ամբողջ շղթան կատարելու՝ (օրինակ բ). Ես ձեզ տալիս եմ 3 վայրկյան դրա համար:

Ո՞վ չկարողացավ կատարել առաջադրանքը 3 վայրկյանում:

Ո՞վ է դա արել: (այդպիսիք չկան)

Ինչո՞ւ։ (Մենք ճանապարհը չգիտենք)

Ի՞նչ ստացաք: (Դժվարություն)

Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կանենք դասարանում: (Կոտորակները բաժանել բնական թվերի)

Այդպես է, բացեք ձեր տետրերը և գրեք դասի թեման «Կոտորակի բաժանումը բնական թվի»:

Ինչո՞ւ է այս թեման նոր հնչում, երբ արդեն գիտես, թե ինչպես բաժանել կոտորակները: (Անհրաժեշտություն նոր ճանապարհ)

Ճիշտ. Այսօր մենք կստեղծենք տեխնիկա, որը պարզեցնում է կոտորակի բաժանումը բնական թվի վրա:

III. Դժվարության գտնվելու վայրի և պատճառի նույնականացում:

1. Կազմակերպել ավարտված գործողությունների վերականգնումը և ամրագրել (բանավոր և խորհրդանշական) տեղը՝ քայլ, գործողություն, որտեղ առաջացել է դժվարությունը.
2. Կազմակերպել ուսանողների գործողությունների հարաբերակցությունը օգտագործված մեթոդի (ալգորիթմի) և դժվարության պատճառի արտաքին խոսքում ամրագրման հետ՝ այն հատուկ գիտելիքները, հմտությունները կամ կարողությունները, որոնք բավարար չեն այս տեսակի նախնական խնդիրը լուծելու համար:

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպում III փուլում.

Ի՞նչ առաջադրանք պետք է կատարեիք: (Կոտորակը բաժանեք բնական թվի վրա՝ առանց հաշվարկների ամբողջ շղթան կատարելու)

Ի՞նչն է ձեզ դժվարացրել: (Չհաջողվեց լուծել կարճ ժամանակում արագ ճանապարհով)

Ո՞րն է մեր դասի նպատակը: (Գտեք արագ ճանապարհԿոտորակը բնական թվի բաժանելը)

Ի՞նչը կօգնի քեզ։ (Կոտորակների բաժանման արդեն հայտնի կանոն)

IV. Դժվարությունից ելքի նախագծի կառուցում.

1. Ծրագրի նպատակի պարզաբանում;
2. Մեթոդի ընտրություն (պարզաբանում);
3. Ֆոնդերի սահմանում (ալգորիթմ);
4. Նպատակին հասնելու պլանի կառուցում.

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպում IV փուլում.

Եկեք վերադառնանք փորձարկման դեպքին: Դուք ասացիք, որ բաժանել եք կոտորակների բաժանման կանոնո՞վ։ (Այո)

Դա անելու համար բնական թիվը փոխարինե՞լ կոտորակով: (Այո)

Ի՞նչ քայլ(ներ) եք կարծում, որ կարող եք բաց թողնել:

(Լուծման շղթան բաց է տախտակի վրա.

Վերլուծեք և եզրակացություն արեք. (Քայլ 1)

Եթե ​​պատասխան չկա, ապա հարցերի միջոցով ամփոփում ենք.

Ո՞ւր գնաց բնական բաժանարարը: (հայտարարին)

Համարիչը փոխվե՞լ է։ (Ոչ)

Այսպիսով, ո՞ր քայլը կարելի է «բաց թողնել»: (Քայլ 1)

• Կոտորակի հայտարարը բազմապատկել բնական թվով:
• Համարիչը չի փոխվում.
• Մենք ստանում ենք նոր կոտորակ:

V. Կառուցված նախագծի իրականացում.

1. Կազմակերպել հաղորդակցական փոխազդեցություն՝ բացակայող գիտելիքների ձեռքբերմանն ուղղված կառուցված նախագիծն իրականացնելու համար.
2. Կազմակերպել գործողության կառուցված մեթոդի ամրագրումը խոսքում և նշաններում (ստանդարտի օգնությամբ);
3. Կազմակերպել սկզբնական խնդրի լուծումը և արձանագրել դժվարության հաղթահարումը.
4. Կազմակերպել պարզաբանում գեներալնոր գիտելիքներ.

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպումը V փուլում.

Այժմ արագ գործարկեք թեստը նոր ձևով:

Կարողանու՞մ եք այժմ արագ կատարել առաջադրանքը: (Այո)

Բացատրեք, թե ինչպես եք դա արել: (Երեխաները խոսում են)

Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նոր գիտելիքներ՝ կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելու կանոնը։

Լավ արեցիր։ Ասա զույգերով:

Այնուհետև մի ուսանող խոսում է դասարանի հետ: Կանոն-ալգորիթմը բանավոր և ստանդարտի տեսքով ամրագրում ենք գրատախտակին։

Այժմ մուտքագրեք տառերի նշանակումները և գրեք մեր կանոնի բանաձևը:

Աշակերտը գրատախտակին գրում է՝ արտասանելով կանոնը. կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելիս կարելի է հայտարարը բազմապատկել այս թվով, իսկ համարիչը թողնել նույնը։

(Բոլորը բանաձեւը գրում են նոթատետրերում):

Իսկ հիմա հերթական անգամ վերլուծեք փորձնական առաջադրանքի լուծման շղթան՝ հատուկ ուշադրություն դարձնելով պատասխանին։ Ի՞նչ արեցին։ (15 կոտորակի համարիչը բաժանվեց (նվազեցվեց) 3 թվով)

Ո՞րն է այս թիվը: (Բնական, բաժանարար)

Ուրեմն ինչպե՞ս կարող եք կոտորակը բաժանել բնական թվի: (Ստուգեք. եթե կոտորակի համարիչը բաժանվում է այս բնական թվի վրա, ապա կարող եք համարիչը բաժանել այս թվի վրա, արդյունքը գրել նոր կոտորակի համարիչի մեջ, իսկ հայտարարը թողնել նույնը)

Գրեք այս մեթոդը բանաձևի տեսքով. (Աշակերտը գրատախտակին գրում է կանոնը: Բոլորը տետրերում գրում են բանաձևը):

Եկեք վերադառնանք առաջին մեթոդին: Կարող է օգտագործվել, եթե a:n. (Այո դա ընդհանուր ճանապարհ)

Իսկ ե՞րբ է հարմար օգտագործելու երկրորդ մեթոդը։ (Երբ կոտորակի համարիչը բաժանվում է առանց մնացորդի բնական թվի)

VI. Արտաքին խոսքում արտասանության հետ առաջնային համախմբում.

1. Երեխաների կողմից գործողությունների նոր մեթոդի յուրացում կազմակերպել արտաքին խոսքում իրենց արտասանությամբ բնորոշ խնդիրներ լուծելիս (ճակատային, զույգերով կամ խմբերով):

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպում VI փուլում.

Հաշվարկել նոր ձևով.

• Թիվ 363 (ա; դ) - կատարել գրատախտակի մոտ՝ արտասանելով կանոնը։
• Թիվ 363 (դ; զ) - նմուշի վրա ստուգիչով զույգերով:

VII. Ինքնաթեստով անկախ աշխատանք՝ ըստ ստանդարտի.

1. Ուսանողների կողմից առաջադրանքների ինքնուրույն կատարումը կազմակերպել նոր գործելաոճի համար.
2. Կազմակերպել ինքնաթեստ՝ ստանդարտի հետ համեմատության հիման վրա.
3. Իրականացման արդյունքներով ինքնուրույն աշխատանքկազմակերպել գործողությունների նոր եղանակի յուրացման արտացոլում:

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպում VII փուլում.

Հաշվարկել նոր ձևով.

Աշակերտները ստուգում են չափորոշիչը, նշում կատարման ճիշտությունը: Վերլուծվում են սխալների պատճառները և ուղղվում են սխալները:

Ուսուցիչը հարցնում է այն աշակերտներին, ովքեր սխալվել են՝ ո՞րն է պատճառը։

Այս փուլում կարևոր է, որ յուրաքանչյուր ուսանող ինքնուրույն ստուգի իր աշխատանքը:

Նախքան 8-րդ առաջադրանքը լուծելը) դիտարկենք դասագրքի օրինակ.

IX. Ուսումնական գործունեության արտացոլումը դասարանում.

1. Կազմակերպել դասում ուսումնասիրված նոր բովանդակության ամրագրումը.
2. Կազմակերպել կրթական գործունեության ռեֆլեկտիվ վերլուծություն՝ ուսանողներին հայտնի պահանջների կատարման առումով.
3. Դասում կազմակերպել ուսանողների գնահատականը սեփական գործունեության վերաբերյալ.
4. Կազմակերպել դասի չլուծված դժվարությունների ամրագրումը որպես հետագա ուսումնական գործունեության ուղղություն.
5. Կազմակերպել տնային աշխատանքների քննարկում և ձայնագրում:

Ուսումնական գործընթացի կազմակերպում IX փուլում.

Տղաներ, ի՞նչ նոր գիտելիքներ եք հայտնաբերել այսօր: (Մենք սովորեցինք կոտորակը բաժանել բնական թվի վրա պարզ ձևով)

Ձևակերպեք ընդհանուր ձև: (Ասում են)

Ի՞նչ ձևով և ի՞նչ դեպքերում կարող եք դեռ օգտագործել այն: (Ասում են)

Ո՞րն է նոր մեթոդի առավելությունը:

Հասե՞լ ենք դասի մեր նպատակին: (Այո)

Ի՞նչ գիտելիքներ եք օգտագործել նպատակին հասնելու համար: (Ասում են)

Ձեզ հաջողվե՞լ է։

Ի՞նչ դժվարություններ կային։